Probabilidad y Estadística
VARIABLES ALEATORIAS Un campo de la estadística se dedica a la realización de inferencias acerca de las poblaciones poblaciones y sus característic características. as. Los resultados resultados de los experimentos experimentos que se llevan a cabo están sujetos a la casualidad.
Experiment Experimento o Estadístico Estadístico es el término que se utiliza para describir cualquier proce proceso so medi mediant ante e el cual se gene genera ran n vari varias as obser observa vaci cion ones es al azar. azar. on on frecuencia frecuencia es muy importante asignarle asignarle al resultado una descripción descripción numérica. !l conjunto formado por los diferentes resultados del experimento se le denomina !spacio "uestral. Los experimentos aleatorios originan resultados y estos resultados nos permiten tomar tomar decision decisiones. es. Los diferent diferentes es resultad resultados os se les llama llama sucesos sucesos## evento eventoss o puntos muestrales. $%ora# a cada uno de los sucesos# eventos o puntos muestrales de un espacio muestral en un experimento# se le puede asignar o asociar un valor numérico# que son# son# por por supu supuest esto# o# canti cantida dades des alea aleato tori rias as dete determ rmin inada adass por por el resul resulta tado do del del experimento# experimento# los cuales cuales no se puede predecir predecir con anterioridad anterioridad a su ejecución# ejecución# y por este motivo son llamados aleatorios. &or lo tanto# un mismo experimento se puede llevar a cabo para tomar distintas decisiones# pero a pesar de que el propósito sea distinto cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio# éste no cambia su comportamiento por el simple %ec%o de que los propósitos cambien. ' sea# una cosa son los distintos resultados de un experimento (espacio muestral) y otra son los propósitos que perseguimos cuando realizamos el experimento. Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. !s decir# una variable aleatoria, es una función que asocia un n*mero real a cada elemento elemento del espacio muestral. muestral. + estos valores valores pueden considerarse considerarse como como los valores que asume la variable aleatoria. ,e utilizará una letra may*scula# por ejemplo una X# para designar una variable aleatoria y su correspondiente letra min*scula# x en este caso# para uno de sus valores.
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!l papel fundamental de una -ariable $leatoria es el de sealarnos cuál es el atributo de interés tomado en cuenta al estudiar una población objetivo dada. /o %ay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. &or tanto# una variable cuyos valores numéricos quedan determinados por los resultados de un experimento# se llama VARIABLE ALEATORIA.
Ejemplo Los si!ientes son ejemplos de -$01$2L!, $L!$3'01$,.
!l n*mero de caras obtenidas al lanzar 4 veces una moneda (valores5 6# 7# 8# 9# :# ;# 4) !l n*mero de llamadas que recibe un conmutador en una %ora determinada 3iempo que esperan los clientes para pagar en la caja de un supermercado !l n*mero de puntos que muestra la cara superior de un dado !l n*mero de clientes que llegan en una %ora a un banco en solicitud de servicios La estatura de las &ersonas !l tiempo que tarda cierto medicamento en %acer efecto !l n*mero de accidentes en cierta vía en un tiempo tiempo dado# etc.
Las variables aleatorias pueden ser DISCRETAS DISCRETAS O CONTINUAS:
DISCRETAS 5 el conjunto de posibles valores es numerable. ,uelen estar asociadas a experimentos en que se mide el n*mero de veces que sucede algo. !s decir# una VARIABLE ALEATORIA "I#$RETA# es aquella que sólo puede toma tomarr algu alguno noss valo valores res entre entre dos dos n*mero n*meross determ determin inad ados os## su /*me /*mero ro de 0espuestas &osibles# los cuales se %allan en un conjunto
%,i el espacio muestral de un experimento aleatorio contiene un n*mero finito de posibilidades o una secuencia interminable con tantos elementos como n*meros naturales existen# se le llama E#&A$IO '(E#TRAL "I#$RETO). Una var Una varia iable ble al aleat eatori oria a se llllam ama a VARIABLE ALEATORIA "I#$RETA si se puede contar su conjunto de resultados posibles. !n la práctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.
Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. &uede tomar todos los valores de un intervalo. ,on el resultado de medir.
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=,i un espacio muestral contiene un n*mero infinito de posibilidades igual al n*mero de punt untos en un segm segmen entto de línea nea# se le llama E#&A$IO '(E#TRAL $O*TI*(O). !s decir decir# una VARIABLE ALEATORIA $O*TI*(A# es aquella que sólo puede tomar algunos valores entre dos n*meros determinados# cuando el /*mero de 0esultados &osibles# pueden ser n*meros cualquiera de un intervalo dado. uando una variable aleatoria aleatoria puede tomar valores en una escala continua# continua# se le llama VARIABLE ALEATORIA $O*T+*(A. !n la mayor ayoríía de los los probl roblem emas as prác prácti tico cos# s# las las VARIABLE# ALEATORIA# ALEATORIA# $O*T+*(A# representan datos medidos# tales como alturas# peso# temperaturas# dist distanc ancia iass o peri period odos os de vida> vida> mien mientr tras as que las las VARIABLE# ALEATORIA# ALEATORIA# repres esen enta tan n dato datoss que que se cuentan# tale taless como como el n*me n*mero ro de "I#$RETA# repr artículos defectuosos de una muestra de artículos artículos o el n*mero de accidentes por ao en una vía rápida# es un determinado estado. A.
DISTRIBUCI!N DISTRIBUC I!N DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
"# $UNCI! $UNCI!N N DE %ROB %ROBABI ABILID LIDAD AD O $UNC $UNCI!N I!N DE &ASA &ASA## ,ea ' una una variable aleatoria discreta. ,u distribución viene dada por los valores que que pued puede e toma tomarr# x , x , x , ... , x y las las probab probabililid idad ades es de que que apare aparezc zcan an f x 1 p1 , f x 2 p 2 , f x 3 p 3 , ... , f x k p k . !stas cantidades f xi P X xi reci recibe ben n el nombr ombre e de (unci (unci)n )n de *rob *robab abil ilid idad ad o (unc (unci) i)n n de masa# masa# La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo . 1
2
3
k
3
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E+em*lo onsideremos los posibles resultados que se obtienen al lanzar un dado5
7 8 9 : ; 4
7?4 7?4 7?4 7?4 7?4 7?4
E+em*lo onsideremos el n*mero posible de caras que se pueden obtener cuando se lanzan tres monedas ( o lan-ar tres veces !na moneda). ,ea ' ' El */mero variable que represent representa a este experimen experimento# to# entonc entonces# es# el espaci espacio o de $aras# la variable muestral de lanzar 9 veces una moneda será5
0$$$, $$#, $#$, #$$, ##$, #$#, $##, ###1, es decir5 RE#(LTA"O# ,,, ,, ,, ,, , , ,
*2'ERO "E $ARA# x 6 7 7 7 8 8 8 9
&ROBABILI"A"
f x
P X x
7?@ 7?@ 7?@ 7?@ 7?@ 7?@ 7?@ 7?@
4
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!ntonces# sea cual sea el resultado del experimento# la variable ' puede puede tomar *nicamente los valores , A A 6# 7# 8 o 9. $sí5
3oma valor 6 cuando ocurre el suceso B,,,C 3oma valor 7 cuando ocurre el suceso B,,# ,,# ,,C 3oma valor 8 cuando B,# ,# ,C 3oma valor 9 cuando BC
La función de probabilidad es5 1
f 0 P X 0
f 1 P X 1
3 8
0.375
f 2 P X 2
3 8
0.375
f 3 P X 3
1
0.125
8
8
0.125
!n resumen5
*o. "E $ARA#
&ROBABILI"A"
x
f x P X x
6 7 8 9
7?@ 9?@ 9?@ 7?@
!ste resumen es lo que se conoce como "I#TRIB($I3* "E &ROBABILI"A". La gráfica de la función de probabilidad de ' es5 es5
5
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6.:6
6.9;
6.96
6.8;
6.86
6.7;
6.76 6
8
7
9
!l conj conjun unto to de pare paress orde ordena nado doss x, f x es un una !nci4n !nci4n de probabili probabilidad, dad, !nc !nci4 i4n n masa masa o distrib!ci4n de probabilidad 5 f x P X x ) de la variable aleatoria discreta ' si para cada resultado posible , se cumple que5 7. 8.
0
f x
f x
1
P X a P X a 1 ... P X b 1 P X b
P a X b f a f a 1 ... f b 1 f b
9.
b P X x i x i a
$%ora# existen muc%os problemas en los cuales se desea calcular c alcular la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria ' sea sea menor o igual que alg*n n*mero real , # es decir5 P X x Duál será la probabilidad de que salgan máximo dos carasE
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 P X 2 ?
0,125 0,375 0,375 0,875
D+ la probabilidad de que el n*mero de caras esté entre 7 y 8E
X 2 ? P 1 X 2 P X 1 P X 2 P 1
0,375 0,375 0, 75
6
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-# $UNCI!N DE DISTRIBUCI!N O O "E "I#TRIB($I3* A$('(LA"A ,e define F x como P X x # la cual se llama "istrib!ci4n Ac!m!lada de la variable aleatoria '# La (unci)n (unci)n de distribuci distribuci)n )n o de *robabilidad acumulada representa en cada punto x i la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dic%o punto# es decir# F x i P X x i .
Es decir # La Fistribución $cumulada F x de !na variable aleatoria discreta X , c!6a distrib!ci4n de probabilidad es f x , es7
F x
P X x f t t x
para
x
E+em*lo onsid onsiderem eremos os el ejempl ejemplo o anterio anterior5 r5 =n*mero =n*mero posibl posible e de caras caras que se pueden pueden obtener cuando se lanzan tres monedas ( o lan-ar tres veces !na moneda).G ,ea ' El */mer variable que representa representa este este experimento# experimento# */mero o de $aras# la variable entonces# es# el esp espacio muestral de lanzar 9 veces una moneda eda será erá5 0$$$, $$#, $#$, #$$, ##$, #$#, $##, ###1. $%ora tenemos que la $unci)n de Distribuci)n de ' es: es: F 0 P X 0 1 0.125 8 F 1 P X 1 P X 0 P X 1 0,125 0.375 0 ,5 F 2 P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 0,5 0.375 0,875 F 3 P X 3 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 0,875 0 ,125 1
*o. $ARA# 5x8 6 7 8 9
9(*$I3* 9(*$I3* "E &ROBABILI"A"
P X x
9(*$I3* "E "I#TRIB($I3* O &ROBABILI"A" A$('(LA"A
f x
7?@ 9?@ 9?@ 7?@
P X x
F x
7?@ :?@ H?@ @?@
La gráfica de la función de Fistribución de I es5
7
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7.6
6.@
6.4
6.:
6.8
6.6 6
7
9
8
E+em*lo onsideremos el n*mero posible de puntos que pueden aparecer cuando se lanzan dos dados. ,ea ' la la variable que representa el = */mero de &!ntos) obtenidos al lanzar dos dados# %allar la "istrib!ci4n de &robabilidad y la "istrib!ci4n Ac!m!lada de la variable aleatoria '# ,olución5
*o. &(*TO#
9(*$I3* "E &ROBABILI"A"
x
f x P X x
8 9 : ; 4 H @ J 76 77 78
7?94 8?94 9?94 :?94 ;?94 4?94 ;?94 :?94 9?94 8?94 7?94
9(*$I3* 9(*$I3* "E "I#TRIB($I3* O &ROBABILI"A" A$('(LA"A
P X x
F x
7?94 9?94 4?94 76?94 7;?94 87?94 84?94 96?94 99?94 9;?94 94?94
1nterprete cada uno de los valores presentados en la tabla anterior y grafíquelos en un plano cartesiano y calcule las siguientes probabilidades5
.#
La probabilidad de que el máximo puntaje obtenido sea ; La probabilidad de que el máximo puntaje obtenido sea H
La Es*e Es*era ran/ n/aa o &e &edi diaa de de una una Varia ariabl blee Alea Aleato tori riaa Dis Discr cret etaa 8
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La esperanza de una variable aleatoria X# escrita E5X8# se conoce también como el Valor Es*erado o &edia de la Distribuci)n# La !speranza de una -ariable -ariable $leatoria tiene las siguientes propiedades5
b.
E a
a. ,i a es una constante# se tiene que 7 ,i a y b son constantes# se tiene que5
X a E X
E a X b a E X b .
!s decir# decir# la !speranz !speranza a E X es también un operador lineal que %ereda sus propiedades de la sumatoria y la integral. c. ,i I e + son dos variables aleatorias independientes se cumple que5 E X Y
E X E Y d. ,i I e + son dos variables aleatorias independientes se cumple que5 E X Y
E X E Y
Estas cuatro *ro*iedades se cum*len *ara la Distribuci)n de %robabilidad Discreta 0 *ara la Distribuci)n de %robabilidad Continua# Entonc Entonces1 es1 La Es*eran/ Es*eran/aa &atem2 &atem2tic ticaa o &edia &edia de una Varia Variable ble Aleat Aleatori oriaa Discreta se calcula de la si3uiente manera: μ
E X
n
x
i
f(x i )
i 1
x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 )
...
x n
f (x n )
E+em*lo: lanz lanzar ar un dado dado## y la variab variable le X definida como =!l n*mero de puntos obtenidosG# entonces# su distribución de probabilidad será5 f ( 1 ) P (X 1 ) 1 6 f ( 2 ) P (X 2 ) 1 6 Sea el experim experiment ento o aleato aleatorio rio consis consisten tente te en
.......... .............................. .. f ( 6 ) P (X 6 ) 1 6
!l valor esperado de ' será5 será5 μ E X 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 21 6 3.5
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La medi mediaa de una una va vari riab able le alea aleator toria ia *ued *uedee inter inter*r *ret etar arse se como como el va valo lor r es*erado o medio 4ue toma dic5a variable o como el valor central de dic5a distribuci)n# E+em*lo ,ea ' una una variable aleatoria que expresa el /K de personas que %abitan en una vivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de ' es es la siguiente5 7 f ( xi ) 6#896
8 6#988
xi
: 6#7;;
; 6#64H
4 6#68:
H 6#67;
@ó 6#676
omprobar omprobar que es una una distribución distribución de de probabilidad. probabilidad. omo todas todas las f ( x i ) son mayores o iguales que cero y además se cumple que5 8
8
f(x i )
i 1
9 6#7HH
P ( X xi ) 0.23 0.322 0.177 . . . 0.010 1
i 1
Mallar la probabilidad de que el nK de personas que viven en un %ogar sea menor o igual que cuatro. F ( 4 ) P (X 4 ) P (X 1 ) P (X 2 ) P (X 3 ) P (X 4 )
0.23 0.322 0.177 0.155
0.884
alcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda. P (X 2) P (X 2) P (X 3) ... P (X 8)
1 P (X 2) 1 0.23 0.77
'btener el nK medio de personas que %abitan en una vivienda. μ
E x x1 f ( x1 ) x 2 f ( x2 ) . . . x n f ( x n ) 1 0.23 2 0.322 3 0.177 . . . 7 0.015 8 0.01 2.689
E+em*lo Mallar la !speranza "atemática de la -ariable 6El n7mero *osible de *untos 'bserv rvem emos os la 4ue 4ue *ued *ueden en a*ar a*arec ecer er cuan cuando do se lan/ lan/an an dos dos dado dados8 s8 . 'bse Fistribución de &robabilidad de esta -ariable Fiscreta# dada en la siguiente tabla y encontremos en una nueva columna el producto x f x , $sí5 /N"!0' F! &U/3',
x
&0'2$21L1F$F
f x
x f x
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8 9 : ; 4 H @ J 76 77 78
7?94 8?94 9?94 :?94 ;?94 4?94 ;?94 :?94 9?94 8?94 7?94
8?94 4?94 78?94 86?94 96?94 :8?94 :6?94 94?94 96?94 88?94 78?94 12
x f x 252 36 2
La !speranza "atemática será5 μ
n
E x
x i i
1
f ( x i )
x1 f ( x1 ) x 2 f ( x 2 ) 2 36 ... 12 36 252 36 7
...
x n f ( x n )
DOué le indica indica a usted este resultado anteriorE explique.
E+em*lo Una caja contiene contiene 9 balotas balotas negras y H blancas. ,e extrae una balota balota de esta caja. ,i ésta ésta es de color color negro negro usted usted gana P8.666. P8.666.oo. oo. &ero si es blanca blanca usted usted pierde P7.666.oo. Duál es la esperanza matemática de éste juegoE juegoE ,olución
x (antidad de Qanancia o &érdida) P8.666.oo (/egra) R P7.666.oo (2lanca)
x f x
f x
9?76 H?76
R
P4 P 4.666?76 PH.666?76
x f x 1.000 10 100
E X
La !speranza "atemática de este juego es una pérdida de P766.oo. !s decir# suponiendo que usted realice este juego varios de miles de veces# cada vez usted ganará P8.666.oo o perderá P7.666.oo> ,in embargo# en estos miles de juegos usted puede esperar una pérdida promedio de P766.oo.
E+em*lo 11
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Una caja contiene contiene : balotas balotas rojas# 4 negras negras y @ verdes. ,e extrae una balota balota de esta caja. ,i ésta es de color roja usted usted gana P9.666.666.oo P9.666.666.oo.. # si es negra usted gana P8.666.666. P8.666.666.oo. oo. Duánto Duánto debería pagar usted usted si se extrae una balota verde para asegurar que el juego fuera equitativoE
#ol!ci4n Un juego se considera considera equita equitativ tivo o si su !speran !speranza za "atemát "atemática ica es cero. &or lo tanto# debemos determinar la pérdida que debe asociarse con la extracción de una balota verde# de modo que la !speranza "atemática del juego sea cero. !ntonces# consideremos a L como la pérdida al extraer la balota verde.
X (antidad de Qanancia o &érdida) P9.666.666.oo (0oja)
P8.666.666.oo R
PL
(/egra) (-erde)
&(x)
x&(x)#
:?7@
12.000.000
4?7@
18 12.000.000
@?7@
18 8 L 18
x f x 8 L 24.000 18 18
E X
$%ora# %aciendo ! (x) A 6 y despejando L tenemos tenemos que5 8 L 18
24.000.000
L
0 8 L 24.000.000
18 24.000.000 8
3.000.000
Luego# si usted paga P9.666.666.oo cuando extrae la balota verde# la !speranza "atemática del juego es cero y éste es equitativo.
E+em*lo !l supervisor de una planta manufacturera tiene a 9 %ombres y 9 mujeres a su cargo. &ara &ara realizar una tarea especial especial debe elegir elegir a 8 trabajadores# trabajadores# los cuales los elije al azar azar.. ,ea : el n*mero de mujeres en el grupo elegido# determine la 9!nci4n de &robabilidad o "istrib!ci4n de &robabilidad para :.
#ol!ci4n
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!l supervisor puede elegir dos trabajadores de un grupo de 4# Dde cuántas maneras lo puede %acerE 6! 6 15 2 2! 6 - 2 !
Oue corresponde al espacio muestral del experimento ( )# en consecuencia# contiene 7; puntos muestrales# que suponemos tienen la misma probabilidad# puesto que se aplico un muestreo aleatorio. ,ea# E 1 P riera pareja, E 2 !e"#n$a pareja, ..., E n n ésia pareja
La probabilidad de elegir cualquiera de las parejas será5
15 ,
P E 1
15 ,
P E 2
15
... P E n
$%ora como la variable : (n*mero de mujeres seleccionadas) sólo podrá obtener los valores 6# 7# y 8 mujeres# entonces# el n*mero de formas de elegir5
: ; mujeres es5
3 3 3 0 2 +a que el supervisor supervisor debe seleccionar seleccionar ninguna ninguna mujer y dos de los tres %ombres# de modo que %ay 9 puntos muestrales en el evento : ;, por lo que5
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3 3 0 2 3 1 f 0 P(Y 0) 6 15 5 2
:
< mujeres es5
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3 3 1 1 9 3 f 1 P(Y 1) , y 6 15 5 2
: = mujeres es5
15
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3 3 2 0 3 1 f2 P(Y 2 ) , 6 15 5 2 'bserve 'bserve que 5: <8 es el resultado más probable# lo cual parece adecuado# ya que el n*mero de mujeres es igual al n*mero de %ombres en el grupo original. &or tanto# en res resumen# la 9!nci4 9!nci4n n de &robab &robabili ilidad dad o "istrib!ci "istrib!ci4n 4n de &robabilidad para : es7 %
f % P(Y %)
6 7 8
7?; 9?; 7?;
0ealice la representación gráfica. !l método método más conveni convenient ente e para para represe representa ntarr distri distribuc bucione ioness de probabi probabilid lidad ad discretas es por medio de una fórmula. &ara nuestro ejemplo dic%a fórmula será de la siguiente manera5
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Probabilidad y Estadística
3 & x 3 x f(x) 7 3 Ejemplo Una caja contiene @ bombillas# de las cuales 9 están defectuosas. ,e selecciona al azar una bombilla de la caja y se prueba. ,i ésta es defectuosa se selecciona y se prueba otra bombilla# %asta que se escoja una bombilla no defectuosa. a) !ncu !ncuen entr tre e la funci función ón de prob probab abililid idad ad de la varia variabl ble e ' 9 =!l n*mero n*mero de bombillas seleccionadasG b) !ncuent !ncuentre re el n*mero n*mero espera esperado do de bombil bombillas las selec seleccio cionad nadas. as.
#OL($IO*7 a) &ara %allar la función función de &robabil &robabilidad idad tenemos tenemos que %acer que5 F A Fefectuosa
y
2 A 2uena o /o Fefectuosa.
$%ora %allamos el espacio muestral# y tenemos que5 ''' , ' , '' , '''
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&or tanto# tanto# la variabl variable e ' 9 =!l n*mero de bombillas bombillas seleccionadas seleccionadasG# G# sólo tomara los valores5 7# 8# 9 o :
$%ora %allamos la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada esté en buen estado# es decir# que no sea defectuosa !ntonces usamos e l $oncepto cl>sico o de Laplace7 La *robabilidad La *robabilidad es es el cociente entre el n/mero de casos avorables dividido por el n/mero de casos posibles c!ando se reali-a !n experimento aleatorio. P ( /)
-er
$e
-er
+ass
$e
+ass
farab*es psib*es
&or tanto# la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada sea buena es5
P(B)
5 8
$%ora %allamos la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada sea defe defect ctuo uosa sa y la segun segunda da .bue .buena na.. !nto !ntonc nces es usam usamos os la 0egla 0egla de la "ultiplicación para dos eventos dependientes5 P / % P / P / P / /
P 1 B 2 P(1 ) P B 2 /1 3 5
&or tanto#
8 7 15 56
$%ora %allamos la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada sea defectuosa# defectuosa# la segunda segunda sea sea defectuo defectuosa sa y la la tercera tercera sea sea buena. buena. !ntonces !ntonces usamos la 0egla de la "ultiplicación para tres eventos dependientes5 P / P / P / / P / /
P 1 2 B3 P(1 ) P 2 /1 P B3 /1 2 3 2 5
&or tanto#
8 7 5
6
56
$%ora %allamos la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada sea defectuosa# la segunda sea defectuosa# la tercera sea buena y la cuarta sea 18
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buena. !ntonces !ntonces usamos usamos la 0egla 0egla de la la "ultiplic "ultiplicación ación para para cuatro cuatro eventos eventos dependientes5 P / ' P / P / / P / / P ' / /
&or tanto#
P 1 2 3 B4 P(1 ) P 2 /1 P 3/1 2 P B4 /1 2 3 3 2 1 5
8 7 6 1
5
56
&or tanto# en res resumen# la 9!nci4 9!nci4n n de &robab &robabili ilidad dad o "istrib!ci "istrib!ci4n 4n de &robabilidad para X es7
2 F2 F F2 FFF2
x
f(x) P(X x)
7 8 9 :
5 8 15 56 5 56
1 56
b) &ara %allar %allar el valor valor esperado esperado o esperanza esperanza de bombilla bombillass seleccionada seleccionadass es5 4
E(X)
x f x (1 5 8) (2 15 56) (3 5 56) (4 1 56)
1
E(X)
84 56
Ejemplo !ncuentre el n*mero esperado de químicos que formen parte de un comité de 9 miembros que se seleccionan al azar de un grupo de : químicos y 9 contadores p*blicos. ,'LU1S/5 ,ea I que represente el n*mero de químicos en el comité (IA6# 7# 8#9). La distribución de probabilidad de I es5
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& 3 x 3 x f(x) 7 3 ,i se realizan los cálculos correspondientes se tiene que5
1 3 f 1 12 3 f 2 18 3 f 3 & 3 f 0
&or lo tanto# 3
μ
E(X)
x 0
f x
1 3 1 12 3 2 18 3 3 & 3
μ
E X 0
μ
E X 12 7 1,7
20
Probabilidad y Estadística
!ntonces# !ntonces# si un comité de 9 miembros miembros se selecciona selecciona aleatoriame aleatoriamente# nte# una y otra vez# de un grupo de : químicos y 9 contadores p*blicos# se tendrán# en promedio# 7#H químicos.
E+em*lo Una compaía compaía %a vendido vendido 86; tiquetes tiquetes para un avión de 866 puestos. puestos. ,ea I la variable aleatoria que expresa el /K de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión. Mallar5 La función de distribución La probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan puesto. 'btener 'btener la probabilidad probabilidad de que se quede sin puesto alguno de los viajeros viajeros que va al aeropuerto. alcular el /K esperado de viajeros que acude al aeropuerto Duál es la probabilida probabilidad d de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vueloE
#ol!ci4n7
,u distribución es5 x i pi
7J@ 6#6;
7JJ 6#6J
866 6#7;
867 6#86
868 6#89
869 6#7H
86: 6#6J
86; 6#68
La probabilidad probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan tengan puesto es5 F ( 200) P (X 200 ) P (X 198 ) P (X 199 ) P (X 200 )
0.05 0.09 0.15 0.29
La probabilidad de que se quede sin puesto alguno de los viajeros que va al aeropuerto es5 P (X 200 ) P (X 201 ) P (X 202 ) ... P (X 205 )
0.2 0.23 0.17 0.09 0.02 0.71
'tra manera de %acerlo es5 P (X 200 ) 1 P (X 200 ) 1 0.29 0.71
&ara calcular el n*mero esperado de viajeros que acude al aeropuerto se %ace5
21
Probabilidad y Estadística
Ex
E x
n
x i
i 1
198 19 8 0.05 199 19 9 0.09 200 0.15 20 3 0.17 204 20 4 0.09 205 0.02 203 201 20 1.44
f ( x i )
201 20 1 0.2
202
0.23
Duál es la probabilida probabilidad d de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vueloE F (199) P (X 199 ) P (X 198 ) P (X 199 )
0.05 0.09 0.14
#
LA VARIANZA ARIANZA
DE UNA U NA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
!s la medida del grado de concentración de los valores de la -ariable $leatoria alrededor de su "edia o -alor !sperado o !speranza matemática E x
"ientras más dispersos estén los valores respecto de la media# mayor será la -arianza.
"E9I*I$I3*5 ,ea I una -. $. que asume los valores x1 , x 2 , x3 , ..., x n con probabilidad probabilidades es respectivas respectivas f x1 , f x 2 , f x3 , ..., f x n la varianza se denota por5 2
X
X E X 2 n
x
f xi
i
2
i 1
f x1 x1 2 f x2 x2 2 ... f xn xn 2
&RO&IE"A"E# "E LA VARIA*?A
La varianza no puede ser negativa $l ser una constante y I una -. -. $.# se cumple que5 2
! X E X 2
E X
" X
2
X
2
#X
,i a y b son constantes se cumple que5
$ X b
$ 2 X 22
Probabilidad y Estadística
,i I e + son dos variables aleatorias independientes se cumple que5
XY
X Y
,i es una constante -() A 6 $l ser c una constante y X una -. $. se tiene que5 " X X
La desviaci)n t;*ica de una variable aleatoria es una medida de dis*ersi)n de Los valo valore ress pequ peque eos os indi indica can n la dist distri ribu buci ci)n )n alre alrede dedo dorr de la medi mediaa. Los concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas. La raíz cuadrada de la varianza se llama DESVIACI!N EST
X
f xi xi i 1
2
La desviación típica es una medida de dispersión que depende de las unidades de medi medida da de la varia variabl ble. e. &ara &ara evit evitar ar este este inco inconv nveni enien ente te podem podemos os empl emplea earr el coe(iciente de variaci)n# !l coeficiente de variación de una variable aleatoria ' será5
X
X X
E x
E+em*lo ,e lanza tres veces una moneda. ,ea ' la variable aleatoria que expresa el /K de caras en los tres lanzamientos.
Mallar Mallar y represe representa ntarr la función función de probabi probabilid lidad ad de ' . El espaci espacio o muest muestral ral cuando se lanza 9 veces una moneda es5
, ! , ! ,
! !! , !! , !! , !!! . &or tanto#
23
Probabilidad y Estadística
x 0
x 1
x 2
x 3
!!!
!! , !! , !! ! , ! , !
f (0) P (X 0)
1 8
0.12
f (1) P (X 1) f (2) P (X 2)
f (3) P (X 3)
1 8
3 8 3 8
0.37 0.37
0.12
alcular el /K esperado de caras al lanzar la moneda. D!ra previsible el resultadoE n
xi f(xi ) 0 0.12 1 0.37 2 0.37 3 0.37 1.
E X
i 1
,í# ya que en cada lanzamiento &()A7?8 y al lanzar tres veces se tiene que 3 1 / 2 1 ,5 .
Mallar la desviación típica de '
x
n
2 (x i E X ) f(x i ) i 1
(0 1.)
2
(0.12) (1 1.) 2 (0.37) (2 1.) 2 (0.37) (3 1.) 2 (0.12)
3ambién podemos calcular la desviación de la siguiente manera5
x
n
2 x i f(xi ) i 1
(0
2
(E X )
2
0.12) (1 2 0.37) (2 2 0.37) (3 2 0.12) (1.) 2
0.844
E+em*lo Mallar la varian-a de la -ariable 6El n7mero *osible de *untos *untos 4ue *ueden a*arecer cuando se lan/an dos dados8 .
#ol!ci4n Fe acuerdo a la Fistribución de &robabilidad# para encontrar la varianza de la Fistribución de la -ariable $leatoria I# utilizamos la Fefinición de d e -arianza5
24
Probabilidad y Estadística
x
f x
x f x
8 9 : ; 4 H @ J 76 77 78
7?94 8?94 9?94 :?94 ;?94 4?94 ;?94 :?94 9?94 8?94 7?94
8?94 4?94 78?94 86?94 96?94 :8?94 :6?94 94?94 96?94 88?94 78?94
8 R HA @ 9 R HA @ : R HA @C ; R HA @= 4 R HA @< H R HA ; @ R HA < J R HA = 76 R HA C 77 R HA 78 R HA
x f x
TOTAL
!ncuentre
la
varianza
# ! X E X E X 2
2
X
x E X x E X
8; 74 J : 7 6 7 : J 74 8;
8;?94 98?94 8H?94 74?94 ;?94 6 ;?94 74?94 8H?94 98?94 8;?94 x E X 2 f x 5 ,83
7
utilizando
2
x E X 2 f x
la
tercera
propiedad#
es
decir#
,ugerencia# elabore una tabla como la anterior.
E+em*lo Fada la siguiente distribución#
x
6# 7# 8# p( x :?9; 7@?9; 78?9; x )A 8 omprobar que es una fdp y %allar !(x)# !(x ) y -(x).
9 7?9;
#ol!ci4n !valuemos primero la función p
Luego %(x) %(x ) 0
1 4 18 12 1 1 35 3
$demás
E(x) E(x )
x p(x) 31 0 & 1 18 2 12 3 1 7 5 0
3ambién
2
E(x )
x p(x) 31 0 3
2
2
0
!ntonces
& 1 2 18 2 2 12 3 2 1
1 7
E x 24 49
x Ex
2
2
Ejemplo 25
Probabilidad y Estadística
Una Una urna urna cont contie iene ne 9 bal balotas otas roja rojas# s# : negr negras as y ; blan blanca cas. s. ,e ext extraen raen suce sucesi siva vame ment nte e y sin sin reem reempl plaz azam amie ient nto o 9 balo balota tas. s. alc alcul ular ar la
12 !
120
3 ! 12 - 3 !
Luego debemos calcular el n*mero de maneras posibles de seleccionar cero rojas (6)# es decir x A 6. !s decir# decir# que que se pueden elegir5
9 negras y o blancas
5 1
5 3
4 3
8 negras y 7 blanca
4 2
7 negra y 8 blancas
4 1
6 negras y 9 blancas
4 0
5 0
5 2
Total 5$ero Rojas8
4 3
5 0
4 2
5 1
4 1
5 2
4 0
5 3
$%ora %allamos la probabilidad de que se seleccione ninguna balota roja P ( X 0 ) . !ntonces usamos e l oncepto clásico o de Laplace5 La probabilidad es el cociente entre el n*mero de casos favorables dividido por el n*mero de casos posibles cuando se realiza un experimento aleatorio. P ( /)
-er -er
$e $e
+ass
farab*es
+ass
psib*es
&or tanto# P ( X 0)
84 120 4 3
5 0
4 2
5 1 12 3
4 1
5 2
4 0
26
Probabilidad y Estadística
&ara &ara x A 7# es decir decir# debemos debemos calcu calcular lar el n*mero n*mero de maneras posibles de roja# dentr dentro o de las las tres tres que que se sele selecci ccion onan. an. sele se lecci ccion onar ar !na (7) balota roja# !ntonces como ya se sabe que dentro de las tres que se seleccionan debe existir una balota roja# entonces# se pueden elegir5
7 0oja 8 negras y 6 blancas
3 1
4 2
5 0
7 0oja 7 negras y 7 blanca
3 1
4 1
5 1
7 0oja 6 negra y 8 blancas
3 1
4 0
5 2
Total 5!na Rojas8
3 1
4 3
5 0
4 2
5 1
4 1
5 2
4 0
5 3
$%ora la probabilidad de que dentro de las tres balotas seleccionadas %aya una balota roja P ( X 1) . &or tanto7 $ 4 5 4 5 4 5 4 5 ! 3 1 " # 3 0 2 1 1 2 0 3 108 P(X 1) 12 220 3
&ara x A 8# es es decir decir## debemos debemos calcular calcular el n*mero n*mero de maneras maneras posibles posibles de selecci sel ecciona onarr dos (8) balotas rojas# dentro de las tres que se seleccionan. !ntonces como ya se sabe que dentro de las tres que se seleccionan debe existir dos (8) balotas rojas# entonces# se pueden elegir5 8 0ojas 7 negras y 6 blancas 8 0oja 6 negras y 7 blanca
Total 5dos Rojas8
3 4 2 1
5 0
3 4 5 2 0 1
3 $ 4 5 2 " # 1 0
4 0
5 ! 1
$%ora la probabilidad de d e que dentro de d e las tres balotas seleccionadas %aya una balota roja P ( X 2 ) . &or tanto# 3 $ 4 5 4 5 ! 2 " 1 0 0 1 # 27 P(X 2) 12 220 3
&ara x A 9# es es decir decir## debemos debemos calcular calcular el n*mero n*mero de maneras maneras posibles posibles de selecci sel ecciona onarr tres tres (9) balotas rojas# dentro de las tres que se seleccionan. !ntonces como ya se sabe que dentro de las tres que se seleccionan debe existir tres (9) balotas rojas# entonces# se pueden elegir5 27
Probabilidad y Estadística
9 0ojas 6 negras y 6 blancas
3 4 5 3 0 0 3 3
Total 5tres Rojas8
$%ora la probabilidad de que dentro de las tres balotas seleccionadas todas sean rojas P ( X 3) . &or tanto# 3 1 3 P(X 3) 12 220 3
La 9!nci4n de &robabilidad o "istrib!ci4n de &robabilidad para X es7
x
P X x
f(x) P(X x)
6 7 8 9
F x
84 220 208 220 27 220
7
1 220
3
μ E(X)
&or lo tanto#
x f x 0
μ E X 6
μ E X 0 3.3818 1 0.&505 2 0.1227 3 0.00&4
Ejemplo Una caja contiene 76 bombillas# de las cuales# existen 9 defectuosas (Oue no encienden). ,e selecciona sucesivamente de esta caja# : bombillas bombillas al azar y sin devolución y se prueban. !ncuentre la
#OL($I3* X =/*mero de bombillas defectuosas seleccionadasG N9"=
N " 9 . De(ectuosas
N - 9 > Buenas
n9
&rimero debemos tener en cuenta que la variable puede tomar solamente los valores x = 0,1, 2, 3
28
Probabilidad y Estadística
Luego se debe encontrar, de cuántas maneras posibles se pueden seleccionar bombillas de las 10 !ue existen, es decir "allar el espacio muestral, # se reali$a utili$ando la combinaci%n, de la siguiente manera:
10 7 210 &
$%ora se debe encontrar de cuántas maneras posibles se pueden seleccionar cero (6) bombillas bombillas defectuosas defectuosas de las 76 existentes# existentes# conociendo conociendo que de estas 76 bombillas bombillas existen H en buen estado. !s decir# decir# para %allar cuando x A 6 se %ace5
3 7 3 0 & &or *ltimo %allamos la probabilidad de que la primera bombilla seleccionada esté en buen buen esta estado do## es deci decirr# que que no sea sea defe defect ctuo uosa sa## o sea# sea# %all %allar ar P X 0 . !ntonces usamos e l $oncepto $oncepto cl>sico cl>sico o de Laplace7 Laplace7 La *robabilidad es el cociente entre el n/mero de casos avorables dividido por el n/mero de casos posibles c!ando se reali-a !n experimento aleatorio. P ( /)
-er -er
$e $e
+ass +ass
farab*es psib*es
&or tanto5
29
Probabilidad y Estadística
3 7 0 4 35 f (0 P) X 0 10 210 4
$%ora se debe encontrar de cuántas maneras posibles se pueden seleccionar una (7) bombilla bombilla defectuosa defectuosa de las 76 existentes# existentes# conociendo conociendo que de estas 76 bombillas existen H en buen estado. !s decir# para %allar cuando x A 7 se %ace5
3 7 10 1 3 &or tanto5
30
Probabilidad y Estadística
3 7 1 3 10 f(1) P X 1 10 210 &
$%ora se debe encontrar de cuántas maneras posibles se pueden seleccionar dos (8) bombillas bombillas defectuosas defectuosas de las 76 existentes# existentes# conociendo conociendo que de estas 76 bombillas bombillas existen existen H en buen estado. !s decir# decir# para %allar cuando cuando x A 8 se %ace5
3 7 21 2 1 &or tanto5
31
Probabilidad y Estadística
3 7 2 1 21 f(2) P X 2 10 210 &
$%ora se debe encontrar de cuántas maneras posibles se pueden seleccionar las tres (9) bombilla bombillass defectuosa defectuosass de las 76 existent existentes# es# conoci conociend endo o que de estas 76 bombillas existen existen H en buen estado. !s decir# decir# para %allar cuando x A 9 se %ace5
3 7 1 3 0 &or tanto5
32
Probabilidad y Estadística
3 7 3 0 1 f(3) P X 3 10 210 & !n resumen# la Fistribución de &robabilidad y la
x
f(x) P(X x)
6 7 8 9
F(x) F(x ) P(X x)
35 210
35 210
105 210
140 210
21 210
161 210
1 210
162 210
&ara alcular el -alor esperado o !speranza y la -arianza de la variable# tenemos que5
x 6 7 8 9 3otal
f(x)
x f(x)
x
2
f(x)
35 210
6
6
105 210
105 210
105 210
21 210
42 210
84 210
1 210
3 210
9 210
150 210
198 210
33
Probabilidad y Estadística
La esperanza será5
10 0.71& 210 7
E X
&ara %allar la varianza# aplicamos la fórmula5 !s decir# primero %allamos5
E X
2
2
E X 2 E X
158 33 210 3
+ reemplazando tenemos que5 2
2 33 3 7 33 2 3 &5 104 0,&327 2& 0,478
Ejemplo inco animales de una población considerados especie en vía de extinción en cierta región %an sido atrapados# marcados y puestos en libertad para que se mezclen con la población (" A ;). Fespués de mezclarse se eligió una muestra aleatoria de 76 (n A 76). ,ea I el n*mero de animales marcados de la segunda muestra (los atrapados nuevamente). ,i %ay en realidad 8; animales de este tipo en la región (/ A 8;)# calcular la probabilidad de que en la muestra seleccionada por *ltimo exista exista !xactamente dos animales marcados (IA8) $) b) "áximo dos animales marcados (I 8) &) alcular el valor esperado (!(I)) y la varianza ( -(I)) d) ,i el tamao tamao de la poblaci población ón / no se conoce# conoce# cómo cómo lo estimaría estimaría en el caso caso 100 # n 40 y X 16
#ol!ci4n5 Los parámetros de distribución son n A 76# " A ; y / A 8; así
34
Probabilidad y Estadística
2 0 x 1 0 9 x : x,10,2 x 0,12,3&, 2 1 0
35
Probabilidad y Estadística
$)
20 2 8 P(X 2) 0.38 2 1 0 P(X 2)
P(X 0) P(X 1) P(X 2) 0.07 0.27 0.38 0.455
b)
E(X)
n
10 2 2
&)
n n 1 1 1 10 1 2 2& 2
(X)
f)
1
2& 1
(10) (0.2) (0.8)
36
Probabilidad y Estadística
e) !s pertinente pertinente igualar la proporción muestral muestral observada de éxitos ' proporción poblacional 8 , x ; n
la
a* $espejar tenes >#e ># e <
; n entn+es, x ; 100 &0 14 ; 20
x con
reep*a=an$
tenes <
Ejercicio 7.
B#
Un embarque de @ computadores computadores portátiles portátiles similares que se envía envía a un distribuidor contiene contiene 9 aparatos aparatos defectuosos. defectuosos. ,i una escuela realiza una compra aleatoria de 8 de estos computadores# encuentre la distribución de probabilidad para el n*mero de computadores portátiles defectuosos.
DISTRIBUCI!N DE DE UN UNA VARIABLE AL ALEATORIA CO CONT?NUA
Una VARIABLE ALEATORIA CONTINUA, CONTINUA, es aquella que puede tomar todos los valores de un intervalo dado. !n la mayor ayoríía de los los probl roblem emas as prác prácti tico cos# s# las las VARIABLE# ALEATORIA# ALEATORIA# $O*T+*(A# representan datos medidos, tales como alturas# peso# temperaturas# distancias o periodos de vida
E+em*los 7. Un estudio estudio estadís estadístico tico quiere quiere conocer conocer la la duración duración de un conjunto conjunto de de bombillas# bombillas# para ello se define la v.a. X=&duraci%n de una bombilla& . La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 6. 8. ,ea I la la v. v.a. que que des descr criibe la la duraci%n duraci%n de los neumáticos de cierta marca y mode modelo lo.. Los Los valo valore ress de una una vari variab able le esta estadí díst stic ica a cont contin inua ua siem siempr pre e se cons consid ider eran an agru agrupa pado doss en inte interv rval alos os de clas clase# e# lueg luego o no tien tiene e sent sentid ido o plantearse la probabilidad de resultados TaisladosT (como# por ejemplo# la probabilidad probabilidad de que un neumático neumático dure# exactamente# exactamente# ;4.666 ;4.666 m# 89; m# :H cm y 4 mm). !n todo caso# esas probabilidades deben valer cero. &ero sí podemo podemoss pregunt preguntarn arnos# os# por ejempl ejemplo# o# Dcuál Dcuál es la probabi probabilid lidad ad de que un neumático dure menos de ;6.666 mE o Dcuál es la probabilidad de que un neumático dure entre 46.666 y H6.666 mE
37
Probabilidad y Estadística
9. &ret retendemos obs observa rvar la altura de un grupo de person sonas y vamos amos a seleccionar a una persona de forma totalmente aleatoria. La probabilidad de que la altura de esa persona sea exactamente exactamente 7#48@J:49;... 7#48@J:49;... m es cero. &ero la probabilidad de que la altura de esa persona esté entre 7#48 m y 7#49 m tendrá un valor concreto y casi con certeza que será mayor que la probabilidad de que esté entre 8#76 m y 8#77 m. &or tanto# la densidad de probabilidad en el entorno de 7#48; m es mayor que la densidad de probabilidad en el entorno de 8#76 8#76; ; m. Sin embargo 7#48@J:49; 49; tenga probabilidad embargo,, !ue el 'alor 'alor exacto 7#48@J: cero de ocurrir no implica !ue sea imposible !ue ocurra. Fe %ec%o# cualquier persona que seleccionemos tendrá una altura concreta y exacta que tenía probabilidad cero de suceder. su ceder.
"# $UNCI! $UNCI!N N DE %ROBA %ROBABIL BILIDA IDAD D O $UNCI $UNCI!N !N DE DENS DENSIDA IDAD# D# ,eg* ,eg*n n la defi defini nici ción# ón# una una v.a. .a. cont contin inua ua puede puede toma tomarr un n*mero n*mero infi infini nito to no numerable de puntos# la probabilidad que se puede asignar a cada valor de la vari variab able le esta estará rá entr entre e V6#7 V6#7WW con con la cond condic ició ión n de que que la suma suma de toda todass las las probabilidades es 7# como %ay un n*mero infinito no numerable de valores con masa# la P X x es desprec despreciab iable le por lo que se dice dice que no tienen tienen masa , entonces5 P X x 0 La función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad y se denota como f x P X x y cumple que5
f x
0
% f
x
$x 1
E+em*lo 7. Una Una calc calcul ulad ador ora a gene genera ra n*me n*mero ross al azar azar en el inte interv rval alo o V6#7 V6#7W# W# con con igua iguall probabilidad para cada n*mero del intervalo. Una variable así definida es continua# y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo V6#7W. La función de densidad es5
(1 si 0 x 1 f(x) ' &0 rest !sta función así definida cumple las dos condiciones5
f x
0
38
Probabilidad y Estadística
1
%
f x
$x
%0
$x 1
E+em*lo Feterminar el valor de para para que la función dada# sea una función de densidad
( 2 x ? si 1 x 2 f(x) ' &0 rest #ol!ci4n 2
%
2
f x x
1
% 2 x x 1
2
x 2 x 1 2 2 2 12 1 4 2 1 4 2 1 3
E -&+/ * 2
% f x x 3 , , & * 1
% f x x 1
+-&+/ *
2
% f x x 3 , 1
1 3
? 2
-#
$UNCI!N DE DISTRIBUCI!N O O "E "I#TRIB($I3* A$('(LA"A
39
Probabilidad y Estadística
La función de distribución <( x )# )# < 5 0 ) 6 # 7 nos da la probabilidad probabilidad acumulada desde @ %asta el valor que se tiene en consideración# es decir5 x
F(x) P X x
% f x
$x
Qráficamente la función de distribución es el área limitada por la función de densidad y el eje de abscisas entre @ y x
E+em*lo ierta variable aleatoria tiene por función de densidad
(+3 x 2 si 0 x 1 f(x) ' +&0 rest Feterminar su
%
F( 0 ) P X 0
0
f t
$t
% 0 $t 0
b. Si 0 ) x ) 7
% f t $t P 0 x 1 F 0 % 3 t $t 0 t x
F(x)
1
3 1 0
2
x 3
0
c. Si x * 1 x
F(x)
%
f t $t P x
1
1
$ 1 " "#
1
% 0
!
3 t $t 2
10 1
!n resumen5
40
Probabilidad y Estadística
(0 si x 0 ++ 3 F(x) ' x si 0 x 1 +1 si x 1 +& .#
La Es*e Es*era ran/ n/aa o &e &edi diaa de de una una Varia ariabl blee Alea Aleato tori riaa Con Cont; t;nu nuaa
onsideremos una v.a continua X . Llamaremos media o esperanza de X a a
E X
% x
f
x $x
Fonde x son son los valores que toma la variable y +x- es la función de densidad
%ro*iedades: 7. Fada Fada una variable variable aleator aleatoria ia continu continua a que toma siempre siempre el mismo mismo valor # es decir# la variable es constante. ,u esperanza es esa misma constante.
E 0
%
0 f
%
x $x 0
f
x $x
0
ya que
% f
x
$x 1
,i se multiplica una variable aleatoria por una constante# su esperanza se ve multiplicada por esa constante.
E 0 X
%
0 xi f
x $x 0
2. E X 9 E X 0
% xi
X
x i E
%
x i f x $x E X
X
f
x $x
%
xi f x $x
E X f x $x %
E X 0
3. 4.
x $x 0 E X
%
veámoslo5
E X 9 E
f
E
X
f x $x %
,ean X e e dos dos variables aleatorias# @ X Y @ X @ Y !n general# @ a X b a @ X b
E+em*lo !l peso (en gramos) de un insecto se distribuye seg*n
(1 f x ' &0
si 1 x 2 En e* rest 41
Probabilidad y Estadística
alcular el peso esperado.
#ol!ci4n7
E X
% x f x $x
1
2
1
2
% x f x $x % x f x $x % x f x $x
2
%1 x
$x 2
$ 2 ! " x # 2 1 2 1 2
3 2
E+em*lo !l tiempo de vida (en aos) de una determinada componente de un juguete electrónico tiene por función de densidad# %allar el tiempo de vida esperado.
( 4 x x 1 si 0 x 1 f x ' &0 En e* rest #ol!ci4n7
E X
1
% x f x $x % x 4 x x 9 1 $x
% 4 x
0
1
3
4 x 2 $x
0
1
$" 3 x & 2 x 3 ! # 2 0 $" 3 1 & 2 1 3 ! $" 3 0 & 2 0 3 ! # 2 # 2 $" 3 2! # 2 1 2
42
Probabilidad y Estadística
La duración esperada de la componente es de medio ao# es decir# 4 meses.
#
LA VARIA ARIAN NA A DE UNA UNA VARIA ARIABL BLE E ALEA ALEATO TORI RIA A CONT CONTIN INUA UA
!s la medida del grado de concentración de los valores de la -ariable $leatoria alrededor de su "edia o -alor !sperado o !speranza matemática E x
"ientras más dispersos estén los valores respecto de la media# mayor será la -arianza.
"E9I*I$I3*: ,ea X una -. $ continua# la varianza de esta variable se define como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre# la variable y su esperanza# es decir5 X E X 9 E X 2 # y teniendo en cuenta la definición de esperanza# la varianza queda5
2
X X E X μ
2
% f x x μ
2
$x ,
$n$e E X μ
&RO&IE"A"E# "E LA VARIA*?A
La varianza no puede ser negativa $l ser una constante y I una -. -. $.# se cumple que5
X 2
2
X
X
X E X 2 E X 2
x f x $x x f x $x
%
2
2
%
2 ,i a y b son constantes se cumple que5 a X b a X ,i I e + son dos variables aleatorias independientes se cumple que5
X Y
X Y
,i es una constante -() A 6 $l ser una constante y X una -. $. se tiene que5
! " X ! X
"E#VIA$I3* T+&I$A El conce* conce*to to de desvia desviaci) ci)n n t;*ica t;*ica es e4uiva e4uivalen lente te en variab variables les ale aleato atoria riass disc discre reta tass 0 cont contin inua uas1 s1 aun4 aun4ue ue en es esta tass 7lti 7ltima mass su c2 c2lc lcul ulo o es m2s m2s com*licado# ,e llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza
43
Probabilidad y Estadística
X
/A X
% f xi xi μ
2
La desviaci)n t;*ica de una variable aleatoria es una medida de dis*ersi)n de Los valo valore ress pequ peque eos os indi indica can n la dist distri ribu buci ci)n )n alre alrede dedo dorr de la medi mediaa. Los concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas. La desviación típica es una medida de dispersión que depende de las unidades de medi medida da de la varia variabl ble. e. &ara &ara evit evitar ar este este inco inconv nveni enien ente te podem podemos os empl emplea earr el coe(iciente de variaci)n# !l coeficiente de variación de una variable aleatoria ' será5
X
X E x
E+em*lo !l peso (en gramos) de un insecto se distribuye seg*n
(1 f x ' &0
si 1 x 2 En e* rest
Feterminar la varianza de X.
SOLUCI!N &ara determinar la varianza primero calculamos E/ X y E/ X 2
E X
% x f x $x
1
2
1
2
% x f x $x % x f x $x % x f x $x
2
% x
$x
1
$ x 2 " "# 2
2
! 1
2 1 2
3 2
44
Probabilidad y Estadística
E X
2
% x f x x % x f x x % x f x x % x f x x 1
2
2
1
2
2
%
x
2
$ x3 ! # 3 1
x "
1
2
2
2
2
8
3 7
1 3
3
&or tanto#
X E X
X
2
E X
2
3 7 3 2
2
7 5 3
&
1 12
E+em*lo !l tiempo de vida (en aos) de una determinada componente de un juguete electrónico tiene por función de densidad
( 4 x x 1 si 0 x 1 f x ' &0 En e* rest Malla su varianza.
#ol!ci4n5 0azonamos de forma análoga al caso anterior
E X
1
% x f x $x % x 4 x x 9 1 $x
% 4 x
0
1
3
4 x 2 $x
0
1
$" 3 x & 2 x 3 ! # 2 0 $" 3 1 & 2 1 3 ! $" 3 0 & 2 0 3 ! # 2 # 2 $" 3 2! # 2 1 2
45
Probabilidad y Estadística
%
E X
2
2
1
x f x $x
% 4 x
% x
&
4 x x 9 1
$x
0
1
2
4 x 3 $x
0
1
$" 4 x 3 x & ! 2 # 0 4 3
2
3
10
&or tanto#
1 20
X E X X
2
E X
2
2
3 1 3 1 10 10 & 2
E+em*lo Las marcas marcas obtenidas obtenidas por un lanzador lanzador de peso sigue sigue una v.a v.a con función función de densidad5 ( x2
+ f x '? 5 si 0 x 3
+0 &
En e* rest
Fonde las distancias# I# se miden en metros (m). a) alc alcul ular ar el valo valorr de de X. X. b) alcul alcular ar la distanc distancia ia media media esperad esperada# a# así como como una medida medida de dispersi dispersión ón de la variable.
#OL($I3*7 Mallamos el valor de X
46
Probabilidad y Estadística
2
3
1
0
x 2
% f x $x % ? 5
$x
? $ x 3 !
"
3
5 # 3 0
x 27 ? 3 0 27
?
3 3 0
3
?
3
27
27 ? Entn+es< 3
% f x $x
?,
0
/:ra +<
% f x $x
1 entn+es a* i"#a*ar tenes<
1 ? ? 1
$%ora %allamos la esperanza5
E X
% x f x $x
x 2 $x % x 0 9 3
x $x
3
1
3
%
9
0 3
$ x & ! " # 4 0
1 9 1
36 1 36
x
1 36
&
3
0
3
&
0
&
81
9 4
&ara %allar la varianza# primero debemos %allar
E X
2
7 47
Probabilidad y Estadística
x 2 3 $x E $ X 2 ! % x 2 f x $x % x 2 5 #" 0
1 3 & % x $x 5 0 1 $ x !
"
3
5" #
0 3
1 $ ! x 0 & #" 1 $ 3 0 ! " & # 1 2&3 &
&or tanto#
27 5
E X 2
X E X
2
27 5
2
9 4
27 5
81 36
X 27 0.3375 80
E+em*lo omprobar que f x 2 x 1 ,
1 x 2 es
una fdp y %allar !(x)# !(x 8) y -(x).
#OL($I3* &rimero se debe comprobar que5
%
f(x) $x
1
48
Probabilidad y Estadística
En efe+t
%
f(x) $x 2
2
% x 1 $x 1
2
$ x 2 ! 2" x "# 2 1 $ 2 2 1 2 ! 2 B " 2 1 2 " 2 # $ 4 1 ! 2 B " 2 1 # 2 2 $ 1 ! 2 B " 0 2 # $ 1! 2B" # 2 1 2
$ x 3 x 2 ! E x x f(x) $x 2 x 1 x $x 2 " 2 1 "# 3 1 $ 2 3 2 2 13 1 2 ! 2 B " " 3 2 3 2 # $ 8 4 1 1 ! 2 B " # 3 2 3 2 $ 16 12 2 3 ! 2 B " # 6 6 $ 4 1 ! 2 B " # 6 6 $ 5! 2B" # 6
%
%
2
3
49
Probabilidad y Estadística
$ x& x3 ! 2 2 E x 2 % x 2 f(x) $x 2 % x 1 x 2 $x 2 " 9 3 "# & 1 1 $ 2& 23 1& 13 ! 2 B " " & 3 & 3 # $ 14 8 1 1 ! 2 B " # & 3 & 3 $ &8 32 3 & ! 2 B " # 12 12 $ 14 1 ! 2 B " # 12 12 $ 14 1 ! 2 B " # 12 17
2B
12
17 4
Y pr * -$ t *
E x
/A X
17
17
6
2
E x
5 3
2
2
25
6 9 153 150 54 3 54 1 18
50
Probabilidad y Estadística
!Y!"&L'5
(? 2 x 3 x !i 0 x 2 f x ' + st &0 2
2
% ? 2 x 3 x ? % 2 x 3 x
2
$x 1
2
$x 1
0
2
0
%
2
?
0
3 3 x ! $ 2 x 2 1 " 2 3 #
2
2 3 1 x x
%
0
$2
23 ! 1 " # ? 4 8 1 4? 1 2
?
1 4
% x 1 2x 3x 2 $x 2
E x
0
&
2
1
2x 2 3x3 $x % & 2
0
1 2x3 3x & & 3 & 0
1 2 3 3 & 2 2 & 3 & 1 14 &8 & 3 & 1 14 1 &8 & 3 & & &
3
E x
3 &5 3 3
51
Probabilidad y Estadística
1 x 2 x 3 x 2 x 0 4 2 1 2 x 3 x 2 x 0 4 4 5 1 2 2 x 3 x 4 0 4 5 4 5 1 2 1 x 3 x 4 0 2 5 1 1 3 24 25 4 2 5 1 96 8 4 5 1 40 96 4 5 1 56 4 5
%
E x
2
2
2
%
2
5 10 3
E x
2
27
2
2
25
10 9 252 250 90
%
2
27
%
E x
# x E x
# x 2
2 90 1 45
56 20 28 10 14 5
EEPL*
(+? 3 x 2 2 x !i 0 x 2 f x ' +&0 Aest Aest
52
Probabilidad y Estadística
% 2 x ! $ 3 x ? % " 1 2 # 3 ? % x x 1 ? 2 2 1 2
? 3 x 2 2 x $x 1 0
3
2
2
0
2
3
2
0
3
2
? 8 4 1 4? 1
?
E x
1 4
%
2
x
0
3 x 4
1
2
2 x x
3 x 2 x x 4% 3 x 1 2 x 4 % 4 3
2
1
3
2
0
2
4
4
0
E x
1 3
2 3 4 2 2 4 4 3 1 3 2 16 8 4 4 3 1 16 12 4 3 1 36 16 4 3
1 12 5
20
3
53
Probabilidad y Estadística
%x 2
E x2
2
0
3 x 4
1
2
2 x x
3 x 2 x x 4% 3 x 1 2 x 4 % 5 4 2
1
4
3
0
5
2
4
0
1 3
1 4 5 2 2 4 5 2 1 96 8 4 5 1 1 96 40 4 5 1 56 4 5
56
20 28
10
Ex
2
# 2 x E x 2 E x 2
ar X
5 3
2
28 10
28 25 10 9 252 250 90 2 90 1 45
#2 x
L$ f& + b& $&:$$ +* F x
F x
% 4 3 x 1
1 3 x 3
3 4
x 4
1
3
2
2 x $x
x 2
2 x 2
2
2
EEPL*
54
Probabilidad y Estadística
(? 3 x x 2 !i 0 x 2 f x ' Aest Aest &0 % ? x x $x ? x x $x % x x ? $x % 2
3
2
1
3
2
1
0
2
0
2
2
3
3
2
0
3
1
3 2 2 3 ? 2 2 3 1 8 ? 6 1 3 18 8 ? 1 3
10 ? 3
?
1 3
10
% 10 3 x x x 3 3 x x x 10 % 2
E x
x
3
2
0
2
2
3
0
3 x 3 x 4 3 4 10 0 2 3 x 4 3 x 10 0 4 1 16 48 4 3 4 1 2 4 2 3 4 4 3
%
2
%
E x
3 10 12
8 4
10 6 5
55
Probabilidad y Estadística
%x
3 x x x 10 3 3 x x x 10 % 2
Ex
2
2
3
2
2
0
x
2
3
4
0
3 x 4 x 5 4 5 10 0 3 3 2 4 25 4 10 5 3 48 32 10 4 5 3 32 12 10 5 3 60 32 10 5 3 28 10 5
3
%
2
2
x
E
x
42 25 28 10
2
E x 6
5
36 25
6 25
3 3 x x 2 $x % 10
F x
3 2 3 3 x x 10 2 3
42 25
Ex
2
EDER$I$IO# 1# $as %arcas obt&idas 'or ( la)ador d& '&so si*(& (a +ariabl& al&atoria co d&sidad
( x ? ( ) si 0 x 3 + f(x) ' 9 +&0 en e* rest 2
donde las distancias# ' # se miden en decámetros. a) alcula alcula el valor de . 56
2
2
Probabilidad y Estadística
b) alcula la probabilidad probabilidad de que la distancia conseguida por el lanzador sea mayor que 86 metros. c) alcula la probabilidad probabilidad condicionada de que la marca sea superior a 8; metros sabiendo que es superior a 86 metros. d) alcula la distancia media media esperada así como una medida medida de la dispersión de la variable. 2# Una urna contiene 9 bolas rojas# : bolas negras y ; blancas. ,e extraen sin
reemplazamiento 9 bolas. alcula la distribución de probabilidad# función de distribución# media y desviación típica de las siguientes variables aleatorias asociadas5 a) 0AGn*mero 0AGn*mero de bolas rojas rojas extraídas extraídas G b) /AGn*mero /AGn*mero de bolas negras negras extraídasG extraídasG c) 2AGn*mero 2AGn*mero de bolas bolas blancas blancas extraídasG extraídasG 3# $a d(raci & a-os a-os d& la bat&ría d& ci&rto %od&lo d& t&l.foo %+il %+il &s (a +ariabl& al&atoria coti(a X co f(ci d& d&sidad
(? (x 2 ) si 2 x 4 f(x) ' en e* rest &0 2
a/ "alc(la "alc(la &l +alor +alor d& d& k# b/ "alc(la la d(raci d(raci %&dia d& d& (a bat&ría# c/ "alc(la la 'robabilid 'robabilidad ad d& (& (a bat&ría bat&ría d(r& d(r& %s d& 2 a-os y %&dio# d/ abi&do abi&do (& (a bat&ría ti&& %s d& ( a-o, calc(la calc(la la 'robabilidad d& (& d(r& %&os d& 3#
4# & a obs& obs&r+ r+ad ado o (& (& ( t&r t&r%%& %%&tr tro o so%& so%&ti tido do a cod codic icio io& &s s %&t&orol*icas ad+&rsas da (a %&dici d& &tr& dos *rados %s y dos dos %&os %&os d& la t&%'&r t&%'&rat( at(ra ra r&al r&al## El &rro &rrorr co%&t co%&tid ido o si*(& si*(& (a (a +ariabl& al&atoria coti(a co d&sidad
(? ( 2 x2 ) si 2 x 2 f(x) ' &0 en e* rest 57
Probabilidad y Estadística
a/ "alc(la &l +alor +alor d& k# k# b/ "alc(la la f(ci f(ci d& distrib(ci# distrib(ci# c/ "alc(la "alc(la la 'roba 'robabili bilidad dad d& (& &l t&r%% t&r%%&tr &tro o d. la t&%'&rat t&%'&rat(ra (ra &xacta# d/ Probabilidad Probabilidad d& (& &l t&r%%&tro t&r%%&tro co%&ta ( &rror d& &tr& 1 y 1 *rado# &/ Prob Probabi abili lidad dad d& (& (& &l &rro &rrorr s&a %&or %&or (& (& 1 sabi& sabi&do do (& (& &s %ayor (& 1 f/ Esti%a Esti%a &l &rr &rror or &s'&ra &s'&rado do## 5# Una Una vari variab able le alea aleato tori ria a I que que repre represe sent nta a la dura duraci ción ón en minut minutos os de las las
llamadas realizadas en un locutorio p*blico tiene por función de distribución
( 0 si x 0 +2 + F(x) ' x si 0 x 5 + 25 +&1 si x 5 a) alcula la probabilidad probabilidad de que una llamada dure dure tres minutos. b) alcula la probabilidad de que una llamada dure menos menos de tres minutos. c) alcula alcula la función función de densidad densidad de la variable. variable. d) alcula alcula la duración esperada esperada de una llamada. llamada. e) alcula la probabilidad de que una llamada dure menos menos de : minutos sabiendo que %a durado más de tres 6# Una variable aleatoria tiene función de densidad
( x + 10 + f(x) '? +0 + &
si
2
x 4
si
4
x 5
en e* rest
a) alc alcul ula a el el val valor or de de . b) alcula alcula la la función función de de distribu distribució ción. n. &) alcula P ( 3 X 4) 7# Una variable aleatoria I tiene función de distribución
58
Probabilidad y Estadística
si x 1 (0 ++ 1 F(x) '? (1 ) si 1 x 2 + x +&1 si x 2 a) alcula alcula la función de densidad densidad de la variable. variable. b) alcula alcula el valor de de . c) alcula alcula la probabilidad probabilidad de que la variable variable tome valores comprendid comprendidos os entre 6.; y 7.;. d) alcula la probabilidad de que I sea mayor que 7.; sabiendo que I Z 7.H;. 8# 2asándose en un gran n*mero de pruebas# un fabricante de lavadoras piensa
que el tiempo# en aos# antes de que se necesite una reparación importante es una variable aleatoria cuya función de densidad es
(?x f(x) ' &0
si 3 x 5 en e* rest
a) alcula alcula para que f(x) sea función función de densidad. densidad. b) alcula alcula la función de distribuci distribución. ón. c) alcula alcula media# varianza varianza y desviación desviación típica. típica. d) alcula la probabilidad probabilidad de que la primera reparación importante deba %acerse antes de los dos aos. 9# Si X es una v.a. y f(x) ? x (1 x ) , 0 x 1
¿qué valor debe tomar ? para que f(x) sea función de densidad de X ? ¿Cuál será F(x) ?
10# La siguiente función de densidad representa la distribución de los tiempos de
atención de un cliente en la ventanilla de un banco5
( x f(x) ' &2 x
si si
x 1 1 x 2
0
Mallar el tiempo medio y su varianza. Duál es la probabilidad de que el tiempo de atención a un nuevo cliente esté entre tres cuartos de %ora y una %ora y cuartoE
59
Probabilidad y Estadística
x 11# ,ea X una v.a. con f(x) 1 , 0 x 2 alcular la media# la varianza y el 2
coeficiente de variación.
12# La demanda mensual de un artículo de consumo es una v.a. cuya5 f(x)
2 3 4 x 2 x 8
, 0 x 2
( x en i**nes $e #ni$a$es )
a) Duál es la demanda demanda mensual mensual mediaE mediaE b) Duál es la variación variación en la demanda demanda mensualE mensualE 13# Una muestra aleatoria con reposición de tamao nA8 se selecciona del
conjunto B7# 8# 9C produciendo el espacio equiprobable de J elementos. ,A B(7#7)#(7#8)#(7.9)#(8#7)#(8#8)#(8#9)#(9#7)#(9#8)#(9#9)C. ,ea I la suma de los dos n*meros. !ncuentre la distribución f(x) de I. b) !ncuentre !ncuentre el valor valor esperado esperado !(I). $)
14# Una caja contiene @ bombillos# de los cuales están 9 están defectuosos. ,e
selecciona un bombillo de la caja y se prueba. ,i este sale defectuoso se selecciona y se prueba otro bombillo# %asta que se escoja un bombillo no defectuoso. !ncuentre5 La distribución f(x) de la variable aleatoria I (!l n*mero de bombillos seleccionados) b) !l n*mero esperado esperado de bombillos selecciona seleccionados dos $)
15# !ncuentre la media
estándar
E X # la varianza
2
/A X y
la desviación
# de la distribución
/A X
x
f(x)
P X x
7 6.9
9 ; H 6.7 6.: 6.8
16# !ncuentre el n*mero esperado de matemáticos que formen parte de un comité
de 9 miembros que se seleccionan al azar de un grupo de : matemáticos y 9 contadores p*blicos. Dcuál será la función de densidad f(x) ?
60
Probabilidad y Estadística
EDER$I$IO# EDER$I$IO# E* $LA#E 1/ La demanda mensual de un artículo de consumo es una v.a. cuya5 f(x)
3 4 2 2 x x 8
, 0 x 2
( x en i**nes $e #ni$a$es )
a) Duál Duál es la dema demanda nda mensua mensuall mediaE mediaE b) Duál es la variación variación en la demanda demanda mensualE mensualE 2/ 2asándose en un gran n*mero de pruebas# un fabricante de lavadoras piensa
que el tiempo# en aos# antes de que se necesite una reparación importante es una variable aleatoria cuya función de densidad es
(? x( 3 2) si 0 x 5 f(x) ' &0 en e* rest a) alcula alcula para que que f(x) sea función función de densidad. densidad. b) alcula alcula la función de distribuci distribución. ón. c) alcula alcula media# varianza varianza y desviación desviación típica. típica. 3/ & a obs&r s&r+ado (& ( t&r t&r%%&tro tro so% so%&tid tido a codicio cio&s %&t&orol*icas ad+&rsas da (a %&dici d& &tr& dos *rados %s y dos dos %&os %&os d& la t&%'&r t&%'&rat( at(ra ra r&al r&al## El &rro &rrorr co%&t co%&tid ido o si*(& si*(& (a (a +ariabl& al&atoria coti(a co d&sidad
(? ( 2 x2 ) si 2 x 2 f(x) ' &0 en e* rest a/ "alc(la &l &l +alor d& d& k# b/ "alc(la la f(ci f(ci d& distrib(ci#
61
Probabilidad y Estadística
c/ Esti%a &l +alor &s'&rado &s'&rado## d/ "alc(la la +aria)a
"O(LA# O'E? $ABRERA < "E 'AR?O "E =;
!n este tema sobre -$01$2L! $L!$3'01$# a*n queda la sensación de que los proble problemas mas relaci relacionad onados os con la probab probabili ilidad dad## se pueden pueden resolv resolver er o estudi estudiar ar
62
Probabilidad y Estadística
mediante la numeración de los distintos resultados a que da lugar el experimento en cuestión. ,in embargo# son pocos los problemas prácticos que pueden ser resueltos de esta manera. &or ello se recurre más bien al estudio de la 0!L$1S/ existente entre los 0!,UL3$F', del experimento y la &0'2$21L1F$F asociada a tales result resultados ados.. Fe este estudi estudio o surgen surgen modelos modelos probabilí probabilísti sticos cos que resuelv resuelven en problemas de variables discretas como de variables continuas# tales como los modelos5 "odelo 2inomial# el "odelo de &oisson# el "odelo Mipergeometrico# el "odelo de la /ormal# etc.
"I#TRIB($IO*E# "E &ROBABILI"A" "I#$RETA# "I#$RETA# Las reglas básicas de $dición y de multiplicación utilizadas en la determinación de probabilidades se reemplazan con diversas fórmulas especializadas. !n las situaciones prácticas# generalmente no se conoce la forma exacta de la Fist Fistri ribuc bució ión n de &rob &robab abililid idad ades es de la -. $.# $.# pero pero medi mediant ante e el estu estudi dio o de la naturaleza del fenómeno# que origina la -. -. $.# es posible reconocer su Fistribución de &robabilidades en forma aproximada. $ continuación continuación veremos algunos fenómenos aleatorios que originan -. -. $. Fiscretas Fiscretas y cuyas Fistribuciones de &robabilidad son tan reconocidas y usuales# tales como las Fistribu Fistribucio ciones nes de5 2!0/'U 2!0/'ULL1 LL1## 21/'"1 21/'"1$L# $L# &'1,,'/# &'1,,'/# Q!'"[301 Q!'"[301$# $# M1&!0Q!'"[301$.
"I#TRIB($IO*E# "E &ROBABILI"A" "I#$RETA# "I#$RETA# Las reglas básicas de $dición y de multiplicación utilizadas en la determinación de probabilidades se reemplazan con diversas fórmulas especializadas. !n las situaciones prácticas# generalmente no se conoce la forma exacta de la Fist Fistri ribuc bució ión n de &rob &robab abililid idad ades es de la -. $.# $.# pero pero medi mediant ante e el estu estudi dio o de la naturaleza del fenómeno# que origina la -. -. $.# es posible reconocer su Fistribución de &robabilidades en forma aproximada. $ continuación continuación veremos algunos fenómenos aleatorios que originan -. -. $. Fiscretas Fiscretas y cuyas Fistribuciones de &robabilidad son tan reconocidas y usuales# tales como las Fistribu Fistribucio ciones nes de5 2!0/'U 2!0/'ULL1 LL1## 21/'"1 21/'"1$L# $L# &'1,,'/# &'1,,'/# Q!'"[301 Q!'"[301$# $# M1&!0Q!'"[301$.
<. "I#TRI "I#TRIB($ B($I3* I3* "E BER*O( BER*O(LLI LLI
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Probabilidad y Estadística
3enemos un experimento de 2ernoulli si al realizar un experimento sólo son posibles dos resultados5
IA7 (éxito# con probabilidad p)
IA6 (fracaso# con probabilidad qA7Rp)
Ejemplos
Lanzar una moneda y que salga cara. pA7?8
!legir una persona de la población y que esté enfermo. pA7?7666 A prevalencia de la enfermedad
$plicar
un tratamiento a un enfermo y que éste se cure.
pAJ;\# probabilidad de que el individuo se cure omo se aprecia# en experimentos donde el resultado es dicotómico# la variable queda perfectamente determinada conociendo el parámetro p.
EDE'&LO# a. ,e %a obser observa vado do que que estu estudi diand ando o 8666 8666 accid accident entes es de tráf tráfic ico o con impac impacto to fron fronta tall y cuyo cuyoss cond conduc ucto tore ress no tení tenían an cint cintur urón ón de segu seguri rida dad# d# que que 966 966 individuos quedaron con secuelas. Fescriba el experimento usando conceptos de v.a.
#ol!ci4n. La noción
IA=tener secuelas tras accidente sin cinturónG es variable de 2ernoulli IA7 tiene probabilidad p ] 6#7; IA6 tiene probabilidad q ] 6#@; b.
,e %a %a ob o bservado qu q ue es e studiando 86 8 666 ac a ccidentes de de tr tráfico co c on impacto frontal y cuyos conductores si tenían cinturón de seguridad# que 766
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Probabilidad y Estadística
individuos quedaron con secuelas. Fescriba el experimento usando conceptos de v.a.
#ol!ci4n. La noción frecuentista de probabilidad nos permite aproximar la probabilidad de tener secuelas mediante 100 0.05 P ( tener /+& #e*as ) p 2000
IA=tener secuelas tras accidente sin cinturónG es variable de 2ernoulli IA7 tiene probabilidad p ] 6#6; IA6 tiene probabilidad q ] 6#J; !n los dos ejemplos anteriores %emos visto cómo enunciar los resultados de un experimento en forma de estimación de parámetros en distribuciones de 2ernoulli.
,in cinturón5 p ] 7;\ on cinturón5 p ] 6#;\
!n realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades son muy diferentes o apro aproxi xima mada dame ment nte e igua iguale les# s# pues pues en otro otross estu estudi dios os sobr sobre e acci accide dent ntes es## las las cantidades de individuos con secuelas %ubieran sido con seguridad diferentes. &ara &ara decidi decidirr si entre entre ambas ambas cantid cantidades ades existe existen n difere diferenci ncias as estadí estadísti sticam cament ente e sign signifific icat ativ ivas as neces necesititam amos os intr introdu oduci cirr conce concept ptos os de esta estadí díst stic ica a infe inferen renci cial al (extrapolar resultados de una muestra a toda la población).
=. "I#T "I#TRI RIB( B($I $I3* 3* BI*O' BI*O'IA IAL L
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Probabilidad y Estadística
La Fistribución 2inomial se puede emplear para determinar la probabilidad de obtener obtener un n*mero designado designado de éxitos en un proceso de 2ernoulli. !s decir# decir# un !xperimento $leatorio 2inomial es la suma de n ensayos de 2ernoulli. Una -. -. $. 2inomial está definida como el /*mero de [xitos ( X) en los n ensayos. &or lo tanto# la
n El n/mero de ensa6os ! observaciones p La probabilidad de Gxito en cada ensa6o y X El n/mero desinado de Gxitos !sta función de distribución se representa por b5xH n, p8 y se define mediante mediante la fórmula5
n x n x xb( ; pn, ) f x ( ) P X ( x ) p > x 0,1, 2 x n x
Fonde
es un símbolo que representa
n n! x x!(n x)!
+ la función de distribución $cumulada de la -. $. 2inomial es5
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Probabilidad y Estadística
n n x xn F x ( ) P X( x ) p > x x0 La cual es la fórmula para determinar la probabilidad de un n*mero designado de éxitos (x) en una Fistribución 2inomial !sta función función o fórmula fórmula está tabulada para diferentes diferentes valores de n y p y se conoce como Tabla de la "istrib!ci4n Binomial.
EDE'&LO# 7. ,uponga ,uponga que la probabil probabilidad idad de de éxito éxito en un un cierto cierto ensayo ensayo es 7?:. 7?:. Duál es la probabilidad de obtener exactamente 8 éxitos en cinco ensayos consecutivosE ,olución p A 7?: ^^^^^^.... ^^^^^^.... (&robabilidad de éxito en un ensayo) q A 7Rp A 7R 7?: A 9?:^... (&robabilidad de fracaso) nA; ^^^^^^... (/*mero de ensayos) aA8 ^^^^^^^. (/*mero de éxitos) n R a A 9 ^^^^^^^ (/*mero de fracasos) n! p a > n a A a! ( n a )!
P ( X a )
5! 2 5 2 2!(5 2)! (1/ 4) (3 / 4)
8. Una muestr muestra a de : tabletas tabletas de cierta cierta droga se selecci selecciona ona sin restitu restitució ción n de un lote consistente de ;.666 tabletas. ,uponiendo que el 86\ de las tabletas del lote están vencidas (defectuosas)# (defectuosas)# Duál es la probabilidad probabilidad de que la muestra muestra contenga exactamente 8 tabletas vencidasE ,olución p A 6.86
q A 7 R 6.86 A 6.@6
n! & (x A a) A a!( n a )! p a > n a A
nA:
aA8
nRaA8
4! 2 2 2!(2)! (0.20) (0.80) A 6.7;94
67
Probabilidad y Estadística
9. ,upo ,upong nga a que que la proba probabi bililida dad d de éxito éxito en un ensa ensayo yo es 7?:# 7?:# Duál Duál es la probabilidad de obtener exactamente 9 éxitos en H ensayos consecutivosE :. Duál es es la probabilid probabilidad ad de obtener obtener exactament exactamente e 9 caras al lanzar lanzar ; veces veces una monedaE ;. Duál es la probabilidad probabilidad de obtener obtener exactamente exactamente : TseisT cuando se lanza un dado H vecesE !n la Fistribución 2inomial# es posible determinar la !speranza "atemática (la media) y la Fesviación !stándar# sin necesidad de calcular toda la Fistribución de &robabilidad# o sea# sin necesidad de de enumerar todos los valores posibles de la -. -. $. y sus probabilidades. $sí5
n p
n p >
!jemplo 4. ,upo ,upong ngam amos os el n*me n*mero ro de caras caras obten obtenid idas as al lanz lanzar ar una una moned moneda a cuat cuatro ro veces. alcular
la media y la desviación estándar aplicando las dos fórmulas dadas anteriormente.
alcular
la Fistribución de &robabilidad utilizando la Fistribución 2inomial# para calcular la !speranza "atemática y la -arianza
,olución p A 7?8 (X) 6 7 8 9 : TOTAL
q A 7?8 & (x a)
X &(x)
nA: (x R !(x))
(x R !(x))8
5x @ E5x88= &5x8JA
5x &5x88
n p 5
(x R !(x)) 8 &(x)
n p >
4 (1 / 2) (1 / 2)
<
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Probabilidad y Estadística
!sto significa que a*n cuando podemos obtener 6# 7# 8# 9 o : caras cuando se lanzan : monedas# esperamos un promedio de 8 caras por lanzamiento si este experimento se repite un n*mero infinito de veces. $demás# dado que la desviación estándar es igual a 7# esperamos que en promedio el n*mero de caras de cada ensayo difiera de la media en 7 cara. H. Un dado se lanza lanza 7@6 veces. Feter Fetermín mínese ese la media media y la desviaci desviación ón estándar estándar del n*mero de TseisT en éste experimento. Fe acue acuerd rdo o al ejemplo # supongamos a%ora que nos interesa encontrar la probabilidad de obtener 8 o más caras# es decir5 & (x 8) A & (x A 8) & (x A 9) & (x A :)
& (x 8) AE
Utilice la Fistribución 2inomial para calcular cada una de las probabilidades. a
x 0
n!
x n x <(a) A & (x a) A x!(n x )! p >
Duál es la probabilidad de obtener 9 o más carasE Duál es la probabilidad de obtener 8 o menos carasE Duál es la probabilidad de obtener entre 7 a tres carasE !stos ejemplos se llaman &robabilidades &r obabilidades $cumuladas.
@. Las Las obse observ rvac acio ione ness dura durant nte e un larg largo o peri period odo o mues muestr tran an que que un vend vended edor or dete determi rmina nado do puede puede concl conclui uirr una una vent venta a en una una sola sola entr entrev evis ista ta con con una una proba probabi bililidad dad de 6.86. 6.86. ,upó ,upóng ngase ase que el vende vendedo dorr entr entrevi evist sta a a cuatr cuatro o prospectos (o compradores prospectivos) a) Duál es la probabilidad de que exactamente dos prospectos compren el productoE b) Dcuál Dcuál es la probabil probabilida idad d de que al menos menos dos prospec prospectos tos compre compren n el artículoE c) Dcuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren compren el artículoE
#OL($I3* a.
x n x 4! 2 2 n! p > ( 0.20 ) ( 0.80 ) 0.1536 x! ( n x )! 2! ( 2 )!
P ( X 2 )
69
Probabilidad y Estadística
b.
P ( X
2 ) P ( X 2 ) P ( X 3) P ( X 4 ) 1 P ( X 2 ) 1 = P ( X 0 ) P ( X 1)< 1 4! ( 0.20 ) 0 ( 0.80 ) 4 4! ( 0.20 )( 0.80 ) 3 0! ( 4 )! 1! ( 3)! 1 0.4090 0.1808
c.
P ( X
4)
x n x 4! n! p > ( 0.20) 4 ( 0.80) 0 x! ( n x )! 4! ( 0)!
0.0016
J. onsid onsiderem eremos os el n*mero n*mero posible posible de caras que se pueden pueden obtener obtener cuando cuando se lanzan cuatro monedas. 3eniendo en cuenta que la -ariable puede tomar *nicamente los valores 6# 7# 8# 9 o : entonces tenemos5
RE#( RE#(L LTA"O# A"O# ,,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, , , , ,
*2'E *2'ERO RO "E $ARA $ARA# # 5X8 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 :
&ROBABILI"A" 5x8 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74 7?74
!n resumen5 70
Probabilidad y Estadística
&(x A a) 7?74 :?74 4?74 :?74 7?74
X 6 7 8 9 :
&(x a) a) 7 7;?74 77?74 ;?74 7?74
&(x a) 7?74 ;?74 77?74 7;?74 7
!s importante destacar que las las probabilidades de la columna columna 8 V&(x A a)W pueden obte obtene nerse rse indi indirec recta tame ment nte e a parti partirr de las las prob probab abililid idade adess acum acumul ulada adass de las las columnas 9 o :. $sí5
La probabilidad de obtener exactamente 8 caras# es 4?74# se puede calcular a partir de los valores de la columna 9# $sí5 & (x 8) A & (x A 8) & (x A 9) & (x A :) & (x 9) A & (x A 9) & (x A :) _______________________________________ & (x 8) R & (x 9) A & (x A 8)
($) (2) 0estando $ R 2
& (x A 8) A & (x 8) R & (x 9) A 77?74 R ;?74 A 4?74 (3al (3al como se puede apreciar en la tabla en la columna 8)
La probabilidad de obtener exactamente 8 caras# es 4?74# se puede también calcular a partir de los valores de la columna :# $sí5 & (x 8) A & (x A 8) & (x A 7) & (x A 6) ($) & (x 7) A & (x A 7) & (x A 6) (2) _______________________________________ 0estando $ R 2 & (x 8) R & (x 7) A & (x A 8)
& (x A 8) A & (x 8) R & (x 7) A 77?74 R ;?74 A 4?74 (3al (3al como se puede apreciar en la tabla en la columna 8)
TABLA# "E "I#TRIB($I3* BI*O'IAL A$('(LA"A ,upongamos que queremos determinar la probabilidad de obtener :H o más caras en 766 lanzamientos de una moneda n A 766
p A 7?8
&(x :H) A &(x A :H) &(x A :@) ^ &(x A 766) 71
Probabilidad y Estadística
omo ustedes pueden %aberlo notado# el uso de la fórmula 2inomial en este caso involucra la realización de muc%os cálculos. &or lo tanto# se %an calculado probabilidades acumuladas y se %an tabulado para valores seleccionados de n y valores de p# que van de 6.67 al 6.JJ.
&ara cada valor que corresponde a la probabilidad de obtener x o más# es decir# &5x a8.
Ejemplo &ara n A : y p A 6#89 !ncontrar5
a8 & (x 8)
b8 & (x A 6)
c8 & (x 9)
d8 & (x A 8)
e8 & (x 8)
&ara cada valor que corresponde a la probabilidad de obtener x o menos# es decir# &(x a).
!jemplo &ara n A : y p A 6#H9 !ncontrar5
a8 & (x 8)
b8 & (x A 6)
c8 & (x 9)
d8 & (x A 8)
e8 & (x 8)
EDER$I$IO# 7.
Fada Fada la Fist Fistri ribu buci ción ón 2inom 2inomia iall con con p A 6.84 6.84 y n A H# util utilic ice e la tabla tabla de Fistribución 2inomial $cumulada para determinar5 a) &(x :)
8.
b) &(x A :)
Fada Fada la Fist Fistri ribu buci ción ón 2inom 2inomia iall con con p A 6.9H 6.9H y n A @# util utilic ice e la tabla tabla de Fistribución 2inomial $cumulada para determinar5 a) &(x 9)
b) &(x A 6)
c) & (x 9)
d) &(x A 9)
72
Probabilidad y Estadística
9.
Fada Fada la Fist Fistri ribu buci ción ón 2inom 2inomia iall con con p A 6.@: 6.@: y n A J# util utilic ice e la tabla tabla de Fistribución 2inomial $cumulada para determinar5 a) &(x H)
:.
b) &(x A H)
c) & (x;)
d) &(x A ;)
Fada Fada la Fist Fistri ribu buci ción ón 2inom 2inomia iall con p A 6.H6 6.H6 y n A86# A86# utili utilice ce la tabl tabla a de Fistribución 2inomial $cumulada para determinar5 a) &(x A 6)
b) &(x A 78)
c) & (x 78)
d) &(x 78)
9OR'A# &ARA (TILI?AR E#TA# TABLA# "E LA BI*O'IAL a8
&5X M8 se b!sc b!scaa dire direct ctam amen ente te en la tabla tablaHH el va valo lorr de x se enc!entra en la parte derecNa 6 el valor de p en la parte inerior. inerior. &5X M8 &5X M8 R &5X M@<8 &(I X) A 7 R &5X M@<8 &5X M8 &5X M@<8 &5X M8 < @ &5X M8 &5X ;8 < @ p5X <8
b8 c8 d8 e8 8
"I#TRIB($IO* "E &OI##O* "E9I*I$IO*
,on aquellos fenómenos aleatorios que describen fenómenos cuyos eventos se presentan como resultados al azar en un intervalo de tiempo dado# en una región específica conocida o en el espacio.
La distribución de &oisson se utiliza como modelo para describir distribuciones de probabilidad de sucesos tales como5
!l n*mero de llamadas telefónicas recibidas en un conmutador cada minuto !l n*mero de accidentes de tránsito en un periodo de tiempo dado. !l n*mero de personas que llegan en una estación (taquilla# caja registradora etc.) a solicitar un servicio !l n*mero de leucocitos en una muestra de sangre
La distrib!ci4n de &oisson se caracteriza por5
73
Probabilidad y Estadística
,us respuestas están orientadas a darle solución a problemas que se refieren al n*mero de éxitos esperados por unidad de tiempo# espacio etc.
Una variable con distribución de &oisson debe tener la estructura o responder a interrogantes mediante el siguiente planteamiento5
X !l n*mero de veces que ocurre un suceso en unidad de tiempo o espacio. La variable aleatoria de &oisson I representa el n*mero de ocurrencias del evento en un intervalo de tiempo# en una región específica o en el espacio. La distribución de la V.A. X La llamamos distrib!ci4n e &oisson. Una forma de obtener la distribución de &oisson es tomando el límite de la distribución 2inomial cuando n ) de tal manera que el producto np permanezca constante# esto significa que p ) 0 porque de lo contrario np no sería constante. $sí que5
x
xn xn e p: > x0,12., e2.718 pn p xn) )0 x!
#
Fonde n > p es el parámetro del cual depende la "istrib!ci4n de &oisson que presentaremos con & 5xH P8. &or lo tanto# la 9(*$IO* "E &ROBABILI"A" de la -.$ -.$ de &'1,,'/ X es5
e
f x;
x
x!
+ la función de distribución de X es5
x
e x
X 0
x!
F x P X x
74
Probabilidad y Estadística
!sta función esta tabulada para diferentes valores de ` y en la misma forma como en la tabla de la 2inomial encontramos las probabilidades acumuladas para los diferentes valores de x. !n un experimento de &oisson la probabilidad de obtener exactamente x éxitos# designado P X x # es la 9(*$IO* "E &ROBABILI"A" f x ; P X x
e
x
x!
x 0. 1, 2 , ...
`A /umero promedio de éxitos en intervalo de tiempo dado. eA 8.H7@8@^ es la base del sistema de logaritmos naturales
EDE'&LO
!l n*mero promedio de demandas presentadas a una compaía de seguros es de 8 demandas por días. uál es la probabilidad de que en un día cualquiera5
,e presente exactamente una demanda. /o se presente ninguna demanda. ,e presente exactamente 9 demandas.
,olución a) 3enem enemos os que que P ( X x) 2 x1
x
e x!
y
Pro%&diod& d&%adas'or dia/ 6(%&rod& d&%adas'r&s&tada s/
conocemos que (%romedio de demandas *or d;a
, 9 " n7mero de demandas *resentadas# entonces5 P ( X 1)
1! 2
b) onoc onocem emos os55 P ( X 0)
(2.71828) 2
( 2) 2
, 9 =
(2.71828) 2
(2) 0
c) onoc onocem emos os55
y
0!
3
2
y
( 2 ) ( 2.71828 ) P ( X 3 ) 3!
0.27067
0.13534 , 9 .
2
0.18045
TABLA# "E "I#TRIB($IO* "E &OI#O* A$('(LA"A#
75
Probabilidad y Estadística
Las probabilidades de &oisson acumuladas %an sido calculadas y tabuladas para valores de P entre 6.7 y 76. !l valor de P se encuentra en la columna izquierda de la tabla. !l valor de x se encuentra en la parte superior de la tabla. La probabilidad en cada cuadro corresponde a la probabilidad de obtener x o menos# es decir# decir# &(I x).
EDE'&LO# "E TABLA# "E "I#TRIB($IO* "E &OI##O* 7. Un vendedor vendedor de automóvil automóviles es vende un un promedio promedio de 8.; ve%ícul ve%ículos os por día. día. Utilizando la tabal determine si la &robabilidad de que un día cualquiera venda5
&or lo menos : ve%ículos. !xactamente : ve%ículos.
#ol!ci4n5 a.
t& &la tabl x ) a'ar&c&dir&cta%& P ( X 4 ) 0.8912 P ( X
b.
( 2.5 )
4
( 2.71828) ( 2.5 )
P ( X
4)
P ( X
P ( X 0.8912 0.7576 4)
4! 4 ) P ( X
0.1336
b(scado&la tablat&&%os(&
3)
0.1336
EDE'&LO# "E TABLA# "E "I#TRIB($IO* "E &OI##O* 7. !l n*mero de promedio promedio de accidentes de tránsito tránsito que ocurren en cierta carretera carretera en días laborables entre las H y las @ de la maana es de 6.H accidentes por %ora. Utilíces Utilícese e la tabla para determinar determinar la probabilidad probabilidad de que ocurra más de 8 accidentes en esa carretera entre las H y las @ de la maana.
#ol!ci4n5 P;.Q &( I 8) A 7 R &(I
8) A 7 R 6.J4;J A 6.69:;
A&ROXI'A$IO* "E &OI##O* A LA "I#TRIB($IO* BI*O'IAL 76
Probabilidad y Estadística
La aproximación de las probabilidades 2inomiales mediante las aproximaciones de &oisson# se realiza cuando p se acerca a cero 6 el valor de n se Nace m!6 rande, es decir7
p ;,; 6 n =; onsideraos una distribución 2inomial con pA6.68 y nA766> supongamos que nos interesa calcular la probabilidad de que xA9 utilizando la formula 2inomial# podemos encontrar esta probabilidad exacta en la forma5 P ( X 3)
100! 3!97!
(0.02) (0.98) 3
2
0.1825
omo usted puede notar# en e uso de esta fórmula 2inomial en este caso# requiere de cálculos tediosos. $&0'I1"$1S/
uando & es cercana a cero (6) y n es bastante grande (como el ejemplo anterior)# la formula 2inomial puede aproximarse mediante la distribución de &oisson con np de la siguiente forma5 np 5<;;85;.;=8= = !ntonces la probabilidad de XC es5
P ( X 3)
x
e x!
(2) 3
(2.71828) 2 3!
0.1805
!l cual es aproximado al resultado encontrado usando la distribución 2inomial. '/LU,1S/
,e puede decir que la aproximación de las probabilidades binomiales mediante las probabilidades de &oisson# mejora a medida que p se acerca a cero y el valor de n se %ace más grande. !sto quiere decir que la aproximación se considera apropiada cuando p ;.; y n =;.
EDE'&LO "E A&ROXI'A$I3* "E &OI##O* A LA "I#TRIB($IO* BI*O'IAL
Una maquina produce ciertos artículos artículos con un promedio de 8\ de artículos defectuosos en una muestra aleatoria de H; artículos. Duál es la probabilidad de obtener exactamente 9 artículos defectuososE.
,olución5
77
Probabilidad y Estadística
,e trata de una distribución 2inomial con p ;.;= y n Q dado que se cumplen las condiciones anteriores# utilizamos la distribución de &oisson.
n p (75) > (0.02 ) 1.5
2uscando en la tabla tenemos que5 P ( X 3)
P ( X 3) P ( X 2) 0.9344 0.8088 0.1256
9OR'A# &ARA (TILI?AR LA# TABLA# "E &OI##O* a8 b8 c8
&5X M8 se b!sca b!sca directamente directamente en la tabla tabla &(I X) A 7 R &5X M@<8 &5X M8 &5X M8 R &5X M@<8
"I#TRIB($I3* I&EREO'STRI$A Los experim experiment entos os que tienen tienen este este tipo tipo de distri distribuci bución ón tienen tienen las siguie siguiente ntess características5 a) $l realiz realizar ar un experim experiment ento o con este tipo tipo de distrib distribuci ución# ón# se esperan esperan dos dos tipos tipos de resultados. b) Las probabil probabilidades idades asociadas asociadas a cada uno uno de los result resultados ados no son constant constantes. es. c) ada ensayo ensayo o repetición repetición del experim experimento ento no no es independiente independiente de los los demás. demás. d) !l n*me n*mero ro de de repet repetici icione oness del del experi experimen mento to (n) es constante. !n estadística la "istrib!ci una dis distri tribuc bución ión de "istrib!ci4n 4n NipereomGt NipereomGtrica rica es un probabilidad discret discreta a con tres parámetro parámetross discret discretos os # d y n cuya función de probabilidad es5
78
Probabilidad y Estadística
$ , $ x n x P X( x ) , n $quí#
a b
se refi efiere al coefic coeficiente iente binomi binomial al## o al n*me n*mero ro de combi combina naci cione oness
posibles al seleccionar b elementos de un total a. !sta distribución se refiere a un espacio muestra donde %ay elementos de 8 tipos posibles. posibles. 1ndica la probabilidad probabilidad de obtener un n*mero de objetos x de de uno de los tipos# al sacar una muestra de tamao n# de un total de objetos# objetos# de los cuales d son del tipo requerido. !l valor esperado de esperado de una variable aleatoria X de de distribución %ipergeométrica es E ( X )
n $
+ su varianza
79
Probabilidad y Estadística
2
/A ( X ) n n $ 1 $ 1
La distrib!ci4n ipereomGtrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo5 !n una urna %ay bolas de dos colores (blancas y negras)# Dcuál es la probabilidad de que al sacar 8 bolas las dos sean blancasE ,on experimentos donde# al igual que en la distribución binomial# en cada ensayo %ay tan sólo dos posibles res!ltados5 o sale blanca o no sale. &ero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensa6os son dependientes entre sí5 ,i en una urna con ; bolas blancas y 9 negras en un primer ensayo saco una bola blanca# en el segundo ensayo %ay una bola blanca menos por lo que las prob proba abilidades son diferent entes (%ay dependencia entre los distintos ensayos). La distrib!ci4n ipereomGtrica sigue el siguiente modelo5
80
Probabilidad y Estadística
, 1 , 2
x n x f x ( P) X( x ) , n Fonde5
, 1 , 1!
x x ,!( x 1 )!
xn xn xn x(n ,)!( 2 xn x(n )!
, 2 , 2!
81
Probabilidad y Estadística
, , !
n n ,! ( n)!
-amos a tratar de explicarlo5
*5 es el n*mero total de bolas en la urna *<5 es el n*mero total de bolas blancas *=5 es el n*mero total de bolas negras n*mero ro de bola bolass blan blanca cass cuya cuya prob probab abililid idad ad se está está x5 es el n*me calculando
n5 es el n*mero de ensayos que se realiza
Ejemplos !n una urna %ay H bolas blancas y ; negras. ,e sacan : bolas Duál es la probabilidad de que 9 sean blancasE !ntonces5 1.
/ A 78> /7 A H> /8 A ;> A 9> n A : ,i aplicamos el modelo5
82
Probabilidad y Estadística
7 5 3 1 P( X 3) 0.3535 12 4 &or lo tanto# & (x A 9) A 6#9;9;. !s decir# la probabilidad de sacar 9 bolas blancas es del 9;#9\. &ero este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas# sino que también se aplica con experimentos similares5 2.
En una fiesta %ay 86 personas5 7: casadas y 4 solteras. ,e eligen 9 personas al azar Duál es la probabilidad de que las 9 sean solterasE
83
Probabilidad y Estadística
6 1 4 3 0 P( X 3) 0. 175 20 3 &or lo tanto# & (x A 9) A 6#67H;. !s decir# la probabilidad de que las 9 personas sean solteras es tan sólo del 7#H;\. !n una urna o recipiente %ay un total de N objetos# objetos# entre los cuales %ay una cantidad a de objetos que son defectuosos# si se seleccionan de esta urna n objetos al azar# y sin reemplazo# Dcuál es la probabilidad de obtener , objetos objetos defectuososE ,olución5 3.
Luego# la probabilidad de obtener x objetos objetos defectuosos de entre n seleccionados
84
Probabilidad y Estadística
a , a x xn P(X x ) , n p( x , n )
a
x B a n x
n
donde5
a a x n x 85
Probabilidad y Estadística
son las muestr muestras as o la cantidad cantidad de manera manerass de seleccion seleccionar ar de los n objetos en
donde %ay x que que son defectuosos y nx buenos. buenos. +
, n
son todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre los objetos en total# que es igual al espacio muestral
onsiderando que en la urna %ay un total de 76 objetos# 9 de los cuales son defectuosos# si se seleccionan : objetos al azar# Dcuál es la probabilidad de que 8 sean defectuososE
,olución5 / A 76 objetos en total a A 9 objetos defectuosos n A : objetos seleccionados en muestra x A 8 objetos defectuosos deseados en la muestra
86
Probabilidad y Estadística
3 1 03 2 4 2 P X( 2) ? 10 4 !s la probabilidad asociada a cada muestra de : objetos que se seleccionaron# con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
&ara evitar que lo descubran en la aduana# un viajero %a colocado 4 tabletas de narcótico en una botella que contiene J píldoras de vitamina que son simi simila lare ress en apar aparie ienci ncia. a. ,i el ofic oficia iall de la adua aduana na sele selecc ccio iona na 9 tabl tablet etas as aleatoriamente para analizarlas# a) Duál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticosE# narcóticosE# b) Duál es la probabilidad probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticosE.
,olución5 a) / A J4 A7; total de tabletas a A 4 tabletas de narcótico n A 9 tabletas seleccionadas x A 6# 7# 8# o 9 tabletas de narcótico IA variable que nos indica el n*mero de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 9 tabletas
87
Probabilidad y Estadística
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) A p(de que entre las 9 tabletas seleccionadas %aya 7 o más tabletas de narcótico)
88
Probabilidad y Estadística
6 9 6 9 6 9 1 2 1 3 0 XP( 1,2 3) 0.8153 15 3 89
Probabilidad y Estadística
'tra forma de resolver> p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) A 7 p(de que entre las tabletas seleccionadas no %aya %aya una sola de narcótico)
1 p( x 0C n 3 ) 1 1
( 1 )( 84 ) 455
6
0B 9 3 15 3
0.184615 0.815385
b) p(no sea arrestad arrestado o por posesión posesión de narcóticos) narcóticos)
p( x 0C n 3 )
6
0B 9 3
15 3
( 1 )( 84 ) 455
0.184615
Fe un lote de 76 bombillas# se seleccionan : al azar y se prueban. ,i el lote contiene 9 bombillas defectuosas que no encienden# Dcuál es la probabilidad de que a) las : enciendan b) al menos 8 no enciendanE ,olución5 a) / A 76 bombillas en total /7 A H bombillas que encienden /8A 9 bombillas que no encienden n A : bombillas seleccionadas x A 6# 7# 8# 9 o : &osibles bombillas que encienden IA -ariable que nos define el n*mero de bombillas que encienden entre la muestra que se prueba p( x
4C n 4 )
7
4B 3 0 10 4
( 35 )( 1 ) 210
35 210
0.16667
b) / A 76 proyectiles en total a A 9 proyectiles que no explotan 90
Probabilidad y Estadística
n A : proyectiles seleccionados x A 6# 7# 8 o 9 proyectiles que no explotan p(al menos 8 no exploten) A p( 8 o más proyectiles no exploten) A p(x A 8 o 9> nA:) A
3
2B 7 2 3 3B 7 1 10 4
( 3 )( 21 ) ( 1 )( 7 ) 210
63 7 210
70 210
0.333333
Duá Duáll es la prob probab abililid idad ad de que que una una mese mesera ra se re%* re%*se se a serv servir ir bebi bebida dass alco%ólicas *nicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo ; ident identifific icaci acion ones es de entr entre e J estu estudi dian ante tes# s# de los los cual cuales es : no tien tienen en la edad edad suf suficie icient nteE eE## D*a D*all es la proba robabi billidad idad de que com como máxi máxim mo 8 de las las identificaciones pertenezcan a menores de edadE ,olución5 a) / A J total de estudiantes a A : estudiantes menores de edad n A ; identificaciones seleccionadas x A variable que nos define el n*mero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x A 6# 7# 8# 9 o : identificaciones identificaciones de personas menores de edad p( x
2 ,n 5 )
4
2 B 5 3 9 5
( 3 )( 10 ) 126
0.238095
b) / A J total de estudiantes a A : estudiantes menores de edad n A ; identificaciones seleccionadas x A variable variable que nos define el n*mero n*mero de identificac identificaciones iones que pertenecen pertenecen a personas menores de edad x A 6# 7# 8# 9 o : identificaciones de personas menores menores de edad
p( x
0 ,1 ,2C n 5 )
4
0B 5 5 4 1B 5 4 4 2B 5 3 9 5
1 20 60 126
( 1 )( 1 ) ( 4 )( 5 ) ( 6 )( 10 ) 126
81 126
0.64286
91
Probabilidad y Estadística
EERCICIOS DE DISTRIBUCI!N BINO&IAL
7.
,e lanz lanza a una moned moneda a cuatro cuatro veces veces.. alcu alcula larr la probabi probabililida dad d de que salga salgan n más caras que sellos.
8.
Un agent agente e de segur seguros os vend vende e póliz pólizas as a cinc cinco o person personas as de la la mism misma a edad edad y que disfrutan de buena salud. ,eg*n las tablas actuales# la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 96 aos o más es 8?9. Mállese la probabilidad de que# transcurridos 96 aos# vivan5 a. Las Las cinco cinco perso personas nas.. b. $l men menos os tre tress perso personas nas.. c. !xact !xactam ament ente e dos dos perso personas nas
9.
,i de de seis seis a siete siete de de la tard tarde e se admi admite te que que un n*m n*mero ero de de telé teléfo fono no de cada cada cinc cinco o está está comun comunic icand ando# o# Dcuá Dcuáll es la prob probab abililid idad ad de que# que# cuan cuando do se marquen 76 n*meros de teléfono elegidos al azar# sólo comuniquen dosE
:.
La prob probab abililid idad ad de que que un %omb %ombre re acie aciert rte e en el blanc blanco o es 7?:. 7?:. ,i disp dispar ara a 76 vece vecess Dcuá Dcuáll es la prob probab abililid idad ad de que que acie aciert rte e exac exacta tame ment nte e en tres tres ocasionesE Duál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasiónE
92
Probabilidad y Estadística
;.
!n una una urna urna %ay 96 96 bolas bolas## 76 roja rojass y el rest resto o blanc blancas. as. ,e ,e elig elige e una una bola bola al azar y se anota si es roja> el proceso se repite# devolviendo la bola# 76 veces. alcular la media y la desviación típica.
4.
La *ltim *ltima a novela novela de de un auto autorr %a tenido tenido un gran gran éxito éxito## %asta %asta el punto punto de que que el @6\ de los lectores ya la %an leído. Un grupo de : amigos son aficionados a la lectura5 a. Duá Duáll es la prob probab abililid idad ad de que que en el grup grupo o %aya %ayan n leíd leído o la novel novela a 8 personasE b. D+ al meno menoss 8E 8E
H.
,e lanz lanza a una moned moneda a cuatro cuatro veces veces.. alcu alcula larr la probabi probabililida dad d de que salga salgan n más caras que sellos.
@.
,i de de seis seis a siete siete de de la tard tarde e se admi admite te que que un n*m n*mero ero de de telé teléfo fono no de cada cada cinc cinco o está está comun comunic icand ando# o# Dcuá Dcuáll es la prob probab abililid idad ad de que# que# cuan cuando do se marquen 76 n*meros de teléfono elegidos al azar# sólo comuniquen dosE
J.
La prob probab abililid idad ad de que que un %omb %ombre re acie aciert rte e en el blanc blanco o es 7?:. 7?:. ,i disp dispar ara a 76 vece vecess Dcuá Dcuáll es la prob probab abililid idad ad de que que acie aciert rte e exac exacta tame ment nte e en tres tres ocasionesE Duál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasiónE
76. 76. !n unas unas prue prueba bass de alco alco%o %ollemia emia se %a obse observ rvad ado o que que el ;\ de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 76\ de los conductores controlados no llevan aprovec%ado el cinturón de seguridad. 3ambién se %a observado obse rvado que las dos infracciones son independientes. 77. Un guardi guardia a de tráfic tráfico o detie detiene ne cinco cinco cond conduct uctore oress al azar. azar. ,i tenem tenemos os en cuenta que el n*mero de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al %acer la selección5 a.
Feterminar la probabilidad a de que exactamente tres conductores %ayan cometido alguna de las dos infracciones. b. Fetermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados %aya cometido alguna de las dos infracciones. 78. La probabil probabilida idad d de que un artícu artículo lo produci producido do por una fabrica fabrica sea defect defectuoso uoso es p 6.668. ,e envió un cargamento de 76.666 artículos a unos almacenes. Mall Mallar ar el n*mer n*mero o espe espera rado do de artíc artícul ulos os defect defectuos uosos os## la varia varianza nza y la desviación típica.
93
Probabilidad y Estadística
79. !n una urna urna %ay 96 bolas bolas## 76 rojas rojas y el resto blanc blancas. as. ,e elige elige una una bola al azar y se anota si es roja> el proceso se repite# devolviendo la bola# 76 veces. alcular la media y la desviación típica. 7:. 7:. Un labo labora rato tori rio o afir afirma ma que que una una drog droga a caus causa a efec efecto toss secu secund ndar ario ioss en una una proporción de 9 de cada 766 pacientes. &ara contrastar esta afirmación# otro laboratorio elige al azar a ; pacientes a los que aplica la droga. Duál es la probabilidad de los siguientes sucesos5 a. /ing*n /ing*n pacien paciente te tenga tenga efectos efectos secund secundari arios. os. b. $l menos menos dos dos tengan tengan efect efectos os secunda secundario rios. s. c. Duá Duáll es el n*me n*mero ro medio medio de pacien paciente tess que que espera espera el labor laborat atori orio o que que sufran efectos secundarios si elige 766 pacientes al azarE
SOLUCI!N 1.
,e lanza una moneda cuatro veces. alcular la probabilidad de que salgan más caras que sellos.
B (:# 6.;)#
8.
p A 6.;#
q A 6.;
Mallar Mallar la probabi probabilid lidad ad de que# que# trans transcur currid ridos os 96 96 aos# aos# vivan5 vivan5 a. Las Las cinco cinco perso personas nas.. B 1 -F. * 9 -F. 4 9 "F.
b. $l men menos os tre tress perso personas nas..
c. !xact !xactam ament ente e dos dos perso personas nas 94
Probabilidad y Estadística
9.
Dcuál Dcuál es la prob probabi abilid lidad ad de de que# que# cuand cuando o se marqu marquen en 76 76 n*mero n*meross de teléfo teléfono no elegidos al azar# sólo comuniquen dosE
B"=1 "F* 9 "F4 9 F
:.
Dcuá Dcuáll es la prob probab abililid idad ad de que que acie aciert rte e exac exacta tame ment nte e en tres tres ocasi ocasion ones esE E Duál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasiónE
B"=1 "F * 9 "F4 9 .F
;.
!n una una urna urna %ay 96 96 bolas bolas## 76 roja rojass y el rest resto o blanc blancas. as. ,e ,e elig elige e una una bola bola al azar y se anota si es roja> el proceso se repite# devolviendo la bola# 76 veces. alcular la media y la desviación típica.
B"=1 "F. * 9 "F.4 9 -F.
4.
U n g r up u p o d e : a m ig ig o s s o n a f ic i c io i o n ad a d o s a la l a le l e c tu t u r a5 a5 a. Duá Duáll es la prob probab abililid idad ad de que en el grup grupo o %aya %ayan n leid leido o la novel novela a 8 personasE
B 1 =#- * 9 =#G 4 9 =#-
95
Probabilidad y Estadística
b . D + a l m en en o s 8 E
H.
,e lanz lanza a una moned moneda a cuatro cuatro veces veces.. alcu alcula larr la probabi probabililida dad d de que salga salgan n más caras que sellos.
B 1 =# * 9 =#4 9 =#
@.
Dcuál Dcuál es la prob probabi abilid lidad ad de de que# que# cuand cuando o se marqu marquen en 76 76 n*mero n*meross de teléfo teléfono no elegidos al azar# sólo comuniquen dosE
B5<;,
Problemas resueltos de la distribución binomial 4
96
Probabilidad y Estadística
Problemas resueltos de la distribución binomial 5
La probabilidad de que un %ombre acierte en el blanco es 7?:. ,i dispara 76 veces Dcuál es la probabilidad de que acierte
e x a ct ct a m e n t e
en
tres
ocasionesE
Duál
es
la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasiónE 2(76# 7?:) p A 7?:q A 9?:
Problemas resueltos de la distribución binomial 6
!n unas pruebas de alco%olemia se %a observado que el ;\ de los conductores controlados dan positivo en la prueba y q ue u e e l 7 6\ 6 \ d e l os o s c on o n du d u ct c t or o r es e s c on o n tr t r ol o l ad a d os o s n o l le l e va va n a pr p r ov o v ec e c %a % a do do
e l c in i n tu t u ró r ó n d e s eg e g ur u r id i d ad a d . 3a mb m b ié ié n s e % a
observado que las dos infracciones son independientes.
97
Probabilidad y Estadística
U n g u a r d i a d e t r á fif i c o p a r a c i n c o c o n d u c to t o r e s a l a z a r. r. , i t e ne ne mo m o s e n c ue u e nt n t a q u e e l n *m * m e ro ro s uf u f i ci c i e nt n t e me me nt nt e
i mp mp o rt r t a nt nt e
c om om o
d e c on o n du d u ct c t o re re s e s
p ar ar a
e s titi ma ma r
qu e
la
proporción de infractores no varía al %acer la selección.
< . Feterminar la probabilidad a de que exactamente tres conductores %ayan cometido alguna de las dos infracciones.
= . Fetermine la probabilidad de que al menos uno de los c o nd n d u ct c t o re r e s c o nt n t r ol o l a do d o s % a ya y a c o me m e t id i d o a l gu gu n a d e l a s d o s infracciones.
Problemas resueltos de la distribución binomial 7
98
Probabilidad y Estadística
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 6.668. ,e envió un cargamento d e 7 6. 6 . 66 6 6 6 a r tí t í cu c u lo l o s a u no n o s a lm l m ac a c en e n es e s . M al a l la l a r e l n *m * m er er o e s p e r ad ad o
de
a rt rt í c u l o s
d e f e c t u o so so s #
la
varianza
y
la
desviación típica.
Problemas resueltos de la distribución binomial 8
!n una urna %ay 96 bolas# 76 rojas y el resto blancas. ,e elige una bola al azar y se anota si es roja> el proceso se r e p i te te # d e v o l v i e nd n d o l a b o l a # 7 6 v e c e s . a l c u l a r l a m e d ia ia y l a desviación típica. 2(76# 7?9) p A 7?9q A 8?9
99
Probabilidad y Estadística
Problemas resueltos de la distribución binomial 9
Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 9 de cada 766 pacientes. &ara contrastar esta afirmación# otro laboratorio elige al azar a ; p a c i e n t e s a l o s q u e a p lil i c a l a d r o g a . D u á l e s l a probabilidad de los siguientes sucesosE
< . /ing*n paciente tenga efectos secundarios. 2(766# 6.69) p A 6.69 q A 6.JH
$ l m e n o s d o s t e n g a n e f e c t o s s e c u n d a r i o s . = . $l
C.Duál es el n*mero medio de pacientes que espera l ab a b or o r at a t or o r io i o q u e s u fr fr an a n e fe f e ct c t os o s s ec e c un u n da d a ri r i os o s s i e lil i ge ge 7 6 6 pacientes al azarE
100
Probabilidad y Estadística
6.4.12 Distribución de Poisson (o de los sucesos raros) $ @.$. X @.$. X %++ %++ $ ley de distribución de probabilidades del tipo Poisson &$
E+ % + :+y+ + $%:&$ $ &+ & %b$b:$ y b$$ + &, b++ & :$ b& :C+ + $ &+ + @$$b:+ b$:+, ,y
(% $
, +
).
L$ +$& + + &+ +
101
Probabilidad y Estadística
E D++$: :$+ :$ b& + P & $%x$& + +x%++ b$:+ + +: F+ + %+b$ + y $:, %+ :$ %b$b:$ + x y b$$. A @+&+ + +:+ :$ & &+ + $%x$&*
L$ :+y + P :$ %+ +&$ $b:$$ + :$ $b:$ F+ 2, %$$ &+ @$:+ $:+ + . L$ f& &$$&+C&$ +
+
+ : G+ + +&+ G+ @$: +%+$ y @$$$ &&+
6.4.12.1 Ejemlo
102
Probabilidad y Estadística
"+$ +f++$ ++ $ %b$b:$ y b$$ + &, p &, pH1/100.000. H1/100.000. "$:&:$ :$ %b$b:$ + G+ + $ &$ & 500.000 I$b$+ I$y$ J + 3 %+$ & &I$ +f++$. "$:&:$ +: F+ +%+$ + I$b$+ G+ :$ %$+&+. .$. X G+ G+ &$b:$ +: F+ + %+$ G+ %$+&+ :$ Solución: K &+$ :$ @.$. X +f++$, + &:$ G+ D+ +: b$:, %+ G+ %++ + y b+ $%x$ % +: + P, + G+
1 n p (500.000) > 5 100000 5
AC +: F+ +%+$ + %+$ G+ %$+&+ :$ +f++$ +
. "
, +x+ $ D$ %+, y +C$ +x$ +&$ G+ + +$:$ I$y &I$ J %+$ + G+ +J +f+$. L$ %b$b:$ + G+ I$y$ J + + %+$ +f+$ +*
P ( X 3) 1 P ( X 3) 1 0.2650 0.735
!jercicios resueltos de distribución binomial
103
Probabilidad y Estadística
!AMA AMABLEK BLEK ALEA ALEANMAK NMAK "ONM "ONMOAK OAK K + +x%++ $:+$ $ &$$ s#+es &$$ s#+es $:+$ $:+$ +:++$: :+ $D$ @$: & b++ $ ariab*e a*eatria. a*eatria. E +&, $ @$$b:+ G+ ::+@$ $&$$ $ %b$b:$. L$ %b$b:$ + @$: &&+ + :$ @$$b:+ + :$ %b$b:$ G+ &+%+ $ : &+ $:+$ +:++$:+ $ : G+ I+ $D$ ++ @$: &. *an=ar #n $a$ $a$ $D$ $ &$$ &$$ +: $ @$: Pr ejep* * ejep* * E +: +x%++ $:+$ *an=ar & (+$ $D$& $%$+&+ + f$ $$:). AC D++$ $ @$$b:+ $:+$$ G+ $ + @$:+, +: 1 $: 6 & D$: %b$b:$ (1/6) &$$ + +::. P+, & ++ +x%++, %+ D++$ $ @$$b:+ $:+$$ ( $ $$:+) & %++ + * $D$ +: @$: 1 $ :$ &$$ G+
104
Probabilidad y Estadística
F:%: + + y +: @$: 0 $ :$ G+ : , $%$+&+ $ @$$b:+ $:+$$ G+ ++ @$:+, +: 1 & %b$b:$ 1/3 y +: 0 & %b$b:$ 2/3.
"+$ $ @$$b:+ $:+$$ ++ &I + :$ @$ $ :$ :$ + ++$ &+x, % ++%:, %+ :$ :$ +D$ @$$b:+ $:+$$ G+ I+ &+$ %$$ $%$ $:+ F:%: + +. ++, $ @$$b:+ $:+$$ + &y+ $: $b F+ (%@, +D$@ &+) $ &$$ + : &+ $:+$ G+ f$ +: +%$& +$: + +x%++ $:+$. L$ %b$b:$ + &$$ @$: + :$ @$$b:+ + :$ %b$b:$ &$ + : &+ G+ $ :D$ $ ++ @$:. E +&, +f $ @$$b:+ $:+$$ & $ ap*i+a+iDn +: ap*i+a+iDn +: +%$& +$: b+ +: & + : F+ F + +$:+ . K+DF :$ $%: +: &$% + @$$& + :$ f& %+ D * @$$b:+ $:+$$ $is+retas y $is+retas y @$$b:+ $:+$$ +ntin#as. +ntin#as. + :$ $ f$ G+ + + +$C&$ +&%@$, $ @$$b:+ $:+$$ + &+$ $ @$:+ + & f f +$b:+. Y $ @$$b:+ $:+$$ + &$ %++ $ @$:+ + & f +$b:+. " ++%: C%& + @$$b:+ $:+$$ &+$ ++ :$ b& b$:, b$:, y & ++%: C%& + @$$b:+ $:+$$ &$ @$ $ @+ $I$ :$ b& $:. $:.
" I+ @ I$y @$$b:+ $:+$$ G+ %++ $ &$:G+ @$: + +@$: +$: + :$ f$ ($, b), ($, Q), (-, b), (-, Q) + + +::. A :$ @$$b:+ + ++ % + :$ +$ variables aleatorias continuas . Pr ejep* * ejep* * K%D$ G+ @$ $ +$:$ +x%++ $:+$ G+ &+ + +:+&&$ $ %+$ y $%$ %+. P+ &+$ $ @$$b:+ @$$b:+ $:+$$ &y @$:+ +$ +: F+ + :D$ :D$ G+ %+$ :$ %+$ b+@$$. E ++ &$, +: $D + @$:+ %b:+ + +x++ ++ : :C+ $$:+, %+ :$ &$ + +$ @$$b:+ $:+$$ $&$ + +: &$J&+ & + : G+ +, +: %+, + +&, +&, + +: I+&I + G+ G+ ++ @$:+ @$:+ %b:+ + %C$ b++ f f @$:+ @$:+ ++, $b %b:+ :J$ $%$$ & f&++ %+&. E f f + +: + +: $D + :$ @$$b:+ + : G+ f++&$ $ :$ @$$b:+ &$ + :$ &+$.
K +$ + %f$+, &+$ G+ $ b& + %b$b:$ + &$:G+ +&$ G+ $y$ $ b++ :$ %b$b:$+ + : @$:+ + $ @$$b:+ + &+$, :$ %b$b:$+ + +@$: + :$ @$$b:+ + &$. K :$ @$$b:+ $:+$$ + &+$ + %b:+ $D$ %b$b:$+ $ &$$ + : @$:+ %$:+ + :$ @$$b:+. E &$, +#an$ es +ntin#a +a$a #n $e *s infinits a*res psib*es ten$r prbabi*i$a$ prbabi*i$a$ +er % sD* p$res p$res :ab*ar $e prbabi*i$a$ $entr $entr $e intera*s. intera*s.
b&+ + %b$b:$ & @$$b:+ $:+$$ &$ & + b& y & + +$.
105
Probabilidad y Estadística
K :$ @$$b:+ $:+$$ + &$ I$y I $y f @$:+ %b:+ + :$ @$$b:+ y ++ &$ $ + +:: + %C$ +f f @$:+ J. E + $ &&+, y & y$ I+ &I, + %b:+ +& :$ %b$b:$ + @$: %$: + :$ @$$b:+, & + %++ I$&+ + +: &$ + @$$b:+ $:+$$ &+$. P+ C + %b:+ &$:&:$ :$ %b$b:$ $&:$$ I$$ &+ @$: ( f#n+iDn f#n+iDn $e $istrib#+iDn), $istrib#+iDn), J $+ %+ $$:$ & &$b$ :$ %b$b:$ $&:$$ + &$$ % (+ &$b %b$b:$+ &&+% G+ +$ $ensi$a$ $e prbabi*i p rbabi*i$a$ $a$ ). ). " G++ +f : &&+% + f& + +$ y + b& %$$ @$$b:+ $:+$$ &$, @$ $ %$ + :$ +$ @$ + G+ $:+ f&+ +: + :$ b&+ + f+&+&$ + :$ @$$b:+ $:+$$ &+$$. Ejep* 1 P+++ b+@$ :$ $:$ + D% + %+$ y @$ $ +:+&&$ $ $ %+$ + f$ $:++ $:+$$. $:+$$. L$ %b$b:$ + G+ :$ $:$ + +$ %+$ +$ +x$&$++ 1,62894635... + &+. P+ :$ %b$b:$ + G+ :$ $:$ + +$ %+$ + ++ 1,62 y 1,63 +J @$: &&+ y &$ & &++$ G+ +J $y G+ :$ %b$b:$ + G+ + ++ 2,10 y 2,11 . P $, :$ +$ + %b$b:$ + +: +: + + 1,625 + $y G+ :$ +$ + %b$b:$ %b$b:$ + +: + + 2,105 . . !in ebar", >#e e* a*r exa+t 1,62894635 ten"a prbabi*i$a$ +er $e +#rrir n ip*i+a >#e sea ipsib*e >#e +#rra. + I+&I, &$:G+ %+$ G+ +:+&&+ +J $ $:$ &&+$ y +x$&$ G+ +C$ %b$b:$ &+ &+ + &++. &++.
Ejep* 2 K+$ X :$ @.$. G+ +&b+ :$ $#ra+iDn $e *s ne#ti+s + $ ++$$ $&$ y +:. L @$:+ + $ @$$b:+ +$C&$ &$ +%+ + &+$ $D%$ + +@$: + &:$+, :+D ++ + %:$+$+ :$ %b$b:$ + +:$ $:$ (&, % ++%:, :$ %b$b:$ + G+ +J& +, +x$&$++, 56.000 , 235 , 47 & y 6 ). E &$, +$ %b$b:$+ +b+ @$:+ &+. P+ C %+ %+D$, % ++%:, R&J: + :$ %b$b:$ + G+ +J& + + + 50.000 ? R&J: + :$ %b$b:$ + G+ +J& + ++ 60.000 y 70.000 ?.
N$ + +: ++%: 1 & + +: 2 G++ I$::$ +$ %b$b:$+ ++ G+ +& $ +%C& y $ &&$ +$C&$ * $ $ +$, +x$$ y $$ :$ f+&+&$ b+@$$. E&+ $+ & @$: + :$ %b$b:$ + &+ 1 :$ f+&+&$ b+@$$ + + * p * p( (1) H fr H fr ( (1). Y $C %+ & :ist"raa $e fre+#en+ias re*atias y re*atias y :ist"raa $e fre+#en+ias re*atias re*atias a+##*a$as. E a+##*a$as. E +: %+, :$ fr :$ fr (X (X x) +J :$ $ + :$ f+&+&$ + t$as *as +*ases anterires a x; x ; : G+, D+&$++, + +: J+$ b$ :$ &@$ + f+&+&$ ++ +: & + :$ DJf&$ y +: @$: x. x. L$ b+& + fr + fr (X (X x) + :$ +D$ DJf&$ + J J% %+, fr (X (X x) + :$ :$ f+&+&$ f+&+&$ $&:$$ +: @$: x y + :++ +&$++ + :$ DJf&$.
106
Probabilidad y Estadística
A %$ + $ $& +$: & +$+ + f+&+&$ + &+$ +: +& & $D$& + %b$b:$+. K+$ X $ @$$b:+ $:+$$ $:+$$ &$ G+ $ @$:+ + +@$: +@$: =$, b<. K %&++ $ @ +: +@$: &$$ @+ + J %$+ +: %:CD + f+&+&$ +:$@$ (+$+ + f+&+&$) + @$ $%x$ $ $ &@$ & ++$ $%+&. $ @+ +$:$ ++ %&+ + @ &+@$++ +: +@$:, :$ +$+ + f+&+&$ %$$ $ +, + +: :C+, +$+ + %b$b:$. L$ %b$b:$ + G+ :$ @$$b:+ X + : @$:+ ++ ++ x0 y x0QI + P(x0 X x0QI) y &+%+ $: J+$ J+$ b$ :$ &@$ + +: +@$: =x0 , x0QI<. L$ f& &+%++ $ +$ &@$, yH f(x), f(x), :$ +$ Función de densidad .
FUNCIÓN DE DENSIDAD $ f& %f(x) + $ f& + +$ + $ @$$b:+ @$$b:+ $:+$$ &$ &%:+ :$ D++ &&+ *
FUNCIÓN DE DISTI!UCIÓN E D++$:, :$ f#n+iDn :$ f#n+iDn $e $istrib#+iDn + $istrib#+iDn + $ @$$b:+ $:+$$ &$ X + +: +: +& + :$ &@$ + f+&+&$ $&:$$ G+ + +%+$ b++ %$$ X, y +b+ &%:, +@++++, +$ %%+$+*
K+ &+&++ N$ @$:+ + 0 $ 1
K X + $ @$$b:+ $:+$$ &$ & @$:+ + +@$: =$, b<, +&+ (x) +J :$ %b$b:$ + G+ :$ @$$b:+ X + @$:+ ++ $ y x y x.. (x)HP($ X x).
107
Probabilidad y Estadística
E +&, :$ f& + b& (x) + $ %@$ + :$ f& + +$ f(x), f(x), &I + $ f$, :$ f& + +$ + :$ +@$$ + :$ f& + b&. M&$ :$ %b$b:$ + G+ :$ @$$b:+ $:+$$ &$ X +$ + D$: G+ @$: $, + +&, %%&$ :$ %b$b:$ $&:$$ I$$ ++$ @$: + :$ @$$b:+.
PA"#ET$S DE UNA %AIA!&E A&EAT$IA C$NTINUA P $$:DC$ & :$ +f&+ + + &&+% %$$ @$$b:+ $:+$$ &+$, + +f+ :$ +%+$$ $+J&$ +$ , :$ @$$$ . y :$ +@$& C%&$ C%&$ + $ @$$b:+ $:+$$ &$ + :$ D++ f$ *
TIPIFICACIÓN DE UNA %AIA!&E A&EAT$IA K X + $ @$$b:+ $:+$$ + +$ y +@$& C%&$ , :$ @$$b:+ YH(X-)/ ++ + +$ 0 y + +@$& C%&$ 1, y + ::$$ %f&$$ + X. P+ +& G+ + :$ +@$& + X +%+& + +$, $ & $ :$ +@$& C%&$ + X.
108
Probabilidad y Estadística
Variables aleatorias continuas K $ @$$b:+ &+$ $ : @$:+ x @$:+ x1, ..., x ..., x? , :$ %%& + :$ %JD$ $f$ G+ :$ %b$b:$ + G+ $: I$&+ +x%++, X +x%++, X + + + + @$:+ + 1, + G+ &$$ %b:+ @$: x @$: xi &by+ & $ &$$ f &$$ f ( x xi) $: $:*
A &$ :$ @$$b:+ $+ F+ f + @$:+, x @$:+, x1, x2, ..., I$y DF %b:+$ + &%b$ G+ &$$ x &$$ xi &by+ & $ &$$ f &$$ f ( x xi) $: $: + G+
"$ :$ @$$b:+ + &$, ++ + I$&+ $ $ + :$ %b$b:$+ + &$$ + : + +: + $+, y$ G+ +: & + @$:+ G+ %++ $ :$ @$$b:+ + n n#erab*e. n#erab*e. E ++ &$, : G+ D++$:$ + $$: +: &&+ &&+% % + $ $ (
) + + +: + +D +D$: $: ( ). P P :$ :$,, %$$ %$$ @$ @$$ $b: b:+ + & & $ $
++ + I$b:$ + :$ %b$b:$ + G+ , y$ G+ +$ +b+ + @$:+ +%+ 0, %$$ G+ :$ s#a :$ s#a infinita n n#erab*e + n#erab*e + :$ %b$b:$+ + : @$:+ + :$ @$$b:+ +$ f$. + ++ + +&+$ & +@ &&+% G+ y$ + @.$. &$, $: + f& + %b$b:$ + $ @.$. &+$. E+ &&+% + +: + 'unción de densidad
de una ()a) continua, G+ + +f+ & $ f&
+D$b:+, G+
@+f&$ :$ %%+$+ D++*
109
Probabilidad y Estadística
y G+ $+J @+f&$ G+ $ aSb, + ++ G+
Fi*ura: & + +$ f +$ f . L$ %b$b:$ + +@$:, + +: J+$ G+ +x+ ++ :$ f& y +: ++ + $b&$.
5.6.!.1 "bser#ación P + f + f $ $ f& +D$b:+, :$ %b$b:$ + % + :$*
110
Probabilidad y Estadística
y % +:: $: &$:&:$ :$ %b$b:$ + +@$: $f+&$$ $$ +: G+ ++ +$ $b+ &+$ % &$:G+$ + +x+, %+ + % y % $ + %b$b:$ :$*
L$ 'unción de distribución de la ()a) continua, F , + +f+ + G+ $ (x) + :$ %b$b:$ + G+ X G+ X +$ +$ + D$: G+ x G+ x,, + +&
,
b& F , &$:&:$$ $ %$ + :$ f& + +$ f +$ f . Fi*ura: & + b& F
5.6.!.2 "bser#ación
111 111
Probabilidad y Estadística
$ +@$: + :$ f$ (a (a,b<, ++ G+
E +&, :$ &$$ F &$$ F (b) - F - F (a) +%++$ :$ asa $e prbabi*i$a$ +x+$ +x+$ $ : :$D + &I +@$:. K @ +$ &$$ % :$ :D +: +@$:,
++ :$ asa e$ia $e prbabi*i$a$ pr #ni$a$ $e *n"it#$ + + (a (a,b<, + +&, $ensi$a$ e$ia $e prbabi*i$a$ . K I$&+ ++ a I$&$ b, , :$ &$$
+ :$ $ensi$a$ $e prbabi*i$a$ +: +: % b (G+ & I+ +&$ + I$ + &f & :$ prbabi*i$a$ :$ prbabi*i$a$ + + b).
5.6.!.$ Proosición b&+ &$ L$ f& + b& F b& F , + +&+&++
A+J, + $ f& $b:$++ &$ G+ @+f&$*
112
Probabilidad y Estadística
+$& L &+
y
$++ +x&:@, + +: &+
. P $
E: + + +@++ %+ % :$ +:$& (5.1 (5.1))
113
Probabilidad y Estadística
y % :$
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Probabilidad y Estadística
VARIABLES. ALEATORIAS. CONTINUAS. ESPECIALES: 25.Las bombillas eléctricas e !"a #abrica $a" %rese"tao !"a !raci&" meia e '((( $rs. El #abrica"te )ara"ti*a !"a !raci&" ma+or e ,(( $rse" caso co"trario e!ele la bombilla %erie"o / (.0( + )a"a / (.2( %or bombilla 1!e e"e c!m%lie"o la )ara"ta. 3e la %ro %ro!c !cci ci&" &" e !" aa- 1!e 1!e es e '((( '((( bomb bombil illa las s %r!e %r!eba ba '. 3etermi"e: a4 La %robabilia e 1!e c!m%la la )ara"ta. b4 /!e !tilia %!ee es%erar e" la %ro!cci&" iaria e '((( bombillas. SOLUCION: Por los datos que nos dan el problema se resuelve por la distribución exponencial por lo que debemos de aclarar primero que es cada dato que nos dan: X = duración de las bombillas eléctricas con una desviación exponencial. = 1000 = E (x) = 1 E (x) = 11000 !e "aranti#a una duración ma$or de %00 &rs. P( t ' %00) entonces pierde 0.0 P( t * %00) entonces "ana 0.+0 , = 1000 bombillas de la producción de un d-a. Por lo que nuestra ormula exponencial es: /t
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Probabilidad y Estadística
P( t ' %00) = 1 / e = 1 / e /(11000)%00 = 1/ 0.023 = (.5,06 / t //// P( t * %00) = e = e /(11000)%00 = (.6(75 a) 4a probabilidad que se cumpla la "arant-a es 0.023 !ea 5 la utilidad de la empresa por la "anancia o pa"o de "arant-a. " arant-a.
b) por lo que la utilidad esperada para la producción. e" '((( bombillas 8 9,.2 27.S!%o"er 1!e se obtie"e" barras e c$ocolate e ';2 libraco" !"a ma1!i"a a %artir e %ea*os m
e %!l)aa- e"to"ces la barra %esa ';2 libras. S!%o S!%o") ")a a 1!e 1!e la lo") lo")it it! ! real real ? e !"a !"a barr barra a tie" tie"e e la mi mism sma a %robabilia e estar com%re"ia e" el i"teralo 0.05 + 0.65 %!l) %!l)a aas as.. S!%o S!%o"i "ie" e"o o 1!e 1!e las las lo") lo")it it! !es es corta cortaa as s %or %or esta esta ma1!i"a so" i"e%e"ie"tes@ C!
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Probabilidad y Estadística
9a teniendo claro por que orma se va a trabaar procedemos a calcular las probabilidades que nos piden: P( pesen menos de 1+ libras) = P( mide menos de .;3 pul".) P( pesen mas de 1+ libras) = 1 / P( pesen menos de 1+ libras)
P( X .;3) = (.;3 / .3)10 P( X .;3) = 0.+3 P( X * .;3) = 0.;3 !uponiendo que las lon"itudes cortadas son independientes entonces8 !i n = barras la probabilidad de que + pesen menos de 1+ libras $ + pesen mas de 1+ libras es: 9= numero de barras que pesan menos de 1+ libras P(9=+) = < + 0.+3 + 0.;3 + = (.2'(, 2.S!%o")a 1!e ?- el lar)o e !"a arilla- tie"e !"a istrib!ci&" "ormal co" meia '( %!l)aas + aria"cia 6 %!l)aas c!araas. E" e* e meir el alor e =- s&lo se es%eci#ica si se c!m%le" cierta ciertas s e=i)e" e=i)e"cias cias.. Es%ec Es%ec#ica #icame" me"tete- caa caa arill arilla a #abrica #abricaa a se clasi#ica como si)!e: A4 ? me"or 1!e >- B4 >?'2 + C4 ? ma+or 1!e '2. Si se #abrica" '5 e tales arillas- c!
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Probabilidad y Estadística
!i la variancia es 7 entonces la desviación Estndar es +. >e modo que la distribución normal tiene parmetros: m =10 s =+ 4a probabilidad de que las varillas midan menos de 6 pul"adas: ?= (6/10) + =/17 su rea externa es: 0.136; Por simetr-a7 la probabilidad de midan mas de1+ pul"adas también es 0.136; El rea que representa P(6'X'1+)=1/+0.136;= 0.26+2 !i se abrican 13 varillas $ se considera la abricación de cada una como eventos independientes7 la probabilidad de que 3 de ellas midan menos de 67 3 entre 6 $ 1+ $ las otras 3 midan ms de 1+ se calcula de acuerdo a la distribución multinomial. ,= 13 P(X 1 = 37 X + = 37 X = 3) = 13@ (3@ 3 D 3@) 0.136; 3 (.'5> 3 0.26+2 3 = 0.00112 2>.Los tre"es e cierta l"ea el etro corre" caa meia $ora e"tre meia "oc$e + las 7 e la maFa"a. C!onde X = tiempo en minutos
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Probabilidad y Estadística
PREGUNTA C!al es la %robabilia e 1!e el tiem%o e"tre la lle)aa el $ombre + la salia el %r&=imo tre" sea ma+or o i)!al a 2( mi"!tos SOLUCION: Para la solución de este problema se debe plantear la probabilidad en base a un intervalo de tiempo menor o i"ual a 10 minutos7 $a que este es el tiempo en el cual el &ombre tendr-a que lle"ar a la estación lue"o de &aber salido un tren de la misma para poder tener una probabilidad de espera ma$or o i"ual a +0 minutos7 por eemplo $a que en el problema se nos dice que los trenes salen cada 0 minutos. >ebe de esperar mas de +0 minutos si lle"a entre la 1:00 $ 1:10. >el "rico elaborado en el planteamiento previo7 nos damos cuenta que existen 1+ intervalos posibles de tiempo en el cual el &ombre puede lle"ar a la estación7 en donde cada rectn"ulo pequeCo representa un inte interv rvalo alo de tiem tiempo po de 10 minu minuto tos7 s7 por por lo que la prob probabi abili lida dad d que que buscamos queda planteada de la si"uiente manera: PH( ? '(4 8 P(0 ' X D 10) P(0 ' X D 0) P(20 ' X D ;0) .......................... P(0 ' X D 0) Puesto que para todos los intervalos la posibilidad es i"ual7 $a que la vari variabl able e de tiem tiempo po siem siempr pre e es 10 minut minutos os77 en ento tonc nces es nos nos qued queda a lo si"uiente: PH( ? '(4 8 10 20 = 1 2 9a que existen 1+ intervalos de tiempo con una lon"itud de 10 minutos7 entonces la probabilidad que buscamos nos queda: PHes%erar J 2(mi"4 8 1 2 x 1+ = 0.
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Probabilidad y Estadística
2,.U 2,.U"a "a com% com%aF aFa a est< est< %la" %la"ea ea" "o o %ro %ro!c !cir ir im im%r %res esor oras as e matrices e %!"tos 1!e se em%lear<" co" microcom%!taoras. U" %roblema 1!e a#ro"ta es la ecisi&" e #abricar o com%rar las cabe*as e im%resi&". P!ee com%rarlas a !" #abrica"te a K05 caa !"a o %ro!cirlas e" s! %ro%ia %la"ta co" costos ariables e K26 %or !"ia. Si o%ta %or lo se)!"o te"r< 1!e ero)ar costos #ios e K2>((( al aFo. 3ebio a las !"iaes e#ect!osas caa im%resora re1!iere '.'5 cabe*as e im%resi&". La com%aFa %re %reee ee 1!e 1!e la ema ema" "a a a"!a a"!all e s! s!s s im im%r %res esor oras as te" te"r< r< !"a !"a istrib!ci&" "ormal co" meia 0((( !"iaes + !"a esiaci&" est<"ar e (( !"iaes./!é %robabiliaes $a+ e 1!e el !so re1! re1!er eri io o e las las cabe cabe*a *as s e im im%r %res esi& i&" " sea sea s! s!#ic #icie ie"t "tem eme" e"te te )ra"e %ara !sti#icar la %ro!cci&" + "o s! a1!isici&" Si la %oltica e la com%aFa es #abricar los com%o"e"tes solo c!a"o $a+ %robabilia ma+or e 7(M e 1!e el !so se e"c!e"tre '.5 es esia iacio cio"e "es s est< est<" "ar ar sobr sobre e el %!"t %!"to o e e1!i e1!ilib librio rio e"tr e"tre e la #abricaci&" + la com%ra- /!é ecisi&" $abr< 1!e tomarse e" ese caso PLANTEAIENTO !ea X la variable demanda anual de impresoras7 tienen una distribución normal con media 000 $ desviación estndar ;00 4as unidades que se necesitan producir o comprar7 estn en unción de la demanda 1.13 X 4a decisión de producir o comprar debe tomarse con el obetivo de mini minimi mi#a #arr los los cost costos os77 sea sea B el nF nFme mero ro de cabe cabe#a #as s comp compra rada das s o abricadas7 los costos asociados son !i se compran 3 B7 si se abrican + B +6000 SOLUCION 4os costos de las dos alternativas son i"uales cuando B = +32 unidades 3 B = + B +6000 11 B = +6000 B = +33.3
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Probabilidad y Estadística
4a demanda de mi"!tos e trabao %or caa $ora e !so. El es%e es%eci cial alis ista ta e" el c!i c!ia ao o el el cés% cés%e e esti estima ma 1!e 1!e la ia ia es% es%era eraa a el is istrib trib! !ior ior es a%e" a%e"as as 6> $oras oras ebi ebi o a la corrosi&" + 1!e las %robabiliaes so" e a 5 e la 1!e s! ia oscile e"tre 62 + 56 $oras si)!ie"o !"a istrib!ci&" "ormal. Si la com%aFa %a)a a s!s ari"eros K'2.5( %or $ora C!
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Probabilidad y Estadística
4a vida del distribuidor es una Iariable Bleatoria con media 6 &oras 4a probabilidad de que la vida oscile entre + $ 3 &oras es ;1+7 entonces entonces 7si se supone que la distribución distribución es normal7 normal7 la probabilidad probabilidad de que la vida oscile entre + $ 6 &oras es 0.+%12 P( + X 6)= 0.+%12 El valor ,ormal estndar para esta rea es ? = 0.61 Por lo que la desviación estndar es ;. 4a probabilidad de que el distribuidor se pa"ue con su trabao antes de deteriorarse es P( X J +2.0%) = P( ? J /+.%2) = 0.%%63 0'. Los eslabo eslabo"es "es !saos !saos e" la #abric #abricaci aci&" &" e cae"a cae"as s est<" est<" "ormalme"te istrib!ios co" res%ecto a s! resiste"cia meia e '((( '((( ). ). es esia iaci ci&" &" est< est<" "ar ar e 5( ). ). . Ca Caa a cae cae"a "a es #abricaa em%lea"o 2( eslabo"es. C!
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Probabilidad y Estadística
P(X %00) = P(? (%00/1000)30) = P(? /+)= 0.0++6 P( X J %00) = 1/ 0.++6 = 0.%;; 4a probabilidad de que se rompa la cadena es 1/ 0.%;; +0 4a resistencia m-nima para que el %%G de las cadenas no se rompa K es: Probabilidad de que no se rompa la cadena = 0.%% = I +0 >onde I es la probabilidad de que un eslabón no se rompa7 es decir soporte una resistencia ma$or que %00 "r I = 0.%%%%% 4a variable ? normal estndar que le corresponde es ?= /.3 /.3 = (%00 /K) 30 >e donde K es como m-nimo 10;3 "r
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Probabilidad y Estadística
Enunciado " $ltube y -itoria son dos estaciones metereológicas. metereológicas. 0epresentaremos por $ y - el que llueva respectivamente en $ltube y -itoria durante cualquier periodo de 8: %oras %oras en el mes de de Yunio> Yunio> se se observa observa que que &($) &($) A &(-) &(-) A 6# :6 y que que &($ -) A 6# 8@. Fetermínense las dos probabilidades condicionales &($?-) y &(-?$)# así como la probab probabili ilidad dad tota totall &($ -). D,on D,on inde independ pendien ientes tes $ y -E -E Ver Soluci)n#
RES%UESTA "# &ara obtener las probabilidades condicionadas aplicamos la expresión &($ &($ 2) A &($ &($)) &(2? &(2?$) $) A &(2 &(2)) &($? &($?2 2) que en nuestro caso será
&ara obtener la probabilidad total consideramos &($ 2) A &($) &(2) &($ 2) con lo que resultará &($ &($ -) A &($ &($)) &(-) &(-) &($ &($ -)A -)A 6# 6# :6 6# 6# :6 :6 R 6# 8@ A 6# 6# ;8 ,e dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. La definición formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla &(2?$) A &(2) > &($?2) A &($) &or consiguiente# teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa 5 &($ 2 " /) A &($)&(2?$)&(?$ 2) &(/?$ 2 ") podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simétrica &($ 2) A &($)& )&(2) (2). !n nuestro caso resulta fácil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene 5 &($?-) &($) > &(-?$) &(-) &($ -) &($)&(-)
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Probabilidad y Estadística
Enunciado - Fados Fados &($) &($) A a # &(2) &(2) A b y &($ 2) A a.b# a.b# demuést demuéstres rese e que
se factorizan en la forma indicada por la definición general de independencia# es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinación. Ver Soluci)n#
RES%UESTA -# Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia 5 La probabilidad &(!) de un suceso ! es un n*mero real comprendido entre 6 y 7. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 6 y la de un suceso seguro# l > en general si para dos sucesos se tiene &(! 7) &(!8) A 7 # decimos que !7 y !8 son sucesos complementarios uno del otro. 3ambién 3ambién se dice que ! 7 y !8 son mutuamente excluyentes. onsiderando lo dic%o en el párrafo anterior# tenemos 5
&ero el suceso $ solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes 5 en conjunción con 2 o en conjunción con el complementario de 2. &or tanto# tendremos seg*n el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes# y cuyo enunciado es 5 ,i $ # 2# # / son sucesos mutuamente excluyentes# entonces 5 &($ 2 /) A &($) &(2) &(/) y de esta expresión podemos deducir (siendo , el ,uceso seguro) 5
de donde# por sustitución 5 125
Probabilidad y Estadística
y análogamente 5
y sustituyendo los valores conocidos
!ste *ltimo resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros# es decir5
!l requisito de la factorización se satisface# por tanto# en todos los casos.
Enunciado . Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. !n sentido probabilístico# los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura# y# para cada uno de ellos# la probabilidad de que no funcione es 6#7. alc*lese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto# despreciando todas las causas que pueden %acer que el mecanismo no funcione# excepto los propios interruptores. Ver Soluci)n#
RES%UESTA .# 0epresentando por < el %ec%o de que el mecanismo no funcione y por el suceso complementario# es decir# que el mecanismo funcione# aplicamos el axioma 126
Probabilidad y Estadística
enunciado en el prob7ema anterior (propiedad 7) y tenemos 5
Llamando ,7 al suceso de que el interruptor 7 esté cerrado y al suceso complementario (que esté abierto)# se sabe que # luego5
+ análogamente para los otros interruptores. !l mecanismo solo funciona cuando los interruptores están cerrados# y esto corresponde al suceso compuesto # luego 5
$plicando a%ora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes# tenemos 5
y a partir de a%í 5
!sta es la forma más sencilla de resolver el prob7ema# pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total 5 La prob proba abili bilida dad d &($ &($ 2 /) es igu igual a la suma suma alge algebr brai aica ca de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas# es decir# suceso *nico# parejas# ternas# ^ # /Rtuplas. !l signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso *nico# ternas# ^) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas# cuaternas# ^ ). omo el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores esté abierto# el suceso < es equivalente al suceso compuesto . 3enemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes# y# por tanto # no son mutuamente excluyentes. !ntonces# por el teorema enunciado anteriormente 5
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Probabilidad y Estadística
'bservamos que %ay cuatro sucesos simples# seis parejas# cuatro temas y un cuarteto. omo los sucesos son independientes# la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes# y como éstas son uniformes# podemos agrupar los términos del mismo grado escribiendo 5 &(<) A :.(6#7) R 4.(6#7)8 :.(6#7)9 R (6#7): A 6#: R 6#64 6#66: R 6#6667 A 6#9:9J -emos que# aunque este método de solución es muc%o más complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar# conduce a la respuesta correcta# e ilustra el %ec%o general de que todos los métodos que utilizan los principios matemáticos adecuados de forma válida# llevarán a los mismos resultados.
Enunciado !n un almacén se tiene que despac%ar 46 pedidos# y se sabe que ; de ellos son de una cierta mercancía merc ancía $. ,i se cumplimentan los 46 pedidos al azar# Dcual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercancía $ y de que simultáneamente no lo sean el segundo y el terceroE. Dual es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar %aya al menos dos pedidos de la mercancía $E Ver Soluci)n#
RES%UESTA # -amos a representar por $ el suceso consistente en que un pedido determinado que se esté despac%ando sea de la mercancía $# y por el suceso complementario consistente en que no sea de la mercancía $. omo la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercancía determinada determinada (sea $ ó ) está influida influida por el n*mero de de pedidos de la
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Probabilidad y Estadística
misma clase que se %ayan despac%ado antes# este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta# expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta 5 Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 46 cartas# todas iguales # excepto que ; de ellas están sealadas con $ y ;; sealadas con . La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado# de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas. !l suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía $ y el segund segundo o y tercero tercero no # corre correspon sponde de a sacar sacar la sucesió sucesión n de de cart cartas as $ # # # $. omo %ay ; cartas sealadas con $# la probabilidad de que la primera carta sea una $ es ;?46. !n la segunda prueba %ay ;J cartas en la baraja# y ;; de ellas están sealadas con . Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una es ;;?;J. !n la tercera prueba quedan ;@ cartas# y ;: de ellas están sealadas con . Luego# la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una es ;:?;@.
,i llamamos ! al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a cumplimentar sean de la mercancía $# su probabilidad es igual a # siendo el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercancía $# es decir# cero ó uno. &ero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de d e la mercancía $ está dada por5 omo el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía $ puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes# su probabilidad total es 5
&or todo ello tendremos 5
y la probabilidad buscada es 5 129
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Enunciado Un lote de / objetos contiene defectuosos# aunque la mayoría# /R# están en buenas condiciones. ,i se eligen al azar n objetos# Dcual es la probabilidad de que los primeros c objetos (c Z ) sean defectuosos y el resto # nRc# no lo seanE Dual es la probabilidad total de que# de los n objetos elegidos al azar# c sean defectuososE Ver Soluci)n#
RES%UESTA
#
Los principios que intervienen en este problema son casi los mismos que los del ejemplo anterior. ,eg*n el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta# la probabilidad &(!) de obtener una sucesión de c objetos defectuosos seguida de nRc objetos en buenas condiciones viene dada por un producto de fracciones tales que cada numerador es igual al n*mero de objetos de la clase correspondiente que se pueden elegir al ejecutar la prueba# y cada denominador es igual al correspondiente n*mero total de todos los objetos que %ay en ese momento. Luego 5
&odemo &odemoss expresa expresarr este este resulta resultado do en forma forma más compact compacta a multip multiplic licánd ándolo olo y dividiéndolo por la cantidad 5
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Probabilidad y Estadística
con
lo
que
obtenemos
5
La probabilidad de obtener cualquier otra sucesión de c objetos defectuosos de un total de n pruebas se calcularía de la misma forma. Los numeradores# como %emos observado en el problema anterior# contendrían el mismo conjunto de factores# factores# aunque en un orden diferente# diferente# y darían el mismo producto que en dic%o caso> los denominadore denominadoress no cambiarían# y# y# por tanto# tanto# su producto sería el mismo que en el caso anterior anterior.. !ntonces# todas las sucesiones sucesiones que contengan contengan c objetos objetos defectuosos de un total de n pruebas tienen la misma probabilidad que la dada por la ecuación (). !l n*mero , de sucesiones distintas que contienen exactamente c objetos defectuosos de un total de n es igual al n*mero de permutaciones & m(n> c# nRc) de n objetos tomados de n en n# siendo c objetos de una clase y el resto de otra> es decir5
La probabilidad total# &(c)# de obtener exactamente c objetos defectuosos en un total de n pruebas es igual al n*mero de sucesiones , multiplicado por su probabilidad com*n# &(!)# es decir5
&odemo &odemoss reagrupa reagruparr estos estos términ términos os para para obtene obtenerr una fórmula fórmula mas elegante elegante 5
!xpresión conocida con el nombre de ley %ipergeométrica de la probabilidad.
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