TEMA: Trabajo de Investigacion Teoria de Colas INTEGRANTES: Amanda Benedict Sara Vasquez Andrés Palacios MATERIA: Investigación de operaciones PROFESOR: Julio Cesar Benalcázar FECHA: 22/03/13
CUARTO AÑO DE ING. COMERCIAL
Líneas de Espera (Teoría de Colas) Las líneas de espera (también llamado Teoría de Colas) son modelos matemáticos que detallan los sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Estos modelos sirven para encontrar el comportamiento de “estado estable”, como la longitud
promedio de la línea (cola) y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. En otras palabras, las líneas de espera son construidas para poder predecir los tiempos de espera o las longitudes de colas. Por eso se los describen c omo “sistemas de procesamiento", porque es más amplio e incluyen las varias etapas de diferentes procesos de: fabricación, oficinas, tiendas, aeropuertos, etc.) En el caso del procesamiento de solicitudes de préstamos préstamos en los bancos, se forman "redes de colas" colas" Uno de las dificultades es determinar la capacidad o tasa de servicio que se puede proporcionar el balance correcto. Esto no es sencillo, porque, por ejemplo, los clientes no saben llegar en un horario fijo, y ni se puede saber si van a llegar clientes. El tiempo de servicio tampoco tiene horarios ni tiempos fijos. Entonces hay que utilizar la información existente para mejor poder determinar la capacidad para el servicio apropiado.
Esquema Simple de un Sistema de Colas :
Diferentes problemas relacionados a los sistemas de colas Algunas de las razones que existen dificultades durante la espera es porque las instalaciones de servicio operan en forma aleatoria: no existe forma de conocer cuando llegara el cliente, ni cuanto durara su tiempo de servicio. Si es que las instalaciones tendrían esta información, podrían eliminar la espera por completo. Las colas están relacionadas con procesos que tienen variabilidad en las llegadas de los clientes, productos o trabajos al sistema.
1. PROBLEMA DE ANALISIS- Es saber si un sistema dado está funcionando satisfactoriamente. Esto se puede identificar utilizando las siguientes preguntas : a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? b) ¿Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o en procesar un producto? c) ¿Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila? 2. PROBLEMAS DE DISEÑO- Relacionados a las características de diseño del sistema. a) ¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? b) ¿Los clientes esperaran en una fila o en varias filas? c) ¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan esperar?
Estructuras típicas de Colas.
Situación
Llegadas
Cola
Supermercado Bancos Compañía telefónica Fabrica
Clientes Clientes Números marcados Subensamble
Hospital
Pacientes
Colas en caja Colas en caja Llamadas Inventario en proceso Personas enfermas
Mecanismo de Servicio Cajeros Cajeros Conmutador Estación de trabajo Hospital
Características y Componentes de un Sistema de Colas Para realizar este análisis, se emplea técnicas estadísticas, matemáticas y económicas. Las técnicas que se utilizan depende de qué tipo de sistema pertenece el línea de espera. Existen muchos tipos de sistemas como tantas combinaciones posibles de tipos de
componentes.
Servidores Clientes
SISTEMA
1. Población de Clientes: Son todos los clientes posibles. En esta etapa hay que determinar el tamaño de la población de clientes. Esto puede ser llamado fuente de llamadas o fuente de llegadas de clientes. a. Población infinita para fines prácticos. . b. Hay una diferente metodología para el análisis de poblaciones finitas. c. Existe una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegada de nuevos clientes 2. Proceso de Llegada: La manera en que llegan los clientes. Los características son el tiempo entre la llegada (dos llegadas sucesivas) y el número de llegadas. a. Determinantico- Es el tiempo en que llegan los clientes sucesivos en un mismo intervalo de tiempo fijo y conocido. b. Probabilístico- Tiempo en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. 3. Proceso de Colas: El método en que los clientes esperan para ser atendidos. a. Sistema de colas de una fila, servidores en paralelo b. Sistema de colas de múltiples filas, con servidores en paralelo. Una característica importante es la “Disciplina de colas”, la forma en que los
clientes esperan para ser atendidos o la forma como se elige a los clientes de la línea de espera para dar inicio al servicio. Algunas formas de disciplina de colas o de servicio a. FIFO: Los clientes son atendidos en el orden en que van llegando a la fila. b. LIFO El cliente que ha llegado más recientemente es el primero en ser atendido. c. SIRO (servicio en orden aleatorio). d. PRIORIDAD.- Los clientes son atendidos por prioridades.
4. Proceso de Servicio: El diseño de la instalación y la ejecución del servicio a. Puede existir una estación de servicio: Sistema de canal sencillo o en Serie b. Puede existir más de una estación de servicio: Sistema de canal múltiple(En serie y en paralelo) En cualquiera de los casos todos los servidores "ofrecen el mismo servicio" Algunos ejemplos del Proceso de Servicio
Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de las siguientes figuras:
El primer sistema: Se llama un sistema de un servidor y una cola. Ejemplos son el lavador de carros o muelle de descarga. El segundo sistema: Una línea con múltiples servidores, los clientes toman un turno cuando entran y son servidos cuando llega su turno. Ejemplos pueden ser una peluquería o panadería.
El tercer sistema: Cada servidor tiene una línea de separada. Ejemplos son los bancos y tiendas de autoservicio. El cuarto sistema: Línea con servidores en serie, Ejemplo puede ser una fábrica. 5. Proceso de Salida: Existen 2 tipos: a. Colas de un Paso: El cliente abandona el sistema, luego de ser atendido b. Red de Colas: Los clientes/productos reciben un servicio, pero se trasladan a otro para ser sometidos a otro proceso.
Algo que es importante notar es que los modelos de espera representan diferentes situaciones en donde los seres humanos son clientes y/o servidores, y es necesario diseñarlos tomando en cuenta el efecto de la conducta del ser humano, aunque no es posible tomar en cuenta el comportamiento individual de los clientes.
Clasificación de los Modelos de Colas La clasificación de los modelos está basado en componentes (elementos) básicos de un sistema de espera. Se puede determinarlo con los siguientes factores: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Distribución de llegadas (llegadas individuales o masivas en grupo) Distribución del tiempo de servicio (servicio individual o masivo) Diseño de la instalación de servicio (en serie, en paralelo, en red) Disciplina de servicio(FIFO, LIFO, SIRO, Prioridad) Tamaño de la línea de espera (finito o infinito) Fuente de llamadas (población de clientes finita o infinita) Conducta humana (cambios, renuncias)
Existen tantos modelos de espera como variaciones de los factores citados Para aplicar las técnicas apropiadas, se debe identificar las características del sistema de colas. La clasificación se realiza empleando letras y/o símbolos.
Notación (basado en Kendall, 1953) La notación, que está basado en Kendall (1953), es utilizada para resumir las características principales de las líneas de espera. La fórmula para esto es:
a/ b /c : d /e /f Donde:
a = Distribución de llegadas: Proceso de llegadas b = Distribución del tiempo de servicio (o de salidas): Proceso de servicio
c = Número de servidores en paralelo ( c = 1, 2, 3, ..., ) d = Disciplina de servicio (FIFO, LIFO, SIRO o prioridad = Disciplina General, DG) e = Número máximo admitido en todo el sistema (en la línea de espera mas en el servicio) f = Tamaño de la población de clientes (fuente de llamadas finita o infinita)
La distribución de llegadas(a) y del tiempo de servicio (b) se reemplazan por los códigos siguientes: M, D, Ek, GI, o G (cualquiera de los 5 códigos), y significan lo siguiente:
M = Distribución de llegadas o salidas de Poisson (proceso de Markov), o lo que es lo mismo, distribución exponencial entre llegadas o tiempos de servicio D = Tiempo entre llegadas o de servicio son constantes o deterministas Ek = Distribución Erlang o Gamma para la distribución del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio, con el parámetro K GI = Distribución de llegadas o del tiempo entre llegadas es general independiente G = Distribución del tiempo de servicio o salidas es general (no independiente)
Para indicar que es una disciplina general en la “Notación Kendall”, se utiliza el “DG” en
una disciplina de servicios. De estos, puede ser el FIFO, LIFO, SIRO o cualquier de los procedimientos que utilizan los servidores que deciden el orden en que se escoge los clientes en la línea de espera antes de iniciar el servicio. Ejemplo: M/ D / 15 : DG / N / ∞
M: Tienen llegadas tipo Poisson (proceso de llegadas markov); D: Tienen tiempo de servicio o de salidas determinantico (constante); 15: Tienen 15 servidores en paralelo; DG: La disciplina de servicios es general; N: El sistema sólo puede alojar a un máximo de N clientes;
∞: Tienen una población de clientes infinita o que la fuente que genera los clientes
que entran en la instalación tiene una capacidad infinita
Selección y Evaluación del Sistema de Colas Se aplica el sistema de líneas de espera para seleccionar el modelo apropiado y esto implica 2 aspectos importantes: 1. Selección del modelo matemático adecuado, con el fin de poder determinar las medidas de desempeño del sistema. 2. Implantar un modelo de decisión basado en la medición del desempeño del sistema para diseñar un buen instalación de servicio.
La Selección del modelo para analizar una línea de espera se lo determina básicamente por las distribuciones de los tiempos de llegada y los tiempos de servicio. Para establecer las distribuciones se observa las líneas de espera durante su operación y se registra l os datos correspondientes de ahí surgen 2 interrogantes:
¿Cuándo observar? El sistema debe estar en funcionamiento normal, aquí se pueden observar y resumir los datos durante los periodos de mayor actividad. Por lo que se deben considerar:
Condiciones extremas como mayores tasas de llegadas (mayor numero de clientes, productos/unidad de tiempo) Condiciones normales cuando el sistema está en un comportamiento o fase estable. Esto significa que el tiempo de espera por cada cliente o producto es similar.
Los sistemas de colas pasan por 2 fases básicas:
¿Cómo registrar los datos? La recolección de datos se puede dar por:
Método 1: medir el tiempo entre llegadas o salidas sucesivas para determinar los tiempos entre arribos o servicios. Por ejemplo: al momento de salir una persona entran 2 personas más.
Método 2: contar el número de llegadas o salidas durante una unidad de tiempo seleccionada. Por ejemplo: cuantas personas salieron del lugar en una hora.
¿Qué se puede utilizar para la medición?
Cronometro Dispositivo de registro automático Personas controlando actividades
La información se debe resumir de una forma adecuada para luego determinar la distribución asociada. Se puede utilizar el proceso de Poisson que es un procedimiento de tiempo continuo que consiste en contar eventos raros que ocurren a lo largo del tiempo.
Indicadores para evaluar el rendimiento de un Sistema de Colas
Significados: W = tiempo promedio en el sistema Wq= tiempo promedio de espera en cola L= numero promedio de clientes en el sistema Lq= numero promedio de clientes en la cola
Definiciones importantes
Modelo Básico Considerando una maquina XEROX localizada en una oficina en el 4to piso. Suponiendo que los usuarios llegan a la maquina y forman una sola cola. Cada uno de lo s que llegan a utilizar la maquina por turno para llevar a cabo una tarea especifica. Estas tareas varían desde obtener una copia de una carta de una paginan, hasta la producción de 100 copias. Este sistema se conoce como sistema de colas de un solo servidor o canal. Cualquier sistema de colas de espera se centra en 4 cantidades: 1. El numero de personas en el sistema: personas que están siento atendidas en el momento, como las que están esperando del servicio 2. La cantidad de personas en la cola de espera: las personas que están esperando el servicio 3. El tiempo de espera en el sistema: el tiempo que la persona entra y sale del sistema 4. El tiempo de espera en la cola: tiempo que transcurre desde que se entra al sistema hasta que el servicio inicia.
Suposiciones del modelo básico
1. Proceso de llegadas : a cada llegada se le llamará “trabajo”. Se suele utilizar la distribución exponencial (2/3 de las observaciones bajo la media, 1/3 por encima de ella) que sirve para describir muchos servicios (cajeros bancarios, empleados de correos). Al sacar un promedio siempre suele haber resultados que sesgan el estudio. Se utiliza la palabra entrada de Poisson para describir el proceso de llegadas, esto se da cuando hay un número de llegadas en un periodo específico. Esta distribución exponencial se la define con el signo ƛ. Además, el tiempo medio interarribos es el tiempo promedio entre dos llegadas. Por lo tanto: Asumiendo que ƛ =0,05 Tiempo promedio entre trabajos = tiempo medio interarribos =1/ ƛ Tiempo medio interarribos = 1/0,05 = 20 minutos
2. Proceso de servicio : también se lo trata mediante la distribución exponencial. Se define esta distribución exponencial con el signo µ, que representa la tasa media de servicio de trabajos por minuto. O sea µT es el número de trabajos que sería atendidos en promedio durante un periodo de tiempo T minutos si la maquina estuviera ocupada durante ese tiempo. Ahora asumimos que µ =0,10. Lo que significa que 0,10 del trabajo total es efectuado en un minuto. Así diríamos que se completa un trabajo cada 10 minutos. La media/promedio del tiempo de servicio = 1/µ = 1/0,10 = 10 minutos
3. Tamaño de la cola de espera: se dice que este dato es infinito por que no hay límite en el número de trabajos que pueden estar en cola de espera. 4. Disciplina en las colas de espera: los trabajos se atienden en el mismo orden en que llegan a la cola de espera (PEPS) 5. Horizonte de tiempo: la operación del sistema se considera como si ocurriera continuamente en un horizonte infinito. 6. Población fuente: existe una población infinita susceptible de hacer un arribo.
Causas de los fenómenos de espera
<µ tiempo promedio interarribos < tasa media de servicio de trabajos por minuto. Esto es válido ƛ >µ tiempo promedio interarribos > tasa media de servicio de trabajos por un minuto. El número de personas en la cola de espera crecerá sin límite. ƛ
En el ejemplo anterior, suponiendo: ƛ
= 0,25; µ = 0,10
ƛ
= 1/0,25 = 4 minutos. Un trabajo llega cada 4 minutos
µ = 1/0,10 = 10 minutos. En promedio toma 10 minutos hacer un trabajo.
Así, conforme pase el tiempo la operación de servicio se atrasará más y la cola de espera crecerá.
El proceso de nacimiento – muerte
Para la construcción de los modelos de colas es necesario que ocurra el proceso de nacimiento y muerte. Según este principio: Tasa de entrada = Tasa de salida
Diagrama de Transición de Estados:
Características del Modelo Básico Característica Utilización
Símbolo -
Fórmula
Número esperado en el sistema
L
Número esperado en la cola de espera
Lq
Tiempo de espera promedio (incluyendo tiempo de servicio)
W
Tiempo esperado en la cola de espera
Wq
Probabilidad de que el sistema esté ocupado
P0
Ejemplo de cálculo del Método M/M/s
Resultado del Estado Estable
L =es el numero esperado de personas en el sistema, o sea aquellos que están siendo atendidos más aquellos que están esperando. Después de que la cola de espera ha alcanzado el “estado estable”.
Refiriéndonos a esto con la probabilidad de que se observe cierta cantidad de personas en el sistema sin importar la hora en la que se cuenten. Po= el sistema estará vacío con una probabilidad de un medio = 0,5 Lq= en promedio hay 0,5 personas en la cola de espera = 0,5 Wq= en promedio una llegada debe esperar 10 minutos antes de empezar a utilizar la maquina = 10 W= en promedio una llegada pasará 20 minutos en el sistema = 20
Son valores promedio con características de la distribución exponencial. Lo que significa que 2/3 de los clientes pasarán menos de 10 minutos en la cola, en tanto que 1/3 pasará mas de 10 minutos en ella.
Uso de los resultados Al saber esta información la administración seguramente analizara:
Dado que ƛ = 0,05; µ = 0,10 Lo que significa que 5/100 de trabajo llega cada minuto Durante el día de 8 horas hay 8*60=480 minutos Por lo tanto, durante cada día hay en promedio un total de (0,05)*(480) = 24 llegadas En promedio cada persona pasa 20 minutos en el sistema Por lo tanto, un total de 24 llegadas al día * 20 minutos por llega = 480 minutos 8 horas se utilizan en esta instalación.
La administración puede tomar una serie de medidas: 1. Se podría comprar otra maquina que tuviera un menor tiempo medio de servicio 2. Podría comprarse otra maquina y utilizar ambas para satisfacer la demanda, esto cambiaría el sistema a una cola de espera de 2 servidores 3. Parte del personal podría ser enviado a una instalación de copiado diferente y que fuera menos ocupada.
Clasificación de los Modelos de Colas de Espera Hay varios modelos de cola de espera, pero D.G. Kendall propuso una clasificación con base en la siguiente notación: A/B/s
A= distribución de las llegadas B= distribución del servicio s= número de servidores
Se utilizan diferentes letras para designar ciertas distribuciones. Colocadas en la posición A o B, indican la distribución de llegadas o de servicio, respectivamente. Las reglas convencionales siguientes son de uso general:
M= distribución exponencial D= número determinístico G= cualquier distribución (general) de tiempos de servicio GI = cualquier distribución (general) de tiempos de llegada
El ejemplo de XEROX es un modelo M/M/1, esto es, una cola de espera de un solo servidor, con tiempos exponenciales interarribos y de servicio.
Algunos modelos de líneas de espera Los servicios son en paralelo. Las formulas para cada caso se obtienen a partir de las probabilidades de estado estable de tener “n” clientes en el sistema. Estas probabilidades,
entonces se usan para desarrollar las medidas de desempeño de modelo de línea de espera.
Caso 1: M/M/1 Significa: población de clientes infinita, llegadas de clientes probabilística, línea de espera y 1 solo servidor o canal de atención con tiempo de servicio exponencial Este supuesto tiene condición estable cuando, µ > ƛ, o sea la tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegadas promedio. En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia. En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria". En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:
P[n llegadas en le tiempo T] =
Caso 2: M/M/S Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio. En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por el lo se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede representar como:
P(Sistema ocupado) =
Caso 3: M / G /1 Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera. En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.
Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse formula para el valor de Lq a partir de la siguientes ecuaciónes.
2
L s
Lq
W s
P 0
W q
Lq
1
1
2
2(1 )
W q P w
2
Lq
1 Caso 4: Modelo M / D / 1 Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera. En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:
Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de este valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:
Modelo 2 Una Cola de Espera Finita: Una cola de espera finita es una cola de espera multicanal con s servidores (s líneas), tiempos interarribos exponenciales para las llamadas y una distribución general para el tiempo de servicio. WATS (siglas en ingles de servicio telefónico de área amplia) son las siglas de un servicio de larga distancia de cuota fija que ofrecen algunas compañías telefónicas. Cuando las líneas asignadas a WATS están ocupadas, la persona que llama obtendrá la señal de ocupado y no se conectara la llamada. El problema en el caso del hospital, es que no saben cuantas colas deben tener para cumplir con este objetivo a un costo razonable. Para este caso es la duración de cada llamada. La probabilidad de estado estable de que haya exactamente j servidores ocupados, dado que s líneas (servidores) están disponibles, esta expresado en la formula:
∑
Donde: λ=tasa de llegadas (la velocidad a que llegan las llamadas) 1/μ= tiempo medio de servicio (duración promedio de una conversación)
S= numero de servidores Ejemplo: Para definir el P j, hay que considerar lo siguiente:
λ= 1 (llamadas llegan a un tasa de 1 por minuto)
1/μ= 10 (la duración promedio de una conversación es de 10 minutos)
s=5 (supone que hay 5 líneas j=2 (probabilidad de estado estable de que dos líneas estén ocupados
∑
Esto significa, que en promedio, dos líneas estarán ocupadas 3.4% del tiempo. Después de realizar el primer cálculo, se puede utilizar una formula mas fácil para calcular los demás números de servidores.
Entonces para 3 servidores:
Para 4 Servidores:
Para 5 Servidores:
Conclusiones La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva. Hay que tener en cuenta que las empresas nunca saben cuando van a llegar las personas, por lo que tienen que estar preparados para brindar el servicio requerido de la manera mas eficaz. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones encontrando la probabilidad de que las colas se formen o los tiempos de espera por los clientes.
Bibliografía
Eppen, G.D. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, Quinta Edición, año 2000 http://www.slideshare.net/agathahauochoa/teora-de-colas-8415069 http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeesp era/default2.asp http://www.investigacion-operaciones.com/Teoria_colas_web.htm
