Modelos de Líneas de Espera
Elementos Básicos
Cliente Servidor
Llegan al sistema (instalación) Prestación de servicio al cliente Sistema servidor
Llegada de Clientes
Cliente sale después de ser servido
Línea de espera o cola
Motivación
Quien no ha tenido experiencia respecto: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Clientes Clientes que espera esperan n ser atendidos atendidos en en las cajas cajas de un banco, banco, supermer supermercado, cado, resta restaurante urante.. Automóv Automóvile iless que espera esperan n avanzar avanzar en en una luz luz de semáfo semáforo. ro. Paciente Pacientess que esperan esperan ser ser atendidos atendidos en un consulto consultorio, rio, clínic clínica, a, hospital hospital.. Aviones viones que que espera esperan n para despe despegar gar en en un aeropue aeropuerto rto.. Máquinas Máquinas descompues descompuestas tas que que espera esperan n ser ser reparadas reparadas por el el técnico técnico.. Programas Programas que esperan esperan ser procesados procesados por un computador computador,, etc.
Factores importantes
1.
Distribución de la llegadas de los clientes clientes (individualidad o masiva).Llegan individuos y se atienden individualmente, Llegan en grupos y/o se atienden en grupo s, frecuencia de llegadas (distribución de Poisson)
2.
Distribución del tiempo del servicio (individual o masivo).- Duración del servicio (distribución exponencial).
Otros factores
1.
Disciplina del servicio.- Como se elige a los clientes de la línea de espera (FIFO, LIFO, SIRO (orden aleatorio), por prioridad). En las líneas de espera con prioridad, los clientes tienen prioridad en la atención.
2.
Diseño Diseño de la instal instalación ación del servicio servicio (estacion (estaciones es en serie, serie, paral paralelo elo o en red). red). - Cuando el diseño incluye más de un servidor, ejemplo las cajas de un banco Línea de espera espera con servidores en en paralelo. paralelo. - El diseño de la instalación comprende un número de estaciones en serie por la que pasa el cliente cliente antes de completar su servicio. (ejm. (ejm. Procesamiento de un producto). Líneas de espera en serie. - Un diseño general que incluye estaciones de procesamiento en serie y en paralelo. Líneas de espera en red.
3.
Tamaño amaño de de la línea línea de espe espera ra admi admisib sible le
Finita Infinita
4.
La naturaleza de la fuente q ue genera las llegada de clientes solicitando servicio (fuente de llamada) Finito de clientes Genera un número Infinito de clientes (muchos clientes)
Existe una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegada de nuevos clientes. 5.
Condu Conduct ctaa del del clie client ntee (hum (human anos os)) - Cambiarse (de fila) fila) - Eludir - Renunciar
Clasificación de Kendall
(a/b/c) : (d/e/f) a = Distribución de llegadas b = distribución de tiempo de servicio (o salidas) c = Número de servidores servidores en paralelo (c = 1,2,……∞) d = disciplina de servicios (LIFO, FIFO, SIRO, c/prioridad) c/prioridad) e = número máximo admitido en el sistema sistema (L.E + en servicio) f = Tamaño de la fuente
L.E = línea de espera
Notación estándar que reemplaza reemplaza a los símbolos: símbolos: a y b M = distribución de llegadas o salidas de Poisson, o distribución exponencial entre llegada o de tiempo de servicios D = tiempo de llegadas o de servicio constante o determinístico.
Distribución del del proceso de llegadas o arribos ( Distribución Poisson)
Como es el proceso de llegadas en un modelo de líneas de espera influencia en la determinación de la distribución de probabilidad del número de arribos en un determinado lapso de tiempo. Las llegadas ocurren normalmente de manera aleatoria, en muchos casos de líneas de espera, Cada llegada es independiente independiente de otra llegada, y no es posible pronosticar el momento en el que va a ocurrir; en estos casos la la distribución de Poisson ofrece una buena descripción (aproximación) para la distribución de las llegadas o arribos.
Entonces utilizando la función de probabilidad de Poisson, se define la probabilidad de x llegadas en un tiempo específico (t (t ))
P ( x) =
λ x e − λ x!
para x = 0,1,2.....
en donde x = Número de llegadas en en el periodo ( o intervalo de tiempo) λ = Número promedio de llegadas por periodo e = 2.71828 Ejemplo:
Suponga que la tasa promedio de arribos de clientes a una pizzería es de 45 clientes por hora. Para un minuto el número promedio de llegadas será de λ = 45/60 = 0.75 llegadas por minuto. minuto. Se utiliza Poisson para calcular la p robabilidad de x de x llegadas durante un lapso de un minuto.
P ( x ) =
λ x e − λ x!
=
0.75 x e −0.75 x!
.
de la tabla e −0.75 = 0.4724, Las probabilidades de 0,1, y 2 llegadas por minuto son:
P ( x = 0) =
0.75 0 e −0.75 0!
=
e − 0.75
= 0.4724
P ( x = 1) =
P ( x = 2) =
0.751 e −0.75 1! 0.75 2 e −0.75 2!
= 0.75
=
e − 0.75
= 0.3543
0.28125 e − 0.75
= 0.1329
de donde la probabilidad de que no haya llegadas en un lapso de 1 minuto es 0.4724, la probabilidad de que ha ya exactamente una llegada es de 0.3543, y de haya exactamente 2 llegadas es de 0.1329.
En la practica se debe de verificar para un periodo (horas, días, semanas), si los arribos siguen una distribución de Poisson.
Distribución del Tiempo Tiempo de Servicio (Distribución Exponencial)
Es el tiempo que el cliente deja transcurrir en la instalación una vez que se inicia el servicio, en general. Los tiempos de servicio no son constantes La distribución de probabilidad exponencial exponencial es la que proporciona (más se ajusta) una buena aproximación de los tiempos tiempos de servicio Entonces, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo o duración está dada p or:
P (tiempo de servicio ≤ t ) = 1 − e − µ t donde:
µ = número promedio de unidades que pu eden ser atendidas por periodo
Ejemplo: Suponga que del estudio hecho en la pizzería, el proceso de recepción y atención de las órdenes, es efectuado por el único empleado que atiende y también prepara las pizzas; este procesa en promedio 60 órdenes de clientes por hora. Entonces en un minuto, la tasa promedio de servicio es:
µ =60/60 =1 , esto es es atiende un cliente cliente por minuto.
Por tanto es posible calcular la probabilidad de procesar una orden en ½ minuto o menos, en un minuto o menos, en 2 minutos o menos.
P (tiempo de servicio ≤ 0.5) = 1 − e −1(0.5) P (tiempo de servicio ≤ 1.0) = 1 − e −1(1.0)
= 1 − 0.6065 = 0.3935
= 1 − 0.3679 = 0.6321
P (tiempo de servicio ≤ 2.0) = 1 − e −1(02.0)
= 1 − 0.1353 = 0.8647
De donde se puede concluir que existe una probabilidad de 0.3935 de que se pueda procesar una orden en 1/2min o menos; existe una probabilidad de 0.6321 de procesar procesar una orden en un minuto o menos y existe una probabilidad probabilidad de 0.8647 de que se pueda procesar procesar una orden en 2 minutos o menos.
1. Modelos de Líneas Líneas de espera de 1 solo solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio servicio exponencial (M/M/1) Suposiciones:
La línea de espera espera tiene 1 solo canal Patrón de llegadas con distribución poisson
Tiempo de servicio con distribución exponencial Disciplina del servicio FIFO Características de Operación
Las fórmulas que se emplean para determinar las características de operación del estado estable son: λ = Número promedio de llegadas llegadas por periodo (tasa promedio de llegadas) llegadas) µ = Número promedio de servicios por periodo ( tasa promedio de servicio) 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
P 0
= 1−
λ µ
2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)
Lq =
λ 2 µ ( µ − λ )
3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)
L = L q
+
λ µ
4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera
=
W q
L q
λ
5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema
W = W q
+
1
µ
6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio servicio
P w
=
λ µ
7) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. n
P n
donde
λ = p 0 µ
λ = factor de utilización del servicio. servicio. Este proporciona la probabilidad de que la instalación instalación de servicio este ocupada. µ
Estas formulas del 1 al 7 solo se aplican cuando µ > λ ; esto es, la tasa promedio de servicio servicio > tasa promedio de llegadas; llegadas; o sea, cuando
Ejemplo:
λ < 1 ; en caso contrario la cola crece sin limite, pues el servicio no tiene capacidad para manejar las unidades que llegan. µ
En el problema de la Pizzería, la tasa promedio de llegadas es de λ = 0.75 clientes por minuto y la tasa de servicio es µ = 1 , clientes por minuto,
µ > λ
Aplicando las las fórmulas se obtiene:
En el ejemplo visto se observa que: - Los clientes esperan en promedio 3 min. Antes de ser atendidos ( esto es, solicitar su pedido) - Además el número promedio de clientes que esperan en la cola es de 2.25 - y el 75% de los clientes esperan esto son indicadores que muestra que debe hacerse algo para mejorar la eficiencia de operación de la linea de espera. Mejorar el desempeño de la linea de espera, generalmente se concentra en mejorar la tasa de servicio, de dos maneras: 1) Aumentar la tasa promedio de servicio ( µ ) 2) Añadir canales paralelos paralelos de servicio de manera que sea posible atender a más unidades a la vez. En el primer caso, Suponga que para el problema de la pizzería, pizzería, el servicio se descompone en 2 personas: Una persona que recepcione recepcione y entregue el pedido y una persona que prepare o atienda el pedido Suponga ahora que la tasa de servicio se incrementa de 60 a 75 clientes por hora. Ahora en base a minutos la tasa promedio es µ = 75 / 60 = 1.25 , como λ = 0.75 , se puede puede obtener: obtener:
En el segundo caso, es añadir otro canal 2. Modelo de líneas de espera de canales múltiples con llegadas Poisson y tiempo de servicios exponenciales (M/M/2) Suposiciones - la línea de espera tiene 2 ó más canales (instalaciones (instalaciones de servicio) - el patrón de llegada es de distribución de p oisson - el tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución exponencial - la tasa promedio de servicio µ , es la misma para para todos los canales - Las unidades que llegan aguardan en una sola linea de espera y después pasan al primer canal canal libre para obtener servicio. - la disciplina del servicio es FIFO. Características de operación
λ = tasa promedio de llegadas al sistema µ = tasa promedio de servicio para cada canal k = k = número de canales k µ = tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiples la condición de aplicabilidad de las formulas que siguen es: k µ > λ
1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
P 0
=
1 k −1
∑ n=0
(λ / µ ) n!
n
+
(λ / µ ) k k !
k µ k µ − λ
2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)
Lq
=
(λ / µ ) k λµ (k − 1)! ( k µ − λ ) 2
P 0
3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)
L = L q
+
λ µ
4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera
W q
=
L q
λ
5) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en el sistema
W = W q
+
1
µ
6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio servicio
P w
k
λ k µ = P 0 − µ λ k ! µ k 1
7) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
P n
=
(λ / µ ) n
P n
n!
=
para
p 0
(λ / µ ) n k ! k ( n − k )
p 0
n ≤ k
para
n > k
Ejemplo: Para el problema de la pizzería, pizzería, suponga que se abre otro servicio de atención al cliente de forma que se puede atender atender en forma simultanea a 2 clientes; y que se tiene una sola línea de espera, en donde el cliente que sigue u tiliza el primer servicio que esta disponible. Veamos
k = 2 canales λ = 0.75 µ = 1
Aplicando las formulas se tiene:
Relación general para los modelos de línea de espera
Las principales características características de operación que interesan en las líneas de espera son: El número promedio de unidades en la línea de espera, el número de unidades en el sistema, el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera y el tiempo promedio que cada unidad pasa en el sistema, esto es: Lq , L, W q , W Ecuaciones de Flujo de Little
John D.C. Little muestra que estas cuatro características características están relacionadas en forma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera, independientemente. Una ecuación general es: El número promedio de unidades en el sistema = tasa promedio de llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
L = λ W igualmente, El número promedio de unidades en la cola = tasa promedio de llegadas llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en la cola (línea de espera) espera)
Lq
= λ W q
de donde :
W q
=
L q
λ
Otra, ecuación general es: El tiempo promedio en el sistema = al tiempo promedio en espera (en cola) + el tiempo tiempo promedio de servicio
W = W q
de donde :
+
L = L q
1
µ
+
λ µ
La importancia de las ecuaciones de Little es que se aplican a cualquier modelo de espera independientemente de si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial o no. Ejemplo: Suponga que en una tienda de abarrotes, los clientes llegan siguiendo una distribución de poisson con una tasa promedio de 24 clientes por hora, y los tiempos de servicio siguen siguen una distribución normal con tasa promedio de servicio de 30 clientes por hora. Un estudio de los tiempos efectivos mostró que los clientes en promedio pasan 4.5 minutos en la tienda. Determine
L q , L, y W q
Análisis económico de líneas de espera
Con frecuencia las decisiones sobre el diseño de líneas de espera, como la determinación del número de canales, se basan en una evaluación subjetiva de las características características de la línea, por ejemplo decidir un tiempo promedio de espera ( 1 minuto o más), un promedio de clientes ( 2 ó mas ) en el sistema. En algunos casos es deseable intentar definir el costo de operación de las líneas de espera y después tomar decisiones respecto al diseño del sistema. Un modelo de costo total, incluye el costo de espera y el costo de ofrecer el servicio
CT = C w L + C s k donde:
C w = Costo de la espera por periodo para cada unidad C s = Costo del servicio por periodo para cada canal
L = Número promedio de unidades en el sistema k = k = Número de canales CT = CT = costo total por periodo
El costo de la espera es difícil estimar, no obstante si se ignotra y se permite grandes colas, es probable que en determinado tiempo los clientes se marchen a otro lugar, lo que ocasiona pérdidas de ventas, que se puede considerar un costo de oportunidad perdido. En organizaciones estatales estatales no se contempla este costo, en consecuencia se tiene grandes colas en los procesos, en los clientes, en el servicio en general. El costo del servicio es más fácil de determinar, los salarios, los costos directos, prestaciones, etc.
Costo total costo total por hora
Costo de servicio
Costo de espera
k número de canales
En el ejemplo del caso de la pizzería, pizzería, si el Cs = s/ 7 x hora y Cw= s/ 10 x hora En el modelos de 1 canal: sabemos que L = 3
CT = 10x3 + 7 x1 = s/ 37 x hora
En el modelo de 2 canales : L = 0.8727
CT = 10x (0.8727) + 7 x 2 = 22.73 x hora.
Por tanto, para la pizzería es más económico un sistema con dos canales.
3. Modelos de líneas de espera con un solo canal con llegadas poisson y tiempos de servicio arbitrarios (M/G/1) Suposiciones:
La línea de espera espera tiene 1 solo canal Patrón de llegadas con distribución poisson Tiempo de servicio con distribución cualquiera Disciplina del servicio FIFO Características de Operación
Las fórmulas que se emplean para determinar las características de operación del estado estable son: λ = Tasa promedio de llegadas µ = Tasa promedio de servicio
1 / µ = Tiempo promedio de servicio σ = Desviación estándar del tiempo de servicio 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
P 0
= 1−
λ µ
2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)
Lq =
λ 2σ 2 + (λ / µ ) 2 2(1 − λ / µ )
3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)
L = L q
+
λ µ
4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera
=
W q
L q
λ
5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema
W = W q
+
1
µ
6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio servicio
P w
=
λ µ
Ejemplo: Una tienda de especialidades de un centro comercial conocido, durante la tarde es atendida por un empleado. La llegada de los clientes a la tienda son aleatorios y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes x h ora. Un estudio del proceso muestra que el tiempo pro medio del servicio es de 2min por cliente, con una desviación estándar de 1.2 min. Determine los valores de las características principales de operación del sistema. 4. Modelos de líneas de espera con un solo canal con llegadas poisson y tiempos de servicio constante (M/D/1)
Este tipo de modelo se presenta en la producción y manufactura, pues los tiempos de servicio en algunos casos es controlado por máquinas. Solamente cambia la ecc. ecc. Referente a Lq , pues la desviación desviación es cero.
=
Lq
(λ / µ ) 2 2(1 − λ / µ )
las otras ecuaciones se mantienen. 5. Modelos de canales múltiples con llegadas poisson, tiempos de servicios arbitrarios y sin linea de espera (M/G/k) Suposiciones:
Sistema con k canales Patrón de llegada poisson Tiempos de servicio cualquier distribución de probabilidad Tasa promedio de servicio es la misma para todos los canales Una unidad ingresa al sistema, solo si se dispone de cuando menos 1 canal de los k canales; esto es las llegadas no ingresan son bloqueadas si no hay disponibilidad. Características de Operación
El problema a resolver es ¿ Cuantos canales o empleados se deben utilizar? Este tipo de modelo de líneas de espera se presenta en sistemas de líneas telefónicas u otros sistemas de comunicaciones. Las llegadas son las llamadas y los canales son el Número de líneas telefónicas telefónicas o comunicación disponibles. Se aborda el problema de elegir el mejor número de canales calculando las probabilidades de estado estable de que exactamente j de los k canales estén ocupados. Esto es, j
P j =
(λ / µ ) / j! k
∑ (λ / µ ) i =0
i
/ i!
donde:
λ = Tasa promedio de llegadas µ = Tasa promedio de servicio para cada canal k = k = Número de canales en el sistema
P j = Probabilidad de que exactamente j de los k canales estén ocupados para j para j = 0,1,…k 0,1,…k P k es la probabilidad de que los k canales k canales estén ocupados, esto esto es, es el porcentaje de llegadas que quedan bloqueadas bloqueadas y que no se permite el acceso al sistema. Otra característica característica de operación que interesa es el número pro medio de unidades que se encuentran en el sistema, observe que esto es el número de canales ocupados.
L =
λ (1 − P k ) µ
Ejemplo: Una compañía utiliza un sistema telefónico de pedidos para sus productos ( software para computadoras). Los clientes hacen pedidos utilizando un número telefónico gratuito de la compañía. Suponga que la tasa de llegadas es de 12 por hora. El tiempo de proceso de un pedido telefónico varia de uno a otro, sin embargo se espera que el representante de ventas, maneje un promedio de 6 por hora, en el momento el Número telefónico tiene 3 canales internos (líneas) cada uno de ellos operado por un representante de ventas, las llamadas gratuitas se transfiere automáticamente automáticamente a alguna de las líneas (canales abiertas si las hay, hay, en otro caso, las personas obtienen una señal de ocupado. No siempre las personas (clientes) vuelven a llamar, llamar, lo que significa que puede ser una venta pérdida. La compañía desea saber el porcentaje de personas (clientes) que reciben la señal de ocupado, pues su meta es atender un 90% de las llamadas llamadas ¿Cuántas líneas telefónicas telefónicas y cuantos representantes de venta debe debe emplear?
