Resumen de las ideas clave
En este artículo vamos a presentar las características básicas de la distribución binomial y sus posibles aplicaciones prácticas con la finalidad de suministrar una especie de catálogo al que acudir para determinar un modelo de probabilidad para describir el comportamiento de una variable real. 1. Guía introductoria La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos si la variable es una variable aleatoria discreta, es decir, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste, sólo puede ser de éxito o fracaso. Por ejemplo, en la producción de una pieza, ésta puede salir buena o defectuosa. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial. La estructura de este objeto de aprendizaje es como sigue: en primer lugar se presentan los objetivos que se desean consigan los alumnos; a continuación se trabaja la definición y características de la distribución binomial, haciendo especial relevancia en como identificarla y diferenciarla de otras distribuciones discretas y se resuelven algunos ejemplos prácticos para ayudar a su comprensión. Finalmente, en el Cierre, se destacan los conceptos básicos de aprendizaje con respecto a la distribución binomial y sus aplicaciones prácticas.
Objetivos
• Identificar las propiedades de una distribución binomial, así como sus parámetros
característicos, esperanza y varianza. • Determinar los valores de p y fracasos q para establecer las bases para el cómputo de
las probabilidades en la distribución binomial. . Definición y características de la distribución binomial
Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características: 1. El experimento consiste en n intentos idénticos. 2. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, S, y el otro se llama fracaso, F. 3. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a (1 - p) = q. 4. Los intentos son independientes. 5. Estamos interesados en x, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x = 0, 1, 2 ,…, n. Definición formal Su notación es X ~ B (n, p).
Sean X: Variable aleatoria discreta cuyo valor representa la cantidad de ensayos considerados “éxito” en una serie de n ensayos realizados. K = 0, 1, 2, ..., n P: valor de
valores que puede tomar X
probabilidad de que cada resultado sea
Entonces, la distribución de probabilidad de X es:
“éxito“
1−, ⩝ ∈0,1,2,…,}
Demostración distribución Binomial Calculemos su función de probabilidad puntual. Para ello, observemos en primer lugar que RX = {0,1,2,...,n}. Sea k ∈ R X , una secuencia posible con k éxitos y n-k fracasos es:
y su probabilidad, dada la independencia de las repeticiones, es pk (1− p)n−k . Pero, hay
( )
secuencias posibles conteniendo k éxitos, entonces
1−, ⩝ ∈0,1,2,…,}
∑= 1 1− +1 1 1 = =
Evaluamos la siguiente propiedad
, comprobamos:
+ = −
Se usó la fórmula del Binomio de Newton :
Distribución de probabilidad binomial acumulada
Sea X: Variable aleatoria discreta con distribución binomial con parámetros n, p Entonces, la distribución de probabilidad acumulada de F de X es:
1−, ≥0 ≤
; < − ; = ; >
Media y varianza de la distribución Binomial
Sea X: variable aleatoria discreta con distribución binomial con parámetros n, p. Entonces: µ = E(X) = np
Media de X
σ2 = V(X) = np(1 – p)
Varianza de X
Demostración Media
Demostración Varianza
La demostración anterior sea válida debe ser n ≥ 2, pero es inmediato verificar que, si n=1, E ( X 2 ) = p y por lo tanto la expresión hallada es válida para todo n. Finalmente,
El cálculo de la probabilidad de la distribución binomial, requiere la utilización de los números combinatorios, y aunque existe una tabla que proporciona los valores de probabilidad para diferentes valores de n y p, a veces el proceso se hace bastante tediosa, especialmente cuando es necesario calcular probabilidades acumuladas. Por ejemplo, p(X ≥ 3) = 1 − p(X <3) = 1 − p(X ≤ 2) = 1 − (p(X = 0)+p(X = 1)+p(X = 2))
‐
En esas ocasiones, siempre que se cumpla np(1 p) ≥9, podemos aproximar la distribución binomial a una distribución normal.
Uso de tablas Propuesta en el libro de Medenhall ¿Cómo utilizo la tabla 1 para calcular probabilidades binomiales? 1. Encuentre los valores necesarios de n y p. Aísle la columna apropiada de la tabla 1. 2. La tabla 1 da P ( X = k ) en la fi la marcada k . Reescriba la probabilidad que necesite para que esté en esta forma. • Haga una lista de los valores de x en su evento. • De la lista, escriba el evento como la diferencia de dos probabilidades: P ( X ≤ a) - P ( x ≤ b)
para
>
o el complemento del evento: 1 - P ( X ≤ a) o sólo el evento en sí: P ( X ≤ a) o P ( x < a) = P ( X ≤ a - 1)
La tabla 5.1 muestra parte de la tabla 1 para n = 5 y p = 0.6. Si se muestra en el renglón marcado k = 3, se encuentra P ( x ≤ 3) = 0.663
Sin esa tabla tocaría hacer el cálculo de la siguiente manera:
1−, ⩝ ∈0,1,2,…,} P ( x ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
3 ()
(0.6)0(0.4)5 -0 +
() () 3 (0.6)1(0.4)5 - 1 +
(0.6)2(0.4)5 – 2 +
()
(0.6)3(0.4)5 – 3
0.663
Software
A continuación se nombran los siguientes softwares que nos pueden ayudaran a calcular la distribución binomial:
1.
SPSS es
un programa estadístico informático muy usado en las ciencias exactas, sociales y aplicadas, además de las empresas de investigación de mercado. El nombre originario correspondía al acrónimo de Statistical Package for the Social Sciences (SPSS), reflejando la orientación a su mercado original, aunque este programa es también muy utilizado en otros campos como las ciencias sociales y la mercadotecnia.
El cálculo de probabilidades en SPSS se hace a través de la calculadora del programa. SPSS ofrece la posibilidad de calcular valores de las funciones de densidad así como valores acumulados de la función de distribución. Para la función Binomial en concreto, utilizaremos las siguientes funciones:
CDF.BINOM(cant, n, prob). Devuelve la probabilidad acumulada de que el número de éxitos en los n intentos, con una probabilidad de éxito prob para cada uno, sea menor o igual que la cantidad cant .
PDF.BINOM(cant, n, prob). n
Devuelve la probabilidad de que el número de éxitos en
ensayos, con probabilidad de éxito prob en cada uno de ellos, sea igual a cant . Fuente:https://es.wikipedia.org/wiki/SPSS 2.
Microsoft Excel es una aplicación de
hojas de cálculo que forma parte de la suite de
oficina Microsoft Office. Es una aplicación utilizada en tareas financieras y contables, con fórmulas, gráficos y un lenguaje de programación. Distribucion Binomial n
P ( x; n; p ) p x (1 p) n x
p
Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria discreta siguiendo una distribución binomial. Sintaxis DISTR.BINOM(núm_éxito; ensayos; prob_éxito; acumulado)
Núm_éxito
Ensayos
Prob_éxito
Obligatorio. El número de éxitos en los ensayos.
Obligatorio. El número de ensayos independientes. Obligatorio. La probabilidad de éxito en cada ensayo.
Obligatorio. Un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la función de distribución acumulativa, que es la probabilidad de que exista el máximo número de éxitos; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad, que es la probabilidad de que un evento se reproduzca un número de veces igual al argumento núm_éxito. Acumulado
Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel Ayudas de paquete Excel
Aplicaciones 1. Probar la efectividad de un medicamento . Se probó un régimen formado por una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad para prevenir el resfriado común. Diez personas que estuvieron siguiendo el régimen prescrito fueron observadas durante un año. Ocho pasaron el invierno sin un resfriado. Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin un resfriado es 0.5 cuando no se sigue el régimen de vitamina C. ¿Cuál es la probabilidad de observar ocho o más sobrevivientes, dado que el régimen es ineficiente para aumentar la resistencia a resfriados?
Respuesta.
Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 10:
Cantidad de ensayos (independientes)
. . .
Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” Probabilidad que cada ensayo sea “fracaso”
X: Cantidad de personas que sobreviven de un resfriado k = 0, 1, 2, …, 10
() () ≥8 8 +9+10 ≥8 () () ()
p( x ) =
()
Valores que puede tomar X
(.5)k (.5)10 – k = p( x ) =
(.5)k – k + 10 = p( x ) =
(.5)10
Es un problema cuyo modelo es probabilidad binomial. Sustituyendo los datos: 1. Calculo normal:
(0.5)10 +
(0.5)10 +
(0.5)10 = 0.055
2. Usando las tablas binomiales acumulativas: Encuentre la columna correspondiente a p = 0.5 en la tabla para n = 10: P ( ) = 1 - P ( x ≤ 7) = 1 - 0.945 = 0.055
≥8
2. Juego de baloncesto. En un tiempo largo, se ha observado que un jugador
profesional de baloncesto puede hacer un tiro libre en un intento determinado con probabilidad igual a 0.8. Suponga que él lanza cuatro tiros libres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente dos tiros libres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste al menos un tiro libre? c) Calcule su media d) Calcule su varianza Respuesta.
Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 4:
Cantidad de ensayos (independientes)
. . .
Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” Probabilidad que cada ensayo sea “fracaso”
X: Cantidad de veces que encesta tiros x = 0, 1, 2, 3, 4
libres
Valores que puede tomar X
Es un problema cuyo modelo es probabilidad binomial. Sustituyendo los datos: a)
b)
2 2 ()0.80.2−,0,1,2,…,4 2 0.1536 ≥1 1 0 1 (40)0.800.240 ≥1 0.9984
P (al menos uno)
c) Media µ = E(X) = np = 4(0.8) = 3.2 d) Varianza σ2 = V(X) = np(1 – p) = 4 (0.8)(1 – 0.8) = 0.64
3. Sistemas de seguridad El sistema de seguridad de una casa está
diseñado para tener un 99% de confiabilidad. Suponga que nueve casas equipadas con este sistema experimentan un intento de robo. Encuentre las probabilidades de estos eventos: a) Al menos una de las alarmas se activó. b) Más de siete de las alarmas se activaron. c) Ocho o menos alarmas se activaron? Respuesta.
Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 9:
Cantidad de ensayos (independientes)
. . .
Probabilidad que cada ensayo sea “éxito”
X: Cantidad de veces que se k = 0, 1, 2,.., 9
Probabilidad que cada ensayo sea “fracaso”
activa la alarma
Valores que puede tomar X
Es un problema cuyo modelo es probabilidad binomial. Sustituyendo los datos: a)
≥1 1 0 1 (90)0.9900.0190
≥1 1.0000 >7 8 + 9 >7 () () <8 1 9 1 (99)0.9990.0199 <8 0.08648
P (al menos uno)
b) Calculo normal: P ( más de 7)
(0.998) (0.01)9 – 8 +
c)
P ( menos de 8)
(0.999)(0.01)9 - 9 = 0.9965
Suponga que 10% de los campos en una región agrícola determinada están infestados con la mosca blanca de la remolacha. Se seleccionan 100 campos de esta región y se inspeccionan para ver si están infestados. a) ¿Cuál es el número promedio de campos muestreados que están infestados de la mosca blanca? 4. Infestación de la mosca blanca
b) ¿Qué podría usted concluir si encuentra que x = 25 campos estuvieran infestados? ¿Es
posible que una de las características de un experimento binomial no se satisfaga en este experimento? Explique. Respuesta.
Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 100:
Cantidad de ensayos (independientes)
. . .
Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” Probabilidad que cada ensayo sea “fracaso”
X: Cantidad de campos infestados con la mosca blanca de k = 0, 1, 2, …, 100
la remolacha
Valores que puede tomar X
Es un problema cuyo modelo es probabilidad binomial. Sustituyendo los datos: a) Media µ = E(X) = np = 100(0.1) = 10 b)
Si este improbable valor se observara en realidad, podría ser posible que los intentos (campos) no sean independientes.
Unos registros muestran que 30% de todos los pacientes ingresados en una clínica médica no pagan sus cuentas y que, en última instancia, esas cuentas son olvidadas. Suponga que n = 4 nuevos paciente representan una selección aleatoria de entre un gran conjunto de prospectos de pacientes atendidos por la clínica. Encuentre estas probabilidades: 5. Cuentas del médico
a) b) c)
Las cuentas de todos los pacientes tendrán finalmente que olvidarse. Una tendrá que olvidarse. Ninguna tendrá que olvidarse.
Respuesta.
Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 4:
Cantidad de ensayos (independientes)
. . .
Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” Probabilidad que cada ensayo sea “fracaso”
X: Cantidad de cuentas tendrá que olvidarse. k = 0, 1, 2, 3, 4
Valores que puede tomar X
Cálculos aplicando formulas de la distribución binomial
a)
P (X = 4)
b)
P (X = 1)
c)
P (X = 0)
(44)0.340.744 0,0081 (41)0.310.741 0,4116 (40)0.300.740 0,2401
Usando Microsoft Excel:
=DISTR.BINOM(n;k;p;FALSO)
P(Xi=k)
x
con 'FALSO'
P(Xi<=k) con ' VERDADERO'
Probabilidad
Acumulado
0
0,2401
0,2401
1
0,4116
0,6517
2
0,2646
0,9163
3 4
0,0756 0,0081
0,9919 1,0000
Graficas de la Distribución Binomial de la aplicación Cuentas de médico
Distribución Binomial 0.4500
0.4116
0.4000 0.3500 0.3000 ) x 0.2500 = i x ( 0.2000 P
0.2646
0.2401
0.1500 0.0756
0.1000 0.0500
0.0081
0.0000 0
1
2
3
4
X
Distribución Binomial Acumulada 1.2000 0.9163
1.0000 ) x 0.8000 = < i 0.6000 x ( P0.4000
0.9919
1.0000
3
4
0.6517 0.2401
0.2000 0.0000 0
1
2 Eje X
