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1.
Hallar el valor de “P” de tal manera que la ecuación: 2 2 2Px – 4Px + 5P = 3x + x – 8 tenga el producto de sus raíces igual a dos veces su suma.
2.
Hallar el valor de “m” en la ecuación: 2 x + (2m + 1) x + m = 0, si una raíz excede a la otra en 3 unidades.
3.
En la ecuación: 2x – (n + 2)x + (n + 4) = 0. Hallar el valor de “n” para que las raíces difieran en 1 unidad.
4.
Calcular “m” en: x – 8x + m = 0, si: 3x1 – 4x2 = 3
5.
Calcular “m” en: x – mx + 48 = 0; si x1 = 3x2
6.
Calcule el valor de “p”, sabiendo que x1 y x2 son raíces de la ecuación: 2 x + 2x + p = 0 y además: 3x1 + 5x2 = 0
7.
Determinar los valores de “n” en la ecuación: x + nx + 1 = 0, sabiendo que la suma de los cubos de sus raíces es igual a 2.
8.
Dada la ecuación: x – 2 3 x + n = 0, determinar los
PROPIEDADES GENERALES: A.
OPERACIONES BÁSICAS CON RAÍCES: Sea: ax + bx + c = 0 ; a 0 2
de raíces x1, x2 *
Suma de raíces (S): x1 + x2 = S =
Producto de raíces (P): x1 x2 = P =
*
b a
c a
Diferencia de raíces (D): 2
2
(x1 + x2) – (x1 – x2) = 4x, x2 2 2 S – D = 4P
*
Reconstrucción de la ecuación:
2
2
2
2
2
x – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 2 x – Sx + P =0
2
valores de “n” sabiendo que el producto de sus raíces es igual a la diferencia de las mismas.
Ejercicios 1.
2.
2
En la ecuación: 2x – 3x + 1 = 0; determinar:
9.
A) x1 + x2
C)
x12 + x 22
E)
x1 – x2
B) x1 . x2
D)
x13 + x 32
F)
x12 – x 22
Hallar la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son: A) 3 y 5 B) 7 y –2 C) –3 y –4
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
2
La ecuación ax + 3ax + 9 = 0 tiene dos raíces reales iguales, encontrar dicha raíz.
10. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de la ecuación: 2 x – 4x – 21 = 0 11. Si: {a, a+1} es el conjunto solución de la ecuación en “x”: 2 2 x – 7x + p + p = 0 Calcule el valor de “p” 12. Halle el valor de “m” en la ecuación: 2 2 2 2x + (m – m + 1) x – m + 2m – 7 = 0 si una raíz es uno. Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
13. Determine “m” en la ecuación: 2 x – mx + 12 = 0 Sabiendo que sus raíces x1, x2 verifican: x1 x2
De la ecuación:
6.
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las inversas de las raíces de la ecuación: 2 2x – 5x + 11 = 0
x 1 2 x1 12
14. Siendo y ( > ) raíces de la ecuación: 2
x – Halle:
3
2x–
3
3x+
3
6 =0
( – ) ( + + ) 2
15 11x 5 1 x x2 dar como respuesta la diferencia de sus raíces. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
5.
2
Indicar su término independiente. A) 4 B) 10 C) –10 D) 77
E) –77
2
15. Dada la ecuación polinomial: 3x – 2bx + b = 0 Halle “b” para que una de las raíces sea el triple de la otra.
7.
Hallar: x12 x 2 son las raíces de la ecuación: 2 2
ax + bx + c = 0 A)
B)
1.
2.
Calcular “m” si en la ecuación: 2 2x + (m – 1)x + (m + 1) = 0 Sus raíces difieren en 1 A) 1 B) –11 C) 6
8.
b 2 4ac 2a b 2 2ac
D) 2
E) 11
Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación: 2 2mx + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación:
9.
a2
A) 2 3
C) 2 5
B) 11 –1
D) –5 7
reales si una de sus raíces es 5 –
4.
3 ) y (2 –
3) 2
A) x – 4x + 2 = 0 2 B) x + 4x – 1 = 0 2 C) x – 4x + 1 = 0
3,
2
x – 10x + 16 = 0
E) 9 4
Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la 2 otra en la ecuación: x + 6x + p = 0 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
2
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
E)
b 2 2ac a
Para qué valor del parámetro real “n” las raíces de la
(2 +
x + 10x + 22 = 0 2 x – 10x + 22 = 0 2 x – 10x – 22 = 0 2 x + 10x – 22 = 0
E) N.A.
2a 2
10. Determine la ecuación de segundo grado que tiene por raíces:
m
Señale como respuesta el valor de: m + 2m A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 31
A) B) C) D)
D)
b 2 4ac
ecuación: 2 2x – (n – 1)x + 4 = 0 difieren en 1
x1 x 2 =7 ; m>0 x 2 x1
3.
C)
D) 2x – 4x + 3 = 0 2 E) x – 4x – 1 = 0
11. Halle el valor de “m” en la ecuación: 2
x – mx + 10 = 0 Sabiendo que sus raíces x1; x2 verifican:
2
x1 x 2 8 x 2 x1 5
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2 5x – 7x + 13 = 0 Indicar el coeficiente de su término independiente. A) 25 B) 91 C) –91 D) 100 E) –100
A) 6
B) 3
C) 2
D) 1/2
E) 1
12. Si x1 x2 son las raíces de la ecuación: x –5x–3 = 0, 2
calcular el valor de:
x1 x1 1 x 2 x 2 1 A) 24 -2-
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
Ecuac. Cuadráticas II
13. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 2 x – (m – 1)x + m + 1 = 0 Calcular el valor de “m” si: A) 3
B) 4
C) 5
21. Para qué una de las raíces de la ecuación 2 ax + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los coeficientes deben estar relacionados como sigue: 2 2 A) 4b = 9c D) 2b = 9ac
1 1 2 x1 x 2 3
D) 6
2
2
B) b – 8ac = 0 2 C) 9b – 2ac = 0
E) 7
E) 2b = 9a
14. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean “n” veces las raíces de la ecuación: 2 ax – bx + c = 0 Indicar su término independiente. A) a B) an C) nb D) nc
22. Sabiendo que las raíces de la ecuación: 2 x – (5m – 1)x + 10m = 0 son ambas positivas y que además su diferencia es igual a 5, el valor de la suma de estas raíces será: A) 3 B) 5 C) 9 D) 11 E) 13
2
E) n c
15. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas multiplicativas de las raíces de la ecuación: 2 2x – 3x – 1 = 0 2 2 A) 2x + 3x – 2 = 0 D) x + 3x – 2 = 0 2
B) x – 3x – 2 = 0 2 C) 2x – 3x + 1 = 0
2
23. Dada la ecuación: x – 2ax + 8a – 18 = 0 Determinar el valor de “a” para el cual la suma de las inversas de las raíces sea 1. A) 3 B) 4 C) –2/5 D) –3/4 E) –2
E) N.A.
2
24. La ecuación x + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una 2 2 ecuación que tiene raíces 1/r y 1/s es: 2 2 2 A) c x + (2c – b ) x + 1 = 0
16. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la 2 otra: x + (a + 3)x + a + 2 = 0 Calcular la otra raíz. A) 4 B) 2 C) –1 D) –3 E) N.A.
B) C) D) E)
17. Sabiendo que las raíces de la ecuación: 2
25. Determinar uno de los valores de “p” para que en la 2 ecuación: x – px + 2 = 0, la suma de los cubos de las raíces sea igual a –4. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 26. Sabiendo que el cociente de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 5 y que la diferencia de las mismas es 12, escribir la ecuación: 2 A) x – 10x + 36 = 0 2 B) x – 18x + 45 = 0 2 C) x – 18x + 31 = 0 2 D) x – 6x + 7 = 0 E) N.A.
2
18. Si en una ecuación: x + mx + n = 0, m y n son raíces; los valores de m y n en este orden son: C) –1 y 2 D) 1 y –2
E) –2 y 1
19. Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de las 2 raíces de: x – kx + 15 = 0 es igual a 16; la suma de los valores reales de k que hacen que la condición se cumpla, es: A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2 2
2
2
x – (3n – 2)x + n = 1 son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, éstas son: A) 1 y 3 C) 3 y 9 E) 5 y 15 B) 2 y 6 D) 4 y 12
A) 1 y 2 B) 2 y 1
2
c x + (2c – b ) x + 1 = 0 2 2 2 c x + (2c – b) x + 1 = 0 2 2 2 c x + (2c – b) x – 1 = 0 2 2 2 c x + (2c – b ) x – 1 = 0
20. En la ecuación: x –
27. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación: 2 2x – 3x + 5 = 0; el valor de la expresión:
x12
3 x + q = 0, uno de los valores
x1 1
de q que permite que la suma de los cuadrados de las inversas de sus raíces sea 1 es: A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5
A) –1
-3-
x2 2 x2 1
es:
B) –5
C) –1/5
D) 1/3
E) 1/5
Ecuac. Cuadráticas II
28. Si x1 y x2 las raíces de la ecuación:
2
x – 5x + 3 = 0
35. Calcule la diferencia de las raíces de la siguiente ecuación: 2 2 5x – 2(5m + 3) x + 5m + 6m + 1 = 0
x 2 x 1 x1 x 2 x1 x2
Hallar el valor de: A) 9/5
C) 15/9
B) 25/3
D) 8/3
E) 16/5
29. Calcular “m” de modo que la suma de los cuadrados de las raíces de: 2 x – (m – 2)x + m – 3 = 0, sea igual a 2. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2
C) 6 ; 2 D) 4 ; 8
31. Calcular “m” si la ecuación: tiene raíces x1 y x2 tal que: A) 5
B) 4
C) 3
E) 6 ; 3
C)
B)
4 5
D) 1
1 1 3 x1 x 2 4
A) 5
C) 1
B) 4
D) 2
E) 3
E) 13
E) N.A. 38. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la fracción:
32. Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación 2 x – 4x + 1 = 0; halle la ecuación cuyas raíces sean:
1
x = 1
1
2 3
2
A) x – 18x + 54 = 0 2 B) x – x – 2 = 0 2 C) x + x – 1 = 0
; está dada por:
1
3
1 1 2 r + y s + r s 2
1 2
1
2
2
A) 3x – 5 = 0 2 B) 5x – 3 = 0 2 C) 3x – x – 5 = 0
D) x + 3 = 0 2 E) x + x + 1 = 0 33. Dada la siguiente ecuación: 2 x + 2px + q = 0; cuyas raíces son x1 y x2. Halle “q” en función de “p” sabiendo que: 3x1 + 5x2 = 8 p – 2 2 A) –63p – 16p + 1 B) C) D) E)
E) 4 5
37. Calcular el valor de “a” en la ecuación: 2 ax – (a – 5)x + 1 = 0 si se cumple que: x1 x2 = x1 – x2 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
2
x + (m + 1)x + m + 3 = 0
D) 2
4 5 5
36. Si (a; b) es el conjunto solución de la siguiente ecuación: 2 x – (k – 3) x + 2k + 5 = 0 determine el valor de k, para que: 2 2 a + 5ab + b = 28
30. Sea la ecuación: x – (n – 4)x + n – 5 = 0 Hallar el valor de “n” para que la diferencia de raíces sea 2. A) 3 ; 6 B) 4 ; 5
1 5
A)
D) 5x – x – 3 = 0 2 E) 2x – 4 = 0
39. ¿Para qué valor de “n” las raíces x1 x2 de la 2
ecuación: 4x + nx + 5 = 0, verifican:
3x1 x 2 8 ? x1 3x 2 4 A) –12
2
63p + 16p – 1 2 –63p + 16p – 1 2 63p + 16p + 1 2 –63p + 16p + 1
C) –6
B) 6
D) 18
E) 12
40. Si x1 x2 son raíces de la ecuación: 2x – x + 3 = 0; 2
calcular:
34. Halle el valor de “k” sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades. 2 x + (2k + 5) x + k = 0 A) 2 B) 3 C) –1 D) –2 E) –3
A)
1 3
-4-
1 x1
1 x2
B)
1 3
C)
1 2
D)
1 2
E)
3 2
Ecuac. Cuadráticas II
