Preguntas propuestas
5
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Geometría Áreas de regiones circulares A) p
NIVEL BÁSICO
B) 1.
En el gráfico mostrado, AM = MB=4. Halle el área de la región sombreada.
C)
2π 3 3π 2
D) 3p
A
E) 6p 6.
M
Calcule el área de la región sombreada si A y B son puntos de tangencia. A
B R
A) p D) 8p 2.
3.
B) 2p
C) 4p E) 16p
45º B
Halle el área del círculo circunscrito a un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 u.
A) π R 2
A) 3 p u2 D) 12p u2
B) π R 2
B) 6p u2
C) 9p u2 E) 36p u2
C)
Halle el área del círculo limitado por la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo recto en B, tal que AB= BC =2. =2. ABC recto A) 2 − 2 D) 2 (
3
B) 4 −
C) 2 (3 −
2
− 1)
E) 2 (3 − 2
2
E)
En el gráfico mostrado, A, B y C son son puntos de tangencia y DE =10. =10. Halle el área de la región sombreada. E
A) 3 p B) 6p C) 9p D) 12p E) 18p
)
2
(3
2
)
2
(7 + 6
2
(5 + 6
2)
)
2
(3 +
2
)
2
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un segmento es un conjunto convexo. II. Un triángulo es un conjunto no convexo. III. La recta es un conjunto convexo. A) VVV D) VFV
B
B) VVF
C) VFF E) FFF
C 8.
D 5.
2
) 7.
4.
8
π R
2
2
D) π R 2
) 2
π R
(1 + 2
A
Se muestra un pentágono y cinco sectores circulares de radios iguales a 2 u. Halle la suma de áreas de dichos sectores.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un polígono convexo es un conjunto convexo. II. Un hexágono regular es un conjunto convexo. III. Toda región poligonal es un conjunto convexo. A) VVV D) VFF
B) FFF
C) FFV E) VVF
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Geometría 12.
NIVEL INTERMEDIO
9.
Halle la razón de áreas del círculo circunscrito a un triángulo rectángulo, y el círculo cuyo diámetro tiene por extremos el baricentro y ortocentro de dicho triángulo rectángulo. A)
3
B)
2
4
C)
3
D) 9 10.
E)
Se muestra un cuadrado ABCD cuyo lado mide 6. Halle el área de la región sombreada. A) 6 − π −
3
B) 6 + π −
3
B
C
A
D
C) 3 + 3 − π
9
D) 2 (12 − 2π − 3
3
)
E) 3 (12 − 2π − 3
3
)
4 16 9
En la figura, T es es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada si R=2 2 .
NIVEL AVANZADO
13.
T
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, =13. Halle el área de la región cir AB=12 y AC =13. cular limitada por la circunferencia exinscrita relativa a BC . A) 4 p D) 12p
B) 6p
C) 9p E) 36p
R
14.
A)
4 3
(π −
2
3
D) (4 π − 3 3
11.
)
B)
3
4 3
(π −
2
2
) C) ( π − 3
)
E)
4 3
3
)
( 4 π − 3)
A)
En el gráfico mostrado, A, D y N son son puntos de tangencia, AL // DN y y DN = 3. Hall Halle e el el áre área a de de la la región sombreada.
D) 15.
D
A
L
A) D)
π
4
N
B)
π
C)
2
3π
E)
4
π
5 5π 4
Halle la razón de áreas de los círculos inscritos en un triángulo equilátero y un cuadrado si dichos polígonos son isoperimétricos. 3 4
2 3
16
C)
E)
27
9 16 8 9
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si se omite un punto del perímetro de un círculo, el conjunto resultante es convexo. II. Si le omitimos una diagonal a una región cuadrangular, el conjunto resultante es siempre no convexo. III. La intersección de dos conjuntos no con vexos siempre resulta un conjunto no con vexo. A) VVV D) FFF
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B)
B) VFV
C) VFF E) FFV
Geometría Geometría del espacio I A) FFF D) VVV
NIVEL BÁSICO
1.
Indique de forma ordenada el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados. I. Por un punto pasan infinitos planos. II. Por Por un punto pasan infinitas rectas. III. Tres puntos siempre determinan un plano. A) VVV D) VFF
2.
B) VFF
B) VVF
6.
B) VFV
B) FFV
C) FVV E) VVF
Se muestra M // N y P es secante a los planos paralelos. Halle x ( AB ∈ P). P M
A
C) VFV E) FVV
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Tres puntos siempre determinan un plano. II. Si una recta es paralela a un plano, será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. III. Los ángulos determinados por dos rectas paralelas con un plano son de igual medida.
C) VFF E) VVF
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si tenemos una recta incluida en un plano y una recta secante al mismo, entonces las rectas siempre son alabeadas. II. Si tenemos dos planos secantes y se traza un tercer plano secante a uno de ellos, entonces es secante al otro. III. Dos rectas secantes determinan un plano. A) FFF D) VVV
7.
C) FVV E) FFV
Respecto a dos planos paralelos, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Todos los segmentos perpendiculares a dichos planos son congruentes entre sí. II. Todas Todas las rectas contenidas en uno de ellos son paralelas a las rectas contenidas en el otro plano. III. Si un plano secante las corta, las intersecciones serían rectas paralelas. A) VVV D) FFF
C) VVF E) FFF
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Un punto y una recta siempre determinan un solo plano. II. Si dos rectas son alabeadas, siempre determinan un solo plano. III. Si dos rectas son secantes a un mismo plano y forman forman ángulos ángulos de igual igual medida medida con con dicho plano, entonces son paralelas entre sí. A) VVV D) FFF
4.
C) FFV E) FFF
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Dos rectas siempre determinan un plano. II. Con n puntos en el espacio, se pueden formar n( n – 3) planos. III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano paralelo al anterior. anteri or. A) VVV D) VFV
3.
B) VVF
5.
B) FVF
10 x
8 x
N
B
A) 5º D) 20º
B) 9º
C) 10º E) 18º
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Geometría 8.
Q
Se muestran los planos paralelos M , N y y Q, además, AB= NP, BC =4 =4 y MN =9. =9. Halle AB. L 1
L 2
A
L 1
x
H
M
β
M
B
N
N
L 2
P
M
α
Q
P
C
A) 2 D) 3
B) 2 2
C) 3 E) 6
2
A) 100º D) 150º 12.
B) 120º
C) 160º E) 135º
Del gráfico, H // P // Q, NL =2( PQ ), MN =8( =8(QR) y BC =3. =3. Calcule AB.
NIVEL INTERMEDIO H
9.
A) FVV D) FFV 10.
B) VFV
B) FVV
C) VVF E) VFV
Según el gráfico, Q es secante a los planos paralelos H y P en L 1 y L 2, respectivamente, a+b=200º. Calcule x si M ∈ Q.
P
M M N
Q
B Q
A) 3 D) 9
P
L R
C
C) VVV E) VVF
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El plano es un conjunto convexo. II. Si dos rectas determinan un conjunto con vexo, entonces dichas rectas son secantes. III. La intersección de tres planos es un conjunto convexo. A) FFF D) FVF
11.
A
De las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si dos planos resultan no ser paralelos, entonces serán necesariamente secantes. II. Si un plano es secante a otros dos planos paralelos, entonces las intersecciones son paralelas. III. La intersección de tres planos puede resultar un punto.
B) 5
C) 6 E) 8
NIVEL AVANZADO
13.
De las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Tres rectas paralelas entre sí pueden determinar tres planos. II. Si L es secante a un plano, entonces toda recta contenida en dicho plano será alabeada con L . III. Si dos planos contienen a dos rectas alabeadas, entonces siempre son secantes.
A) VVF D) VFF
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B) VFV
C) FVV E) FFF
Geometría 14.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Dos rectas secantes, que son paralelas a un plano, determinan un plano que es paralelo al plano inicial. II. Por un punto exterior exterior a un plano se puede trazar una recta paralela a dicho plano y solo una. III. Tres rectas paralelas siempre están contenidas en el mismo plano. A) FFV D) VVF
B) VFV
C) VVV E) VFF
15.
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Una cuaterna armónica determina un plano. II. Los excentros de todo triángulo siempre determinan un plano. III. En una circunferencia, toda recta secante y el centro determinan un plano. IV. IV. En todo triángulo, la recta de Euler determina con cada vértice un plano. A) FFVF D) VFVF
B) FVFV
C) FVFF E) VVFV
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Geometría Geometría del espacio II A) 30º D) 15º
NIVEL BÁSICO
1.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. La proyección de un segmento sobre un plano siempre es otro segmento. II. La proyección de un plano sobre otro plano puede ser una recta. III. La proyección de un triángulo sobre un plano siempre es otro triángulo congruente al anterior. A) VVV D) VVF
2.
B) FVF
5.
6.
C) 45º E) 60º
Las proyecciones ortogonales de AB sobre un plano y una recta perpendicular a dicho plano miden 8 y 15. Halle AB. A) 7 D) 5
C) FVV E) VFF
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si toda recta pasa por el pie de una recta perpendicular a un plano, será perpendicular a esta última. II. Toda recta proyectada sobre un plano resulta otra recta siempre. III. Si se proyecta un ángulo sobre un plano, puede resultar una recta.
B) 37º
B) 23
C) 17 E) 16
Si AM y BN forman ángulos con el plano P, cuyas medidas son 53º y 30º, además, AM =10 =10 y BN =8, =8, calcule la distancia del punto medio de AB hacia el plano P. A
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
B
N
M
7.
P
Se sabe que I es es el incentro del Halle DI si si BC =4. =4.
y AB= BD. ABC y
A
A) VVV D) FFV
B) VFF
C) VFV E) FFF I
3.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si dos triángulos se intersecan en solo tres puntos, son coplanares. II. Si los radios de dos circunferencias determinan un ángulo recto, entonces las circunferencias son ortogonales. III. Dos ángulos suplementarios son coplanares. A) VVV D) FVV
4.
B) FFV
C) VFF E) FFF
El cateto de un triángulo rectángulo isósceles se encuentra contenido en el plano H , además la medida del ángulo entre dicho plano y el otro cateto es 45º. Calcule la medida del ángulo entre el plano H y y la hipotenusa.
B
3 7 º C D
A) D) 8.
10 13
C) 2 3 E) 14
En un triángulo ABC se se traza la altura BH y y AL perpendicular al plano que lo contiene, tal que =6 y BC =7. =7. Calcule el área AL= HC ; AB=5; HC =6 de la región triangular LHB. A) D)
2 6
39 3
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B) 11
B) 5
26
C) 4 E)
13
2 39
Geometría NIVEL INTERMEDIO
9.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. La proyección ortogonal de una región cuadrada sobre un plano, puede ser un segmento. II. La proyección ortogonal de una circunferencia sobre un plano es siempre una elipse. III. Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser secantes. A) VVV D) FVV
10.
C) VFV E) VVF
B) 37º
B) 37º
A) 37º D) 60º
B) 45º
14.
C) 30º E) 53º/2
Se tiene un triángulo ABC de de incentro I conte contenido en un plano. Además, se traza IP perpendicular a dicho plano. Si AB=5, BC =7, =7, AC =6, =6, AP=4, halle el área de la región APC . A) D)
C) 45º E) 60º
En el lado BC de un paralelogramo ABCD se ubica el punto P y luego se traza PQ perpendicular al plano del paralelogramo. Si M es es punto medio de CD, tal que m MPC =90º; =90º; BP=4; PC = PQ=3 y PM =2, =2, calcule la medida del ángulo entre BC y y AQ.
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si dos rectas son perpendiculares a una tercer recta, entonces dichas rectas deberán ser perpendiculares entre sí. II. Si dos rectas son perpendiculares, entonces sus proyecciones ortogonales sobre un plano serán perpendiculares si y solo si ambas rectas son paralelas a dicho plano. III. Por un punto exterior a un plano se puede trazar un solo plano perpendicular a dicho plano. IV. IV. Si una recta no es perpendicular a un plano, entonces no será perpendicular a ninguna recta contenida en dicho plano. A) FFVF B) FVFF C) FFFF D) FVFV E) FFFV
C) 60º E) 45º
En un triángulo ABC se se traza AP perpendicular a su plano, tal que AC = AP=8, AB=6 y BC =7. =7. Halle la medida del ángulo entre PD y el plano ABC si si AD es bisectriz interior i nterior.. A) 30º D) 53º
12.
B) FFF
13.
Sea O el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo equilátero ABC . Además, se PA perpendicular al plano del triángulo traza PA ABC . Si la medida del ángulo APC es es 45º, halle la medida del ángulo entre OP y el plano del ABC . A) 30º D) 53º
11.
NIVEL AVANZADO
15.
B) 3
2 3
6
6 3
C) 4 E) 8
3 3
En un cuadrado ABCD se trazan en el mismo PA y QC perpendiculares semiespacio PA perpendiculares al plano PA) y que contiene al cuadrado, tal que QC =2( =2( PA PQ es el diámetro de una semicircunferencia tangente a AC . Calcule la medida del ángulo entre PQ y QD.
A) 30º D) 53º/2
B) 45º
C) 60º E) 53º
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Geometría Geometría del espacio III 4.
NIVEL BÁSICO
Se tienen los triángulos equiláteros ABC y ACD ubicados en diferentes planos, tal que 2( BD)=3( AB), calcule la medida del diedro AC .
1.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un ángulo diedro es un conjunto convexo. II. Un solo segmento puede ser perpendicular a dos rectas alabeadas. III. Dos rectas alabeadas pueden encontrarse en dos planos paralelos.
A) 30º D) 120º 5.
B) 60º
C) 90º E) 150º
Se muestra un triángulo equilátero ABC y y una semicircunferencia ubicados en planos perpendiculares, AB=6 y m CD 120º. Halle la distancia entre BO y CD.
=
A) VVV D) VFF 2.
C) VFV E) FVV
B
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Por un punto exterior a una recta se puede trazar más de un plano perpendicular a dicha recta. II. Por un punto exterior a una recta se puede trazar un solo plano paralelo a dicha recta. III. Si dos rectas no son secantes, entonces siempre existirá una recta perpendicular a ambas rectas. IV. IV. Si dos rectas son paralelas a un plano, dichas rectas serán paralelas entre sí. A) VFVF D) VFFF
3.
B) VVF
B) FVVF
C) FFVF E) FFVV
Del gráfico mostrado, OM es es perpendicular al plano del cuadrado ABCD en su centro O. Si ), calcule la medida del diedro entre AB=2(OM ), las regiones ABCD y CMD.
C O
A
D
A) 1 D) 3/2 6.
B) 2
C) 3 E) 3
La figura mostrada representa un libro cerrado donde M y y N indican indican las esquinas de la tapa inferior. Se considera P como el punto medio del borde de la tapa superior siendo 2( LN )= )= MN . ¿Qué ángulo debe girar la tapa superior para que MNP sea triángulo equilátero? L
M
B
C P
N
O A
A) 30º D) 53º/2
M
D
B) 37º
C) 45º E) 60º
A) 100º D) 95º
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B) 120º
C) 90º E) 150º
Geometría
7.
En la figura, 5( AB)=6( AF ); ); el ángulo entre L y el plano ADEF mide mide 37º. Calcule la medida del ángulo entre L y el plano ABCD.
10.
C
Una hoja rectangular ABCD es doblada por la diagonal AC , lo que determina un ángulo diedro de medida q. Si AD=a y AB= b, calcule la distancia de B al plano ADC . A)
2ab sen θ 2
2
B)
a +b
B
D)
D
ab sen θ 2
2
E)
2
a +b
ab sen θ 2
2
2 a +b
a +b
3ab sen θ
E
2
C)
4 ab sen θ 2
2
a +b
L 11.
A
A) 30º D) 37º 8.
F
B) 53º
C) 45º E) 60º
Se tienen las regiones rectangulares ABCD y ABEF que determinan un diedro de medida 120º. Si AB=6 y AD= AF =3, =3, calcule DE . A) 3 D) 6
6
B) 3
C) 8 E) 6
7
Se tiene un cuadrante AOB ( AO=OB). En AB se ubica P y se traza CP perpendicular al plano del cuadrante. Si AO=4, la distancia de P hacia y el OB es 3 y la medida del ángulo entre OC y plano del cuadrante es 45º, calcule la medida del diedro OB.
A) 37º D) 127º/2 12.
A) 2 D) 1
NIVEL INTERMEDIO
C) 53º E) 60º
Los cuadrados ABCD y ADMN se se ubican en planos perpendiculares AB=2. Halle la distancia entre AD y BM .
3
B) 45º
B) 2 2
C) 2 E) 2 / 2
NIVEL AVANZADO 9.
El cuadrado ABCD y el rectángulo ABMN están contenidos en planos perpendiculares. Si MP= PB= BC , calcule la medida del ángulo entre AP y MD. C
D B
M P
A
A) 30º B) 45º C) 37º D) 15º E) 53º
N
13.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si un plano interseca a una cara de un ángulo diedro, entonces, necesariamente intersecará a la otra. II. Si un segmento contenido en un plano tiene igual longitud con su proyección sobre otro plano dado, entonces dichos plano son paralelos. III. Las medidas de los ángulos entre una recta contenida en el plano bisector de un diedro y las caras de dicho diedro son iguales. A) FFV B) FVF C) FVV D) VFV E) FFF
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Geometría 14.
En la figura, las regiones rectangulares se encuentran en planos perpendiculares. Si QB= BD y BN = DC , calcule x.
15.
C
Q P
θ
N
B
O D
B
x
C
θ θ
A
A) 30º D) 53º
26º30’
D
B) 37º
A
C) 45º E) 60º
A) 12 D) 36
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11
El producto entre la distancia de OS y AD con la longitud de AO es 12. Calcule el área de la región ABCD.
S
B) 18
C) 24 E) 48
Geometría Ángulo triedro 6.
NIVEL BÁSICO
En un triedro isósceles O - ABC , m BOC =90º =90º y la suma de medidas de las otras dos caras es igual a 120º. Calcule la medida del ángulo que forma OA con el plano que contiene a la cara BOC .
1.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Un ángulo triedro es un conjunto convexo. II. La intersección de un ángulo triedro y un plano, secante es una región triangular t riangular.. III. Si un triedro es trirrectángulo, la medida de sus diedros es igual a 90º.
A) 30º D) 53º 7.
B) 37º
C) 45º E) 60º
En un ángulo triedro O- ABC , m AOC =37º =37º y m AOB=53º. Luego se traza un plano secante perpendicular a OA en el punto P, y que corta a OB y OC en Q y R, respectivamente. Si OP=12, halle PQ+ PR.
A) VVV D) FFV 2.
C) VFV E) FVF
En un triedro, la medida de dos caras son 100º y 120º. Halle el máximo valor entero de la tercera cara. A) 100º D) 129º
3.
B) VVF
B) 101º
A) 15 D) 25 8.
C) 119º E) 139º
Halle el máximo valor entero de la medida de una de las caras de un triedro tri edro equilátero. A) 59º D) 121º
B) 61º
B) 17
En un triedro isósceles O- ABC , m BOC =90º, =90º, la proyección ortogonal de A sobre la cara OBC es P, tal que OP=3 2 , OB=7. Halle m BPC . A) 137º D) 167º
C) 119º E) 134º
C) 237 E) 30
B) 147º
C) 164º E) 143º
NIVEL INTERMEDIO 4.
Se
muestra un ángulo triedro O - ABC , OB=OA= BC =4 =4 y OC = 10 . Si G es el baricentro de la región OBC y y AG es perpendicular a dicha cara, halle x. A
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
9.
Se muestra un triedro birrectángulo O - ABC , a+b=90º, OM = k. Halle el área de la región ODL. A
x
M B
B
β O
G O
C 5.
D
En un triedro O - ABC , m AOC =m =m AOB=45º y m BOC =53º. =53º. Calcule la medida del diedro OB .
60º
α L
C
A) 30º D) 53º
B) 37º
C) 45º E) 60º
B) k2 2
A) k2 D)
k2 3
C) k2 E)
3
3
k2 3 4
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Geometría 10.
A) solo I B) I y II C) solo III D) todas E) ninguna
En un triedro trirrectángulo ABCD, AB= AD= AC =6. =6.
Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo BCD. A) 2 D) 6
B) 3
C) 2 E) 2 2 14.
11.
Se tiene un triedro trirrectángulo O- ABC , se ubican M , N y P sobre OA, OB y OC , respectivamente, tal que MP=13, MN =15 =15 y NP=14. Halle la distancia de O hacia PB.
A) 14 D) 2 5
B) 2
3
En el gráfico mostrado O - ABC es un triedro, =1, OM = 3 y AH = 2; además, AH es es per MH =1, pendicular a la cara BOC . Calcule la medida del diedro OC .
A
C) 3 5 E) 15 B
12.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Si un triedro es equilátero, la medida de sus caras es 60º. II. Si un triedro es trirrectángulo, sus caras miden 90º. III. Si un triedro es trirrectángulo, la medida de sus diedros es 90º.
M H O
C
A) arcos(1/3) D) 37º 15.
A) VVV D) FVV
B) FFF
C) VFF E) FFV
1 5 º
B) 30º
C) 53º/2 E) 45º
Si O- ABC es es un triedro trirrectángulo, OA= 3 , mOCB=60º, I es es el incentro del BOC cuyo cuyo inradio mide 2, halle la medida del diedro entre las regiones ABI y y BOC .
NIVEL AVANZADO A
13.
Indique la proposición incorrecta. I. En un triedro isósceles, a las caras congruentes se oponen diedros congruentes. II. En un triedro equilátero, las caras pueden ser iguales a los diedros. III. En un triedro isósceles, el pie de la altura trazada de un punto de la arista adyacente a las caras iguales hacia la cara opuesta pertenece a la bisectriz de esta última cara.
B
C
A) 30º D) 45º
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 13
I
O
B) 37º/2
C) 37º E) 60º
Anual UNI
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
GEOMETRÍA DEL
ESPACIO II
GEOMETRÍA DEL ESPACIO III
ÁNGULO TRIEDRO
