UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA INVESTIGACION DE OPERACIONES II RESPONSABLE: ING. DARVIN ALBERTO MARTINEZ GUIA No. 4 (Líneas de espera)
1.
Determine el mínimo de servidores paralelos necesarios en cada una de las siguientes situaciones (llegadas/salidas Poisson) que garantice que la operación de la situación de colas será estable (es decir, que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida): (a) Los clientes llegan cada 5 minutos y son atendidos a razón de 10 clientes por hora. R/ 2 o más (b) El tiempo entre llegadas promedio es de 2 minutos, y el tiempo de servicio promedio es de 6 minutos. R/4 o más (c) La tasa de llegadas es de 30 clientes por hora, y la tasa de servicios por servidor es de 40 clientes por hora. R/1 o más
2.
Los clientes llegan al Thrift Bank según una distribución de Poisson, con una media de 45 clientes por hora. Las transacciones por cliente tardan alrededor de 5 minutos y están distribuidas exponencialmente. El banco desea utilizar una sola línea y varias cajas, similar a las que se utilizan en aeropuertos y algunas dependencias. El gerente es consciente de que los clientes pueden irse a otros bancos si perciben que su espera en la línea es “excesiva”. Por esta razón, el gerente desea limitar el tiempo de espera en la cola a no no más de 30 segundos. ¿Cuántas cajas debe poner en servicio el banco? R/ 12 servidores o más
3.
Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 1 cada 3 minutos. Sin embargo, sólo 80% de ellos busca servicio en las ventanillas. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos.Todos los clientes que llegan forman una línea y acceden a las ventanillas con base en la disciplina de primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS). (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea? R/0.5333 (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas ventanillas estén ociosas? R/0.2 (c) ¿Cuál es la longitud promedio de la línea de espera? R/1.067 (d) ¿Sería posible ofrecer un servicio razonable con sólo una ventanilla? Explique. R/ NO.
4.
El centro de cómputo de la U de A está equipado con cuatro maxicomputadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre envíos es exponencial. Los trabajos que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envío es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente: *(a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo. R/0.65772 (b) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario. R/0.06622 h (c) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados. R/3.29 (d) El porcentaje de tiempo que todo el centro de cómputo está ocioso. R/ 2.1 % *(e) El promedio de computadoras ociosas. R/ 0.67
5.
El aeropuerto Drake presta servicios a pasajeros, rurales, suburbanos y en tránsito. La distribución de las llegadas de cada uno de los tres grupos es Poisson con tasas medias de 15, 10 y 20 pasajeros por hora, respectivamente. El tiempo para documentar un pasajero es exponencial con media de 6 minutos. Determine la cantidad de mostradores que debe haber en Drake en cada una de las siguientes condiciones: (a) El tiempo promedio total para documentar un cliente es de al menos 15 minutos. R/ 6 o más (b) El porcentaje de ociosidad de los mostradores no excede de 10%. R/ 5 (c) La probabilidad de que todos los mostradores estén ociosos no excede de .01. R/ 6 o menos
6.
Una franquicia de comida rápida considera operar un servicio de despacho de comida en su automóvil. Suponga que las llegadas de clientes siguen una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de llegadas de 24 automóviles por hora, y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los clientes que llegan hacen su pedido en una estación de intercomunicación en la parte trasera del estacionamiento y luego se dirigen a la ventanilla de despacho para pagar y recibir sus pedidos. Se consideran las siguientes tres alternativas de servicio. • Una operación de un solo canal en el cual un empleado completa el pedido y r ecibe el dinero del cliente. El tiempo de servicio promedio con esta alternativa es de 2 minutos. • Una operación de un solo canal en la que un empleado completa el pedido mientras que un segundo empleado recibe el dinero del cliente. El tiempo de servicio promedio con esta alternativa es de 1.25 minutos.
• Una operación de dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados. El empleado estacionado en cada ventanilla completa el pedido y recibe el dinero de los clientes que llegan a la ventanilla. El tiempo de servicio promedio con esta alternativa es de 2 minutos en cada canal. Responda las siguientes preguntas y recomiende un diseño alterno para la franquicia de comida rápida: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya automóviles en el sistema? (b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en espera de que los atiendan? (c) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema? (d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera para que lo atiendan? (e) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? (f) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro que llega tenga que esperar para que lo atiendan? R/
7.
La siguiente información de costos está disponible para la franquicia de comida rápida del problema 6: • El costo del tiempo de espera de un cliente se estima en $25 por hora para reflejar el hecho de que el tiempo de espera es costoso para el negocio de comida rápida. • El costo de cada empleado es de $6.50 por hora. • Para tener en cuenta el equipo y espacio, se atribuye un costo adicional de $20 por hora a cada canal. ¿Cuál es el diseño de costo mínimo para el negocio de comida rápida?
8.
Kolkmeyer Manufacturing Company utiliza un grupo de seis máquinas idénticas; cada una funciona un promedio de 20 horas entre descomposturas. Por tanto, la tasa de llegadas o solicitud de servicio de reparación de cada máquina es 1/20 ó 0.05 por hora. Con las descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada de máquinas descompuestas. Una persona del departamento de mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único para las seis máquinas. Los tiempos de servicio exponencialmente distribuidos tienen una media de dos horas por máquina, o una tasa de servicios de 1/2 ó 0.50 máquinas por hora. Kolkmeyer Manufacturing Company considera agregar dos máquinas a su operación de fabricación. Esta adición incrementará el número de máquinas a ocho. El presidente de Kolkmeyer ordenó que se estudiara la necesidad de agregar un segundo empleado a la operación de reparación. La tasa de llegadas es de 0.05 máquinas por hora y la tasa de servicios de cada individuo asignado a la operación de reparación es de 0.50 máquinas por hora. (a) Calcule las características de operación si la empresa conserva la operación de reparación con un solo empleado. (b) Calcule las características de operación si se agrega un segundo empleado a la operación de reparación de máquinas. (c) Cada empleado gana $20 por hora. El tiempo ocioso de cada máquina se estima en $80 por hora. Desde un punto de vista económico, ¿un empleado o dos deberán encargarse de la operación de reparación? Explique.
9.
Cinco asistentes administrativos utilizan una copiadora. El tiempo promedio entre llegadas de cada asistente es de 40 minutos, el cual equivale a una tasa de llegadas de 1/40 ó 0.025 llegadas por minuto. El tiempo medio que un asistente pasa en la copiadora es de 5 minutos, el cual equivale a una tasa de servicios de 1/5 ó 0.20 por minuto. Utilice el modelo M/M/1 con una población finita para determinar lo siguiente: (a) La probabilidad de que la copiadora esté desocupada. (b) El número promedio de asistentes administrativos en la línea de espera. (c) El número promedio de asistentes administrativos en la copiadora. (d) El tiempo promedio que un asistente pasa en espera de la copiadora. (e) El tiempo promedio que un asistente pasa en la copiadora
10. City Cab, Inc. utiliza dos despachadores para atender las solicitudes y despachar los taxis. Las llamadas que se hacen a City Cab utilizan un número telefónico común. Cuando los dos despachadores están ocupados, el solicitante escucha una señal de ocupado; no se permite esperar. Los solicitantes que reciben una señal de ocupado pueden volver a llamar más tarde o llamar a otro servicio de taxis. Suponga que la llegada de llamadas sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con una media de 40 llamadas por hora y que cada despachador puede atender una media de 30 llamadas por hora. a. ¿Qué porcentaje del tiempo los despachadores están ociosos? 31.03% b. ¿Qué porcentaje del tiempo los dos despachadores están ocupados? 27.59% c. ¿Cuál es la probabilidad de que los solicitantes reciban una señal de ocupado si se utilizan dos, tres o cuatro despachadores? 0.2759, 0.1092, 0.0351 d. Si la gerencia desea que no más del 12% de los solicitantes reciban una señal de ocupado, ¿cuántos despachadores deberá utilizar? 3, 10.92% 11. Trosper Tire Company decidió contratar a un nuevo mecánico para que se encargue de todos los cambios para clientes que piden un nuevo juego de llantas. Dos mecánicos solicitaron el trabajo. Uno tiene experiencia limitada y puede ser contratado a $14 por hora y puede atender a un promedio de tres clientes por hora. El otro tiene varios años de experiencia y puede atender a un promedio de cuatro clientes por hora, pero debe ser contratado a $20 por hora. Suponga que los clientes llegan a Trosper a razón de dos por hora. (a) ¿Cuáles son las características de operación con cada mecánico, suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales? Novato: 0.3333, 1.3333, 2, 0.6667, 1, 0.6667 Experimentado: 0.50, 0.50, 1, 0.25, 0.50, 0.50 (b) Si la empresa asigna un costo de $30 por hora a un cliente que espera, ¿cuál mecánico ofrece el menor costo de operación? Novato $74; ex perimentado $50; contratar al experimentado
