MODELOS DE LINEAS DE ESPERA Ing. Jorge Moya Delgado Facultad de Ciencias Informáticas
Hacer
cola... me trauma
Descripción formal formal del Modelo Modelo Líneas de Espera
INTRODUCCIÓN
Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: En un banco En un restaurante de comidas rápidas Al matricular en la universidad Al lavar el automóvil
Introducción
En general, a nadie le gusta esperar Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado Es necesario encontrar un balance adecuado cuando la demanda deman da excede a la capacidad de servicio proporcionada
DESCRIPCION FORMAL DE MODELOS
OBJETIVOS
CATEGORIA TIPOS
OBJETIVOS
El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar determ inar una capacidad de servicio apropiada Minimizar el tiempo de atención y servicio a los clientes o usuarios que llegan en un determinado tiempo
CATEGORIA
PREDICTIVOS SIMBOLICOS DISCRETOS DETERMINISTICO PROB ABILISTICO GENER ALES MATEMATICOS
TIPOS DE MODELOS
MODELO B ASICO MODELO B ASICO CON COLA FINITA
MODELO DE VARIAS LINEAS DE ESPE R A:
UN SERVIDOR VARIOS SERVIDORES UN SERVIDOR VARIOS SERVIDORES
MODELO DE UNA LINEA Y SE RVIDORES SECUENCIALES
2. 1.
ESPECIFICACIONES COMPONENTES
ESTRUCTUR ALES OPER ATIVOS FLUENTES
COMPONENTES ESTRUCTURALES MODELO BASICO
Los modelos que requieren un servicio se generan a través del tiempo de una
fuente de entrada estos clientes entran al sistema y se unen a una cola, en determinado
momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarlo un servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio, s ervicio, luego se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después el
cliente sale atendido.
MODELO BASICO DE LINEAS DE ESPERA Sistema de colas Fuente De entrada
Cola
Disciplina de la cola
Mecanismo de servicio
Clientes Servidos
MODELO DE UNA COLA Y VARIOS SERVIDORES Sistema de colas Servidor Fuente De entrada
Cola
Servidor Servidor
Salidas Salidas Salidas
MODELO VARIAS COLAS MULTIPLES SERVIDORES Sistema de colas Cola Fuente De entrada
Cola Cola
Servidor Servidor Servidor
Salidas Salidas Salidas
MODELO DE UNA LINEA Y SERVIDORES SECUENCIALES Fuente De entrada
Sistema de colas Llegadas
Cola Servidor Cola Servidor
Salidas
COMPONENTES COMPONENT ES OPERATIVOS
FUENTES DE ENTR ADA (Población de Entrada) LINEAS DE ESPER A O COLA (Número máximo permisible de clientes que puede admitir) MECANISMOS DE SERVICIO (una o más instalaciones de servicio) CLIENTES SERVIDOS (atendidos)
COMPONENTES FLUENTES
PERSONAS MATERIALES OPER ACIÓN DE VENTAS CARGA DESCARGA DE MATERIALES REPOSICIÓN DE INVENTARIOS DATOS INFORMACION, MENSAJES CONEXIONES
VARIABLES DESCRIPTIVAS
VARIABLES EXOGENAS
Lq: Longitud de la cola es el número de clientes que hay en la cola N : numero de clientes o unidades en el sistema de colas Pn: Probabilidad que se encuentren n clientes en cola
Variables de estado (o del sistema)
S: Número de servidores (servicios en paralelo) en el sistema de colas L: Longitud o número medio de unidades en el sistema (finito o infinito)
Variables Endógenas (salida)
W:
Tiempo de espera medio en el sistema Wq: Tiempo de espera medio en la cola E(WC): Costo de Espera E(SC): Costo de Servicio E(TC): Total de costos
PARAMETROS
n : Tasa
media de llegada cuando se encuentran encuentra n n clientes en el sistema µn: Tasa media de servicio cuando se encuentran encuentra n n clientes en el sistema : Factor de utilización del sistema
. ITERACCION ENTRE COMPONENTES
RELACIONES
IDENTIDADES CAR ACTERISTICAS OPER ATIVAS
MATEMATICAS
FUNCIONES LINEALES FUNCIONES DE PROB ABILIDAD TENDENCIAS
RED
DE RELACIONES
IDENTIDADES
(MODELO BA BASICO)
Número esperado de clientes en el sistema L = W Longitud medio de la cola Lq = Wq
Relaciones Relac iones Entre L w lq wq wq W ! L / P Wq ! Lq / P
V ! P / sQn L ! PW
1
W ! W q
Q
L ! PW Lq ! PW q
Lq = P2 / (Q - P)* Q
L ! Lq
P Q
Notación Kendall A / B / C/m/d
A = distribución de tiempos de llegada B = distribución de tiempos de servicio C = Número de canales de servicio (s) m = Número máximo de unidades permitidas en el sistema (finito o infinito) d = Disciplina de cola, Puede ser:
FIFO (FCFS): primero en entrar primero en ser servido LIFO: último en entrar, primero en ser servido SIRO (R ANDOM): servicio aleatorio RRI Orden de prioridad
Distribución =
M D G
Markov Determinista General
Distribuciones de Probabilidad
Markov Corresponde a distribuciones de probabilidad de eventos sin memoria, no recuerdan el pasado. Determinista. Ocurren en forma constante y sin cambio. General. trass dis distri tribuc bucion iones es Otra
Modelo M/M/1
Tiempo de llegadas aleatorias (Mar (M arko kovi vian ano) o),, in inde depe pend ndie ient ntes es en entr tre e si. Tiempo de servicio Markoviano, es decir no depende de cuando ocurre sino de la lon ongi gitu tud d del int nter erva valo lo EXP P ISS N O
1
servidor
O
Modelo M/M/1
Si en un periodo T, existe llegadas en promedio, entonces la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:
Si es la tasa de servicio promedio, entonces la probabilidad de que el tiempo de servicio sea t, está dado por:
f(t) = e -t
Ejemplo
Una grúa desplaza objetos de una máquina a otra y se utiliza cada vez que la maquina requiere carga o descarga . La demanda de servicios es aleatoria . Los datos tomados del registro de tiempos entre llamadas de servicios siguen una distribución exponencial, con una media de llamada de cada 30 minutos. De manera semejante, el tiempo real de servicio de carga y descarga toma un promedio de 10 minutos. Si el tiempo de maquina esta avaluado en $8,50 por hora, ¿cuánto vale el tiempo perdido por día . a) b) c) d) e) f)
notación de kendal tiempo perdido por maquina la probabilidad de espera en cola y servicio numero esperado en la cola tiempo esperado en la cola costo del tiempo perdido en día
Solución Analítica
P=2 Q=6
hora
= media de llegada = 30 minutos = 2 por hora = media de servic servicio io 10 minutos por servicio = 6 por
a) notación de kendal M/M/ 1 b) tiempo perdido por maquina = tiempo promedio en el sistema 0,25 5 hor hora a W = 1 / (Q - P) = 1 / ( 6 ± 2 ) = 0,2 c) Probabilidad Probabilidad de espera V = P / Q Lq = P2 / (Q - P)* Q = 36 36 / (6 (6 ± 2) * 6 = 36 36 / 24 24 = 1,5 e) tiempo esperado en la cola Wq = P / Q (Q - P) W q = 2 / 6 (6 ± 2) W q = 2 / 24 W q = 0.08 f) Demanda diaria = 8 P ocho horas diarias = 8 * 2 = 16 llamadas costo diario = 8,50 * 0,25 * 16 = $34 /día
Ejercicio # 2
a) b) c)
Una tienda de alimentación es atendida por una persona. Aparentemente, el patrón de llegada de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegada de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y, debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan, están dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que lleva a atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo medio de 4 minutos. Determinar: La probabilidad que haya una línea de espera La longitud media de la línea de espera El tiempo medio que un cliente permanece en cola
Solución a)
Se trata de una cola infinita infini ta con servidor (M/M/1//FIFO)
= (10/60) clientes / servicio Q = (1 / 4) servicio /minuto 0/60 60)) / (1/4) = 2/3 = 0.6 < 1 condición de estabilidad el V = P / Q = (10/ sistema p0 = 1 ± p = (1 ± (2 (2//3) = 1/3 a) La probabilidad de n clientes cli entes en el sistema viene dado por pn = (1 ± p)pn P
p1 = (1 ± p)p = (1 ± 2/ 2/3 3 ) (2/3) (2/3) = 2/9 2/9 b) Longitud esperada (media) de la cola (19/60)2 Lq = P2 / (Q - P)* Q = ----------------------------------------------------------------------------- = 1.3 aprox 1 cliente 1 / 4 (( 1 / 4) ± (10/60)) c) Tiempo medio que un cliente espera en cola W q = P / Q (Q - P) Wq = (10 / 60) / 1 / 4 (( 1 / 4) ± (10/60)) Wq = 7.98 aprox 8 minutos
