INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
TEORÍA DE COLAS CASO 1. ANÁLISIS DE UNA COLA CON UNA ESTACIÓN DE SERVICIO (K=1) Y POBLACIÓN INFINITA. 1. La probabilidad 𝝆 de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema es:
𝜌 = 𝜆/𝜇 (1) donde: 𝜌 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛
λ = es la tasa de llegada por período de tiempo μ = es la tasa de servicio por período de tiempo NOTA:
Si 𝜌 =λ/μ < 1 las ecuaciones se pueden aplicar.
2. La probabilidad 𝑷𝒐 de hallar el sistema vacío u ocioso (probabilidad de que no haya clientes en el sistema) es:
𝑃0 = 1 −
𝜆 𝜇
=1− 𝜌 =
𝜇− 𝜆
(2)
𝜇
3. La probabilidad 𝑷𝒏 de tener n clientes en el sistema (contando el que está siendo servido) en cualquier tiempo es:
𝑃𝑛 = 𝜌𝑛 𝑃0 = ( 𝜆/𝜇)𝑛 𝑃0 = (1 − 𝜌)𝜌𝑛 NOTA:
n=1, 2, 3,...
(3)
Pn es una probabilidad acumulada dependiendo del tipo de problema que se trate.
4. La probabilidad 𝑷𝒏>𝟎 de que un cliente esté siendo servido en cualquier tiempo es el parámetro de utilización dado en ecuación (1).
𝑃𝑛>0 = 𝜌
(4)
5. La probabilidad 𝐏𝐧>1 de tener más de un cliente en el sistema (tener cola) es:
𝜌𝑛>1 = 𝜌2
(5)
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
6. El número esperado Ne de clientes que son servidos en cualquier tiempo es:
Ne(t) = 𝜌
(6)
7. El número esperado Lq de clientes en la cola es:
𝐿𝑞 =
𝜌2
𝜆2
=
1− 𝜌
𝜇(𝜇−𝜆)
= 𝐿𝑠 − 𝜌
(7)
8. El número esperado 𝐿𝑠 de clientes en el sistema (cola y servicio) es decir, colas no vacías es:
𝐿𝑠 =
𝜌 1−𝜌
=
𝜆
(8)
𝜇−𝜆
9. El tiempo esperado Wq de clientes en la cola es:
𝑊𝑞 =
𝜌 𝜇−𝜆
=
𝜆 𝜇(𝜇−𝜆)
= 𝑊𝑠 −
1
(9)
𝜇
10. El tiempo esperado 𝑊𝑠 de clientes en el sistema (cola y servicio) es:
𝑊𝑠 =
𝜆 𝜆 ( 𝜇− 𝜆 )
=
1 𝜇−𝜆
= 𝑊𝑞 +
1 𝜇
=
𝐿 𝜆
(10)
11. La probabilidad de que el número de clientes en el sistema 𝐿𝑠 sea mayor a X es:
𝑃 (𝐿𝑠 > 𝑋) = 𝜌(𝑥+1)
(11)
12. La probabilidad de que la espera total en la cola Wq sea mayor a t unidades de tiempo es:
𝑃 (𝑊𝑞 > 𝑡) = 𝜌𝑒 −𝜇(1−𝜌)𝑡
𝑡≥𝑜
(12)
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
13. La probabilidad de que la espera total en el sistema 𝑊𝑠 , sea mayor a t unidades de tiempo es:
𝑃 (𝑊𝑠 > 𝑡) = 𝑒 −𝜇(1−𝜌)𝑡
𝑡≥𝑜
= 𝑒 −(𝜇−𝜆)𝑡
(13)
CASO 2. ANÁLISIS DE UNA COLA CON VARIAS ESTACIONES DE SERVICIO (K>1) Y POBLACIÓN INFINITA. 1. La probabilidad 𝝆 de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema es:
𝜌=
𝜆 𝑘𝜇
(14) k es el número de estaciones de servicio λ es la tasa de llegada por unidad de tiempo µ es la tasa de servicio por unidad de tiempo Si 𝜆/μ < 𝑘 ó 𝜆/(𝑘μ) < 1 las ecuaciones se pueden aplicar.
2. La probabilidad Po de hallar el sistema vacío u ocioso (probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema o la probabilidad de que todas las K estaciones de servicio estén ociosas) es: 1
𝑃0 =
𝑛=𝑘−1 1 𝜆 𝑛 1 ( ) ]+ [𝑘! 𝑛! 𝜇
[∑𝑛=𝑜
3. La probabilidad Pn de esperando) es:
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛 =
1 𝑛!
𝜆
𝑛
𝜇
𝑘! 𝑘 𝑛−𝑘
(15)
que haya n clientes en el sistema (siendo servidos o
( ) 𝑃0 1
𝜆 𝑘 (𝑘𝜇)
( 𝜇 ) 𝑘𝜇−𝜆]
𝜆
(16.a)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 𝑘
(16.b)
𝑛
( ) 𝑃0 𝜇
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≤ 𝑘
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
4. La probabilidad 𝐏𝐤 de que una unidad que llega tenga que esperar para ser servida (probabilidad de que haya k o más clientes en el sistema) es:
𝑃𝑘 =
1 𝑘!
𝜆
𝑘 (𝑘𝜇)
𝜇
𝑘𝜇−𝜆
( )
𝑃0 =
𝜇(𝜆/𝜇)𝑘 (𝑘−1)!(𝑘𝜇−𝜆)
𝑃0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 𝑘
(17)
5. El número esperado Lq de clientes en la cola (longitud media de la cola excluyendo los clientes que están siendo servidos) es: 𝜆𝜇(𝜆/𝜇)𝑘 (𝑘−1)! (𝑘𝜇−𝜆)2
𝐿𝑞 =
𝑃0 =
𝜌
𝑃 𝑘−𝜌 𝑘
(18)
6. El número esperado 𝐿𝑠 de clientes en el sistema es:
𝐿𝑠 =
𝜆𝜇(𝜆/𝜇)𝑘 (𝑘−1)! (𝑘𝜇−𝜆)2
𝜆
𝜆
𝜇
𝜇
𝑃0 + = 𝐿𝑞 +
(19)
7. El tiempo esperado Wq en la cola es:
𝑊𝑞 =
𝜇(𝜆/𝜇)𝑘 (𝑘−1)!(𝑘𝜇−𝜆)2
𝐿𝑞
𝑃0 =
(20)
𝜆
8. El tiempo esperado 𝑊𝑠 en el sistema es: 𝜇(𝜆/𝜇)𝑘
𝑊𝑠 = (𝑘−1)!
(𝑘𝜇−𝜆)2
1
1
𝜇
𝜇
𝑃0 + = 𝑊𝑞 +
=
𝐿𝑠 𝜆
(21)
9. El número esperado 𝐍𝐞 de estaciones de servicio ociosas es:
𝑁𝑒 = 𝑘𝑃0 + (𝑘 − 1) 𝑃1 + (𝑘 − 2)𝑃2 + … + (1) 𝑃𝑘−1
(22)
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
CASO 3. ANÁLISIS DE UNA COLA CON UNA ESTACIÓN DE SERVICIO (K=1) Y POBLACIÓN FINITA.
1. La probabilidad Po de hallar el sistema vacío u ocioso es:
𝑃0 =
1 𝑀! 𝜆 𝑛 𝑛=𝑀 ∑𝑛=0 [ ( ) ] (𝑀−𝑛)! 𝜇
(23)
M es el número de clientes en la población. λ es la tasa de llegada por unidad de tiempo. µ es la tasa de servicio por unidad de tiempo. Si 𝜌 = 𝜆/μ < 1 las ecuaciones se pueden aplicar. 2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema es:
𝑃𝑛 =
𝑀! (𝑀−𝑛)!
𝜆
𝑛
( ) 𝑃0 𝜇
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3, …
(24)
NOTA: Pn puede ser una probabilidad acumulada, dependiendo del problema que se trate.
3. El número esperado Lq de clientes en la cola es:
𝐿𝑞 = 𝑀 −
𝜆+𝜇 𝜆
(1 − P0 )
(25)
4. El número esperado 𝐿𝑠 de clientes en el sistema es:
𝐿𝑠 = 𝑀 −
𝜇 𝜆
(1 − 𝑃0 ) = 𝐿𝑞 + (1 − 𝑃0 )
(26)
5. El tiempo esperado Wq en la cola es:
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞 𝜇(1−𝑃0 )
(27)
6. El tiempo esperado 𝑊𝑠 en el sistema es:
𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +
1 𝜇
(28)
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
CASO 4. ANÁLISIS DE UNA COLA CON VARIAS ESTACIONES DE SERVICIO (K>1) Y POBLACIÓN FINITA. 1. La probabilidad Po de hallar el sistema vacío u ocioso es:
𝑃0 =
1 𝑀! 𝜆 𝑛 ∑𝑛=𝑘−1 [ ( ) 𝑛=𝑜 (𝑀−𝑛)! 𝑛! 𝜇
]+ ∑𝑛=𝑀 𝑛=𝑘 [
𝑀! (𝑀−𝑛)! 𝑘! 𝑘𝑛−𝑘
(
𝜆 𝑛 ) 𝜇
donde
M es el número de clientes en la población k es el número de estaciones de servicio λ es la tasa de llegada por unidad de tiempo µ es la tasa de servicio por unidad de tiempo
NOTA:
Si λ/µ < k ó λ/kµ<1 las ecuaciones se pueden aplicar.
(29)
]
2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema es:
𝑃𝑛 =
𝑀! 𝜆 ( (𝑀−𝑛)! 𝑛! 𝜇
𝑃𝑛 =
𝑀! (𝑀−𝑛)! 𝑘! 𝑘 𝑛−𝑘
𝑛
) 𝑃0 𝜆
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑛 ≤ 𝑘 𝑛
( ) 𝑃0 𝜇
(30.a)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 < 𝑛 ≤ 𝑀
(30.b)
NOTA: Nunca n debe ser mayor que M.
3. El número esperado Lq de clientes en la cola es:
𝐿𝑞 = ∑𝑛=𝑀 𝑛=𝑘 (𝑛 − 𝑘 )𝑃𝑛
(31)
4. El número esperado 𝐿𝑠 de clientes en el sistema es: 𝑛=𝑘−1 𝐿𝑠 = ∑𝑛=𝑘−1 𝑛 𝑃𝑛 + ∑𝑛=𝑀 𝑃𝑛 ) 𝑛=𝑜 𝑛=𝑘 (𝑛 − 𝑘 )𝑃𝑛 + 𝑘(1 − ∑𝑛=𝑜
(32)
5. El tiempo esperado Wq en la cola es:
𝑊𝑞 =
𝐿 𝜇(𝐿−𝐿𝑞 )
(33)
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
6. El tiempo esperado 𝑊𝑠 en el sistema es:
𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +
1
(34)
𝜇
7. El número esperado Ne de unidades (clientes) de la población que no requieren servicio (unidades en operación) está dada por:
𝑁𝑒 = 𝑀 − 𝐿𝑠
(35)
8. El número esperado Nk de estaciones de servicio que se utilizan (servidores en operación) está dada por:
𝑁𝑘 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞
(36)
9. La utilización esperada µk del servidor k, en porcentaje de tiempo, está dada por:
𝜇𝑘 =
1 𝑘
(𝐿𝑠 − 𝐿𝑞 ) =
1 𝑘
(𝑁𝑘 )
(37)
5. ANÁLISIS DE UNA COLA CON SERVIDORES MÚLTIPLES EN SERIE Y POBLACIÓN INFINITA. Este tipo de líneas de espera es característico del sector productivo, donde las líneas de ensamble requieren de una serie de actividades que se desarrollan en serie. En estos procesos, la salida de una de las etapas es insumo de la etapa en serie que le sigue. Se supone que la llegada al sistema con n servidores en serie, es una variable aleatoria con distribución de Poisson y con valor medio λ. El tiempo de servicio en la etapa o estación i, i = 1,2,.., n, es una variable aleatoria independiente, distribuida exponencialmente con media µi. La capacidad de espacio para la espera entre las estaciones i e i+1, i = 1, 2,…, n es prácticamente ilimitada.
INGENIERÍA DE SISTEMAS
ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA
A continuación se caracteriza cuantitativamente al sistema (no se desarrollan fórmulas). 1. La probabilidad conjunta de que existan 𝑋1 clientes esperando para servicio en la estación 1, 𝑋2 esperando en la estación 2 y 𝑋𝑛 en la n, está dada por: 𝑃 {𝐿𝑞1 = 𝑋1 , 𝐿𝑞2 = 𝑋2 , … , 𝐿𝑞𝑛 = 𝑋𝑛 } = (1 − 𝜌1 ) 𝜌1 𝑋1 (1 − 𝜌2 )𝜌2 𝑋2 … (1 − 𝜌𝑛 )𝜌𝑛 𝑋𝑛
38)
donde
𝜌𝑖 =
𝜆 𝜇𝑖
< 1,
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
(39)
2. El número esperado de clientes en el sistema L, está dado por: 1
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + … … + 𝐿𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 (
1−𝜌𝑖
)
(40)
donde 𝐿𝑖 es el conjunto de clientes que esperan servicio en la estación 𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 más el cliente al que se le está proporcionando servicio en la etapa 𝑖. 3. Si la disciplina de la cola es “primero que llega, primero que se sirve”, entonces el tiempo de espera esperado de un cliente a lo largo de todo el sistema es:
𝑊𝑞 = 𝑊𝑞1 + 𝑊𝑞2 + … + 𝑊𝑞 = ∑𝑛𝑖=1 (
𝜌𝑖
1
) (𝜇 ) 1−𝜌 𝑖
(41)
𝑖
4. El tiempo total en todo el sistema (incluyendo los tiempos de servicio de la n estaciones) es:
W= 𝑊1 + 𝑊2 + ⋯ + 𝑊𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 (
1
1
) (𝜇 ) 1−𝜌 𝑖
𝑖
(42)
