04. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Eje rcicios Resueltos Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
1.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor, en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad:
1.1) 1.2)
Si un cliente cliente compró un compresor y ha estado estado funcionando funcionando por lo menos 6 meses meses ¿Cuál es la probabilidad que falle antes de 18 meses? Cada compresor compresor tiene tiene un costo costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da da ciertas garantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por compresor?
1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
“Vida útil de un compresor, en años”
1.1) Solución: Procedemos Procedemos a calcular la siguiente probabilidad condicional: condicional:
Si el cliente compra un compresor, el que ha funcionado por lo menos seis meses, la probabilidad de que este falle antes de los dieciocho meses es 0,6274.
Respuesta:
1.2) Solución: Lo que se debe hacer en este ítem es definir la siguiente variable: variable:
“Utilidad de un compresor, en u.m.”
En seguida, calculamos las respectivas probabilidades:
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Luego, aplicando la formula de esperanza, para así poder calcular la utilidad esperada:
Según las condiciones que posee la utilidad de los compresores, la utilidad esperada es 8,348 u.m. Respuesta:
2.- El tiempo de activación de los sensores fabricados por una empresa es una variable aleatoria con función de densidad:
Un sensor se dice rápido si su tiempo de activación es inferior a 0,2 segundos y lento si su tiempo de activación es superior a 1 segundo. Se pide: 2.1) Calcular el valor de k para que sea función de densidad. 2.2) Obtener la función de distribución 2.3) Determinar: La esperanza, desviación estándar y el porcentaje de variabilidad del tiempo de activación. 2.4) De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo. ¿Qué porcentaje supera a su tiempo esperado? 2.5) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 sensores elegidos al azar, como mínimo 3 sean lentos? 2.6) Determinar la probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuatro sensor rápido. 2.7) El costo de producción de un sensor es de 2000 u.m. Los sensores definidos como rápidos se venden en 5000 u.m. y los lentos en 3500 u.m. Determine la utilidad esperada en la venta de un sensor, si los restantes se venden en 4000 u.m. 2.1) Solución: Para calcular el valor de k, partimos con que para que densidad, se debe cumplir lo siguiente:
sea función de
Por lo tanto, basándonos en esta propiedad, tenemos:
Respuesta:
densidad.
El valor que debe tomar son dos segundos, para que
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sea una función de
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2.2) Solución: Para obtener la función de distribución, aplicaremos la fórmula que se muestra a continuación:
Finalmente, que expresa la función de distribución de la siguiente manera:
2.3) Solución
Respuesta:
Tiempo promedio o esperado de activación = 0,833 segundos Desviación estándar = 0,4249 segundos Porcentaje de variabilidad = 50,8099%
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2.4) Solución: Definimos la probabilidad condicional, para calcular lo requerido:
Luego, lo multiplicamos por cien, para así obtener el porcentaje solicitado.
De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo, el porcentaje que supera a su tiempo esperado, es igual a 18,056%. Respuesta:
2.5) Solución: Definimos la siguiente variable:
“Número de sensores lentos en una muestra de diez sensores elegidos al azar”
Luego, calculamos la probabilidad de que salga un sensor lento, o sea que su tiempo de activación sea superior a un segundo, como se muestra a continuación:
En seguida, definimos la variable que se distribuye de forma binomial, como sigue:
Finalmente, calculamos la probabilidad pedida:
R e s p u e s t a : Al
elegir al azar entre diez sensores, la probabilidad de que sean como mínimo tres lentos, corresponde a 0,7008. 2.6) Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la probabilidad de encontrar un sensor rápido, lo que está dado por:
Sea:
“Número de sensores examinados hasta encontrar el cuarto sensor rápido, en una muestra de 15 sensores”
Notemos que estamos en presencia de una distribución Pascal o Binomial negativa, por lo que queda expresada de la siguiente forma:
En seguida, calculamos la probabilidad pedida:
La probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuarto sensor rápido, es igual a 0,00059 Respuesta:
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2.7) Solución: Sabemos que la utilidad está definida por la siguiente expresión:
Calculamos las respectivas probabilidades:
Quedando distribuido de la siguiente forma:
Finalmente, calculamos la utilidad esperada, de la siguiente forma:
Distribución Exponencial:
3.- En una Aerolínea, el tiempo ( ) necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón, se distribuye exponencial con media 5 minutos. Se registra con un “contador” los minutos dedicados a la atención de cada pasajero. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 pasajeros atendidos, elegidos al azar, los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos?. Suponga que los tiempos de atención entre un pasajero y otro son independientes.
3) Solución: Sea: “Tiempo necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón” Ya que esta variable está distribuida exponencialmente, tenemos que:
Por lo tanto, queda expresado de la siguiente manera la distribución:
Luego, calculamos la probabilidad de que sean atendidos en el mesón en menos de 7 minutos:
Después, definimos la siguiente notación, y su respectiva distribución:
“Número de pasajeros sin boleto que fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos, entre 15 pasajeros elegidos al azar” Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
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Finalmente, determinamos la probabilidad requerida:
Entre 15 pasajeros atendidos elegidos al azar, la probabilidad de que los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos, corresponde a 0,0845. Respuesta:
Distribución Uniforme
4.- La duración del trayecto de camiones mezcladores y transportadores de concreto, que van a la construcción de una carretera, es una variable aleatoria distribuida uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. Determine la probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres minutos después del tiempo esperado.
4) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
“Cantidad de tiempo que demora el camión en llegar a la construcción, en minutos”
La que se distribuye uniformemente, lo que se ve como sigue:
Además, sabemos que la esperanza de la distribución esta dado por:
En seguida, la probabilidad que nos pide el ejercicio es:
La probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres minutos después del tiempo esperado, corresponde a 0,65. Respuesta:
Distribución Normal
5.- El espesor de la película fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores se distribuye normal con media µ y varianza . Se sabe que el 2.28% de la películas fotoprotectoras tienen un espesor superior a 13.4 micrómetros y el mismo porcentaje inferior a 8.6 micrómetros. Se considera que los semiconductores tienen una película fotoprotectora de espesor óptimo si fluctúa entre 9 y 13 micrómetros. 5.1) Determine los valores de la media y de la varianza del espesor de la película.
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5.2) Se realiza un control de calidad, ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo?
5.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: “Espesor de la película fotoprotectora de semiconductores”
Luego, la información que nos entrega el problema, es:
En seguida, ocupamos la información que nos brinda el ejercicio para obtener las ecuaciones correspondientes:
Después, considerando las ecuaciones ecuaciones obtenemos los valores de e
e , las que por medio de un sistema de , que son y , respectivamente.
Los valores de la media y de la varianza del espesor de la película, son 11 micrómetros y 1,44 (micrómetros)2 . Respuesta:
5.2) Solución: Lo primero es calcular la probabilidad de que el Espesor sea Óptimo, lo que está dado por:
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Posteriormente, definimos la notación y la distribución de esta:
“Número de semiconductores revisados hasta encontrar el p rimer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo”.
Finalmente, calculamos la probabilidad que nos solicita el problema:
La probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo. Respuesta:
6.- La resistencia de un cable eléctrico de alta tensión se considera una variable aleatoria con distribución normal con una media de 36 (ohmios) y una varianza de 0,64 (ohmios) 2. Un cable se considera defectuoso si su resistencia es inferior a 35 (ohmios). 6.1) De los cables que tienen una resistencia superior a 34 (ohmios) ¿Qué proporción de cables se consideran defectuosos? 6.2) Se eligen al azar y en forma independiente 10 cables, ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 cables resulten defectuosos?
6.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación, la que distribuye normalmente:
“Resistencia de un cable eléctrico de alta tensión”
Posteriormente, calculamos la probabilidad condicional que nos pide el ejercicio:
R e s p u e s t a : De
los que tienen una resistencia superior a 34 ohmios, la p roporción de cables que se consideran defectuosos, es 0,1001 6.2) Solución: Definimos la variable:
Número de cables defectuosos en la muestra”
La que tiene una distribución binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:
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Determinamos la probabilidad requerida, de la siguiente manera:
R e s p u e s t a : Al
elegir 10 cables de forma aleatoria e independientemente, la probabilidad que más de dos cables resulten defectuosos, corresponde a 0,0814
7.- En la red informática de una empresa hay 3 sistemas multiusuario, que se identificarán como , y . Las peticiones de conexión que se realizan a estos equipos se reparten de forma que, el 60% se efectúan sobre , el 30% sobre el 10% sobre . Los tiempos de respuestas a estas peticiones son variables aleatorias, expresadas en segundos, tal que: i)
El tiempo (
) de respuesta de
ii) El tiempo (
) de respuesta de
iii) El tiempo (
) de respuesta de
, en segundos, se distribuye exponencialmente en media 5 seg. , en segundos, se distribuye uniforme entre 4 seg. y 8 seg. , se segundos, tiene la siguiente distribución de probabilidad:
Si el tiempo de respuesta de una petición de conexión supera los 7 segundos, se dice que la petición es fallida, y en otro caso se considera petición atendida. 7.1) Calcule la probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida. 7.2) En 5 peticiones de conexión al sistema S1, seleccionadas aleatoriamente y de forma independiente entre sí, determine la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas.
7.1) Solución: Definimos las siguientes notaciones a utilizar:
“Petición de conexión que se realiza en el sistema multiusuario que se identifica como
,
”
“Tiempo de respuesta de conexión a las peticiones de conexión en el sistema multiusuario que se
identifica como ,
"
Además, los tiempos de respuesta se expresan de la siguiente manera, según sus distribuciones:
En seguida, exponemos la información probabilística que nos brinda el ejercicio:
Luego, procedemos a calculas las respectivas probabilidades de que la respuesta de una petición de conexión supere los 7 segundos, por lo tanto, sea fallida, como se muestra a continuación:
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Finalmente:
La probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida, es igual a 0,24296 Respuesta:
7.2) Solución: Sea:
“Número de peticiones que fueron consideradas atendidas, entre 5 peticiones de conexión al sistema ”
Además, podemos determinar la probabilidad de que la petición de conexión sea considerada atendida, de la siguiente forma: Por otro lado, notemos que la variable tiene una distribución binomial, como se expresa en seguida:
Por último, nos dirigimos a determinar la probabilidad requerida por el ejercicio:
Entre 5 peticiones de conexión al sistema , seleccionadas al azar e independiente entre sí, la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas, corresponde a 0,63998 Respuesta:
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