ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ET22AX3.2 ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
Continuando con los productos notables tenemos lo siguiente, recordando que está implícita la propiedad distributiva de la multiplicación.
1.
Si: m + n + p = 0
(m3 n3 p 3 )2
Hallar:
m 2n 2p 2
PRINCIPALES IDENTIDADES: 2.
a2 b2 c 2 a2 b2 c 2 E= ab bc ac bc ac ab
Desarrollo de un trinomio al cuadrado: 2
2
2
Calcular el valor de:
2
(a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ac)
Para
a=
5 3
b=
2 5
c=
3 2
Desarrollo de un trinomio al cubo: 3
3
3
3
(a+b+c) = a + b + c + 3(a+b) (b+c) (a+c) 3 3 3 3 (a+b+c) = a + b + c + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc 3
2
2
2
3
3
3.
Si se cumple: 2
(x + y + z) = xy + xz + yz calcular:
3
(a+b+c) = 3(a+b+c) (a +b +c ) – 2(a + b + c ) + 6abc Identidad trinómica (Argan´d): 2
P
2
4
2
(x + x + 1) (x – x + 1) = x + x + 1 2 2 2 2 4 2 2 4 (x + xy + y ) (x – xy + y ) = x + x y + y
4.
Calcular abc, sabiendo que: a + b + c = 15, 2 2 2 a + b + c = 93, 3 3 3 a + b + c = 645
5.
Sabiendo que:
IGUALDADES CONDICIONALES: Si: i. ii. iii.
x ( x y ) y( y z) z (z x)
a + b + c = 0 , se cumple: 3 3 3 a + b + c = 3abc 2 2 2 a + b + c = –2(ab + ac + bc) 2 2 2 2 (ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac)
4 4 4 4 a b a b a b = – c
Halle: Nota:
(a2 b2 c 2 ) (a3 b3 c 3 )
Sean: a; b; c y m; n N a
2n
2m
+b
abc (ab ac bc )
=0 a=b=0 6.
2
2
2
2x – 4x + 4 + y – 2xy = 0
a + b + c = ab + bc + ac a = b = c 2
Si x; y , cumple la igualdad:
2
Dar el valor de: EQUIVALENCIA DE GAUSS:
3
3
3
7. 2
2
Dado:
2
a + b + c – 3abc = (a + b + c)[ a + b + c – (ab + bc + ac )] Halle:
Av. La Mar 2220 – San Miguel (Al costado de la “PRE”) / 562 - 0305
x
y3 4
a+b+c = 1 ab + bc + ac = 0
(ab)2 (bc )2 (ac )2 abc
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) / 261 - 8730
8.
Si: x, y z son números reales: x + y + z = 3xyz ; x + y + z 0 3
3
3
x 3 y 3 z3
hallar el valor de:
9.
( x y z) 3
1.
Si xy + yz + xz = 0 3 3
hallar:
E=
3 3
3 3
x y y z x z x 2y 2z2
Efectuar: 2 2 4 2 (a + a + 1 ) (a – a + 1 ) (a – a + 1 ) 8 4 8 4 8 4 A) a + 3a + 1 C) a + a – 1 E) a + a + 1 4 2 8 4 B) a + 3a + 1 D) a – a + 1
3.
Efectuar: 2 2 2 2 4(x – x + 2) – 3(x + 2x – 3) 4 3 2 A) x – 20x + 26x + 20x – 11 4 3 2 B) x + 20x – 26x – 20x + 11 4 3 2 C) x – 20x – 26x + 20x – 11 4 3 2 D) x + 20x + 26x – 20x + 11 E) N.A.
4.
Simplificar: 2 2 2 2 (a+b) (a – ab + b ) + (a–b) (a +ab+b ) + 2(ab+ac+bc) 2 2 2 +c +a +b 3 3 2 3 2 2 2 A) 2(a +b ) + (a+b+c) D) 2b – a + b + c 3 3 2 2 2 3 2 B) 2(a –b ) – (a +b +c ) E) 2a + (a + b + c) 3 2 2 2 C) 2a + a + b + c
5.
Hallar el polinomio que al ser elevado al cuadrado dio
2
11. Reducir: "n" factores n 1 n 1 2 2 2 x xy y x xy y 2 x 4 x 2 y 2 y 4 x 2 y 2
x
2n 1
y
2n 1
Si: n = 5; resulta:
12. Si: a + b = c b+c=a c+a=b reducir:
E) N.A.
2.
10. Hallar:
(a b 2c ) (a c 2b) (c b 2a) S= 3 3 3 (a b 2c ) (a c 2b) (c b 2a)
Efectuar: 2 2 (x + y – 2z) – (x – y – 2z) A) –4xz – 4yz C) 4xy – 4xz B) 4xy – 8xz D) 4xy – 8yz
a 3 (a3 2b 3 ) b 3 (b 3 2c 3 ) c 3 (c 3 2a 3 ) 3abc
13. Si: abc 0 y
ab c
entonces halle:
3
3
ac b
bc
como resultado: 2 2 2 a + b + 4c – 2ab – 4ac + 4bc A) a – b + 2c C) a – b – c B) a – 2b + c D) a – b – 2c
=a+b+c
a a 77 b 77 c 77
(a 7b 7 a 7 c 7 b 7 c 7 ) . (abc )21 6.
3
14. Si: a + b + c = 4abc 2 2 2 a + b + c = (ab + ac + bc) + 1 a
Calcular:
E=
xb c
b
xc a
c
xa b
15. Dadas las condiciones: 3 3 3 a + b + c = 2 (a + b) (b + c) (a + c) a+b+c = 1, calcular el valor de:
M
Reducir: 2 2 2 E = (a + 2b + 3c) + (a – 2b + 3c) + (a + 2b – 3c) 2 – 3(–a + 2b + 3c) A) Cero D) 16ab – 48bc + 24ac B) 2ab – 6bc + 3ac 2 2 2 C) a + 4b + 9c
xab xbc xac
7.
A) 1
-2-
E) 14ab + 12bc + 6ac
Si: a + b + c = 0, calcular: P=
1 5abc ab ac bc
E) a + b – 2c
(a b)3 (a c )3 (b c )3 (a b) (a c ) (b c )
B) 3
C) 1/3
D) 9
E) 1/9
Productos Notables 2
8.
Reducir:
17. De las condiciones: a+b+c =2 3 3 3 a +b +c =8
(a b 4c )2 (b c 4a)2 (c a 4b)2
P=
a2 b2 c 2
si se sabe que: a + b + c = 0 A) 1 9.
B) 9
C) 16
D) 25
E) N.A.
Si: a + b + c = 0, calcular: 2
2
2
2
A) 1/3
C) –1
B) 1
3
3
D) 2
E) 1/2
D) 1/6
E) 1
3
2
2
2
(a – b) + (a – c) + (b – c) = 36
B) –1
A) 1
N=
18. Si: a + b + c = 0, además:
2
a b c ab ac bc
E=
ab ac bc abc
Hallar el valor de:
D) –2
C) 2
1
halle:
E) N.A.
ab
2
19. Teniendo 2
1 bc
1 ac
B) –1/3
A) 1/3
10. Si: a + b + c = 49. Calcular: 2 2 2 2 C = (a + b) + (a + c) + (b + c) – (a + b + c) A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49
2
en
C) –1/6
cuenta
que: a + b + c = 12,
2
a + b + c = 100, hallar ab + ac + bc A) 44 B) 20 C) 28 D) 22
E) N.A.
11. Si: a = 3 2 + 5; b = 2 – 5 2 ; c = 2 2 – 7 2
Hallar: A) 4
M=
2
4a (2b) bc ac
B) 3
2c
C) 7
2
ab
D) 12
A) 9
21. Si: (a + 2 ab + b)( a – 2 ab + b) = 0, calcular: E=
x 5 y 5 z5
A) 1
( x y z) 5
B) 3
C) 1
D) 1/3
E) 1/9
( x y ) 3 ( y z) 3 ( z x ) 3 9 ( x y ) ( y z) ( z x )
2
2
D) 1/4
E) 1/3
23. Si:
ab3 a2b2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 6
C) 3
D) 0
E) N.A.
z y x = 1; x, y, z xy xz y z
2
14. Si: a + b + c = 2 ab + bc + ac = 3 2 2 2 halle: (a – b + c) + (a + b – c) + (a – b – c) A) 0 B) 1 C) 6 D) 2 E) 5
K = (x +
x + 1) (x –
A) x
B) 2x
x + 1) – (x – 1)
C) 3x
2
D) 4x
B) 0
A) 1/2
C) 1
E) 5x Para:
16. Simplificar: (a, b, )
a ab b
E=
B) 1/3
S=
+
a 2 ab b 2
A) 0
a ab b
3xy z( x y z)
D) –1
E) –1/3
x ( x y z) y ( y xz) z (z xy) x ( x y z) y ( y xz) z (z xy)
x y z =1 yz xz xy
B) 1
D)
ab
D) –1
C) 2 3
C) b
x 4 y 4 z4
hallar el valor de:
24. Calcular el valor de:
15. Efectuar abreviadamente:
A) a
a3b b4
a2 b2 c2 bc ac ab
A) 8
C) 1/2
ab
B) 2
hallar:
B) 2
a 5b
22. Si a + b + c = 0
13. Reducir:
A) 1
2
E) 1
12. Sabiendo que: 2 2 2 (x – y) + (x – z) + (y – z) = 0 calcular:
2
20. Sabiendo que a + b + c = 20, a + b + c = 300 2 2 2 Hallar (a + b) + (a + c) + (b + c) A) 900 B) 700 C) 500 D) 300 E) 100
4
3
E) –2
3
25. ¿A qué equivale: a + b + c – 6abc? Si se cumple: a(a – b) + b(b – c) + c (c – a) = 0
E)–2 ab
-3-
Productos Notables 2
y
3
A) –3abc 3 3 3 B) a + b + c
C) (a + b + c) D) 0
33. Si a – b = b – c = 2, hallar el valor de: 2 2 2 a + b + c – ab – bc – ac A) 4 B) 8 C) 12 D) 16
E) abc
E) 20
26. Hallar el valor numérico de: 2
2
2
x + y + z – 2xy – 2yz + 2xz Para:
2 3
x=
A) 5 B) 4 –
3
;
34. Si: x =
2 5
y=
C) 4 –
6
D) 8 –
3
;
z=
E) 8 –
3
2 3 –
y=
6
z=2–
2
7 –
2
2
7
2
2
y + 2xz = 2 – z + 2xy = 2 +
A) 2
halle: x + y + z, si: x, y, z A) 0
–1
28. Si: (a – b)
+ (b – c)
–1
2
2
Calcular: P = A) 1
–
E) –3
D) 1
+ (c – a)
–1
=0
a2 bc
C) –2
6 , y=
10 , z =
B) 60
C) 90
A) 30
D) –1
C) 1
E) 3
B) 32
C) 16
D) 8
E) 4
D) 0
E) 6
36. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:
2
D) 1/2
E) –1
b2 ac
c2 ab
B) –3
C) 1
37. Efectuar: 3 3 (a + b + c) – (a + b) – 3c (a + b + c) (a + b) 3 3 3 3 A) a B) c C) b D) 8c E) N.A.
15 D) 180
A) 3
29. Calcular el V. N. de: 3 2 2 2 3 3 3 E = (x+y+z) – 3(x+y+z)(x +y +z ) + 2(x +y +z ) Si: x =
B) 5
A) 64
a b c ab bc ac
B) 2
3xy(z 2) y 3
35. Hallar el valor de: (a + b) (b + c) (a + c) A partir de estas condiciones: a + b + c = 6 3 3 3 a + b + c = 24
C) –2
B) 2
3
( x z 2) ( x 2 x (z 2) (z 2)2 )
Calcular: 27. Si: x + 2yz =
2
E) 240 38. Si:
30. Calcular: xyz, si x, y, z se sabe que: xy + xz +
2
2
2
3
3
a+ Calcular:
yz
A) 3
zx
x Hallar el valor de:
xy
y S=
z A) 1
B) 1/2 3
3
9
z
y
C) 3
y x
D) 5
E) –1
a+b+c0 n
A) 1
n
A) a + b + c B) ab + bc + ac 2 2 2 C) a + b + c
n
a b c E = n 1 (a b c )n
B) –1
B) –3
b ac
C) 1/3
c ab
D) 8
E) 1/8
D) 300
E) 209
40. Proporcionar la raíz cuadrada de: 2 2 2 2 2 2 2 2 (a +b +c +ab+bc+ac) – (a+b+c) (a +b +c )
3
32. Si: a + b + c = 3abc
hallar:
a
39. Si: a + b + c = 5 2 2 2 a + b + c = 41 2 2 2 2 2 2 a b + a c + b c = 184 3 3 3 calcular: a +b +c A) 12 B) 256 C) 169
z x
P=
bc
31. Si: x + y + z = 0 Además:
bc
ac = b +
3
+ yz = 3 , x + y + z = 30 , x + y + z = 132 A) –10 B) 10 C) –12 D) 12 E) N.A.
C) 2
D) –2
D) 2 (ab + bc + ac) 2 2 2 E) a + 2b + c
E) 1/3
-4-
Productos Notables 2
