ANALISIS DE FILAS DE ESPERA I) Mediciones necesarias para el análisis: 1. La hora de llegada de cada usuario (cliente) al sistema. 2. La hora en que el usuario comienza a ser atendido. 3. La hora en que el usuario termina de ser atendido. Con estos datos, se puede calcular: 4. La cantidad de usuarios por unidad de tiempo que llegan al sistema. 5. El tiempo promedio entre dos llegadas consecutivas. 6. La cantidad de usuarios atendidos por unidad de tiempo. 7. El tiempo promedio de atención de cada usuario. 8. El tiempo en cola del usuario. 9. El tiempo en el sistema del usuario. 10. La cantidad promedio de usuarios en cola. 11. La cantidad promedio de usuarios en el sistema.
II) Registro de datos Para determinar el comportamiento de las colas, se registran dos datos: 2.1.La cantidad de usuarios que llegan por unidad de tiempo. 2.2.El tiempo de servicio de cada usuario. 2.1. Cantidad de Usuarios que llegan por unidad de tiempo: λ La cantidad de usuarios que llegan (llegadas) por unidad de tiempo es un promedio, alrededor del cual se comporta el modelo. a) Se establece un tiempo inicial y un tiempo final de observación del modelo : Tiempo total = Tiempo final - Tiempo inicial b) Entre estos tiempos se cuenta la cantidad de llegadas c) Se divide la cantidad de llegadas entre la diferencia de tiempos. Este promedio se expresa en unidades de : λ = Usuarios / unidad de tiempo d) Al medir la cantidad de llegadas por unidad de tiempo, es necesario demostrar que tiene distribución de Poisson:
Procedimiento para realizar la Prueba de Poisson 1º. Se presenta el minuto de llegada de 50 clientes: 5 95 140 147 152 165 184 191 192 226
263 269 277 324 480 509 547 562 569 713
737 783 823 826 830 856 878 908 999 1020
1110 1116 1129 1138 1148 1223 1231 1244 1298 1315
1336 1346 1359 1388 1408 1423 1430 1434 1445 1451
El promedio de la cantidad de llegadas por unidad de tiempo es: λ = 50 usuarios = 0.0346 usuarios/minuto = 2.075 usuarios/hora (1451 – 5)minutos 2º. Se elige un “segmento” (ancho de clase) de 60 minutos como unidad. No existe un criterio para definir el “segmento”. Sin embargo, como se verá en el paso 3 y 4, con 60 minutos se obtiene frecuencias con las que se puede trabajar. Si no fuera el caso, hubiera sido necesario tantear con segmentos de 30 y 90 minutos. 3º. Cantidad de llegadas (conteo) en cada segmento de tiempo: Segmento [0-60> [60-120> [120-180> [180-240> [240-300> [300-360> [360-420> [420-480> [480-540> [540-600> [600-660> [660-720> [720-780>
Cantidad de llegadas
1 1 4 4 3 1 0 0 2 3 0 1 1
Segmento [780-840> [840-900> [900-960> [960-1020> [1020-1080> [1080-1140> [1140-1200> [1200-1260> [1260-1320> [1320-1380> [1380-1440> [1440-1500>
Cantidad de llegadas
4 2 1 1 1 4 1 3 2 3 5 2
4º. Se cuenta la frecuencia de ocurrencia de cantidad de llegadas por segmento: Cantidad de llegadas por segmento de 60 minutos (x)
Frecuencia con que ocurrió
0 1 2 3 4 5 6 o mas
3 9 4 4 4 1 0
5º. Se calcula la frecuencia esperada con la fórmula: ei = n P
P = (x, t = 60 min) = exp(-2.075) (2.075) x x! 10 9 8
observacion
Poisson
7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
6º. Se pueden graficar los tiempos entre llegadas y la función exponencial negativa para ver el ajuste.
Tiempos entre llegadas (minutos): 90 45 7 5 13 19 7 1 34
37 6 8 47 156 29 38 15 7 144
24 46 40 3 4 26 22 30 91 21
90 6 13 9 10 75 8 13 54 17
Total tiempo entre llegadas: 1446 minutos. λ = 50 clientes/1446 minutos = 0.0346 clientes/min = 2.0746 clientes/h. intervalo 0-12 12 24 24-36 36-48 48-60 60-72 72-84 84-96 96-108 108-120 120-132 132-144 144-156 total
frecuencia 18 13 5 6 1 0 1 3 0 2 0 0 0 49
21 10 13 29 20 15 7 4 11 6
25
20
observación exponencial negativa
15
10
5
0 0-12
12 24
2436
3648
4860
6072
7284
8496
96- 108- 120- 132- 144108 120 132 144 156
7º. Se mide la bondad de ajuste con la prueba Chi-cuadrado. 2.2: Tiempos de servicio: Ajuste según la prueba Exponencial (negativa) Al medir los tiempos de duración del servicio, es necesario demostrar que tienen distribución exponencial negativa.
Procedimiento para realizar la Prueba Exponencial 1º. Se presenta el tiempo de duración en minutos de cada servicio: 13 7 32 2 6 35 8 36 89 39
49 15 5 45 16 4 4 12 8 19
13 8 16 21 32 3 72 50 5 93
El promedio del tiempo de servicio es:
10 17 14 37 15 46 5 32 6 20
19 35 3 3 2 1 5 9 71 27
1/µ = (13 + 7 + ....+ 71 + 27) minutos = 1134 = 22.68 min/usuario 50 usuarios 50 Entonces, µ = 0.044 usuarios/ minuto = 2.64 usuario/hora. 2º. Se escoge intervalos entre 0 y 93, con un último intervalo que llegue hasta infinito. Por Sturges : Intervalo = 1 + 3.32 log (50) = 6.6 = 7 intervalos. Se escoge intervalos de 93/7 = 13.29 unidades. Dado que este es un valor referencial, se puede usar un valor como 12. 3º. Frecuencia observada de los tiempos (conteo): Intervalo [ 0 – 12> [ 12-24> [ 24-36> [ 36-48> [ 48-60> [ 60-72> [ 72-84> [ 84 o mas>
Frecuencia observada
20 13 6 5 2 1 1 2
4º. Cálculo de las frecuencias esperadas: ei Si : µ = 0.044 clientes atendidos/minuto Por fórmula, la frecuencia esperada = e i = nP El valor de P es : P = exp(-0.044 a) - exp(-0.044 b) ei = 50P ; a = limite inferior de clase ; b = límite superior de clase.
25
20
observaciones exponencial
15
10
5
0 0-12
12 24
24-36
36-48
48-60
60-72
72-84
84 mas
5º. Se concluye la bondad de ajuste con la prueba Chi-cuadrado Nota: Si los datos medidos no se ajustaran a las distribuciones mencionadas, podría deberse a que el tamaño de la muestra no es lo suficientemente grande, o que simplemente no provienen de las distribuciones Poisson o exponencial.
Prueba Chi cuadrado: Como saber si los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales? De que modo se puede determinar si los datos reales son consistentes con la suposición de tiempos entre llegadas y tiempos de servicio exponenciales?. Dada un valor de λ promedio se puede intentar determinar si los tiempos entre llegadas t1, t2, t3, etc. son consistentes con la suposición de que los tiempos entre llegadas están regidos por una distribución exponencial con tasa λ y densidad λ e- λt . La manera mas fácil de analizar esto es mediante la prueba de bondad de ajuste Chi cuadrado con el objeto de determinar si es razonable concluir que t1, t2, tn, representa una muestra aleatoria de una variable aleatoria con una función de densidad dada. Procedimiento: 1) Se empieza por descomponer el conjunto de tiempos entre llegadas posibles en k categorías. 2) Suponiendo que f(t) rige los tiempos entre llegadas, se determina la cantidad de las ti que esperaríamos que cayeran en la categoría i. A este numero lo llamamos ei 3) Se cuentan cuantas de las ti observadas están, en realidad, en la categoría i. A este número lo denominamos oi. 4) Se utiliza la siguiente formula para calcular el valor observado de la variable Chi cuadrado:
X2(obs) = Σ (oi-ei)2/ei El valor de X2(obs) sigue una distribución Chi cuadrado, con k-2 grados de libertad. 5) Si X2(obs) es pequeña, es razonable suponer que las ti son muestras de una variable aleatoria cuya función de densidad es f(t). Un ajuste perfecto tendría oi = ei, que da por resultado X2(obs) = 0. Si X2(obs) es grande es razonable suponer que las ti no representan una muestra aleatoria de una variable aleatoria cuya densidad es f(t). 6) Dado un valor de alfa (error), aceptamos el ajuste si: X2(obs) ≤ X2k-r-1. El valor de X2k-r-1 se obtiene a partir de una tabla de distribución Chi cuadrado. El número de parámetros es r que se deben estimar para especificar la distribución del tiempo entre llegadas. Si los tiempos entre llegadas son exponenciales r = 1, y si siguen una distribución normal o Erlang r = 2.
Ejemplo: Tiempos entre llegadas (minutos): 90 45 7 5 13 19 7 1 34
37 6 8 47 156 29 38 15 7 144
24 46 40 3 4 26 22 30 91 21
90 6 13 9 10 75 8 13 54 17
21 10 13 29 20 15 7 4 11 6
Total tiempo entre llegadas: 1446 minutos. λ = 50 clientes/1446 minutos = 0.0346 clientes/min = 2.0746 clientes/h. Seleccionamos 5 categorías para asegurar que la probabilidad de que una observación se encuentra en cada uno de las cinco categorías es 0.20. Entonces: ei = 50(0.20) = 10 por categoría. La función acumulada de probabilidad para exponencial negativo es: F(t) = 1-e-0.0346 t Para seleccionar las categorías se procede así: Cat1: Cat 2: Cat 3: Cat 4: Cat 5:
0 ≤ t < m1 m1 ≤ t < m2 m2 ≤ t < m3 m3 ≤ t < m4 m4 ≤ t
Donde: F(m1) = 0.2, F(m2) = 0.4, F(m3) 0.6, F(m4) = 0.8.
F(t) = p p = 1-e-0.0346 t 1-e-0.0346 t = p 1-p = e-0.0346 t Entonces despejando t, nos queda: t = ln(1-p)/-0.0346
m1 = ln (1-0.2)/-0.0346 = 6.44 m2 = ln (1-0.4)/-0.0346 = 14.76 m3 = ln (1-0.6)/-0.0346 = 26.48 m4 = ln (1-0.8)/-0.0346 = 46.51 A partir de estos valores podemos determinar los límites de las categorías: Cat1: 0≤t<6 Cat 2: 6 ≤ t < 15 Cat 3: 15 ≤ t < 26 Cat 4: 26 ≤ t < 46 Cat 5: 46 ≤ t Luego calculamos los oi para cada categoria: o1= 5, o2 = 17, o3 = 9, o4 = 9, o5 = 9 Se procede a calcular chi cuadrado: X2(obs) = (5-10)2/10 + (17-10)2/10 + (9-10)2/10 + (9-10)2/10 +(9-10)2/10 = = 2.5 + 4.9 + 0.1+ 0.1 +0.1 = 7.7 por ultimo comparamos este valor con: X2 k-r-1 = X2 5-1-1 = X2 3 (0.05) = 7.81 (de tabla) Como X2(obs) ≤ X2k-r-1 entonces podemos aceptar la hipótesis de que los tiempos entre llegadas provienen de una distribución exponencial con la suposición es razonable con λ = 0.0346 clientes/min.
