3 Preguntas Propuestas
Geometría A) 120º
Cuadrilátero inscrito inscriptible
B) 130º 1.
En el gráfico, calcule
AB.
C) 140º D) 150º E) 160º 4.
A
100º
En un triángulo isósceles ABC, de base AC , en AC se se ubica el punto medio M , y en la región interior al triángulo se ubica el punto P, tal que m APM =m BPC =90º =90º y m PBC =45º, =45º, calcule la m MPC .
B
A) 40º 40 º D) 15º 2.
B) 80º
A) 37º/2
C) 20º E) 10º
D) 37º
En el gráfico mostrado, halle la medida del ángulo BFC , si los arcos AB y DEG miden 80º y 100º respectivamente.
5.
B
B) 53º/2
C) 18º E) 30º
En el gráfico, el cuadrilátero ABCD es inscriptible y m BD = 50º . Calcule x.
C
A
B
C x
D
G E
A
D
F
A) 10º D) 25º 3.
B) 15º
C) 20º E) 30º
A) 30º B) 60º C) 45º
En el gráfico, calcule x si m AM + m MB = 160º.
D) 50º x
E) 65º 6.
N
A
B
Considere el cuadrado ABCD. En AB se ubica el punto E y y se traza la diagonal AC que que interseca a ED en P. Si por P se traza la perpendicular a ED que interseca a BC en F y si AE + FC =8, =8, calcule EF . A) 4
M
B) 5
D) 7
C) 6 E) 8
2
Geometría 7.
En un triángulo rectángulo ABC recto recto en B, se
10.
traza la altura BH . En AB y BC se ubican los puntos M y y N, respectivamente, de manera que AMNH es un rombo de centro O. Calcule la medida del triángulo BOC . A) 90º
B) 45º
En el gráfico mostrado, T es es punto de tangencia. Si AQ=QB y BT =2, =2, calcule AC . C
C) 60º
D) 72º
E) 37º T
8.
Del gráfico, T es es punto de tangencia. m AP
= 6 β y m AM
=
m MB. Calcule x.
A
Q
B
A P
A) 2 M
B) 4
D) 8 11.
x B
C) 6 E) 10
En la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , se ubica el punto M en en el arco AC , sea I in in-
T
β
centro del triángulo ABC , IM =15, =15, m AM = m MC
y m ABC =74º. =74º. Calcule AC . A) 3 b
B) 4b
C) 5b
D) 6b
E) 7b
A) 12 D) 24
B) 16
C) 18 E) 36
Puntos notables I 12. 9.
Del gráfico mostrado, calcule x.
En el gráfico ABCD es romboide de centro O y AD= DE y y NO=2, calcule AB.
B
x
α
O
θ N
α
A
A) 6
β β
α 2α
C
E
D
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
3
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º
θ
Geometría 13.
Sea I y E el incentro y el ex-centro de un
A) 45º
triángulo ABC ( E : ex-centro relativo a BC ). ). Si
D) 90º
m BAC =2(m =2(m ACB), calcule
A) 1
1
B)
AB IE
C)
2
D) 2
E)
.
B) 60º
C) 75º E) 45º+ a
Puntos notables II
2 2
17.
2 3
En un triángulo ABC, cuyo ortocentro es H la circunferencia que pasa por C , H y y B interseca a la prolongación de AB en N , de modo que =6. Calcule el radio de dicha m HBN = 90º y AH =6.
circunferencia. 14.
En la región exterior relativa a BC , de un trián A) 3 D) 6
gulo equilátero ABC , se ubican D y L, tal que, BGDL es un cuadrado (G: baricentro del trián-
B)
C) 3 3 E) 4 2
3 2
gulo ABC ). ). Calcule m BDC . 18.
A) 75º
B) 90º
D) 127º 15.
C) 120º
AC AC de de un triángulo ABC . Si m ABC =2(m AEO),
E) 143º
calcule m ABC . A) 30º
Se tiene un cuadrilátero ABCD, m ABC = DAC =90º, =90º, m ACD=
53º 2
. Halle
m ACB=
4 º 2
AC G1G2
Sean O y E circuncentro circuncentro y excentro relativo a
centros de las regiones ABC y y DAC .
C) 60º
D) 80º
,
, siendo G1 y G2 bari-
B) 45º
19.
E) 90º
En el gráfico, T , Q, R y D son puntos de tangencia. ¿Qué punto notable es P del triángulo RBD? B
A)
2 3
D) 2 16.
3
B)
C) 3
2
E)
3
3 3
T
2
Q
P
Del gráfico, ADLM es es un cuadrado. Calcule x.
R
120º
D α
D
α
L x
A
M
A) incentro B) ex-radio C) circuncentro D) punto de Brocard E) baricentro 4
Geometría 20.
B
En un triángulo ABC , AB= BC , m ABC =40º =40º de incentro I y y ortocentro H . Calcule m IAH .
α
A) 15º
B) 20º
C) 25º
D) 18º 21.
L E
O
E) 30º
H α
A
En el gráfico, O es circuncentro de triángulo
C
x
ABC , el cuadrilátero OMCN es es inscriptible, cal-
cule m OMN . A) 95º D) 90º
B
24.
N O
B) 85º
C) 80º E) 100º
Del gráfico, H es es el ortocentro del ABC y α es su recta de Euler; calcule , si MN = NC . β
20º
A
M
C
α
α
A) 20º
L
B) 30º
M H
C) 40º D) 50º
β
E) 60º 22.
A
N
A) 1/2 D) 2/3
En el gráfico si m AB = mAPB, calcule x.
B) 1/3
C
C) 1/4 E) 3/4
P
Proporcionalidad de segmentos
B
25.
En el gráfico, BM = MQ=QC y y AN = NB.
Calcule
A
NL QE
. B
x
A) 45º
B) 60º
C) 75º
D) 74º 23.
E) 53º
A) 1/4 B) 1/5 C) 1/6 D) 2/5 E) 2/7
M N L
Q
Del gráfico mostrado, los puntos H y y O son ortocentro y circuncentro, respectivamente, calcule x.
A 5
C
E
Geometría 26.
Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC // AD,
D)
donde m BAD=60º; en la prolongación DC se ubica el punto E , de modo que EB es bisectriz del ángulo AEC . Si BC =3 =3 y AE =3( =3(CD), calcule EC.
BM MA
BN +
NC
=
2
E)
29.
A) 9
B) 12
C) 15
D) 16 27.
BM NC
BN =
Del gráfico, D, A, L y M M son puntos de tangencia, además,
E) 18
MA
m DA = 127º .
Halle m BAL.
En el gráfico, P y T son son puntos de tangencia. Si AP=20 y CT =4, =4, calcule CB. A
A D
L
B B
M
P
A) 74º
T
B) 76º
D) 127º/2
C) 90º E) 143º/2
C 30.
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) de incentro I , se traza la bisectriz interior CM .
B
Desde M se se traza la recta MH , perpendicular a
AC ( ( H en en AC ), ), y en MH se ubica el punto N, tal
que IH // CN . Calcule MH / HN si si la m BAC =62º. =62º. A) 4
B) 5
D) 8
C) 6 E) 10
A) 1/2
B) 1/3
D) 2/5 28.
C) 1/4 E) 1/5
Sea G el baricentro de una región triangular ABC ; se traza una recta que contiene a G y es
secante a AB y BC en en M y y N , respectivamente. Indique la relación correcta.
A)
BM MA
BN +
NC
=
31.
Del gráfico que se muestra, calcule BC si si AB=2 y CD=3.
1
P
2
45º
B)
C)
AM MB
CN +
AM MB
NB
=
1
=
2
CN +
NB
A
B B
A) 1
C C
B) 1,5
D) 2,5
D D
C) 2 E) 3
6
Geometría 32.
En un hexágono regular ABCDEF , en la prolon-
35.
gación de CD, se ubica G, tal que BG interseca
En el gráfico, AM =4 =4 y MB=8. Si M , N , P y T son son puntos de tangencia, calcule QT .
a CE y y CF en en M y y N , respectivamente. Si GM =a y MN = b, halle BN .
θ θ
A)
D)
a
B)
b
(
b a + b a
)
C)
b
−
b
E)
2a
T
2a
N
(
a a−b
)
a+ b
θ
BE
BC
, calcule
= K
FG
A) 1
.
BF
B
M
Semejanza de triángulos
Si m ABD = mCD ,
Q
a+ b
A
33.
P
B) 2
C) 3
D) 4 36.
E
E) 6
En un triángulo ABC , recto en B, se traza la altura BH , en el triángulo BHC , se traza la altura HM , y en el triángulo BMH , se traza la altu-
D
ra MP; calcule MP, tal que, AC =a, BH = b.
B F G
D)
D) 34.
B)
B)
b
2 b
C)
a
C
A
A) K
a
A)
K
C)
+ 1 K +
1
E)
K
2 a
E)
b
b 2 a
2ab ab
1 − K K
37.
Del gráfico, calcule AB , si PT =5; =5; TM =4; =4; son puntos de tangencia. m AB = m MN ; P y T son
K + 1
K − 1
A
En el gráfico G es el baricentro del triángulo ABC , si PC =3( =3( AP) y BH =8, =8, calcule BQ.
P B
B θ
θ
N
T
G Q
A) 16 D) 8
A
C
H P
B) 14
C) 12 E) 4 7
M
A) 2 D) 6
5
B) 4
5
C) 3 E)
6
6 2
Geometría 38.
En el gráfico, m AC =m BN = 2(m BMC ) . Si
A) 2
AB=8 y BC =4, =4, calcule BM.
D) N 40.
B) 3
ac
C)
ac
ac
ac
2ac
E)
a+ c
a+ c
Del gráfico, A y B son puntos de tangencia, calcule
B
CD DH
.
α
37º
A
M
α
A
C
C 37º
D
A) 2 2 D) 2 39.
H
B) 4
2
C) 5 E) 6
En un triángulo ABC , se trazan AM ; CR y BQ, altura y cevianas interiores, respectivamente, concurrentes en L. Si CL ∩ MQ={T } BL ∩ MR={ N} y MT =TQ, calcule MN . Considere RM =c y MQ=a.
B
B) 2
A) 1 D)
5
C)
2 3
E)
3
CLAVES
8
5 4
