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Nota:
Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable.
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: POLINOMIO MÓNICO: Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico.
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. Ejemplo: 2 P(x) = (n – m) x + (p – q) x, si es idénticamente nulo: n–m=0 m=n p–q=0 p=q
Ejemplos: 2 A(x) = 1 + x + 3x 2 3 B(x) = 7 –2x +x C(x) = x
POLINOMIOS IDÉNTICOS: POLINOMIO ORDENADO: Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente. Ejemplos: 4 2 P(x) = 4x + 12x – 3x + 7 Es un polinomio ordenado respecto a x. 4
5 2
Dos polinomios son idénticos si semejantes tienen coeficientes iguales. Ejemplo: p(x) q(x) p(x)
= = =
sus
términos
2
ax + bx + c 2 dx + ex + f q(x) si se cumple a = d ; b = e ; c = f
descendentemente
7 4
P(x,y,z) = 21xz – 34x y z + 41x y Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z.
1.
Si el polinomio: m+2 3 n–1 m n+3 P(x,y) = x y + x y + x y es homogéneo, el valor de 2m – n es: A) 0 B) 4 C) 7 D) –1 E) –7
2.
Hallar (a + b + c) si el siguiente polinomio es ordenado y completo: a+c 6 5 a+b+1 P(x) = x + 3x – 2x – (a + b + c) x – (b + c) b+c+1 2 x + 7x – 11x + 2 A) –6 B) 4 C) 6 D) –4 E) –2
3.
Si el polinomio: n+3 n+2 n+1 P(x) = 3x – x + x + ...... + 3 es completo, ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es: A) 33 B) 34 C) 39 D) 37 E) 40
4.
Si el polinomio ordenado decreciente y completo: 2a+1 b+3 c+2 P(x) = x + 2x – 3x + …. posee 2c termin0s. Hallar a + b + c A) 14 B) 13 C) 12 D) 15 E) 16
5.
El polinomio: 4 3 2 R(x) = (a – b)x + (b – a)x + (c – a)x
POLINOMIO COMPLETO: Es aquel polinomio que presenta todos exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.
sus
Ejemplos: 3 2 A(x) = 4x + 12x – 7x + 16 3 2 2 3 B(x,y) = x + 3x y + 3xy + y Nota:
Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.
POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad. Ejemplo: 3 12 8 7 15 15 P(x,y) = 3x y + 23x y – 15x – 13y 15 3
15
15
15
2 2
es idénticamente nulo, hallar:
R(x) = 7xy + 8x y 4
4
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
A) 2/3
B) 4/3
C) 4
2 (b c ) 3a D) 1/3
E) 1
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
6.
7.
8.
9.
Si los polinomios: 2 A(x) = ax + (b – 1)x + c + 1 2 B(x) = 3x + 6x + 12 son idénticos. hallar c – (a + b) A) 4 B) 1 C) 2
15. Señale el grado del binomio homogéneo:
A) 3 D) 3
P(x,y) es decreciente y completo respecto a x, y creciente y completo respecto a y. Hallar m + n + p + q + r, si n > 0 A) 16 B) 25 C) 34 D) 43 E) 51
5
3.
El polinomio x + x y + x y , es homogéneo. ¿De qué grado es? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
4.
Dado el polinomio homogéneo:
b
a
a
a+b
2m
a
m
n–1
– 4x y
b
3
a–b
4
b+2
2
2
15–m
– 3y
, hallar el valor de:
2
(m + n) – (m – n) A) 110 B) 120
13. Si el polinomio: 2a+2b–c 2b+2c–a 2c+2a–b P(x,y,z) = Ax + By + Cz es homogéneo. Halle:
C) 240
D) 115
E) N.A.
5.
Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente polinomio homogéneo: 3m+2n 4 2m–1 –3n 2m n+7 P(x,y) = x y + 3x y + 5x y A) 5, –2 C) 2, –5 E) N.A. B) 2, –5 D) –2, 5
6.
Si: ..... 3x y + 5x y + 7x y ... Son términos consecutivos de un polinomio ordenado, homogéneo y completo: Hallar a + b + c. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) N.A.
7.
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
a
I.
(a b)n (b c )n
4
5
b
a–1
3
4
2
3
c
2
4
3a b – 12a b + 5a b + 18b + 2 +
3a b3; es
un polinomio completo respecto a la letra b. 4 5 2 3 II. En 2y + 4y – 6y + 2y + 5y , es de grado 5.
(c a)n B) 2
E) 1
Si Q = ax y + bx y + x y . Es un polinomio homogéneo en “x” e “y”, la suma de sus coeficientes es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13
2
12. El polinomio: 2 2 P(x,y) = (b – c – m )x + (c – a – 2mn)xy + (a – b – 2 2 n )y es idénticamente nulo. Hallar la relación entre a, b y c. A) a + b = 2c D) a + b + c = 0 B) a + c = 2b E) a + b = c C) b + c = 2a
A) 0
D) 5
2.
P(x,y) = x
11. El polinomio: (x – 2) + (x + 2) + x – x es idéntico a 5 3 2 2x + bx + cx + dx, hallar b – c + d. A) 235 B) 228 C) 218 D) 208 E) N.A.
F=
C) 4
a–5
10. P(x) = ax + ax + ….. + ax + ax P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5) términos. Hallar la suma de coeficientes de P(x) A) 40 B) 80 C) 140 D) 180 E) N.A. 5
B) 2
ym
¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio: a+4 a b b+5 P(x,y) = ax + 3x y + bx , si se sabe que el homogéneo? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
3 2 2 P(x,y) = x m y n 4 x 3m 1y 3p 11 x 2q14 y r
a–4
y 2n
nx 2n y
1.
Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 2 4–m m m+1 m–2 m P(x,y) = (3m – n) x y + (n – 9m)x y + m(xy) A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2
2n
E) –1
En un polinomio homogéneo, ordenado y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad? A) 10 B) 13 C) 11 D) 12 E) 8
4m+3
nx m y 3
P(x,y) =
C) 3
D) 4
E) 5
2
III. El polinomio 3a bx + “x”. A) VVV
14. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente. 12–2a 2a–4 4–2a P(x) = x +x +x A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 7
8.
-2-
B) VFV
2a a3 bx2, es completo en
C) VVF
D) VFF
E) FVV
Hallar “m.n.p” para que el polinomio P(x) sea completo y ordenado en forma creciente.
m+2
P(x) = 3x A) –4 9.
n+3
– 5x B) –6
p+4
– 7x C) –8 m–10
a–1
D) 8
E) 4
m–n+5
b–1
c+2
17. P(x) = 2x + (d + 5)x + 5x Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus términos son consecutivos en forma creciente. Hallar a + b + c + d. A) 17 B) 14 C) 24 D) 35 E) 41
p–n+6
Si el polinomio: P(x) = 3x + 2x +x es completo y ordenado en forma descendente. Hallar (m + n – p) A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) N.A.
18. El polinomio: 3a 2 2 2b 3 3 5c Q(x) = (ab – 1)x + (a c – 4)x + (b c – 8)x es idénticamente nulo. Si a > 0, b > 0 y c > 0. Hallar 3a + b + 4c A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
10. Si se sabe que el polinomio: a b c c b a bx + ax y + ax y + cy es homogéneo, completo y ordenado respecto a “x” e “y”. ¿Cuánto vale S = a + 2b + 3c? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
19. Los polinomios: 2 P(x) = (x + 2) + ax + 7n 2 Q(x) = (x + a) + nx + 2 Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a. A) 24 B) 36 C) 15 D) 10
11. Determinar el valor de “m” en el polinomio: m+p p+q q+r r–3 x + x + x + x , suponiendo que es ordenado descendentemente y completo en “x”. A) –1 B) 3 C) –2 D) 4 E) –3
E) 16
20. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105
12. Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo: m+1 a–1 p–2 b–2 R(x) = ax + 2mx – (3p – 1) x + (b – 2) x + 1 A) 11 B) 1 C) –11 D) 14 E) 0
Además:
F(5) = mn
Calcular: E = A) 2
mn
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
21. Calcular E = A + B sabiendo que: 3 2 2 x + 2x – 1 = (x + 1) [Ax + B(x – 1 )] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
E) 4
2
13. Si: P(x+1) = x + x + 1 2 Q(x+2) = ax + bx + c P(x – 1) = Q(x) hallar: A = a + b + c A) 0 B) 1 C) 2
D) 3
E) 4 22. Si el trinomio: a
monomio: A) 7
n+p
c
a
xb
B) 13
b
xb c
c
xac ?
C) 29
D) 33
E) 30
23. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: 2 P(x) = (a+c–3abc) x + (a+c–6abc) x + (b+c–7abc); abc 0 Calcular:
15. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo? m m–2 2 m–4 4 P(x,y) = x + x y +x y + ... Para que sea de grado 40, respecto a “y”. A) 22 B) 20 C) 19 D) 23 E) 21 m+n
b
x a b xb c x a c Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el
14. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo? m m–1 m–2 2 m–1 m P(x,y) = x + x y+x y + ..... + xy +y I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m. III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1) A) Sólo I es verdadera B) Sólo II es verdadera C) Sólo III es verdadera D) Todas son verdaderas E) Ninguna de las anteriores
A) 1
abc M = abc
B) 16
C) 25
2
D) 49
E) 64
24. Se tiene un polinomio P(x,y,z,w) ordenado decrecientemente y consecutivamente con respecto a todas las letras, cuyos grados relativos con respecto a x, y, z, w, de uno de sus términos son 7, 6, 5, 4, respectivamente: Si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 240; el número de términos en P, es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
p+m
16. Si la expresión: A(x,y,z) = x y z Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son tres números consecutivos (en ese orden). Calcular: E = mnp A) 9 B) 12 C) 24 D) 28 E) 29
-3-
25. Si el polinomio: 2a
a
Sabiendo que es completo y ordenado respecto a sus dos variables. A) 6 B) 4 C) 5 D) 7 E) 3
2
P(x) = x a 16 3x (a 1) 5x 2a 2 nx b 1 (n 0 ; b > 0), es completo y ordenado en forma 2 ascendente y tiene 4a términos. Calcular:
M=
A) 1
b
ab
B) 2
a
33. Dado el polinomio ordenado y completo: b a a 5 cxb a a ax a 2a bx 2a 26 3x c 1 abc
b
C) 3
D) 4
E) 5 Hallar el término independiente. A) 13 B) 12 C) 10 D) 14
26. Dado el polinomio homogéneo: 4 2 2 3 P(x,y) = 5x – 3x y + 2xy . Determinar el polinomio P(x,y) que debe agregarse a P(x,y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo tal que la suma de los coeficientes sea 7 y su valor numérico para x = 2, y = –1 dé como resultado 4. 3 4 3 4 A) 7x y – 4y D) 7xy + 4y 3 4 B) 7x y + 4y E) N.A. 3 4 C) 7xy – 4y
34. Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m.n” 2 2 2 2 P(x,y) = (m+n)xy + 2x y – 18xy + (n–m)x y A) 70 B) 79 C) 81 D) 90 E) 80 35. Si el polinomio homogéneo: m+5 n–2 m+4 n–2 P(a,b) = a b +a b + …. Es ordenado y completo con respecto a “a”. Calcular (m + n) si es de décimo grado en “a” y quinceavo grado en “b”. A) 10 B) 12 C) 11 D) 13 E) 14
27. Si se cumple la siguiente identidad: m(x – 2) + n(x + 1) 4x – 17. Hallar m – n. A) 4 B) 10 C) 5 D) 6 E) 4/3
36. Si se multiplica n polinomios de grado n cada uno, y se sabe que el resultado es un polinomio completo, entonces el número de términos del polinomio producto es: n A) 0 C) 2 – 1 E) 4n – 3 2 B) n + 1 D) 3n + 2
28. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio: m+n n m+6 n+4 P(x,y) = 8x y – 5x y si se sabe que el grado respecto a “x” es menor en 2 unidades que el grado respecto a “y”. A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 20
37. Dado el polinomio P(x) completo y descendentemente. Hallar a + b + c + d.
29. Calcular el valor de k + m + n, si P es homogéneo y de grado 17. 2m+3 n+1 m–1 k-2 P(x,y,z) = 5x (3y - x +z ) A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11
38. Dado el polinomio homogéneo: a b+c b c c b d c e d P(x,y) = x +y + x y + x y + x y + x y Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54. El valor de A = a + b + c + d + e es: A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27
5 2 P(x,y) = 3ax n 7 y 2n 3 5 (a b) x a y 2b (11b 7) 2 x 25 y 2n 17
B) 405
C) 40
D) 402
ordenado
P(x) = 2x x d1 3xb c 1 3x a b 4 2x a 3 A) 10 B) 8 C) 9 D) 7 E) N.A.
30. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:
A) 408
E) 11
39. Halle la suma homogéneo: P(x,y)=
E) 407
31. Siendo:
de
coeficientes
del
3
polinomio
3
P(x,y,z) = 3ax a 2 y b 2 2b y a 1zc 3 5c x b 4 zc
5(a n)x n y 5n 2 2(2a 4b n2 )x 3n n y 8
Un polinomio homogéneo de grado “m + 2”. Calcular:
5(b n2 2n) ( xy)a 3b
1 n a
n
A) 39
bn c n
(a b c )n
A) 4
B) 5
C) 2
D) 3
B) 40
C) 38
D) 41
E) N.A.
40. Hallar el menor grado de homogeneidad en el siguiente polinomio (a, b, c, m, n, p N):
E) 1
A(x,y,z) = ab
32. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: a b c d P(x,y) = ax + bcx y + dy
A) 14
-4-
a
x b y 2n
B) 15
b
C) 12
y c z 3m
c
D) 13
z a x 4p
E) N.A.
