Álgebra ELITE Repaso y Regularizacion 11.2

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ET22AX11.2 ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

INECUACIONES EXPONENCIALES Son de la forma: a

f(x)

a

1° caso:

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada (polinomio factorizado).

2° caso:

Para un polinomio P(x) = ax + bx + c  0 y (   0 ) este método es el más indicado 2

 a

g(x)

f(x)

a

a1

g(x)

Si: a  1 , entonces se cumple: a

f(x)

a

g(x)

 f(x)  g(x)

a

f(x)

a

g(x)

 f(x)  g(x)

Si: 0  a  1 , entonces se cumple: a

f(x)

a

g(x)

 f(x)  g(x)

a

f(x)

a

g(x)

 f(x)  g(x)

Ejemplo: Sea P(x) = (x – 3) (x + 1) (x – 6), las raíces son: –1, 3, 6. Ubiquemos estos valores en la recta real. Las raíces del polinomio particiona a la recta  en 4 zonas (intervalos).

1.

Resolver:

x + 3x – 54  0

2.

Resolver:

x – 12x + 35  0

3.

Resolver:

x – 7x + 7x + 15  0

4.

Resolver:

2x + 3x – 17x + 12  0

5.

Resolver:

x5 0 x2

6.

Resolver:

x5 0 x4

7.

Resolver:

x ( x  4) ( x  3) 0 2x

8.

Resolver:

2x  8  –3 x 1

9.

Resolver:

x3 x 1  x2 x4

2

2

Analicemos las variaciones. Factor

x–3

x+1

x–6

3

2

P(x)

Zona

3

2

x  –1 –1  x  3 3x6 x6

–

–1

3

6

+

Si tratará de resolver P(x)  0, tendríamos que el C.S. = Nota. Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos.

10. Resolver.

x + 6x + 10  0

11. Resolver.

x +x+10

12. Resolver:

(6x + 3) (x – 1) (3x – 5) (x + 5)  0

Teoremas del trinomio (+/–) Si el polinomio P(x) = ax + bx + c; {a, b, c}   2

tiene discriminante: (   0 ) A.

(a  0)  P(x)  0;  x  

13. Resolver: B.

2

2

2

7

( x  7) ( x  4)

 P(x)  0;  x  

Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) /  562 - 0305

3

( x  7) ( x  2) ( x  6)( x  8)2

(a  0) 14. Resolver:

2

(0,5)

4x  3 2

 (0,0625)

4

0

3x  2 5

Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) /  261 - 8730

15. Resolver:

x 1 x  3

8

2.

3.

4.

5.

x 1

322x  5

8.

Al resolver en : x + x – 8  x – x – 10 el conjunto solución es: A) { –8; 4 } C)  E) ninguna B) [ –8; 4 ] D) 

9.

Resolver: x + 4x + 4  0 A) ]–, –2[ C) ]–, 2[ B) ]–, –2] D) ]–2, +[

3x  2  5

16. Resolver:

1.



2

2

2

A) B) C) D) E)

Resolver: x + 4x – 45  0 A) x  –, –9  5, + B) x  –, –15  3, + C) x  [–9, 5] D) x  [–15, 3 E) N.A.

x  –3, 4] x  –2, 8 x  –, 2  8, + x  –, 3  5, + N.A.

2

Luego de resolver: –x – 2x + 35  0, se puede afirmar que: A) 1 < x < 3 C) –5 < x < 5 E) –5 < x < 7 B) –2 < x < 3 D) –7 < x < 5 2

Resolver:

2

A) – , –2 +

–4x + 4x + 3  0

x  –1, 3

D) x 

B)

x

1 3  , 2 2

C)

x

 ,

x  –, 9]  [1, + x  –, –6  2, + x  –, –9]  1, + x  –, –9  1, + N.A.

12. Resolver: x + 4x + 2  0, indicando luego como respuesta un intervalo.

2

A)

x9 0 x 1

11. Resolver: A) B) C) D) E)

E) 

x8 0 x2

10. Resolver:

Resolver: x – 7x + 10  0 A) x  –, 2  5, + B) x  [2, 5] C) x  [5, + D) x  , 2 E) N.A.

2

3 ,  2

2]

B) [–2 –

2 , 

C) [–2 +

2 ,2–

D) [–2 –

2 , –2 +

E) [–2 +

2 , 

2]

2]

13. Resolver: x + 8x + 20  0 y dar como respuesta el conjunto solución. A)  D)  2

E) N.A.

3 2

B) – , 2

Resolver: 3x – 10x  – 3 A) 1/3, 3 C)  B) [1/3, 3] D) –, 3

C) – , 2 +

2

E) N.A. 14. Resolver:

6.

Al resolver en : x + 2x + 1  0 el conjunto solución es: A)  C)  – { – 1 } E) { 1 } B)  D) { – 1 }

7.

Resolver: x + 10x + 27  0 y dar como respuesta el conjunto solución.

2

A) B) C) D) E)

E)  2 ,

2 + 3

3 x 2  2x  24 x2  x  2

x  –6, –2 x  –, –6] x  –6, –2 x  –, –6 N.A.

   

0

[5, + –2, 1  [4, + –2, 1 –2, 1  [4, +

2

A) 

C) – ,

5

B) 

D)  5 , –

15. Resolver: (x – 3) (x + 5) (2x – 7) (x – 4)(x –2)  0 A) 3 , 5  7 ,  D) –5 , 3  7/2 , 4 B) –3 , 5  6 , 7 E) –5 , 3  7/2 , 4 – {2} C) –5 , 2  7/2 , 5 2

E)  5 , 5 + 3

-2-

Inecuaciones II

( x  2) ( x  5) ( x  7) 0 ( x  1) ( x  2)

16. Resolver:

22. Resolver: 3 2 x – 3x – 13x + 15  0

x  –, –1  3, 5

A)

x  –3, 1  5, +

x  –, –1  [5, 7]

B)

x  –3, –1  5, +

C) x  –, –1  [5, 7] – {–2}

C)

x  –4, 2  5, +

D) x  –, –2  –2, –1  [5, 7] E) N.A.

D) E)

x  –7, 2  3, + N.A.

A) B)

23. Resolver: 4 3 2 x – 4x – x + 16x – 12  0

17. El menor número natural par “x” que verifica la ( x  4) ( x  2) ( x  5) inecuación:  0, es: ( x  6) (3  x) A) 1

B) 2

C) 3

A) – , 1/3  2 ,  B) – , 1/3]  [2 ,  C) – , 1]  3 , 

B)

x

C) x 

D) – , 1]  [2 ,  E) 

x  –, –4  1, 3  4, +

C) D) E)

x  –, –5  –3, –2  1, 4 x  –5, –3  1, 5 N.A.

3 3 3 3 , 2 2  ,

3 3 2

x  –, 1 

B)

x  –, –1  5, 12

C)

x  0, 1  3, +

D)

x  –1, 0  1, 3

E)

x  0, 1  3, + – {10}

2

A) [–3 , –1]  [3 ,  B) – , 3  4 , 

A) ]4, + [

C) ]1, + [

B) ]–, 1[

D) ]–, 1[  ]4, + [

E) ]–, 4[

26. Resolver: 3x  6 2 x 1

x + x  9x + 9 3

2,

25. Resolver: x2 2 x 1

3 3 ,  2

20. Resolver:

3 5

A) 2

D) x  –, 3  2, + E) N.A.

D)  E) [1 , 3]  3 , 

C) [3 , + 21. De las siguientes inecuaciones: 2 I. x – 4x + 3  0 II.

x  –, –2  1, 2  3, +

B)

24. Resolver: 3 2 2 5 6 (x – 3) (x – 1) (x – 1) x(x –10)  0

2x – 6x + 6  0

19. Resolver: x

E) 5

1997 ( x  2)7 (1  x) (3x  1)8 0 1998

18. Resolver:

A)

D) 4

A)

x – 2x + 1  0 2

III. x + 6x + 12  0 Indicar cuál de ellas tienen el mismo conjunto solución. A) I y II B) II y III C) III y I D) I, II y III E) tienen diferentes conjuntos solución.

A)

x  –, 3  4, +

B)

x  [–4, –1

C)

x  –, 2  5, +

D) E)

x  5, 7 N.A.

2

27. Resolver: x3 x  x4 x6

-3-

A)

x  5, 6  8, +

B)

x  –, 4  6, +

C)

x  –, 3  7, 9]

D)

18 x  –, –6   ,4 7

E)

N.A.

Inecuaciones II

x2

28. Resolver:

x 5

(0,0016) x  3 

34. Resolver la siguiente inecuación exponencial:

(0,2) 4x 1

5 A)

x



62 ,  2  5, + 17

E)

2

A) – , –2  3 , 

D) 2 , 3

B) – , –3  2 , 

E) –3 , –2

35. Resolver:

1  , 3  5, + 5

(0,1)

2x–1

 (0,01)

5x+1

A) – , –3/8

C) 3/8 , 2]

B) [3/8 , 

D) – , –3/8]

E) 

N.A.

29. Resolver:

36. ¿Qué condición debe satisfacer el parámetro “” para que cualquier que sea el valor real asignado a “x” el 2 trinomio x + 2x +  sea mayor que 10?

x 1 x  2x 3x

A)

x  –, –3  2, +

B)

x  –, 3  5, +

C)

x  3, 4  5, +

D) E)

x  [–3, 2] N.A.

A)  > 7

C)   11

B)   5

D) 2    7

3 2x  3 . 3 4  x

30. Resolver:

A)

x

B)

x

3 5x 1

2 1 , 5

  3 2x 1   

x 2

2 1 5

 1  33  1  33 , 4 4

1 ,3 2

N.A.

31. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para 2 que la inecuación: x + 2n x + n  3/16, se verifique para todo valor real de “x”? A) 4  n  5 D) 1/4  n  5/4 B) 1/4  n  1/2

A) ] –, 1 [

C) ] –, 4 ]

B) [ 4,  [

D) ] –, 3 [ x

B)

x   2 +1, 5  6, +

C) x    ,

 3  17   2 

D) x    ,

 3  17   2 

D) –23/2 , 1

33. Resolver la inecuación: A) 1 , 2

C) –2 , 2

B) 0 , 3

D) –1 , 2

 3  17    1, 2 2 

  3  17 , 0   1, 2 2 



2a xa



8a 2

x 2  a2 A) ] –2a, –a [ D) ] a, 4a [ B) ] –2a, –a ]  ] a, 3a [ E) ] a, 5a [ C) ] a, 3a [

E) [–23/2 , 1

3

0,

N.A.

x

2x  23  x + 4 C) –3 , 4

1 2x  2x 3  4x  x 2

x  –, –4  3, 2

xa

B) –1 , 23/2

x  5x  6



E) ] –, 1 ]  [ 4,  [

39. Resolver la inecuación, siendo “a” un número positivo:

E) –1/4  n  3/4

A) 1 , 23/2

2

A)

E)

C) 1/4  n  3/4 32. Resolver:

x 2  5x  4 es real.

38. Resolver:

C) x  3, –3 D) x 

E)   2

37. Calcular el conjunto de valores de “x” para los cuales el número: N=

E)

 5x

C) – , 3  6 , 

B) x  –62, –3  4, + C) x  –15, –6  3, + D) x 

x+6

40. Calcular “m” si la ecuación: 2 x – 2 (m – 1) x + 4m – 7 = 0 tiene raíces reales. A) ] –, 2 ]  [ 4,  [ D) [ 2, 4 ]

x3  7  x – 1 E) –1 , 4

B) ] –, 2 [  ] 4,  [

E) [ –2,  [

C) [ 4,  [

-4-

Inecuaciones II