Acv 2014 - Geometria 06

Geometría

6 Preguntas Propuestas

1

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Geometría Poliedro y poliedros regulares I 1.

Indique de forma ordenada el valor de los siguientes enunciados. I. Todo poliedro presenta diagonales. II. Un poliedro puede tener 7 aristas. III. En todo poliedro la cantidad de aristas directa a la cantidad de diagonales. IV. IV. El todo poliedro convexo, se cumple que 2 A ≥ 3C , ( A=número de aristas y C =número =número de caras) A) V VV V D) FFFF

2.

B) VF VF

B) 8

T x

C

A D

A) 53º/2

C) VFFF E) FFVF FFV F

Un poliedro está formado por una región triangular, 5 cuadrangulares, 1 pentagonal pentagon al y 1 hexagonal. Calcule el número de vértices de dicho sólido. A) 6 D) 10

3.

B

B) 30º

D) 45º 6.

C) 37º E) 53º

Se tiene un hexaedro regular ABCD - MNPQ, en la región ABPQ se traza una semicircunferencia de diámetro PQ. Calcule la medida del ángulo determinado por las tangentes trazadas desde

C) 9 E) 11

O a dicha semicircunferencia, (O es el centro

de ABPQ).

Un poliedro está limitado por una región pentagonal, 3 regiones cuadrangulares y 3 regiones triangulares, halla la cantidad de diagonales del poliedro.

A) 45º B) 60º C) 127º/2 D) 90º

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

E) 120º 7.

4.

En un tetraedro regular ABCD, MN = = 2 2 ( M y son puntos medios de AB y CD, respectiva N son mente), halle el área de la superficie de dicho tetraedro. A)

4 3

B)

8 3

C)

12 3

En un hexaedro regular ABCD - EFGH, donde el área de su superficie es 12 u 2, sean O1, O2, O3, O4, O5, y O6 los centros de las caras ABCD; BCGF ; ABFE ; ADHE ; CDHG y EFGH, respecti-

vamente. Calcule el área de la superficie del poliedro AO1O2O3 - O4O5GO6. A) 3 3





Geometría 8.

Del gráfico, se tiene un tetraedro regular y un hexaedro regular. Calcule la razón de volúmenes.

4

A)

8

B)

3

16

C)

3

32

D) 11.

3 64

E)

3

3

En un octaedro regular M - ABCD - N , calcule el área de la proyección ortogonal del sólido sobre un plano paralelo a una de sus caras. Se sabe que el área de la superficie del octaedro es A . A) A

A)

1

B)

2

2 3 3

C)

D)

2 6

D)

E)

3

9 3

B) 0,5

2

A

E)

4

A

3 A

6

En un octaedro regular P - ABCD - Q, AM es es al BAP. Calcule la medida del ángulo que forman for man AM y y BN .

Dado un tetraedro regular, calcule la razón entre la razón de las áreas de sus superficies de dicho tetraedro y del sólido cuyos vértices son todos los puntos medios de las aristas del primero. A) 1 D) 2

C)

tura en la cara AQB y BN es es altura en la cara

2

Poliedros regulares II 9.

A

3 12.

8 3

B)

C) 0,25 E) 4/3

A) 30º

B) 45º

D) arc cos 13.

C)

3

 

5

E) arc cos  −

6

calcule la distancia entre AB y CD, si MN y y PQ

Se muestra el octaedro regular M-ABCD-N , además el área de la región sombreada es 4 2, halle el volumen de dicho octaedro.

D

M

C M N

B

C

  6  1

En el dodecaedro regular que se muestra, distan 4 u.

10.

1

arcsen

A

P

B B





Geometría 14.

El dodecaedro regular que se muestra en el gráfico tiene arista de longitud a. Calcule el área de la superficie del hexaedro indicado.

B) (

A) 3  D)

 2

(4 +

3

3

)

+1

)

C) 2 E)  7

Prisma 17.

A) a2 ( 3+

5)

C) 3 a2 ( 3 −

5)

D) 3 a2 (

5

) 5)

18.

+1

E) 3 a2 ( 3 + 15.

A) a2 h B) 2a2 h C) 3a2 h D) 4a2 h E) 5a2 h

5)

B) 2a2 ( 3+

En un icosaedro regular de arista igual a 2, halle el perímetro de la región determinada por un plano de simetría. A) 8 D) 4(1 + 3 )

16.

Calcule el volumen de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de lado a, la altura del prisma es h y las aristas laterales, determinan un ángulo de 60º con la base.

B) 12

En un prisma oblicuo ABC - DEF , m ABC =90º. =90º. Si la proyección de F sobre sobre la base ABC es es el incentro del triángulo ABC ; AD= BC =4 =4 y AB=3, calcule el volumen de dicho prisma. A) 6 6 B) 5 6 C) 7 6 D) 3 6 E) 4 6

C) 2( 2 + 3 ) E) 8(1 + 3 )

En el icosaedro regular M - ABCDE - FGHIJ - N de de arista . Calcule el menor recorrido para ir de M a a N por por la superficie del sólido. M E

D

A B

C

19.

Calcule el volumen de un prisma cuya altura mide 20 m y la base es un cuadrilátero convexo cuyos lados son 3 m; 4 m; 12 m y 13 m, además, una de sus diagonales mide 5 m. A) 700 m3 B) 720 m3 C) 760 m3





Geometría 20.

A’B’C’D’ es un prisma Según el gráfico ABCD - A’B’C’D’ recto, MBN es un triángulo equilátero y ( BN )( )(CH )=8, )=8, calcule A’C ’. ’. B

A) 2 B) 2 2 C) 4 D) 2 E) 8

24.

C

θ

Si la base de un paralelepípedo recto es un rombo cuya área es igual a S3 y las áreas de las secciones diagonales perpendiculares a la base son iguales a S1 y S2, calcule el volumen del paralelepípedo.

A D H

θ

A)

N

D) M

S1S2S 3

B)

S1S2S 3

3

S1S2S 3

C)

E)

4

S1S2S 3

6 S1S2S 3

2

C '

B'

Tronco de prisma A' 21.

D'

Un prisma recto tiene como base un octágono regular y su arista lateral es igual a la longitud del lado del cuadrado inscrito en el círculo de 8 m de radio circunscrito a la base. Calcule el volumen del prisma.

25.

A) 2048 m3 B) 2148 m3 C) 2038 m3 D) 2248 m3 E) 2348 m3 22.

En un prisma regular ABCD - EFGH , con centro en B y radio BC , se traza un arco de circunferencia, de modo que FT es tangente a dicho arco en T . Si la mCT =37º =37º y AB=3, calcule la distancia de T hacia hacia la base EFGH .

En un prisma oblicuo ABC - DEF , se traza un plano secante a AD; BE y y CF en en M , N y y Q, respectivamente, tal que la razón de volúmenes de los sólidos ABC - MNQ y MNQ - DEF es es de 2 a 3. Si AD=2( AM )=3( )=3( BN )=12, )=12, calcule CQ. A) 3,6 B) 4,2 C) 4,4 D) 4,8 E) 5,2

26.

El gráfico ABC - DEF es un tronco de prisma, además, el volumen del sólido D - AFE es es 16 3 y AD=6. Calcule el área de la región ABC . D E

A) 32/25 B) 16/5 C) 64/25 D) 16/25 E) 5/3

F A

23.

En un paralelepípedo recto de base rectangular ABCD - EFGH , las áreas de las regiones ADHE ,

B





Geometría 27.

En un tronco de prisma recto ABC - DEF , las aristas laterales son perpendiculares a la región ABC , además m ABC =90º. =90º. Si EB =10; DE = 74 ; EF = 85 ; FD= 61 y AD=CF , calcule el volumen volumen de dicho dicho tronco. tronco. (Conside (Considere re BE > AD)

A) 70 D) 85

28.

B) 75

C) 80 E) 90

A) 12 B) 8,4 C) 14,4 D) 16 E) 16,4 31.

En un tronco de prisma regular ABCDEF ABCDEF - AGHIJF AGHIJF , la base AGHIJF es es regular, AF =1 =1 y BF =2 =2 3, calcule el volumen de dicho tronco.

En el gráfico, las circunferencias están inscritas en las caras. Si PQ=1 y AB=8, calcule el volumen del tronco de prisma recto.

A)

6 2

B)

4 2

C) 3 3 53º

D) 9 E) Q P

B

32.

A

A) 180 D) 130 29.

B) 192

A) 156 B) 160 C) 162 D) 165 E) 169 30.

En un prisma regular ABCD EFGH con centro

3

2

En un tetraedro regular ABCD se ubican los puntos M , N , P y Q en los lados AB, BD, DC y y AC , respectivamente. Si MN // PQ // AD; AM =2( =2( MB) y DP= PC , calcule la razón de volúmenes de BNPQM y y ABCD. A) 4/29 B) 5/36 C) 8/27 D) 5/27 E) 7/18

C) 132 E) 140

En un prisma regular ABCD - EFGH se ubica el punto M en CG, tal que MC =2( =2( MG)=6 y la m MDC =45º. =45º. Calcule el volumen del sólido determinado por una base del prisma y el plano que contiene a F , M y y D.

9

Cilindro y tronco de cilindro 33.

Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados. I. Si 2 cilindros presentan el mismo volumen y alturas iguales, entonces son congruentes. II. Todo cilindro oblicuo de base circular, tiene sección recta elíptica. III. Si a un cilindro oblicuo se le traza un plano secante, tal que la región determinada sea congruente con las bases, entonces dicho







Geometría 34.

Del gráfico, T es punto de tangencia, R= 5 , y la medida del diedro entre la región AMC y y el plano P es 60º. Calcule el volumen del cilindro que se muestra.

36.

En el gráfico se tiene un tronco de cilindro recto. Si AB=9; CD=3 y R=4, calcule la medida del diedro que determinan las bases de dicho tronco. A

M

C

P

R

B

T

A B

D

45º

A) 30º D) 53º

C

A) 4 3π

37.

B) 5 3 π C) 10 3 π D) 15 3 π E) 20 3 π 35.

R

B) 37º

C) 45º E) 60º

Se tiene un recipiente que tiene la forma de un cilindro circular recto, donde la longitud de la generatriz es 5 veces el radio de la base. Si dicho recipiente contiene agua en un 60% de su capacidad, ¿qué ángulo se debe inclinar el recipiente para que el agua llegue al borde?

Del gráfico, se tiene un tronco de cilindro de A) 15º D) 30º

revolución, BC =3( =3( AB), R=4, AD= 3 , calcule el área de la superficie lateral de dicho sólido. C B A

38.

B) 37º/2

C) 53º/2 E) 37º

En el gráfico se tiene un tronco de cilindro de sección recta circular, además, ABDC es es un trapecio isósceles. Si m CAB=135º; CD=2( AB)





Geometría 39.

Del gráfico, se muestra un tronco de cilindro de sección recta circular si AB=8, calcule el volumen de dicho sólido.

40.

El gráfico M - ABCD - N es es un octaedro regular. Si el área de la superficie total de dicho octaedro es 50 3 , calcule el volumen del

tronco de cilindro.

A θ

M B A

C D

15º N

θ

A)

4π

(

6

B) π ( 4 + 2 C) 16π (

2

−

6

3 −

B B

A) B)

)

)

C) 2

D) π ( 6 + 2 ) E) 2π ( 4 + 3 )

)

D) E)

115 2 ≠

2 60 2≠

125 2 ≠

2 65 2≠ 135 2 2

≠

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