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Decimos que una sucesión de números están en Progresión Aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) de la progresión.
Si se sabe que a, a y 3a son los tres primeros términos de una progresión aritmética, entonces la suma de los 10 primeros términos es: 2 2 A) 4a – 3 C) 8a + 4 E) N.A. B) 84 D) 110
2.
En una progresión aritmética: t54 = –61 y t4 = 64. Hallar el término t23. A) 111,5 C) 16,5 E) N.A. B) –16,5 D) –111,5
3.
Sea la P.A.: 3 .................. 30 .................. p El número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y “p”; si además, la suma de todos los términos es 570, hallar la razón de la progresión. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
4.
El término de lugar “p” en una P.A. es “q” y el término de lugar “q” es “p”. Hallar el término de lugar “k”. A) p + q C) p + q + k E) pqk B) p + q + 2k D) p + q – k
5.
La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los 3 últimos es 312 y la suma de todos los términos es 1062. ¿Cuántos términos tiene dicha P.A.? A) 11 B) 15 C) 18 D) 19 E) N.A.
6.
En una P.A. se conoce: 2 t1 = x – 3x – 110 y
Ejemplo: 3; 7; 11; 15; .......... 8; 2; –4; –10; .......... a; a+r; a+2r; a+3r; .......... Representación: t1; t2; t3; ......; tn
P.A. de “n” términos
+r Donde:
r = tn – tn–1
La razón (r) se encuentra restando cualquier término menos su inmediato anterior.
Si: r 0 La progresión es Creciente
Si: r 0 La progresión es Decreciente
Propiedades: Término “n – enésimo”
Hallar:
tn = t1 + (n – 1).r
A) 1 B) 2
Término central:
t t tc = 1 n 2
2
1.
Suma de los “n” términos: t t Sn = 1 n n 2
t9 ( x 2) ( x 1)
C) 3 D) 2x + 1
E) 3x – 2
7.
La suma de los tres términos de una P.A. es 33 y su producto 1232. ¿Cuál es la razón de la progresión? A) 8 B) 4 C) 3 D) 11 E) 7
8.
La suma de los 6 términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de sus extremos es 46; encontrar la progresión indicando uno de sus términos centrales. A) 22 B) 23 C) 24 D) 26 E) 27
9.
La suma de los “n” primeros términos de una P.A. es: 2 4n + 2n, para todos los valores de “n”. Determinar el quinto término. A) 28 B) 32 C) 38 D) 40 E) 41
Sn = tc n
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
E=
2
tx = x + 11x – 124
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
1.
Hallar el número de términos en: 1 1 ; ; 1; ; 512 4 2
Decimos que una sucesión de números están en Progresión Geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q) de la progresión.
A) 10 2.
D) 6
E) N.A.
4.
Hallar “x” en la P.G. creciente: (x + 1) ; 3x ; (5x + 2) A) 2 B) 4 C) 16
q=
D) 32
E) N.A.
5.
En una P.G. de cuatro términos, la suma de los 2 primeros es 1 y la suma de los 2 últimos es 16. Hallar el primer término. A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
6.
Hallar la siguiente suma si tiene infinitos términos:
xq tn tn1
La razón (q) se encuentra dividiendo cualquier término entre su inmediato anterior.
A=
1 1 1 1 1 1 2 3 4 6 8 12
A) 2
Si: q 1
Si: 0 q 1 La progresión es decreciente
Si: q 0
B) 2/3
C) 1/3
D) 8/3
E) 4/3
La progresión es creciente 7.
Sumándole un número constante a 20; 50 y 100, resulta una P.G. Hallar la razón. A) 3/5 B) 5/2 C) 2/5 D) 5/3 E) N.A.
8.
En una P.G. decreciente infinita, la suma de los términos es 12, y la suma de los cuadrados de sus términos es 72. Hallar la razón. A) 1/5 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/5 E) 1/2
1.
En una P.A. de 5 términos que suman 25, hallar el término central. A) 3,6 B) 3 C) 4 D) 5 E) F.D.
2.
El producto del primero y el cuarto términos de una P.A. es 136 y la razón es 3. Hallar el primer término. A) 8 B) 10 C) 5 D) 17 E) 18
La progresión es oscilantes
Propiedades: Término “n” – ésimo tn = t1 . q
n–1
Suma de los “n” términos:
q n 1 Sn = t1 q 1
C) 12
P.G. de “n” términos
t1 ; t2 ; t3; ......; tn
B) 36
En una P.G. se conoce: a1 = 1/2 ; a3 = 1; an = 256. Hallar el número de términos. A) 14 B) 18 C) 16 D) 19 E) N.A.
Representación:
E) 14
3
t ; tq ; tq ; tq ; .........
Donde:
D) 13
3.
–1 ; –3 ; –9 ; –27 ; ......... 2
C) 11
El producto de 3 términos de una P.G. es 216. Hallar el segundo. A) 6 6
Ejemplo: 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; .........
B) 12
Suma Limite Sn =
t1 1 q
-2-
3.
La suma de los 9 términos de una P.A. es 27 y la diferencia entre el último y el primero es 16. Hallar el último término. A) –5 B) 5 C) –11 D) 11 E) –16
12. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es 41, y la relación del quinto al séptimo es como 19 es a 25. Determinar el segundo término. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
4.
Dada la siguiente progresión aritmética: P.A. : a7, a8, a9, ................, an–6 Calcular el cociente de dividir la suma de sus términos entre su término medio. A) n – 6 C) 2n – 6 E) N.A. B) n – 3 D) n – 12
13. La suma de 5 términos de una P.A. creciente de términos enteros, es 40; y el producto de ellos es 12320. El quinto término es: A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15
5.
6.
14. La suma de 4 números en P.A. es 48 y el producto de sus extremos es al producto de sus medios como 27 es a 35. ¿Cuál es el mayor de ellos? A) 11 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
Si el primer término de una P.A. creciente de números enteros consecutivos es (k + 1), hallar la suma de los (2k + 1) primeros términos de dicha progresión. 2 2 A) (k + 1) C) (k – 1) E) N.A. 2 B) (2k + 1) D) 2(k + 1)(2k + 1)
15. En una progresión aritmética de 40 términos se sabe que la suma de los extremos es 4 y el producto de los 2 términos centrales es 3. Hallar el mayor de estos 2 términos centrales. A) 3 B) 8 C) 10 D) –1 E) N.A.
Calcular la suma de todos los números mayores que la unidad en la P.A. siguiente: (8,04), (7,92), (7,8) ...... A) 264,48 C) 269,04 E) n.a. B) 284,06 D) 324,01
7.
Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar a sus soldados en triángulo de manera que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. Hallar el número de filas. A) 155 B) 33 C) 91 D) 77 E) N.A.
8.
Se tienen 3 números consecutivos. Si al menor se le multiplica por 3, al intermedio por 7 y al mayor por 10, se obtienen 3 números en P.A. ¿Cuál es la razón? A) 22 B) 43 C) 31 D) 17 E) 28
9.
La suma de términos de una P.A. es 425 y su término central es 17; determinar su número de términos. A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 28
16. Un móvil avanza en cada segundo 1 metro más que en el segundo anterior. Si después de “n” segundo a recorrido “m” metros y después de “2n” segundos avanza “3m” metros, ¿cuántos metros habrá recorrido en “3n” segundos? A) 3m + 1 C) 4 m E) 6m + 1 B) 3m + 2 D) 6 m 17. Calcular el decimosexto término de una P.G. cuyo 1 primer término es y su razón 2. 1024 A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) N.A. 18. Si el segundo término de una P.G. es “m” y el tercero es “n”, hallar el primer término. A) 1
10. En una P.A. el primer término es 12 y la suma de los nueve primeros términos es 252; en otra P.A. el primer término y la razón son iguales a 6. Determinar cuál es el término que en ambas progresiones es igual y ocupa el mismo lugar. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) N.A.
B)
n m
C)
m2 n
D)
n2 m
E)
n2 m2
19. El primer término de una P.G. es 2 y el quinto es 512. Hallar la suma del segundo, tercero y cuarto término. A) 128 B) 256 C) 168 D) 186 E) N.A.
11. En la siguiente P.A.: ....... 5, ....... 47 ....... 159, el número de términos entre 47 y 159 es el triple que el número de términos entre 5 y 47. Hallar la razón. A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
20. Dos P.G. decrecientes al infinito, tienen la misma suma de términos. La razón de la primera es 4/5 y su primer término es igual a la mitad del primer término de la segunda progresión. Hallar la razón de la segunda progresión. A) 5/3 B) 3/5 C) 2/5 D) 1/3 E) 2/3
-3-
21. Hallar 2 términos consecutivos de la progresión: 7; 21; 63; ....... cuya suma sea 2268. (Dar como respuesta la posición que ocupa el mayor de estos 2 términos). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
32. Si se sabe que la siguiente es una P.G.: x–4; x ; x+2; y además que: y+1; 3y; 9y–6 forman también una P.G. hallar “z” si se tiene que: x; y; z forman una P.A. A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) N.A.
22. Si: a, a + 2 y 3a + 2 son 3 términos consecutivos de una P.G. Hallar el quinto término de la siguiente P.G.: a, 3a, ............................................... A) 162 B) 81 C) 18 D) 2 E) N.A.
33. En una P.G. de 6 términos, la suma de los tres primeros es la mitad de la suma de los tres restantes. Hallar la razón. A)
23. En una P.G. cuál es el producto de los términos si el primero es 2 y el último es 64 y son seis en total. 21 7 9 10 12 A) 2 B) 2 C) 2 D) 2 E) 2
B)
4
3
C)
3
D)
2 2 3
E)
x
A)
5
B) 4
25. La suma de los dos primeros términos de una P.G. decreciente es 4 y la suma de sus infinitos términos es 9/2. Determine la razón. A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 1/4 E) 1/9
2 5
4
C) 2 D)
5
3
2
34. Dada la siguiente P.G.: 2 ; 2 séptimo término.
24. Se tienen 5 números en P.G. La suma de los 4 primeros es 40 y la de los 4 últimos es 120. Hallar el mayor de estos 5 números. A) 81 B) 27 C) 40 D) 80 E) N.A.
3
5
2x–1
8
;4
4x–2
; ........ Hallar el E) 2
5
2
16
35. Dada la P.G.: 0,5 : a2 : 1 : ....... : 256. Hallar el número de términos. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 36. Una progresión geométrica tiene cuatro términos. Encontrar el tercer término de esta progresión si se sabe que la razón es igual a 1/4 del primer término y que la suma de los dos primeros es igual a 80. A) 256 C) –500 E) N.A. B) 1042 D) a y b
26. La suma de 3 números en P.G. es 70; si los extremos se multiplican por 4 y el medio por 5, los productos están en P.A. El mayor de ellos es: A) 35 B) 36 C) 40 D) 45 E) N.A. 27. Hallar el término central de una P.G. en la que la diferencia entre el tercer y el primer término es igual a 9, y la diferencia entre el quinto y el tercer término es igual a 36, si la progresión tiene 7 términos. A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 27
37. En una progresión geométrica el tercer número es a/3 y el quinto A) 6 2
28. En una P.G. de 6 términos en la cual el primero es igual a la razón y la suma del primer y tercer término es 30. Calcular la suma de los extremos. A) 720 B) 725 C) 730 D) 732 E) N.A.
B) 6 2 a
8 a. Hallar la razón. C) 3 + 3 D)
4
E) N.A.
72
38. La suma de los tres términos de una progresión geométrica es 248 y la diferencia de los términos extremos 192. Hallar el tercer término. A) 190 B) 210 C) 200 D) 202 E) 204
29. En una P.G. de 5 términos la suma de los tres primeros es 168 y la suma de los tres últimos es 672. Obtener el término central. A) 96 B) 336 C) 84 D) 142 E) 420
39. En una P.G. de 6 términos la suma de los seis términos es 28 veces la suma de los tres últimos. Hallar la razón. A) 1/2 B) 1/5 C) 1/3 D) 1/4 E) N.A.
30. Si a los números: 5, 35 y 125 se les agrega una misma cantidad, resulta un P.G. Hallar la suma de los tres términos de dicha progresión. A) 165 B) 180 C) 195 D) 210 E) N.A.
40. Hallar la suma límite de: 1 2 1 2 1 2 S = 7 7 2 73 7 4 75 7 6 A) 1/8 B) 3/16 C) 4/7 D) 1/7 E) N.A.
31. El cociente entre el cuarto y el primer término de una P.G. es igual a 8 y su suma es 45. Hallar la suma del segundo y tercer término. A) 45 B) 40 C) 30 D) 35 E) N.A.
-4-
