Geometría
7 Preguntas Propuestas
1
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Geometría Pirámide
5.
Se tiene una pirámide V - ABC , M es punto medio de AB, además las regiones ABC , ABV
1.
Indique de forma ordenada el valor de las siguientes proposiciones. I. Toda pirámide pirám ide presenta diagonales. diagona les. II. Si una pirámide regular presenta caras laterales equiláteras, entonces la cantidad de aristas es menor igual que 12. III. Si 2 pirámides son equivalentes, entonces presentan volúmenes iguales.
men de dicha pirámide. A) 3 3 D)
6.
A) VVV B) VVF C) FFV D) VFF E) FFF 2.
y VMC son son equiláteras, AB=6, calcule el volu-
D) 7.
4 3
9 3
C) E)
2
3 3 2
9 3 4
En un tetraedro regular ABCD, cuyo volumen es V , M y N son puntos medios de AB y CD. Calcule el volumen del sólido AMCN . A)
En una pirámide cuadrangular regular O - ABCD, el pie de su altura dista de una cara 2, la altura y la arista básica tienen igual longitud, calcule el volumen de dicha pirámide.
B)
V
B)
2
V
C)
3
V
E)
5
V
4 V
6
En un prisma cuadrangular regular ABCD - MNPQ,
se prolonga AC hasta hasta E , tal que AC=CE , ME =30 =30 A) D) 3.
40 5 3 20 6 5
B)
20 6 3
C) E)
40 5
y la m MED=37º. Calcule el volumen del só-
7
MAD. lido E - MAD
20 5 5
A)
Se tiene una pirámide hexagonal regular V - ABCDEF , en el cual AB=6 cm, BV =12 =12 cm. Calcule el volumen del sólido V - BCDE . A) 150 cm3 B) 312 cm3 C) 142 cm3 D) 162 cm3 E) 200 cm3
D)
8.
320 320 65
B)
3 160 65
Se tiene la pirámide V - ABCD, en donde ABCD es un cuadrado y la cara VAB es perpendicular
3
C) 360 360 E)
3
65
90 65
Se ubica P en la altura VH de una pirámide triangular regular V - ABC . Calcule la razón de volúmenes del solido, solido, determinado por H y y los puntos de intersección de AP, BP, CP con CVB, AVC , AVB, respectivamente, con la pirámide V - ABC .
4.
400 65
Si
V P V V
−
ABC ABC
=
1 4
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Geometría Tronco de pirámide 9.
13.
De las siguientes proposiciones dé el valor de verdad sobre un tronco de pirámide. I. Es aquel que resulta de trazar un plano que interseca a las aristas laterales de una pirámide. II. Es Es el sólido determinado por dos regiones rectangulares, contenidas en planos paralelos pero son de diferente tamaño.
10.
En un octaedro regular M - ABCD - N; P, Q y R son puntos medios de MC , MD y CD respecti vamente, además AB=4. Calcule el área de la superficie lateral del sólido ABN - QPR. A) 3
11
D) 9
11
E)
10
6 13
III. El número total de aristas puede ser un número primo. A) VFF D) FVV
A) 45º D) 53º
B) FVF
C) FFV E) FFF
En un tronco de pirámide cuadrangular regular ABCD - EFGH , las áreas de las bases son 4 y 16 cm2. Al proyectar ABCD sobre la base mayor B’C’D’. Si ABCD - A’ B B’C D se determina A’ B ‘ D’ es un cubo, calcule el área de la superficie lateral del tronco de pirámide. A) 12 D) 12
B) 24 3
C) 12
2
E) 12
5
En un tronco de pirámide cuadrangular regular, los radios de las circunferencias inscritas en las caras del tronco son 4; 6 y 9. Calcule el área de la superficie total del tronco. A) 1000 D) 1120
12.
C) 2
13
En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las áreas de sus bases son S y 4S. Si el área de su superficie lateral es 6 S, calcule la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y su base.
14.
15.
B) 36º
B) 1012
C) 60º E) 37º
En un tronco de pirámide MNL - ABC , el ángulo triedro en A es equilátero y el baricentro de la región equilátera ABC es la proyección ortogonal de M sobre sobre dicha región. Si el área de la región AMNB es 12 3 y BC =6, =6, calcule el volumen de dicho tronco. A) 26
11.
B) 2
B) 26
C) 17
2
D) 30 16.
E) 15
En el gráfico, la región sombreada es el desarrollo de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular. Si PQ=2 13, calcule el volumen de dicho sólido. Q
C) 1024 E) 1022
En un tronco de pirámide hexagonal regular, las aristas básicas mide 4 y 6 y su volumen es
2
P 3 r
r
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Geometría Cono y tronco de cono
20.
En el gráfico, se tiene un cono de revolución. Si VA = 4 2 y
17.
En el gráfico, ABCD es un tetraedro regular
el menor recorrido para ir del punto
B a través de la superficie lateral hasta llegar
y P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=6
al mismo punto tiene por longitud 8, calcule el
y BM=MO, calcule el volumen del cono de
volumen del cono.
vértice M .
V
B
M
P
A
O
T
M
C Q
B
A
D
A) 6
2π
B) 2
C) 2
3π
A)
E) 3 3π
D) 6 π 18.
6π
D)
Del gráfico, A, B y T son son puntos de tangencia, además las regiones mostradas son el desarrollo de la superficie lateral y la base de un cono
21.
4 3
5
π
5 3
B)
2 π
C)
10
3
E)
6
π
2 π
30
3 7 π
2
3
En el gráfico, se tiene un tronco de cono de revolución. Si R=2 r y y MN=2( NA)=4, calcule el
de revolución. Si r =1, =1, calcule AO.
área de la superficie lateral del tronco de cono. A M
r
r
O
T
B N
A) 2 D) 2 2 19.
B) 3
C) 2 E)
5
Se tiene un hexaedro regular ABCD - EFGH . Si AB = 6
3, calcule el volumen del cono cuyo
A
R
B
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Geometría 22.
En un tronco de cono de revolución de radios 2 y 4, la suma de las áreas de las bases es igual al área de la superficie lateral. Calcule la altura del sólido.
Superficie esférica 25.
A) 2/3 B) 4/3 C) 8/3 D) 16/3 E) 5 23.
Del gráfico, se muestran un tronco de cono de revolución y una pirámide regular, además R=2 r . Calcule la razón de volúmenes de dichos sólidos.
Indique verdadero (V) o falso (F), según donde corresponda. I. La intersección de un plano y una superficie esférica siempre es un conjunto convexo. II. Un tetraedro siempre es inscriptible a una superficie esférica. III. La intersección de una recta secante y la superficie esférica es un segmento de recta. A) VFV D) VFV
26.
r
B) FVV
C) FVF E) VFF
Del gráfico, calcule el área de la superficie generada por el segmento AB al girar 360º alrededor de la recta L . L
B
1 5
R
A
3
A)
D)
2 3
π
9 7 3 9
π
B)
4 3 9
π
C)
E)
5 3
A)
π
9 3
D)
π
9 27.
24.
Se tiene un tronco de cono de revolución, don-
es 60º. Si la generatriz y el diámetro de una de las bases tienen igual longitud, calcule el área de la superficie lateral del tronco.
29 100π 29
B)
60π 29
C) E)
80π 29 90π 29
Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cubo de superficie igual igual a S.
de la generatriz cuya longitud es g determina con una de las bases un ángulo cuya medida
120π
A) B) C)
πS
2 πS
3 πS
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Geometría 28.
Del gráfico, M , N y y T son son puntos de tangencia, R=3 r . Calcule la razón de áreas de superficies
C
generadas por EM y NH al girar 360º con res
pecto de EH . B
A
M
D N
R
E
T
r
A) 15 p D) 9 p
H
31.
A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27 29.
Se tiene una esfera que es tangente a las aristas de un hexaedro regular, de modo que
C) 8 p E) 16 p
Se trazan 2 planos secantes y paralelos a una superficie esférica, determinando 2 líneas cuyas longitudes son 6p y 8p. Si el radio de dicha superficie esférica es 5, calcule el área de la zona esférica determinada por dichos planos. (Considere el centro de la superficie esférica entre dichos planos) A) 20 p D) 105 p
el área de su superficie es A. Calcule el área de
B) 10 p
B) 33 p
C) 70 p E) 140 p
la superficie esférica. A) D) 30.
A
π
2
B)
A
π
C)
3
A
π
E)
5
32.
A
π
4 A
π
7
En el gráfico, se muestra una semiesfera. Si la
En una superficie esférica de radio 6, se traza un plano secante que determina una curva cerrada cuyo diámetro es igual a la longitud de la arista del tetraedro inscrito en dicha superficie. Calcule la distancia del centro de la superficie esférica al plano secante.
distancia entre AB y CD es 1 y la m AC = 30º, calcule el área de la superficie de dicha se-
A) 3
miesfera.
D) 4
CLAVES
B) 4 3
C) 2 E)
3
3 2
