Preguntas propuestas
6
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Geometría P RÁCTICA POR NIVELES Poliedros y Poliedros regulares I 5.
NIVEL BÁSICO 1.
En un hexaedro regular ABCD - EFGH , cuya arista mide 4 m, en HG se ubica el punto P tal que HP=1, en FP se ubica el punto M tal tal que
En un poliedro, la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcule el número de de aristas de dicho poliedro. A) 5 D) 13
B) 8
C) 10 E) 15
MP=2. Calcule BM .
B) 2 2
A) 2 D) 4 6.
C) 3 E) 5
En un cubo ABCD - EFGH , halle la medida del ángulo entre AG y el plano de la cara ABCD.
2.
Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
6 2 1 arccos B) arctan C) 2 3 3 6 3 arcsen D) arccos E) 9 3
A) arcsen
A) arctan ( 2 ) B) arc se sen ( 2 ) C) arccos ( 3 ) D) arccos ( 2 ) cot ( 3 ) E) arc co
7.
UNI 2012 - II 3.
Según la figura, calcule la razón de volúmenes entre el hexaedro regular ABCD- EFGH y el tetraedro ACHF .
ABCD- EFGH es En la figura, ABCD es un hexaedro regular. Calcule la medida del ángulo entre EB y FH .
B
A
A) 60º 60 º B) 90º C) 45º D) 53º E) 30º
B A
E
A) 2 D)
En la figura, ABCD- EFGH es es un hexaedro regular, AB 2 2 m, P y Q son centros de las caras ADHE y CDHG, respectivamente. Calcule el área de la región ACQP. =
B A
C D Q
P
G
F E
D) 5 3
H
B) 3 3
H
G H
2 3
G
F
D
E
A)
D
C
F
4.
C
C) E)
4 3 6 3
8.
B) 3
4
C)
3 2
E) 4
3
De acuerdo con las siguientes proposiciones, indi que la secuencia correcta de verdad (V) o falso (F). I. Si en un tetraedro al trazar una altura, su respectivo pie está en el centro de su base, entonces dicho tetraedro necesariamente es regular. II. Si las caras cara s de un poliedro convexo son regiones poligonales regulares congruentes entre sí, dicho poliedro siempre es regular. III. Si la arista ar ista de un tetraedro regular es 6, entonces la altura de dicho tetraedro regular es 3. A) V VV D) FVV FV V
B) V VF
C) VFV VF V E) FFF
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8
Geometría
Anual UNI
NIVEL INTERMEDIO
9.
10.
NIVEL AVANZADO
En un tetraedro regular A- BCD, M es es punto me dio de su respectiva altura AH y y H es es el pie de dicha altura. Calcule la m DMB. A) 45º D) 120º
B) 60º
C) 90º E) 135º
1 4
m
2
B)
1 2
m
C) 1 m2
2
D) 2 m2 11.
13.
En un tetraedro regular A- BCD cuya arista mide 2 m, calcule el área de la región cuadrangular cuyos vértices son los puntos medios de AB, y CB, respectivamente. AD, DC y A)
Geometría
E)
2
m
A) V VV D) FVF FV F 14.
B) FFF
C) VVF V VF E) VFF
En la figura ABCD es un tetraedro regular, AO
2
A) 1 B) 2
B
C) 3
C
A
E)
D
1
D
F
2
B
C) 30º
O N
O
12.
arctan ( 5 ) arcsen
F
G
−
2
−
3
C
E
2 3
H
15.
En el gráfico, ABCD - EFGH y y G- HIJ son son cubo y tetraedro regular, respectivamente. Si AB=6, calcule la distancia de I a a la cara ABCD. A) 6 B) 6 C) 4 D) 3 E) 6
B
C
A
J D J
Se tiene el cubo ABCDEFGH de de arista 2 cm. Se construye el cuadrilátero achurado como se muestra en la figura; tal que a
1 =
2
cm, b
3 =
1 cm, c= cm. 2 3
A) 4,64 B) 5,34 C) 6,14 D) 6,64 E) 7,54
G F H
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el
H D
G
C b
d E
2 2
E
Determine
área del cuadrilátero (en cm2).
I −
.
D) 2
B) 45º
E)
FN
M
2 A) arctan 2
D)
MF
es altura, AM = MB y CN = ND. Calcule
3
En la figura, ABCD - EFGH es es un hexaedro regu lar y O es centro de la cara CDHG. Calcule la medida del ángulo entre EO y CG.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de arista más dos. II. Una superficie poliédrica está determinada por cuatro o más regiones poligonales planas. III. Un poliedro puede presentar 7 aristas.
3
F
a
c A
B UNI 2010 - II
Geometría
PRÁCTICA POR
NIVELES
Poliedros regulares II A)
NIVEL BÁSICO
1.
2.
B)
B)
1
C)
2
5
E)
2
6.
B) FFV FF V
2
M
3
B
5 3
En el gráfico, P- ABCD - Q es un octaedro regu lar, PM = MC = AN = NQ=2 m. Calcule el área de la sección plana BMDN . P M C
B O
A
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 7.
D
N Q
Dado un octaedro P- ABCD - Q, en la prolon gación de AC se ubica el punto M , tal que PB 3 2 CM . Calcule la medida del ángulo entre AQ y PM . =
C) 2 E) 3 2
2
D
Q
C) VFV VF V E) FFF
B) 2
C O
A
En un octaedro regular P- ABCD-Q, cuya arista mide 6 m, M y y N son son centros de las caras PCD y QCD, respectivamente. Calcule MN . A) 1 D) 2
En la figura, P- ABCD - Q es un octaedro regular, regula r, cuyo centro es O, PM =3 =3 y MC =1. ¿Cuánto dista di sta O de AM ? P
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes propo siciones. I. El octaedro regular posee 4 diagonales. diagona les. II. El dodecaedro regular posee 20 aristas. III. Las caras de un icosaedro regular son regiones equiláteras. A) V VV D) FVV FV V
5.
C) 6 E) 12
Halle la razón entre la cantidad de vértices de un dodecaedro regular y un icosaedro regular.
D)
4.
4 2
2
A) 1
3.
B) 4 2 C) 6 2 D) 8 2 E) 10 2
Si la arista de un octaedro mide 2, halle la suma de las longitudes de sus diagonales. A) 4 D) 6
2 2
A) 7º D) 15º 8.
B) 8º
C) 14º E) 16º
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados. I. Solo existen 5 poliedros regulares. II. El octaedro regular presenta mayor cantidad de diagonales que el hexaedro regular. regular. III. Solo existen 2 poliedros regulares cuyas caras son regiones equiláteras. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF
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4
Geometría
Material Didáctico N.o 6
Academia CÉSAR VALLEJO
A) 30 B) 36 C) 50 D) 60 E) 96
NIVEL INTERMEDIO
9.
En un octaedro regular V - ABCD-V ', se ubican los puntos medios M y N de las aristas AV ' y CV ', respectivamente. Calcule el área de la región triangular MVN si si el volumen del octaedro es
A)
64 2
NIVEL AVANZADO
.
3 13.
24
B)
5
2 2
D) 6
C) 4
Calcule la razón entre las áreas de las superfi cies de un octaedro regular y el poliedro, cuyos vértices son los centros de sus caras.
E) 12 A)
10.
En un octaedro O- ABCD-O', se ubican los pun tos medios M y y N de de OA y O A ' A, respectivamente. Calcule la medida del ángulo diedro determinado por las regiones triangulares BND y BMD. A) 45º D) 90º
11.
B) 53º
D) 14.
C) 60º E) 120º
3 3 2
B)
4 3 3
3 3
C) E)
4
2 3 3 2 3
En un dodecaedro regular, halle la suma de las caras que uno de sus ángulos tr iedros. A) 90º 90 º B) 120º C) 150º D) 270º E) 324º
En un octaedro regular P- ABCD - Q, cuyo cen6. ¿Cuánto dista O de la cara tro es O, AB =
PCD?
A)
1 2
D) 2
B)
1 3
15.
C) 1 E)
3
En un octaedro regular M - ABCD - N , la mínima distancia entre la diagonal MN y y la arista BC es es 2. Calcule el volumen del octaedro.
2
A) 16 12.
Halle la suma de la cantidad de diagonales de las caras de un dodecaedro regular y un ico saedro regular.
D)
2
B) 8
64 2
C) E)
3
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2
14
32 2 3 128 2 3
Geometría P RÁCTICA POR NIVELES Prisma A) 144 u3 D) 154 u3
NIVEL BÁSICO
1.
Halle la cantidad de caras de un prisma de 15 aristas. A) 4 D) 7
2.
C) 6 E) 8
D)
1
B)
2
2 3
3
C) E)
2
8.
1 3
C) 150 u3 E) 160 u3
En un prisma cuadrangular regular ABCD EFGH , O es el centro de la base ABCD. Si ( DG)2 – ( EO)2=4 u2, calcule el área de su base. A) 4 u 2 D) 9 u2
Halle la razón entre la cantidad de aristas de un prisma y la cantidad cant idad de sus sus vértices. A)
3.
B) 5
7.
B) 148 u3
B) 6 u2
C) 8 u2 E) 12 u2
En la figura se tiene un paralelepípedo rectan gular, M , B, N , C , P y Q son puntos de tangencia. Si el área de la región ABCD es 10 u 2 y r =3 =3 u, calcule el volumen de dicho sólido.
4 3
Q
Halle la cantidad de diagonales de un prisma hexagonal.
N
r P
M
A) 6 D) 12
B) 8
C) 9 E) 18
C B
A 4.
Se tiene un prisma cuadrangular regular ABCD- EFGH , en la prolongación de la arista GH se ubica P, y M es es el punto medio de DH , respectivamente, pectivamente, tal ta l que m PMH
53º
=
2
D D
A) 60 u 3 B) 30 u3 C) 100 u 3 D) 120 u3 E) 90 u3
, AB=
y G dista 4 cm de CH . Calcule el volumen del prisma. 3
A) 17 17 cm B) 34 17 cm 3 C) 68 17 cm 3 D) 85 17 cm 3 3 E) 102 102 17 cm 5.
9.
Dado un prisma cuadrangular regular ABCD EFGH . Si m EDG=74º y AC =6 =6 cm, calcule el volumen del prisma. A) 9 7 cm3 D) 18 7 cm 3
6.
NIVEL INTERMEDIO
B) 36 cm3
C) 40 cm3 E) 24 7 cm 3
Se tiene un prisma cuadrangular regular ABCD MNPQ MNPQ, en el cual O es centro de la base ABCD y R es punto medio de la arista MN . Si 4(OR)=5( PC ) y MP 6 2 m, calcule el volumen del prisma. =
En un prisma hexagonal regular ABCDEF A B 'B'C D 'D E 'E F 'F , en la cara CDD'C ' se traza una semicircunferencia, cuyo diámetro es CC ', en la cual se ubica el punto P ( P ∈CC '), luego se traza PH ⊥ DD' ( H ∈ DD'). Si CP=8 u y CD=2 DH , calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma.
A) 344 u3 B) 444 u3 C) 524 u3 D) 624 u3 E) 768 u3
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18
Geometría
Anual UNI
10.
Se tiene el prisma cuadrangular regular ABCD). Si el área de la su EFGH , tal que 2(CG)=3( BC ). perficie lateral de dicho prisma es 72, calcule el área de la región triangular EBG.
NIVEL AVANZADO
13.
A) 3 22 B) 6 22 C) 12 22 D) 16 22 E) 15 22 11.
Geometría
En un prisma regular ABC - DEF , O es el centro de la cara BCFE , tal que AO= AD. Si el área de la cara BCFE es es A , calcule el volumen del prisma. A) A B)
Calcule el volumen de un prisma cuadrangu lar regular si el desarrollo de su superficie la teral es una región cuadrada cuyo lado es de longitud L.
C) D)
A) L3
E)
A
3 A
A
4
3 A
A
3 A
A
4 A
A
6
3
B)
L
14.
2 3
C)
L
4 3
D)
L
8 3
E) 12.
A) 2 D) 6
L
16
En un prisma triangular recto ABC - A’ B ’C ’, ’, =6, m A’ B’C ’=120 ’=120 y M es MB ’=5, AB = BC =6, punto medio de AC . Calcule el volumen del prisma. A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 36
Sea ABC - DEF un un prisma triangular oblicuo en el cual se cumple que la proyección ortogonal del punto D es B y el triángulo ADC es es equilátero. Si las aristas están inclinadas 45º respec to a la base y DF =4 =4 cm, calcule el área de la sección recta.
3 3
15.
2
B)
C) 4 E) 8
3 2
2
3m
3
B) 2
3m
3
C)
3
D)
3
3 3
m
3
2
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7
2
Los centros de las las caras de un prisma triangu tria ngular regular son los vértices de dos tetraedros regulares que comparten una cara. Si el volumen del prisma es 16 3 m 3 ; calcule el volumen de uno de los tetraedros regulares. A)
3
2
E)
2 3
m
3
3 3 3m
3
Geometría POR NIVELES PRÁCTICA Tronco de prisma
A) 2 A K
NIVEL BÁSICO
D) 1.
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi ciones. I. Un tronco de prisma puede tener 4 aristas. II. Un tronco de prisma puede tener 5 aristas. III. Las bases de un tronco de prisma son regiones paralelas.
6.
B) 3 A K
C) A K
K A
E)
2
K A 3
Si AB=3, CN =2, =2, BM =3 =3 y AP=4, halle el volu men del sólido mostrado. P
M
A) V VV D) FFF
B) VVF V VF
C) FFV E) VFF
N A
2.
A) 4 D) 13
B) 5
A) 9/2 D) 8
C) 10 E) 14
Un tronco de prisma posee 8 aristas, halle el número de diagonales. A) 0 D) 3
B) 1
B
C
7. 3.
45º
En un tronco de prisma cuadrangular regular ABCD - A' B B 'C ' D D', ABCD es un cuadrado, AA'=9, '=11. Halle DD'. BB'=6 y CC '=11.
B) 15/2
C) 27/2 27/2 E) 9
Se muestra un tronco de prisma triangular regular. Si NP=5 y ACPM es es una región cuadrada, halle el volumen del sólido. N
C) 2 E) 4 37º
4.
M
Se muestra un tronco de prisma triangular regular. Si AA'=2, BB'=4 y CC '=9, '=9, halle el volu men de dicho tronco.
P B A
A) 125
3
B) 250
3
C) 150 D) E) 5.
3
60º
A) 13 A'
375 3
B)
3
B'
D)
C
250 3 4
C
C '
13 3 2
26 3
C) E)
3
13 3 4
39 3 4
A B
4
En un tronco de prisma recto triangular, el área de la base es A y y la suma de longitudes de las aristas perpendiculares a dicha base es K . Halle su volumen.
8.
En un tronco de prisma triangular, la sección recta mide A y y el promedio promedio de aristas arist as laterales es . Halle el volumen de dicho tronco. A) A
B)
D) 2 A
A
2
C)
A
3
E) 3 A
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24
Geometría
Anual UNI
NIVEL INTERMEDIO
9.
D) 10.
D)
2
B)
2
C)
4
2 2
E)
3
S
B)
S 3
C)
S 3
E)
6
13.
2 3 3 2
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes propo siciones. I. Las bases de un tronco de prisma pueden ser congruentes. II. Un tronco de prisma puede presentar dos aristas congruentes. congruentes. III. Un tronco de prisma puede presentar tres aristas congruentes. congruentes.
2
S
A) V VV D) VVF VV F 14.
B) FFF
D)
V
2
B)
V
C)
3
V
E)
6
3
M
3 S
3
9
N
B A
A) 3 D) 9
V
4 V
9
En un cubo, un plano secante determina so bre las aristas segmentos cuyas longitudes son 6; 9 y 7. Halle la longitud del cuarto seg mento si todos ellos se ubican en un mismo semiespacio.
15.
3
B
C
B) 2 D
E)
6 3
A
8 3
9 3 2
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C) 6 3 E) 12 3
4 3
3
A) 3
D)
25
B)
En el gráfico, BC = BM =2 =2 y AB=CD= 3 . Halle el volumen del tronco de prisma triangular de bases congruentes mostrado.
C) A) 4 B) 8 C) 4 ∨ 8 D) 10 E) 4 ∨ 8 ∨ 10
C) VFV VF V E) FFV
Se muestra un tronco de prisma hexagonal regular. Si AB=2 y MN =3, =3, halle el volumen de dicho sólido.
El volumen de un tetraedro regular ABCD es V , halle el volumen del sólido QNC - PMD si M , N , P y Q son los puntos medios de BD, BC , AD y AC , respectivamente. A)
12.
2
El área de la base de un tronco de prisma es S y las tres t res aristas ar istas laterales latera les forman forma n con el plano de dicha base ángulos de medidas iguales a 60º. 60º. Si dichas aristas suman , halle el volumen de dicho tronco. A)
11.
NIVEL AVANZADO
En un octaedro regular M - ABCD - N cuya cuya arista mide 2, halle el volumen del sólido MPQ- NRS si P, Q, R y S S son los puntos medios de AM , DM , y DN , respectivamente. AN y A)
Geometría
M
Geometría P RÁCTICA POR NIVELES Cilindro y tronco de cilindro 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi ciones. I. En un cilindro las bases son congruentes. II. En un cilindro las bases son paralelas. III. En un cilindro las bases son siempre regiones convexas. A) V VV D) FVV FV V
B) VVF V VF
En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular cuyas bases es tán inscritas inscrita s en las bases del cilindro. Calcule la razón de volúmenes de dichos sólidos. A) p D) 2p /3
6.
C) VFF E) FFV
B) p /2
En el gráfico, la semicircunferencia de diámetro OO1 se encuentra en el plano P. Si QC =2 =2 u y R=4 u, calcule el volumen del cilindro de re volución. O1
A 2.
Si el área de la superficie lateral de un cilindro equilátero es 36 p, halle su volumen. A) 36 p D) 54p
3.
B) 45p
4.
p
C) 48p E) 60 p
B) 2
C) p E) 2p
En el gráfico gráf ico mostrado, mostrado, la generatriz del cilin dro tienen 6 u de longitud y EC =CD. Calcule el volumen del cilindro cil indro si AB y ED son generatri ces diametralmente opuestas.
Q B
O2
A) 160 p u3 D) 72p u3 7.
C
B) 180p u3
C) 200 p u3 E) 96 p u3
Según el gráfico, la generatriz del cilindro circular recto es de igual longitud que PB. Si r =3, =3, AQ=1 y m AO1 B=90º, calcule el volumen del cilindro. cilind ro. r
A
D
R
En un cilindro circular recto, halle la razón entre el área de su superficie lateral y el área de su sección axial. A) 1 D) p /2
C) p /3 E) 3p /2
O1
E
C
A
P
B B
D
B
A) 9 p u3 D) 24p u3
O2
Q
B) 12p u3
C) 15p u3 E) 27p u3
A) 27p D) 72p
B) 54 p
C) 60 p E) 106p
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30
Geometría
Anual UNI
8.
En un cilindro de revolución, las generatri -
11.
ces AB y CD son diametralmente opuestas, B y C en una misma base, en el arco BC se
Geometría
En un cilindro de revolución mostrado, BO1 = 101 u, O2 M = 26 u y PM = MQ. Calcule el volumen del cilindro.
ubica el punto P. Si 2( AB)2+( BC )2=20, calcule ( AP)2+( PD)2.
O1
A
P
A) 5 M
B) 10 C) 15 D) 20
O2
B
Q
E) 40 A) 5 p u3 D) 10 p u3
NIVEL INTERMEDIO
12. 9.
De la figura mostrada, el área de la región sombreada es K . Calcule el área de la superfi cie lateral del cilindro de revolución.
A) p r K
D)
A)
D) 10.
K
5
B)
π
B)
π r
3
K
C)
2
2 3
r K
E)
3
π r
2
2 K
2 π
2 3
r K
2
NIVEL AVANZADO
O2
π
C) 8p u3 E) 12p u3
En un cilindro circular recto, se cumple que el área de la sección axial es K veces veces el área de la base. Si el radio de la base es r , calcule el volumen del cilindro en función de K y y r . 2 2
O1
B) 6 p u3
4 π K
C)
5
2π K
E)
5
6 π K 5
13.
Se muestran dos cilindros circulares rectos. Si =4 R, calcule la razón de los volúmenes de 5 r =4 dichos cilindros.
12π K 5
R r
En un cilindro de revolución se inscribe un cubo cuyo volumen es V . Calcule el volumen del cilindro. A) p V D)
B)
π V
C)
3
V π
π V
E)
2
2π V 3
A) 2 : 1 D) 2 : 5
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11
B) 2 : 3
C) 3 : 5 E) 2 : 7
Academia CÉSAR VALLEJO
14.
Geometría
En el gráfico, se muestra un cubo y un cilin dro de revolución cuyo volumen es 40 p. Si 2( AP)=3( PB) y R=2, calcule la distancia de A al centro del cubo. R
Material Didáctico N.o 6
A)
2 2
B)
4 3
D) 6 15.
C) 5 E)
6 2
Una de las generatrices de un cilindro de re volución es AB, en la circunferencia de radio
A
R que
limita a la base donde se encuentra A
se ubica el punto P, tal que m AP
=
60º , AB=3
y
R=3/ p. Calcule la longitud del menor recorrido P
B
para ir de B a P por la superficie del cilindro. A)
3
D)
10
B) 8
C) 3 E)
2 3
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Anual UNI POLIEDROS Y POLIEDROS
POLIEDROS
REGULARES I
REGULARES II
PRISMA
TRONCO
CILINDRO
DE PRISMA
Y TRONCO DE CILINDRO
