Teoría de Líneas de Espera

Ingeniería Civil Eléctrica Ingeniería Civil Electrónica

EII 405 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CAPÍTULO IV: TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA Profesor M.Sc. Claudio Araya Sassi II Semestre 2015

Introducción La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera. Las fórmulas de cada modelo indican Desempeño del sistema Cantidad promedio de espera Modelos de líneas de espera: muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más eficaz. Modelos: Balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Proceso básico de colas

Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Proceso básico de colas


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Estructura Básica de los Modelos de Colas Fuente de entrada (población potencial) Tamaño: es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales. Población de entrada: población a partir de la cual surgen las unidades que llegan. Supuestos: Tamaño infinito (fuente de entrada es ilimitada) Cálculos son mucho más sencillos Cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, Debe tomarse como un supuesto implícito en cualquier modelo en el que no se establezca otra cosa. Tamaño finito (fue nte de entrada es limitada) Más complejo puesto que el número de clientes que conforman la cola afecta al número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier momento. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Fuente de entrada (población potencial) Patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo Proceso de Poisson: el número de clientes que llegan hasta un momento específico tiene una distribución de Poisson.

Llegadas al sistema de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin que importe cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Un supuesto equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Cola La cola es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las pueden ser finitas o infinitas, según si dicho número es finitocolas o infinito.

Supuesto de cola infinita: estándar de la mayoría de los modelos, incluso en situaciones que existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes. En los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, es necesario suponer una cola finita. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Disciplina de la cola

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: Primero en entrar, primero en salir (FIFO) Aleatoria

De acuerdo con algún procedimiento de prioridad o con algún otro orden. Supuesto: disciplina de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca de otra manera. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Mecanismo de servicio Consiste en una o más estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales de servicio paralelos, llamados servidores. Si existe más de una estación de servicio, el cliente puede recibirlo de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una estación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Los modelos de colas deben especificar el arreglo de las estaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una de ellas. Los modelos más elementales suponen una estación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Mecanismo de servicio

Tiempo de servicio (o duración del servicio):tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación. Se debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. La distribución del tiempo de servicio que más se usa en la práctica (por ser más manejable que cualquier otra) es la distribución exponencial.

Otras distribuciones de tiempos de servicio importantes son: Distribución degenerada (tiempos de servicio constantes) Distribución Erlang (Gamma) Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas El proceso de colas elemental Una sola línea de espera (que a veces puede estar vacía) se forma frente a una estación de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera).


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Estructura Básica de los Modelos de Colas Notación de los Modelos de Colas

Donde:

 ó (( )    )   ó  (á  ) ó (  ó )

Por ejemplo, el modelo M/M/s supone que tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio tienen distribución exponencial y que el número de servidores es s (cualquier entero positivo). Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Estructura Básica de los Modelos de Colas Terminología y notación

                  

número de clientes en el sistema. número de clientes que esperan servicio

estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el servicio

(≥0)

número de clientes en el sistema de colas en el tiempo

probabilidad de que exactamenten clientes estén en el sistema en el tiempot, dado el número en el tiempo 0. número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.

tasa media de llegadas (número esperado de llagadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hayn clientes en el sistema. tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay clientes en el sistema. Nota: representa la tasa a la que todos los servidores (aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios.

 


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Estructura Básica de los Modelos de Colas Terminología y notación

   ≥1      ≥ (    á  Cuando

es constante para todo n, esta constante se denota por .

Cuando

es constante para todo

, se denota por .

)

    1   

     ó  ó  

Es decir, la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados, puesto que:



s

representa la fracción de la capacidad de servicio del sistema ( )

que utilizan en promedio los clientes que llegan ( ). Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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

Estructura Básica de los Modelos de Colas Terminología y notación Condición transitoria Cuando un sistema de colas apenas inicia su operación, el estado del sistema (el número de clientes que esperan en el sistema) se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio. Condición de estado estable

Sin embargo, una vez que ha pasado suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia, independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido. La distribución de probabilidad del estado del sistema se conserva (la distribución estacionaria o de estado estable) a través del tiempo. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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La elección de una medida de desempeño Los gerentes que supervisan los sistemas de colas se preocupan principalmente de dos medidas de desempeño: ¿Cuántos clientes normalmente están esperando en el sistema de colas? ¿Cuánto tiempo estos clientes normalmente tienen que esperar?

Cuando los más clientes son internos a la organización, la primera medida tiende a ser importante. Tener este tipo de clientes esperando causapérdida de productividad.

Sistemas de servicios comerciales tienden a poner mayor importancia a la segunda medida. Los clientes externos suelen estar más preocupados por el tiempo que tienen que esperar que por el número de clientes que están allí. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Definición de medidas de desempeño Notación sistemas en condición de estado estable

    ú        =           á   =  ()  ()    ( ) probabilidad de que haya exactamente clientes en el sistema.

tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) para cada cliente.

tiempo de espera en la cola (excluye tiempo de servicio) para cada cliente.


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Relaciones entre L, W, Lq, y Wq Fórmula de Little

  (ó  )

Suponga que

es una constante para todo n.

Se ha demostrado que en un proceso de colas en estado estable:

Dado que John D. C. Little proporcionó la primera demostración rigurosa, a veces le da el nombre defórmula de Little. Además, la misma demostración pruebaseque:

    ≥1 1   

Si las no son iguales, entonces  se puede sustituir en estas ecuaciones por , la tasa promedio entre llegadas a largo plazo.

1/    ¿ó  ? 

Ahora suponga que el tiempo medio de servicio es una constante toda . Se tiene entonces que:


, para

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Proceso de Nacimiento y Muerte La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte.

El término nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el término muerte se refiere a la salida del cliente servido.

 (≥0)

() 

El estado del sistema en el tiempo , denotado por número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo .

()



, es el

El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia al aumentar .

En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Proceso de Nacimiento y Muerte Supuestos del proceso de nacimiento y muerte

 ,(0,1,2,…) 

Supuesto 1. Dado , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro .

Supuesto 2. Dado , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro

,(0,1,2,…)

.

Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es: o

→1 →1

(un solo nacimiento)

(una sola muerte)

Lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte Como consecuencia de los supuestos 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar mediante una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho más manejables en el sentido analítico que cualquier otro modelo.

:

tasa media de llegada cuando hay n clientes en el sistema tasa media de terminaciones de servicio

  

Como la propiedad 4 de la distribución exponencial implica que las y son tasas medias estos supuestos se pueden resumir en un diagrama de tasas.


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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte Diagrama de tasas del proceso de nacimiento y muerte Las flechas de este diagrama muestran las únicas transiciones posibles en el estado del sistema (como lo especifica el supuesto 3) y El elemento junto a cada flecha es la tasa media de esa transición (según los supuestos 1 y 2) cuando el sistema se encuentra en el estado que hay en la base de la flecha.


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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte Considere cualquier estado particular n (n = 0, 1, 2, ...) del sistema. Suponga que en el tiempo 0 se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra a este estado y el número de veces que sale de él, como se denota en seguida:

  

número de veces que el proceso entra al estado

hasta el tiempo

número de veces que el proceso sale del estado

hasta el tiempo



Como los dos tipos de eventos (entrar y salir) deben alternarse, estos dos números serán iguales o diferirán en sólo 1; es decir,

    ≤1 →∞ ()  () ≤ 1 ,  lim→ ()  () 0

Al dividir ambos lados entre t y después hacer que




se obtiene

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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte

    →∞

Si se dividen y entre t se obtiene la tasa real (número de eventos por unidad de tiempo) a la que ocurren estos dos tipos de eventos, y cuando se obtiene la tasa media (número esperado de eventos por unidad de tiempo):

→ lliimm ()  ttaasasamedi mediaaaallaaquequeelelproceso procesosalenterdela alestado estadon.n →  Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte Principio de tasa de entrada = tasa de salida. Para cualquier estado n (n = 0, 1, 2, ...) del sistema, la tasa media de entrada = tasa media de salida. La ecuación que expresa este principio se llama ecuación de balance del estado n. A fin de ilustrar una ecuación de balance, considere el estado 0. El proceso entra a este estado sólo desde el estado 1. En consecuencia, la probabilidad de estado estable de encontrarse en el estado 1 ( ) representa la proporción de tiempo que es posible que el proceso entre al estado 0.



::  01  

Tasa media de entrada Tasa media de salida Ecuación de balance


:  

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Proceso de Nacimiento y Muerte Análisis del proceso de nacimiento y mu erte Ecuaciones de balance del proceso de nacimiento y muerte


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Proceso de Nacimiento y Muerte Resultados del proceso de nacimiento y muerte Al aplicar este procedimiento se obtienen los siguientes resultados:

0:     1:      1         2:     1       ⋮ −⋮ 1 1:     −   −− −−  − −  −−−……  : +  +   +1  −−  +   +− ……  ⋮ ⋮ Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Proceso de Nacimiento y Muerte Resultados del proceso de nacimiento y muerte Para simplificar la notación, sea

  −−−…… ,   1,2, … ,

Después se define

para

. En este contexto, las probabilidades

de estado estable son:

 , 1 0,1,02,…    1          1    = =  −   

El requisito:


=

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Proceso de Nacimiento y Muerte Resultados del proceso de nacimiento y muerte Cuando un modelo de líneas de espera se basa en el proceso de nacimiento y muerte, de manera que el estado del sistema n representa el número de clientes en el sistema de colas, las medidas clave de desempeño del sistema ( , , y ) se pueden obtener de inmediato después de calcular las mediante las fórmulas anteriores.

     = , () =    ,        =

Donde es la tasa de llegadas promedio a largo plazo


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Modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte Introducción

, , … ,, …

Como se puede asignar cualquier valor no negativo a cada una de las tasas medias ,y del proceso de nacimiento y muerte, se cuenta con una gran flexibilidad para modelar un sistema de colas.

Los modelos más usados en teoría de colas se basan directamente en este proceso. De acuerdo con los supuestos 1 y 2 (y la propiedad 4 de la distribución exponencial), se dice que estos modelos tienen: Entradas de Poisson y Tiempos de servicio exponencial.



Los modelos difieren sólo en los supuestos sobre cómo cambian las según el estado n. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi



y las

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Modelo M/M/s Supuestos Todos los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con una distribución exponencial (es decir, el proceso de entrada es de Poisson), Todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con otra distribución exponencial El número de servidores es s (cualquier entero positivo). En consecuencia, este modelo es sólo un caso especial del proceso de nacimiento y muerte cuando la tasa media de llegadas al sistema de colas y la tasa media de servicio por servidor ocupado son constantes ( y , respectivamente) e independientes del estado del sistema.




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Modelo M/M/s Sistema M/M/1 Los parámetros del proceso de nacimiento y muerte son:

  (0,1,2, … )   (0,1,2, … )

Sistema M/M/s (s>1)

Tasa de servicio de sistema: La tasa del servicio del sistema representa la tasa media de los servicios terminados de todo el sistema de colas cuando existen n clientes en él.

  (0,1,2, … )   <1 

Cuando

      ≥< 

excede la tasa media de llegadas , es decir, cuando:

Un sistema de colas que se ajuste a este modelo tarde o temprano alcanzará la condición de estado estable. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelo M/M/s


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Modelo M/M/s

        ,  0,1, 2,….

Resultados en el caso de un servidor (M/M/1) con Para s = 1, los factores

>

del proceso de nacimiento y muerte se reducen a:

Por lo tanto,

,  − 0,1,2,… .  = −  11 1  1 ,  0,1,2, …

Donde:

Asi:


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Modelo M/M/s

    (1) = 

Resultados en el caso de un servidor (M/M/1) con En consecuencia:

  (1) = 

(1)   (1) = = (1)  11  1  

>

1(1 () ) Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelo M/M/s Resultados en el caso de un servidor (M/M/1) con

≥

  >



Cuando , esto es, la tasa media de llegadas excede la tasa media de servicio, la solución anterior “no sirve” (puesto que la suma para calcular diverge).

En este caso, la cola “explota” y crece sin límite. Si el sistema de colas comienza a operar sin clientes presentes, puede ser que el servidor dé abasto con los que llegan durante un periodo corto, pero a la larga le será imposible.


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

  >

Distribución de probabilidad del tiempo de espera en el sistema (se incluye el tiempo de servicio) de una llegada aleatoria cuando la disciplina de la cola es primero en entrar, primero en salir.

Si esta llegada encuentra n clientes en el sistema, tendrá que esperar n+1 tiempos de servicio exponenciales, inclusive el propio.

,,…     ⋯ , 0,1,2,… , +   +

Por lo tanto, sean , las variables aleatorias independientes de los tiempos de servicio que tienen una distribución exponencial con parámetro , y sea:

+

Donde: : representa el tiempo de espera condicional, dado que hay n clientes en el sistema (distribución de Erlang (Gamma en otros contextos)) Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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  >

  >= *+ > > −−  ≥0 (1)1  (1)     1

Como la probabilidad de que una llegada aleatoria encuentre n clientes en el sistema es , se concluye que:

,

para

La conclusión sorprendente es que tiene una distribución exponencial con parámetro igual a . Por lo tanto,

Estos resultados incluyen el tiempo de servicio en el tiempo de espera. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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  >

En algunos contextos, el tiempo de espera más importante es hasta que comienza el servicio.



Considere el tiempo de espera en la cola (excluya el tiempo de servicio) de la llegada aleatoria cuando la disciplina de la cola es primero en llegar, primero en salir. Si esta llegada no encuentra clientes en el sistema, se le sirve de inmediato, de manera que:

  0  1

Si encuentra n>0 clientes, entonces tendrá que esperar n tiempos de servicio exponenciales hasta que su propio servicio comience, de forma que:


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  >

Si encuentra n>0 clientes, entonces tendrá que esperar n tiempos de servicio exponenciales hasta que su propio servicio comience, de forma que:

 P  >= * > =  * > 1 = *+ >

*> −− , ≥0 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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  P  0>0 Observe que

  >

no tiene en realidad una distribución exponencial porque

.

1  >0    >  >0 * >0 > −− , ≥0      1/     ()

Sin embargo, la distribución condicional de , dado que , no tiene una distribución exponencial con parámetro , como lo tiene , porque:

Al obtener la media de esta distribución (no condicional) de una de las dos fórmulas o ), resulta:


(o aplicar

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Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/1 Jerry Jansen, Gerente de Manejo de Materiales de la nueva fábrica de la empresa Casper-Edison, tiene que tomar una decisión de compra. Él tiene que elegir entre dos tipos de equipos de manejo de materiales, un pequeño tren tractor-remolque y una carretilla elevadora de alta resistencia, para el transporte de mercancías pesadas entre determinados centros productores en la fábrica. Pide a una unidad de manipulación de materiales para mover una carga que ocurre según un proceso de Poisson a una tasa media de 4 por hora. El tiempo total requerido para mover una carga tiene una distribución exponencial, donde el tiempo de espera sería de 12 minutos para el tren tractor-remolque y 9 minutos para la carretilla elevadora. El costo por hora uniforme total equivalente (costo de recuperación de capital más el costo de operación) sería de $ 50 para el tren tractor-remolque y $ 150 para la carretilla elevadora. El costo estimado de la inactividad de los bienes (en espera de ser trasladado o en tránsito) debido al aumento en el proceso de inventario es de $ 20 por carga por hora. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelo M/M/s Ejemplo Jerry también ha establecido ciertos criterios que le gustaría que la unidad de manipulación de materiales pueda satisfacer con el fin de mantener el flujo de producción según el programa tanto como sea posible. A él le gustaría hacer un promedio no más de media hora para completar el traslado de una carga después de recibir la llamada que solicita el traslado. También desearía que el tiempo para completar el paso a ser no más de 1 hora el 80 por ciento de las veces. Por último, le gustaría tener no más de tres cargas en espera para iniciar su movimiento al menos el 80 por ciento del tiempo.


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Modelo M/M/s Ejemplo (a) Obtener las diversas medidas de desempeño si el tren tractor-remolque será elegido. Evalúe qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores. Tasa media de arribo:

4

Tasa media de servicio:   60 / 12  5

W 

1  

Wq 



L

4





4

 (   ) 5(5 4)  5 

 

Lq 

1 1 0, 5 horas 54



2

4 54



0, 8

4 42

 (   ) 5(5 4) 

 3, 2


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Modelo M/M/s Ejemplo (a) Obtener las diversas medidas de desempeño si el tren tractor-remolque será elegido. Evalúe qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores. El porcentaje de tiempo para completar el movimiento dentro de una hora es:

 45 0,−−8 ≥0 > ≤11>11 −−,∙ 10,36790,6321<0,8 ,

para


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Modelo M/M/s Ejemplo (a) Obtener las diversas medidas de desempeño si el tren tractor-remolque será elegido. Evalúe qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores. El porcentaje de tiempo que no más de tres cargas están esperando para iniciar su movimiento (más uno que actualmente está siendo movido) es: Pn  (1   )  n P0  1  1 0,8 0, 2 P1  (1  ) 1 (1 0,8 ) 0,8

0,16

 ) 2 (1 0,8) 0,8 P2  (1

2

 )   (1  0, 8) 0, 8 P3  (1

3

 P4  (1  )  (1 0,8 ) 0,8

4

3

0,128

0 ,1024

0,0 8192   P P P4 0, 2 0,16   P0 12 3P 0,128 0,1024 0, 08192 4

0.6723

 80%.

Por lo tanto, el tren tractor-remolque no cumple ninguno de los criterios. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

46

Modelo M/M/s Ejemplo (b) Repita el apartado (a) si la carretilla se eligiera 4

Tasa media de arribo:

Tasa media de servicio:   60 / 9  6, 6 1

W 

  

Wq  L

 (   )

 

Lq 



0, 375

0, 5 horas

6,6 4

 

1







4

4

 1, 5

6,6 (6,6  4)

6,6 4

2  (   )



42

6,6 (6,6  4)

 0, 225

 0, 9


47

Modelo M/M/s Ejemplo (b) Repita el apartado (a) si la carretilla se eligiera El porcentaje de tiempo para completar el movimiento dentro de una hora es:

   4 0,6 −−  6,6 > ≤11>11 ≥0 −, −,∙ 10,0690,931>0,8 ,

para


48

Modelo M/M/s Ejemplo (b) Repita el apartado (a) si la carretilla se eligiera El porcentaje de tiempo que no más de tres cargas están esperando para iniciar su movimiento (más uno que actualmente está siendo movido) es: Pn  (1   )  n P0  1  1 0,6 0, 4

 ) 1 (1  0,6  ) 0,6 P1  (1

0,2 4

2

 )  (1 0,6) 0,6 P2  (1

2

 )   (1  0, 6) 0, 6 P3  (1

3

P4  (1  )  (1 0,6 ) 0,6

4

3

4

P0 12 3 P  P  P

0,144

0 , 0864 0,0 5184

P4 0, 4 0, 24 0,144  0, 0864  0, 05184 0.922 80% .

Por lo tanto, la carretilla cumple todos los criterios.


49

Modelo M/M/s Ejemplo (c) Comparar las dos alternativas en términos de su costo total esperado por hora (incluyendo el costo de inactividad de los bienes).

Para el tren tractor-remolque, calculamos costo total esperado por hora = $ 20L + $ 50 = $ 20 (4) + $ 50 = $ 130. Para la total carretilla elevadora, obtenemos costo esperado por hora = $ 20L + $ 150 = $ 20 (1,5) + $ 150 = $ 180. (d) ¿Qué alternativa debería elegir Jerry? Esta es una decisión de juicio, dependiendo de si usted piensa que es más importante para cumplir los criterios (que favorece la carretilla elevadora) o para reducir al mínimo lo que se ha cuantificado como el costo total esperado por hora (que no incluye el costo adicional de producción de las instalaciones que tienen que esperar un número excesivo de cargas que necesitan ser movidas). Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

50

Modelo M/M/s Resultados del caso de varios servidores (s > 1) (M/M/s) con

  >

  ()!   1,2,….,   ()   −  ()−  , 1,… . !  !  <1  ρ − ()  ()  − ()  ()  1 −     1 1= !  ! =  1 = !  ! 1()    ()!   0 ≤≤   ()  !−   ≥ Cuando s > 1, los factores

En consecuencia, si

se convierten en:

> , s [de manera que

], entonces:

Donde el termino para n = 0 en la ultima suma lleva al valor correcto de 1 debido a la convención de que n! = 1 cuando n = 0. Estos factores dan también:


51

Modelo M/M/s Resultados del caso de varios servidores (s > 1) (M/M/s) con Más aún:

  () =  = + = !   ()  ()! =  ()     ()   !    =1   ()   ()!    1   !(1) 

  >

     1   1  


52


  >

El método de un solo servidor para encontrar la distribución de probabilidad de los tiempos de espera se puede extender al caso de varios servidores. Al aplicarlo se obtiene (para ):

≥0   1 () 1−(−−)  − >   >(1 !(1) 0) −−1  −   0=   −(−− ) 1  1  0, 1  

Donde:

Cuando

debe sustituirse por


53


  >

  * >0 > , ≥0   >  >0 * (1  0) −−  0 ) −− (1      11  11   1  1   1  0 1  0   

Probabilidad condicional de

Esperanza condicional de

Esperanza no condicional de


54

Modelo M/M/s Valores de L del modelo M/M/s


55

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s La sala de urgencias del HOSPITAL GENERAL proporciona cuidados médicos rápidos a los casos de emergencia que llegan en ambulancia o vehículos particulares. En todo momento se cuenta con un médico de guardia. No obstante, debido a la creciente tendencia a usar estas instalaciones para casos de urgencia en lugar de ir a una clínica privada, cada año el hospital experimenta un aumento continuo del número de pacientes que llegan a la sala de emergencias. Como resultado, es bastante común que los pacientes que llegan durante las horas pick (temprano en la tarde) tengan que esperar turno para recibir el tratamiento del médico. Por ello, se ha presentado una propuesta para asignar un segundo médico a esta sala durante esas horas pick, para que se puedan atender dos casos de emergencia al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero administrador del hospital que estudie esta opción. el ingeniero administrador ha concluido que los casos de emergencia llegan casi de manera aleatoria (proceso de entrada de Poisson), por lo que los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial. También llegó a la conclusión de que el tiempo que necesita un médico para atender a los pacientes sigue aproximadamente una distribución exponencial. Con base en este contexto, eligió el modelo M/M/s para hacer un estudio preliminar de este sistema de colas. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

56

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Al proyectar los datos disponibles del turno de la tarde al año próximo, estima que los pacientes llegarán a una tasa promedio de uno cada media hora. Un médico requiere un promedio de 20 minutos para atender al paciente. Si se usa una hora como unidad de tiempo,

11 1 123 horas por cliente 3 2clientes por hora

Las dos alternativas bajo consideración son: continuar con un solo medico durante este turno (s = 1) o agregar un segundo medico (s = 2). En ambos casos,

  <1


57

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Para s=1 se tiene: s  s 1 (/ ) (n /)  1    !s 1 ( / )  s    n0 n !  (/ ) 0( / ) 11  P0  1 /    1 1 ( / )     1

P0  1 / 

P0  1 / 1  ( /  )   1 ( / ) 

 1 ( /)  ( /)   1/  1 ( / )     1  1/    1 ( /)   

  

  

 (1   )


58

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Para s=1 se tiene: Tasa media de arribo:

2

Tasa media de servicio:   3 1

W 



 

1 3 2

 1hora

  

Lq 





2 3 2

2



 



2 3

P0  1  1 

2

1

3

3 2 2



Wq   2 2   (   ) 3(3 2)  3 L



2 2

2



 (   ) 3(3 2)  3

4

P1  (1  )  1 1     3 n3 1 2 Pn  (1   )  n   3 3

2 9

P

q

 t    e   (1  ) t  (2/3) e  t

P

q

 0 2 / 3

P

q

 1 /2  (2/ 3) e 1/ 2 0, 404

P

q

 1 (2/3 ) e 1 0,2 45


59

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Para s=2 se tiene: 



s



2 23



1 3

 s 1 (/ ) (n /)  1s    !s 1 ( / )  s    n 0 n !

P0  1 / 

 (/)

P0  1 /  

0

(/)



1  1  2 23 1 P0  1 / 1   3 9 2 2

(1/)

 !1

s

1

s


  

60

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Para s=2 se tiene:

()!    0 ≤≤   ()   !−   ≥

P1 

( /  ) n

n! 21 1  P1  32 3

P0

)n P Pn  ( /  0 ns s !s (2 / 3) n 1 Pn  2  2n  2 2 (2/3) n Pn  2n

1 Pn    3 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

n2 n2 n2

n

n2 61


Lq  Lq 

P0 ( /  ) s  s !(1  ) 2 (1/ 2)(2 / 3) 2(1/ 3)



2(2/3) 2  1

2 L  Lq         12 3 4

Wq 

Lq 



1 / 12



1

2 24 1 11 3

W  Wq     24 3 8

1 12 3

  >(1−  0) −−   0=    12 13 56   0 >01 56  16 0,167   >11 56 − 0,003   >  16 − Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

62


>

 1−(−−)  ()  − 1 !(1) 1 

> 21 −(3 −) Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

63

Modelo M/M/s Ejemplo Sistema M/M/s Resumen


64

Modelo M/M/s/K Este modelo es una variación de cola finita del modelo M/M/s Los sistemas de colas a veces tienen una cola finita; esto es, no se permite que el número de clientes en el sistema exceda un número especificado (denotado por K), por lo que la capacidad de la cola es K –s. A cualquier cliente que llega cuando la cola está “llena” se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre. Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte, la tasa media de entrada al sistema se hace cero en estos momentos.



Por lo mismo, la única modificación necesaria en el modelo M/M/s para introducir una cola finita es cambiar los parámetros a:

1 , 2 , … ,  1  0  0, ≥ Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

65

Modelo M/M/s/K

 0 />1 →→

Como para algunos valores de n, un sistema de colas que se ajuste a este modelo alcanzará en algún momento la condición de estado estable, aun cuando . M/M/s/K M/M/s

K finito K infinito

Interpretación física del modelo M/M/s/K: se cuenta con un espacio limitado de espera que admite un máximo de K clientes en el sistema. Interpretación alternativa: los clientes que llegan dejarán el sistema y se “irán a otra parte” cuando encuentren demasiados clientes (K) en el sistema antes que ellos, pues no están dispuestos a soportar una larga espera. Este fenómeno de desistir es bastante común en los sistemas de servicio comercial, pero existen otros modelos disponibles que se ajustan mejor a esta situación. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

66

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de un servidor (M/M/1/K)

   0,1,2,…    0  > ≠1

Entonces para

:

 1=1() ()11   +  11+   1+   0,1,2,… 1

de manera que:


67

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de un servidor (M/M/1/K) Entonces:

  =1    1+ =  ()  11+   = +  11+   11 + 1  1(1 + )(1) +  (1)   + Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

1 1

68

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de un servidor (M/M/1/K) Como es usual (cuando =1):

 (1 ) < <1) <1    (1)++ →0  →∞ →//  ,  1 1    = −  =  (1 )

Note que los resultados anteriores no exigen que

(

.

Cuando

Donde:


69

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de varios servidores (M/M/s/K, s > 1). Debido a que este modelo no permite más de K clientes en el sistema, K es el número máximo de servidores que pueden tenerse. Suponga que .

()!   0,1,2, … ,   ()   −  ()−  ,1,…, ()!!0    1, ! 2,…, >   ()!−   ,1,… , 0  >

≤

Donde:

  s (/ ) P0  1 /      n  0 n !

n

(/ ) s      s!

     n  s 1  s   K


ns

    70

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de varios servidores (M/M/s/K, s > 1). Si se adapta a este caso la derivación de Lq del modelo M/M/s, se llega a:

  !(()1)   1 −  − 1−

−

   =  =,    1    =  −  =  (1 )

Donde:


71

Modelo M/M/s/K Resultados en el caso de varios servidores (M/M/s/K, s > 1). ¿Qué sucede cuando K=s? Cuando K = s, la capacidad de la cola es K –s = 0.

En este caso, los clientes que llegan cuando todos los servidores están ocupados dejan el sistema de inmediato y se pierden. Esto ocurrirá, por ejemplo, en una red telefónica con s líneas troncales de manera que cuando todas estas líneas están ocupadas, quien llama obtiene una señal de ocupado y cuelga. Este tipo de sistema (un “sistema de colas” sin cola) se conoce como sistema de pérdidas Erlang, porque el primero que lo estudió a principios del siglo XX fue A. K. Erlang, un ingeniero en telefonía holandés, a quien se considera el fundador de la teoría de colas. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

72

Modelo M/M/s/K Ejemplo modelo M/M/s/K La oficina de reservaciones de Central Airlines tiene dos agentes que responden las llamadas telefónicas entrantes para reservas de vuelos. Además, una persona que llama puede ser puesto en espera hasta que uno de los agentes está disponible para tomar la llamada. Si las tres líneas telefónicas (ambas líneas de agente y la línea de retención) están ocupadas, un cliente potencial recibe una señal de ocupado, en cuyo caso la llamada puede ir a otra línea aérea. Las llamadas e intentos de llamadas se producen al azar (es decir, de acuerdo con un proceso de Poisson) a una tasa media de 15 por hora. La duración de una conversación telefónica tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. a) Construya el diagrama de tasas para este sistema de colas. b) Encuentre la probabilidad de estado estable que: i. Una persona que llama llega a hablar con un agente de inmediato, ii. La persona que llama se pone en espera, y iii. La persona que llama recibirá una señal de ocupado. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

73

Modelo M/M/s/K Ejemplo modelo M/M/s/K Dado que este sistema de colas tiene dos servidores (los agentes) y el número máximo de clientes (las llamadas entrantes) permitidos en el sistema es de 3, el modelo aplicable es la variación de cola finita del modelo M/M/s con:

3, 15,  60/415

El diagrama de tasas se muestra a continuación:


74

Modelo M/M/s/K Ejemplo modelo M/M/s/K Probabilidades de estado estable 



s



15 2 15



1

2

ns   s (/ ) n (/)   s K  P0  1 /           n  0 n !   s ! n  s 1  s       (/) 0( / ) 1 ( / )2  (/2)    P0  1 /        1 2    2!  1  1 1 1 4  0, 3636 P0  1 / 11    2 22  11 


75

Modelo M/M/s/K Ejemplo modelo M/M/s/K Probabilidades de estado estable

()!    1,2,…,   ()!−   ,1,… , 0  > P1 

( /) 

P2 

(/ ) 

P3 

(/ ) 

1!

2! 2!2

1

4 4 P0  1 11 11 2 14 2 P0   2 11 11 3 14 1 P0   4 11 1 1

0, 3636

0,1818 0, 0909


76

Modelo M/M/s/K Ejemplo modelo M/M/s/K Probabilidades de estado estable Por lo tanto,

i.

La probabilidad de estado estable que una persona que llama llega a hablar con un agente de inmediato:

ii.

La probabilidad de estado estable que una llamada se pone en espera

iii.

La probabilidad de estado estable que una persona que llama recibirá una señal de ocupado.

≤1   0,36360,36360,727 2  0,1818 3  0,09 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

77

Modelo M/M/s con población potencial finita Variación de fuente d e entrada finita al modelo M/M/s

⇒

Fuente de entrada está limitada tamaño de población potencial es finito. Sea N el tamaño de esa población. Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n = 0, 1, 2, . . ., N), existen sólo N – n clientes potenciales restantes en la fuente de entrada.

Aplicación: Problema de reparación de máquin as Se asigna a uno o más técnicos mantener en operación cierto grupo de N máquinas dando servicio a cada una de las que se descomponen. Un técnico de mantenimiento es un servidor individual si trabaja en forma independiente en máquinas diferentes Miembros de una cuadrilla completa se toman como un servidor si trabajan unidos en cada máquina. Las máquinas constituyen la población potencial. Cada una se considera un cliente en el sistema de colas cuando está descompuesta en espera de ser reparada, mientras que cuando está en operación está fuera del sistema. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

78

Modelo M/M/s con población potencial finita Variación de fuente d e entrada finita al modelo M/M/s Observe que todos los miembros de la población potencial alternan entreestar adentro y afuera del sistema de colas. Entonces, el análogo del modelo M/M/s que se ajusta a esta situación supone que el tiempo afuera de cada miembro (esto es, el tiempo que pasa desde que deja el sistema hasta que regresa) tiene una distribución exponencial con parámetro .



Cuando n miembros están adentro y, por supuesto, N – n miembros están afuera, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima llegada al sistema es la distribución del mínimo de los tiempos restantes afuera de esos N–n miembros.

 ()

Las propiedades 2 y 3 de la distribución exponencial implican que esta distribución debe ser exponencial con parámetro .

 0 

Como para , cualquier sistema que se ajuste a este modelo alcanzará en algún momento la condición de estado estable. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

79

Modelo M/M/s con población potencial finita Resultados para el caso de un solo servidor (s = 1)

  !    ≤  1⋯1   0  !   >  !     1= !   (1)  =  (1 )   !!    ,  1,2,…,     1       =   ,       (1 )      =  ()  = Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

80

Modelo M/M/s con población potencial finita Resultados para el caso de varios servidores

(≥>)

  0,1,2,…, !  !  !    !!! −    ,1,… , 0  >    ! !!!!! −   0≤≤ ≤≤ 0 −  >  !    !   1 = !!  = !! −  − −     1     ()  = = = Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

81

Modelo M/M/s con población potencial finita Resultados para el caso de varios servidores

(≥>)


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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/G/1 Como siempre, se supone que los clientes tienen tiempos de servicio independientes con la misma distribución de probabilidad, pero no se imponen restricciones sobre cuál debe ser esta distribución de tiempos de servicio.

 )

En realidad, sólo es necesario conocer (o estimar) la media ( de esta distribución.

(1/)

y la variancia

Condición de estado estable si

/<1

Cuando la distribución de los tiempos de servicio es exponencial

 1     2(1)  

Fórmula de Pollaczek-Khintchine


→  1/ 

     1

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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/D/s Cuando el servicio consiste básicamente en la misma tarea rutinaria que el servidor realiza para todos los clientes, tiende a haber poca variación en el tiempo de servicio que se requiere.

El modelo M/D/s proporciona una representación razonable de este tipo de situaciones porque supone: Todos los tiempos de servicio son iguales a una constante fija (la distribución de tiempos de servicio degenerada) Tiene un proceso de entradas de Poisson con tasa media de llegadas fija.

 0     2(1)

Cuando sólo se tiene un servidor, el modelo M/D/1 es un caso especial del modelo M/G/1, donde , con lo que la fórmula de PollaczekKhintchine se reduce a:


84

Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/D/s


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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/Ek/s El modelo M/Ek/s supone: Una variación cero en los tiempos de servicio

( 0)

,

La distribución exponencial de tiempos de servicio supone una variación muy grande .

 

( 1/ )

(0< <1/ )

Entre estos dos casos extremos hay un gran intervalo , donde caen la mayor parte de las distribuciones de tiempos de servicio reales. Otro tipo de distribución teórica de tiempos de servicio que concuerda con este espacio intermedio es la distribución de Erlang (llamada así en honor del fundador de la teoría de colas).


86

Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/Ek/s La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es:

() −−  ≥0    1! >0 >0,  1 .á 1 1

Donde

y


87

Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/Ek/s Ahora considere el modelo M/Ek/1, que es el caso especial del modelo M/G/1 donde los tiempos de servicio tienen una distribución de Erlang con parámetro de forma k. Cuando se aplica la fórmula de PollaczekKhintchine con:

 1/( ) 2((1) ) 1   1 2 ()    2 ()   1 W


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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Modelo M/Ek/s

Valores de L del modelo M/Ek/2


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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Ejemplo Modelo M/Ek/s Una base de mantenimiento de LAN Chile quiere hacer un cambio en su operaciones de reparación. La situación actual es que sólo un avión puede ser reparado en un momento, y el tiempo esperado de reparación es de 36 horas, mientras que el tiempo esperado entre llegadas es de 45 horas. Esta situación ha dado lugar a retrasos frecuentes y prolongados en la reparación de los aviones entrantes, incluso aunque la base funcione de forma continua. El costo medio de de inactividad de un avión para la aerolínea es de $3.000 por hora. Se estima que cada avión entra en el taller de mantenimiento 5 veces al año. Se cree que el proceso de entrada a la base es esencialmente Poisson y que la distribución de probabilidad de los tiempos de reparación es Erlang, con parámetro de forma k = 2. La alternativa A es proporcionar un taller de mantenimiento doble, de modo que dos aviones se puedan reparar de forma simultánea. El costo, amortizado en 5 años, es de $400.000 por año para cada uno de los aviones de la aerolínea. La alternativa B es reemplazar el presente equipo de mantenimiento por un equipo disponible más eficiente (y caro), reduciendo así el tiempo de reparación esperado a 18 horas. El costo, amortizado en 5 años, es $550,000 por año para cada avión. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía aérea? Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Ejemplo Modelo M/Ek/s

Para la Alternativa A, el sistema dispone de entrada de Poisson con  = 1/45, servicio Erlang con k = 2,  = 1/36, and s = 2.

Para la alternativa B, el sistema tiene entrada de Poisson con  = 1/45, servicio Erlang con k = 2, = 1/18, and s = 1.

Los aviones llegan a una tasa de uno cada 45 horas o, equivalentemente, 8760/45  195 arribos por año. Dado que cada avión va al taller de mantenimiento cinco veces al año, hay aproximadamente 195/5 = 39 aviones. Por lo tanto, el costo de servicio esperado por hora es E[CS] = $400,000(39) / 8760 = $1780.82 por hora, E[CS] = $550,000(39) / 8760 = $2448.63 por hora, Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

para la Alternativa A, para la Alternativa B. 91

Modelos de Colas con Distribuciones no Exponenciales Ejemplo Modelo M/Ek/s

Ahora tenemos que evaluar el costo esperado de espera por hora, lo que requiere determinar primero L. Para la Alternativa A, 1 2

45 L = 0.91 (estimado desde la Figura anterior)  1 5 2   36  Para la alternativa B, utilizando la fórmula de M/Ek/1 (basado en la fórmula Pollaczek-Khintchine): 2 1     1    2   3 45   1 k      45 3 L      4     15 1 1  1  2k ()        18   18 45    18  El cálculo resultante del costo total esperado por hora para las dos alternativas se muestra en la siguiente tabla.



Alternativa A B

E[CS] $1780.82 $2448.63

E[CE] = $3000L $2730 $1800

E[CT] $4510.82 $4248.83

La conclusión es que la aerolínea debe elegir la alternativa B ya que tiene un costo total esperado significativamente menor por hora E(CT). Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades En los modelos con disciplina de prioridades, la disciplina de la cola se basa en un sistema prioritario. El orden en el que se seleccionan los clientes para darles el servicio se basa en sus prioridades asignadas. Muchos sistemas reales se ajustan a este tipo de modelos mucho mejor que a otros disponibles. Los trabajos urgentes se hacen antes que otros trabajos y los clientes importantes tienen precedencia sobre otros. Con frecuencia, el uso de modelos con disciplina de prioridades proporciona un refinamiento muy aceptable en comparación con otros modelos de colas más usuales. Se presentarán dos modelos básicos con disciplina de prioridades. Como ambos se basan en los mismos supuestos, excepto por la naturaleza de las prioridades, primero se describen los modelos juntos y después se resumen sus resultados por separado. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Supuestos de los modelos Ambos modelos suponen que existen N clases de prioridad (la clase 1 tiene la prioridad más alta la clase N la más baja) Siempre que un servidor queda libre para comenzar el servicio de un nuevo cliente, el cliente que se selecciona es el miembro de la clase prioritaria más alta representada en la cola y que haya esperado más (FIFO). Cada clase prioritaria está sometida a un proceso de entradas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. El tiempo medio de servicio es el mismo para todas las clases prioritarias, pero permite que la tasa media de llegadas difiera entre ellas.

La distinción entre los dos modelos se basa en que una de las prioridades es sin interrupción y la otra con interrupción. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Modelo de prioridades sin interrupción Cuando se aplica el modelo de prioridades sin interrupción no se puede regresar a la cola a un cliente que se encuentra en servicio (interrumpirlo) si entra un cliente de prioridad más alta al sistema de colas. Por lo tanto, una vez que el servidor comienza a atender a un cliente, el servicio debe terminar sin interrupción.


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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Modelo de prioridades con interrupción El cliente de prioridad más baja que se encuentre en servicio es interrumpido (va de regreso a la cola) cada vez que entra un cliente con prioridad más alta al sistema de colas.

En esta situación se libera un servidor para que el servicio al recién llegado comience de inmediato. Cuando un servidor termina un servicio, se selecciona el siguiente cliente para comenzar otro servicio, de manera que, por lo general, un cliente interrumpido regresará a servicio y, después de suficientes intentos, finalmente terminará.


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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Resultados en el modelo con prioridades sin interrupción Sea Wk el tiempo esperado de espera en el sistema en estado estable (lo cual incluye el tiempo de servicio) de un miembro de la clase de prioridad k. Entonces,

  −1   1  1,2,…,  −=!   1   !   1 =   1           = 

Donde:

número de servidores

tasa media de servicio por servidor ocupado

tasa media de llegadas de la clase de prioridad i


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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Resultados en el modelo con prioridades sin interrupción Estos resultados suponen que

  <  = 

De manera que la clase de prioridad k puede alcanzar una condición de estado estable. La fórmula de Little se aplica a las clases individuales de prioridad, por lo que , el número esperado de miembros de la clase de prioridad k en el sistema de colas (incluso los que están en servicio), es

   1,2,…,    1

    Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción La fábrica Becker Company ha estado experimentando retrasos en los trabajos que pasan por el departamento de tornería debido a la falta de capacidad. El jefe de este departamento sostiene que se requieren cinco máquinas, en lugar de las tres máquinas que existen actualmente. Sin embargo, debido a la presión de la dirección para mantener bajas las inversiones, será autorizada sólo una máquina adicional a menos que haya pruebas sólidas de que una segunda es necesaria. Esta tienda hace tres tipos de trabajo, esto es, los trabajos del gobierno, trabajos comerciales, y los productos estándar. Cada vez que un operador de torno termina un trabajo, él comienza un trabajo del gobierno si uno está esperando; si no, él comienza un trabajo comercial si cualquiera está esperando; si no, inicia un producto estándar si están a la espera. Empleos del mismo tipo se toman sobre una base de orden de primero en llegar primero en ser servido. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción Aunque se requiere mucho trabajo de horas extra en la actualidad, la administración quiere que el departamento de tornería opere sobre una base de 8 horas 5 días-por-semana. La distribución de probabilidad del tiempo requerido por un operador de torno para un trabajo parece ser aproximadamente exponencial, con una media de 10 horas. Los trabajos se reciben en la tienda al azar (un proceso de Poisson) a una velocidad media de 6 por semana para los trabajos del gobierno, 4 por semana para los trabajos comerciales, y 2 por semana para los productos estándar. (Se espera que estas cifras siguen siendo los mismos para un futuro indefinido). La gerencia siente que el tiempo medio de espera antes de comenzar el trabajo en el departamento de tornería no debe exceder de 0,25 días (de trabajo) para los trabajos del gobierno, 0,5 días para trabajos comerciales, y 2 días para los productos estándar. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (a) Determine cuántos tornos adicionales se necesitan para satisfacer estas directrices de la gerencia. Usando semana como la unidad de tiempo  = 4, 1 = 6, 2 = 4, and 3 = 2,

Donde: Clase 1: trabajos del gobierno Clase 2: trabajos comerciales Clase 3: trabajos estándar. El problema es determinar cuál es la mejor opción si s = 4 o s = 5

 =  64212

   124 3


101

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (a) Determine cuántos tornos adicionales se necesitan para satisfacer estas directrices de la gerencia.

Para

4 − 

!     4! 4∙412 3  3  3  3 4∙431,41 3 1 −0!11 1!1 2!1 3!1,21,…,  1  = = !  1 6 5       31,41∙1∙(5/8)  4 0,30094  1 4∙4  8   1  1  31,41∙(5/8)∙1 (3/8)  14 0,38584 3  1 64  1  1  31,41∙(3/8)∙1 (1/4)  14 0,58962 4∙4 8     1 642  1 4∙4 4 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (a) Determine cuántos tornos adicionales se necesitan para satisfacer estas directrices de la gerencia. Usando unidades en semanas, la gerencia ha establecido las siguientes directrices para el tiempo medio de espera antes de que comience el trabajo: No más de 0,05 la semana durante los trabajos del gobierno. No más de 0,1 semanas para trabajos comerciales. No más de 0,4 semanas para los puestos de trabajo estándar.

   114 0,300940,250,05094>0,05    14 0,385840,250,13584>0,1    4 0,589620,250,33962<0,4

Por lo tanto, los trabajos del gobierno apenas fallan las directrices y los trabajos comerciales falla estas directrices por una cantidad sustancial. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (a) Determine cuántos tornos adicionales se necesitan para satisfacer estas directrices de la gerencia. Para

5 − 

!    5! 5∙412 3  3  3  3  3 5∙452,35 2! 1 3!1,4!2,…,1  1 = = ! 31 −10!1  11!   1 6 7       52,35∙1∙(7/10)  4 0,27729  1 5∙4  10   1  1  52,35∙(7/10)∙1 (1/2)  14 0,30458 1  1 64  1  1  52,35∙(1/2)∙1 (2/5)  14 0,34552 5∙4 2     1 642  2 5∙4 5 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (a) Determine cuántos tornos adicionales se necesitan para satisfacer estas directrices de la gerencia.

   114 0,277290,250.02729<0,05   1 440,0,345520, 04580,250.09552<0, 5458<0,41

Por lo tanto, con 5 tornos estos tiempos de espera estarían dentro de las directrices de la gerencia.


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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción (b) Vale la pena gastar un valor de $750, $450, y $150 para evitar un retraso de 1 día adicional (de trabajo) en un trabajo de gobierno, trabajo comercial y trabajo estándar, respectivamente. El costo incremental capitalizado de proporcionar a cada torno (incluyendo el operador y otros) se estima en $250 por día de trabajo. Determinar el número de tornos adicionales que deben obtenerse para minimizar el costo total esperado. La conversión a unidades de semana (con 5 días de trabajo a la semana), que tiene un valor de $3750, $2250, y $750 para evitar una demora de 1 semana adicional en un trabajo de gobierno, comercial y estándar, respectivamente.


106

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo modelo con prioridades sin interrupción

4 () 3750∙   3750∙ 6 ∙ 0 , 3 0094    ()  2250∙  2250∙4∙0,38584 ()  750∙  750∙2∙0,58962 5

()∙5∙250   4∙ 5∙ 2505000

() 3750∙ 2250∙ 3750∙ 2250∙2∙064,∙304552 ,237729 0458 750∙ 750∙

  5∙ 5∙ 2506250

E[CE]

s 4 5

Gobierno

Comercial

Estandar

Total

E[CS]

E[CT]

6771.15 6239.02

3472.65 2741.22

884.43 518.28

11128.23 94985.2

5000 6250

16128.23 15748.52

Por lo tanto, se deben solicitar dos tornos (para un total de 5) para minimizar el costo total esperado por semana. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

107

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Variación de un servido r en el modelo de prioridades sin interrupción El supuesto anterior de que el tiempo de servicio esperado mismo para todas las clases prioritarias es bastante restrictivo.

1/

es el

En la práctica, a veces se viola este supuesto debido a diferencias en los requerimientos de servicio entre las clases de prioridad. Por fortuna, en el caso especial de un servidor, es posible admitir tiempos esperados de servicio distintos y de todas formas obtener resultados útiles.

1/



Sea la media de la distribución exponencial del tiempo de servicio de la clase de prioridad , entonces



: tiempo medio de servicio de la clase de prioridad


1,2,…, 108

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Variación de un servido r en el modelo de prioridades sin interrupción

  1   −    1,2,…,

Así, el tiempo esperado de estado estable en el sistema de un miembro de prioridad es:

=   1   1=     =  <1 Este resultado es válido mientras

Que permite a la clase con prioridad k alcanzar una condición de estado estable.

La fórmula de Little se puede usar como se describió para obtener las otras medidas de desempeño de cada clase prioritaria. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Resultados en el modelo de prioridades con interrupción En el modelo de prioridades con interrupción, se necesita retomar el supuesto de que el tiempo esperado de servicio es el mismo para todas las clases de prioridad.

Con la misma notación que en el modelo anterior, el hecho de poder interrumpir cambia el tiempo esperado total en el sistema (incluido el tiempo total de servicio) a

(1)1,2,…,   −1  >1 

Cuando , se puede calcular mediante un proceso iterativo que se ilustrará con el ejemplo del Hospital General. La



que se acaba de definir todavía satisface la relación:

   1,2,…,


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Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades En el problema de la sala de urgencias del Hospital General, el ingeniero administrador observó que los pacientes no son atendidos sobre la base de primero en llegar, primero en salir. En su lugar, parece que la enfermera que realiza las admisiones divide a los pacientes en tres grandes categorías:1) casos críticos, en los que el tratamiento inmediato es vital para la supervivencia; 2) casos serios, en los que un tratamiento rápido es importante para prevenir mayor daño, y3) casos estables, en los que el tratamiento puede retrasarse sin consecuencias médicas adversas. Entonces, se atiende a los pacientes en este orden de prioridad, esto es, los pacientes de la misma categoría por lo general son atendidos según la regla de primero en llegar, primero en salir. Un médico interrumpe el tratamiento de un paciente si llega un caso nuevo de una categoría de prioridad más alta. Alrededor de10% de los pacientes caen en la primera categoría, 30% en la segunda y 60% en la tercera. Debido a que los enfermos más graves se internan en el hospital después de recibir los primeros auxilios, el tiempo promedio de tratamiento por un médico en la sala de urgencias en realidad no difiere mucho entre estas categorías. El ingeniero ha decidido emplear el modelo de colas con disciplina de prioridades como una representación razonable de este sistema de colas, en el que las tres categorías de pacientes constituyen las tres clases de prioridad del modelo. Como el tratamiento se interrumpe debido a la llegada de un caso de prioridad más alta, la versión de prioridades con interrupción es la apropiada. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

111

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades

(32)  ∙   2∙0,10,2  2∙0,30,6  2∙0,61,2 :=   1  1      1 −  1,2,…,   1  1∙01,913333 0,357  1 1∙30,  9 33  0, 2 0, 6 1 1∙3 0,733     0,933∙0,733 0,487  1 0,20,1∙361,2 0,333   1  0,733∙103,333 1,366    (1/)   (1/3)0,3570,3330,024   (1/3)0,4870,3330,154   (1/3)1,3660,3331,033 Dados los datos que se tenían desde antes anteriores conducen a:

, los porcentajes

Para


112

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades Para

:

  0  0

Como los tiempos de espera de los clientes de la clase de prioridad 1 no se ven afectados por la presencia de clientes de clases de prioridad más baja, será la misma que para cualquier otro valor de y , incluyendo y . Entonces, debe ser igual a W en el modelo correspondiente de una clase (modelo M/M/s) con , que conduce a:

 2, 3 0, 2 

 0, 2   0,033 s 2  3

 s 1 (/ ) (n /)  1s    !s 1 ( / )  s    n0 n ! s   (/) 0(/ ) ( 1/ ) 1  P0  1 /       1 s  !1  1 P0  1/1 0, 067  0, 0022  1, 034  0, 9352 P0  1 / 


113


:

L1q  L1q 

P0 ( /  ) s  s !(1  ) 2 (0, 9352)(0, 067) 2 (0, 033)

L L1q

2 (0,967) ( / )

2

 0, 000074

0, 000074 0, 067 

0, 067074

W1q  L1q /   0,0 00074 / 0, 2 0,0 0037 W1  W1q

1 

 0, 00037 0, 33333 0, 3337


114

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades

:

Para Ahora considere las dos primeras clases de prioridad. De nuevo observe que los clientes de las clases de prioridad más baja (en este caso sólo la clase 3) no afectan a los clientes de estas dos clases en nada y por lo tanto se pueden pasar por alto en el análisis. Con , que conduce a:



3   0,8



s



0, 8

 0,133

23

 s 1 (/ ) (n /)  1 s   P0  1 /    !s 1 ( / )  s    n0 n ! s   (/ ) 0( / ) ( /1 ) 1  P0  1 /      1 s  !1  1 P0  1/1 0, 267  0, 0356  1,153  0, 7645 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

115


: 3   0,8

, que conduce a:

s

L12 q  L12 q 

P0 ( /  )  s !(1  ) 2

(0, 7645)(0, 267) 2 (0,133) 2  (0, 733) 2

L  L 12 q W12 q  L12

 0, 00482

(  / ) 0,0 067  0, 267 q

W12  W12q

0, 2737

/   0,0 0482 / 0,8 0,0 0603 1 

0, 00603 0, 333333 0, 33937

P1 11 2 /(   ) 0,2/(0, 2 0 , 6) 1 /4 P2  2 /(1 2) 0,6/ (0, 2 0 , 6) 3 /4

 1 W (3/2 4) W W12  (1 / 4) W2  (4 / 3)( W  (1/1 4) W) 12 

2 W2 q  W

 ) (1/

 / 3)(0,33937 (1/ 4) 0,3 337) (4

 4126  0,3 (1/ 3)

0,34 126

0, 00793


116

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades Tabla Resumen


117

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades Conclusiones

 (1/)

Cuando s = 1, los valores de la tabla anterior en el caso de prioridades con interrupción indican que, si se proporciona un solo médico, puede ocurrir que algunos casos críticos esperen alrededor de un minuto y medio (0.024 horas) en promedio, los casos serios esperarían más de 9 minutos y los casos estables más de 1 hora. Ahora bien, estos valores representan esperanzas estadísticas, por lo que algunos pacientes tendrán que esperar bastante más que el promedio de su clase de prioridad. Esta espera no sería tolerable para los casos críticos y serios, en los que unos minutos pueden ser vitales.


118

Modelos de Colas con Disciplina de Prioridades Ejemplo del Hospital General con prioridades Conclusiones Por el contrario, los resultados con s = 2 en la tabla (prioridades con interrupción) indican que si se agrega un segundo médico, casi se eliminaría la espera de todos los pacientes menos los estables. El ingeniero recomendó que el próximo año se asignaran dos médicos a la sala de urgencias durante las primeras horas de la tarde.

El consejo directivo del Hospital General adoptó esta recomendación y, al mismo tiempo, aumentó el costo por el uso de esas instalaciones.


119

Redes de Colas Introducción Hasta ahora se han tomado en cuenta nada más los sistemas de colas que tienen una estación de servicio con uno o más servidores, pero, en realidad, los sistemas de colas que se encuentran en los estudios de IO a veces son redes de colas, es decir, redes de instalaciones de servicio en las que los clientes solicitan el servicio de algunas o todas ellas. Por ejemplo, las órdenes que se procesan en un taller se deben programar a través de una secuencia de máquinas entre un grupo (instalaciones de servicio). Es necesario, entonces, estudiar toda la red para obtener información sobre el tiempo esperado total, número esperado de clientes en todo el sistema, etcétera.

Un tema importante es la propiedad de equivalencia del proceso de entrada de los clientes y un proceso de salida de los que se van, en ciertos sistemas de colas. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Redes de Colas Propiedad de equivalencia



Suponga que una instalación de servicio tiene s servidores, un proceso de entradas Poisson con parámetro y la misma distribución de los tiempos de servicio de cada servidor con parámetro (el modelo M/M/s), en donde .

>



Entonces, la salida en estado estable de esta instalación de servicio también es un proceso de Poisson con parámetro .




121

Redes de Colas Colas infinitas en serie: Supuestos Los clientes deben recibir servicio en una serie de m instalaciones, en una secuencia fija. Cada instalación tiene una cola infinita (el número de clientes que acepta no tiene límite), de manera que las instalaciones en serie forman un sistema de colas infinitas en serie.



Los clientes llegan a la primera instalación de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro .





Cada instalación i (i = 1, 2, . . ., m) tiene la misma distribución exponencial de tiempos de servicio con parámetro de sus servidores, donde .

 >

Debido a la propiedad de equivalencia se puede decir que (en condiciones de estado estable) cada instalación de servicio tiene entrada Poisson con parámetro . Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Redes de Colas Colas infinitas en serie: Supuestos Entonces, se puede usar el modelo elemental M/M/s para analizar cada instalación de servicio en forma independiente de las otras. Al poder usar el modelo M/M/s para obtener las medidas de desempeño de cada instalación independiente, en lugar de analizar la interacción entre las instalaciones, se logra una simplificación enorme.

    , ,…,   ,,…,   ⋯

Por ejemplo, la probabilidad de tener n clientes en una instalación en particular está dada por la fórmula de del modelo M/M/s. La probabilidad conjunta de clientes en la instalación 1, clientes en la instalación 2, etc., es, entonces (solución en forma de producto):

El tiempo de espera total esperado y el número esperado de clientes en el sistema completo se pueden obtener con sólo sumar las cantidades correspondientes que se obtuvieron de cada instalación. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Redes de Colas Redes de Jackson Una red de Jackson es un sistema de m instalaciones de servicio en donde la instalación i (i = 1,2, . . ., m) tiene: 1.

Una cola infinita

2.

Clientes que llegan de afuera del sistema según un proceso de entrada Poisson con parámetro

    (1,2,…, )    1=  3.

servidores con distribución exponencial de tiempos de servicio con parámetro .

Un cliente que deja la instalación i se encamina después a la instalación con probabilidad o sale del sistema con probabilidad


124

Redes de Colas Redes de Jackson Cualquier red de este tipo tendrá la siguiente propiedad: En condiciones de estado estable, cada instalación j (j = 1, 2, . . ., m) de una red de Jackson se comporta como si fuera un sistema de colas M/M/s independiente con tasa de llegadas:

    =    >


125

Redes de Colas Redes de Jackson: Ejemplo Considere una red de Jackson con tres estaciones de servicio que tienen los parámetros que se muestran en la siguiente tabla.

Al sustituirlos en la fórmula de

      =  

  10. 1   0.4  40. 6   0.4   30.3  0.3  1  5,   10,   7 2 para j = 1, 2, 3, se obtiene:


126

Redes de Colas Redes de Jackson: Ejemplo Dada esta solución simultánea, se pueden analizar las tres estaciones de servicio de manera independiente mediante las fórmulas del modelo M/M/s. Por ejemplo, para obtener la distribución del número de clientes , en la estación , note que:

 



     1223  12 4  3 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

127

Redes de Colas Redes de Jackson: Ejemplo

 1 1   2 2    ó 1 13    0  1    1   ó 2   13 12 1−3    ≥2   4 4   ó 3  (,,  (, , )   1,    43 ,  3      23 1    5 3 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Aplicación de la Teoría de Colas Introducción Debido al valor de la información que proporciona la teoría de colas, ésta se usa con amplitud para dirigir el diseño (o rediseño) de sistemas de líneas de espera. Las posibles decisiones incluyen: 1. Número de servidores en cada instalación de servicio. 2. Eficiencia de los servidores. 3. Número de instalaciones de servicio. 4. Cantidad de espacio para espera en la cola. 5. Algunas prioridades para diferentes categorías de clientes. Existen dos consideraciones primordiales cuando se deben tomar estos tipos de decisiones son

El costo en el que se incurre al dar el servicio y Las consecuencias de hacer que los clientes esperen en el sistema de colas. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Aplicación de la Teoría de Colas Introducción Existen enfoques básicos: Establecer uno o más criterios para lograr un nivel satisfactorio del servicio en términos de cuánta espera sería aceptable. Por ejemplo, un criterio posible podría ser no exceder cierto número de minutos. Que al menos 95% de los clientes no deben esperar más de determinado número de minutos. Criterios similares en términos del número esperado de clientes en el sistema (o la distribución de probabilidad de esta cantidad). El criterio también puede establecerse en términos del tiempo de espera o del número de clientes en la cola en lugar de en el sistema. Una vez que se ha seleccionado el criterio o los criterios, por lo general es sencillo utilizar prueba y error para encontrar el diseño menos costoso del sistema de colas que satisface todos los criterios. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Aplicación de la Teoría de Colas Introducción El otro criterio básico para buscar la mejor compensación implica evaluar los costos asociados con las consecuencias de hacer esperar a los clientes. Por ejemplo, suponga que el sistema de colas es un sistema de servicio interno, donde los clientes son los empleados de una empresa comercial. Si se hace que éstos esperen en el sistema de colas, se ocasiona una pérdida de productividad, lo que provoca pérdidas monetarias. Esta pérdida es el costo de espera asociado con el sistema de líneas de espera. Al expresar este costo de espera como una función del tamaño de la espera, el problema de determinar el mejor diseño del sistema de colas se puede definir como la minimización del costo total e sperado (costo del servicio más costo de espera) por unidad de tiempo.


131

Aplicación de la Teoría de Colas ¿Cuántos servidores deben proporcionarse?

       ()         

costo total esperado por unidad de tiempo

costo de servicio esperado por unidad de tiempo costo de espera por unidad de tiempo

donde

es el costo marginal de un servidor por unidad de tiempo

donde es el costo de espera por unidad de tiempo de cada cliente en el sistema de colas.


132

Aplicación de la Teoría de Colas ¿Cuántos servidores deben proporcionarse?


133

Aplicación de la Teoría de Colas ¿Cuántos servidores deben proporcionarse?: Ejemplo El taller Acme Machine tiene un depósito para las herramientas que necesitan los mecánicos del taller. Los despachadores tienen en su poder las herramientas hasta que llegan los mecánicos y las solicitan. Después las recogen cuando éstos ya no las necesitan. Los supervisores han presentado quejas pues sus mecánicos pasan demasiado tiempo esperando ser atendidos en el depósito de herramientas, por lo que parece que debería haber más despachadores. Por otro lado, la administración ejerce presión por reducir gastos en la planta, reducción que conduciría a tener menos despachadores. Para resolver estas presiones conflictivas, se ha realizado un estudio de IO para determinar con exactitud cuántos despachadores debe tener el depósito de herramientas. El depósito de herramientas constituye un sistema de colas, en el cual los despachadores son los servidores y los mecánicos los clientes. Después de recopilar algunos datos sobre los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio, el equipo de IO ha concluido que el modelo que se ajusta mejor a este sistema de colas es el M/M/s. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Aplicación de la Teoría de Colas ¿Cuántos servidores deben proporcionarse?: Ejemplo

 120   

Las estimaciones de la tasa media de llegada (por servidor) son:



y la tasa media de servicio

80   

El costo total para la compañía por cada despachador del depósito de herramientas es de alrededor de $20 por hora. Mientras un mecánico esté ocupado, el valor de su trabajo para la compañía promedia $48 por hora. Por lo tanto, el equipo de IO necesita determinar el número de servidores (despachadores) s para minimizar el costo total esperado.


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Aplicación de la Teoría de Colas ¿Cuántos servidores deben proporcionarse?: Ejemplo Datos:

120       80        20  48     20∙48∙

Por lo tanto, con s=3 se minimizan los costos totales esperados E(CT). Profesor MSc. Claudio Araya Sassi

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Teoría de Líneas de Espera

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