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C.
Intervalo Semiabierto o Semicerrado. Teniendo a uno de los extremos abiertos y al otro cerrado. Ejemplo: x 2
Es una comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad:
7
Luego: x <2 ; 7]
2
ó
> <
: :
“mayor que” “menor que”
INTERVALO NO ACOTADO
:
“mayor o igual que”
Llamándose así cuando por lo menos uno de los extremos
:
“menor o igual que”
son el + ó –.
Es un conjunto de infinitos elementos que representa a
Ejemplo:
INTERVALO todos los números reales comprendido entre dos extremos.
x
–3
CLASES DE INTERVALO:
Luego: x [–3 ; +>
INTERVALO ACOTADO:
x –3
ó
Si los extremos son números reales (finitos) que a su vez serán: A.
x
Intervalo Abierto. Es un intervalo en el cual no se
10
considera a sus extremos.
Luego: x <– ; 10>
Ejemplo: x –
–3
ó
x < 10
TEOREMAS 7
+ 2n
0
; x, nZ
+
1.
x
2.
x>y xn>yn
3.
Si x < y
m>0
mx my y x m m
4.
Si x < y m < 0
mx my y x m m
5.
Sea: x < y (donde x, y tiene el mismo signo), entonces:
Luego: x <–3 ; 7>
B.
ó
–3 < x < 7
Intervalo Cerrado. Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos. Ejemplo: x –
–10
3
Luego: x [–10 ; 3]
ó
–10 x 3
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
+
1 1 x y
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
6.
y>z
Si x > y
x>z
I.
x z
7.
Si: xy > 0 (x e y tiene el mismo signo), es decir: (x > 0 y > 0)
8.
II.
(x < 0 y < 0)
(x > 0 y < 0)
xy
Si:
y z2
x y z z
III. x + z > y + z IV. x–z > y – z 2 2 V. xz > yz
Si xy < 0 (x, y tienen signos distintos), es decir: (x < 0 y > 0)
9.
2
9.
zw
Si:
8 [1 ; 8, determine el menor valor de “x”. 2x 1
x+z
10. Si:
0zw
0 < xz < yw
Ejercicios 1.
A = {x / x <–5 ; 9>}
Sean:
B = {x / x –3} AB ; AB
Resolver:
2
II.
10 – 2 <
III.
5 24
IV.
11 112 –
5 17 11
3 2
11 112 > 5
11. Indique el valor de afirmaciones:
Graficar y calcular:
2.
5
I.
I.
Si a > 0 y b > 0
b 1 1 a a
II.
Si a > 0 y b < 0
a a b ba
III. Si a > 0 a
2x + 4 x + 12
verdad
–1
de
las siguientes
>0
IV. Si a < 0 y b > 0 a – ab < 0 2
V. Si x < a < 0 x < ax < 0
3x + 4 2x + 10 < 5x + 8
3.
Resolver:
4.
Si “x” es entero, qué valor mínimo puede tomar “x” en:
2
x 1 x 1 3 5
5.
Resolver la siguiente inecuación: 2
(2x – 1) + x (x + 1) + 3 > 5x (x – 3) + 2 (x – 5) 1. 6.
¿Cuál es el mayor número entero “x” que verifica: 5x 1 3x 13 5x 1 ? 4 10 3
7.
Graficar: x 4 A)
Encontrar el menor número natural par que verifica:
4
+
–
4
+
–
4
+
B)
4x 3 2 x ( x 1) 2 3
8.
D) –
Siendo: x > 0 ; y > 0 ; x > y ; z 0 la desigualdad
–
4
E) N.A.
C)
que no siempre es verdadera es:
-2-
Desigualdades e inecuaciones I
+
2.
–3 x 5
Graficar: A)
D) –
–3
5
–
+
B)
–3
5
+
9.
E) N.A. –
–3
5
7 A) , 4
C) { 7/4 }
7 E) , 4
7 B) , 4
7 D) , 4
Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 3x + 4 –2x + 6
+
A) ]–2/5 ; 2/5[
C) ]–, 2/5[
E) N.A.
B) ]2/5 ; [
D) ]– , –2/5[
C) –
3.
–3
5
+
x –3 x 4
Graficar: A) –3
4
–
+
A) R
C) –, 45/11
B)
D) 45/11, +
–3
4
+
2+
x5
2 B)
E) N.A. –
–3
4
+
4.
–3
Resolver:
4
–5
3 C) [ –19,
B) –, –19 ]
D) 19, +
A) x
C)
x4
A) [ –19, 19 ]
2
E) [ 19, +
–2 –4 + 3x 5
12. Resolver:
–
E) –, 45/11]
11. Resolver:
D) –
4x 3x 1 2 3 5
10. Resolver:
D) x 3, +
,3
3
+
x7x3
A) x 3
C) x 7
B) x 7
D) x 3
E) N.A.
B) x
1 ,3 3
C) x
,
E) N.A. 2 3
13. Hallar el valor entero de “x” que satisface las 5.
¿Cuántos valores enteros hay en: –6 x 13
x –2
............... (I)
x 11
............... (II)
Resolver: x 4 x 9, y dar como respuesta el
x5
............... (III)
complemento del conjunto solución de x.
x9
............... (III)
A) x 4 , 9
C) x [4 , 9
x 15
............... (V)
B) x 4 , 9
D) x [4 , 9
Luego de resolver:
x 1 1 2x , que valor no 2 4 3
A) 6 6.
7.
8.
siguientes condiciones:
B) 13
C) 19
D) 20
E) 21
E) N.A.
A) 7
Sea:
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A = {x / x <2 ; 5]} B = {x / –5 x < 8}
puede tomar x A) – 3 B) – 6
C) – 8
Al resolver en :
2x +
1 2
D) – 1
C = {x / x < 6}
E) 0
14. Calcular: A B C
4
el conjunto solución es:
-3-
A) – ; 5
C) – ; 8
B) – ; 6
D) –5 ; 8
E) [–5 ; 8
Desigualdades e inecuaciones I
15. Calcular: A B
22. Hallar el mayor valor entero que satisface:
A) [2 ; 5]
C) –5 ; 8
B) 2 ; 5]
D) [–5 ; 8
x 1
E) – ; 2
2
A) 2
x2 3
x3 4
B) 1
x4 5 D) –1
C) 0
E) –2
16. Calcular: B C A) [–5 ; 8]
C) –5 ; 2
B) – ; 6]
D) [–5 ; 6
23. Resolver la inecuación:
E) [–5 ; 6]
2x 1 5
2x 6
17. Resolver:
3
A) x
,
B) x
36 5
C) x 1,
x
5
4
36
2x 1
2
2 3
A) x –17,
D) x –, –17]
B) x –, –18
E) x , 18
3(x – 5) – 4(4–3x) 2(7 – x) – 3 (x – 5)
24. Resolver:
,
6
C) x –, –17
D) x –1, 1
5
3x 2
E) N.A.
A)
x 3, 7
B)
x –, 3 5, +
36
C) x 3, +
5
D) x 3, 5] E)
N.A.
18. Hallar el conjunto solución de: 2x + 1 x + 3 < 4x – 1 A) [2, +[
C)
B) [4/3, +[
D) 4/3, 2
25. Si:
E) 4/3, +2]
1 1 1 ; 2x 8 12 6
x [m ; n]. Halle: mn
entonces:
B) –2
A) 2
C) –15
D) –6
E) –3
19. Dado el sistema: 2x – 1 0
.............. (1)
3x + 1 0
.............. (2)
4x – 1 0
.............. (3)
I.
a;0a1 a
5x + 1 0
.............. (4)
II.
{a; b} se tiene: si: 0 a b entonces:
26. Dadas las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
Luego la solución es: A) x 1/2
C) x 1/2
B) x 1/4
D) x – 0,3ˆ
a
E) Incompatible
A) VVF B) VVV
x 17
13 2
A) [ 3,
2 B) –
13
C) 3,
,3]
2
C) VFV D) VFF
E) VFF
27. De las siguientes desigualdades indique la correcta:
x 15
13
ab b 2
x –1
x
1
III. Si: a b entonces a b ; {a ; b}
x3
20. Resolver:
–1
D) [
2
1
,
13 2 13
2
2
2
E) [
13
,3
5
I.
3
II.
5 2 3 2
III.
3 2 2 2 1
7
A) Sólo I B) Sólo II
C) I y II D) I y III
E) Todas
28. Si: x 0; y 0 ; z 0 21. Indicar el menor valor entero que satisface:
x3 5 A) 8
5x 7 3
B) 9
2x 3 2 C) 10
Luego siempre verifica:
3x 1 4 D) 11
A) xyz 0
D) x + y + z 0
B) xy/z 0
E) x – y + z 0
2
2
2
C) x + y + z 0
E) 12
-4-
Desigualdades e inecuaciones I
29. Indicar el valor proposiciones: I. II.
Si a < b
1 a
de
verdad
de
las
siguientes
36. Si x ]2, 4[
1
Si a < 0 a > a
3
–
III. Si a a > a – 1 A) VVV
C) VFV
B) FVV
D) VFF
E) VFF
, a qué intervalo
1 1 A) , 11 7
1 1 C) , 2 6
1 1 B) , 5 3
1 3 D) , 12 4
1
A = {x / –x +
pertenece “x”? A)
x [–2 ; 4]
C) x –2 ; 4
B)
x –2 ; 4]
D) x [–4 ; 2
E) x [–2 ; 4
Si a b a + c b + c
II.
Si a 0 –a 0
ab 0 a
Son verdaderas: A) Sólo I C) Solo III B) Sólo II D) Todas
1
}
2
A)
3 4 C) , 8 27
B)
3 4 D) , 8 27
3x 10
1
x7
E) ninguna
2?
A) –1/2 < x < 7 B) –1 < x < 5
2x + 4 3x + 6 5x – 10 D)
+ 2x x –
3
38. ¿Para qué valores de “x” se verifica la inecuación:
E) I y II
32. Resolver: C) [8, [
x
B = {x /
}
3
Hallar: (A – B)´
I.
B) [–8, [
1
–3x +
4
31. Para los reales; afirmamos:
A) [–2, [
1 1 E) , 13 6
37. Dados los conjuntos:
30. Si: (2x – 1) [–5 ; 7, entonces, ¿a qué intervalo
III. a 0 b 0
2x 3
pertenece:
b
2
1
y luego
C) –3/2 < x < 4 D) 0 < x < 4
E) 1 < x < 5
E) [2, [ 39. Resolver:
(x 1)(x 2) ( x 3)(x 4) (I) (x 2)(x 3) ( x 1)(x 2) (II)
33. Resolver: 3x + 4 2x + 8 2x + 6 A) R
C) ]4, [
B) ]–, 4[
D)
E) N.A.
A) [–5/2, –2[
C) [–5/2, –2]
B) ]–5/2, –2[
D)
E) N.A.
40. Indicar el intervalo solución de: 34. Al resolver en : 2
4 + 3x x – 2 1 – 5x
1
A)
C) ] –, –3 ]
B) ] –, –3 [
D) ] –, –8 [
2
E) ninguna
1 2
+2
5+
2 x6
6
3
El conjunto solución es:
35. Al resolver en :
2x 1
+
1
A) [–
El conjunto solución es: A) [–6, –4]
C) [–6, –4[
B) ]–6, –4]
D) ]–6, –4[
E)
B) ]–
-5-
2x 1
80 3 55 4
x 4
7 , ,
43 3 35 3
+
x 1 9
2 3
x 1 8
x 1 14
1
[
C) [–
[
D) [–
55 4 43 3
, ,
35 3 35 3
]
E) N.A.
]
Desigualdades e inecuaciones I
