1.- VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL 1.1- DEFINICIÓN La relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna se establece a través de variable aleatoria. Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral. Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determin determinado ado por el resultad resultado o del experim experimento ento aleator aleatorio. io. La variabl variable e aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y,... y con las letras en minúscula x, y,... sus valores. La v.a. puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de v.a.: discretas y continuas. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles valores. Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real. La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las prob probabi abilid lidad ades es de un suceso suceso o evento evento,, en relaci relación ón al resul resultad tado o del del suceso. La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones distribuciones)) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:
La funció función n de densid densidad ad de una una v.a. v.a. deter determi mina na la conce concent ntrac ració ión n de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. Dada Dada una una var variabl iable e ale aleator atoria ia todo todos s son son punt puntos os X , su función de x ), distribución, F X ( x ), es
Por Por simpl simplici icidad dad,, cuand cuando o no hay hay lugar lugar a confu confusió sión, n, suele suele omiti omitirse rse el subíndice X y se escribe, simplemente, F ( x x ). ).
1.2- EJEMPLOS: Ejemplo 1.Si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna
vez, vez, una una sola sola,, dos o tres tres veces eces salg salga a águi águila la como como resu result ltad ado; o; la
probabilidad de que
(dos águilas) es
ya que el espacio muestra
aaa, aaa, aas, aas, asa asa,, ass ass,, sas, sas, ssa ssa,, sss sss . Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas. Con esto podemos ver que el espacio muestra es el dominio de la función y el conj conjun unto to de valo valore res s que que la vari variab able le pued puede e toma tomarr es el rang rango o o recor recorrid rido o de la funció función, n, que es un subco subconju njunt nto o de los reales. reales. Si el conjunto de valores de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir decir,, si se pued pueden en enlis enlista tarr o enume enumerar rar,, se dice dice que que la variab variable le es disc discre reta ta,, dich dicho o de otra otra maner anera a si el rang rango o de la func funció ión n X es un subconj subconjunto unto de los enteros Z, la variabl variable e aleatori aleatoria a se llama llama variable variable aleatoria aleatoria discreta, y si el conjunto de valores de X es no numerable, o es un subconjunto de los números reales, la variable aleatoria se llama variable aleatoria continua. Ejemplo2.Sea Sea el exper experime imento nto aleat aleator orio io de averi averigu guar ar la marca marca de tabac tabaco o que que prefe preferir rirá á un indi individ viduo uo entre entre las las posib posibles les marca marcas: s: << <
X>>, >, << < Y>>, >, <>. En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una una corr corresp espon onden dencia cia entre entre el conju conjunto nto de los los suceso sucesos s eleme elementa ntale les s posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente: Al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1, 2, 3). El númer número o asocia asociado do a cada cada suceso suceso eleme elementa ntall puede puede ser cualq cualqui uiera era dentro del conjunto de los números reales, con la condición única de que a suceso sucesos s eleme elementa ntale les s disti distint ntos os le corr corresp espon ondan dan númer números os tambié también n distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entr entre e el conjunto de los posib sibles suce suceso sos s eleme ementale tales s de un expe experi rime ment nto o alea aleato tori rio o y el conj conjun unto to de los los núme número ros s real reales es es una una aplicación inyectiva.
2.-VALOR ESPERADO 2.1- DEFINICION En estadística el valor esperado o espe speranza matemática (o simple simplemen mente te esper esperan anza) za) de una una varia variabl ble e aleato aleatori ria a es la suma suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor. Es el número aleatorio.
que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno
2.2- EJEMPLO Ejemplo1.La ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acer acerta tarr una una apue apuest sta a a un solo solo núme número ro pag paga de 35 a 1 (es (es deci decir, r, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así así que que reci recibi bimo mos s 36 vece veces s lo que que hemo hemos s apos aposta tado do). ). Por Por tant tanto, o, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:
Que es -0,0526 aproximadamente. aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros
3.- LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS 3.1- DEFINCION Son Son aquel aquella las s en las que que la varia variable ble pued puede e pude pude tomar tomar un númer número o determinado determinado de valores, Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. numerable . A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa.
3.2- EJEMPLOS Ejemplo 1.Si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.
