ASIGNATURA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA II
Líneas de espera (Teoría de Colas)
Semanas : 1 y 2
1 Araujo Cajamarca, Raul
Contenido 1.
Teoría de colas .............................................................. ...................................................................................................................... ........................................................ 3
Modelo de líneas de espera de un solo canal ............................................................................. ............................................................................. 22 Sistema simple o M/M/1/FIFO/ M/M/1/FIFO/ / ........................................................................................ 22 Modelos de Líneas de espera de canales múltiples .............................................................. .................................................................... ...... 30 Sistema de colas M/M/C/FIFO/ / ......................................................... ........................................................................................ ............................... 30 Análisis económico de líneas de espera..................................................................... ...................................................................................... ................. 33
2 Araujo Cajamarca, Raul
Contenido 1.
Teoría de colas .............................................................. ...................................................................................................................... ........................................................ 3
Modelo de líneas de espera de un solo canal ............................................................................. ............................................................................. 22 Sistema simple o M/M/1/FIFO/ M/M/1/FIFO/ / ........................................................................................ 22 Modelos de Líneas de espera de canales múltiples .............................................................. .................................................................... ...... 30 Sistema de colas M/M/C/FIFO/ / ......................................................... ........................................................................................ ............................... 30 Análisis económico de líneas de espera..................................................................... ...................................................................................... ................. 33
2 Araujo Cajamarca, Raul
1. Teoría de colas
3 Araujo Cajamarca, Raul
4 Araujo Cajamarca, Raul
5 Araujo Cajamarca, Raul
6 Araujo Cajamarca, Raul
7 Araujo Cajamarca, Raul
8 Araujo Cajamarca, Raul
9 Araujo Cajamarca, Raul
10 Araujo Cajamarca, Raul
11 Araujo Cajamarca, Raul
12 Araujo Cajamarca, Raul
13 Araujo Cajamarca, Raul
14 Araujo Cajamarca, Raul
15 Araujo Cajamarca, Raul
16 Araujo Cajamarca, Raul
17 Araujo Cajamarca, Raul
18 Araujo Cajamarca, Raul
19 Araujo Cajamarca, Raul
20 Araujo Cajamarca, Raul
Agradecimientos a:
21 Araujo Cajamarca, Raul
Modelo de líneas de espera de un solo canal Sistema simple o M/M/1/FIFO/ /
Llegada de clientes
Línea de espera
Clientes Atendidos
Ejemplo 01
Los pacientes del consultorio llegan en forma aleatoria, de acuerdo con un proceso de Poisson. El consultorio puede atender a los pacientes con una tasa promedio de 5 personas por hora; el proceso de servicio también es Poisson. El promedio de llegadas de los pacientes es de 4 por hora, el consultorio opera las 24 horas del dia. a) ¿Cuál es el tiempo (%) de que el servidor esté ocupado? b) ¿Cuál es el tiempo (%) de que el consultorio está vacío? c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera? d) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera? e) ¿Cuál es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola? f)
¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?
Solución Tasa de arribo:
=4/Hora Tasa de Servicio:
=5/Hora
4 5
1 El problema tiene solución 22
Araujo Cajamarca, Raul
1. ¿Cuál es el tiempo (%) de que el servidor está ocupado?
4 0.80 80% 5
2. ¿Cuál es el tiempo (%) de que el consultorio está vacío?
P 0 1 1 0.80 0.20 20% 3. ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera?
L s
4 54
4 , es decir 3 en cola y 1 en servicio!!!!!
4. ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera?
Lq
2 ( )
42 5(5 1)
16 5
3.2 Clientes
5. ¿Cuál es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola?
W q
( )
4 4 0.80 Horas 5(5 4) 5
W q 0.80*60 48 Minutos 6. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema?
W s
1
1 5 4
1 Hora
Ejemplo 02 El banco AB piensa abrir una ventanilla de servicio en un automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15/Hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender a clientes a una tasa de uno cada 3 minutos. Suponiendo que las llegadas son Poisson y el servicio es Exponencial, encuentre: a) La utilización del cajero b) Numero promedio en la cola c) El numero promedio en el sistema d) El tiempo promedio de espera en la cola e) El tiempo promedio de espera en el sistema Solución: Tasa de arribo:
=15/Hora
23 Araujo Cajamarca, Raul
Tasa de Servicio: 1 cliente cada 3 minutos 20 clientes cada 60 minutos 20 clientes cada Hora
=20/Hora
15 0.75 1 El problema tiene solución 20
a) La utilización del cajero
15 0.75 75% 20
b) Numero promedio en la cola
2
152 225 2.25 Entre 2 ó 3 personas Lq ( ) 20(20 15) 100 c) El numero promedio en el sistema
L s
15 3 , es decir 2 en cola y 1 en servicio!!!!! 20 15
También:
L s Lq
2.25 0.75 3
L s *W s 15(0.20) 3 d) El tiempo promedio de espera en la cola
W q
( )
15 15 0.15 Horas 20(20 15) 100
W q 0.15*60 9 Minutos e) El tiempo promedio de espera en el sistema
W s
1
1 20 15
1 0.20 Horas 5
W s 0.20*60 12 Minutos También:
W s W q
1 1 0.15 0.15 0.05 0.20 Horas 20
Ejemplo 03
24 Araujo Cajamarca, Raul
A un cajero automático sólo llegan un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicios para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco, incluyendo el tiempo en el servicio? d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? Solución: Tasa de arribo:
=10/Hora Tasa de Servicio: 1 cliente cada 4 minutos 15 clientes cada 60 minutos 15 clientes cada Hora
=15/Hora
10 15
2 3
1 El problema tiene solución
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío?
P 0 1 1
10 15
1
2 3
1 3
0.33
b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno?
2
102 100 1.3 Vehículos Lq ( ) 15(15 10) 75 c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del Banco, incluyendo el tiempo en el servicio?
W s
1
1
15 10
1 0.20 Horas 12 Minutos 5
d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático?
25 Araujo Cajamarca, Raul
Si el cajero trabaja al 100% Atenderá 15 vehículos por hora. Pero dependiendo también de la tasa de arribo, solo trabaja a una razón de:
10 15
2 3
Luego como su tasa de servicio es de 15 clientes por hora y trabaja a una razón de 2/3,
2 3
entonces lo que atenderá en una hora será= *15 10 Clientes. Debe ser así, porque en el estado estable llegan 10 clientes cada hora y si la capacidad de atención es más, necesariamente deben ser atendidos todos. Ejemplo 04
Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuando están exactamente a la mitad. En la actualidad, llegan un promedio de 7.5 automóviles por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son exponenciales.
1. Para el caso actual, calcule L y W 2. Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóviles compran gasolina cuando sus tanques les queda exactamente
3 4
partes. Como cada conductor pone menos
gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3
1 3
minutos. ¿Cómo afectó la compra de pánico a L y a W ?
Solución 1.
26 Araujo Cajamarca, Raul
=7.5 Automóvil/Hora =? 04 Minutos
01 Automóvil X 15
X 15 60 Minutos
15 Automóviles
01 hora
15 Automóviles
=15 Automóviles/Hora L L s
7.5 1 15 7.5
El número promedio de automóviles por hora en el sistema es de 01.
W s
1
1
15 7.5
1 60 8 Minutos 7.5 7.5
EL tiempo promedio de permanencia de un automóvil en el sistema es de 08 minutos. Se puede decir que en este caso, todo está bajo control y son improbables las largas colas. 2.
1/4
1/2
Falta
3/4 1/2
ANTES
Queda
DESPUES
Como se puede ver, ahora los vehículos arribarán con mayor frecuencia, es decir llenarán sus tanques con el doble de frecuencia.
=2(7.5) Automóviles/Hora =15 Automóviles/Hora 27 Araujo Cajamarca, Raul
=? Tasa de servicio= 3
1 10 Minutos/Automóvil 3 3 10 3
Minutos
10 Minutos
01 Automóvil
03 Automóviles X 6
X 6 01 hora
18 Automóviles
=18 Automóviles /Hora
15 18
0.83
Entonces calculamos lo que nos piden analizar:
L L s
15 5 18 15
El número promedio de automóviles por hora en el sistema es de 5.
W s
W s
1
1
18 15
1 3
Horas
1 *60=20 Minutos 3
EL tiempo promedio de permanencia de un automóvil en el sistema es de 20 minutos.
W q W q
( ) ( )
15 5 Horas 18(3) 18
15 5 *60=16.6 Horas 18(3) 18
2
152 225 Lq =4.16 Automóviles ( ) 18(18 15) 54
Ejemplo 05 En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ver si trae armas. Suponga que al aeropuerto de Gotham.City llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y una máquina de rayos x para el equipaje. Cuando no está trabajando la estación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar 28 Araujo Cajamarca, Raul
un promedio de 12 pasajeros/minuto. El tiempo para revisar un pasajero es exponencial, con la hipótesis que el aeropuerto solo tiene una estación de verificación, conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado? b) En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación? c) En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación? Solución
=10 Pasajeros/Minuto =12 Pasajeros/Minuto
a)
b)
10 1 Tiene solución 12
10 0.83 83% 12
Lq *W q 10*0.42 4.2 Pasajeros
102 102 2 102 2 12 2 12 Lq = =4.2 Pasajeros 10 2 1 2(12) 1 12 12 W s W q c)
W q
1 5 1 6 0.50 Minutos 12 12 12
10 10 5 0.42 Minutos ( ) 12(12 10) 24 12
29 Araujo Cajamarca, Raul
Modelos de Líneas de espera de canales múltiples Sistema de colas M/M/C/FIFO/ / Características:
o
Los clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una Esperanza de
o
El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
clientes por unidad de tiempo
o
Existe “C” servidores, cada uno atiende a una tasas de
o
Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.
Llegada de clientes
Servidores
Línea de espera
Canales
Clientes Atendidos
Medidas de desempeño: Los investigadores han diseñado fórmulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento de un sistema de colas M/M/C, en términos de los parámetros y . Estas fórmulas de nueva cuenta, se expresan en términos de , que es el cociente de sobre
. EJEMPLO 01 Sea el modelo M/M/2 Tasa de arribo 70 Camiones/Hora Tasa de servicio 40 Camiones/Hora Calcular las siguientes medidas de desempeño o rendimiento a) b) c) d) e)
Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema ( P 0 ) Numero promedio de clientes en la cola Tiempo Promedio de espera en la cola Tiempo promedio de espera en el sistema Numero promedio de clientes en el sistema 30
Araujo Cajamarca, Raul
f)
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
Solución: El valor de: C * 2* 40 80 y 70
Vemos que: C *
70 80
1
O C *
De modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado estable para este sistema. Tenemos que:
70 1.75 40
a) Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema ( P 0 )
1 c 1 n c c * c ! c n 0 n !
P 0
c 1
n
1
n! 0!
1.75 1!
n 0
2.75
P 0
1 1 1 3.0625 2.75 12.25 (1.75)2 2 2.75 2.75 * 0.25 2! (2 1.75)
P 0
1
0.06 7%
15
Nos indica que aproximadamente 7% del tiempo la estación está vacía. b) Número promedio de clientes en la cola
Lq
Lq
c 1
1 * P 0 (c 1)! (c )2 *
(1.75)2 1!
*
1 (2 1.75)
*0.06 2
(1.75) 2 1!
*
1 (2 1.75)
* 2
1 15
Lq 5.717 6 c) Tiempo Promedio de espera en la cola
W q
W q
Lq
Lq
5.717 0.0817 Horas 0.0817* 60 4.902 5 Minutos 70
El cliente debe esperar aproximadamente 5 minutos en la cola para ser atendido d) Tiempo promedio de espera en el sistema 31 Araujo Cajamarca, Raul
W W q
1
W 0.0817
1 40
0.1067 horas=0.1067*60=6.402 7 Minutos
Para que el cliente abandone el sistema deben transcurrir aproximadamente 7 minutos e) Número promedio de clientes en el sistema
L *W L 70*0.10667 7.4669 El valor indica que, en promedio, se tienen entre 7 y 8 clientes en el sistema, ya sea f)
atendiéndose o en espera. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
Pw
c 1 * c * * P 0 c! c
P w
1 2!
*(1.75) 2 *
2 (2 1.75)
*0.0667 0.5*3.0625*8*0.0667 0.817075 82%
Este valor nos indica que aproximadamente
de las veces un cliente que llega tiene
18% que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente
de las veces un cliente que
llega es atendido de forma inmediata.
También razonando: Clientes
p( x)
P( x)
0
0.0667
0.0667
1
0.1167
0.1834
2
Pn
n n!
* P 0
n C
Para que haga cola un cliente debe haber por lo menos 2 clientes: osea los 2 servidores ocupados como mínimo.
P( x 2) 1 P( x 2) 1 P( x 1)
1 0.183 0.8166 82% 32 Araujo Cajamarca, Raul
EJEMPLO 02 Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial de media 4 minutos, calcula el número medio de trabajadores en el control de calidad si hay: d) 2 Inspectores e) 3 Inspectores
Análisis económico de líneas de espera Características clave: Para evaluar un sistema de colas en el que usted controla el número de servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costo y medidas de rendimiento: a) El costo por servidor por unidad de tiempo ( C s ) b) L costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema( C w ) c) El numero promedio de clientes en el sistema ( L s ) o ( L ) Por cada alternativa que indique C servidores, calcule el siguiente costo total por unidad de tiempo:
Costo total por unidad de tiempo con C servidores
Costo total por unidad de tiempo con C servidores
=
Costo por servidor por unidad de tiempo
=
x
Costo total de los servioders
Número de servidores
Costo total de la espera
+
+
Costo por cliente por unidad de tiempo
x
Número esperado de clientes en el sistema
CT C s * C Cw * L EJEMPLO 01 33 Araujo Cajamarca, Raul
Textil SAC. Tiene una planta de manufactura de tela en Ate. La planta tiene un gran número de máquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas máquinas son reparadas basándose en el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisadas por uno de los siete miembros del personal de reparación. Durante varios recorridos, la gerente de producción ha observado que, en promedio, aproximadamente de 19 a 12 máquinas están fuera de operación en cualquier momento debido a que están atascadas. Ella sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajará el número de máquinas sin funcionar, lo cual traería como consecuencia un aumento en la producción, pero no sabe a cuantas personas más debería contratar. Como asesor administrativo, se le ha mandado a Usted para que ayude a determinar dicho número. Para modelar esta operación se tuvo que reunir y analizar los datos correspondientes a los procesos de llegadas y de servicio, estos son: a) La aparición de máquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora b) Cada máquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparación, que puede ser aproximada por una distribución exponencial con un tiempo promedio de servicio de 15 minutos, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de 4 máquinas por hora. Además el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía $50/hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la cantidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la fecha límite de entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. El departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $100 por cada hora que una maquina está fuera de operación. Solución: Tasa de arribo:
25 Maquinas/hora Tasa de servicio
E ( x)
Minutos 1 1 4 4 Maquinas 15 * 15 4 60 Minutos Máquina
4 Maquinas/hora Medidas de rendimiento para el problema de Textil SAC. Con diferentes tamaños de personal de reparación
Medidas de desempeño Utilización (%) Numero esperado en la cola
7 89.29 5.85
Personas 8 9 10 78.13 69.44 62.50 1.49 0.54 0.21
11 52.82 0.08 34
Araujo Cajamarca, Raul
Numero esperado en el sistema 12.10 Probabilidad de que un cliente tenga que esperar 0.70 Tiempo esperado en la cola 0.23 Tiempo esperado en el sistema 0.48
7.74 0.42 0.06 0.31
6.79 0.24 0.02 0.27
6.46 0.13 0.01 0.26
6.33 0.06 0.003 0.25
Costos: Costo por hora por persona: C s 50$ Costo por hora por cada
: C w 100$
Máquina fuera de operación
M/M/C=7 Costo total ( CT )= (50$)*(7) (100$)* (12.10)
1559.73$ Por hora Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restante se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la tabla siguiente: Costo por hora para diferentes tamaños de personal de t extil SAC.
Tamaño de personal 7 8 9 10 11
Numero esperado en el sistema(maquinas) 12.10 7.74 6.79 6.46 6.33
Costo por hora Personal Máquina 50(7) 100(12.10) 50(8) 100(7.74) 50(9) 100(6.79) 50(10) 100(6.46) 50(11) 100(6.33)
Total 1560 1174 1129 1146 1183
De los resultados, Usted puede ver que la alternativa que tiene el menor costo por hora, $1129 es tener un total de nueve operadores. En consecuencia, su recomendación a la gerencia de producción de textil SAC. Es contratar a dos reparadores adicionales, estos dos nuevos empleados tendrán un costo de $100 por hora, pero este costo adicional está más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos maquinas fuera de operación. La recomendación reducirá el costo por hora de $1560 a $1129, un ahorro de aproximadamente #431 por hora, mayor que la cantidad que se cubre sus honorarios ($100). Kamlesh Mathur PP. 737 EJEMPLO 02 El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 centavos de dólar. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de demora, ¿Cuántos cajeros deben trabajar en el banco los viernes?
35 Araujo Cajamarca, Raul
Winston PP. 1145 Solución: Tasa de arribo:
2 Clientes/Minuto Tasa de servicio:
E( x)
1
2 Minutos/cliente
1 2
Clientes/minuto
0.5 Clientes/Minuto Además:
(C) C
2 (0.5)(C )
1
2 C 4 0.5
C 5 Así debe haber 5 cajeros como mínimo de lo contrario “explotará” el número de clientes. A continuación calcular para C 5;6;.... Cajeros EJEMPLO 03 Jim McDonald, Gerente del restaurante de hamburguesas McBurger, sabe que proporcionar un servicio rápido es la clave de éxito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan a otro lugar la próxima vez. Estima que cada minuto que u cliente tiene que espera antes de terminar su servicio le cuesta un promedio de 30 centavos en negocio futuro perdido. Por lo tanto, desea estar seguro de siempre tener suficientes cajas abiertas para que la espera sea mínima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden dl cliente y cobra. El costo total de cada empleado es de $9 por hora. Durante la hora del almuerzo, los clientes llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 66 por hora. Se estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene distribución exponencial con media de 2 minutos. Determine cuantas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total esperado por hora. Frederick S. Hillier PP. 769 EJEMPLO 04
36 Araujo Cajamarca, Raul
La compañía Garret-TompKins tiene tres copiadoras para uso de sus empleados. Sin embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que se pierden en espera de que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o más. Durante las 2000 horas de trabajo al año, los empleados llegan al área de copiados según un proceso de Poisson con tasa media de 40 por hora. Se cree que el tiempo que cada empleado necesita una copiadora tiene una distribución exponencial con media de 4 minutos. El costo promedio de la productividad perdida debido al tiempo que pasa un empleado en el área de copiado se estima en 40$ por hora. La renta de cada copiadora es de 400$ por año. Determine cuantas copiadoras debe tener la compañía para minimizar su costo total esperado por hora. Frederick S. Hillier PP. 769
NOMENCLATURA
: tasa de uso de cada servidor
MODELO M/M/S/FIFO/∞/∞
MODELO M/M/1/FIFO/∞/∞
U
U
P 0
P 0 Probabilidad de que no existan clientes en el sistema
P 0 1 s 1
n
* s
;
1 ; s 1 s s * ! n s ! s n0
0
n
1
n! 0! 1! n 0
s1
( s 1)!
37 Araujo Cajamarca, Raul
P n (1 ) n
P n Probabilidad
Pn
que n clientes estén en el sistema
L En promedio la cantidad de clientes en el Sistema
Lq Promedio de clientes en la cola
W Tiempo promedio transcurrido en el sistema
W q Tiempo promedio de espera en la cola
P w Probabilidad que un cliente que llega deba esperar para ser atendido
Probabilidad que un cliente espere en el
L
Lq
1 2
1
W
1
;W
;W q
W q
(1 )t
0
; t
( s!)* s n s
* P 0 ;
1 * P 0 ( s 1)! ( s )2
Lq
Pw
1 P 0
P(Wq t ) * e
s 1
W W q
P(W t ) e ( )t
“t” en la cola
ns
Lq
L
sistema más de “t”
Probabilidad que tiene una unidad de que al llegar al sistema esté más de
* P 0 ; n s Pn
n
L *W
; Lq W q
Pw
n!
; L W
W q
n
*
1
L
;W
Lq
s 1 * s * * P 0 s ! s
s ( 1 ) t s 1 P 1 e t 0 ( ) P(W t ) e s !(1 ) s 1 s P( wq
t)
(1 P(Wq
P(Wq 0)
0))e
s (1
) t s
; donde
s 1
P n
n 0
S: Servidores, C: Tamaño de cola
NOMENCLATURA
MODELO M/M/1/FIFO/ /FINITA(m)
: tasa de uso de cada servidor
U
MODELO M/M/S/FIFO/C/FINITA
U
* S
;
38 Araujo Cajamarca, Raul
