Trigonometría
8 Preguntas Propuestas
1
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Trigonometría Ecuaciones trigonométricas II 1.
5.
(cos x − 3)(cos x + 2) ( 2 sen x − 1) ≤ 0 ,
Si n ∈ Z, calcule la solución general de x, del sistema de ecuaciones sen x+sen y= – 1 (I) π
x
+
y
=
7π
A) nπ +
x ∈ 〈0; 2p〉
2π
5π 6
C) 2 nπ + E)
3
nπ 2
5 π 7π D) ; 4 4
6
4π +
π π B) ; 12 2
5π A) ; π 12
2 C) (2 n+1)p
7.
π
2
π 2π C) ; 3 3 π 5π E) ; 12 12
π 5π D) ; 6 6
nπ
E) 2 np
Resuelva la inecuación 2 sen(2 x ) − 1 ≥ 0, x ∈ 0; π cos x + 2
A) np
D) ( 4 n + 1)
3π 7π E) ; 2 4
3
Del sistema de ecuaciones 2sen x=1 – cos y (I) 2cos x=1+cos y (II) Calcule la solución general de y, si n ∈Z.
B)
π 3π C) ; 4 4
7π
6. 2.
π 5π B) ; 4 4
π 3π A) ; 2 4
(II)
B) 2 nπ +
6
D) nπ +
3
Resuelva la inecuación trigonométrica
Si el conjunto solución de la inecuación 3
sen 2 x ≤
2
, x ∈[ 0; π ]
es [a; b] ∪ [c; d ]. ]. 3.
Resuelva la inecuación 3sen x – cos2 x – 1 > 0, x ∈ 〈0; 2p〉 A) B) C) D) E)
4.
π
3
;
;
π
π
6 π
2 π
;
;
2π
6
∪
11π 6
Calcule
a + d b + c
.
A) 1/4 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) 1
3
7π
;
; 2π
5π 6 2π 3
∪
π
6 3
∪
4 π 3π ; 3 2
2 π 5π ; 3 6
Resuelva la inecuación sen(p x) – cos(p x) > 0, x ∈ [0; 2]
8.
Para qué valores de x ∈ 〈0; 2p〉 se cumple sen x+sen xcos x < 1 + cos x+cos2 x A) 〈0; 2p〉
π B) 0; 2π − 2 π C) 0; π
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Trigonometría Secciones cónicas I 9.
14.
Si V es es el vértice, F el el foco y el eje Y la la directriz de la parábola, calcule las coordenadas del punto P, si el área de la región sombreada es 16 u 2. Y
A) x= – 2 B) x= – 4 C) x=3 D) x= – 3 E) x=2
P
V
15. F
10.
B) (3; 6)
16.
Calcule la ecuación de la parábola cuyo eje focal es horizontal, con vértice en el origen y pasa por el punto (1; – 3). A) y2=9 x D) y2
11.
C) (2; 4) E) (5; 10)
B) y2=18 x
3 =
2
B) 1
C) – 2 E) – 1
Calcule n, de modo que el foco de la parábola 4 y=( x+1)2 – 2 n, se encuentre sobre el eje x. A) 3 B) 1/2 C) 1 D) 1/4 E) 2
C) y2=3 x E) y2=6 x
x
Calcule el valor de n ≠ 0 de manera que las coordenadas del vértice de la parábola y2+ nx+2 y – 3=0, sumen 3 u. A) 1/2 D) 2
X
A) (1; 4) D) (4; 8)
Calcule la ecuación de la directriz de la parábola y2 – 4 x – 12 y+28=0
Secciones cónicas II
El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz es y= – 1. Calcule la ecuación de la parábola.
17.
Si la distancia entre los focos F 1 y F 2 es 2 2 y la longitud del eje menor B1 B2 es 2 2 . Calcule el perímetro de la región sombreada.
A) ( x – 3)2=32( y – 2) B) ( x – 3)2=16( y – 2) C) ( x – 3)2=20( y – 2) D) ( x – 3)2=12( y – 2) E) ( x – 3)2=8( y – 2)
Y
F 1
12.
Calcule la longitud del lado recto de la parábola y2+2 x – 10 y+27=0 A) 4 D) 12
B) 6
C) 8 E) 2
B1
B2 F 2
X
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Trigonometría 18.
Calcule la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, uno de sus vértices
está en el punto A(0; 7) y pasa por M 5 ;
A)
x
2
16
+
y
2
25
=1
B)
x
2
9
+
y
2
49
=
1
C)
x
2
4
+
y
C)
14 3
2
144
x
E)
x
=1
19.
x
2
16
+
y
2
49
=1
E)
x
2
25
+
y
y
2
121
=1
36
2 +
=1
2
y
+
81
169
D)
+
2
D) 2
49
x
y
2
144
=1
2
49
=1
21.
Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada en términos de a y b.
Calcule la ecuación de la elipse que pasa por
Y
7 2 ; 3 , tiene su centro en el ori-
el punto N
y=x
y=– x
2 x2 y + =1 a2 b2
gen de coordenadas, su eje menor coincide con eje X y y la longitud de su eje mayor es el doble de la longitud de su eje menor.
A)
B)
x
2
9
x
+
2
2
+
y
2
36
y
X
=
1
A)
2
8
=
1
2a2 b2 2 a
+
2
C)
x
2
4
+
y
D)
2
16
=
1 22.
20.
2
D)
x
E)
x
+
2
16
+
y
2
4
y
=1
64
1
Calcule la ecuación de una elipse con vértice en el origen de coordenadas y eje horizontal. Además de uno de los vértices dista 8 u de un foco y 18 u del otro foco.
2
2
a
+
2
+
C)
2 a
b
2
4a b
a
2
2a2 b2
E)
2
b
2 b
+
2
2
+
b
8a b 2
a
2
Los vértices de una elipse son V 1(– 2; – 3), V 2(8; – 3) y la longitud de su lado recto es 32/5. Calcule la ecuación de la elipse.
2 =
B)
2 b
2
4a b
A)
B)
C)
( x − 3)2 25 ( x − 3)2 25 ( x − 3)2 49
+
+
+
( y + 3)2 9 ( y + 3)2 4 ( y + 3)2 16
=
1
=
1
=
1
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Trigonometría 23.
Calcule el área del cuadrilátero que tiene dos vértices en los focos de la elipse 9 x2+5 y2=45 y los otros dos d os vértices coinciden en los extremos de su eje menor. A)
D)
24.
2 45
5
B)
2 15
5
C) 4
5
E)
20
27.
5
4
A) ( y’)3 – x’=0 B) ( x’)3+ y’=0 C) ( x’)3 – y’=0 D) ( y’)3+ x’=0 E) ( y’)3+2 x’=0
5
45
Si F 1 y F 2 son los focos y C el el centro de la elipse, calcule el área de la región sombreada. ( x – 2)2 ( y – 1)2 + =1 9 4
Y
F 1
28.
F 2
C
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación dada en otra que no contenga términos de segundo grado, ni término independiente. y3+3 y2+ x+3 y+6=0
Si los ejes coordenados son trasladados a un nuevo origen, calcule sus coordenadas de modo que las ecuaciones dadas carezcan de término independiente. x – 2 y+3=0 (I) 2 x +2 x – 4 y – 3=0 (II)
X
A)
10
D)
6
B)
C)
5
E)
A) (3; 3) ∨ (– 3; 0) B) (3; 3) ∨ (3; 0) C) (– 3; 3) ∨ (– 3; 0) D) (3; – 3) ∨ (3; 0) E) (– 3; 3) ∨ (– 2; 0)
2 5 3 2
Transformación de coordenadas 29. 25.
Calcule la ecuación en el que la función ax+by+c=0 es transformada, si el origen es trasladado al punto
O ' bh bh;
c − ah − . b
A) 5 x2 – 24 xy+5 y2+72=0 B) 5 x2 – 20 xy+ y2+70=0 C) 5 x2 – 26 xy+5 y2+72=0 D) 4 x2+26 xy+5 y2+36=0 E) 9 x2+23 xy – 5 y2 – 72=0
A) ax’ – by’=0 B) bx’+ay’=0 C) bx’ – ay’=0 D) ax’+by’+c=0 E) ax’+by’=0 30. 26.
Mediante una traslación de ejes, transforme la
Por una rotación de 45º de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en 4( x’)2 – 9( y’)2=36. Calcule la ecuación original.
¿Qué tipo de cónica generada o degenerada representa la ecuación 9 x2 – 12 xy+7 y2+4=0?
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Trigonometría 31.
Elimine el término xy, en la ecuación x2 – xy=1. A)
2 x '
2
+
y'
2
=1
B) (1 − 2 ) x '2 + (1 + 2 ) y '2 C)
2 x '
D) (1 − E)
x '
2
+
3y '
)
3 x '
2 −
2y '
CLAVES
2
+
2
=
1
(1 +
2 =
3
=
)
3 y'
2
=
2
32.
Mediante una traslación y una rotación de ejes, reduzca la ecuación 5 x2+6 xy+5 y2 – 4 x+4 y – 4=0 A) ( x”)2+4( y”)2=4 B) 2( x”)2+( y”)2=4 C) 4( x”)2+( y”)2=4 D) ( x”)2+2( y”)2=4 E) 4( x”)2+3( y”)2=4
