TEORIA DE LINEAS DE ESPERA
INTRODUCCION
ROP
El tener que esperar en una cola es una experiencia considerada como desagradable, especialm especialmente ente si se tiene que esperar esperar de pie. Los periodos largos largos de espera espera irritan a las personas y las invitan a desertar, e irse a otra parte e incluso a no regresar. Esta situación que afecta afecta los benefi beneficio cios s potenc potencial iales es puede puede y debe debe gestio gestionars narse e en forma forma eficie eficiente nte utilizando la teoría de líneas de espera. El tiempo de espera es tal vez uno de los compon component entes es del ciclo ciclo de servi servicio cio peor peor gesti gestiona onados dos,, y debe debe ser ser inclui incluido do dentro dentro del concepto de la calidad del servicio. En el área de producción las líneas de espera tienen gran aplicación en los estudios de cuello cuello de botella botella de los procesos de producción producción,, los cuales afectan afectan los incrementos incrementos de inventario en proceso y los retardos en los tiempos de entrega al cliente; igualmente las líneas de espera tienen tienen gran aplicación en sistemas de mantenimiento mantenimiento a aviones, carros, trenes, equipos de computo, maquinaria, y en general a equipo productivo. Ofrecer un “servicio” rápido no solo es cuestión de calidad, costos y beneficios están involucrados, los cuales son argumentos competitivos para una compañía.
Ejemplos de sistemas de colas Servicio Supermercados Bancos Aeropuerto Call center Carga Crucero Fábrica Hospital
Llegadas
Clientes Clientes Aviones Llamadas Camiones Autos componentes Pacientes
Cola
Clientes en Cajas Clientes en Caja Aviones Llamadas camiones Autos componentes Pacientes
Servidor
Cajeros Cajeros Pista Operadores Montacargas Semáforo Operadores Médicos
PROCESO BASICO DE COLAS Clientes provenientes de una fuente o población potencial, llegan a un sistema a solicitar un servicio, generalmente hacen cola, una vez que son servidos se van. La siguiente figura ilustra el sistema de colas:
Población
Canal de servicio Cola
Sistema
Población. Fuente potencial generadora de nuevos clientes al sistema de colas. Características: • Tamaño: La población puede ser infinita o finita. • Tiempo entre llegadas: Aleatorio, constante • Tasa Tasa de llega llegadas: das: Es el número número prome promedio dio de llegad llegadas as de nuevos nuevos clientes clientes al sistema, por unidad o intervalo de tiempo t • Llegadas: Individuales, en lotes • Actitud de los Clientes: Clientes: Pacientes, impacientes
Cola. Se refiere a las unidades que esperan por el servicio, no incluye a la unidad que está siendo atendida. No necesariamente están físicamente frente al canal de servicio, como por ejemplo los clientes que llaman por teléfono y quedan en lista de espera Características: • Tamaño: Infinita, finita ( existe una cota superior para el número de máximo de clientes admitidas en ella)
Canal de servicio: Es la persona, máquina, instalación o proceso que presta el servicio. Características: • Tiempo de servicio: Tiempo transcurrido desde que comienza el servicio hasta que termina. Puede ser aleatorio o constante. El cliente que esta siendo atendido no pertenece a la cola. • Tasa Tasa de servicio: servicio: Conocido Conocido el tiempo medio de servicio, servicio, es posible determinar determinar la tasa de servicio. servicio. Se refiere al número número promedio de clientes atendidos por unidad o intervalo de tiempo t • Disciplina de Servicio: La establece el canal, se refiere a la disciplina de cómo aten atender derá á a los los clie client ntes es que que lleg llegan an.. Se tien tienen en PEPS PEPS,, UEPS UEPS,, ALEA ALEATO TORI RIO, O, PRIORIDADES (Absolutas y relativas) • Número de canales: Un solo canal o varios canales • Disposición de los canales: En paralelo, en Serie De acuerdo al número número y disposición disposición de los canales canales de servicio, servicio, los sistemas sistemas de colas se pueden clasificar en los siguientes sistemas básicos: Unicanal Multicanal o paralelo
Serie
Mixto
Sistema: El sistema esta conformado por la cola y el o los canales de servicio. Flujos: Un estudio de líneas de espera, debe partir del estudio de los flujos o llegadas de los nuevos clientes al sistema de colas, en diversos momentos del tiempo. Es necesario identificar el ciclo o variación del flujo en el tiempo, porque las acciones de gestión dependerán de la identificación de los periodos de máxima demanda o pico, que exceden la capacidad física del sistema de prestación del servicio, y de otros períodos donde la demanda es menor que dicha capacidad. El estudio de la variación de la demanda en el tiempo se debe apoyar en un estudio estadístico, sin embargo otros enfoques indican que la capacidad del sistema se puede ajustar acorde al funcionamiento y experiencias acumuladas.
Capacidad del sistema: Determinada por la cantidad de clientes que se pueden atender por unidad de tiempo (por todos los canales ). También se puede referir a ella como el número de clientes que puede físicamente alojar o manejar el sistema en un momento dado. La capacidad del sistema determina el nivel de servicio que se ofrece al cliente. La siguiente figura ilustra como, para una capacidad del sistema, según los flujos de clientes en el tiempo, existen periodos de baja y periodos pico en los cuales se excede la capacidad instalada. Demanda Picos Capacidad del Sistema
Tiempo Según la gráfica existen dos situaciones que se deben gestionar: •
Picos de la demanda. Demanda que no puede ser satisfecha en un periodo de tiempo dado, conlleva a altos tiempos de espera, por tanto deserciones y pérdida de beneficios, por otro lado acumulación de grandes volúmenes de inventario, incrementos en los tiempos de entrega al cliente. Las acciones necesarias para manejar esta situación apuntan a descabezar dichos picos.
•
Demanda menor que la capacidad. A pesar de que la demanda es menor que la capacidad del sistema, se forma cola, en este caso se trata de diseñar el sistema de tal forma forma que permita un servicio servicio rápido al cliente, cliente, optimizando optimizando los tiempos tiempos de espera o el tamaño de la cola. Es acá donde la teoría de líneas de espera juega un papel importante, como técnica que permite gestionar la atención rápida al cliente. Porqué si la demanda es menor que la capacidad, se forma una línea de espera?. La razón por la cual se forma una cola se debe a la aleatoriedad existente entre los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio.
espera permi permite te al usuari usuario o descri describir bir el siste sistema ma de colas colas bajo bajo La teoría de líneas de espera estudio estudio,, es decir decir le permi permite te calcul calcular ar estadí estadíst stica icas s de conges congestió tión, n, pero pero no optimi optimiza za el funcionamiento del mismo; es el usuario quien debe optimizar el sistema bajo estudio.
COSTOS ASOCIADOS El costo costo de un sistem sistema a de colas colas tiene tiene dos compone componente ntes: s: costo costo del servici servicio o y costo costo asociado con la espera, el objetivo es diseñar el sistema de tal forma que se produzca el menor costo total. En la siguiente figura se puede observar la relación de dichos costos con el nivel de servicio y su incidencia en el costo total.
Para bajos niveles de servicio se experimentan largas colas y por tanto costos de espera altos. Conforme se incrementa el nivel de servicio se incrementan los costos del mismo, pero disminuyen los costos de espera. El costo total del sistema disminuye, pero a partir de cierto nivel los ahorros en el costo de espera no compensan los incrementos del costo del servicio. El costo del servicio es tangible, y aparece en la contabilidad, sin embargo el costo de la espera es un intangible y se refiere a un beneficio perdido por los clientes que no vuelven, por los que se retiran, causan sobre costos de entrega o, incrementos en los inventarios por los cuellos de botella que se generan. En general la función de costos total (CT) esta dada por:
CT/ periodo de tiempo = $ C 1 * K + $ C2 * L Donde $ C1 son los costos del servicio, por servidor o canal por unidad de tiempo, y $ C2 son los costos asociados con la espera, evaluados por cliente y unidad de tiempo.
CRITERIO GERENCIAL Muy aplicado por organizaciones de servicio, las cuales por criterio establecen según condiciones competitivas, un tiempo máximo de espera para un cliente en la cola, o un número máximo de clientes en espera, lo cual permite calcular el nivel óptimo de servicio.
CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE CONGESTION CONGESTION DE INTERES Y NOTACIÓN NOTACIÓN Entre las características de interés en un sistema de líneas de espera se tienen: Notación Número esperado de unidades en el sistema. L Número esperado de unidades en la cola Lq Tiempo medio esperado en el sistema W Tiempo medio esperado en la cola Wq ρ Utilización del sistema Porc orcenta entaje je de veces eces que que el canal nal esta sta ocio ocios so Po Probabilidad de que haya n unidades en el sistema Pn Número esperado de estaciones desocupadas E(g) Prob Probab abililid idad ad de tene tenerr que que espe espera rarr Pk NOTACION KENDALL
Notación ampliamente utilizada para clasificar los diferentes modelos de líneas de espera. El formato es el siguiente: a/b/c/d/e/f , donde a: Representa la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas. Si es exponencial se denota por M, si es determinista se denota por D, si es cualquier distribución general se denota por G. represent enta a la distri distribuc bución ión de probab probabili ilidad dad del tiemp tiempo o de servi servicio cio.. Igual Igual que caso caso b: repres anterior. canales. Puede ser uno o varios canales (varios K ó S) c: Representa el número de canales. d: Representa la disciplina de servicio. Puede ser peps, ueps, aleatorio (siro), con base a prioridades e: Representa el máximo número de clientes que se pueden alojar en el sistema en un instante dado del del tiempo. ( se nota N) f : Representa el tamaño de la población potencial de clientes, cuando esta es finita ( se nota m ) Cuando la disciplina es peps, capacidad ilimitada y población infinita, se puede omitir su notación. Ejemplos: M/M/1 M/M/4 M/G/1 M/D/1
M/M/1/8
M/M/2/8
M/M/1/ / 15
M/M/3/ / 15
En general los modelos M se refieren a procesos carentes de memoria o Markovianos; Una distribución muy utilizada en colas y que tienen esta característica es la Exponencial Siem Siempr pre e que que se habl hable e de M se refi refier ere e a tiem tiempo pos s entr entre e lleg llegad adas as o de serv servic icio io exponenciales.
CONDICION DE ESTADO ESTACIONARIO
En el anál anális isis is de líne líneas as de espe espera ra se debe debe iden identi tifi fica carr las las cond condic icio ione nes s inic inicia iale les s o transitorias de las condiciones de largo plazo, estado estado estable o estado estado estacionario. Todas las estadísticas de congestión que se deducen para los diferentes modelos de colas, colas, se supone suponen n valore valores s medios medios o de estado estado estab estable, le, indepe independi ndient entes es del tiemp tiempo o transcurrido y de las condiciones iniciales. Estado Estado establ estable e o estaci estacionar onario, io, se refier refiere e a la condic condición ión del siste sistema ma de colas colas como como independiente del estado inicial y del tiempo t transcurrido.
RELACIONES RELACIONES FUNCIONALES FUNCIONALES ENTRE LAS CARACTERISITICAS CARACTERISITICAS DE OPERACION OPERACION L = λ*W
Lq = λ*Wq
W = Wq + 1/µ
En estas relaciones, cuando λ no es una constante para todo n, entonces se usa λ La cual se puede calcular de la siguiente forma: λ = Σ λnPn
para toda n
REPASO DE LAS DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES POISSON Y EXPONENCIAL NEGATIVA NEGATIVA Distribución de Poisson: f ( x ) = P ( X= x ) =
e
-λ
*λx
Para x = 0,1,2,3,4, 0,1,2,3,4, ……… ………
x! -λ
x
F ( x) = Σ e *λ x!
Distribución Exponencial negativa λ
f( x ) = λ* e- x
Para x > 0 λ
F ( x ) = 1 - e- x
HIPOTESIS A CONSIDERAR EN LOS MODELOS DE COLAS 1. Si N(t) = n es el número número de unidades en el sistema sistema en el instante instante t, las llegadas llegadas de nuevos clientes se consideran con distribución Poisson con parámetro λn 2. Si N(t) = n es el número número de unidades unidades en el sistema sistema en el instante t, los los servicios servicios se consideran con distribución exponencial con parámetro 1/µn 3. Para un pequeño intervalo de tiempo ∆t la probabilidad de dos o más ocurrencias es cero (una llegada y una salida, o dos llegadas, o dos salidas, o más de dos ocurrencias combinadas) 4. En el largo plazo el número esperado de llegadas es igual al número esperado de salidas. Esto es lo que se llama la ecuación de balance del sistema.
MODELO M/M/1 Características: Población infinita Un solo canal No hay rechazo No hay abandono Disciplina de Servicio peps Llegadas según distribución Poisson con tasa λn = λ para n > o = a cero Servicios exponenciales con tasa de servicio µn = µ para n > 0 Utiliz Utilizand ando o las hipóte hipótesis sis anteri anteriorm orment ente e enunci enunciada adas, s, es decir decir aplica aplicando ndo el proce proceso so de nacimi nacimient ento o y muert muerte e se pueden pueden obtene obtenerr ecuac ecuacione iones s para para este este modelo modelo,, a partir partir del siguiente diagrama de estados, donde se resumen las hipótesis del modelo. Luego de sacar sacar las ecuacione ecuaciones s de balanc balance, e, las las cuales cuales lo haremo haremos s en tabler tablero, o, se obtien obtienen en las diversas ecuaciones ecuaciones de congestión. congestión. Se cumple que λ < µ
Diagrama de Estados 0
1 λ µ
2 λ µ
3 λ µ
4 λ µ
n
5 λ
λ
λ
µ
µ
Ecuación de Balance Estado 0
1
2
λP0 = µP1
λP0 + µP2 = λP1 + µP1
λP1 + µP3 = λP2 + µP2
despejando
despejando
despejandoP3 =
P1 =
P2 =
λ3 µ3
λ P0 µ λ2 µ
2
P0
P0
En general si se continua continua determinando la ecuación de balance hasta el estado n-1, se obtendrá para el estado n la siguiente ecuación general, donde ρ = λ/µ
Pn =
λn
P0 la cual se puede expresar como: n µ
Pn =
ρ
n
* P0
Para el modelo M/M/1, ρ = λ/µ representa el factor de utilización, y significa el porcentaje de veces que el sistema sistema está ocupado. El sistema está ocupado ocupado cuando al menos hay un cliente en el sistema, por tanto el servidor está ocupado. En esta ecuación P0 es una incógnita, pero se puede hallar a partir de: α
α
∑ Pn = 1
entonces
∑
Po*
i=0
n
ρ = 1 se obtiene que Po = 1- ρ
i= 0
∞
∑ ρn
este resultado sale de
=
n =0
1
∞
E(n) = L =
∑ n * Pn
=
E(n) = L =
∞
μ − λ
∑ n * Pn = ∑ n * ρ
n =0
n
∞
* Po = ρ * Po *
n =0
= ρ * Po * d(
1 1− ρ
) =
1
ρ * Po *
(1− ρ)
∑ (n − k ) * Pn
n = k
∞
E(n-1) = Lq =
∑ (n − 1) * Pn
n =1
W=
L λ
∞
=
∑ n *ρ
n −1
n =0
∞
E(n-1) = Lq =
es decir λ < µ
El número esperado de clientes en el sistema
λ
n =0
∞
si ρ < 1
1− x
=
2 =
= ρ * Po * d ∑ ρ
n
n =0
ρ = λ 1 − ρ (μ − λ)
El número esperado de clientes en la cola
2
λ μ(μ − λ) ∞
∑ n * Pn - ∑ Pn
n =0
∞
= E(n) – (1-Po) = L - ρ
n =1
Wq =
Lq λ
En los modelos donde λ no es una constante constante para todo n, entonces se
∞
utiliza λ =
∑ λn * Pn
n =0
Ejemplo 1. La empresa aérea ABC mantiene un empleado para atender las reservaciones y para suministrar información acerca de los horarios de la salida y llegada de los vuelos. Todas las llamadas que se hacen a la empresa entran por un conmutador. Si quien llama solicita información o reservaciones, la recepcionista pasa la llamada llamada al empleado encargado; pero si está ocupado se le solicita que espere en la línea. Cuan Cuando do el empl emplea eado do qued queda a libr libre, e, se le comu comuni nica ca con con la pers persona ona que que más más ha esperado. Supong Suponga a que las llama llamadas das y los servicio servicios s siguen siguen una distri distribuc bución ión de Poiss Poisson. on. Las llamadas llegan a una tasa de 10 por hora y el empleado atiende una llamada en 4 minutos en promedio. a) ¿Cuál es el promedio de llamadas que esperan comunicación con el despacho de reservaciones? b) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar una llamada antes de comunicarse con el despacho de reservas? c) ¿Cuál es el tiempo promedio para que una llamada quede satisfecha?
Se presenta a continuación la salida del software QSB Queuing Performance for Ejemplo1 M/M/1 With lamda lamda = 10 customers customers per hora and µ = 15 customers per hora Overall system effective arrival rate rate = 10.0000 per hora Overall system effective service service rate = 10.0000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.666667 Average number of customers in the system (L) = 2.00 Average number of customers in the queue (Lq) = 1.33 Average time a customer in the system (W) = 0.200 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.133 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.33 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.67
Ejemplo 2. El tiempo entre llegadas a un sistema de inspección visual es de 2 minutos por pieza, con distribución exponencial. El tiempo que gasta el inspector se distribuye exponencialmente con media de 1.5 minutos por pieza. a) Cuál es el tiempo promedio de espera de una pieza antes de inspección? b) En promedio cuantas piezas están en espera de ser inspeccionadas?
Queuing Performance for Ejemplo2 M/M/1 With lamda = 30 customers customers per hora and µ = 40 customers customers per hora Overall system effective effective arrival rate rate = 30.0000 per hora Overall system effective effective service rate = 30.0000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.750000 Average number of customers in the system (L) = 3.000000 Average number of customers in the queue (Lq) = 2.250000 Average time a customer in the system (W) = 0.100000 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.075000 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.250000 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.750000
Ejemplo 3. Consideremos un controlador de 4 líneas de entrada de 4800bps c/u y una salida de 9600bps. El tamaño promedio de los mensajes es de 1000 bits por mensaje y el tráfico es de 2 mensajes por segundo . Calculemos entonces el retardo promedio de los mensajes y la cantidad de mensajes en espera que habrá en el sistema como para poder diseñar el buffer necesario. Si la velocidad de salida del controlador es de 9600bps y el tamaño de mensaje de 1000 bits, entonces µ=9,6 mensajes/segundo y λ= 8 mensajes/segundo =4 =4 líneas*2 líneas*2 (tener en cuenta que hay 4 entradas). Con estos datos tenemos:
W = L =
1
µ − λ
=
1 9,6 − 8
= 625mseg
λ = 5mensajes µ − λ
MODELO M/M/K Características: Población infinita K canales de servicio en paralelo Una sola cola frente a los canales, donde el cliente que espera en la cola es atendido por el primer canal que queda desocupado. No hay rechazo, no hay abandono Disciplina de servicio peps Llegadas según distribución Poisson con parámetro λn = λ para n ≥ o Servicios exponenciales con parámetro µn = nµ para n < K = kµ para n Donde µn es la tasa global del sistema, es decir de todos los servidores ocupados. Se supone que cada servidor tiene la misma tasa µ, porque de lo contrario contrario sería sería un modelo especial de colas. Utiliz Utilizand ando o las hipóte hipótesis sis anteri anteriorm orment ente e enunci enunciada adas, s, es decir decir aplica aplicando ndo el proce proceso so de nacimiento y muerte se pueden obtener las ecuaciones de estado estable si se cumple que λ < kµ , las cuales se presentan en la tabla de formulas, la cual no incluye la siguiente : Numero esperado de canales desocupados = k - ρ Diagrama de Estados 0
1 λ µ
2 λ 2µ
Ecuación de Balance Estado
3 λ 3µ
4 λ 4µ
5 λ
λ
5µ
(k-1)µ
λ kµ
0
1
2
λP0 = µP1
despejando
λP0 + 2µP2 = λP1 + µP1
despejando
λP1 + 3µP3 = λP2 + 2µP2
despejando
P1 =
P2 =
P3 =
λ P0 µ 1 2 1 3!
*
*
λ2 µ2 λ3 µ3
P0
P0
.. ..
.. k-1
λP(k-2) + kµPK = λPK-1 + (k-1)µPk-1
λ k despejando PK = * ( ) *P0 K k ! μ 1
.. .. ..
n-1
λP(n-2) + kµPn=λPn-1 + KµPn-1
despejando
se tiene que:
λ n − k λ k *( ) * P0 Pn = k µ k k !*µ
De este sistema de ecuaciones se obtiene:
Pn
=
λ n * ( ) *P0 n! μ 1
n< k
λ n 1 * ( ) * P0 n − n k µ k !* k Se sabe que α
∑ Pn = 1
i=0
a partir de esta ecuación se puede determinar Po, se obtiene
Po = [
k −1
∑
ρ
n
n! n =0
+
ρ
k
k !
/ (1-
suponga que se considera considera colocar colocar un nuevo nuevo empleado empleado de tal Ejemplo 3. En ejemplo 1, suponga manera que las llamadas sean recibidas indistintamente por cualquiera de los dos que esté libre. a) ¿Cuál sería el número promedio de llamadas esperando comunicarse con el despacho de reservas? b) ¿Cuál Cuál serí sería a ento entonc nces es el tiem tiempo po espe espera rado do ante antes s de que que una una llam llamad ada a tuvi tuvier era a comunicación con el despacho de reservas? c) Supóngase que el costo de funcionamiento de un despacho adicional es de US $ 8 diarios y el costo del good will de la espera de cada cliente US $ 0.20 por minuto de espera (antes de la comunicación) ¿debería emplearse un segundo dependiente? d) ¿Cuál sería el costo de indiferencia del good will para conseguir o no un segundo empleado? e) ¿Cuáles son las hipótesis acerca del número esperado de llamadas para cada hora del día?
Queuing Performance for Ejemplo3 M/M/2 With lamda = 10 customers customers per hora and µ = 15 customers per hora Overall system effective effective arrival rate rate = 10.0000 per hora Overall system effective effective service service rate = 10.0000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.333333 Average number of customers in the system (L) = 0.750000 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.083333 Average time a customer in the system (W) = 0.075000 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.008333 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.500000 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.166667
Ejemplo 4. Suponga que en el taller "Rueda Libre" los mecánicos llegan a un puesto de préstamo de herramientas herramientas a una tasa de 20 por hora. El empleado requiere 2,5 2,5 minutos para localizar la herramienta y hacer el vale y verificarlo. Los mecánicos reciben un salario
de $ 950,oo 950,oo por hora y los almacenist almacenistas as $ 780,oo 780,oo incluyend incluyendo o prestacione prestaciones s extralega extralegales. les. ¿Cuántos empleados en el el puesto de préstamo de herramientas herramientas deben ser contratados si si suponen llegadas y servicios Poissonianos?
Queuing Performance for Ejemplo4 M/M/2 With lamda = 20 customers customers per hora and µ = 24 customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.416667 Average number of customers in the system (L) = 1.008403 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.175070 M/M/3 With lamda lamda = 20 customers customers per hora and µ = 24 customers customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.277778 Average number of customers in the system (L) = 0.855529 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.022196 M/M/4 With lamda lamda = 20 customers customers per hora and µ = 24 customers customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.208333 Average number of customers in the system (L) = 0.836234 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.002901
Ejemplo 5. Una compañía de seguros tiene tres empleados para atender los reclamos de los clientes. Estos llegan según una ley de Poisson a una tasa de 20 por día de 8 horas. El tiempo que cada empleado le dedica a un cliente se distribuye en forma exponencial con un promedio de servicio de 40 minutos con disciplina peps en la cola. a) ¿Cuántas horas a la semana se espera que un empleado gaste con los clientes? b) ¿Cuánto tiempo gasta en promedio un cliente haciendo un reclamo? c) ¿ Cuánto tiempo gasta en promedio un cliente esperando par hacer un reclamo? Queuing Performance for Ejemplo5 M/M/3 With lamda = 2.5 customers customers per hora and µ = 1.5 customers customers per hora Overall system effective arrival rate = 2.500000 per hora Overall system effective service rate = 2.500000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.555556 Average number of customers in the system (L) = 2.041367 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.374700 Average time a customer in the system (W) = 0.816547 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.149880 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.172662 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.299760
Probability of n Customers in the System P(0) = 0.17266 P(4) = 0.07401 P(8) = 0.00705
P(1) = 0.28777 P(5) = 0.04112 P(9) = 0.00392
P(2) = 0.23981 P(3) = 0.13323 P(6) = 0.02284 P(7) = 0.01269 P(10) = 0.00218
MODELO M/M/1/N
Características : Población infinita Un solo canal Se presenta rechazo, pero no hay abandono. Disciplina de Servicio peps Llegadas según distribución Poisson con tasa λn = λ = 0 Servicios exponenciales con tasa de servicio µn = µ
para 0 ≤ n < N para n = N para n > 0
Este modelo supone que la capacidad del sistema es limitada, ya sea porque no se puede albergar a todas las unidades que llegan, o porque la actitud del cliente es de impaciencia, o porque el canal de servicio lo establece así. Acá se tienen tres tasas: una de llegadas, una de rechazo y una efectiva de entrada al sistema. La tasa de llegadas es λ _ La tasa efectiva de entrada al sistema λ = λ ( 1 – P N ) La tasa de rechazo = λ* PN Al igual que en los dos modelos anteriores, considerando las hipótesis anteriormente enunciadas, se pueden obtener ecuaciones para este modelo, no se requiere que λ < µ ; las cuales se presentan en la tabla de formulas.
Diagrama de Estados 0
1 λ µ
2 λ µ
3 λ µ
4 λ µ
5 λ
N
λ =0
λ µ
µ
servicio con un solo surtidor, surtidor, tiene espacio para ocho autos Ejemplo 6. Una estación de servicio (inclu (incluyen yendo do al que se está está sirvien sirviendo) do).. Los carros carros llegan llegan a una tasa tasa de dos cada cada 10 minutos. El servicio se distribuye exponencial con media 4 minutos. a) ¿Cuál ¿Cuál será el numero numero esperado esperado de autos autos que que esperan esperan servicio servicio de tanque tanqueo? o? b) ¿En promedio promedio cuanto tiempo tiempo espera espera un auto auto para ser ser atendido? c) ¿Cual será la la probabilidad de que un auto auto que llegue tenga tenga que esperar. esperar. d) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llegue pueda entrar? e) ¿Si ¿Si la utilid utilidad ad promedi promedio o que obtiene obtiene la estació estación n por auto es de $ 400, 400, Cual será será la utilidad utilidad perdida por hora, día, día, semana para la estación estación por los autos que no pueden entrar y entonces se retiran?
Queuing Performance for Ejemplo6 M/M/1/8 With lamda lamda = 12 customers customers per hora and µ = 15 customers per hora Overall system effective arrival rate rate = 11.5349 per hora Overall system effective service service rate = 11.5349 per hora Overall system effective utilization factor = 0.768995 Average number of customers in the system (L) = 2.604777 Average number of customers in the queue (Lq) = 1.835782 Average time a customer in the system (W) = 0.225817 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.159150 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.231005 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.768995
Probability of n Customers in the System P(0) = 0.23100 P(4) = 0.09462 P(8) = 0.03876
P(1) = 0.18480 P(5) = 0.07570 P(9) = 0.00000
P(2) = 0.14784 P(3) = 0.11827 P(6) = 0.06056 P(7) = 0.04845 P(10) = 0.00000
Ejemplo7 . Es necesario determinar cuánto espacio de almacén para material en proceso conviene asignar a un centro de trabajo en una nueva fábrica. Los trabajos llegan de acuerdo acuerdo a un proceso Poisson Poisson con tasa media de 3 por hora, y el tiempo requerido requerido para realizar el proceso necesario tiene una distribución exponencial con media de 0,25 horas. Cuando los trabajos que esperan requieren más espacio de almacén del asignado, el exceso exceso va a un almacé almacén n tempor temporal al en un lugar lugar menos menos conven convenien iente. te. Si cada cada trabaj trabajo o requiere un pie cuadrado de suelo en el almacén del centro de trabajo, ¿Cuánto espacio se debe proporcionar para acomodar todos los trabajos el 90% del tiempo? Este problema aparentemente es un modelo de capacidad limitada, pero al leerlo con detenimiento se puede observar que los trabajos que no pueden ser almacenados en el luga lugarr de trab trabaj ajo o no son son rech rechaz azad ados os,, se alma almace cena nan n en luga lugarr meno menos s conv conven enie ient nte e manteniendo el orden de llegada, es decir siguen entrando a la cola.
Queuing Performance for Ejemplo7 M/M/1 With lamda = 3 customers customers per hora and µ = 4 customers per hora Overall system effective arrival rate = 3.000000 per hora Overall system effective service rate = 3.000000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.750000 Average number of customers in the the system (L) = 3.000000 3.000000 Average number of customers in the the queue (Lq) = 2.250000 Average time a customer customer in the system (W) = 1.000000 1.000000 hora Average time a customer customer in the queue (Wq) = 0.750000 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.250000 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.750000
Probability of n Customers in the System P(0) = 0.25000 P(1) = 0.18750 P(2) = 0.14063 P(3) = 0.10547 P(4) = 0.07910 P(5) = 0.05933 P(6) = 0.04449 P(7) = 0.03337 P(8) = 0.02503 P(9) = 0.01877 P(10) = 0.01408 P(11) = 0.01056 P(12) = 0.00792 P(13) = 0.00594 P(14) = 0.00445 P(15) = 0.00334 P(16) = 0.00251 P(17) = 0.00188 P(18) = 0.00141 P(19) = 0.00106 P(20) = 0.00079
ρ = 3/4
P(n<=k) = 0.90 P0 + P1+ P2+ P3 +.......P k = 0.90 Pn = P 0 * ρ n P0 + P0 ρ1 + P0 ρ2 + P0 ρ3 +....... + P 0 ρk = 0.90 P0 ( 1+ ρ1+ ρ2 + ρ3 + .........+ ρk = 0.90 n = k
∑
n=0
n
ρ =
1 − ρ N +1 1 − ρ
= 0.90 donde ρ = 3/4
Ejercicios complementarios del taller 1. El teléf teléfono ono de empre empresas sas públi públicas cas,, situado situado a la entrad entrada a del bloque bloque 18 de la U Eafit Eafit,, recibe clientes que llegan según distribución Poisson con una tasa promedio de 6 clientes por hora. Las llamadas tienen una duración exponencial con media de 3 minutos. a a) Si EEPP decide que colocará colocará otro teléfono si si un cliente tiene que esperar en
b c
c)
promedio más de 3 minutos para que desocupen desocupen el teléfono, cuál debería ser la tasa de llegadas para que suceda esto? b) Si EEPP decide que colocará otro teléfono si la probabilidad probabilidad de que un cliente tenga que esperar exceda de 0.5, ¿cuál debería ser la tasa de llegadas para que esto suceda? Si un clie client nte e que que va va a llam llamar ar enc encue uent ntra ra que que el telé teléfo fono no está está ocup ocupad ado, o, ent enton once ces s decide no llamar, ¿ cuál es la tasa efectiva de entrada en este caso?, ¿ cuál sería el tiempo promedio de espera de un cliente que llama?
2. En Colombia Colombia se tiene tiene un sistema sistema de control del del peso de las tractom tractomulas ulas que circulan circulan por ciertas arterias, con el fin de prevenir el deterioro de las vías y sobre todo proteger los puentes, dado que si un camión tiene un peso mayor al indicado por la capacidad del puente, este si no se cae inmediatamente, queda con su estructura disminuida, lo cual es un factor de alto riesgo para los demás conductores. En cierto lugar de una autopista se tiene una rampa de entrada entrada a una báscula, báscula, sobre sobre la cuál se hace parar parar el camión. Suponga Suponga que los camiones camiones llegan llegan a dicho dicho punto punto según según distri distribuc bución ión Poiss Poisson on con tasa media media de 40 camiones por hora. El tiempo de pesado de un camión se distribuye en forma exponencial con media de 1.2 minutos. Si la rampa tiene capacidad para albergar 8 camiones en espera sin interferir con la autopista, hay ocasiones en que la cola llega a la autopista, ¿ cuál es la probabilidad de que esto suceda? 3. Un centro centro de reparación reparación de micros, micros, recibe recibe trabajos trabajos que se asignan asignan en forma forma rotatoria rotatoria a uno de sus cuatro técnicos para que haga la reparación. Ningún técnico ayuda a otro y tampoc tampoco o recibe recibe ayuda ayuda de los demás. demás. Si el número número de micros micros que llegan llegan al centro centro de reparación se distribuye Poisson con tasa media de 2 por día, y cada técnico repara micros con tiempo distribuido en forma exponencial con tiempo medio de 1 día por micro, a) En promedio cuánto tiempo espera un micro al técnico? b) En promedio cuántos micros estarán esperando a cada técnico para que les dé servicio? 4. Un admi admini nist stra rador dor de un rest restau aura rant nte e trat trata a de dete determ rmin inar ar cuan cuanta tas s cola colas s se debe deben n trabajar durante las horas pico en un restaurante , si llegan en promedio 100 clientes por hora al restaurant restaurante e y en cada cola se pueden pueden manejar manejar en promedio 40 clientes clientes por hora. El costo costo de espera de un cliente en la cola es de $ 4.000 4.000 por hora. Un servidor cuesta cuesta $ 2.200 la hora. ¿Cuál es el número de colas que minimiza minimiza el costo total por hora? hora?
MODELO M / M / 1 / / m Modelo muy utilizado en el análisis de los paros de producción causados por la reparación o mantenimiento de maquinaria y equipo.
Características: Población finita de tamaño m
Un solo canal No hay rechazo No hay abandono Disciplina de Servicio peps Llegadas según distribución Poisson con tasa λn = λ ( m – n ) para n > o = a cero =0 para n = m En este caso la tasa de llegada de nuevos clientes al sistema depende de cuantos hay en el. Se considera que λ es la tasa de llegadas individual de cada cliente nuevo al sistema, y que todos tienen la misma tasa individual. Servicios exponenciales con tasa de servicio µn = µ para n > 0 Si se cumple que λ < µ , entonces es posible lograr un estado estable. Las formulas para este modelo se presentan en la tabla de formulas. Diagrama de Estados 0
1 λm µ
λ(m-1) µ
2
3
4
5
λ(m-2) λ(m-3) λ(m-4) λ(m-5) µ µ µ
Ejemplo 8.
m 0 µ
Un operar operario io está está enca encarg rgad ado o de la prep prepar arac ación ión,, carg carga, a, ajus ajuste te y descarga de 4 máquinas. El tiempo de operación, entre la terminación del trabajo del operador y el momento en que la máquina vuelve a necesitar atención, tiene una distrib distribuc ución ión exponenc exponencial ial con media media de 15 minuto minutos s para para cada cada máquina. máquina. El oper operad ador or atie atiend nde e sus sus prop propia ias s máqu máquina inas, s, no ayud ayuda a ni reci recibe be ayud ayuda a de otro otros s oper operad ador ores es,, y se gast gasta a en prom promed edio io 4 minu minuto tos s con con cada cada máqu máquin ina, a, tiem tiempo po distribuido en forma exponencial. Para que el departamento departamento logre la tasa tasa de producción, las máquinas deben operar por lo menos en promedio 80% del tiempo. a) Determine si el departamento logra la tasa de producción. b) Cuál es la fracción esperada de tiempo que el operador está ocupado en la atención de las máquinas?, ¿ A Cuántas horas equivalen equivalen si el trabaja 48 horas a la semana?
Queuing Performance for Operario que atiende atiende 4 máquinas. máquinas. With lamda = 4 customers per hour and µ = 15 customers per hour Overall system effective arrival rate = 10.7100 per hour Overall system effective service rate = 10.7100 per hour Overall system effective utilization factor = 0.713998 Average Average number number of customers customers in the system system (L) = 1.322509 1.322509 Average Average number number of customers customers in the queue queue (Lq) (Lq) = 0.608512 0.608512 Average Average time time a customer customer in the system (W) = 0.123484 0.123484 hour
Average Average time time a customer customer in the queue (Wq) (Wq) = 0.056817 0.056817 hour The probability that all servers are idle (Po)= 0.286002 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.713998 P(0) = 0.28600
Probability of n Customers in the System P(1) = 0.30507 P(2) = 0.24406 P(3) = 0.13016 P(4) = 0.03471
Ejercicio. Se ha asignado a un mecánico la responsabilidad de dar mantenimiento a cinco máquinas herramientas idénticas. Para cada máquina, la distribución de probabilidad del tiempo de operación antes de descompostura es exponencial con media media de 10 horas. horas. El tiemp tiempo o de reparac reparación ión tambié también n tiene tiene una distribu distribució ción n exponencial con media de dos horas. a) ¿ Cuál Cuál es la probabil probabilidad idad de que no no haya maquina maquina alguna alguna funcionand funcionando? o? b) ¿ En prome promedio dio cuanto cuanto tiempo tiempo pasa una maquina maquina esperan esperando do al mecán mecánico ico para ser reparada? c) ¿ Cuál será será el número número esperad esperado o de máquin máquinas as que están están en operaci operación ón en un momento dado? d) ¿ Cuál es la fracc fracción ión espera esperada da de tiempo tiempo que el operador operador está está ocupado ocupado en la atención de las máquinas?, máquinas?, ¿ A Cuántas horas horas equivalen si el trabaja 48 horas horas a la semana? e) ¿ Cuál es la fracción fracción esperada de tiempo que el operador está está ocioso? ¿ A Cuántas horas equivalen si él trabaja 48 horas a la semana? e) ¿ Si Si cada cada máq máqui uina na en en prom promed edio io ati atien ende de 10 10 tra traba bajo jos s por por hora hora,, ¿ Cuál Cuál ser será á el inventario promedio en espera de ser procesado?
MODELO M / M / k / / m El modelo multicanal se utiliza cuando varios canales de servicio atienden a una población limitada. Al igual que el modelo anterior se utiliza en el análisis de los paros de producción causad causados os por la reparac reparación ión o manten mantenimi imient ento o de maquinar maquinaria ia y equipo equipo.. Es de interé interés s evaluar los costos totales del sistema.
Características : Población finita de tamaño m k canales de servicio en paralelo Una sola cola frente a los canales de servicio, donde el cliente en espera es atendido por el primer canal que queda desocupado No hay rechazo No hay abandono Disciplina de Servicio peps Llegadas según distribución Poisson con tasa λn = λ ( m – n ) para n > o = a cero =0 para n = m En este caso la tasa de llegada de nuevos clientes al sistema depende de cuantos hay en el. Se considera que λ es la tasa de llegadas individual de cada cliente nuevo al sistema, y que todos tienen la misma tasa individual. Servicios exponenciales con parámetro µn = nµ para n < K
= kµ para n Si se cumple cumple que λ < k.µ , entonces es posible lograr un estado estable. Las formulas para este modelo se presentan en la tabla de formulas. Diagrama de Estados
0
1 λm µ
2 λ(m-1) 2µ
3
4
5
λ(m-2) λ(m-3) λ(m-4) λ(m-5) 3µ 4µ 5µ
λ(m-k+1) (k-1)µ kµ
Ejemplo 9. Se ha asignado a dos mecánicos la responsabilidad de dar mantenimiento a quince máquinas. Para cada máquina, la distribución de probabilidad del tiempo de operación antes de descompostura es exponencial exponencial con media de 10 horas. El tiempo de reparación también tiene una distribución exponencial con media de dos horas. a) Especifique claramente el modelo. b) Para que el departamento logre la tasa de producción, las máquinas deben operar por lo menos en promedio 80% del tiempo. Determine si el depto de producción logra dicha tasa. c) Cuál es la fracción esperada de tiempo que los mecánicos están ocupados en la atención de las máquinas?
With lamda = .1 customers per hour hour and µ = .5 customers per hour Overall system effective arrival rate = 0.953531 per hour Overall system effective service rate = 0.953531 per hour Overall system effective utilization factor = 0.953531 Average Average number number of customers customers in the system system (L) = 5.464692 5.464692 Average Average number number of customers customers in the queue queue (Lq) (Lq) = 3.557630 3.557630 Average Average time time a customer customer in the system (W) = 5.731008 5.731008 hour Average Average time time a customer customer in the queue (Wq) (Wq) = 3.731007 3.731007 hour The probability that all servers are idle (Po)= 0.018588 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.925649 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.01859 P(1) = 0.05576 P(2) = 0.07807 P(3) = 0.10149 P(4) = 0.12179 P(5) = 0.13397 P(6) = 0.13397 P(7) = 0.12057 P(8) = 0.09645 P(9) = 0.06752 P(10) = 0.04051 P(11) = 0.02026 P(12) = 0.00810 P(13) = 0.00243 P(14) = 0.00049 P(15) = 0.00005
Ejercicio. En un taller hay 20 tornos y se ha observado que cada uno de ellos falla a intervalos con variabilidad exponencial con tiempo promedio de un día por torno. El taller tiene 5 mecánicos que trabajan con tasas iguales según distribución Poisson con tasa media de un torno por día. El costo fijo diario de cada mecánico es de $ 900 y el costo de espera de cada torno fuera de servicio es $ 9.000.
a) ¿Cual es el numero de mecánicos que hacen que el costo total total diario sea mínimo? a) ¿Cual ¿Cual es el numero numero esperado esperado de tornos tornos que que funcionan funcionan diariame diariamente? nte? b) ¿En promedi promedio o cuanto cuanto tiempo tiempo pasa un torno torno en espera espera y en servic servicio? io?
MODELO M/G/1. Características: Población infinita, capacidad infinita, disciplina de servicio PEPS. Tiempo entre llegadas exponencial. Tasa de llegadas λn = λ
para n ≥ 0
Tiempo de servicio sigue una distribución general, con tiempo medio 1/ µ y Varianza σ2 Dados λ>0 y µ>0 sea ρ = λ/µ. • Si ρ≥ 1 no existe estado estable. •
Si ρ<1 el sistema es estable
•
Si σ2 = varianza de la distribución de tiempos de servicio, entonces:
(Pollaczek-Khinchin)
λ 2σ 2 + ρ 2 Lq = 2(1 − ρ ) W q =
Lq
λ
,
y
ρ =
W = W q +
λ , L = Lq + ρ µ
1
µ
Probabilidad de servidor desocupado: P0 = 1- ρ
MODELO M/D/1 Características: Población infinita, capacidad infinita, disciplina de servicio PEPS. Tiempo entre llegadas exponencial. Tasa de llegadas λn = λ
para n ≥ 0
Tiempo de servicio se considera constante por tanto tiene Varianza σ2 = 0 Dados λ>0 y µ>0 sea ρ = λ/µ. • Si ρ≥ 1 no existe estado estable.
•
Si ρ<1 el sistema es estable
•
Si σ2 = 0, 0,
se aplica la misma fórmula del modelo M/G/1, M/G/1, sólo que la varianza varianza es
cero, entonces
ρ2 L = q 2(1 − ρ)
λ ρ = , L = Lq + ρ µ W q =
Lq
,
y
λ
W = W q +
1
µ
Probabilidad de servidor desocupado: P0 = 1- ρ
Ejercicios propuestos 1. En una planta de ensamble se reciben trabajos al azar; supóngase que el tiempo promedio entre llegadas tiene distribución exponencial con media de 12 minutos por trabajo. Los tiempos de servicio no siguen la distribución exponencial. A continuación se muestra dos proposiciones para el diseño de la operación de ensamble de la planta:
Diseño A B
Tiempo Tiempo Medio de Servicio Desviación Estándar (Minutos / Trabajo) 6.0 6.30
3.0 0.5
a) ¿Cuál es la tasa promedio promedio de servicio, para cada uno de los diseños? b) ¿Cuál diseño ofrece ofrece las mejores características características de operación? ¿Porque? 2. En una oficina estatal se reciben reclamos de impuestos al azar; supóngase que el tiempo promedio entre llegadas tiene distribución exponencial con media de 20 minutos por solicitud. Los tiempos tiempos de servicio no siguen siguen la distribución exponencial. La siguiente tabla muestra los tiempos de servicio, de dos empleados diferentes, para el estudio de una solicitud
Empleado A B
Tiempo Medio de Servicio ( Minutos / Solicitud ) 16.00 16.30
Desviación Estándar ( Minutos ) 8.0 6.5
a) Cuál es la tasa promedio de servicio, para cada uno de los empleados? b) Cuál empleado ofrece las mejores características de operación ? Porque? 3 El gere gerent nte e de un banc banco o debe debe toma tomarr una una deci decisi sión ón sobr sobre e cuál cuál de dos dos empl emplea eado dos s contratar en la concesión concesión de nuevos préstamos. préstamos. El empleado A en promedio estudia 0,5 solicitudes por hora con una una varianza de servicio de 3 horas; el empleado B tiene una una de servicio servicio de 0,4 solicitude solicitudes s por hora con una varianza varianza de 2 horas. horas. El costo de espera de los clie cliente ntes s se estima estima en $ 3000 por hora. hora. El emple empleado ado A cuesta cuesta $4000 $4000 por hora, hora, mientras mientras que el el costo del del empleado empleado B es de $3400 $3400 por hora. hora. Si la distribu distribución ción de la llegada llegada de los clientes clientes es Poisson Poisson con con tasa media media de 0,3 solicitude solicitudes s por hora ¿Cuál ¿Cuál empleado debería contratarse? 4. Si una escalera eléctrica en un centro centro comercial puede aceptar a 30 personas por minuto, ¿cuál es la tasa de llegadas máxima que se permite para mantener el tiempo promedio de espera debajo de 10 segundos? 5. La Colombiana de Recolección, transporta en camiones que normalmente esperan un prom promed edio io de 8 minut inutos os en cada cada viaj viaje e ante antes s de desc descar arga gar. r. La comp compañ añía ía está está considerando establecer un centro de recolección diferente, con un costo extra de $ 8 por viaj viaje e por por cada cada cami camión ón.. El nuev nuevo o cent centro ro pued puede e oper operar ar a una una tasa tasa cons consta tant nte e de 30 camiones por hora. Las llegadas al nuevo centro serán Poisson con tasa promedio de 24 camiones por hora. El sistema es de canal único y longitud de cola ilimitada. Si el tiempo de espera de los camiones es valorado en $ 100 por hora, 6. Un banco banco trata trata de escog escoger er entre entre dos máquinas máquinas para para compro comprobar bar cheque cheques. s. La máquina máquina 1 se alquila a 10.000 dólares dólares por año y siempre procesa procesa 900 cheques cheques por hora. La tarifa de la máquina dos es de 15.000 dólares por año y procesa siempre 1300 cheques por hora. Suponga que las máquinas trabajan 8 horas diarias, 5 dias por semana y 50 semanas por por año. El banco banco procesa en promedio 850 cheques cheques por hora. Por cada hora que tarda un cheque en esperar y procesarse le cuesta al banco 0.02 dólares por hora en intereses perdidos. Suponga que los tiempos entre llegadas tienen distribución exponencial. ¿Cuál máquina se debe rentar?
