4.- V ar a r i ab a b l e A l e a to to r i a C o n t i n u a y D i s t r i b u c i o n e s C o n t i n u a s
– Ejercicios Resueltos –
Distribución Uniforme
Distribución Normal (Uso de Tabla)
Distribución Exponencial
Aplicaciones
4. Variabl Variable e Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
1.- La cantidad de lluvia caída en un año; en cientos de cc.; en cierta ciudad, es una variable aleatoria con función de densidad:
, ,,, {
≤< < , , ≥≤ <
Se realiza un estudio en el cual se considera el agua caída en en los últimos años. Si se toma una muestra aleatoria de cinco años, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos en tres de ellos la cantidad de agua caída sea sea inferior a la la esperada? Considere Considere que la cantidad cantidad de lluvia caída, en años diferentes, son independientes.
1) Solución: Para empezar definiremos las variables a utilizar:
Cantidad de lluvia caída en un año; en cientos de cc” “ Cantida
“Número de años en la muestra, en la que cae una can tidad de lluvia sea inferior a la esperada”
Luego, nos enfocamos a determinar el valor de la cantidad de lluvia esperada, de la siguiente manera:
, − ∙ ∙ 1,1,6 , ∙0,8 ∙ 0,8 ∞ 1 0, 5 0, 8 0, 5 0, 8 0, 8 ∙ 0 , 5 1,6 0,8 1,6∙ 0,8 7
3 0 2 0,5 1 3 2 2 6 0,8 ∞ 7 7 0, 8 ≤ 61> 61 1 1 2 76 0,706 5 ~ 5 ; 0,706 0,0,07060,0,294− ; 1,2,…,5 ≥ 3 3 4 5 ≥ 3 53 0,0,706 ∙ 0,0,294 54 0,0,706 ∙ 0,0,294 55 0,0,706 ∙ 0,0,294 ≥ 3 0,845
El siguiente paso es calcular la probabilidad de que la cantidad de lluvia sea inferior a la esperada:
Además notemos que la posee una distribución binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:
Finalmente, se calcula la probabilidad que el problema nos solicita:
Respuesta: Al Al
tomar una muestra aleatoria de cinco años, la probabilidad de que por lo menos en tres de ellos la cantidad de agua caída sea inferior a la esperada, es 0,845
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4. Variabl Variable e Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
2.- Una fabricante de refrigeradores ofrece una garantía de tres años para su producto, siendo la vida útil (en años) modelada por la siguiente función de densidad de probabilidad:
≤≤
Se toma al azar a uno de los refrigeradores fabricados, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya realizado uso de la garantía, con este producto?
2) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: “Vida útil de los refrigeradores, en años”
En seguida, para que se haga efectiva la garantía la vida útil debe ser como máximo tres, por lo que se calcula probabilidad evaluando en estos parámetros, en la función de densidad de probabilidad antes dada:
Respuesta:
10 ≤ 3 400 0,08625
La probabilidad de que se haya realizado uso de la garantía, con este producto, es
0,08625 3.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor,
en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad:
≤≤ .
3.1) Si un cliente compró un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses ¿Cuál es la probabilidad que falle antes de 18 meses? 3.2) Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. u.m. y el fabricante da ciertas ciert as garantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por compresor?
3) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
<<1, 5 0, 0 , 5 <<1, 5 <1, <1, 5⁄>0, 5, +0,0,5>0, >0, 5 1 <0, <0, 5 ∫ , 1 ∫, + 0,6274 “Vida útil de un compresor, en años”
3.1) Solución: Procedemos a calcular la siguiente probabilidad condicional:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
Si el cliente compra un compresor, el que ha funcionado por lo menos seis meses, la probabilidad de que este falle antes de los dieciocho meses es 0,6274. Respuesta:
3.2) Solución: Lo que se debe hacer en este ítem es definir la siguiente variable:
322032 ; 0<<0, 2 5 20 ; 0<<0, 2 5 0, 2 5<<0, 5 7; 0, 2 5<<0, 5 32205; → 3220; 0, 5 <<2 12; 0, 5 <<2 , 3 3 0,25 0 <<0, 2 5 8 8 16 0 0,097656 , 3 3 0,5 0,25<<0,5 , 8 8 16 0,25 0,105469 2 3 3 0 , 5 <<2 , 8 8 16 0,5 0,796875 ∑ ∙ 200,0976567 0,105469 120,796875 8,348 .. “Utilidad de un compresor, en u.m.”
En seguida, calculamos las respectivas probabilidades:
Luego, aplicando la fórmula de esperanza, para así poder calcular la utilidad esperada:
Respuesta:
Según las condiciones que posee la utilidad de los compresores, la utilidad esperada es
8,348 u.m. 4.- El tiempo de activación de los sensores fabricados por una empresa es una variable aleatoria con función de densidad:
; <<0, 5 ;,<<
Un sensor se dice rápido si su tiempo de activación es inferior a 0,2 segundos y lento si su tiempo de activación es superior a 1 segundo. Se pide: 4.1) Calcular el valor de k para que sea función de densidad. 4.2) Obtener la función de distribución 4.3) Determinar: La esperanza, desviación estándar y el porcentaje de variabilidad del tiempo de activación.
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
4.4) De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo. ¿Qué porcentaje supera a su tiempo esperado? 4.5) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 sensores elegidos al azar, como mínimo 3 sean lentos? 4.6) Determinar la probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuatro sensor rápido. 4.7) El costo de producción de un sensor es de 2000 u.m. Los sensores definidos como rápidos se venden en 5000 u.m. y los lentos en 3500 u.m. Determine la utilidad esperada en la venta de un sensor, si los restantes se venden en 4000 u.m.
4.1) Solución: Para calcular el valor de k, partimos con que para que debe cumplir lo siguiente:
sea función de densidad, se
1 , 2 2 2 , 3 2 1 → 0,5 3 2 2 781 → 440 → 2 []
Por lo tanto, basándonos en esta propiedad, tenemos:
Respuesta:
densidad.
El valor que debe tomar
son dos segundos, para que
sea una función de
4.2) Solución: Para obtener la función de distribución, aplicaremos la fórmula que se muestra a continuación:
≤ − <0 → −0 0 0≤<0, 5 → −0 2 , 2 164 0, 5 ≤<2 → −0 2 , 3 2 12 4 , 2 ≥2 → −0 2 , 3 2 0 1
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
Finalmente, que expresa la función de distribución de la siguiente manera:
4.3) Solución
Respuesta:
0 ;; 0≤<0, <0 5 16412 4 ; 0,5 ≤<2 { 1 ; ≥2 , 2 ∙ 2 , 3 2 56 0,8333 ∙ , 23 2 78 7 5 [] → 8 2 1372 → 1723 0,4249 % . ∙ 1 00 0,0,48249333 ∙10050,99% Tiempo promedio o esperado de activación = 0,833 segundos Desviación estándar = 0,4249 segundos Porcentaje de variabilidad = 50,8099%
4.4) Solución: Definimos la probabilidad condicional, para calcular lo requerido:
1 ( <<1) 5 4629 > ⁄<1 <1 1 0,666670, 0,66667 0,18056
Luego, lo multiplicamos por cien, para así obtener el porcentaje solicitado.
De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo, el porcentaje que supera a su tiempo esperado, es igual a 18,056%. Respuesta:
4.5) Solución: Definimos la siguiente variable:
“Número de sensores lentos en una muestra de diez sensores elegidos al azar”
Luego, calculamos la probabilidad de que salga un sensor lento, o sea que su tiempo de activación sea superior a un segundo, como se muestra a continuación:
>1 1 ≤1 11 10,666670,3333
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
En seguida, definimos la variable que se distribuye de forma binomial, como sigue:
~ 10;0,3333 10 0,333300,66667 − ; 0,1,2,…,10 ≥3 1 <3 1[ 0 1 2] 10,29920,7008
Finalmente, calculamos la probabilidad pedida:
Respuesta: Al
elegir al azar entre diez sensores, la probabilidad de que sean como mínimo tres lentos, corresponde a 0,7008. 4.6) Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la probabilidad de encontrar un sensor rápido, lo que está dado por:
Sea:
<0, 2 0,2 0,2 0,04
“Número de sensores examinados hasta encontrar el cuarto sensor rápido, en una muestra de 15 sensores”
Notemos que estamos en presencia de una distribución Pascal o Binomial negativa, por lo que queda expresada de la siguiente forma:
1 3 0,040 0,96 − ;; 4,5,6,… 15 1430,04 0,96 0,00059
~ ∗ 4; 0,04
En seguida, calculamos la probabilidad pedida:
La probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuarto sensor rápido, es igual a 0,00059 Respuesta:
4.7) Solución: Sabemos que la utilidad está definida por la siguiente expresión:
1500,2000,3000} á: 3000 <0, 2 20,2 1 251 47 2000 0 , 2 <<1 1 0,2 3 25 2 751 : 1500 >1 11 1 3 3
Calculamos las respectivas probabilidades:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
Quedando distribuido de la siguiente forma:
⁄ 1 3 ; 1500 . . ⁄1⁄25 ;; 3000 2000... 4775 0 ;
Finalmente, calculamos la utilidad esperada, de la sigu iente forma:
∑ ∙ 1500∙ 13 2000∙ 4775 3000∙ 251 1873,3333 . .
Respuesta:
La utilidad esperada en la venta de un sensor es 1873,3333 u.m.
Distribuc ión Expon encial:
5.- Se tiene la siguiente información en relación a una tarjeta de video para PC que fabrica cierta compañía: - La duración en años de la tarjeta se distribuye exponencial. - El 9,6% de las tarjetas fallan antes de un año. Determine la probabilidad de que una tarjeta de video para PC, elegida al azar, falle después de 2 años.
5) Solución: Sea: “Duración de la tarjeta de video para PC, en años” Luego, sabemos que se distribuye de forma exponencial, lo que se expresa de la siguiente manera:
~ 1−0 ∙ ; >0 <1 0,096 → 1−− ∙∙ 0,0,099604 /∙ln ln0,904 → 0,1 ~ 0,1 1−0, ;>0 >2 1 ≤2 1 [1 − ,∙] 0,8187
En seguida, por la información que nos brinda el ejercicio, tenemos que:
Por lo tanto, la distribución queda como se ve a continuación:
Finalmente, calculamos la probabilidad requerida:
La probabilidad de que una tarjeta de video para PC, elegida al azar, falle después de dos años, corresponde a 0,8187. Respuesta:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
6.- Los tiempos de atención, en una ventana de cajero de Banco, se distribuyen
exponencialmente con promedio 2,5 minutos. Para un cliente que llega a la ventana del Banco a las 11:00 horas ¿Cuál es la probabilidad que todavía está a las 11:04 horas?
6) Solución:
1 → 2, 5 1 → 0,4 ~ 0,4 10 − , ; >0 >4 1 <4 1 [1 − , ∙ ] 0,2019
Definimos la variable:
“Tiempo de atención, en minutos”
Además, sabemos que tiene una distribución exponencial, y que la esperanza de esta, se define de la siguiente manera:
Por lo tanto, que expresada la distribución como se ve a continuación:
Luego, la probabilidad de que todavía esté 4 minutos después en el banco, se expresa:
Si un cliente que llega a la ventana del banco a las 11:00 horas, la probabilidad que todavía este a las 11:04 horas, es 0,2019 Respuesta:
7.- En una Aerolínea, el tiempo ( ) necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón, se distribuye exponencial con media 5 minutos. Se registra con un “contador” los minutos dedicados a la atención de cada pasajero. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 pasajeros atendidos, elegidos al azar, los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos?. Suponga que los tiempos de atención entre un pasajero y otro son independientes.
7) Solución: Sea: “Tiempo necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón” Ya que esta variable está distribuida exponencialmente, tenemos que:
5 → 1 5 → 15 − 1 ~ 0 ;>0 <7 1− 0,7534
Por lo tanto, queda expresado de la siguiente manera la distribución:
Luego, calculamos la probabilidad de que sean atendidos en el mesón en menos de 7 minutos:
Después, definimos la siguiente notación, y su respectiva distribución:
“Número de pasajeros sin boleto que fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos, entre 15 pasajeros elegidos al azar”
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
15 ~ 15 ;0,7534 00,7534 0,2466 − ;0,1,2,… ,15 ≥14 14 15 15140,7534 0,2466 15150,7534 0,0845
Finalmente, determinamos la probabilidad requerida:
Entre 15 pasajeros atendidos elegidos al azar, la probabilidad de que los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos, corresponde a 0,0845. Respuesta:
8.- La duración, en horas, de cierto equipo electrónico, puede considerarse una variable aleatoria distribuida exponencialmente, tal que la duración esperada es 1000 horas. Una empresa adquirió cuatro de estos equipos ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres duren más de 1200 horas?
1000 → 1 1000 → 10001
8) Solución: Lo primero será determinar , por medio de la fórmula de esperanza, quedando:
En seguida definimos la variable, y su distribución:
− 1 ~ 0 >0 <1200 11 − 0,3012 “Duración de cierto equipo electrónico, en horas”
Luego, calculamos la probabilidad de que el equipo duré más de 1200 horas:
En seguida, definimos la notación a utilizar:
“Número de equipos electrónicos que duren más de 1200 horas, en cuatro equipos elegidos al azar”
4 ~ 4 ; 0,3012 0,30120 0,6988 −; 0,1,2,3,4 ≥3 3 4 43 0,3012 0,6988 44 0,3012 0,0846
Finalmente, calculamos la probabilidad que nos solicitan:
Respuesta: Al
adquirir cuatro equipos al azar, la probabilidad de que al menos tres duren más de 1200 horas, corresponde a 0,0846
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
Distribución Uniforme
9.- La duración del trayecto de camiones mezcladores y transportadores de concreto, que van a la construcción de una carretera, es una variable aleatoria distribuida uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. Determine la probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres minutos después del tiempo esperado.
9) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
“Cantidad de tiempo que demora el camión en llegar a la construcción, en minutos”
La que se distribuye uniformemente, lo que se ve como sigue:
−0
50<<70 ~ [ , ] → ~ [ 50 , 70] 2 → 50702 60 1 1 63 13 ≤ 3 ≤63 = 20 20 50 20 0,65
Además, sabemos que la esperanza de la distribución está dado por:
En seguida, la probabilidad que nos pide el ejercicio es:
La probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres minutos después del tiempo esperado, corresponde a 0,65. Respuesta:
10.- El espesor del borde de un componente de una aeronave está distribuido de manera uniforme entre 0,95 y 1,05 milímetros. 10.1) Calcule la proporción de bordes cuyo espesor es mayor que 1,02 milímetros 10.2) ¿Qué espesor está excedido por el 90% de los bordes? 10.3) Calcule la media y la varianza del espesor del borde
1 0 5 0,01 ; 0,95<<1, , 1 1 1,05 >1,02 , 0,1 0,1 1,02 >1,02 10,510,20,3
10.1) Solución: Definimos la notación a ocupar, y su distribución: “Espesor del borde de un componente de una aeronave”
~ [0,95 ; 1,05]
Luego, nos enfocamos a calcular la probabilidad que nos solicitan, como se muestra:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
Respuesta:
La proporción de bordes cuyo espesor es mayor que 1,02 milímetros, corresponde a 0,3.
, > 0,11 0,9 → 0,11 ∙1,05 0,11 0,9 → 0,96
10.2) Solución: Sea:
Respuesta:
“Espesor que es excedido por el 90% de los bordes”
El espesor que está excedido por el 90% de los bord es, es 0,96 milímetros.
10.3) Solución: Por formula, determinamos la media y la varianza:
2 1,050,2 95 1
1 , 0 50, 9 5 12 12 0,00083
La media y la varianza, son iguales a 1 milímetros y 0,00083 (milímetros) 2 , respectivamente. Respuesta:
11.- El espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, tiene una distribución uniforme entre 0,2050 y 0,2150 micrómetros. 11.1) Calcule el porcentaje de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que 0,2125 micrómetros. 11.2) ¿Qué espesor excede el 10% de las obleas? 11.3) Calcule la media y varianza del espesor de la sustancia fotoprotectora.
11.1) Solución: Definimos la notación siguiente:
“Espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, en micrómetros ”
~ ;[0,20,0502050<<0, ;0,2150] 2150 ,0 , 1 1 0,2150 >0,2125 , 0,01 0,01 0,2125 >0,2125 21,521,250,25 %>0,2125 ∙10025%
Respuesta:
El porcentaje de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que 0.2125, es
igual al 25%
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
, 0,101 0,1 → 0,101 0,101 ∙0,20500,1 → 0,206 0, 2 0500, 2 150 0 , 2 1500, 2 050 2 0,21 12 8,33×10− 0,21 8,33×10−
11.2) Solución: Sea
Respuesta:
“E spesor que excede el 10% de las oblea, en micrómetros ”
El espesor que excede el 10% de las obleas es 0,206 micrómetros.
11.3) Solución:
Respuesta:
La media es
micrómetros y la varianza es igual a
(micrómetros)2
Distribuc ión Normal
12.- La concentración de hierro en el suero en hombres sanos de entre 40 y 50 años se distribuye normal con media 120 mg/100ml y desviación estándar de 15 mg/100ml. Se selecciona a un hombre de esta población. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una concentración de hierro promedio superior a 112 mg/100ml?
12) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
“Concentración de hierro en el suero en
hombres sanos de entre 40 y 50 años, en mg/100ml ” Donde nos exponen que se encuentra distribuido normal:
~ 120; 15 >112 1 ≤112 1 0,53 >1121≤ 112120 15 >112 10,29810,7019
La probabilidad de que tenga una concentración de hierro promedio superior a 112 mg/100ml, está dada por:
La probabilidad de que tenga una concentración de hierro promedio superior a 112 mg/100ml, corresponde a 0,7019 Respuesta:
13.- La cantidad semanal, en miles de pesos, que una Compañía gasta en mantenimiento y reparaciones, es una variable aleatoria distribuida normal, con desviación estándar igual a 20 mil pesos. La Compañía está dispuesta a aceptar un gasto máximo de 485 mil pesos, en el 90% de las semanas que presentan menor gasto ¿Cuál debería ser el gasto medio semanal?
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
13) Solución: Definimos la notación a utilizar:
~ ; 20
“Gasto semanal en mantenimiento y reparaciones de una Compañía, en miles de pesos”
La información que nos da el problema es la siguiente: Entonces:
≤485 0,90 485 20 0,90 485 1,28 20 4851, 2 8∙ 2 0 459,4
Además:
Respuesta:
El gasto medio semanal debería ser $459.400
14.- La resistencia de un cable eléctrico de alta tensión se considera una variable aleatoria con distribución normal con una media de 36 (ohmios) y una varianza de 0,64 (ohmios) 2. Un cable se considera defectuoso si su resistencia es inferior a 35 (ohmios). 14.1) De los cables que tienen una resistencia superior a 34 (ohmios) ¿Qué proporción de cables se consideran defectuosos? 14.2) Se eligen al azar y en forma independiente 10 cables, ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 cables resulten defectuosos?
14.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación, la que distribuye normalmente:
~ 36; 0,64 <35 <34 <35⁄>34 34<<35 >34 1 <34 − − , 1 −,, 1,1252,52,5 0,110,0570,00620062 0,1001
“Resistencia de un cable eléctrico de alta tensión , en ohmios”
Posteriormente, calculamos la probabilidad condicional que nos pide el ejercicio:
Respuesta: De los que tienen una resistencia superior a 34 ohmios, la proporción de cables que se
consideran defectuosos, es 0,1001 14.2) Solución: Definimos la variable:
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Número de cables defectuosos en la muestra”
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
La que tiene una distribución binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:
~ 10 ;0,1057 10 0,1057 0,80943 − ; 0,1,2,… ] >2 1 ≤2 1[ 0 1 2 1100 0,1057 0,8943 101 0,1057 0,8943 102 0,1057 0,8943 >2 0,0814
Determinamos la probabilidad requerida, de la siguiente manera:
Respuesta: Al
elegir 10 cables de forma aleatoria e independientemente, la probabilidad que más de dos cables resulten defectuosos, corresponde a 0,0814
15.- El espesor de la película fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores se distribuye normal con media µ y varianza . Se sabe que el 2,28% de la películas fotoprotectoras tienen un espesor superior a 13,4 micrómetros y el mismo porcentaje inferior a 8,6 micrómetros. Se considera que los semiconductores tienen una película fotoprotectora de espesor óptimo si fluctúa entre 9 y 13 micrómetros. 15.1) Determine los valores de la media y de la varianza del espesor de la película. 15.2) Se realiza un control de calidad, ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo?
15.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
~ ; >13,4 0,0228 ≤8, 6 0,0228 1>13, 4 0, 0 228 ≤13, 4 0, 0 228 13,≤13,44 0,9772 13,40,9772 2,0 213, 4
“Espesor de la película fotoprotectora de semiconductores, en micrómetros ”
Luego, la información que nos entrega el problema, es:
En seguida, ocupamos la información que nos brinda el ejercicio para obtener las ecuaciones correspondientes:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
8,≤8,66 0,0228 8,60,0228 2,0 28, 6
11 1,44
Después, considerando las ecuaciones obtenemos los valores de e , que son
e
, las que por medio de un sistema de ecuaciones y , respectivamente.
Los valores de la media y de la varianza del espesor de la película, son 11 micrómetros y 1,44 (micrómetros)2 . Respuesta:
15.2) Solución: Lo primero es calcular la probabilidad de que el Espesor sea Óptimo, lo que está dado por:
≤13 ≤9 9 ≤≤131311 ≤ 1,2 ≤ 9111,2 0,19,65250, 7 04751,67 9 ≤≤13 0,905
Posteriormente, definimos la notación y la distribución de esta:
“Número de semiconductores revisados hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo”.
~ 0,905 0,90500,095 − ;1,2, … ≤3 1 2 3 ≤3 0,905 0,9050,095 0,9050,095 0,999
Finalmente, calculamos la probabilidad que nos solicita el problema:
La probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo. Respuesta:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
16.- Los circuitos integrados de una computadora tienen pins (patas) para conectarlos en los enchufes que vienen en las tarjetas de la computadora. El grosor de las patas es importante para determinar la calidad de la conexión con la tarjeta. Cuando el proceso de producción funciona adecuadamente, el diámetro de los pins (relativo a las especificaciones de su diseño) es una variable aleatoria normal con media 1,000 y desviación estándar 0,006 unidades. Un pin hará una conexión de alta calidad sólo si su diámetro se encuentra entre 0,997 y 1,003 unidades. Si se seleccionan aleatoriamente los pins, ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que seleccionar 5 pins para encontrar el segundo pin que no sea de alta calidad?
16) Solución: Definimos la variable que emplearemos, y su respectiva distribución:
“Diámetro de los pins , en unidades”
Luego, se muestra gráficamente en la distribución normal cuando el pin hará una conexión de alta calidad.
~ 1 ; 0,006
)
0,997≤≤1,003 0, 9 971 ≤ 1,0,0031 ≤ 006 0,006 0,5 0,5 0,69150,3085 0,997≤≤1,003 0,383 10,997≤≤1,003 0,617 ~ ∗ 2 ; 0,617 11 0,60170,383 − ;2,3,… 5 410,6170,383 0,0856
Luego la probabilidad de éxito que nos solicitan es cuando el pin no sea de alta calidad, lo que se expresa de la siguiente manera:
Después, sea:
Y finalmente, calculamos la probabilidad pedida:
La probabilidad de que se tengan que seleccionar 5 pins para encontrar el segundo pin que no sea de alta calidad, es 0,0856. Respuesta:
17.- La distribución de los sueldos de los trabajadores de una industria metalúrgica es
aproximadamente normal. Se sabe que el 15,87% de los trabajadores gana menos de $120.000 y que un 2,28% gana a lo menos $800.000.
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
17.1) ¿Cuál es el sueldo promedio y la varianza de los sueldos de los trabajadores? 17.2) Si en esta industria trabajan 1.000 personas ¿Cuántas de ellas tienen un sueldo comprendido entre $250.000 y $500.000? 17.3) Si la industria está considerando un reajuste de un 10% más una asignación fija de $20.000 por trabajador, ¿qué porcentaje de los trabajadores de esta industria quedarían con un sueldo superior a los $400.000 después del reajuste?
17.1) Solución: Definimos la variable que usaremos:
∙ <120..−000 0,1587 < 0,1587 .−0,1587 .− 1 120.000
“Sueldos de los trabajadores de una industria metalúrgica, en pesos”
Luego, ocupamos la información que nos brinda el problema, para calcular lo que nos piden:
∙ ≥800.000 0,0228 <800..0−00 0,9772 < 0,9772 .−0,9772 .− 2 2800.000 ~ 346.667; 226.667 $ 346.667
Después, ocupando la ecuación e , creamos un sistema de ecuaciones donde obtenemos la media y la desviación estándar, quedando expresado de la siguiente manera:
$226.667
Respuesta:
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El sueldo promedio y la varianza de los sueldos de los trabajadores, son , respectivamente.
y
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
17.2) Solución: Calculamos la probabilidad que nos pide el ejercicio
.−. 250.000<<500. 0 00 . << ..−. 0,43<<0,68 250.000<<500.000 0,68 0,43 0,75170,33360,4181
En seguida, multiplicamos la probabilidad por el número de trabajadores, obteniendo el total de trabajadores que cumplen con la característica que nos hace referencia el ejercicio. Si trabajan 1000 personas, la cantidad de personas que tienen un sueldo comprendido entre $250.000 y $500.000, es 418. Respuesta:
17.3) Solución: Definimos la notación:
“Sueldos de los trabajadores de una industria metalúrgica luego del reajuste, en pesos”
1,120.000 1, 1,1̅120. 000→ →$249. $401.333,7 333,7 ~ 401.333,7; 249.333,7 ≤400.333,0700 >400.000400.1000401. 1< 249.333,7 1 0, 0 053 110,49600,01 >400. 0 00 0, 5 04 %>400.000 ∙10050,4%
Luego, por medio de propiedades, tenemos que:
Por ende, después del reajuste queda expresado de la siguiente manera:
El porcentaje de los trabajadores de esta industria que quedarían con un sueldo superior a los $400.000 después del reajuste, es 50,4%. Respuesta:
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
18.- Se estima que la cantidad de cierto tipo de cemento que se utiliza en la mezcla de comercio es una variable aleatoria distribuida normalmente con media µ kg y varianza (kg)2. Se ha observado que en el 5,71% de las mezclas se debe utilizar más de 4,87 kg de cemento, y además, se sabe que el 99,34% de las mezclas contiene a lo más 6,22 kg de cemento. 18.1) Si se sabe que una mezcla contiene más de 5 kg de cemento, ¿Cuál es la probabilidad que tenga más de 7 kg de cemento? 18.2) Si se debe preparar diariamente una mezcla durante un mes (de 30 días), ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más una de estas mezclas preparadas contenga entre 4,87 y 6,22 kg de cemento? 18.3) ¿Cuál es la probabilidad de que la 5° mezcla preparada corresponda a la primera mezcla que contenga menos cemento que la cantidad esperada de cemento?
18) Solución: Utilizamos la siguiente notación:
>4,87 0,0571 ≤4,,8−7 0,9429 ≤ 0,9429 ,−0,9429 ,− 1,58 → 1,584,87 ∗
“Cantidad de cemento que se utiliza en la mezcla de concreto, en kg”
Usando la información que nos entrega el problema calculamos la media y desviación estándar:
≤6,,2−2 0,9934 ≤ 0,9934 ,−0,9934 ,− 2,48 2,48 6,22 ∗∗ ∗ ∗∗
Después, de hacer un sistema de ecuaciones con las ecuaciones desviación estándar, quedando expresado de la siguiente manera:
~ 2,5; 1,5
y
, obtenemos la media y
18.1) Solución: La probabilidad condicional que nos solicitan es: Página 74
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−,, 1≤ >7 ∩ >5 >7 1 ≤7 >7/>5 >5 >5 1 ≤5 1≤ −,, 0 0 1 3 , 0 0 10, 9 987 >7/>5 1≤3, 1≤1,67 1 1,67 10,9525 0,0274
Si la mezcla contiene más de 5 kg de cemento, la probabilidad que tenga más de 7 kg cemento, es 0,0274. Respuesta:
18.2) Solución: Definimos la siguiente variable:
4,872, 5 6, 2 22, 5 4,847<<6, 2 2 << 1 , 5 8<<2, 4 8 1, 5 1, 5 ,87<<6,22 2,48 1,58 0,99340,94290,0505 30 ~ 30; 0,0505 0,0505 00,9495 − ; 0,1,2, … ≤1 0 1 300 0,0505 0,9495 301 0,0505 0,9495 ≤1 0,5483 “Número de mezclas que contienen entre 4,87 kg y 6,22 k g de cemento”
Calculamos la probabilidad que el número de mezclas contengan entre 4,87 kg y 6,22 kg de cemento:
En seguida, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, quedando de la siguiente manera:
Luego, la probabilidad requerida es:
Si se desea preparar una mezcla diaria durante un mes (30 días), la probabilidad de que a lo más una de estas mezclas preparadas contenga entre 4,87 y 6,22 kg de cemento. Respuesta:
18.3) Solución: Sabemos que la cantidad de cemento esperado corresponde a 2,5 kg de cemento, por lo que la probabilidad de éxito corresponde a:
(<) <2, 5 < 2,51,2,5 5 <0 0 0,5
Posteriormente, definimos la variable, y cuya distribución es Geométrica, como se muestra:
“Número de mezclas preparadas hasta encontrar la p rimera que tenga menor cemento del esperado”
Luego, calculamos:
~ 0,5 0,500,5 −; 1,2, … 5 0,505 0,03125
La probabilidad de que la quinta mezcla preparada corresponde a la primera mezcla que contenga menos cemento que la cantidad esperada de cemento. Respuesta:
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19.- Una importante distribuidora de productos enlatados, asegura que el monto de sus ventas mensuales se distribuye aproximadamente normal, con media 80 millones de pesos (MM$) y desviación estándar igual a 25 (MM$). Se seleccionan al azar dos meses en la distribuidora, determine la probabilidad de que: 19.1) Al menos en uno de los meses seleccionados, el monto de las ventas este comprendido entre 70 (MM$) y 100(MM$) 19.2) El monto total de la venta, de los dos meses, sea a lo más 180 (MM$). 19.3) La diferencia del monto de las ventas entre ambos meses, en valor absoluto, no exceda los 15 (MM$).
19.1) Solución: Definimos la variable a utilizar, y la distribución que posee está:
~ 80; 25 10080 7 0≤≤100 7080 ≤≤ 0,4<<0,8 0,8 0,4 25 25 7 0≤≤100 0,78810,34460,4435 “Monto de las ventas mensuales, en MM$”
Donde la probabilidad de que la venta este entre 70 (MM$) y 100 (MM$) es:
Luego, definimos la notación que sigue:
“Cantidad de meses en que la venta está entre 70 (MM$) y 100 (MM$) al seleccionar dos meses”
Además, sabemos que estamos en presencia de una distribución binomial, como se muestra:
~ 2 ; 0,4435 2 0,443500,5565 − ; 0,1,2, … ≥1 1 <1 1 0 1200,4435 0,5565 0,6903
Y evaluamos en la probabilidad que nos piden:
Respuesta: Al
seleccionar al azar dos meses en la distribuidora, la probabilidad de que al menos en uno de ellos el monto de las ventas este comprendido entre 70 (MM$) y 100(MM$), es 0,6903
1,2 ~ ( ; ) → ~ 160 ;1250 ≤180 ≤ 180160 √ 1250 ≤0,57 0,57 0,7157
19.2) Solución:
Sea:
“Monto de las ventas mes , en MM$ ”;
Por propiedades, tenemos que:
Además, debemos calcular que la suma de los dos meses debe ser menor a 180 (MM$):
Respuesta: Al
seleccionar al azar dos meses en la distribuidora, la probabilidad de que e l monto total de la venta sea a lo más 180 (MM$), corresponde a 0,7157.
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19.3) Solución: Lo primero que debemos definir es la distribución normal de la diferencia de ambos meses, la que está dada por propiedades de la siguiente forma:
~ ( ; ) → ~ 0 ;1250 150 | | ≤15 15≤ ≤15 150 ≤≤ 1 250 1 250 √ √ | | ≤15 0,42≤≤0,42 0,42 0,42 0,66280,33720,3256
Luego, tenemos que calcular la probabilidad de la diferencia en valor absoluto, la que se representa como sigue:
Respuesta: Al
seleccionar al azar dos meses de la distribuidora, la probabilidad de que la diferencia del monto de las ventas entre ambos meses, en valor absoluto, no exceda los 15 (MM$), es 0,3256. 20.- El diámetro interior de una tuerca es una variable aleatoria que se distribuye normal con una media de 12 mm y una desviación estándar de 0.8 mm. Por otro lado el diámetro de los pernos se distribuye normal con una media de 12.8 mm y una varianza de 1,0404 mm 2. Se sabe que un perno y una tuerca ajustan cuando los diámetros difieren en menos de 0.02 mm. 20.1) El 16,6% de los pernos serán retirados puestos que poseen un diámetro demasiado grande imposible de ajustar a una tuerca. ¿Cuál es el diámetro máximo que debe tener un perno para no ser retirado de la partida? 20.2) Si se toma un perno y una tuerca al azar ¿Cuál es la probabilidad que ajusten?
> 0,166 12,→ 8 ≤ 0,834 < 1,02 0,834 1,12,02 80,834 1,12,02 8 0,97 13,7894
20.1) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones: “Diámetro interior de una tuerca, en mm” “Diámetro de un perno, en mm”
En seguida, debemos encontrar
, tal que:
~ ~12,128; ;0,1,802
El diámetro máximo que debe tener un perno para no ser retirado de la partida, corresponde a 13,7894 mm. Respuesta:
20.2) Solución: Lo primero que haremos es definir la distribución de la diferencia entre el diámetro interior de una tuerca y el diámetro de un perno, que se expresa como sigue:
~ ; → ~ 0,8 ;1,6804
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Para que ajusten la tuerca y el perno, la diferencia entre ambos, en valor absoluto, debe ser menor a 0,02 mm, como se muestra ahora:
| | <0,02 0,02< <0,02 0,√ 10,620,804 8 << 0,√ 0120,,68048 | | <0,02 0,60<<0,63 0,63 0,60 0,73570,72570,01 ; ; > .
Respuesta: Al
tomar un perno y una tuerca al azar, la probabilidad que ajusten es 0,01.
21.- En una industria que fabrica estructuras metálicas modulares, se define la resistencia ( ) a la tensión y la carga ( ) a que son sometidas, tal que e son variables aleatorias independientes, distribuidas:
21.1) Determine el porcentaje de estructuras metálicas modulares que pueden soportar la carga a que son sometidas 21.2) Se eligen al azar estructuras metálicas modulares y se someten a prueba hasta encontrar tres estructuras con resistencia a la tensión de a lo más 865 kg. ¿Cuál es la probabilidad que se haya tenido que probar cinco estructuras metálicas?
21.1) Solución: El problema nos informa de las dos variables a trabajar, las que están distribuidas normalmente, como sigue:
960 ; 72 710 ; 84 > → <0 ~ ( ; ) → ~ 250 ;12240 > <0 < 0250 <2,26 2,26 0,9881 1 2240 √ %<2,26 ∙10098,81%
“Carga a que son sometidas las estructuras metálicas modulares , en kg ” “Resistencia a la tensión que son sometidas las estructuras metálicas modulares , en kg ”
En seguida, notemos que la desigualdad, que nos brinda el ejercicio, la podemos expresar de la siguiente manera: , entonces por medio de propiedades obtenemos, la nueva distribución, quedando:
Luego, calculamos la probabilidad pedida:
El porcentaje de estructuras metálicas modulares que pueden soportar la carga a que son sometidas, corresponde al 98,81%. Respuesta:
21.2) Solución: Lo primero será determinar el valor de la probabilidad de que la resistencia a la tensión de a lo más 865 kg, lo que se plasma a continuación:
<865 < 865960 72 <1,32 1,32 0,0934
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Luego, definimos la notación a usar:
“Numero de estructuras metálicas que se someten a prueba hasta encontrar 3 estructuras con resistencia a la tensión de a lo más 865 Kilogramos”
Dicha notación se encuentra distribuida binomial nega tiva o Pascal, como se muestra:
1 ∗ ~ 3 ; 0,0934 2 0,09340 0,9066 − ;3,4,5,…
A continuación calculamos la probabilidad solicitada:
5 42 0,0934 0,9066 0,00402
Al elegir al azar cinco estructuras metálicas modulares, la probabilidad de que esta última corresponda a la tercera con resistencia a la tensión de a lo más 865 kg, es 0,00402. Respuesta:
Distribución Mixta
22.- En la red informática de una empresa hay 3 sistemas multiusuario, que se identificarán como , y . Las peticiones de conexión que se realizan a estos equipos se reparten de forma que, el 60% se efectúan sobre , el 30% sobre el 10% sobre . Los tiempos de respuestas a estas peticiones son variables aleatorias, expresadas en segundos, tal que:
i) El tiempo ( ii) El tiempo ( iii) El tiempo (
) de respuesta de ) de respuesta de ) de respuesta de
, ,,,,
, en segundos, se distribuye exponencialmente en media 5 seg. , en segundos, se distribuye uniforme entre 4 seg. y 8 seg. , se segundos, tiene la siguiente distribución de probabilidad:
Si el tiempo de respuesta de una petición de conexión supera los 7 segundos, se dice que la petición es fallida, y en otro caso se considera petición atendida. 22.1) Calcule la probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida. 22.2) En 5 peticiones de conexión al sistema S1, seleccionadas aleatoriamente y de forma independiente entre sí, determine la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas.
22.1) Solución: Definimos las siguientes notaciones a utilizar:
1,2,3
“Petición de conexión que se realiza en el sistema multiusuario que se identifica como
1,2,3 ,
”
“Tiempo de respuesta de conexión a las peticiones de conexión en el sistema multiusuario que se identifica
como ,
"
Además, los tiempos de respuesta se expresan de la siguiente manera, según sus distribuciones:
~ 15 ~ [4 ;8]
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0, 2 4, 5 , 6 , 7 , 8 10− ; >0 0 ; 4<<8 0
0,6 0,3 0, 1
En seguida, exponemos la información probabilística que nos brinda el ejercicio:
Luego, procedemos a calculas las respectivas probabilidades de que la respuesta de una petición de conexión supere los 7 segundos, por lo tanto, sea fallida, como se muestra a continuación:
1 >711 0,2466 ; >7 4 0,25 ; >7 8 0, 2 Finalmente: ó ∙1 >7 2 ∙ 2 >7 3 ∙ 3 >7 −
0,6∙0,24660,3∙0,250,1∙0,20,24296 ≤7 1 1 >7 10,24660,7534 5 ~ 5 ; 0,7534 0,75340 0,2466 − ; 0, 1,2,3,4,5 ≥4 540,7534 0,2466 550,7534 0,63998
Respuesta:
0,24296
La probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida, es igual a
22.2) Solución: Sea: “Número de peticiones que fueron co nsideradas atendidas, entre 5 peticiones de conexión al sistema ” Además, podemos determinar la probabilidad de que la petición de conexión sea considerada atendida, de la siguiente forma: Por otro lado, notemos que la variable tiene una distribución binomial, como se expresa en seguida:
Por último, nos dirigimos a determinar la probabilidad requerida por el ejercicio:
Entre 5 peticiones de conexión al sistema , seleccionadas al azar e independiente entre sí, la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas, corresponde a 0,63998. Respuesta:
23.- Una empresa dedicada a la fabricación de pinturas tiene su planta en una localidad rural cerca de la ciudad, por esta razón los pedidos grandes son cargados en camiones el día anterior a su despacho y estos se guardan en una bodega que se encuentra en la misma ciudad. Se ha detectado que el tiempo de desplazamiento de un camión entre la planta y la bodega se distribuye uniformemente en el intervalo de 40 a 60 minutos. Además el tiempo que transcurre desde que el camión abandona la bodega hasta que llega al destino de entrega del pedido, se distribuye según una normal con media 2 horas y desviación estándar 15 minutos.
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO
23.1) De cuatro camiones que salen de la planta hacia la bodega elegidos de distintos despachos ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno de estos camiones demoren más de 45 minutos? 23.2) Si el tiempo que emplea un camión en devolverse a la bodega, después de dejar su pedido, es un sólo un 10% menor que el tiempo que emplean en ir a dejar un pedido ¿Qué porcentaje de los camiones se demoran en volver entre 1,5 horas y 2,0 horas? 23.3) La pintura se envía en tinetas de igual tamaño y forma, etiquetadas con el tipo de pintura que contiene. Un cliente ha solicitado que le envíen un pedido que consta de 10 tinetas de pintura látex blanco y 5 tinetas de pintura elastomérica. 23.4) Al llegar el camión con el pedido a su destino se dan cuenta que se han desprendido las etiquetas, la persona encargada de recibir el despacho elige al azar 3 tinetas ¿Cuál es la probabilidad que sólo una de las tinetas elegidas contenga pintura elastomérica?
23) Solución: Definimos las variables a usar:
“Tiempo de desplazamiento entre planta y bodega, en minutos” “Tiempo de desplazamiento entre bodega y destino, en minutos”
Además, las variables se distribuyen de la siguiente manera:
~ [40 ;60 ] ~ 120 ; 15
23.1) Solución: Sea: “Número de camiones que demoran más de 45 minutos en llegar de la planta a la bodega, entre cuatro camiones” Determinamos la probabilidad de que un camión se demore más de 45 minutos en llegar de la planta a la bodega, entre cuatro camiones:
1 1 60 >45 20 20 45 0,75 ~ 4 ;0,75 4 0,75 0,25 − ; 0,1,2,3,4
Luego, sabemos que se distribuye de la siguiente forma:
0 ≥1 1 <1 1 0 1400,75 0,25 0,9961 ′ ′ 0,9
Para terminar, calculamos la probabilidad que nos solicitan:
De cuatro camiones que salen de la planta hacia la bodega elegidos de distintos despachos, la probabilidad que al menos uno de estos camiones demoren más de 45 minutos es 0,9961. Respuesta:
23.2) Solución: Sea:
“Tiempo que emplea un camión en devolverse a la bodega , en minutos”
Luego, con la información que nos da el ejercicio, podemos exponer la siguiente igualdad:
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Donde, con ayuda de propiedades determinamos los siguientes datos:
′ 0,9 108 ′ 0,9 182,25 ′ ′ ~ 108 ; 182,25 9 0<′ <120120108 90108 182,25 << 182,25 0,1,8933<<0, 8 9 1, 3 3 0,81330,09180,7215 %0,7215∙10072,15% − ~ 15;3 ; 0 0, 1,2,3,4,5 10 5 2 1 1 153 0,4945
En seguida, expresamos como se distribuye la variable definida con anterioridad
:
Calculamos la probabilidad pedida:
El porcentaje de los camiones que se demoran en volver entre 1,5 horas y 2 horas, es igual a 72,15% Respuesta:
23.3) Solución: Sea:
“Número de tinetas con pintura elastomérica en el pedido”
Luego, determinamos la probabilidad preguntada:
Respuesta: Al
elegir 3 tinetas al azar del pedido, la probabilidad que sólo u na de las tinetas elegidas contenga pintura elastomérica, es 0,4945. 24.- La hora de salida de un tren de la estación es una variable aleatoria X, distribuida exponencialmente con media igual a una hora. Un viajero llega a la estación, de salida del tren, a una hora Y, distribuida uniformemente en el intervalo [ 0 ; ½ ] horas. Se sabe que X e Y son variables aleatorias independientes. 24.1) Determine la probabilidad de que el viajero tome el tren (en un viaje elegido al azar) 24.2) Determine la probabilidad de que el tren salga de la estación después de 30 minutos y el viajero llegue a la estación en sus últimos 10 minutos.
24) Solución: Sean:
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“Hora de salida de un tren de la estación” “Hora de ll egada a tomar el tren”
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~− ; >01 2~ ; 00<< ; 0 0 1 − 2 >0; 0<< , 0 2
Las que se distribuyen como se ve a continuación:
Además, como son sucesos independientes, podemos expresar ambas variables juntas:
24.1) Solución: Lo primero será definir los límites de integración, los que se muestran gráficamente en la imagen que se encuentra a la derecha. Luego de esto procedemos a calcular la probabilidad requerida por el problema:
, − > 1 ≤ 1 = 2 , − 12 1 12 −, 10,787
Respuesta:
En un viaje al azar, la probabilidad de que el viajero tome el tren es 0,787.
24.2) Solución: Notemos, que los sucesos que nos plantea el ejercicio son independientes, por lo que, para que ocurran dichos sucesos juntos se expresa de la siguiente forma:
⁄ >0,5 ; 1⁄3 ≤≤12 >0, 5 ∙ 1/3≤≤1/2 ⁄ , − ⁄ 2 0,6065∙0,33330,2021
La probabilidad de que el tren salga de la estación después de 30 minutos y el viajero llegue a la estación en sus últimos 10 minutos, corresponde a 0,2021 Respuesta:
25.- La empresa GABR que se dedica a la mantención y reparación de semáforos ganó una licitación pública para prestar sus servicios en un sector de la comuna de Santiago. La zona consta de 20 semáforos donde la probabilidad de falla es 0,1 para cada uno. La empresa dispone de un equipo de técnicos altamente calificados que darán pronta solución a cualquier emergencia que se presente. Si la variable se distribuye Binomial definida como el número de semáforos que fallan diariamente y es el tiempo que demora la empresa en reparar la falla, distribuida normal con media de 30 minutos y desviación estándar de 3,2 minutos, entonces:
25.1) Entre los semáforos cuyo tiempo de reparación demora menos de 30 minutos ¿Qué porcentaje de ellos se repara en más de 25 minutos?
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4. Variable Aleatoria Continua y Distribucio nes Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁL I SIS ESTADÍSTICO
25.2) La empresa GABR debe cancelar a la Municipalidad una multa M en UF, que depende del número de semáforos que fallan diariamente y del tiempo que demora en la reparación, de acuerdo al siguiente polinomio: ¿Cuántas UF espera cancelar la empresa diariamente?
, ⁄
~ 20 ; 0,1 ~ 30 ; 3,2 − − << >25∩<30 25<<30 , , >25/<30 <30 <30 < −, 56<<0 0 0 1,56 0,50,0,50594 0,8812 1,<0 , 30 [] 5, 8 ∙20∙0, 1 2 ∙ ∙ 20∙ 0 , 1 ∙ 0 , 9 1, 8 1
25) Solución: Sean:
“Número de semáforos que fallan diariamente” “Tiempo que demora la empresa en reparar la falla , en minutos ”
Cuyas distribuciones se expresa, como sigue:
25.1) Solución: Procedemos a calcular la probabilidad condicional, como se muestra a continuación:
Entre los semáforos cuyo tiempo de reparación demora menos de 30 minutos, el porcentaje de estos se repara en más de 25 minutos, es igual a 88,12%. Respuesta:
25.2) Solución: Sea:
“Multa a cancelar a la municipalidad, en UF”
Por propiedades, tenemos:
Luego, calculamos la esperanza de la multa a cancelar a la municipalidad:
Respuesta:
30 30 5, 8 218, 8
La empresa espera cancelar 8,8 UF diarias por la multa a la municipalidad.
26.- La duración ininterrumpida de un equipo electrónico tipo A es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 1400 horas y varianza 800 horas 2, y la duración ininterrumpida de un equipo tipo B se distribuye exponencialmente con media 1500 horas. ¿Qué tipo de equipo es más conveniente elegir si se necesita realizar un proceso que dure al menos 1340 horas, sin interrupción?
26) Solución: Sean:
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“Duración de un equipo eléctrico tipo A, en horas” “Duración de un equipo eléctrico tipo B, en horas”
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1500 → 1 1500 → 15001 ~ 1400; 800 ~ >1340 1 ≤1340 1< 13401400 1 2, 1 2 8 00 √ 1 2,12 10,01740, 9 826 >1340 11 − 0,4093
Debido a que:
Se distribuye respectivamente:
Luego calculamos las probabilidades de que el equipo eléctrico d ure a lo menos 1340 horas:
El equipo que debería elegir si se necesita realizar un proceso que dure al menos 1340 horas, sin interrupción, corresponde al equipo A, ya que es más conveniente. Respuesta:
27.- El Departamento de Producción de una empresa de microprocesadores realiza un control de calidad de sus productos por lo cual se estudia el tiempo de vida de los microprocesadores. La variable tiempo de duración (X) de microprocesadores, en años, sigue una distribución exponencial con media 6 años mientras que la velocidad (Y) se ajusta a una variable normal con media 2,8 Ghz y desviación estándar 0,2 Ghz. Se supone que el tiempo de vida y la velocidad de trabajo de los microprocesadores, son variables aleatorias independientes. Además, un microprocesador es defectuoso si su duración es menor a 6 meses o su velocidad es inferior a 2,4 Ghz. 27.1) Calcule la probabilidad de que un microprocesador elegido al azar, resulte defectuoso. 27.2) Un informático compra dos microprocesadores de esta empresa. Tras someterlos a pruebas llega a la conclusión que el primero supera, en velocidad, al segundo en más de 0,5 Ghz. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla lo concluido? 27.3) Una persona compra 5 microprocesadores en días distintos. ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres de ellos no superen la velocidad 2,7 Ghz?
27.1) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones:
“Tiempo de duración de microprocesadores, en años” “Velocidad de trabajo de microprocesadores, en Ghz”
~ ~ 2,8 ; 0,2 −, 2,42, <0,8 5 ∪ <2,4 <0, 5 <2,4 1 < 0,2 0, 0 8 2.0 0,080,02280,1028
Distribuidos de la siguiente forma:
Luego calculamos la probabilidad de que un microprocesador sea defectuoso, lo que se define de la siguiente forma:
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Respuesta:
La probabilidad de que al elegir al azar un microprocesador, este resulte defectuoso, es
0,1028. 27.2) Solución: Lo primero que debemos hacer, es definir la diferencia de velocidades por medio de propiedades, quedando como se ve a continuación:
~ 2,8 ; 0,2 ~ 2,8 ; 0,2 ~ ; ~ 0 ; 0,08 >0,5 1 <0,5 1< 0,√ 05,008 1<1,77 1 1,77 10,96160,0384
Al comprar dos microprocesadores de esta empresa tras someterlos a prueba, la probabilidad de que el primero debe superar, en velocidad, al segundo en más de 0,5 Ghz, es 0,0384. Respuesta:
27.3) Solución: Usaremos la notación que sigue:
“Número de microprocesadores con velocidad no superior a 2,7 Ghz, entre los elegidos”
Calculamos la probabilidad de que supere la velocidad 2,7 Ghz:
<2, 7 < 2,70,2,2 8<0,5 0,5 0,3085 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ~ 5 ; 0,3085 50,30850 0,6915 − ; 0, >3 4 5 540,3085 0,6915 550,3085 0,0341
Notemos que la variable se posee una distribución binomial, como se ve a continuación:
Finalmente:
La probabilidad de que más de tres microprocesadores no superen la velocidad 2,7 Ghz, es 0,0341, en una compra de cinco microprocesadores, efectuada por una persona. Respuesta:
28.- Una empresa constructora reúne la información respecto a la cantidad de toneladas de fierro utilizada en obras de mayor envergadura. En la ejecución de sus obras distingue dos etapas: la cantidad ( ) de fierro en toneladas utilizada en la primera etapa es una variable aleatoria distribuida N (2000; 160000) y la cantidad de toneladas de fierro ( ) utilizada en la segunda etapa es una variable aleatoria distribuida U (1200; 2400), tal que e son variables independientes. 28.1) Si se eligen al azar cuatro de sus obras de gran envergadura. ¿Cuál es la probabilidad que en dos de ellas, se haya utilizado en la primera etapa al menos 2000 toneladas de fierro y más de 1800 toneladas de fierro en la segunda etapa?
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28.2) Para trabajar en una nueva obra adjudicada el Gerente de Personal de la Empresa entrevista a diez ingenieros civiles, elegidos al azar, de entre veinte postulantes, que cumplen con los requisitos. Determine la probabilidad de entrevistar a más de dos postulantes con experiencia previa en grandes obras, si solo cuatro de los postulantes cumplen con este requisito.
28) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones:
“Cantidad de fierro utilizada en la primera etapa, en toneladas” “Cantidad de fierro utilizadas en la segunda etapa, en toneladas”
Las que poseen una distribución normal y uniforme, respectivamente:
~ 2000; 160000
~ U [1200;2400]
28.1) Solución: En seguida calculamos la probabilidad de que se cumpla que en un obra de gran envergadura, se cumpla que en la primera etapa se utilicen menos de dos mil toneladas de fierro y en la segunda etapa, de esta misma, se utilicen más de mil ochocientas toneladas de fierro:
<2000∩>1800<2000 ∙>1800 1 <20002000 ∙ √ 160000 1200 0 ∙ 0,5 0,25
Sea: “Número de obras de gran envergadura que en la primera etapa utilicen 2000 ton. de fierro, y en la segunda etapa utilicen 1800 ton. de fierro, en una muestra de cuatro obras elegidas al azar”
~ 4 ; 0,25 4 0,250 0,75 − ; 0,1,2,3,4 2 420,25 0,75 0,2109
Calculamos la probabilidad pedida:
En una muestra al azar de cuatro obras, la probabilidad que en dos de ellas, se haya utilizado en la primera etapa al menos 2000 toneladas de fierro y más de 1800 toneladas de fierro en la segunda etapa, corresponde a 0,2109. Respuesta:
28.2) Solución: Sea:
“Número de postulantes entrevistados, con experiencia previa en grandes obras, de una muestra de diez ingenieros civiles, elegidos al azar entre veinte postulantes”
Dicha variable, posee una distribución Hipergeométrica, como se muestra a continuación:
~ (20; 10; 0,2) Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
− ; 0,1,2, … ,8
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