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El vértice de toda parábola tiene por coordenadas (h, k) donde: h=
suma
, es decir,
h=
b 2a
2 K = P(h)
RAÍCES SIMÉTRICAS Si x1 y x2 son raíces simétricas se cumplirá: x1 = A x2 = –A
x1 + x2 = 0
–
b =0 a
b=0
NATURALEZA DE LAS RAÍCES
RAÍCES RECÍPROCAS
2
Si x1 y x2 son raíces recíprocas se cumplirá: x1 = A x2 =
x1 x2 = 1
Nota: K = Mínimo valor del polinomio P(x) si a > 0 K = Máximo valor del polinomio P(x) si a < 0
c =1 a
1 A
c=a
ax + bx + c,
(a > 0)
Si > 0 las raíces son reales y diferentes
Si = 0 las raíces son reales e iguales
Si < 0 las raíces son complejas y conjugadas y
y
y
RAÍZ NULA 2
En la ecuación cuadrática de la forma: ax + bx + c = 0, se tendrá una raíz nula x = 0, es decir se cumplirá:
x
c=0
0
x
x
0
0
ECUACIONES EQUIVALENTES Si las ecuaciones de segundo grado tienen las mismas raíces se cumplirá: 2 a 1x + b1x + c 1 = 0 (1) 2 a 2x + b2x + c 2 = 0 (2)
En la ecuación: (m – 5)x – (2m – 1) x + 4m – 3 = 0, determinar “m” de modo que: I. Las raíces sean simétricas. II. Las raíces son recíprocas. III. Una raíz nula.
2.
Si a y b son números reales de manera que las ecuaciones: 2 (7a – 2) x – (5a – 3) x + 1 = 0 2 8bx – (4b + 2) x + 2 = 0 admiten las mismas raíces, entonces el valor de a + b es:
3.
La gráfica de la función f(x) = x + 3 no pasa por los cuadrantes:
4.
Determinar “m” para que la ecuación: 2 (m + 1) x – 2mx + m – 3 = 0 tanga raíces iguales.
a1
b c 1 1 a2 b2 c 2
GRÁFICA DE (PARÁBOLA)
UNA
EC.
DE
2do.
GRADO
2
ax + bx + c a>0
a<0
y
y
x
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
2
1.
x
2
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
5.
Indica cuáles de los siguientes pueden ser la gráfica 2 de la función: f(x) = –2x + 3x – 1
|I.
6.
II.
III.
Dado el polinomio P(x) = –
17 2 17 51 , halla la x x 16 8 16
1.
Hallar las coordenadas del vértice de la parábola: 2 P(x) = x – 2x + 5 A) (2, 5) C) (2, 6) E) N.A. B) (3, 5) D) (2, –5)
2.
La siguiente gráfica representa una ecuación de segundo grado:
suma de todos los valores naturales del polinomio P.
y
7.
8.
9.
2
Dada la función cuadrática: f(x) = ax + 4ax + 7 si el vértice es (h ; –5), halla h + a.
P(x)
Calcular: n – m, sabiendo que las siguientes ecuaciones tienen las mismas raíces: 2 3 (m – 2) x – (m + 2) x – (n + 6) = 0 2 2 3 (m – 1) x – (m + 1) x – (4n – 4) = 0 Considerar el mayor valor posible para “m”
r
s
x
I. r y s son las raíces de la ecuación. II. Tiene una raíz positiva y una negativa. III. Si el vértice es de coordenadas (c, d), entonces 2c = r + s A) Solo I C) Solo I y II E) Todas B) Solo II D) Solo II y III
Para qué valores de “m”, la ecuación: 2 (2 – m) x + 2mx – m + 2 = 0 tiene soluciones reales.
10. ¿Con respecto a la naturaleza de las raíces de la ecuación: (a b) (x – a) (x – b) = c , es cierto que: I. Son complejas. II. Son reales e iguales. III. Son reales y desiguales. 2
11. Hallar los valores de “m” para que la ecuación: 2 x – 15 – m(2x – 8) = 0, tenga raíces iguales
x 2 bx m 1 tiene raíces ax c m 1 numéricamente iguales pero de signo contrario.
3.
Del problema anterior si r = –3 y s = 5, hallar la ecuación de segundo grado. 2 2 A) x – 2x – 15 = 0 D) x – 2x + 15 = 0 2 2 B) x + 2x + 15 = 0 E) x – x – 15 = 0 2 C) x + 2x – 15 = 0
4.
Halle los valores de “m” para que la ecuación: 2 (m + 3)x – 2mx + 4 = 0 tenga una única solución. A) 6 B) 2 C) –6 D) –2 E) más de una
5.
Sabiendo que las raíces son recíprocas.
12. Hallar “m” si la ecuación:
(2k + 2) x + (–1 – 4k) x + k – 2 = 0 ; k –1 Hallar “k”. A) 4 B) –4 C) 2 D) –2 E) N.A. 2
2
13. La ecuación: x – 3x + m + 1 = 0, tiene raíces 2 complejas, mientras que: 3x + 5x + m = 0, posee raíces reales. ¿Para qué valor entero de “m” se cumple estas condiciones?
6.
Del problema anterior hallar la suma de las raíces. A) 5/2 B) –5/2 C) 1/2 D) 1 E) N.A.
14. En la figura representa la gráfica de una función cuadrática de vértice V(3 ; –2)
7.
Al resolver la ecuación: 3x(x – 1) = 5 (x – 1) Se obtiene: A) Una raíz mayor que 2 B) Una raíz menor que –1 C) Una raíz entre 3/2 y 2 D) Una raíz entre –1 y 0 E) Ninguna de las anteriores
Y (5; 6) X
r s (3; –2) 2
Halla el valor de: E = r + s
2
-2-
Ecuac. Cuadráticas III
8.
9.
2
17. En el gráfico de la función f: R R definida por f(x) =
Hallar “c” para que en la ecuación: x – 8x + c = 0, una raíz sea el inverso multiplicativo de la otra. A) –1 B) 1 C) 16 D) –16 E) 0
ax + bx + c, a 0 es: 2
Y
¿Por qué cuadrante no pasa la gráfica de la función 2 f(x) = (x – 7) + 3? A) I C) III y IV E) N.A. B) II D) I y IV
(0; 2)
(r; 0) X
(s; 0)
2
10. Si P(x) = x – 5x – 2, halla el menor valor entero del polinomio P. A) –2 B) –3 C) –4 D) –5 E) N.A.
(1; –1)
Halla rs A) 2
B) 4
C) 4/3
D) 2/3
E) 3/2
18. Si el vértice de una función cuadrática tiene por coordenadas (0; 2) y pasa por el punto (1; 3), halla la ecuación de dicha función cuadrática. 2 2 A) y = x + 2 D) y = – x + 2 2 2 B) y = x + 1 E) y = x – 1 2 C) y = – x + 2
11. Si el discriminante de una ecuación general de segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado perfecto, se afirma que las raíces son: A) Reales e iguales B) Racionales e iguales C) Irracionales y desiguales D) Enteras y desiguales E) Racionales y desiguales
2
19. ¿Para qué valor de “m” la ecuación: x – 2 (3m + 1) x + 7 (2m + 3) = 0, tendrá sus dos raíces iguales?
2
12. Si P(x) = –x + 7, halla el mayor valor de P A) 7 B) –3 C) 12 D) 3 E) 1
B) 1 ;
2
13. Sea el polinomio P(x) = –x + kx – 3. Si P(1) = 6, ¿qué valor no puede tomar el polinomio. A) 0 B) –3 C) 10 D) 25 E) 12
E) 2 ;
C) 4 ; –2
A) 5 ; 2
3
10 9
D) 3 ; –1
2
20. En las siguientes ecuaciones: 2 x – 5x + k = 0 …… (I) 2 x – 7x + k = 0 …… (II) una raíz de la ecuación (I) es la mitad de una raíz de la ecuación (II), luego el valor de “k” es igual a: A) 8 B) –6 C) 6 D) 12 E) 4
14. El producto de los valores de K para que la ecuación: 2 3x + 4 (x – 1)K + 2x = 0 tenga solución única es: A) –4 B) 1/4 C) 1/2 D) 2 E) –2
21. Si a y b son números reales de manera que las ecuaciones: 2 (7a – 2) x – (5a – 3) x + 1 = 0 2 8bx – (4b + 2) x + 2 = 0 admiten las mismas raíces, entonces el valor de “a+b” es: A) 5 B) 3 C) –1 D) –3 E) 2
15. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante comete un error en el término independiente de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente de primer grado y obtiene por raíces –9 y –1. la ecuación correcta es: 2 2 A) x – 10x + 9 = 0 D) x – 8x – 9 = 0 2 2 B) x + 10x + 9 = 0 E) x – 10x – 9 = 0 2 C) x + 8x – 9 = 0
2
22. Dada la ecuación: (n – 2)x + (3 – n)x + 2n = 1; luego de calcular “n” en cada caso: I. Las raíces de la ecuación son simétricas. II. Las raíces de la ecuación son recíprocas. III. Una raíz es: x = –1 Indicar por respuesta la suma de todos los valores que asume “n”.
2
16. La ecuación x + 4x = k + 6 está definida en el conjunto de los números reales. ¿Para qué valor de la constante k dicha ecuación no tendrá soluciones reales? A) k < –10 D) 0 < k < 16 B) 0 < k < 40 E) N.A. C) k < 0
A)
7 2
-3-
B)
5 2
C)
3 2
D) 7
E)
1 4
Ecuac. Cuadráticas III
2
23. Determine la suma de los valores que puede tomar 2 “a” para que la ecuación: (a+1)x + ax + 1 = 0; tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1. A) 12 C) 4 E) 6 B) 4 2
32. ¿Qué valor debe agregarse a las raíces de (a+b)x + (a–b)x + ab = 0; para que esas nuevas raíces sean raíces simétricas de una ecuación cuadrática? A)
D) 5
B)
24. Si la suma de las inversas de las raíces de la 2 ecuación: x – mx + 1 = 0, es igual a la inversa de la suma de las raíces. ¿Qué valor asume “m”? A) 1
1
B)
C) –1
D) 2
ab
C)
ab ab
D)
ab
ab 2(a b)
E)
ab 2(a b)
2(a b) ab
2
33. Hallar “k” si: x – 15 – k (2x – 8) = 0 tiene raíces iguales. A) 1 B) 5 C) 6 D) 7
E) –2
E) 8
2 34. Hallar el valor de “m”, si las raíces de la ecuación: x + 2(m + 2) x + 9m = 0, son iguales. A) 0 B) 2 C) 5 D) 3 E) 4
25. Halle la suma de valores de “m” de tal manera que la ecuación: (m + 1) x . (5x – 2) + 1 = 0, se verifique para un solo valor de “x.” A) 5 B) –3 C) 3 D) 10 E) 4
35. Dada la ecuación: 2 (3n – 2) x – (6n – 3) x + n – 6 = 0, halle “n” para que las raíces sean recíprocas. A) 2 B) –2 C) 4 D) –1 E) –3
26. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: 2 x – 8x + n = 0, es igual a 20? A) 44 B) 11 C) 33 D) 22 E) 17
36. Dada la ecuación: 2 (2x – 3) = 4(2x – m) Calcular “m” de manera que la ecuación tenga una sola raíz. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
27. ¿Para qué valor de “n” el mínimo valor del trinomio: 2 P(x) = x – 2x + n, es 4? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
37. Halle “m + n” si las siguientes ecuaciones: 2 (5m – 28) x – (m – 4) x + 4 = 0 2 (3n + 4) x – 5nx + 20 = 0 tienen el mismo conjunto solución. A) 66 B) 62 C) 128 D) 138 E) N.A.
28. ¿Para qué valor de “n” las raíces de la ecuación: 2
x 3x 5x 2 A) 5
n 1 n1
, son simétricas?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
29. Si las ecuaciones: 2 (2m + 1)x – (3m – 1)x + 2 = 0
2
38. Dada la ecuación: (k + 1) x + (5k – 3) x + 2k + 3 = 0 Halle el mínimo valor de “k” para que sus raíces sean iguales.
(n + 2)x – (2n + 1)x – 1 = 0 son equivalentes; calcular el valor de “m”. A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5 E) 14 2
A) –3 B)
30. ¿Para qué valor de “m” las raíces de ecuación: x( x 1) (m 1) ( x 1) (m 1)
A)
1 6
B)
1 5
x m
7 15
C)
1 17
D)
2 5
E) –0,18
, son iguales.? C)
1 4
D)
1 3
E)
2
39. Si las siguientes ecuaciones son equivalentes: 2 (2a + 3) x – (a – 2) x + 1 = 0 2 (2b + 5) x – 5x + 5 = 0 Calcule: a + b A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
1 2
31. Calcular “m” si las raíces de una ecuación: 2 (m + 1) x – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales A) 3/2 C) 3/4 E) –3/2 B) 2/3 D) –2/3
-4-
Ecuac. Cuadráticas III
