Variable Aleatoria Discreta

LUIS J. CASTILLO VASQUEZ

VARIABLE VARIABLE ALEATORIA ALEATORIA DISCRETA DIS CRETA Introducción a las distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de frecue frecuenci ncias. as. Una distrib distribuc ución ión de frecue frecuenci ncias as teóric teórica a es una una distri distribuc bución ión de prob probab abililid idad ades es que que desc descri ribe be la form forma a en que que se

espera

que que varí varíen en los los

resultados. Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias  para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se lleva a cabo. Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas o en una estimación sub!etiva de la posibilidad. "e pueden basar tambi#n en la experiencia.

Tipos de distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas  discretas. $n la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. $n una una dist distri ribu buci ción ón de prob probab abililid idad ad cont contin inua ua,, la vari variab able le que que se está está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Las Las dist distri ribu buci cion ones es cont continu inuas as son son una una form forma a conv conven enie ient nte e de pres presen enta tar r distrib distribuc ucion iones es discre discretas tas que tienen tienen muchos muchos result resultado ados s posibl posibles, es, todos todos mu cercanos entre sí.

2


Variables aleatorias. Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. %uede ser discreta o continua. "i puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. $n el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua. "e puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores num#ricos correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible,  estas probabilidades deben sumar &.

Valor esperado de una variable aleatoria . $l valor esperado es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. %ara obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de presentación de ese valor  luego se suman esos productos. $s un promedio pesado de los resultados que se esperan en el futuro. $l valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a la frecuencia con que se espera se presente. $n consecuencia, las presentaciones más comunes tienen asignadas un peso maor que las menos comunes. $l valor esperado tambi#n puede ser obtenido a partir de estimaciones sub!etivas. $n ese caso, el valor esperado no es más que la representación de las convicciones personales acerca del resultado posible.

3


$n muchas situaciones, encontraremos que es más conveniente, en t#rminos de los cálculos que se deben hacer, representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. 'l hacer esto, podemos llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores num#ricos directamente en una fórmula algebraica.

Variables aleatorias discretas. "ean x&, x (,... x n los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria. ) p*x&+, p*x(+,... p*x n+ su probabilidades asociadas Los pares de valores *x i, p *xi++ constituen la distribución de probabilidades de la variable aleatoria. p*x+ se denomina función de probabilidad,  debe cumplir con las siguientes propiedades a) -  p *x!+  &,

*p*x+ es una probabilidad,  por lo tanto debe tomar

valores entre -  &+. b)

∑

p *xi+ / & *la suma de probabilidades repartidas entre todos los

valores de la variable debe ser igual a &+. De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas, podemos acumular

probabilidades,

obteniendo

la

función

de

distribución

de

probabilidades 0 *x1+ /

∑

p *xi+

$sta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un determinado valor 0 *x1+ / % *2  x1+ 3ráficamente, la función aumenta de 4a saltos4, a que entre dos valores consecutivos de una variable discreta, no puede tomar valores intermedios.

4


RESOLUCI! DE "ROBLE#AS &. Una ca!a contiene 5 tuercas defectuosas  5 no defectuosas. "e extraen ( tuercas aleatorias  sin repetición. a. 6allar la función de probabilidad de la variable aleatoria x numero de tuercas no defectuosas que se obtienen en la extracción. b. "u valor esperado  su varian7a c. $l coeficiente de variación

SOLUCI$! N = Nª de no defectuosos D= Nº de defectuosos SIN REPSI!I"N 5=D

5=N

# D→ 4

P $#%)

i

# $DD) = 0 → P$#=0) = P $DD) =

 4    = 10  9 

# $DN) = 1 →P$#=1) = P $DN) =

 5    = 10  9 

1&

# $ND) = 1 →P$#=1) = P $ND) =

 5    = 10  9 

5 1&

# $NN) =2 →P$#=2) = P $NN) =

 4    = 10  9 

2

5

2 9

9

D 5 5

9

5

N→

10

5

5

5

10

9

5

D→

N

5

5

9


4

9

N→

a'

(


#% P$#%)

0 29

1 59

2 29

b .ESPERANZA

 2   5   2  E$#) = ∑ x P$*) = 0   + 1   + 2   = 0 +  9   9   9 

5 9

+

4 9

=1

VARIANZA

,$*) = ∑ ( x − u ) 2 P$*) = E$*2) - [ E( * ) ] 2

 2   5   2  E$*2) = ∑ x 2 P$*) = 0   + 1   + 4   =  9   9   9  ,$*) = σ

=

13 9

V $ x )

13 9

- $1)2 = 1'44 - 1 = 0'44 = 0'((332495&

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

!',' .=

σ

(100) =

µ

V $ x ) E $ x )

=(

0'((332495& 1

)100

!',' .= (('33 . (. Dos bolas son seleccionadas al a7ar con repetición de una urna que contiene 8 bolas blancas, 9 negras  ( naran!as. "upongamos que ganamos :. ( por cada bola negra seleccionada  perdemos :. & por cada bola blanca seleccionada. "ea x la variable aleatoria que denota nuestras ganancias. ;
NN!I NER = 2 67N! = 81 & b/anca

4 nea

2 oa




&

6/anca

14

4

6/anca 2

/

 &    14  14 

@(

% *>lanca? negra+

/

 4    14  14 

&

% *>lanca? Aaran!a+ / % *Aegra? >lanca+

Naana

#%

P *>lanca? >lanca+

14 Nea

14

P $#%)

/

&

&

 2    14  14  4  &    14  14  &

@&

&

&

14

6/anca &

4

14

4

14 Nea 2

2

/

 4    14  14 

9

/

 2    14  14 

(

% *Aaran!a? >lanca+ /

 &    14  14 

@&

% *Aaran!a? Aegra+ /

 4    14  14 

(

% *Aegra? Aegra+

% *Aegra? Aaran!a+ 14 Nea

14

Naana

14

6/anca &

14

4

Naana 2

% *Aaran!a? Aaran!a+ /

4

4

2

2

 2    14  14  2

-

14 Nea

14

Naana ESPERANZA

 (4  − 1 32  + 0 4  + 1 (4  + 2 1(  + 4 1(             E$*) = ∑ x P$*) = − 2  19(   19(   19(   19(   19(   19(  − 12& 32 (4 32 (4 − +0+ + + =0 E$*) = 19(

19(

19(

19(

19(

VARIANZA

,$*) = ∑ $ x − u ) 2 P$*) = E $*2) - [ E( * ) ] 2

 (4  + 1 32  + 0 4  + 1 (4  + 4 1(  + 1( 1(             E$*2) = ∑ x 2 P$*) = 4  19(   19(   19(   19(   19(   19(  E$*2) =

25( 19(

+

32 19(

+0+

(4 19(

+

(4 19(

+

25( 19(

=

3( 19(

= 3'55

,$*) = 3'55 - 0 = 3'55 &


DESVIACIÒN ESTANDAR

=

V $ x)

= 1'93&23&

COEFICIENTE DE VARIACIÓN σ

!, = B.

V $ x )

(100) =

µ

E $ x )

= α

Cres dados son lan7ados. "uponiendo que cada uno de los ( 3 = 21( posibles resultados son igualmente probables a+ encontrar la probabilidad asignada a los posibles valores que toma x, donde x es la suma de los puntos obtenidos en los B dados. b+ $ncontrar su valor esperado  su varian7a c+ $ncontrar el
3

4

5

(



&

4

5

(



&

9

5

(



&

9

10

(



&

9

10

11



&

9

10

11

12

&

9

10

11

12

13

 &&



&

9

10

11

&

9

10

11

12

9

10

11

12

13

11

12

13

14

12

13

14

15

13

14

15

1(

9& 10 109 11 10 11 12

4

5

(



&

9



&

9

10

11

12

5

(



&

9

10

&

9

10

11

12

13

(



&

9

10

11

9

10

11

12

13

14



&

9

10

11

12

10

11

12

13

14

15

&

9

10

11

12

13

11

12

13

14

15

1(

9

10

11

12

13

14

12

13

14

15

1(

1

5

(



&

9

10

&

9

10

11

12

13

(



&

9

10

11

9

10

11

12

13

14



&

9

10

11

12

10

11

12

13

14

15

&

9

10

11

12

13

11

12

13

14

15

1(

9

10

11

12

13

14

12

13

14

15

1(

1

10

11

10

13

14

15

13

14

15

1(

1

1&

9


a+ %or lo tanto su función de probabilidad es

#% = S:; DE 7S
3

4

5

(



&

9

10

11

12

13

14

15

1(

1

1&

1

3

(

10

15

21

25

2

2

25

21

15

10

(

21( 1

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

21(

b) ESPERANZA 3

E$*) = ∑ x P$*) =

21(

210 21(

E$*) =

22(& 21(

12

+

21(

150

+

21(

+

30 21(

9( 21(

+

+

(0 21(

51 21(

+

105

+

1&

21(

+

1(& 21(

+

225 21(

+

20 21(

+

29 21(

+

300 21(

+

23 21(

+

21(

= 10'5

E$*2) = ∑ x 2 P$*) =

9 21(

+

32( 21(

E$ *2) =

+

2504 21(

4& 21(

+

+

150

3(99 21(

21(

+

+

3(0 21(

3549 21(

+

+

35 21(

2940 21(

+

+

1344 21(

2250 21(

+

+

2025 21(

153( 21(

+

+

200 21(

&( 21(

+

324 21(

= 119

VARIANZA

,$*) = ∑ $ x − u ) 2 P$*) = E$*2) - [ E( * ) ] 2 ,$*) = 119 - $10'5) 2 = &'5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR σ

=

V $ x )

= 2'95&039&92

10


COEFICIENTE DE VARIACIÓN

S

!, =

X

(100 ) =

V $ x ) E $ x )

(100 ) = 2& '1 .

9. Una mu!er tiene 8 llaves de un llavero de los cuales, exactamente uno abre a cerradura de la puerta d su casa. $lla prueba las llaves una en cada ve7, escogiendo al a7ar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido experimentada. "ea x la variable aleatoria que denota el numero x.

SOLUCI! 8 claves

( & ")(* &F8 Esperan%a&

una abre la puerta de la cerradura

(

B

9

5

H

I

8

&F8

&F8

&F8

&F8

&F8

&F8

&F8

$*x+/E x %*x+/& *&F8+G ( *&F8+GB *&F8+G 9 *&F8+G5 *&F8+GH *&F8+GI *&F8+G8*&F8+

$*x+/

1

2

3

4

5

(



&

&

&

&

&

&

&

&

&

3(

= 4'5

$*x+/ + + + + + + +

&

Varian%a *x+/E *x@u+ %*x+/$ * x 2 +@ [ E $ x ) ]

2

$ * x 2 +/E x 2 %*x+/ & *&F8+G9 *&F8+GJ *&F8+G&H *&F8+G(5 *&F8+GBH *&F8+G 9J *&F8+GH9 *&F8+ 1

4

&

&

$ * x 2 +/ +

9

1(

&

&

+ +

+

25 &

+

3( &

+

49 &

+

(4 &

= 25'5

*x+/(5.5@ ( 4'5) 2 /(5.5 @ (-.(5/5.(5 σ

=

V $ x )

= 2'2912&&

Coe'iciente de Variación </

S X

× 100 =

V $ X ) E $ X )

$100)

= 50'92 K

11


5. Una urna contiene 8 bolas, de las cuales B son ro!as. 3raficar  comparar las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias x numero de bolas ro!as que se obtienen al extraer ( bolas sin reempla7o,  2 numero de bolas A ro!as que se obtienen al extraer ( bolas con reempla7o.

Sin ree+pla%o

Es>ac%o ?uesta/ 2

Roa

Roa

3&

5



3 5&

(

0

5(

 3  5 15 P $Roa@  ) =   =  &   5(  5  3 15 P $@ Roa ) =   =  &   5(

P $@ ) 4

 3  2 P $Roa@ Roa) =   =  &  

1 1

Roa



xi

#



 5  4 =   =  &  

-

&

(

%* x i +

HF5H

B-F5H

(-F5H

0*x i +

HF5H

BHF5H

5HF5H

20

2

5(

Esperan%a  (  + 1 30  + 2 20  = 0 + 30 + 40 = (0      5( 5( 5(  5(   5(   5( 

$*x+/E x %*x+/ 0 $*x+/ &.-I9

Varian%a *x+/E *x@u+ %*x+/$ * x 2 +@ [ E $ x ) ]

2

 (  + 1 30  + 4 20  = 0 + 30 + &0 = 120      5( 5( 5(  5(   5(   5( 

$ * x 2 +/E x 2 %*x+/ 0 $ * x 2 +/(.&9B

*x+/ $ * x 2 +@ [ E $ x ) ] /(.&9B@1'04 2 / -.J8J5(9 2

σ

=

V $ x )

= 0'994

12



σ µ

× 100 =

V $ X ) E $ X )

$100 )

=

0'994 . / J(.H(K 1'04

Con ree+pla%o 3&

Roa

Roa

3&

5& 3&

5&

 Roa

Es>ac%o ?uesta/

#

9  3  3 P $Roa@ Roa)=   = 2  &  & (4  3  5 15 P $Roa@  ) =   = 1  &  & (4 15  5  3 P $@ Roa) =   = 1 (4  &  & 25  5  5 P $ @  ) =   = 0 (4  &  &

 5&



xi

-

&

(

%*x i +

JFH9

B-FH9

(5FH9

0* xi +

JFH9

BJFH9

H9FH9

Esperan%a  9  + 1 30  + 2 25  = 0 + 30 + 1& = 0'5      (4 (4  (4   (4   (4 

$*x+/E x %*x+/ 0

Varian%a *x+/E *x@u+ %*x+/$ * x 2 +@ [ E $ x ) ] 2

 9  + 1 30  + 4 25  = 0 + 30 + 100      / (4 (4  (4   (4   (4 

$ * x 2 +/E x 2 %*x+/ 0

130 (4

= 2'03125

$ * x 2 +/(.-B&(5 *x+/ $ * x 2 +@ [ E $ x ) ] 2 /(.-B&(5@ ( 0'5) 2 /&.9H88 σ

=

V $ x )

= 1'2119

13



σ µ

× 100 =

V $ X ) E $ X )

$100)

= &2'51 K

H. Un capata7 de una planta manufacturada tiene 5 hombres  B mu!eres traba!ando en el. $l capata7 desea seleccionar 9 traba!adores para un traba!o especial. Deseando no tener influencia en la sección

de los

traba!adores, el decide seleccionar al a7ar 9 traba!adores. "ea ) el numero de hombres en el grupo. 6allar la tabla de distribución de probabilidad de .

SOLUCI! $l capata7 puede seleccionar 9 traba!adores de 8 de $spacio muestral

( ) = 30 maneras. $l & 4

Ω asociado a este experimento contiene I- puntos

Mu#strales, cada uno con igual probabilidad de ocurrencia esto es

% [ wi ] =

1 0

@i

= 1@2@''''@0

%ara todo evento simple

wi

∈Ω

$l rango de la variable aleatoria ) es N / *&, (, B,9+ $l numero de maneras de seleccionar 9 personas de 8 de modo que en el grupo haa & hombre  B mu!eres es

l

P [Y

= 1] =

5 1

3 3

=

0

5 0

2 =

( )( ) =

O P [Y = 3] =

( )( ) =

[

P Y =

[

P Y =

]

5 2

3 2

0

5 3

3 1

0

=

1 14

3  3 

)( ) = 1 ] ( 0 14

4 =

5 4

3 0

$n general, la de distribución de probabilidad de ) es

( )( ) @ Y = 1@2@3@4 P [ Y ] = P [Y = Y ] = ( ) 5

Y

3 4−Y & 4

%or tanto la tabla de distribución de probabilidad de ) es

14


I.

)

&

(

B

9

%*)+

&F&I

HF&9

HF&9

HF&9

6allar la distribución de probabilidad en la variable aleatoria x, definida como el número de caras que se obtienen al arro!ar 5 monedas.

SOLUCI!& Cenemos x numero de caras que se obtiene al arro!ar 5 monedas.

8

el valor de la variable aleatoria x, esto es, puede ser cualquiera de los enteros -, &, (, B, 9 o 5, en consecuencia el rango de x es Nx / P-, &, (, B, 9,5Q

8

el espacio muestral asociado a este experimento tiene ( 5 /B( elementos, luego el denominador para todas las probabilidades, por lo tanto para nuestra función de probabilidad, será B(. %ara calcular el numero de formas de obtener, digamos B caras necesitamos el numero de formas de separar 5 resultados en ( celdas con B caras u ( sellos asignados a la otra. $sto puede hacerse de ( ) 5 3

sellos pueden ocurrir

= 10 manera.

$n general, x caras  5@x

( ) formas, donde x puede tomar valores del -, &, 5

x

(, B, 9,5. 'sí la función de probabilidad es dada por 5

%*x+/%*2/x+/

8

32

@ x

= 0@1@2@3@4@5

la tabla de distribución de esta probabilidad de esta función es

2 %*x+/ %*2/x+

8

x

&FB(

& 5FB(

( &-FB(

B &-FB(

9 5FB(

5 &FB(

$l diagrama de barras de esta distribución, se muestra en la siguiente figura

8

De los pasos anteriores tenemos a+ p $ x ) > 0A ∀ x ∈ Rx 5

b+

1

5

10

10

5

1

∑ p$ x) = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 1 x = 0

15


P$*)

12

1032 532 132 1

2

3

4

5

#

8. $n el lan7amiento simultáneo de dos dados legales consideremos las siguientes variables aleatorias 2 numero de puntos obtenidos en el primer dado ) numero de puntos obtenidos en el segundo dado a+
R/2@)

ii.

'/()

iii.

S/2@)

iv.

>/ máximoPx, Q

b+ esbo7ar su grafica respectiva. c+ 'plicando las propiedades de la función de distribución acumulada, calcular las siguientes probabilidades. i.

%P@BRBQ

ii.

%P- W

iii.

%P'THQ

iv.

%PS

v.

%P& ≤ B < 4B

≤ ≤ 4'5B ≤ 5'5B

1(


vi.

%P(- ≤ Z ≤ 35B

vii.

%P@&'8Q

SOLUCI!& a+ .

 %*+

@5 &FBH

a %*a+

7 %*7+

& &FBH

&8 (FBH

b %*b+

@9 (FBH

@B BFBH

@( 9FBH

@& 5FBH

HFBH

& 5FBH

( 9FBH

B BFBH

9 (FBH

5 &FBH

(

9

H

8

&-

&(

&FH

&FH

&FH

&FH

&FH

&FH

( (FBH

B (FBH

9 BFBH

((FBH

& &FBH

5 (FBH

H 9FBH

(9 (FBH

( BFBH

8 (FBH

J &FBH

(5 &FBH

B 5FBH

&(FBH

&( 9FBH

B(FBH

9 IFBH

5 JFBH

&5 (FBH

&H &FBH

BH &FBH

H &&FBH

i. "egún la definición H la función de distribución acumulada de  es

1


0@ si C w < −5 1  3(@ si C −5 ≤ w < −4  3  3(@ si C −4 ≤ − w < −3 (  3(@ si C −3 ≤ − w < −2  10  3(@ si C −2 ≤ − w < −1  15  3(@ si C −1 ≤ − w < 0 0 *+/% [W ≤ w] =  21  3(@ si C 0 ≤ − w < 1 2(  3(@ si C 1 ≤ − w < 2  30  3(@ si C 2 ≤ − w < 3 33  3(@ @ si C 3 ≤ − w < 4  35  3(@ si C 4 ≤ − w < 5 1@ si C w ≥ −5  ii. La función de distribución acumulada de la variable aleatoria > es

0@ si C b = 1 1 ) 3(@ si C 1 ≤ b < 2  4 ) 3(@ si C 2 ≤ b < 3  0 *b+/% [ B ≤ b] = 9 ) 3(@ si C 3 ≤ b < 4 1( ) 3(@ si C 4 ≤ b < 5  25 ) 3(@ si C 5 ≤ b < ( 1@ si C b ≥ (  J. Una urna V contiene 5 bolas blancas  ( negras? la urna VV contiene B bolas blancas  ( negras? la VVV contiene ( bolas blancas  B negras .$xtraemos una bola de cada urna  sea 2 el número de bolas blancas extraídas. a+ Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria 2 b+ Determine la función de distribución acumulada de 2  trace su gráfica.

SOLUCI!& a+ Cenemos 2 numero de bolas blancas extraídas, luego el rango de 2 es Nx/ P-, &, (,BQ "ean los eventos >&, >( ) >B btener bola blanca en la primera urna, segunda urna  Cercera urna, respectivamente. A&,A() AB btener bola negra en la primera urna, segunda urna  Cercera urna, respectivamente.

1&


"egún las condiciones del problema, se tiene %W>&X / 5FI ,%W>(X / BF5 , %W>BX / (F5 %WA&X / (FI, %WA(X / (F5 , %WABX / BF5 %or ser independientes los colores que se obtienen al seleccionar una bola en cada una de las urnas, tenemos %W2/-X / %WA&X %WA(X %WABX / &(F&I5 %W2/&X / %W>&X %WA(X %WABX G %W>(X %WA&X %WABX G %W>BX %WA&X %WA(X / *5FI+ *(F5+ *BF5+ G *BF5+ *(FI+ *BF5+ G *(F5+ *(FI+ *(F5+ / 5HF&I5 %W2/(X / %W>&X %W>(X %WABX G %W>&X %WA(X %W>BX G %WA&X %W>(X %W>BX / *5FI+ *BF5+ *BF5+ G *5FI+ *(F5+ *(F5+ G *(FI+ *BF5+ *(F5+ / IIF&I5 % W2/BX / % W>&X % W>(X % W>BX / *5FI+ *BF5+ *(F5+ / B-F&I5 %or tanto, la tabla de distribución de probabilidad de 2 es 2 %*x+/ %W2/xX

&(F&I5

& 5HF&I5

( IIF&I5

B B-F&I5

b+ La función de distribución acumulada de esta variable aleatoria es

0*x+ / % W2

≤ xX /

0@ six < 0 12 ) 15@ si0 ≤ x < 1   (& ) 15@ si ≤ x < 2 145 ) 15@ six ≥ 3

) su grafica se muestra en la figura

19


E,ERCICIOS "RO"UESTOS& "i p es la probabilidad de #xito de un suceso en un solo ensao, el numero esperado se sucesos o la esperan7a o la esperan7a de este suceso en n ensaos, estará dado por el producto de n  la probabilidad de #xito.

$/np

&. $n el lan7amiento J-- veces de dos dados. ;
$stable7ca el espacio muestral de los acontecimientos

b+

Determine la probabilidad de que la cara superior del lapi7a ro!a sea & o B, mientras que la de verde sea ( o 9.

c+

;
d+ ;Yu# la suma de sus caras sea un numero par= H. Cres corredores ', > ) < compiten entre ellos frecuentemente, han ganado el H-, el B-  el &- por &-- de las competiciones respectivamente. $n la próxima carrera a+

;
b+

;Yu# valores podríamos asignar a los puntos muestrales=

c+

;
I. Despu#s de un extenso estudio los archivos de una compaZía de seguros revelan que la población de un país cualquiera puede clasificarse, según sus edades, como sigue un B5 por ciento menores de (- aZos, un (5 por ciento entre (&  B5 aZos, un (- por ciento entre BH  5- aZos, un &5 por ciento entre 5&  H5 aZos  un 5 por ciento maores de H5 aZos. "uponga

20


que se quiere elegir un individuo de Cal manera que cualquier habitante del país supuesto tiene la misma posibilidad

de ser elegido. $mpleando la

anterior información, describir el espacio muestral para la edad del individuo elegido  asignar valores a los puntos muestrales. ;

b+

;Yu# valores podríamos asignar a los puntos muestrales=

c+

;
blanca, ro!a o a7ul= J.

"uponga que al observatorio meteorológico clasifica cada día según las condiciones de cómo ventoso o en calma, según la cantidad de lluvia caída, en húmedo o seco  según la rotura como caluroso normal o frió. ;Yu# espacio muestral es necesario para caracteri7ar= ;Yu# valores podríamos asignar a los puntos muestrales=

&-.Un

dispositivo

esta

compuesto

de

tres

elementos

que

traba!an

independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en una prueba es igual a -.&. 'nali7ar la variable aleatoria x numero de elementos que fallan en una prueba. &&.
1 2

,

5 3(

,

5 3(

,

5 &4

,

5 &4

,

5 252

,

5 252

, -, -, -,-

&(.@Un dispositivo esta compuesto de tres elementos que traba!an inde@ pendientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en una

21


%rueba es igual a -.&. 'nali7ar la variable aleatoria 2 numero de $lementos que fallan en una prueba N. 2 p*x+

*-.J+B

& B*-.&+*-.J+(

( B*-.&+(*-.J+

B *-.&+B

&B.@"ea 2 la variable aleatoria que denota la diferencia entre el numero de caras  el numero de sellos obtenidos cuando una moneda es Lan7ada n veces. ;.
&FI-

& &HFI-

( BHFI-

B &HFI-

9 &FI-

&5.@ %ara que valor de existe una constante < para el cual

Cx − a@ x = 1@2@'''' %*x+ /  0@ enotrocaso $s función de cuantía de una variable aleatoria 2= &H.@ ;%ara que valores de < la función p*x+ define una función de
22


N. x %*x+

& &F8

( &F8

B &F8

9 &F8

5 &F8

H &F8

I &F8

8 &F8

23

Variable Aleatoria Discreta

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