101
Estadística para Ingeniería
Variables aleatorias y modelos o distribuciones de probabilidad 2.5. Variable aleatoria Una variable aleatoria X es una función del espacio muestral en los números reales, es decir, X : IR
La variable aleatoria asigna a cada elemento del espacio muestral un número que no es aleatorio o imprevisible, sino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo espacio muestral se define la variable aleatoria.
Rango de la variable aleatoria Es el conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria, es decir, R X { X (w ) / w }
Tipos de variable aleatoria Una variable aleatoria es discreta si puede asumir un conjunto finito o infinito numerable de valores diferentes, es decir, si su rango es un conjunto discreto. Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en un intervalo o en general, si su rango es un conjunto continuo. Ejemplo 92
Indique el tipo de la variable aleatoria y su rango. Variable aleatoria W = = número de libros defectuosos def ectuosos en un lote
de 100 unidades X = = número de llamadas realizadas por un
vendedor en una hora. Y = = tiempo que puede pasar un humano deba-
jo del agua sin respirar (en minutos) Z = = monto pagado en la primera boleta de
pago (en nuevos soles) S = Número de candidatos entrevistados has-
ta encontrar el tercero apto para un puesto T = Peso de un recién nacido ( en kg.) M = Número de créditos hipotecarios hipotecarios aproba-
dos de 12 que fueron evaluados. N = Número de accidentes de trabajo por
semana en una mina. Notas
Rango
Tipo de variable
102
Estadística para Ingeniería
Evento ( X = = a) El evento ( X a) se define como ( X a) { w / X (w ) a } Ejemplo 93
Sea Ω el espacio muestral del experimento E = = lanzar una moneda dos veces y observar si sale cara (c) o sello (s) cada vez. Ω = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. Se define en Ω la variable aleatoria X = = número de caras obtenidas. El rango de R X = {0, 1, 2}, entonces, X es es una variable aleatoria discreta. El evento ( X X = = 0) = el número de caras obtenidas es cero = {(s,s)} El evento ( X X = = 1) = el número de caras obtenidas es uno = {(c,s), (s,c)} El evento ( X X = = 2) = el número de caras obtenidas es dos = {(c,c)} X > El evento ( X > 0) = (X = 1 ó X = 2) = {(c,s), (s,c), (c,c)}
2.6. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria es discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable. Si x es un elemento del rango de la variable aleatoria discreta X , entonces, la probabilidad de que ocurra el evento ( X X = x ) se denota P( X X = x ). ).
Distribución de probabilidad de una variable al eatoria discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se se describe como una función de probabilidad representada por f ( x ) que asigna a cada valor posible de la variable aleatoria, la probabilidad de que este valor ocurra, es decir, f ( x x ) = P( X X = = x ). ). Toda función de probabilidad cumple lo siguiente: 0 ≤ f ( x x ) = P(X = x) ≤ 1
f x P ( X x ) 1
x R X
x R X
Si A RX , entonces P X A
f x (R = rango de la variable aleatoria X ) X
x A
El dominio de la función f ( x x ) se puede extender a todos los números reales, si se define f ( x x ) = 0 para todo x IR - R X . Ejemplo 94
Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad: x
5
10
15
20
25
30
f ( x ) = P ( X = x )
0,05
0,12
0,28
0,34
0,15
0,06
Entonces: P( X X <20) <20) = P( X X = = 5) + P( X X = = 10) + P( X X = = 15) = 0,05 + 0,12 + 0,28 = 0,45 P(5< X <25) = P( X X = = 10) + P( X X = = 15) + P( X X = = 20) = 0,12 + 0,28 + 0,34 = 0,74
Notas
102
Estadística para Ingeniería
Evento ( X = = a) El evento ( X a) se define como ( X a) { w / X (w ) a } Ejemplo 93
Sea Ω el espacio muestral del experimento E = = lanzar una moneda dos veces y observar si sale cara (c) o sello (s) cada vez. Ω = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. Se define en Ω la variable aleatoria X = = número de caras obtenidas. El rango de R X = {0, 1, 2}, entonces, X es es una variable aleatoria discreta. El evento ( X X = = 0) = el número de caras obtenidas es cero = {(s,s)} El evento ( X X = = 1) = el número de caras obtenidas es uno = {(c,s), (s,c)} El evento ( X X = = 2) = el número de caras obtenidas es dos = {(c,c)} X > El evento ( X > 0) = (X = 1 ó X = 2) = {(c,s), (s,c), (c,c)}
2.6. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria es discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable. Si x es un elemento del rango de la variable aleatoria discreta X , entonces, la probabilidad de que ocurra el evento ( X X = x ) se denota P( X X = x ). ).
Distribución de probabilidad de una variable al eatoria discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se se describe como una función de probabilidad representada por f ( x ) que asigna a cada valor posible de la variable aleatoria, la probabilidad de que este valor ocurra, es decir, f ( x x ) = P( X X = = x ). ). Toda función de probabilidad cumple lo siguiente: 0 ≤ f ( x x ) = P(X = x) ≤ 1
f x P ( X x ) 1
x R X
x R X
Si A RX , entonces P X A
f x (R = rango de la variable aleatoria X ) X
x A
El dominio de la función f ( x x ) se puede extender a todos los números reales, si se define f ( x x ) = 0 para todo x IR - R X . Ejemplo 94
Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad: x
5
10
15
20
25
30
f ( x ) = P ( X = x )
0,05
0,12
0,28
0,34
0,15
0,06
Entonces: P( X X <20) <20) = P( X X = = 5) + P( X X = = 10) + P( X X = = 15) = 0,05 + 0,12 + 0,28 = 0,45 P(5< X <25) = P( X X = = 10) + P( X X = = 15) + P( X X = = 20) = 0,12 + 0,28 + 0,34 = 0,74
Notas
Estadística para Ingeniería
103
Ejemplo 95
Sea X el el número de veces que se lanza un dado hasta que salga seis por primera vez. Determine la función de probabilidad de la variable X y y calcule P( X 4)
Ejemplo 96
Sea la variable aleatoria X = = número de expedientes rechazados por documentación incompleta, incompleta, en un día. Usando información disponible en los archivos, se observó el número de expedientes rechazados por documentación incompleta incompleta por día, en una muestra de 200 días. Los resultados fueron: 32 días no se rechazaron expedientes 48 días se rechazó un expediente 70 días se rechazaron dos expedientes 30 días se rechazaron tres expedientes 16 días se rechazaron cuatro expedientes
4 días se rechazaron cinco expedientes a. Usar la información anterior para construir una distribución de probabilidades para X.
b. Calcular la probabilidad de que en un día cualquiera sean rechazados más de tres expedientes por documentación documentación incompleta.
c. Calcular la probabilidad de que en un día cualquiera sean rechazados a lo más dos expedientes por documentación incompleta.
Ejemplo 97
Se lanza un dado d ado dos veces, sea la variable aleatoria X igual igual a la suma de los puntos de las caras superiores. Determine la función de probabilidad de la variable X .
Notas
104
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 98
En una urna hay dos bolas rojas y tres bolas negras. Se saca, una a una y sin reemplazo, las bojas hasta que salga la segunda bola roja. Sea X la variable aleatoria definida como el número de extracciones necesarias hasta que aparezca la segunda bola roja. Calcule la función de probabilidad de la variable X .
2.7. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua X es aquella cuyo rango es un conjunto continuo, por lo general, un intervalo de los números reales. El rango de la variable aleatoria continua X es un conjunto infinito no numerable por lo tanto la idea de asignar un valor de probabilidad a cada elemento del rango ya no es posible y es por ello que se define la función de densidad que nos permitirá asignar probabilidades a los eventos relacionados con X.
Función de densidad de una variable a leatoria continua Se denomina función de densidad de probabilidad f ( x ) de una variable aleatoria continua X a la función que satisface lo siguiente: f x 0
x R X
f x dx 1 R X
Si A R X , entonces P X A f x dx A
El dominio de la función f ( x ) se puede extender a todos los números reales, si se define f ( x ) = 0 para todo x IR- R X Se cumple que: b
P a X b f x dx a a
P( X a) f ( x ) dx 0 a
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
Notas
105
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 99
Si las ventas diarias (en miles de nuevos soles) en una tienda se modelan con una variable continua X con función de densidad de probabilidad: f ( x ) c x ; 0 x 10
a. Calcular el valor de c b. Calcule e interprete P( X 5) c.
Calcule e interprete P( X 8)
Solución 10
a. Como f ( x ) es una función de densidad
2
x
cx dx 1 , luego c 2 0
10
1 , de donde, 0
50c 1 c 0,02 5
b. P ( X 5) f ( x) dx 0,25 . La probabilidad de que las ventas en un día cualesquiera sean me0
nores a 5 000 nuevos soles es de 0,25. 10
c.
P( X 8) f ( x ) dx 0,36 . La probabilidad de que las ventas en un día cualesquiera sean de al 8
menos 8 000 nuevos soles es de 0,36. Ejemplo 100
El porcentaje de grasa corporal en un hombre adulto de 40 años puede modelarse como una variable aleatoria continua X con la siguiente función de densidad de probabilidad: f ( x ) a (12 x ) ; 8 x 10
a. Determine el valor de a.
b. Si se elige al azar a un hombre adulto de 40 años, calcule la probabilidad de que su porcentaje de grasa corporal sea mayor a 9,5%
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X se denota f ( x ) y es:
la función de probabilidad de X , si X es discreta
la función de densidad de X , si X es continua.
Notas
106
Estadística para Ingeniería
2.8. Función de distribución acumulada de una variable aleatoria La función de distribución acumulada de la variable aleatoria X , es una función F : IR IR , tal que F ( x ) P( X x ) Si X es una variable discreta con función de probabilidad f ( x ) F (a) P( X a)
f x P( X x )
x a
x a
Si X es una variable continua con función de densidad de probabilidad f ( x ) a
F (a) P( X a) f x dx
Se cumple que: 0 F (a) P( X a) 1
Si x 1 ≤ x 2 entonces F ( x 1) ≤ F ( x 2) P(a < X ≤ b) = F (b) – F (a)
Si la variable X es continua se cumple que
dF ( x ) dx
f x
lim F x 0 y que lim F x 1
x
x
Ejemplo 101
Sea X el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Encontrar la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X y calcular P( X ≤ 2)
Ejemplo 102
Sea X el número de lanzamientos de un dado hasta que salga el primer seis. Encontrar la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X y P( X ≤ 3). Solución
La función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es: x
x
t 1
x
x
5 6
5 1 1 5 F x P X x f t 6 6 t 1 t 1 6
F x 1 3
5 Luego, la probabilidad pedida será P X 3 F 3 1 0,4213 6
Notas
; x 1, 2, 3,...
107
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 103
Sea X una variable aleatoria discreta que denota el número de averías que un operario resuelve en una jornada de trabajo, con función de probabilidad dada por: f x
k x 1
; x 0, 1, 2, 3
Halle el valor de k. Encuentre y grafique la función de distribución acumulada de X .
Ejemplo 104
El tiempo, en minutos, en que un equipo mete un gol durante un partido de fútbol se puede modelar por una variable aleatoria continua X con la siguiente función de densidad de probabilidad: f ( x )
1 90
; 0 x 90
a. Determine la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X .
b. Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un equipo meta un gol entre el minuto 20 y 30 del partido.
c.
Use la función de distribución acumulada para calcular el rango intercuartil de X.
Notas
108
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 105
La demanda diaria de gasolina, en miles de galones, en una refinería, se modela con una variable aleatoria X con función de densidad f ( x ) dada por: 0 x 1 2cx , f ( x ) c(3 x ) , 1 x 3 a.
Determine el valor de la constante c y la función de distribución acumulada de la variable X .
b.
¿Cuál debe ser, al comenzar el día, el inventario mínimo que la refinería debe tener para que con una probabilidad de por lo menos 0,95, exista gasolina disponible al final de un día cualquiera?
2.9. Esperanza y varianza de una variable aleatoria Esperanza de una variable aleatoria La esperanza de una variable aleatoria X con distribución de probabilidad f ( x ) se denota E ( X ) y se define según el tipo de variable: Si X es una variable aleatoria discreta, entonces: E X
xf x xP X x
x R X
x R X
Si X es una variable aleatoria continua:
E X
xf x dx
A la esperanza E ( X ) también se le llama valor esperado o media de la variable X y se denota también por μ X . Ejemplo 106
Se lanzan dos dados y sea la variable aleatoria X igual a la suma de los números de las caras superiores. Calcule el valor esperado de la variable X .
Notas
109
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 107
El número de trabajadores que faltan por día por razones de salud en una empresa se modela con una variable aleatoria X con función de distribución.
x
0
1
2
3
4
f ( x )
0,08
k – 0,03
0,40
0,25
k
Determine k . Calcule e interprete el valor esperado de X .
Ejemplo 108
Dada la siguiente función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X
x ; 0 x 1 2 x ; 1 x 2
f ( x )
Calcule el valor esperado de X
Esperanza de una función de variable al eatoria Sea G( X ) una función de la variable aleatoria X . Si X es una variable aleatoria discreta, entonces: E G( X )
G( x ) f x G( x )P X x
x R X
x R X
Si X es una variable aleatoria continua:
E G( X )
G( x ) f x dx
Notas
110
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 109
Un jugador lanza un dado, si sale un número de puntos mayor a cuatro gana 10 nuevos soles y si no, pierde cinco nuevos soles. Calcule e interprete el valor esperado de la ganancia.
Ejemplo 110
La demanda diaria, en kilos, de un producto perecible se modela por una variable aleatoria con función de densidad f ( x ) 0,01 ; 100 x 200
El kilo del producto tiene un costo de producción de 30 nuevos soles y se vende a 50 nuevos soles. Todo lo producido que no sea vendido en el día se remata a 15 nuevos soles por kilo. Calcule la cantidad que se debe producir diariamente para maximizar la utilidad esperada.
Varianza de una variable aleatoria La varianza Var ( X ) de una variable aleatoria X con distribución de probabilidad f ( x ) se define por:
2
V X E X X
E ( X ) 2
2 x
Si X es una variable aleatoria discreta, entonces: V X
( x ) f x x f x 2
x
2
x R
x R X
X
2 x
Si X es una variable aleatoria continua, entonces:
2 2 V X ( x x ) f x dx x f x dx x 2
2 La varianza de la variable aleatoria X también se denota por X .
Desviación estándar de una variable aleatoria X X 2
Notas
111
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 111
Se lanzan dos dados y sea la variable aleatoria X igual a la resta del número mayor y el número menor de las caras superiores. Calcule la desviación estándar de la variable X .
Ejemplo 112
La demanda diaria de un producto perecible puede modelarse por una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad está dada por la tabla que sigue: x
12
24
36
48
60
f (x)
0,15
0,25
0,30
0,20
0,10
La empresa obtiene por cada unidad demandada de producto 20 nuevos soles de utilidad. Si la cantidad vendida en un día es mayor a 36 unidades, se obtiene una utilidad adicional de dos nuevos soles por unidad vendida de producto. La empresa tiene siempre más de 60 productos en su almacén al inicio del día. Calcule el valor esperado y la desviación estándar de la utilidad por la demanda diaria de productos.
Ejemplo 113
Dada la siguiente de probabilidad de la variable aleatoria continua X con función de densidad: f ( x ) ax
2
; 0 x 1
Determine el valor de a, luego calcule la media y desviación estándar de X.
Notas
112
Estadística para Ingeniería
Propiedades del valor esperado y la varianza de variables aleatorias E (b) = b; Var (b) = 0 para cualquier constante real b.
Si X e Y son variables aleatorias, a y b son constantes, entonces: E (aX + bY ) = a E ( X ) + b E (Y )
Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces: E (Y ) = aE ( X ) +b; V (Y ) = a2V ( X ) Si X 1, X 2, X 3, . . ., X n son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces: E a1 X 1 a2 X 2 an X n a1E X 1 a2E X 2 anE X n
Si X 1, X 2, X 3, . . ., X n son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces: V a1 X 1
a2 X 2 an X n a12V X 1 a22V X 2 an2V X n
Coeficiente de variación Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidades f ( x ). El coeficiente de variación de la variable aleatoria X es: X CV X
X
Moda La moda de la variable aleatoria X es el valor de x que maximiza su función de distribución f ( x ).
Mediana La mediana de la variable aleatoria X es el menor valor de x tal que su función de distribución acumulada F ( x ) ≥ 0,50. Ejemplo 114
Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad: f x kx ; x 1, 3, 6, 9
Determine k y calcule la media, moda, mediana de la variable X y el coeficiente de variación de la variable Y = 3 X + 5.
Notas
113
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 115
La función de distribución acumulada de la variable aleatoria X está dada por:
0 ; x 1 1 F x a x 1 ; 1 x 3 1 1 ; x 3 a.
Calcule P X 0 ,5 X 0 ,5
b.
Calcule la mediana de la variable aleatoria X .
Notas
114
Estadística para Ingeniería
Ejercicios 27. El contenido (en gramos) de oro por tonelada de material extraído en una mina es una variable X con función de densidad: f ( x ) e
x
c ; 0 x 3
a. Encontrar el valor de la constante c y hallar el contenido de oro esperado por tonelada de material extraído. b. Encontrar la función de distribución acumulada de X y hallar la probabilidad de que una tonelada de material extraído tenga más de un gramo de oro, si se sabe que a lo más tiene dos gramos de oro. c. Si el costo por extraer el oro del material es de 25 dólares por tonelada y el gramo de oro se vende a 40 dólares, encontrar la ganancia esperada al vender el oro extraído de 1000 toneladas de material. 28. En un taller hay tres tipos de máquinas: A, B y C. De las 20 del tipo A, 4 están malogradas; de las 15 del tipo B, 2 están malogradas; y de las 10 del tipo C, 3 están malogradas. Se escoge al azar y de manera independiente una máquina de cada tipo. Si la variable X es igual al número de máquinas malogradas escogidas, encontrar la media y la desviación estándar de la variable X . 29. Sea X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por: f ( x ) ce x ; x 3
a. Halle el valor de la constante c. y determine la función de distribución acumulada de X , F ( x ). b. Calcule la media y varianza de X . 30. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad: 1 x 2 f ( x ) ; 0 x a 12 a. Determine el rango, la moda, la media y la varianza de la variable aleatoria X. b. Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X. 31. La demanda diaria de cierto artículo es una variable aleatoria cuyos valores son 10, 20 o 30 con probabilidades de 0,2; 0,5 y 0,3 respectivamente. El costo de cada artículo es 1,80 soles y el precio de venta es dos soles. Los artículos son perecederos de tal manera que si un artículo no se vende en el día la pérdida es total. Hallar el número de artículos que se deben ordenar para la venta de tal manera que la ganancia esperada sea máxima. 32. Suponga que el ingreso familiar mensual en miles de unidades monetarias en una ciudad, es una variable aleatoria X con función de densidad: ; 0 x 1 4kx f ( x ) k (5 x ) ; 1 x 5 a. Determinar el valor de la constante k y calcular el porcentaje de familias con ingresos mensuales de entre 500 y 2000 unidades monetarias. b. ¿Cuál es el ingreso familiar esperado?
Notas
115
Estadística para Ingeniería
33. La proporción de su presupuesto anual que una compañía dedica al mantenimiento de sus máquinas es una variable aleatoria X con función de densidad: f ( x ) c ( x 1) ; 0 x 1 a. Halle el valor de la constante c y determine la distribución acumulada de la variable X . b. Si la proporción del presupuesto anual dedicado al mantenimiento de sus máquinas es de al menos 0,20, ¿qué probabilidad hay de que e sta proporción no supere el 0,80? 34. Un ingeniero propone que la proporción de construcciones civiles sin licencias de construcción puede ser modelada usando la siguiente función de densidad: g(y ) cy 2 (1 y ) ; 0 y 1
Un segundo ingeniero propone usar otro modelo dado por: f ( x ) d ; 0 x 1 a. Encuentre c y d . b. Halle las distribuciones acumuladas en cada modelo y calcule la probabilidad que la proporción indicada supere a 0,8. c. ¿Cuál modelo presenta menor variabilidad? 35. La demanda semanal de gas propano, en miles de galones, de una distribuidora en particular es una variable aleatoria X con función de densidad f ( x ) dada por: 1 f ( x ) 2 1 2 ; 1 x c
x
a. Determine c y la función de distribución acumulada de X , F ( x ). b. Calcule la media y el percentil 80 de la demanda semanal de gas propano. c. Si hay 1500 galones en existencia al principio de la semana y no se recibe nuevo suministro durante la semana, ¿cuántos galones se espera que q ueden al finalizar la semana? 36. Sea X una variable aleatoria discreta que denota el número de averías que un operario resuelve en una jornada de trabajo, con función de probabilidad dada por: f ( x )
k x 1
; x 0, 1, 2, 3.
a. Halle el valor de k y encuentre la función de distribución acumulada de X . b. Calcule la mediana de la variable X y el coeficiente de variación de la variable Y = 3 X +5. 37. Se ha observado que un termómetro sometido a condiciones meteorológicas adversas da una medición de entre dos grados más y dos menos de la temperatura real. El error cometido se modela por una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad. 1 f ( x ) (2 x ) , 2 x 2 8 a. Calcule la probabilidad de que el valor absoluto del error sea menor a un grado. b. Calcule la probabilidad de que el termómetro dé la temperatura exacta. c. Calcule el error esperado y la desviación estándar del error.
Notas
116
Estadística para Ingeniería
38. El número de solicitudes de crédito hipotecario recibidas semanalmente en una agencia bancaria se modela con una variable aleatoria X con función de probabilidad f ( x ) dada por:
c f ( x ) 2 x 3 0,092
x 5; 6; 7; 8; 9 x 10
Determine el valor de la constante c, la media, mediana y moda de X . 39. El tiempo de fraguado, en minutos, de un cierto tipo de concreto se puede modelar por una variable aleatoria X con la siguiente función de distribución acumulada: x 2 F x ; 20 x 50 30 3 Calcule el coeficiente de variación de la variable X . 40. La vida, en horas, de un tipo de transistores se representa por una variable aleatoria continua con función de distribución acumulada: 100 F ( x ) 1 , x 100 x
¿Cuál es la probabilidad de que en un aparato de radio que lleva cuatro de estos transistores, al menos tres deban ser sustituidas durante las primeras 250 horas? 41. La variable aleatoria con distribución de Pareto se usa en el campo de los seguros de autos para modelar la cuantía del daño por siniestro. Para una variable aleatoria X con distribución de Pareto se cumple que:
b P( X x ) x
a
y su rango es b, . Calcule la media, mediana, moda y desviación estándar de la variable aleatoria X si a > 2.
Notas
117
Estadística para Ingeniería
Capítulo 3. Modelos probabilísticos Experimento de Bernoulli Un experimento de Bernoulli es un experimento aleatorio con dos únicos resultados posibles denominados éxito (E ) y fracaso (F ). La probabilidad de éxito se denota P(E ) = p y la de fracaso P(F ) = 1- p = q. Los siguientes son ejemplos de experimentos Bernoulli: Lanzar un dado y observar si sale seis o
E := Sale 6.
Luego, P(E ) = 1/6
Revisar un artículo y verificar si es defectuoso en una línea de producción que produce el 0,1% de artículos defectuosos. o
E := El artículo es defectuoso.
Luego, P(E ) = 0,001
Ofrecer una póliza de seguros a un cliente y anotar si la compra. Por experiencia se sabe que el 5% de los clientes compra la póliza. o
E := El cliente compra la póliza.
Luego, P(E ) = 0,05
Distribución Bernoulli Se denomina una variable Bernoulli a una variable aleatoria X definida en el espacio muestral asociado a un experimento Bernoulli tal que X (F ) = 0 y X (E ) = 1. La función de probabilidad de la variable aleatoria X es: x 1 x
f ( x ) P X x p q
x 0, 1
Se denota X ~ Bernoulli ( p) y se lee X sigue una distribución Bernoulli con parámetro p. Media o valor esperado de X :
E X p
Varianza de X :
2
V X p1 p pq
Distribución binomial Un experimento binomial consiste en una serie de n repeticiones de un experimento Bernoulli, donde n se fija antes de realizar el experimento. Las pruebas son independientes entre sí por lo que el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de cualquier otro. La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y la denotamos como p. Se define la variable aleatoria binomial X como el número de éxitos observados en un experimento binomial, es decir: X := Número de éxitos obtenidos en n repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito p.
Notas
118
Estadística para Ingeniería
La función de probabilidad de la variable aleatoria binomial X es: f x P X x C x p 1 p n x
n x
; x 0, 1, 2,, n
Se denota X ~ B (n, p) y se lee X sigue una distribución binomial con parámetros n y p. Esperanza de X: E X np Varianza de X: 2
V X np1 p
Se cumple que X ~ Bernoulli ( p), si y solo si X ~ B(1, p) Si X i ~ Bernoulli ( p) (i = 1, 2,…, n) variables aleatorias independientes, entonces se cumple que ( X 1+ X 2+… + X n ) ~ B(n, p) Ejemplo 116
En un proceso de fabricación artesanal de papel reciclado se estima, por experiencia anterior, que el 3% de las hojas de papel producidas presentan defectos en el teñido. Las hojas de papel se empacan en cajas de 50 unidades. Si usted ha comprado una de estas cajas, calcule la probabilidad de que: a. ninguna de las hojas presente defectos en el teñido
b. la caja contenga exactamente tres hojas con defectos en el teñido
c.
la caja contenga a lo más dos hojas con defectos en el teñido
d. la caja contenga más de una hoja con defectos en el teñido
e. ¿Cuántas hojas con defectos en el teñido esperaría encontrar en su caja?
Notas
119
Estadística para Ingeniería
Distribución geométrica La variable aleatoria X tiene una distribución geométrica con parámetro p si X es el número de repeticiones independientes de un experimento Bernoulli con P(E ) = p hasta obtener un éxito. La función de probabilidad de X es: x 1
f ( x ) P X x q p ; x 1, 2, 3,...
Se denota X ~ G( p) y se lee X sigue una distribución geométrica con parámetro p. Esperanza de X : E X Varianza de X : 2
V X
1 p
1 p p
2
q p2
La función de distribución acumulada de X es: F ( x ) P X x 1 (1 p)
x
; x 1, 2, 3,...
Se cumple que P X x (1 p) x q x ; x 1, 2, 3,... Se cumple que P( X > k +s / X > k ) = P( X > s) k , s Z + Esta propiedad indica que la distribución geométrica “no tiene memoria”, es decir, si el éxito no se ha obtenido en las primeras k repeticiones, entonces, la probabilidad de que no ocurra en las próximas s repeticiones es la misma que la probabilidad de que el éxito no ocurra en las primeras s repeticiones. Ejemplo 117
Una compañía petrolera sabe que la probabilidad de que una perforación sea exitosa es del 15%. Calcular la probabilidad de que se necesite realizar por lo menos seis perforaciones para tener la primera perforación exitosa.
Ejemplo 118
La probabilidad de que cada llamada telefónica de un vendedor resulte en una venta es 0,10. Si el vendedor ya realizó tres llamadas sin éxito, ¿cuál es la probabilidad de que necesite hacer más de 12 llamadas para conseguir su primera venta?
Notas
120
Estadística para Ingeniería
Distribución de Pascal o binomial negativa Se define la variable Pascal con parámetros r y p como X número de repeticiones independientes de un experimento Bernoulli con P(E ) = p, hasta obtener r éxitos. La función de probabilidad de la variable X es: x r
x 1
f ( x ) P X x C r 1 1 p p
r
; x r , r 1, r 2,...
Se denota X ~ P(r , p) y se lee X sigue una distribución Pascal con parámetros r y p. Esperanza de X :
E X
Varianza de X :
2
V X
r p r 1 p p
2
rq p
2
Se cumple que X ~ G( p) si y solo si X ~ P(1, p) Si X i ~ G( p) (i = 1, 2,…, n) variables aleatorias independientes, entonces se cumple que la variable X = ( X 1+ X 2+… + X n ) ~ P(r , p)
Ejemplo 119
En una compañía petrolera se estima que la probabilidad de que una perforación sea exitosa es del 0,15. Calcular la probabilidad de que se necesite realizar por lo menos ocho perforaciones hasta la tercera perforación exitosa.
Ejemplo 120
En cierta línea de producción la probabilidad de producir un artículo defectuoso es de 0,001 a. Calcule la probabilidad de que el octavo artículo producido sea el quinto defectuoso.
b. ¿Cuántos artículos se espera producir hasta el cuarto defectuoso?
Notas
121
Estadística para Ingeniería
Distribución hipergeométrica El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un con junto de N elementos, r de los cuales son considerados éxitos y (N - r ) son fracasos. Se define la variable aleatoria hipergeométrica como X:= número de éxitos observados en la muestra de tamaño n. La función de probabilidad de la variable X es: f ( x ) P X x
r N r
C x C n x C nN
; x max{ 0, n (N r )},..., min{ n, r }
Se denota X ~ H ( N, r , n) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución hipergeométrica con parámetros N, r y n. Esperanza de X :
E X n
Varianza de X :
2
r N
r r N n V X n 1 N N N 1
Sea X ~ H(N, r , n), si n/N tiende a cero, entonces X ~ B(n, r /N) aproximadamente.
Ejemplo 121
En un equipo de fútbol hay 18 jugadores de los cuales cuatro consumen sustancias prohibidas. a. Calcule la probabilidad de detectar a por lo menos uno de los jugadores que usan sustancias prohibidas, si la directiva del club ha realizado una prueba antidoping a dos jugadores.
b. Calcule la probabilidad de detectar a por lo menos uno de los jugadores que usan sustancias prohibidas, si la directiva del club ha realizado una prueba antidoping a seis jugadores.
Notas
122
Estadística para Ingeniería
Distribución de Poisson El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades: El número de eventos de interés que ocurren en un intervalo o región de espacio cualquiera es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. La probabilidad de que ocurra un solo éxito durante el intervalo muy corto o región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de éxitos que ocurren fuera del intervalo o región. La probabilidad de que ocurra más de un éxito en tal intervalo corto o caiga en tal región pequeña es insignificante. La función de probabilidad de la variable aleatoria Poisson X es: f x P X x
e
x
x !
; x 0, 1, 2,
= número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región. e = 2,71828…
Se denota X ~ P( ) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución Poisson con parámetro λ. Esperanza de X :
E X
Varianza de X :
2
V X
Sea la variable discreta X definida como el número de veces que ocurre un evento en un intervalo dado (área, volumen o cualquier medida continua). La variable aleatoria X usualmente se modela con una distribución de Poisson de parámetro λ ( λ > 0), que representa el número medio de éxitos en el intervalo dado. Ejemplo 122
El número de personas que llega a un restaurante puede modelarse por una variable Poisson con una promedio de 0,8 personas por minuto. a. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto llegue más de una persona al restaurante?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos minutos lleguen más de dos personas si dentro de ese intervalo de tiempo ya llegó una persona al restaurante?
Notas
123
Estadística para Ingeniería
Ejercicios 42. Una compañía encuestadora va a entrevistar personas en un área rural hasta encontrar tres personas indocumentadas. Si la probabilidad de que una persona esté indocumentada es de 0,25, encuentre la probabilidad de que la compañía entreviste por lo menos a seis personas.
43. Un aparato de cocina tiene 16 partes funcionales, cada una de las cuales tiene una probabilidad de 0,99 de funcionar correctamente hasta el fin del período de garantía del producto. Las partes funcionan de manera independiente, pero si dos o más no funcionan, el aparato tampoco. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos aparatos seleccionado al azar funcione bien durante todo el periodo de garantía?
44. Suponga que se va a comprar lotes de siete tubos de rayos catódicos (CRT) para terminales de computadora. Se decide muestrear 3 CRT de cada lote y rechazar el lote si se observa uno o más CRT defectuosos en la muestra. a. Si el lote contiene un CRT defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que se acepte e l lote? b. ¿Qué probabilidad hay de que se acepte el lote si contiene 3 CRT defectuosos?
45. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo tiene entrenamiento en programación. Si los aspirantes son entrevistados uno tras otro, encontrar la probabilidad de hallar el segundo aspirante con entrenamiento en programación antes de la quinta entrevista.
46. Una operadora de una empresa de telemarketing dispone de un listado de clientes potenciales de un determinado producto. Si la probabilidad de que dicha operadora haga una venta al hacer una llamada es del 25%, determine la probabilidad de que en la décima llamada se realice la tercera venta.
47. Un vendedor de artefactos eléctricos por teléfono sabe que el 8% de las llamadas que realiza terminan en una venta. Si el vendedor hace 50 llamadas y la ganancia por soles, encontrar su ganancia esperada.
ventas es de 2 x
2
48. El número de torres de alta tensión que se caen por año en una ciudad puede modelarse por una variable aleatoria de Poisson, con una desviación estándar de 1,5 torres por año. El costo de reparar una torre caída es 200 000 dólares y la compañía destina como máximo 600 000 dólares anuales para reparar torres. Calcule el gasto anual esperado en la reparación de t orres.
49. Air América tiene la política de registrar a 24 personas para viajar en un avión que cuenta con 20 asientos para pasajeros. Estudios anteriores revelaron que solo el 80% de los pasajeros que se registran en un determinado vuelo, se presentan al aeropuerto para viajar en ese vuelo. Calcular la probabilidad de que no haya suficientes asientos disponibles para los pasajeros, en un vuelo en el que se registraron 24 personas.
Notas
Estadística para Ingeniería
124
50. Con fines de auditoría sobre 18 empresas que comercializan Gas doméstico que funcionan en nuestro medio (entre las cuales tenemos a las compañías A, B y C) se tomará una muestra aleatoria de 6 de ellas. Determine la probabilidad de los siguientes eventos: a. Que la muestra solo tenga una de las tres empresas antes citadas. b. La muestra incluya a las tres empresas mencionadas. c.
Que la muestra incluya al menos una de las tres empresas antes citadas.
51. Una empresa de seguros considera que sólo alrededor de 5 % de los asegurados atendidos tiene una determinada enfermedad. a. Halle la probabilidad de atender más de dos casos hasta que se reporte el primer asegurado que sufre de esta enfermedad. b. ¿Cuál es el número esperado de asegurados atendidos hasta encontrar el tercer caso con la enfermedad? c.
Si fueron seleccionados aleatoriamente 100 de los asegurados atendidos, ¿cuál sería la probabilidad de que no más de 3 de ellos tengan la enfermedad?
52. A un estudiante que tiene de manera independiente una probabilidad p de aprobar cada examen del curso de Física 1, se le ofrecen dos alternativas: I) Dar un único examen. II) Dar tres exámenes con la condición de aprobar por lo menos dos. ¿Cuál es la alternativa más favorable para el alumno?
53. En una distribuidora hay 25 televisores de los cuales 6 son de tecnología LED. Si se seleccionan al azar 10 televisores, calcule la probabilidad de que se haya seleccionado por lo menos dos televisores de tecnología LED.
54. En un lote de 50 computadoras 12 son defectuosas. Si se eligen al azar y de una sola vez 20 de ellas, calcule la probabilidad de que de las computadoras elegidas por lo menos dos sean defectuosas.
Notas
125
Estadística para Ingeniería
3.2. Algunos modelos continuos importantes Distribución de probabilidad uniforme La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a, b], si su función de densidad de probabilidad es: f x
1 ba
; a x b
Se denota X ~ U (a, b) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución uniforme con parámetros a, b. La función de distribución acumulada es:
0 ; x a ; F ( x ) b a 1 ; Esperanza de X: E X
ab
2
x a a x b x b
Varianza de X: 2
V X
b a 2 12
Ejemplo 123
El tiempo, en minutos, que demora un servicio de delivery en entregar una pizza puede modelarse por una variable aleatoria uniforme con parámetros 10 y 38. Si la pizza se tarda más de 30 minutos en ser entregada, el cliente no la pagará. a. Si una familia pide una pizza, calcule la probabilidad de que le salga gratis.
b. Si la familia pide una pizza diaria durante diez días seguidos, calcule la probabilidad de que por lo menos una de ellas le salga gratis. Asuma independencia.
c.
Una familia pidió una pizza hace 25 minutos y aún no ha llegado, ¿cuál es la probabilidad de que le salga gratis?
Notas
126
Estadística para Ingeniería
Distribución exponencial La variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro β (β > 0) si su función de densidad de probabilidad es: f ( x ) e
x
; x 0
Se denota X ~ Exp(β) y se lee que X sigue una distribución exponencial con parámetro β. La función de distribución acumulada de X es: F ( x ) P X x 1 e x ; x 0 Esperanza de X : E X Se cumple que:
1
Varianza de X : 2
P X x e
x
V X
1 2
P X k t / X k P X t
Ejemplo 124
La duración, en minutos, de una llamada telefónica se modela con una variable exponencial con una media de 5 minutos. Calcule la probabilidad que una llamada dure menos de seis minutos.
Ejemplo 125
El tiempo de vida de un tipo de marcapasos se modela por una variable exponencial con media de 12 años. Calcule la probabilidad de que su tiempo de vida útil sea mayor a 15 años.
Si el marcapasos lleva funcionando correctamente cinco años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que se malogre antes de 15 años?
Distribución exponencial y distribución de Poisson Si el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo tiene una distribución de Poisson con parámetro λ, entonces el tiempo entre dos éxitos consecutivos, medido en la misma unidad de tiempo, tiene una distribución exponencial con parámetro β = λ. Ejemplo 126
Si el número de llamadas que entran a una central telefónica tiene una distribución de Poisson con una media de tres llamadas por minuto, encontrar la probabilidad de que el tiempo entre una llamada y la siguiente sea de menos de medio minuto.
Notas
127
Estadística para Ingeniería
Distribución Gamma La variable aleatoria X tiene una distribución gamma con parámetros y ( > 0, > 0) si su función de densidad de probabilidad es: f ( x )
1 x x e ( )
Donde ( ) es la función Gamma que se define por
; x 0
x
( )
1
0
e x dx , 0
Se denota X ~ ( , ) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución gamma con parámetros y . La función de distribución acumulada de X es: F ( x )
x
0
1 x x e dx , x 0 ( )
En el caso particular en que el parámetro α es un número natural positivo, se cumple que: F ( x ) 1
1
j 0
Esperanza de X: E X
e
x
( x ) j , x 0 j !
Varianza de X: 2
V X
2
Se cumple que: X ~ Exp( ) si y sólo si X ~ (1, )
Si X i ~ Exp( ), X i ( S ~ ( , ) i = 1, 2,…, ) independientes y sea S = X 1 + X 2 +… + X entonces Si X i ~ ( , ) ( i = 1, 2,…, n ) son variables aleatorias independientes y sea S = X 1 + X 2 +… + X n entonces S ~ (n , ) Distribución Gamma y distribución de Poisson
Si el número de éxitos en un intervalo de tiempo ocurre según una distribución de Poisson con parámetro λ, entonces, el tiempo hasta el r -ésimo éxito (medido en las mismas unidades que el intervalo) tiene una distribución gamma con parámetros = r y β = λ.
Ejemplo 127
Si el número de llamadas que entran a una central telefónica tiene una distribución de Poisson con una media de tres llamadas por minuto, encontrar la probabilidad de que el tiempo transcurrido hasta la llegada de la quinta llamada sea mayor a 2,5 minutos.
Notas
128
Estadística para Ingeniería
Distribución normal La variable aleatoria X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ 2 ( σ 2 > 0) si su función de densidad de probabilidad es: 2
f x
1 2
e
1 x 2
;
x IR
Se denota X ~ N ( , 2) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros µ y σ 2. Esperanza de X : X E X
2
Varianza de X : X
Var X 2
La función de densidad de una variable normal tiene forma de campana y es simétrica, por lo que las medidas de tendencia central coinciden. El rango de la variable aleatoria normal es el conjunto de los números reales.
Propiedad de la distribución normal Sea X ~ N( μ, σ 2), si se define la variable aleatoria Y = aX + b, entonces, Y ~ N( μY , σ Y 2) 2
E (Y )= μY = a μ + b
2
2
Var (Y ) = σY = a σ
Desviación estándar de Y = σ Y = |a| σ
Estandarización de una variable normal Sea X ~ N( μ,σ 2), si se define la variable aleatoria Z
X
, entonces Z tiene distribución normal y por la propiedad anterior, cumple que E ( Z ) = μ Z = 0 y Var ( Z ) = σ Z 2 = 1. Se dice que la variable aleatoria Z ~ N(0,1) tiene una distribución normal estándar. La función de densidad de Z se denota: (z) La función de distribución acumulada de Z se denota:
( z )
Cálculo de probabilidades para una variable normal Sea X ~ N( μ, σ 2), entonces:
a X b P a Z b b a
P a X b P
Los valores de
b a se determinan con la tabla de la distribución normal estándar. y
Ejemplo 128
Sea X ~ N( μ = 20; σ 2= 9) entonces:
18 20 X 21 20 P 2 Z 1 0,50 0,25 . Los valores 4 4 4 4
P 18 X 21 P
de
0,50
Notas
y
0,25 se pueden determinar usando la tabla de la distribución normal estándar.
129
Estadística para Ingeniería
Uso de la tabla de la distribución normal estándar Sea Z ~ N(0,1) , en la tabla podemos encontrar las probabilidades acumuladas hasta cierto valor z, es decir: (z) P( Z z)
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 0,1
0,50000 0,53983
0,50399 0,54380
0,50798 0,54776
0,51197 0,55172
0,51595 0,55567
0,51994 0,55962
0,52392 0,56356
0,52790 0,56749
0,53188 0,57142
0,53586 0,57535
0,2
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,4
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,5
0,69146
0,69497
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0,7
0,75804
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0,8
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1,0
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
1,1
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1,2
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
o
Por ejemplo, usando la tabla podemos determinar que: P( Z ≤ 0,24) =
(0,24) = 0,59483
P( Z ≤ 1,17) =
(1,17) = 0,87900
P( Z > 1,09) = 1 – P( Z ≤ 1,09) = 1 o
(1,09) = 1 – 0,86214 = 0,13786
Si sabemos que P(Z ≤ c) = 0,881 ¿cuál es el valor de c? De acuerdo a la condición dada:
(c) P( Z c) 0,881 , ahora en la tabla encontramos que
(1,18) 0,88100 por lo tanto podemos concluir que c = 1,18. Notar que el valor c representa el percentil 88,1 de la variable Z normal estándar. o
Es usual denotar los percentiles de una variable Z normal estándar de la manera siguiente: Si Z~N(0;1), el percentil γ*100% de esta variable se denota z γ, es decir, se cumple que: P(Z≤ z γ)= γ
Ejemplo 129
Si Z ~ N 0, 2 1 , calcular
P( Z ≤ 1,12) =
P( Z > 0,75) =
Notas
Estadística para Ingeniería
P(0,04 ≤ Z < 1,27) =
P( Z < -4) =
P( Z = 1,25) =
Hallar el percentil 97,5 de Z, es decir, el valor z 0,975 tal que P( Z
Hallar c para que P(-c < Z < c) = 0,95
Ejemplo 130
a.
Si X ~ N(10; 16), calcule P( 9 < X < 13)
b.
Si X ~ N(10; 16), halle c tal que P( X < c) = 0,1056. ¿Qué percentil de Z representa c?
Notas
130
131
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 131
Si los puntajes de los postulantes en un examen de ingreso se distribuyen como una variable aleatoria normal con una media de 1 200 y una desviación estándar de 300 puntos. a. Encontrar la probabilidad de que el puntaje de un postulante sea de por lo menos 1 300. b. Si se ha establecido que ingresarán el 12,3 % de los postulantes con puntajes más altos, hallar el puntaje mínimo para ingresar.
Solución Definamos la variable aleatoria X := puntaje de un postulante. 2
2
2
μ = 1 200, σ = 300, σ = 300 → X ~ N(1 200, 300 )
a. La probabilidad de que el puntaje de un postulante sea de por lo menos 1300 puntos es:
X 1 300
P X 1 300 1 P X 1 300 1 P
X 1 200 1 300 1 200 1 P Z 0,33 1 0,33 0,3707 300 300
= 1 P
b. Sea k el puntaje mínimo para ingresar. Se tiene P( X k ) 0,123 , luego P( X k ) 0,877 . Estanda-
X 1 200 k 1 200 P Z k 1 200 0,877 300 300 300
rizando tendremos que P
De lo cual, se tiene que
k 1 200 0,877 300
En la tabla N(0, 1) observamos que
(1,16) 0,8770, luego
k 1 200
300
1,16 , de donde k = 1 548.
Por lo tanto, el puntaje mínimo para ingresar debe ser 1548 puntos.
Ejemplo 132
Una compañía ha comprado una prueba para seleccionar personal. Los que han diseñado la prueba saben que las notas siguen una distribución normal con una media de 75 puntos y una desviación estándar de diez puntos. Si 10 personas han sido evaluadas con esta prueba, calcule la probabilidad de que al menos tres de ellas obtengan una nota superior a 85 puntos. Asuma independencia.
Notas
132
Estadística para Ingeniería
Ejemplo 133
Suponga que el gasto de un turista extranjero durante su estadía en el Perú se puede modelar con una variable aleatoria normal con media de 1200 dólares y desviación estándar de 300 dólares. Calcule la probabilidad de que un turista extranjero gaste entre 1000 y 1400 dólares durante su estadía.
Si se entrevista uno por uno turistas extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de el quinto entrevistado sea el primero que gasta más de 1500 dólares durante su estadía en el Perú? Asuma independencia.
Propiedad reproductiva de la normal De acuerdo a esta propiedad, la suma de variables aleatorias normales independientes es otra variable aleatoria con distribución normal.
Si X i ~ N i , i 2 (i = 1, 2,…, n) son variables aleatorias independientes y c1, c2, …, cn son constann
tes reales, entonces la variable S c1 X 1 c 2 X 2
... cn X n
c X ~ N ; , donde: i
i
S
2 S
i 1
E (S ) S
n
c1 1 c2 2 ... cn n ci i
Var (S) S2
i 1
n
c12 12 c22 22 ... cn2 n2 ci 2 i 2 i 1
En particular, si X 1 , X 2 , X 3 ,...X n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribui2 das, tales que X i ~ N( μ, σ ) (i = 1, 2,…, n) entonces la variable: n
S X 1 X 2
... X n
X ~ N n ; i
S
2 S
n 2
i 1
Sean X 1 , X 2 , X 3 ,...X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, tales que X i ~ N( μ, σ 2) (i = 1, 2,…, n) entonces la variable: X
Notas
X 1 X 2
... X n n
1 n
2 2 X i ~ N X ; X n i 1 n
Estadística para Ingeniería
133
Ejemplo 134
Sean X ~ N(5, 6) e Y ~ N(4, 10) variables aleatorias independientes, calcular la distribución de las siguientes variables: W = 2 X +Y
W = 4 X - 5Y
Ejemplo 135
El peso de un adulto peruano puede modelarse con una variable aleatoria normal. El peso medio para los varones es de 72 kilos y de 64 kilos para las mujeres, mientras que sus desviaciones estándar fueron de 8 kilos y 4 kilos respectivamente. a. Si se elige, al azar, a un hombre y una mujer, calcular la probabilidad de que la mujer pese más que el hombre.
b. Si se elige a dos hombres y a tres mujeres, calcular la probabilidad de que la suma total de pesos supere los 340 kilos.
Notas
Estadística para Ingeniería
c.
134
Si en un determinado grupo de peruanos el 60% son hombres y de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida pese entre 65 y 72 kilos?
d. Si se seleccionan al azar doce hombres adultos peruanos, ¿cuál es la probabilidad de que la media de sus pesos sea menor a 75 kilos?
Notas
Estadística para Ingeniería
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Ejercicios 55. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución exponencial con una media de 7000 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 6800 horas? b) ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 90% de los láseres? c) Si se hace uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos siga funcionando después de 7200 horas? 56. Sea T una variable aleatoria continua que tiene distribución exponencial con desviación estándar ϴ. Probar que P(t ≤ T ≤ t + h) < P(T ≤ h), para t y h constantes positivas. 57. Un programa para realizar operaciones aritméticas aproxima el valor resultante al número al entero más próximo; el error cometido en esta aproximación se modela con una variable aleatoria uniforme en el intervalo [-0,5 ; 0,5]. Suponga que el programa realiza operaciones aritméticas constantemente y de manera independiente. Calcule la probabilidad de que el programa realice menos de 95 operaciones hasta que ocurra el segundo error de aproximación con valor absoluto menor a 0,01. 58. Después de realizar un estudio se determinó que las llegadas a un cajero automático se pueden modelar con una distribución de Poisson con una media de 5,2 clientes por hora. a) Si un cliente acaba de llegar a este cajero automático, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran más de 15 minutos hasta la llegada del pr óximo cliente? b) Calcule la probabilidad de que pase más de una hora hasta la llegada del cuarto cliente. 59. Si una máquina de una imprenta se malogra, ésta puede destinarse a uno de dos talleres A o B para su reparación. El tiempo de reparación en el taller A es una variable normal con una media de 5 horas y una desviación estándar de 3 horas. El tiempo de reparación en el taller B es una variable aleatoria normal con una media de 7 horas y una desviación estándar de 2 horas. a) ¿En qué taller es más probable que la máquina se repare en menos de 8 horas? b) Calcule la probabilidad de que la reparación demore más en el taller B que en el taller A. 60. El peso en gramos de los jabones fabricados por una empresa se modela con una variable aleatoria uniforme con media 120 g y varianza 12 g2. Un jabón se considera defectuoso si su peso es menor de 115 g o mayor de 124 g. En el control de calidad, los jabones se pesan uno por uno. Calcular la probabilidad de que se necesite pesar más de 10 jabones hasta encontrar el primer jabón defectuoso. 61. Los sueldos mensuales, en miles de dólares, de los directivos de una multinacional se modelan con una distribución N(10, 1) mientras que los del resto de personal se modelan con una N(4, 2). Si se extrae una muestra aleatoria de 10 directivos y de 20 empleados no directivos: a) Calcule la probabilidad de que el sueldo total de los 10 directivos de la muestra sea mayor a 105 mil dólares. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sueldo medio mensual de los directivos de la muestra supere al correspondiente de la muestra de empleados no directivos en más de 5 000 dólares? Notas
