5 Preguntas Propuestas
Geometría Áreas regiones circulares 1.
A
Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, PH =3 =3 cm. ( M , N y y P son puntos de tangencia)
Q P C
A
T
O P
A) 16p
M
P H
O
B) 8p
C) 12p
D) 9p
N B
B
4.
E) 18p
Según el gráfico, A, B, C , D, E , F , G y H son son puntos de tangencia. Si A , B y x son son las áreas de las regiones sombreadas, calcule x en función de A y y b.
A) p B) 2p /3 C) 4p /3 D) 2p E) 5p /6 2.
A
A
B
G
Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si MH =4, =4, PM=OB.
C
X
D
P H E M
2
A)
45º A
O
H
a
b
B
B) A) p D) 8p 3.
B) 2p
C) 4p E) 16p
En el gráfico, P, Q y T son son puntos de tangencia. = 6 Si QC =2( =2(QT ) y AC =
región sombreada.
2,
calcule el área de la
ab
C) 2 D) E)
ab
ab a
+b
a
+b
ab 2
B
F
Geometría 5.
En el gráfico, la diferencia de áreas de las regiones sombreadas es K . Calcule AB.
8.
B
A
Analice las siguientes proposiciones y señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El diámetro de una circunferencia divide a esta en dos conjuntos convexos. II. Sean R 1 y R 2 dos regiones no convexas tal que R 1 ∩ R 2 ≠ φ, entonces R 1 – R 2 no siempre es un conjunto no convexo. III. Si a un conjunto convexo le omitimos su frontera, este nuevo conjunto es no convexo. A) FVF D) VFF
C
B) VFV
C) FVV E) VVF
Geometría del espacio I A) 2
D) 6.
K
≠
B) 2
2 K ≠
3 K ≠
C)
K
E)
2≠
2
9.
3 K
≠
De las siguientes proposiciones indique el valor de verdad. I. El ángulo es un conjunto convexo. II. Si a una región triangular se le suprime un punto de la frontera, el resultado es un con junto convexo. III. Si a un semicírculo se le suprime un punto de la frontera, el resultado es un conjunto convexo.
Sea el M el el número máximo de planos que se puede determinar con 6 puntos y N el el número máximo de planos que se puede determinar con 5 rectas paralelas. Calcule M – N . A) 5 D) 10
10.
B) 7
C) 9 E) 12
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Tres rectas paralelas no coplanares determinan exactamente tres planos. II. Tres Tres planos pueden tener un solo punto en común. III. Sean L 1 y L 2 dos rectas alabeadas, P1 y P2 dos planos que las contienen, L 1 ⊂ P1 y L 2 ⊂ P2, entonces, siempre se cumplirá, que, P1 ∩ P2 ≠ f.
A) VFV D) VV V 7.
B) FFF
C) FVF E) FFV
De las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Una línea infinita contenida en un plano que no es secante a sí misma, divide al plano en dos conjuntos convexos. II. Si una recta divide a una región en tres regiones, entonces dicha región es no con vexa. III. La intersección de dos regiones no conve xas siempre es una región convexa. convexa. A) FVF D) VV F
B) VFV
C) V VV E) FFF 3
A) FVF D) FFF 11.
B) VFV
C) VVF E) FFV
Indique de manera ordenada el valor de los siguientes proposiciones: I. Si se tiene tres rectas que se cruzan dos a dos, entonces dichas rectas pueden determinar un plano. II. Si los lados de un triángulo están contenidos en tres planos distintos, entonces dichos planos son paralelos. III. La proyección ortogonal de una línea curva sobre un plano, siempre es otra línea curva. A) VVV D) FFF
B) FVF
C) VFV E) VFF
Geometría 12.
Señale de forma ordenada el valor de las siguientes proposiciones: I. Si una recta esta contenida en un plano P y además es paralela al plano Q, entonces, dichos planos son paralelos. II. Si una recta es secante a un plano, entonces dicha recta será secante a todos los planos paralelos a dicho plano inicial. III. Si una recta es paralela a un plano dicha recta será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. A) FFF D) FFV
B) FVF
L 1
E
B
H
Q M
P
Indique de manera ordenada el valor de las siguientes proposiciones: I. Si dos planos son paralelos, entonces, las intersecciones con un tercer plano, son rectas paralelas. II. La intersección de 2 planos puede ser un punto. III. Si dos planos no son paralelos, entonces dichos planos son secantes. A) VVV D) FVV
14.
B) VFF
B) FFV
C) 28
D) 18 16.
E) 25
De acuerdo al gráfico, indique la proposición o proposiciones incorrectas:
P
L 1
α
Q L 2
C) VVF E) VFV
15.
L 3
B) 20
C) VFV E) VVF
De las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. La intersección de tres planos secantes puede ser una recta. II. Si una recta es paralela a un plano, entonces toda recta secante a la recta inicial es secante a dicho plano. III. Si una recta divide a un plano en dos semiplanos, dicha recta debe estar contenida en dicho plano. A) FVF D) FVV
N L 2
C) FVV E) VFF A) 9
13.
C
A
β
R
R //
I. Si
II. Si L 1 // L 2 entonces, III. Si a=b, entonces,
A) I
En el gráfico H // P, las rectas L 1, L 2 y L 3 son secantes a los planos H y P en los puntos y Q; si AM =3( =3( AE ), ), EN =20, =20, EQ=24 A, M , B, N , C y y NQ=28, calcule el perímetro de ∆ EBC .
Q entonces, L 1 // L 2 .
B) II y III C) III y IV D) II E) II y I 4
Q // Q //
R .
R .
Geometría Geometría del espacio II 17.
Indique el valor de los siguientes enunciados: I. Si un plano contiene a una recta perpendicular a otro plano, dichos planos son perpendiculares. II. Si 2 rectas son perpendiculares a una recta, dichas rectas son paralelas. III. Por dos rectas paralelas pasa un solo plano. A) VVV D) FVV
18.
A) 5 cm
B) VVF
C) 10 cm
3 cm
D) 4 cm 21.
E)
22.
6 cm
Se tiene un semicírculo de diámetro AB, en el CD) y cual se inscribe un trapecio ABCD ( AB // CD se traza una perpendicular CP BC = DC. Por C se al plano del semicírculo en donde CP= BC . PAC . Calcule la m PAC A) 30º D) 53º
C) VFV E) FVF
Indique verdadero o falso según corresponda. I. La proyección ortogonal de un segmento sobre un plano, siempre es otro segmento. II. La proyección ortogonal de un triángulo sobre un plano puede ser un segmento. III. Si el área de la proyección ortogonal de una región triangular sobre un plano es igual a dicha región entonces las regiones triangulares son paralelas.
B) 5
B) 37º
C) 45º E) 60º
En el gráfico las regiones pentagonales son re
gulares, calcule el ángulo entre MN y AD. N M D
E P A
A) VVV D) FVV
B) VVF
C) VFF E) FFF
C B
19.
Se tiene un cuadrado ABCD, CP es perpendicular al plano que lo contiene y se ubica el punto medio M de de AB, tal que la distancia de P hacia MD es 5. Si PC =3, =3, calcule BC .
A) 72º D) 54º 23.
A) 4 D)
B) 2
4 5
C)
2 5
E)
5 2
B) 36º
Según el gráfico ABCD es un cuadrado don EB, FD=EB además MN es de AL=LB, FD // base media del ∆ EFC . Calcule el ángulo entre LD y MN .
E
20.
C) 18º E) 30º
En el gráfico, L es perpendicular al plano H. Si PO=10 cm, calcule MN .
M
L B
N F
L 30º
O
P
H
N N
M M
5
A
A) 53º/2 D) 37º/2
D
B) 53º
C) 37º E) 8º
C
Geometría 24.
Dados los puntos C y D exteriores a un segmento de recta AB. Si M y y C son son las proyecciones ortogonales de C y D sobre AB y el plano ABC respectivamente AM=MC=CD. Calcule respectivamente y AM=MC=CD. el ángulo determinado por AC y y MD. A) 30º D) 90º
B) 45º
A) 1/2 D) 2 29.
C) 3 E)
2
En un cuadrado ABCD, de centro O, se traza OP perpendicular al plano de dicho cuadrado, AB=8 y OP=4, además, M es es punto medio de
C) 60º E) 53º
OP. Calcule la distancia entre MD y PC .
Geometría del espacio III 25.
B) 3/2
A)
AB=AC , En un triángulo rectángulo isósceles AB=AC
1
B)
2
2 2
D) 2
C) 1 E) 2
por A se traza la perpendicular AD al plano del triángulo tal que
AD
=
3 6 2
y AC =3. =3.
30.
Se muestra un cuadrante y un semicírculo en planos perpendiculares AM = MB=2 y
Calcule la medida del ángulo diedro D-BC-A.
mBP
A) 30º D) 37º
B) 45º
= 60º . Calcule la distancia entre AO y MP.
C) 60º E) 90º A
26.
Si AQ es perpendicular al plano que contiene AOB B donde AO AO=OB =OB, a la región cuadrantal AO calcule la medida del ángulo diedro formado AQ=OM, =OM, por QOM y la región cuadrantal si AQ CM=MB, C pertenece pertenece al AB y M pertenece pertenece a CB.
M
A) 37º D) 30º 27.
B) 45º
O
C) 60º E) 53º
B
En la región interna de un cuadrado ABCD se traza una semicircunferencia de diámetro CD, y se traza BT tangente tangente a ella. Por B se traza BM perpendicular al plano de dicho cuadrado, tal AT =2( que AT =2( BM ). ). Calcule la medida del diedro entre las regiones ABCD y AMT . A) 30º D) 127º/2
B) 37º/2
C) 45º E) 53º
A)
D)
1
B)
2
5 5
4 5
Una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, y un triángulo equilátero ABC , están ubicados en semiplanos cuyo diedro mide 30º. Si la proyección de C sobre sobre el plano de la semicircunferencia es H , además, OH interseca a dicha curva en E , calcule OE / EH.
2 5 5 2 2 3
Sean L 1 y L 2 rectas alabeadas y ortogonales, en L 1 se ubican A y C y en L 2 se ubican B y D, tal que, AB es la distancia entre dichas rectas ( AB=1). Si BC =2 =2 y CD=3, calcule AD.
28.
C)
E)
5
31.
P
A)
6
B)
D) 3
7
C) 2 2 E)
6
10
Geometría 32.
Se tienen los cuadrados ABCD y CDMN ubicados en planos perpendiculares, O es el centro de este último, además se traza una recta tangente TD a la semicircunferencia de diámetro AB (T es es punto de tangencia). Si P pertenece a BC y y PC =3, =3, BP=5, calcule la distancia entre DT y OP .
A) D)
35.
A) 3
B) 2
C) 3
20
B)
3
24
36.
C) 16/5
5
D) 3 3
E)
2 3
En un diedro trirrectángulo O - ABC , los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos
12
E)
5
4
y BOC son son 3, 4, 5, respectivamente. AOB, AOC y
5
Si AO+OB+OC =37, =37, calcule el perímetro de la región triangular ABC .
Ángulo triedro 33.
En un diedro O - ABC, donde cada diedro mide 120º, se ubica M en en OA y P en en OC , además, (OM ) (OP)=3. Calcule el área de la región triangular PMO PMO.
Se muestra el triedro V - ABC . Si MH es es perpendicular a la cara VBC y y MP=4( HN ), ), calcule x.
A) 40 B) 50 C) 55 D) 60
A
E) 70 M B
37.
x
AOB=m AOC AOC , Se O-ABC un triedro isósceles, m AOB
m BOC =90º, =90º, además, L, M , Q y P pertenecen a
OA, OB y OC y
a la cara BOC , respectiva-
mente, tal que P-LMQ, es un triedro tri-rectán-
P
gulo. Si LQ=12 y la medida del ángulo que q ue for
2α
V
ma LQ con la cara BOC es 60º, calcule el área
H
α
de la región triangular MPQ. N
A) 6 D) 18
C
A) 30º D) 14º 34.
B) 36º
C) 28º E) 53º/2
En un tiedro V - ABC , b=c=60º y la medida del diedro VA=120º. Si se traza el plano perpendicular a VA en P, en M y y N, P, que corta a VB y VC en respectivamente, y VP=2, calcule el área de la región triangular VMN .
38.
2
B) 3 3
C) 3 E) 5
7
7
5
C) 16 E) 24
Se tiene un cuadrado ABCD. Se traza PC per perpendicular al plano de dicho cuadrado, tal que m PAC =45º. Si H es es el ortocentro de la región PAC =45º. PBD, calcule m HAC.
A) 15º B) 16º C) 30º
A) 3 D) 3
B) 12
D) 37º/2 E) 53º/2
Geometría 39.
Se tiene un triedo O-ABC , la medida del diedro OB es igual 60º, al igual que la medida de la cara AOB. Si H es es la proyección ortogonal de A sobre la cara BOC , AO=4, calcule el área de la región AOH .
A) 3 D) 7 40.
B)
3 7 2
C) E)
2 7 3
II. Las intersecciones de 2 ángulos triedros puede ser un punto. III. Si un rayo cuyo origen coincide con el vértice de un ángulo, forma ángulos de igual medida con los lados de dicho ángulo, entonces, dicho rayo, es la bisectriz del ángulo mencionado.
7 3
Indique de manera ordenada el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. La intersección de un ángulo triedro y un plano, puede dar como resultado un triángulo.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) FFV
CLAVES
8
