INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
NOMBRE IZHAR ALFONSO MAYREN POLANCO
PROFESOR ING. JUAN MANUEL RODRIGUEZ VAZQUEZ
MATERIA INVESTIGACION DE OPERACIONES
UNIDAD 5 LINEAS DE ESPERA
GRUPO 709/10:00-11:00
INDICE 5.1 Definiciones características y suposiciones Líneas de Espera
3
5.2 Terminología y notación Líneas de Espera .
5
5.3 Proceso de nacimiento o muerte.
7
5.4 Modelos Poisson.
8
5.4.1 Modelos Poisson Un servidor.
9
5.4.2 Modelos Poisson Multiples servidores.
10
5.5 Análisis de costos.
12
2
5.1 Definiciones características y suposiciones Líneas de Espera Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Los servidores del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema, pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas. Fuente
Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidad es que piden un servicio. Si el número de unidades potenciales es finito, se dice que la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. Tiempo entre llegadas
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo. Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
3
Mecanismos de servicio
Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio. Disciplina de la cola
En sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios (prioridades):
El que llegó antes. El que llegó el último. El que menos tiempo de servicio requiere. El que más requiere.
Supuestos
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador del servicio y una sola fase. b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
4
5.2 Terminología y notación Líneas de Espera. Características operativas
Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc. Operación de estado estable
Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable. Tasa media de llegada
Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. Tasa media de servicio
Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado. Línea de espera de canales múltiples
Línea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas. Bloqueado.
Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita. Población infinita
Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado. Población finita
Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito. Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar
P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera
5
L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. Todas estas características operativas de estado estable se obtienen mediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera que se este manejando. Para calcular éstas, se necesitan los siguientes datos: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegadas) μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media deservicio)
6
5.3 Proceso de nacimiento o muerte La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere allegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….). SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).
SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (encaso de que pueda alcanzarla). Distribución de llegadas.
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue: P(x)= μxe-λ x!
7
5.4 Modelos Poisson. Existen una gran variedad de modelos para los sistemas de colas, las dos características más importantes serán: a) Los tiempos de llegada. b) Los tiempos de servicio. En los sistemas de colas reales no es posible determinar con exactitud estos dos tiempos, es decir no son determinísticos, los más comunes son los modelos probabilísticos, donde se dan un promedio de estos tiempos, por lo tanto tenemos que usar una distribución de probabilidad que se ajuste lo más cercano a la realidad. Esta distribución de Poisson es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña. Proceso experimental del que se puede hacer derivar
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observación * Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria; pueden producirse o no de una manera no determinística. * La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de am plitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud) * La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo. * La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos. En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse 0 ó 1 hecho pero nunca más de uno * Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro l . Así : El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad, aunque más tarde veremos que se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con la varianza de la distribución.
8
Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los números naturales, incluidos el cero: Función de cuantía
A partir de las hipótesis del proceso, se obtiene una ecuación diferencial de definición del mismo que puede integrarse con facilidad para obtener la función de cuantía de la variable "número de hechos que ocurren en un intervalo unitario de tiempo o espacio" Que sería: Donde: * x - es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente x veces). * λ - es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que
ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. * e - es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Cuya representación gráfica para un modelo de media 11 sería la adjunta. Obsérvense los valores próximos en la media y su forma parecida a la campana de Gauss, en definitiva, a la distribución normal La función de distribución vendrá dada por :
5.4.1 Modelos Poisson Un Servidor. Cálculos en los modelos de colas (M/M/1):(DG /∞/∞).
Con la notación del modelo generalizado se tiene que µn=µ⅄n= ⅄}, n=0, 1, 2, …
También, ⅄n= ⅄ y ⅄perdido=0, porque todos los clientes que llegan, pueden entrar al sistema. Si P= ⅄µ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado se reduce entonces a
9
Para determinar la P0 se usa la identidad Suponiendo que p < 1, la serie geométrica tiene la suma finita de , y entonces La fórmula general de Pn es entonces de la siguiente distribución geométrica: La deducción matemática de Pnimpone la condición que p < 1 o que ⅄ < µ. Si ⅄ >= µ, la serie geométrica no converge, y no existirán las probabilidades Pn de estado estable. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque a menos que la tasa de servicios sea mayor que la frecuencia de llegada, la cola crece en forma indefinida. La medida de desempeño Lq se puede deducir como sigue: Como ⅄ef= ⅄ para este caso, las medidas restantes de desempeño se calculan con estas ecuaciones:
5.4.2 Modelos Poisson Múltiples Servidores. Cálculos en los modelos de colas Pn = probabilidad que en el estado estable haya n clientes en el sistema Ls = número de clientes que espera halla en el sistema Lq = número de clientes que espera halla en la línea de espera. Ws = Tiempo de espera en el sistema (línea más servicio). Wq = Tiempo de espera en la línea de espera. (M/M/S) S=1 Y S>1 (M/M/S) VARIACION DE COLA FINITA S=1 Y S>1(COLA FINITA) (M/M/S) VARIACION DE FUENTE DE ENTRADA FINITA S=1 Y S>1 REPARACION DE MAQUINAS (M/M/1)(GD/∞/∞), (M/M/C)(GD/∞/∞) (M/M/1)(GD/N/∞), (M/M/C)(GD/N/∞) VARIACION DE COLA FINITA (COLA FINITA)
(M/M/R)(GD/K/K) MODELO DE SERV A MAQ. ORIGEN FINITO (M/M/∞)(GD/∞/∞) MODELO DE AUTOSERVICIO.
FORMULARIO DE ACUERDO AL MODELO: En estos modelos utilizaremos las siguientes literales: λ = Tasa de llegadas por unidad de tiempo. μ = Tasa de servicio por unidad de tiempo. ρ = Intensidad de tráfico del sistema. Π 0 = Probabilidad que sistema este ocioso. Π j = Probabilidad que haya j clientes en el sistema.
10
L = Cantidad de personas en el sistema. Lq = Cantidad de personas en la cola. Ls = Cantidad de personas en servicio. W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema. Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola. Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor. M/M/1/GD/∞/∞
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es infinito, y el tamaño de la población también es infinito. P= ⅄µ Si ρ > 1 no existe estado estable. M/M/S/GD/∞/∞
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es exponencial, existen S números de servidores que dan los mismos servicios, el número de clientes que se pueden formar en una sola cola es infinito, y el tamaño de la población también es infinito. M/M/1/GD/C/∞
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es C, es decir, después de cierto tamaño en la cola ya no se aceptan clientes, y el tamaño de la población es infinito.
P j≥S Para Sistemas de colas M/M/S/GD/∞/∞
11
5.5 Análisis De Costos Líneas De Espera. Las colas o filas de espera representan un fenómeno habitual de la actividad diaria de cada uno de nosotros. Se hace cola en el correo, en el banco, en la caja del supermercado. Se producen largas filas de vehículos en las rutas y calles congestionadas, o simplemente ante un semáforo. También aparecen, aunque no resultan tan visibles, en las comunicaciones telefónicas, en la lista de expedientes a tramitar, en los talleres de reparaciones. Son colas en las que no aparecen personas, pero también hay esperas. En las organizaciones, este tipo de problemas se estructura básicamente como la igualación de la demanda de un servicio con la provisión de ese mismo servicio. Nos vamos a referir a las entidades que esperan la provisión del servicio como clientes, Asimismo, un servidor es cualquier persona o dispositivo que brinde el servicio. Se trata de resolver situaciones referentes a la capacidad que se debe disponer para atender la demanda. Agregar más servidores, o disminuir el tiempo que se utiliza para brindar el servicio se resuelve mediante el agregado de personal y equipo, pero esto implica mayores costos. Por otra parte, una capacidad limitada produce colas más largas y disgustos con los clientes. Como todas estas consideraciones deben ser ponderadas al tiempo de tomar decisiones, las consecuencias de cada acción deben ser computadas adecuadamente. Un lugar donde se forma una fila simple frente a uno o más servidores se denomina estación. En casos complejos, un cliente que recibe el servicio en un servidor, se puede trasladar a otra cola en otra estación. La estructura de un sistema de colas
El estudio matemático de estos sistemas es bastante extenso, y se han desarrollado numerosas fórmulas que ayudan a estimar las características de las filas de espera. Estos análisis se deben basar en un conocimiento preciso de la estructura del sistema y de cómo interactúan sus partes. Los componentes que es preciso conocer son los siguientes. La población de entrada: También llamada Capacidad del Sistema, es el número máximo de clientes potenciales, que pueden solicitar el servicio. Si un cliente llega, y el sistema está lleno, por haberse colmado su capacidad, se le negará la entrada. O sea que no recibirá servicio. Si el sistema no tiene límite, se dice que la población es infinita. Como no puede considerarse una población infinita si el número de clientes no es muy grande, como en el caso de un taller de reparaciones, en estos casos es preferible ingresar el tamaño exacto de la población. El proceso de llegadas: Se tiene que describir matemáticamente la manera en que se producen los arribos de los clientes al sistema. Esto puede ser especificado como el tiempo entre llegadas, que es el tiempo que transcurre entre un cliente y otro sucesivo que llegan a demandar el servicio. Esto será determinístico si se conoce el tiempo exacto que transcurre entre un arribo y otro, o aleatorio, cuya distribución probabilística se considera conocida. Si se trata de arribos absolutamente aleatorios, se supone que responden a una distribución de Poisson.
12
La línea de espera: La cola que se forma mientras se espera el servicio puede suponerse infinita cuando puede extenderse tanto como se quiera. Si hay una sala de espera o equivalente, la línea es finita y depende de la capacidad de esa sala. Se asume que si alguien llega y encuentra la sala llena se retira y no recibirá el servicio. Se recomienda no tomar literalmente los términos “sala de espera”, “llegadas” o “línea de espera”. Los clientes pueden ser un conjunto de piezas de una máquina en el suelo,
esperando que se arme el conjunto. Obsérvese que en este caso el que llega es el servidor y no el cliente, pero el modelo de colas se puede usar igualmente. La disciplina del sistema: Es el orden en que se atienden a los clientes. Generalmente se asume que el primero en llegar es el primero en atenderse (FIFO o PEPS). La cantidad de servidores: Puede ser cualquier número entero. Se asume que todos los servidores son idénticos y en paralelo, o sea que el cliente puede ser atendido de la misma manera por cualquiera de ellos. La distribución del tiempo de servicio: Depende del tiempo que le tome a un servidor atender a un cliente. Se define de la misma manera que el proceso de llegadas, como determinístico o aleatorio, siguiendo una determinada distribución de probabilidad. Puede depender del número de clientes en el sistema o ser independiente del estado. Generalmente se asume que el servidor atiende completamente a un cliente, aunque podría tratarse de un servicio donde el cliente debe ser atendido por una secuencia de servidores.
13
