SOLUCIONARIO Variable aleatoria y distribución normal
1 V 5 1 A 2 3 M E 1 4 0 G E C I U G S
TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Variable aleatoria y distribución normal Ítem Alternativa
Habilidad
1
A
Comprensión
2
B
ASE
3
B
Comprensión
4
E
ASE
5
C
Aplicación
6
A
Aplicación
7
C
ASE
8
D
Comprensión
9
E
Comprensión
10
A
ASE
11
D
Aplicación
12
D
ASE
13
E
Aplicación
14
A
Aplicación
15
C
Comprensión
16
A
Comprensión
17
B
Aplicación
18
B
Aplicación
19
C
ASE
20
D
Aplicación
21
B
Aplicación
22
E
Comprensión
23
A
Aplicación
24
B
ASE
25
D
ASE
2
1. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
Los días, con su cantidad de consonantes ( C ), vocales (V ) y la diferencia entre ambas (X ) son:
Por lo tanto, los valores que puede tomar X son 0, 1 y 2.
Días
C
V
X
Lunes
3
2
1
Martes
4
2
2
Miércoles
5
4
1
Jueves
3
3
0
Viernes
4
3
1
Sábado
3
3
0
Domingo
4
3
1
2. La alternativa correcta es B. Unidad temática
Azar
Habilidad
ASE
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados podrían ser: * Que salga la esfera roja en la primera extracción. * Que salga la esfera verde y luego la roja. * Que salga la esfera amarilla y luego la roja. * Que salga la esfera verde, luego la amarilla y luego la roja. * Que salga la esfera amarilla, luego la verde y luego la roja. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 5 elementos.
3. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
Las fichas son {T, R, E, S, U, N, O}, conjunto que corresponde al espacio muestral. Este conjunto posee siete elementos.
3
4. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Azar ASE
I) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come, entonces le quedaran solo los dulces de menta. II) Verdadera, ya que si en 25 de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come, y en las otras 25 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le quedaran 25 dulces de piña y 50 dulces de menta. III) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le quedaran todos los dulces de la bolsa, que son 100. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
5. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Si en la moneda sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado azul. Luego, en este caso, los resultados son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Si en la moneda sale sello, el resultado del experimento es igual al doble del resultado del dado rojo. Luego, en este caso, los resultados son 2, 4, 6, 8, 10 ó 12. El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados serían {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 9 elementos.
4
6. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Al realizar el experimento resulta: Primera extracción
Segunda extracción
Operación
Resultado
1
2
Suma
3
1
3
Multiplicación
3
2
1
Suma
3
2
3
Suma
5
3
1
Multiplicación
3
3
2
Suma
5
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. En este caso, el result ado del experimento solo puede ser 3 ó 5. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es {3, 5}.
7. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Azar ASE
I) Verdadera, ya que el espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. Como este experimento termina cuando sale cara en la moneda, entonces todos los resultados tendrán inicialmente S una cierta cantidad de veces y finalmente una C, considerando además el caso que salga car a en el primer lanzamiento y el experimento termine. Luego, el espacio muestral del experimento será {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC,…}. Como no existe un límite para los sellos que pueden aparecer antes que salga cara, entonces no existe un límite para los posibles resultados del experimento. Es decir, el espacio muestral del experimento tiene infinitos elementos. II) Falsa, ya que el resultado SCSC indica que sa lió cara en el segundo lanzamiento y sello en el tercero, lo que indicaría que el experimento continuó después de haber salido cara. Eso contradice el procedimiento descrito en el enunciado. III) Verdadera, ya que si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente en el primer lanzamiento la mitad de las veces saldrá cara y la mitad de las veces saldrá sello. Como el experimento termina cuando sale cara, entonces si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente la mitad de las veces el experimento terminará en el primer lanzamiento. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
5
8. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles resultados que tenga el experimento. Luego, al realizar el experimento de extraer una esfera al azar de la caja B, solo podría ser posible extraer el 5, el 6, el 7, el 8 o el 9. Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento es {5, 6, 7, 8, 9}.
9. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles resultados que tenga el experimento. Luego, al realiz ar el experimento de lanzar 2 monedas en cada una de ellas puede salir cara o sello. Entonces, las combinaciones de estos resultados corresponderán al espacio muestral. Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento es: {(cara - cara), (cara - sello), (sello - cara), (sello - sello)}
10. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Azar ASE
Dos eventos independientes son aquellos que no tienen elementos en común. Si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número par” corresponde al conjunto {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. Luego: I) Es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número primo” corresponde al conjunto {11, 13, 17, 19, 23}, por lo tanto, no tiene elementos en común con el evento “que salga un número par”. II) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número múltiplo de 11” corresponde al conjunto {11 , 22}, por lo tanto, tiene un elemento en común con el evento “que salga un número par”. III) NO es independiente, ya que si se escoge al az ar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número mayor que 15” corresponde al conjunto {16, 17, 18, 19,
6
20, 21, 22, 23, 24, 25}, por lo tanto, tiene cinco elementos en común con el evento “que salga un número par”. Por lo tanto, si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, solo el evento “que salga un número primo” es independiente con el evento “que salga un número par”.
11. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de 3 X y su probabilidad. En este caso, la probabilidad del 2 es , la probabilidad del 3 es 6 1 2 y la probabilidad del 6 es . 6 6 Luego, el valor esperado de X es 2
3
1
2
6 3 12
6
6
6
3 6
6
21
3,5
6
12. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Azar ASE
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su probabilidad. En este caso, X puede valer 0, 1 o 2, luego: Si se escogen dos hombres, entonces X = 0 y su probabilidad es
10 10
2 2
4
. 25 25 5 5 25 Si se escoge primero una mujer y luego un hombre, entonces X = 1 y su probabilidad es 15 10 3 2 6 . 25 25 5 5 25 Si se escoge primero un hombre y luego una mujer, entonces X = 1 y su probabilidad es 10 15 2 3 6 . 25 25 5 5 25 15 15 3 3 9 Si se escogen dos mujeres, entonces X = 2 y su probabilidad es . 25 25 5 5 25 Luego, el valor esperado de X es 0
4 25
1
6 25
7
1
6 25
2
9 25
6 6 18 25
30 25
1,2
13. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su probabilidad. En este ejercicio existen diez posibles selecciones que se agrupan en tres casos: Las combinaciones {R, E, A} {E, S, A} {E, T, A} tienen una consonante. Luego, el 3 valor de X es 1 y su probabilidad es = 0,3. 10 Las combinaciones {R, E, S} {R, E, T} {R, S, A} {R, T, A} {E, S, T} {S, T, A} tienen 6 dos consonantes. Luego, el valor de X es 2 y su probabilidad es = 0,6. 10 La combinación {R, S, T} tiene tres consonantes. Luego, el valor de X es 3 y su 1 probabilidad es = 0,1. 10 Por lo tanto, el valor esperado de X es (1·0,3 + 2·0,6 + 3·0,1) = (0,3 + 1,2 + 0,3) = 1,8.
14. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su probabilidad. En este caso existen dos sit uaciones: Si ocurre el evento A, el valor de X es (m – 1) y su probabilidad es p . Si no ocurre el evento A, el valor de X es m y su probabilidad es (1 – p). Por lo tanto, el valor esperado de X es (m – 1)· p + m·(1 – p) = mp – p + m – mp = m – p
15. La alternativa correcta es C. Unidad temática
Datos
Habilidad
Comprensión
El gráfico de una distribución normal es simétrico con respecto al promedio. Es decir, en el gráfico se cumple que como p y 6,2 tienen la misma imagen, entonces la distancia entre p y el promedio debe ser igual a la distancia entre el promedio y 6,2.
8
Luego, resulta (5 – p) = (6,2 – 5)
p = (5 + 5 – 6,2) = 3,8
Por lo tanto, el valor de p es 3,8.
16. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Datos Comprensión
Una distribución normal no tipificada tiene la misma forma que la distribución normal tipificada, solo que puede estar desfasada horizontalmente (que está relacionado con su promedio) o variar proporcionalmente su tamaño (que está relacionado con su desviación estándar). Luego, cualquier distribución normal no tipificada se puede relacionar a la distribución normal tipificada realizando los ajustes que corrijan el desfase y la proporción. Esto se consigue restando el promedio y dividiendo por la desviación estándar.
Por lo tanto, la relación que permite expresar Z en términos de X es
Z
X
50
.
15
17. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
Por propiedad, P ( X ≤ s) = 1 – P ( X ≥ s), y por simetría, P ( X ≤ – s) = P ( X ≥ s). Luego: P ( – s ≤ X ≤ s) = P ( X ≤ s) – P ( X ≤ – s) = 1 – P ( X ≥ s) – P ( X ≥ s) = 1 – 2· P ( X ≥ s) =
3 5
Despejando el valor de P ( X ≥ s) resulta 3 2 2 2· P ( X ≥ s) = 1 – = P ( X ≥ s) = 25 5 5 1 Por lo tanto, el valor de P ( X ≥ s) es . 5
9
1 5
18. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
Por propiedad, resulta P ( X ≥ m) = 1 – P ( X ≤ m) = 1 – Por simetría, se tiene que P ( X ≤ – m) = P ( X ≥ m) =
Como P ( X ≤ 0) =
1 2
5 6
=
1 6
.
1 6
, entonces P ( – m ≤ X ≤ 0) = P ( X ≤ 0) – P ( X ≤ – m) =
Por lo tanto, el valor de P ( – m ≤ X ≤ 0) es
1 3
1 2
–
1 6
=
1 3
.
19. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Datos ASE
Por simetría, se tiene que P ( X ≤ – a) = P (X ≥ a), luego el área sombreada se puede expresar como P ( X ≤ – a) + P ( X ≥ a) = P ( X ≥ a) + P ( X ≥ a) = 2· P ( X ≥ a) Por propiedad, resulta P ( X ≥ a) = 1 – P ( X ≤ a). Entonces, 2· P ( X ≥ a) = 2·(1 – P ( X ≤ a)) = 2 – 2· P ( x ≤ a) Por lo tanto, el área sombreada equivale a 2 – 2· P ( x ≤ a).
20. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
La probabilidad de que X tome un valor entre – 1 y 2 es P ( – 1 ≤ X ≤ 2) = P ( X ≤ 2) – P ( X ≤ – 1). Por propiedades de la distribución normal, P ( X ≤ – 1) = P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X ≤ 1) Luego, la probabilidad de que X tome un valor entre – 1 y 2 es P ( X ≤ 2) – (1 – P ( X ≤ 1)) = P ( X ≤ 2) – 1 + P ( X ≤ 1) Según la tabla, P ( X ≤ 2) = 0,977 y P ( X ≤ 1) = 0,841. Luego, P (1 < X ≤ 2) = 0,977 – 1 + 0,841 = 0,818 = 81,8%
10
21. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
Para poder utilizar la tabla, es necesario transformar la variable para que resulte con distribución normal tipificada. Esto se consigue restando el promedio a la variable y dividiendo luego por la desviación estándar. Entonces, en este caso, resulta Z
X
2,32 1,5 = 1,64. Luego, se debe buscar la 0,5
probabilidad de que Z tome un valor menor o igual que 1,64, que según la tabla es igual a 0,95. Por lo tanto, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que 2,32 es 0,95.
22. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Datos Comprensión
Un intervalo de confianza, se calcula a través de :
; x z x z 1 1 n n 2 2 Del enunciado, se tiene que n = 36, x = 130 y Por otro lado, 1 – α = 0,9 α = 0,1. Luego: = z 0,1 = z 0,95 z 1
2
1
= 0,25.
2
Por lo tanto, P ( Z ≤
z 0 , 95
) = 0,95 con Z N (0, 1). A esta probabilidad le corresponde,
según la tabla, un valor de 1,64. Finalmente, reemplazando los datos:
0,25 0,25 0,25 0,25 130 1 , 64 ; 130 1 , 64 130 1 , 64 ; 130 1 , 64 6 6 36 36
11
23. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
Del enunciado, se tiene que n = 100 y 2 = 0,36 = 0,6. Por otro lado, 1 – α = 0,954 α = 0,046. Luego: = z 0, 04 6 = z 0, 97 7 z 1
1
2
2
Por lo tanto, P ( Z ≤
z 0 , 97 7 )
= 0,977 con Z N (0, 1). A esta probabilidad le corresponde,
según la tabla, un valor de 2. Luego, el límite inferior del intervalo de confianza es 2,12, entonces: x
z
1
x – 2
n
2
·
= 2,12
0,6 100
(Reemplazando)
= 2,12
0,6
x =
2,12 + 2 ·
x =
2,12 + 2 · 0,06
x =
2,12 + 0, 12
x =
2, 24
10
24. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Azar ASE
(1) Se conoce el valor de p . Con esta información, no se puede determinar el recorrido de X , ya que la cantidad de tarjetas rojas que hay en la bolsa no determina la cantidad de tarjetas rojas que pueden ser extraídas. (2) Se conoce el valor de n . Con esta información, se puede determinar el recorrido de X , ya que podrían ser todas rojas, o ninguna, o algún valor intermedio. Luego, el recorrido sería {0, 1, 2,…., ( n – 1), n} dependiendo del valor de n . Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
12
25. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Datos ASE
(1) P ( X ≤ – a) = 0,12. Con esta información, se puede determinar el valor de P ( – a ≤ X ≤ a), ya que según propiedades de la distribución normal tipificada, P ( – a ≤ X ≤ a) = P ( X ≤ a) – P ( X ≤ – a) = 1 – P ( X ≥ a) – P ( X ≤ – a) = 1 – P ( X ≤ – a) – P ( X ≤ – a) = 1 – 2· P ( X ≤ – a). (2) P ( X ≤ a) = 0,88. Con esta información, se puede determinar el valor de P ( – a ≤ X ≤ a), ya que según propiedades de la distribución normal tipificada, P ( – a ≤ X ≤ a) = P ( X ≤ a) – P ( X ≤ – a) = P ( X ≤ a) – P ( X ≥ a) = P ( X ≤ a) – (1 – P ( X ≤ a)) = P ( X ≤ a) – 1 + P ( X ≤ a) = 2· P ( X ≤ a) – 1. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
13
