Acv 2015 - Geometria 07

Preguntas propuestas

7

2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Geometría P RÁCTICA POR NIVELES Pirámide 6.

NIVEL BÁSICO

1.

Se tiene una pirámide regular V - ABCD. La altura y una diagonal de base tienen igual longitud, y el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 3 2 cm. Calcule el volumen de la pirámide.

A) 30º 30 º D) 53º 7.

3

A) 72 cm D) 224 cm3 2.

C) 164 cm E) 288 cm3

B) 172 cm3

C) 182 cm3 E) 186 cm3

B) 36 u3

C) 45 u3 E) 60 u3

En un rectángulo ABCD ( AB=6; AD=8) con diámetro AC , se traza una semicircunferencia perpendicular al plano ABCD y en ella se ubica el punto P de modo que PC 2 5. calcule el volumen de la pirámide P - ABCD.

8.

5.

B) 16

5

C) 32 E) 64

B) 144 m3

C) 162 m 3 E) 126 m3

Halle el volumen de la pirámide O - ABC cuyas cuyas caras laterales forman diedros de 45º con la base triangular ABC si si AB=13, BC =15 =15 y AC =14. =14. B) 112

C) 113 E) 115

NIVEL INTERMEDIO

9.

5

Por el vértice D de un hexágono regular ABC DEF , se levanta DO perpendicular al plano del hexágono, de manera que DO=3( DE )=6 )=6 m.

C) 45º E) 60º

La arista lateral de una pirámide regular cuacua drangular mide 6 2 m y forma un ángulo de 45º con el plano de la base, calcule su volumen.

A) 111 D) 114

=

A) 16 D) 64

B) 37º

A) 216 m 3 D) 136 m3

En un hexaedro regular ABCD - EFGH su su diagonal mide 6 3 u. Calcule el volumen de la pirámide D- EFGH . A) 72 u 3 D) 54 u3

4.

3

Se tiene una pirámide hexagonal regular =12 cm. V - ABCDEF en el cual AB=6 cm y BV =12 Calcule el volumen del sólido V - BCDE . A) 162 cm3 D) 192 cm3

3.

B) 104 cm

3

En una pirámide cuadrangular regular S - ABCD, el área de la superficie lateral es el doble que el área de su base. Calcule la medida del diedro entre una cara lateral y la base.

Halle el volumen de un tetraedro, si se sabe que tres de sus aristas que concurren en un vértice miden 2 m, 4 m y 6 m. Además determinan un ángulo triedro cuyas caras miden 60º cada una. A) 6 D) 3

10.

2m 2m

3 3

B) 5

2m

3

C) 4 E) 2

2m 2m

3

3

En una pirámide regular pentagonal V - ABCDE la medida del ángulo entre AV y DE es 60º.  

 







Geometría

Anual UNI

11.

En un tetraedro regular cuya arista mide a en su región interior se ubica un punto Q. Calcule la suma de las distancias de Q a las caras del tetraedro. A)

D)

a

B)

3

2

a

a

6

3

C)

E)

6

2

a 3

a

C) D)

E) 2

D) ( a + b) (

B) ab

)

2ab a+ b

C) 2 E)

ab

3 ( a + b)

A)

ab

15.

Calcule la longitud de la arísta del cubo inscrito en la pirámide M - ABC si si se sabe que A es un vértice de dicho cubo AM =a, AB= b y AC =c. Además, en la pirámide, el triedro en A es trirrectángulo.

B)

ab + bc + ac

2 2 2 a b c 2

( ab + bc + ac)

3 a

+

3 b

+

c

3

ab + bc + ac

A a

B)

12

A a

C)

16

A a

18

A a

E)

24

A a

6

En un cubo ABCD - EFGH de de volumen 64 cm 3 se traza EN ( N ∈ HG), tal que HN =3( =3(GN ). ). Calcule el volumen de la pirámide K - EFS, donde EN ∩ FH ={ ={ S} y K es el punto medio del segmento que une los centros de las caras ABCD - DCGH . A)

a+ b+ c

ab + bc + ac

2

NIVEL AVANZADO

A)

abc

Se tiene un prisma triangular recto ABC - DEF (m ABC =90º) =90º) con diámetro EF y y BC se se trazan las semicircunferencias que intersecan a DF y AC en M y N respectivamente. respectivamente. Si el área de la región EBNM es A , AC =a y EN ∩ BM ={ ={Q}. Calcule el volumen de la pirámide Q - ABC .

D)

13.

abc

3

Se tiene una pirámide cuadrangular cuya base es un trapecio isósceles. Las bases miden a y b (a > b). Calcule el área total de dicha pirámide si se sabe que todas las caras laterales forman con el plano de la base ángulos de 60º. A) (a+ b)2

( ab + bc + ac)2

5

14. 12.

Geometría

D)

8

m

3

B)

3 24 7

m

3

9 2

m

3

C)

E)

16

m

3

7 32 7

m

3







Geometría Tronco de pirámide

P RÁCTICA POR 5.

NIVEL BÁSICO

1.

Respecto al tronco de pirámide, señale la sesecuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. Es aquel que resulta de trazar un plano que interseca a las aristas laterales de una pirámide. II. Es el sólido determinado por dos regiones rectangulares, contenidas en planos paralelos pero son de diferente tamaño. III. El número total de aristas puede ser un número primo. A) VFF A) VFF D) FVV

2.

B) FVF

A) VVV D) VVF 3.

3 3

B) 115

6.

3

C) 39 E) 3 13

En un tronco de pirámide cuadrangular regular ABCD - EFGH las áreas de las bases son 4 y 16 cm2. Al proyectar ABCD sobre la base mayor se determina A' B B'C ' D D'. Si ABCD - A' B B'C ' D D' es un

En un tronco de pirámide cuadrangular rectangular, las áreas de sus bases son S y 4S. Si el área de su superficie lateral es 6 S, calcule la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y su base. A) 45º D) 53º

7.

B) 36º

C) 60º E) 37º

Las área de las bases de un tronco de pirámide miden 4S y 9S. Halle el área de la sección determinada en el tronco, por un plano que contiene a los puntos de intersección de las diagonales de las caras laterales. A)

C) FVV E) FFV

En un tronco de pirámide hexagonal regular las aristas básicas mide 4 y 6, su altura es igual a 3. Calcule el volumen de dicha pirámide. A) 114 D) 116

4.

B) VFF B) VFF

En un tronco de pirámide triangular regular, los radios de las circunferencias inscritas en las bases del tronco son 1 y 2. Calcule el área de la superficie total del tronco si su apotema mide 4. A) 51 B) 51 3 C) 102 D) 112 E) 52 3

C) FFV E) FFF

Indique la secuencia correcta de verdadero verdadero (V) o falso (F) con respecto al tronco de pirámide regular. I. Presenta Presenta sección axial. II. Presentan simetría simetrí a especular. especula r. III. Todas las caras laterales son congruentes entre sí.

NIVELES

D)

12S 5

B)

169S 50

121S 16

C)

E)

144S 25 16S 9

NIVEL INTERMEDIO

8.

Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsos (F) y elija la secuencia correcta. I. En todo tronco de pirámide, las bases son siempre paralelas. II. Todo tronco de pirámide presenta diagonales. III. Las caras laterales de un tronco de pirámi







Geometría

Academia CÉSAR VALLEJO

9.

En un tronco de pirámide MNL - ABC el el ángulo triedro en A es equilátero y el baricentro de la región equilátera ABC es la proyección ortogonal de M sobre sobre dicha región. Si el área de la región AMNB es 12 3 y BC =6, =6, calcule el volumen de dicho tronco.

Q

P

2

C) 17

A)

200 3 3

D) 30 E) 15 10.

D) 11.

2

D)

Se tiene un cubo ABCD - EFHG, O es el centro de ABCD, además el volumen de dicho cubo es V . Calcule el volumen del sólido OMCN - EFGH ( M y y N son son puntos de medios de BC y y CD).

A)

V

B)

2

V

C)

3

5 V

E)

12

13.

5 V

7 V

14.

12

En un octaedro regular M - ABCD - N , P, Q y R son puntos medios de MC , MD y CD respecti vamente, además AB=4. Calcule el área de la superficie lateral del sólido ABN - QPR. A) 3

11

D) 9

11

B) 2

C) 2

13

E)

10

6 13

En el gráfico, la región sombreada es el desadesarrollo de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular. Si PQ men de dicho sólido.

=

2 13 ,

calcule el volu-

52 2 3

C) E)

9

206 3 206 3 3

Halle la razón de volúmenes entre una pirámide triangular y el sólido cuyos vértices son los puntos medios de sus aristas básicas, y los baricentros de sus caras laterales. B) 12/5

C) 9 E) 48/23

En un tronco de pirámide triangular regular, las aristas básicas miden 6 y 9, además, su arista lateral mide 19 . Calcule la altura de dicho sólido. A) 2 D) 2

15.

B)

208 6

A) 24/13 D) 108/19

7

NIVEL AVANZADO

12.

r

3 r

A) 26 B) 26

Material Didáctico N. o 7

B) 3 3

C) 4 E) 3

2

Se tiene una pirámide cuyo volumen es V ; luego se trazan dos planos secantes a dicha pirámide, y paralelos al plano de la base, tal que trisecan a la altura. Halle el volumen del sólido determinado por dichos planos. A) D)

V

3 7 V 29

B)

V

4

C) E)

V

7 7 V 27







Geometría P RÁCTICA POR NIVELES Cono y tronco de cono NIVEL BÁSICO

1.

A)

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Un cono de revolución es un conjunto concon vexo. II. En todo cono la altura siempre pertenece a su región interior. III. En un tronco de cono de revolución, su sección axial es una región trapecial rectangular. A) VFF A) VFF D) FFF

B) VVF B) VVF

D) 4.

π

7

π

37

B) π 5

C)

E)

3

35

π

3

5

π

3

Se muestra un cono equilátero OM = MB, calcule el área de la superficie lateral del cono mostrado ( AM 3 3 ). =

C) VFV C) VFV E) VVV A

2.

En el gráfico se muestra un cono de revolución lateVA=6 y AO=2. Halle el área de superficie lateral de dicho cono. O

M M

B

V

A) 16 p

B) 18p

D) 32p A

5.

O

A) 12 D) 8 3.

3

5

π

B) 10

5

π

C) 5 5 E) 16

π

C) 24p E) 48p

Se muestra un cubo y un tronco de cono de revolución, tal que el volumen del cubo es 8 y AM = MB. Calcule el volumen del tronco de cono.

π

5

π

Se muestra el desarrollo de la superficie superfic ie lateral de un cono de revolución, halle su volumen. ( R=6) B M 60º

A

52









Geometría

Anual UNI

6.

Según el gráfico, L, S y A son puntos de tangencia, m PMN =53º =53º y LP=16. Calcule el volumen del cono de revolución.

A) D)

3π

B) p

2

Geometría

C) 2p

5π

E)

3

π

3

L NIVEL INTERMEDIO N 9.

S

P A

Según el gráfico m ADB=120º y la región que se muestra es el desarrollo de una superficie lateral cónica de revolución. Calcule MN cuan cuando M y y N están están en la superficie cónica (T punto punto de tangencia).

M D

A) 54 p D) 120p 7.

B) 72p

C) 96p E) 150p

60º

R

Se muestran la base y el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución. Halle x.

M M

A

N N

B

T

x

A) D) 10.

A) 30º D) 45º

B) 37º

C) 53º E) 60º

2 R 3

3 R 5

B)

R

2

C) E)

R

3 R

4

En el gráfico se muestra un cono de revolución. Si ABCD es un cuadrado y AP=6, calcule el área de la superficie lateral. Además, considere que








11.

Se tiene un tronco de cono recto cuyas bases miden 1 m2 y 9 m2 de área. Si un plano paralelo a las bases pasa por los puntos medios de sus generatrices. Halle la razón de los volúmenes de los sólidos determinados por dicho plano. A) 1/3 D) 5/13

12.

Geometría

B) 1

14.

C) 1/9 E) 7/19

Se tiene un cono circular recto, en donde la longitud de la generatriz es g y el radio de la base es r . Halle el área proyectada de dicho cono a un plano paralelo a la altura del cono. A) 2 gr D) r

2 g

B) −

gr

2

C)

3 15.

2 r

E) 2

gr

Se tiene un tronco de cono cuyas bases son círculos de radios 2 m y 4 m. Halle el radio del círculo paralelo a las bases que determine troncos parciales equivalentes. A) 36 D) 8

B)

3

36

Con respecto de un cono de revolución, indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. Todos presentan sección axial. II. El desarrollo de su superficie lateral siemsiempre es un conjunto convexo. III. Su proyección ortogonal sobre un plano paralelo a su eje es una región triangular recrectangular. A) VVV B) VFF B) VFF C) VVF C) VVF D) FFV E) FFF

gr

NIVEL AVANZADO

13.

Material Didáctico N.o 7

C) 3,5 E) 3,6

En una pirámide V - ABCDEF , las prolongaciones de CB y FA FA se intersecan en M . Si AB=CD= EF =2( =2( AF )=2( )=2( ED)=2( BC ) y ABCDEF es equiángulo, calcule la razón entre los volúmenes de la pirámide y el cono cuya base es el círculo inscrito en el triángulo ABM y y su vértice es el punto medio de AV .

A)

D)

13 3 π

26 3 3π

B)

26 3 π

C)

E)

39 3 π

39 3 2π







PRÁCTICA POR

NIVELES Geometría Superficie esférica

NIVEL BÁSICO

1.

D)

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. La intersección de un plano secante a una superficie esférica es una circunferencia. II. El centro de una superficie esférica equidisequidista de todos los puntos de dicha superficie. III. La intersección de dos superficies esfériesféricas puede ser en un punto o una circunfecircunferencia.

E) 4.

A) VVV D) VFF 2.

B) VFV B) VFV

D)

C) VVF C) VVF E) FFF

Calcule el área de la superficie generada por AB al girar alrededor del eje coplanar LM si =14. A1 B1=8 y BL+ AM =14.  

A

A) 51 p B) 112p C) 102p D) 56p E) 96p

En

3 π R

(

6

+

2

)

(

6

+

2

)

2

4

πS

2

B)

πS

3

πS

C) E)

6

πS

4 πS

9

Se trazan 2 planos secantes y paralelos a una superficie esférica, determinando 2 lineas cucu yas longitudes son 6p y 8p. Si el radio de dicha superficie esférica es 5, calcule el área de la zona esférica determinada por dichos planos. (Considere el centro de la superficie esférica entre dichos planos). A) 20 p D) 105p

6.

el

A1

L

B1

gráfico mostrado, m AB = 15º, m BC = m CD = 60 º , halle el área de la superfisuperficie generada por la línea poligonal B - C - D al 

2

B) 33p

C) 70p E) 140p

B

M

3.

2

Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cubo de superficie igual a S. A)

5.

3 π R





Un tetraedro regular cuya área de superficie es 36 3 se inscribe en una superficie esférica. Calcule el área de dicha superficie. A) 9 p D) 12p

B) 18p

C) 36p E) 6p







Geometría

Anual UNI

8.

Geometría

Una pirámide de base cuadrada está inscrita en una superficie semiesférica como se muesmuestra en el gráfico. Si la arista básica de la pirápirámide es , ¿cuál sería el volumen máximo que podría tomar esta pirámide?

10.

Se tiene una esfera que es tangente a las arisaristas de un hexaedro regular, de modo que el área de su superficie es A. Calcule el área de la superficie esférica. A) D)

11.

3

A)

B)

3 3

D)

3

2



3

3



C)

2

E)

6



2

12

12.

 

Si ABCD es parte de un nonágono regular BC // L L . Calcule el área de la superficie generada por la línea poligonal regular ABCD al girar 360º con  

B

C

3

π A

C) E)

5

π A

4 π A

7

En un cono equilátero cuyo volumen es 72 3π se inscribe una superficie esférica. Calcule el área de superficie del menor casquete esfériesférico determinando en dicha superficie esférica por la superficie lateral del cono.

En un cubo ABCD - EFGH cuya área de su superficie es S, halle el área de uno de los husos esféricos determinados en la superficie esférica inscrita en el cubo, por los planos ACG ACG y BDF . A) pS

respecto de L .

π A

A) 36 p B) 18p C) 12p D) 8p E) 6p

NIVEL INTERMEDIO

9.

2

B)

2

3 3

2



2

π A

D)

πS

4

B)

πS

2

C) E)

πS

3 πS

6







Geometría


14.

En una superficie esférica de radio 6 se traza un plano secante que determina una curva cerrada, cuyo diámetro es igual a la longitud de la arista del tetraedro inscrito en dicha superficie. Calcule la distancia del centro de la superficie esférica al plano secante. A) 3 D) 4

15.

B) 4 3

C) 2 E)

En el gráfico la razón de áreas de las bases cuadradas del tronco de pirámide es 4. Calcule m AB. 

B A

3

3 2

Material Didáctico N. o 7

A) 30º 30 º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º









Anual UNI

PIRÁMIDE

TRONCO DE PIRÁMIDE

Acv 2015 - Geometria 07

Recommend Documents