LINEAS DE ESPERA ESPECIALIZADAS DE POISSON Se han elaborado modelos para ayudar a los administradores a entender y tomar mejores decisiones sobre la operación de las líneas de espera. En la terminología de los métodos cuantitativos, una línea de espera también se conoce como cola y el cuerpo de conocimiento que tiene que ver con las líneas de espera también se conoce cómo teoría de las colas o simplemente “teoría de Colas”. A principios del siglo XX, A. K. Erlang, un ingeniero telefónico danés comenzó un estudio de la congestión y tiempos de espera que ocurrían al completar llamadas telefónicas. Desde entonces, la teoría de las colas se ha vuelto mucho más compleja con aplicaciones en una amplia variedad de situaciones de línea de espera. Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes: 1. La probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema 2. Cantidad promedio de unidades en línea de espera 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (cantidad de unidades en línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo) 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema ( el tiempo de espera más el tiempo de servicio) 6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio. Los gerentes que tienen dicha información son más capaces de tomar decisiones que equilibren niveles de servicio deseable con el costo de proporcionar dicho servicio.
MODELOS PARA LÍNEAS DE ESPERA ESPECIALIZADAS DE POISSON Cada modelo Cada modelo de los que a continuación se analizaran se describe en términos de la notación extendida por Kendall, como la deducción de pn es completamente
independiente de la disciplina de la línea de espera, es apropiado usar el símbolo DG (disciplina general) en la notación de Kendall.
SISTEMA A (M/M/1) : (DG/∞/∞)
Este es un modelo de servidor único sin límites en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas, con llegadas y salidas de Poisson con tasa medias y .
Definiendo = obtenemos la siguiente fórmula general para este modelo: o
Pn = (1- ) * n, n = 0,1,2,… Que es una distribución geométrica, donde además p 0 = 1- .
El requisito matemático de que r > 1 necesario para garantizar la convergencia de la serie geométrica (1 + + 2 +…), conduce a un elemento intuitivo. O sea > 1 significa que lo que establece que la tasa de llegadas debe ser estrictamente menor que la tasa de servicio en la instalación, para que el sistema alcance estabilidad. Para este modelo las medidas básicas de desempeño se calculan de la siguiente forma:
o
Ls = E n = ( ) / (1- ) Ws = Ls / = 1 / 1-
o
Lq = Ls - = 2 /(1- Wq = Lq / = / 1-
SISTEMA A (M/M/1) : (DG/N/∞)
La diferencia de este modelo y el anterior radica en que el número máximo de clientes (para este modelo) permitidos en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera es = N-1). Esto significa cuando haya N clientes en el
sistema, se impiden todas las nuevas llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera. En este modelo, haciendo = obtenemos que:
(1- 1- N+1; 1 Po = 1 / N+1; = 1 Entonces las fórmulas para p n pueden resumirse como: (1- 1- N+1 n ; 1
pn = n = 0,1,2, ... 1 / (N+1) ; 1 Para este modelo no se hace necesario que 1 pues el número de unidades en el sistema está controlado por la longitud de la línea de espera (= N-1). Usando el valor anterior de p n, encontramos que el número esperado de unidades en el sistema se calcula como a continuación: 1- N+1) N + N N+1 1- 1- N+1 ; 1
Ls = N / 2; 1 Las medidas Lq, Ws y Wq se pueden calcular a partir de Ls, una vez que se determina la tasa efectiva de llegadas ef de la forma siguiente: e, f = 1-pn
Usando Ls y ef obtenemos las fórmulas para calcular, Lq, Wq y Ws: Lq = Ls-( e, f ) = Ls - [ ( 1-p N)] / pN = Probabilidad de que una unidad no sea capaz de unirse al sistema.
Wq = Lq / e, f = Ls / 1-pN Ws = Wq +1/ = Ls / 1-pN
