UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICA
Autora: Rosmery Rodríguez C.
Julio de 2014.
CONTENIDO Introducción………………………………………………………………..
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Competencias……………………………………………………………..... Competencias……………………………………………………………...
4
Contenidos Previos…………………… Previos……………………………………………… …………………………………… …………
4
Variables Aleatorias…………..…………… Aleatorias…………..………………………………………… ……………………………… ….
5
Tipos de Variables Aleatorias…………………………………………… Aleatorias……………………………………………... ...
5
Variable Aleatoria Discreta………………… Discreta………………………………………………… ………………………………
5
Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta………….
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Problemas de Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta……………………………………………… Discreta…………………… ……………………………………………….. …………………….. Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable Aleatoria Discreta………………………………………………………………..…… Problemas de Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable Aleatoria Discreta…………………… Discreta…………………………………………………… ……………………………………. …….
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19
23
Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta……………………….
29
Problemas del Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta……….
32
Propiedades del Valor Esperado………………………………………….. Esperado…………………………………………..
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Varianza de una Variable Aleatoria Discreta………………………………
39
Problemas de la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta…………….
41
Propiedades de la Varianza……………………………………………… Varianza……………………………………………….. ..
46
Desviación Estándar de una Variable Aleatoria Discreta………………….
47
Problema
de
la
Desviación
Estándar
de
una
Variable
Aleatoria
Discreta……………………………………………… Discreta…………………… ……………………………………………….. ……………………..
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Problemas Propuestos…………………… Propuestos……………………………………………… ………………………………… ………
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Bibliografía…………………………………………………………………
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INTRODUCCIÓN La estadística en la actualidad, se ha convertido en una herramienta importante e indispensable por sus métodos, procedimientos y conceptos en la generación de conocimiento, en muchas áreas del saber, entre las que se encuentran, la economía, ciencia de la salud, en las industrias, ciencias sociales y de ellas en particular en la educación. Ahora bien, entre la diversidad de concepto que la estadística (haciendo alusión a la estadística inferencial) contempla, fundamental es abordar lo referente al estudio de las Variables Estadísticas. Recordemos que ella establece que a cada valor de la variable le corresponde una frecuencia, que puede ser expresada como una frecuencia relativa o porcentual. Reflejando lo significante e indispensable que es conocer la Variable Aleatoria y sus funciones de probabilidad, el cual se ha convertido en una herramienta necesaria para la toma de decisión en situaciones donde interviene la incertidumbre. En el caso de Variable Aleatoria Discreta le hacemos corresponder a cada valor de la variable, la probabilidad que ese valor ocurra. A continuación se presenta el siguiente material didáctico dirigido a docentes y estudiantes para el desarrollo del contenido correspondiente a la asignatura Elementos Estadísticos (Estadística I), contentiva de actividades y componentes necesarios para la comprensión y aplicación del concepto de Variable Aleatoria Discreta, ejemplos, problemas y tips de ayuda que permitirán desarrollar los conocimientos esperados. El material será de gran utilidad, puesto puesto que conduce a estudiantes estudiantes y docentes a utilizar diferentes estrategias que podrán ser aplicadas en el aula de clase durante los procesos de d e enseñanza y aprendizaje. El recurso propone desarrollar el contenido de Variable Aleatoria Discreta en cuatro sesiones de clase.
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COMPETENCIAS Aplicar la Unidad Didáctica como herramienta en el proceso de enseñanza y de aprendizaje basada en la Resolución de Problemas sobre Variable Aleatoria Discreta a los estudiantes de Elementos Estadísticos.
E l estu estudi diant ante e con con l a Uni U ni dad ser ser ácapaz de
Conocer y manejar el concepto de Variable Aleatoria Discreta
Representar y encontrar la Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta
Encontrar la función de Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable Aleatoria Discreta
Calcular el promedio (Valor Esperado) de una Variable Aleatoria Discreta
Calcular la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta
Conocer los distintos métodos de resolución de problemas de una Variable Aleatoria Discreta
Reconocer y resolver problemas cotidianos donde se utilicen la Variable Aleatoria Discreta.
Participar activamente en la solución de problemas de Variable Aleatoria Discreta planteadas en clases.
Observar la aplicación en muchos campos de la ciencia, economía y procesos rutinarios de la vida cotidiana.
Conte Cont eni dos Pre Pr evios Antes de iniciar la Unidad debes recordar reco rdar lo siguiente:
Fases de Polya Experimento Aleatorio Espacio Muestral Probabilidad Técnicas de Conteo.
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VARI VARI ABLE ALEATORIA ALEATORIA
RECORDEMOS: La estadística se ocupa de realizar inferencias acerca de las características de una determinada población, para esto se llevan a cabo experimentos cuyos resultados son productos de una muestra tomada al azar. Pero es más conveniente trabajar con la población, es por ello que se ve la necesidad de crear otros medios, los cuales nos invitan a estudiar de entrada el concepto de Variables Aleatorias, Aleatorias, el cual se define: define: . Una Variable cuyos Variable cuyos valores se determinan sobre los resultados de un experimento aleatorio se llama Variable Aleatoria.
Las Variables Aleatorias se simbolizan por una letra mayúscula como X como X (Y ò Z), Z ), y y los valores que toma la variable con x con x (y ò z). Además se puede decir, que es una función de valores reales definida en un espacio
muestral la cual le asigna a los eventos de un espacio muestral un número real. Se puede denotar por
S
.
En cálculo definimos la función como f:X→Y y y se representa en el diagrama de ven igual se hace aquí
r
X
X(r)
Tipos de Variable Aleatoria.
Variable Aleatoria Discreta: Sea X una Variable Aleatoria. Aleatoria. Si el número de valores posibles de X de X (esto (esto es R x el recorrido) es finito o infinito numerable, llamamos a X a X una una Variable Aleatoria Discreta. Discreta. Esto es, se pueden anotar los valores posibles de X de X como x como x1 , x2 ,…,xn, …. En el caso finito la lista termina y en el caso infinito numerable la lista continúa indefinidamente. (Meyer, P).
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Donde xi son los valores que toma la Variable
Aleatoria Discreta.
También se puede definir de la siguiente manera, Variable Aleatoria Discreta: Discreta: es una función definida sobre el espacio muestral S que asigna únicamente valores discretos o valores numéricos naturales. Además, se puede decir que el recorrido de la Variable Aleatoria Discreta son los números enteros positivos.
Variable Aleatoria Continúa: es una función definida sobre el espacio
muestral S que asigna valores continuos, es decir, valores numéricos reales. Así el recorrido de la Variable Aleatoria Continua es u n intervalo real.
EJEMPLO: 1. En una Universidad de 1500 estudiantes, elegimos uno de estos al azar (Experimento Aleatorio) y anotamos su edad (Variable (Variable Aleatoria Discreta), Discreta), medimos la estatura (Variable Aleatoria Continua) y registramos el número de aprobados en cierta asignatura (Variable (Variable Aleatoria Discreta). Discreta).
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Ahora trabajemos con la Variable Aleatoria Discreta
EJEMPLO: 2. Se esta interesado en el número de permisos de construcción que se emiten cada mes en la ciudad. ¿Cuál será la Variable? Solución. X : número de permisos de construcción que se emiten cada mes en la ciudad Es una Variable Discreta puesto que toma valores contables. 3. Consideremos, el Experimento Aleatorio que consiste en lanzar dos monedas y se está interesado en el número de caras que pueden caer.
Solución: Primero espacio muestralde probabilidadinforma Es una Variable y asociada con la Primero variabledefinamos aleatoria aleatoria el hay una función probabilidadinforma de la Aleatoria probabilidad de que X tome un determinado va S={CC, CX, XC, CC}, en CC}, en donde C : cara y X : sello. Discreta, puesto que sus valores Definamos la Variable Y : El número de Caras. son contables y Asi, Y(w) = número de caras que aparecen. admite salto entre un valor y otro
CC=2 esto CC=2 esto es, la cantidad de caras que hay en ese resultado CX=1= XC observamos observamos una cara. XX=0, XX=0, en este caso no observamos ninguna cara. Esto es, Y(CC)=2, Y(CX)=Y(XC)=1 y Y(XX)=0 Es decir que la Variable Y toma toma los valores y=0,1 valores y=0,1 y 2 Gráficamente,
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ACTIVIDADES: 1. En las siguientes premisas, identifique la Variable Aleatoria
Número de páginas de un libro Tiempo que tarda en fundirse una bombilla Número de preguntas en una clase de una hora cantidad de agua consumida en un mes
2. En el siguiente problema defina la Variable e identifique que tipo es, y encuentre los posibles valores que toma esta. Tenemos una caja, con pelotas de varios colores, el cual está comprendida por, dos blancas, tres verdes y cinco rojas. Se selecciona al azar dos pelotas simultáneamente. Estamos interesados en el número de pelotas verdes seleccionadas.
UN POCO DE HISTORIA Suele ocurrir que la formación de los conceptos científicos ocurre antes de que sean comprendidos totalmente. Eso también fue lo que pasó con el concepto de “variable aleatoria”, aleatoria”, uno de los pilares básicos de la teoría de probabilidad moderna. El concepto de ‘variable aleatoria’ estuvo presente de forma encubierta casi desde el principio de la teoría de probabilidad. Como lo fue en el caso de Huygens en uno de los problemas de su libro, introdujo una variable aleatoria que sigue una distribución hipergeométrica. Galileo habló de los errores ‘aleatorios’ que no se pueden predecir y que var ían ían de medida en medida, en realidad se refería a que esos errores son una variable aleatoria de distribución desconocida. Bernoulli enunció su ley de los grandes números, al contabilizar el número de bolas blancas extraídas de la urna, ese número de éxitos éxi tos es una un a variable aleatoria ale atoria que toma valores entre 1 y n el número total de pruebas, siguiendo una distribución binomial.
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Sin embargo, ninguno de ellos se dio cuenta que hacía falta introducir un nuevo concepto. Los primeros pasos en la dirección de introducir la idea de ‘variable aleatoria’ fueron dados por Poisson en 1832 en su libro Sobre la Probabilidad de los Resultados Promedios de Observaciones. Observaciones. No utilizó el término ‘variable aleatoria’, pero sí habló de ‘alguna cosa’ que uno puede entender entend er como un conjunto a1, a 2,…,an con sus correspondientes probabilidades p1, p2,…,pn; es decir, habló de las variables aleatorias discretas. La palabra ‘variable’ fue utilizada por primera vez por Chebyshev, que asumió implícitamente que todas las variables aleatorias eran independientes y fue A. Liapunov (1857 –1918) el primero que usó sistemáticamente el término ‘variable aleatoria’ y especificó que serían independientes cuan do fuese necesario.
Recordemos un poco cuales son las fases de Polya.
Comprensión del problema. Concepción de un plan. (formular una estrategia general).
Ejecución del plan. se concibe la idea de la solución
Visión retrospectiva. (verificar los resultados).
Esta fases como sabemos es para la resolución de problemas la cual vamos a utilizar, en lo que respecta en esta unidad.
DI STRIBUCI ÓN DE PRO ROBABI BABI LI DAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DI SCRETA. CRETA. En la sección anterior, vimos la definición de Variable Aleatoria y sus tipos, ahora vamos a encontrar la función de distribución de probabilidad de las Variables ya definidas, pero en el caso de la Variable Discreta siendo esta: El conjunto de los pares ordenados formado por los valores de la variable y sus probabilidades (x, f(x)) y f(x)=P(X=x), se f(x)=P(X=x), se conoce como función como función de probabilidad o distribución de probabilidad de de la Variable Aleatoria X Discreta. f(x)=P(X=x) Discreta. f(x)=P(X=x) 9
La distribución de probabilidad de una Variable Aleatoria indica el comportamiento que tiene la Variable en el experimento. Esta función asigna probabilidades a cada uno un o de los valores de d e una Variable Aleatoria Discreta, se puede representar mediante fórmulas, tablas o gráficas.
EJEMPLO: Supongamos que se lanza un dado y se está interesado en el número que sale en la cara superior de este. Encuentre la función de Probabilidad para el número que sale en la cara superior del dado.
SOLUCIÓN: Definamos el espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} es 6} es decir que, #S=6. Definamos la Variable Aleatoria
Es Al eator eator i a puesto puesto que no podemos podemos pr pr ede edecir cir el r esul esul tado del del dado
X: Número que sale en la cara superior del dado. dado.
L os valor es x=1, 2, 3, 4, 5, 6
Ahora calculemos las probabilidades de cada uno de esos valores.
;
;
;
;
Así la función de Probabilidad para el
;
número que sale en la cara superior se
;
puede expresar:
Gráficamente, 0,2 0 1
2
3
4
5
6
Podemos apreciar que es una función constante, en todos los valores de la Variable Aleatoria.
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CURIOSIDAD
¿Qué pasaría ahora si lanzamos dos dados y estamos interesados en la suma que se genera con los valores v alores que las caras superiores?
¿Qué deberá cumplir una Distribución de probabilidad para una Variable Aleatoria Discreta? Debe cumplir el siguiente teorema
TEOREMA: Se llamará distribución de probabilidad f(x) probabilidad f(x) para para una variable aleatoria discreta X , si para cada resultado posible de x de x esta esta cumple:
f(x)≥0
;
EJEMPLO: Determinar el valor de c de modo de que la función siguiente pueda servir como
distribución de probabilidad de la Variable Aleatoria X:
SOL UCI ÓN: Como debemos determinar el valor de
c de modo que la función f(x) sea una
distribución de probabilidad entonces, la función debe cumplir las condiciones del
teorema.
Puesto que
De allí que,
sí y sólo si
, más aún
.
Veamos que características asume para que
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cumpla la condición
;
Luego para
que es mayor que cero, y resulta que f(x) que f(x) es una función de
probabilidad, dado que cumple las 2 condiciones del teorema.
EJEMPLO: Sea X Sea X una una variable aleatoria que toma los valores: -3, 6, 9 con 9 con probabilidades 1/6, 1/2 y 1/3 1/3 respectivamente. Verifique si con los datos anteriores se puede expresar una Distribución de probabilidad.
SOL UCI ÓN: La Variable Aleatoria X Aleatoria X es es Discreta puesto que entre un valor y otro existe un salto, expresemos los valores en una tabla o mediante una gráfica:
X
-3
6
3/5
9
2/5
p(x) 1/6 ½ 1/3
1/5 0 -3
Por ser probabilidades todas son mayores que cero, por tanto,
Ahora vemos si la suma de estas da 1
6
9
Por lo tanto si se cumple las condiciones del teorema, así , , p(x) si p(x) si es una distribución de probabilidad.
PROBLEMA Un embarque de ocho computadoras que se envían a un distribuidor contiene tres defectuosas. Si una tienda realiza una compra aleatoria de dos computadoras, ¿Cuál
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es la función de probabilidad para el número de computadoras defectuosas adquiridas por la tienda?
SOL UCI ÓN: Se resolverá el problema siguiendo las reglas de Polya, como mencionamos anteriormente. Fase 1 Debemos seleccionar dos computadoras al azar del embarque que contiene 8. Datos Definamos la Variable Aleatoria Y : Número de computadoras defectuosas adquiridas por la tienda. Como la tienda hace una compra de 2 computadoras ella puede adquirir y=0, 1, 2 Número de computadoras defectuosas tres Número de computadoras no defectuosas (buenas) cinco Número de computadoras total ocho Incógnita: f(y) Incógnita: f(y) Fase 2 Primero debemos encontrar el espacio muestral teniendo en cuenta que la tienda adquiere dos de las ocho computadoras, para así encontrar las probabilidades de los valores de la Variable Aleatoria y poder decir de manera general cuál es la distribución de probabilidad para las computadoras seleccionadas. Fase 3 Como la tienda adquiere 2 computadoras de las 8 que hay y no importa el orden en que estas sean tomadas entonces, la cantidad de las diferentes formas de selección
viene dado por la combinatoria, es decir,
.
Además, sabemos que existen tres computadoras defectuosas, es decir, que existen 5 computadoras no defectuosas en el embarque. Calculemos las probabilidades a cada uno de los valores que puede tomar la Variable Aleatoria
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En el número de caso favorable, vamos a tomar la cantidad de computadoras que deseamos sean defectuosas de las 3 que hay, pero como la empresa adquiere solo dos computadoras, tomamos las que faltan como computadoras no defectuosas de las 5 que hay como en a mbos casos no importa el orden entonces, l o hacemos por la combinatoria. Esto se hace para todas las probabilidades.
;
; ;
La función de probabilidad viene dada por:
Y f(y)
0
1
2
Además, podemos escribir una función de probabilidad general,
Podemos apreciar que la función de distribución para el número de computadoras defectuosas adquirida por la tienda, no es constante y que tiene mayor probabilidad de adquirir una defectuosa y una que no lo esté. Fase 4 Utilicemos el teorema para verificar que la función encontrada es la correcta. Vemos que cada uno de los datos son mayores que cero, por lo tanto cumple la primera condición. Si obtenemos la suma de los f(x) los f(x)
Por lo tanto es una función de probabilidad. Veamos ahora que se cumple sólo para
Tomemos y=3
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Esto es un error puesto que la combinatoria Nota: 21
no existe.
ver Bibliografía, Walpole cuarta edición pagina
PROBLEMA Una caja contiene 10 bombillas, tres de las cuales están fundidas. Se extraen bombillas sucesivamente y se prueban, sin hacer devolución, hasta que aparezca la última defectuosa. ¿Cuál es la distribución de Probabilidad de las bombillas probadas hasta que aparezca la tercera fundida?
SOLU CI ÓN: Se resolverá el problema siguiendo las reglas de Polya. Fase 1 Primero podemos apreciar que tenemos una caja con bombillas buenas y malas, y que van a ser seleccionadas sin hacer devoluciones, es decir, que cuando se saca una bombilla de la caja no se vuelve a colocar en ella. Necesitamos encontrar las tres bombillas defectuosas. Datos Sea X: Sea X: Número Número de Bombillas probadas hasta que aparece la tercera defectuosa. Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Y los valores que toman son x=3, son x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Puesto que lo mínimo que tomaríamos seria 3 es decir que se saquen las tres fundidas seguidas y lo máximo es que se saquen las 10 donde la última debe ser fundida Hay 10 bombillas, 10 bombillas, 3 bombillas fundidas y 7 bombillas bombillas buenas. Incógnita: f(x) Incógnita: f(x) Fase 2 Lo primero que debemos hacer es definir la variable aleatoria de estudio estudio y verificar que esta es una variable discreta, como la selección de las bombillas es de manera
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aleatoria, estamos en la posibilidad de tomar bombillas buenas o bombillas malas, además, como necesitamos seleccionar las bombillas hasta que encontremos la tercera fundida, es por ello, que existen varias opciones de encontrar esas tres bombillas. Para
encontrar
la
distribución
de
probabilidad
debemos
hallar
todas
las
probabilidades, y así llegar a una forma general para esta. Debemos encontrar la función de distribución de probabilidad para la Variable Aleatoria. Definamos F: Bombilla Fundida y B: Bombilla buena, la probabilidades son para la primera selección:
y
como es sin reposición va disminuyendo
y por probabilidad, condicionada se convierte en el producto y además siempre la última es fija que es F. ¿Qué fase vendrá?
Primero x=3, es decir, FFF.
Para x=4, es decir, BFFF, FBFF, FFBF,
Como vemos la B es la que se mueve esto es se puede expresar con una combinatoria.
Para x=5, es decir, BBFFF, BFBFF, BFFBF, FBBFF, FBFBF, FFBBF, igual que la anterior, se puede colocar la combinatoria en este caso seria 2 de 4, la quinta es fija
Para x=6, es decir, BBBFFF, BBFBFF, BBFFBF, BFBBFF, BFBFBF, BFFBBF, FBBBFF, FFBBBF, FBFBBF, FBBFBF igual que la anterior, se puede colocar la
combinatoria en este caso seria 2 de 4, la quinta es fija
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Así sucesivamente, en general la distribución de probabilidad de las bombillas
probadas hasta que aparezca la tercera fundida es: , para x=3, para x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
De esta manera podemos llegar a una fórmula general para la distribución de
probabilidad, podemos ver que qu e está tampoco es constante y que puede llegar el caso de seleccionar las 10 10 bombillas de la caja, que las probabilidades van aumentando poco a poco. Fase 4 Utilicemos el teorema para verificar que la función encontrada es la correcta. Vemos que cada uno de los datos son mayores que cero, por lo tanto cumple la primera condición.
Encontremos la suma de los f(x) los f(x)
Por lo tanto es una función de probabilidad veamos ahora que se cumple solo para los valores que toma la variable x=3, variable x=3, … , 10 Tomemos y=2
, no se cumple así se se cumple para los números colocados y del
10 en adelante no cumple puesto que hay solo 10 bombillas
PROBLEMA Cuando el departamento de salud examinó pozos privados en un condado en busca de dos impurezas que comúnmente se hallan en el agua potable, se encontró que 20% de 20% de 17
los pozos no tenían ninguna impureza, 40% 40% tenían la impureza A y 50% 50% tenían la impureza B. B. (Obviamente, algunos tenían ambas impurezas). Si un pozo de los existentes en el condado se escoge al azar, ¿Cuál es la distribución de probabilidad para el número de impurezas halladas en el pozo?
SOL UCI ÓN: Identifica las fases de Polya en el problema La idea de este problema es encontrar las impurezas del agua, en este caso potable, en donde tenemos dos pozos y determinadas probabilidades. Lo primero que debemos hacer es definir la Variable de estudio, del número de impurezas, luego debemos ver como representamos esos porcentajes de una manera adecuada que nos ayude a encontrar los porcentajes de cada impureza y así poder encontrar la distribución de probabilidad y por último verificar si se cumplen las condiciones del teorema. Datos: Definamos la Variable Aleatoria
X: Número X: Número de impurezas encontrada en el pozo.
Como existen 2 tipos de impurezas impurezas entonces la variable puede tomar los valores x=0, 1, 2 Diseñemos los datos en una tabla para los tipos de Impurezas, teniendo en cuenta sus probabilidades. Impurezas
A
No A
B
50%
No B Total
Total
20% 40%
Incógnita: f(x) Incógnita: f(x) Esta es la tabla que nos plantea el problema, ahora utilizan utilizan el hecho que trabajamos trabajamos con probabilidades, sabemos que la probabilidad máxima es de 100%, es 100%, es decir que el total nos debe dar esa suma y así podemos rellenar la tabla, luego de eso podemos encontrar las probabilidades exactas para la cantidad de impurezas encontradas en el agua.
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- Para A la suma debe ser 1 tenemos que el 0.4 tenían 0.4 tenían la impureza A, es decir que el otro 0.6 no no tenían impurezas A.
- Para B la suma debe ser 1 tenemos que el 0.5 tenían 0.5 tenían la impureza B impureza B,, es decir que el otro 0.5 otro 0.5 no no tenían impurezas B Además tenemos que el 0.2 no 0.2 no tenían ninguna impureza
- Que no tenia impureza A con un 0.6 , es decir que 0.6-0.2=0.4, 0.6-0.2=0.4, es decir que solo tiene impureza B
- Que no tenia impureza B con un 0.5, 0.5, es decir que 0.5-0.2=0.3, 0.5-0.2=0.3, es decir que solo tiene impureza A Impurezas
A
No A
Total
B
0.1
0.4
0.5
No B
0.3
0.2
0.5
Total
0.4
0.6
1
Ahora encontremos la función de probabilidad para X para X , f(0)=P(X=0)=0.2
ninguna impureza
f(1)=P(X=1)=0.4+0.3=0.7 f(2)=P(X=2)=0.1
Una impureza (A o B)
Dos Impurezas es decir ambas, (A y B)
X
0
1
2
f(x)
0.2
0.7
0.1
Esta es la función de probabilidad para el número de impurezas encontradas en el agua. Para que sea una función de probabilidad debe cumplir las condiciones del teorema. cada f(x) para para x=0, x=0, 1, 2 son 2 son positivas, es decir f(x)≥0 decir f(x)≥0 Como podemos apreciar cada f(x) los f(x) es es 1. Veamos si la suma de los f(x)
.
Como cumple las 2 condiciones la función encontrada es de probabilidad, mas aun podemos decir que la probabilidad de encontrar mayor impureza es en el agua es cuando hay 1 impureza de cualquiera de las 2 encontradas.
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ACTIVIDADES. Resuelva los siguientes problemas y compruebe con el teorema que lo encontrado es correcto Un problema en un examen aplicado a niños pequeños les pide relacionar
cada una de tres imágenes de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna las tres palabras al azar a las tres imágenes, encuentre la distribución de probabilidad para el número de pares correctos. Se sabe que un grupo de cuatro componentes dos de ellos son defectuosos.
Una inspectora prueba los componentes uno por uno hasta hallar los dos defectuosos. Una vez que los localiza, suspende la prueba pero el segundo defectuoso es probado para asegurar la precisión. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de la prueba en la que se halló el segundo componente defectuoso.
DI STRIBUCI ÓN DE PRO ROBABI BABI LI DAD ACUM ACUM ULAD A DE UNA VARIAB LE ALEATORIA DI SCRETA. CRETA. Hay muchos problemas, en donde deseamos calcular la probabilidad de que el valor observado de la Variable Aleatoria X sea menor o mayor a un número real x, la distribución de probabilidad acumulada nos facilitaría ese trabajo.
La función de Distribución Acumulada de la v.a Discreta X, es la función que acumula las probabilidades de X menores o iguales a un valor específico x. Se simboliza F(x) y se define:
Es útil, ver la distribución de probabilidad acumulada en forma grafica, esta es de forma escalonada.
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OBSERVACIONES:
1. Si la probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1 entonces
2. Si x=a entonces 3. Si 4.
y si
5. Esta función es muy utilizada para calcular probabilidades de determinados valores.
Nota: Para verificar que es una distribución de probabilidad acumulada basta con que verifiquemos las 3 primeras observaciones
EJEMPLO: Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. La siguiente distribución de probabilidad de T , representa el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar. Encuentre la Distribución de probabilidad Acumulada de T
T
1
3
5
7
f(t)
¼
¼
1/4 ¼
SOL UCI ÓN: Sea T: representa T: representa el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar. Es una Variable Aleatoria Discreta. Encontremos la distribución acumulada, debemos hacer las particiones de los
intervalos
Para t<0. F(t)=0 t<0. F(t)=0.. Ya que no hemos acumulado nada Para
.
En este caso toma solo el valor de uno, es decir, que hasta el 1 hemos acumulado
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Para
. En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a 3
Para
.
En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a 5
Para
.
En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a 7.
Para
Para los mayores que 7 no se suma nada puesto que es 0
F(t)=1
Gráficamente;
En general,
EJEMPLO: Si se lanzan simultáneamente cuatro monedas ¿Cuál será la distribución de probabilidad para el número de caras? ¿Cuál será la distribución acumulada para el número de caras?
SOLU CI ÓN: Primero definamos el espacio muestral para ello utilicemos el diagrama de árbol, ¿Qué otro método se puede emplear para encontrar el espacio muestral?
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1
2
3
4
De aquí vemos que el espacio muestral muestral contiene 16 elementos. Que son CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS Definamos la Variable de estudio X: Número X: Número de cara que salen a lanzar cuatro monedas Los valores que toma la variable aleatoria es x=0, es x=0, 1, 2, 3, 4 Realicemos la distribución de probabilidad para el número de caras X
0
1
2
3
4
f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
Encontremos ahora la distribución acumulada, para el número de cara utilizando la distribución de probabilidad
Por definición debemos saber que la variable aleatoria recorre todo los reales
hagamos particiones por intervalo ¿Cuáles serán los e stos intervalos? Para -1
ya que no se acumulado nada.
;
Se toma F(0) puesto que la igualdad para la variable es el 0
Para
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Se toma F(1) toma F(1) puesto puesto que la la variable toma la igualdad en 1
Para 1
Se toma F(2) toma F(2) puesto puesto que la variable toma la igualdad en 2 y se toma la suma anterior
Para
Se toma F(3) toma F(3) puesto puesto que la variable toma la igualdad en 3 y se toma la suma anterior
Para 3
Se toma F(4) toma F(4) puesto puesto que la variable toma la igualdad en 4 y se toma la suma anterior Para
Puesto que todas estas f(x)=0 ya que no hay elementos allí
Así la Distribución de probabilidad acumulada es;
¿Cómo será gráficamente?
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PROBLEMA Se evalúa un nuevo proceso para la fabricación de partes moldeadas en plásticos en términos de la colaboración y reducción del tamaño. Una de las primeras corridas de los procesos proporciona la información para el espacio muestral y las probabilidades que aparecen en la siguiente tabla. ¿Cuál es la distribución acumulada para el número de características aprobadas?
Colaboración
Reducción del tamaño
Probabilidad
Aprobado
Aprobado
0,64
Aprobado
Inaceptable
0,16
Inaceptable
Aprobado
0,16
Inaceptable
Inaceptable
0,04
SOL UCI ÓN: En este caso tenemos un cuadro en donde nos especifican las probabilidades de los proceso de fabricación si son aprobadas o no, en una primera corrida. Datos Debemos definir la variable de con el número de características aprobadas en donde ve tiene una máximo de dos y un mínimo de cero, Definamos la Variable de estudio X: estudio X: Número Número de características aprobadas. Los valores que toma la variable son
x=0, 1, 2.
Así, se puede decir que la Variable Aleatoria es Discreta. Tenemos los valores de la tabla. Incógnita: F(x) Incógnita: F(x)
Utilizando la tabla anterior encontramos las probabilidades de la Variable Aleatoria y así encontramos la distribución de probabilidad, verificamos que se cumpla las condiciones del teorema anterior para garantizar que la distribución que encontramos es la correcta y en seguida poder encontrar la distribución de probabilidad acumulada y encontrar la solución al problema. ¿Qué fase vendrá?
25
Como ya tenemos las probabilidades entonces tenemos la función de probabilidad que es la siguiente: Para X=0, X=0, es decir que no hay características aprobadas, es decir, que las 2 son inaceptable, en la tabla sale que tiene probabilidad de 0.04 Para X=1, Para X=1, es es decir que una de las 2 característica es aprobada, y la otra es inaceptable en ambos casos la probabilidad es de 0.16 , si lo sumamos nos da una probabilidad de 0.32 Para X=2, X=2, es decir que las dos características son aprobadas, en este caso la probabilidad es de 0.64 Así, tenemos la distribución de probabilidad
X
0
1
2
f(x)
0.04
0.32
0.64
Verifiquemos que se cumple las condiciones del teorema,
Por lo tanto es una distribución de probabilidad.
Encontremos la distribución acumulada, el 0, 1, 2 2 van a ser las particiones de los
intervalos
Para
No se acumulado nada
F(x)=0,
Para
F(x)=f0)+f(1) F(x)=f0)+f(1)
=0.04+0.32
Para
F(x)=f(0)=0.04, F(x)=f(0)=0.04,
Para
la igualdad se cumple en el 1 es decir que se acumula los menores a él
F( x)=f(0)+f(1)+f(2) x)=f(0)+f(1)+f(2) =0.36+0.64
=0.36
=1
26
Puesto que la igualdad se cumple para el 0
La igualdad se cumple en el 2 es decir se acumula lo menores a él, puesto que los mayores a 2 son 0
Es decir que la función de probabilidad viene dada por: por:
Gráficamente,
La función toma valores entre 0 y 1 Los valores de la variable recorren todos los reales, es una función escalonada. Si 1 le quito el valor de lo que da en el anterior me debe de dar la probabilidad de que la variable tome el valor de 2. 1-0.36=0.64 y 1-0.36=0.64 y es correcto Si a 0.36 le le quitamos 0.04 que 0.04 que es la anterior nos da 0.32 que 0.32 que es la probabilidad de que tome el valor de 1. Además,
encontremos
la
probabilidad
de:
,
asi
la
probabilidad de encontrar una o menos característica es del 32%
PROBLEMA: Se seleccionan tres monedas al azar sin reemplazo de una caja que contiene cuatro de 1Bs y 1Bs y dos de 0,5Bs. 0,5Bs. ¿Cuál será la distribución de probabilidad acumulada para el total de las 3 monedas seleccionadas?
SOL UCI ÓN: Identifique las fases En una caja hay monedas de dos nominaciones el cual vamos a seleccionar tres monedas de ella.
27
Como nos dice que es el total de las 3 monedas, se refiere a las nominaciones seleccionadas, Datos: Definimos la variable, teniendo en cuenta el total de las selecciones de las tres monedas, Definamos la Variable. Sea Y: número Y: número de monedas seleccionada de los Bs. Es una variable aleatoria discreta, puesto que toma valores contables Encontremos primero la distribución de probabilidad para Y . 4 monedas →1 →1 Bs
Hay un total de 6 monedas
2 monedas→0.5 monedas→0.5 Bs,
Incognita: F(x) F(x) Tenemos que encontrar el espacio Muestral, teniendo en cuenta las sumas que podrían salir, calculamos las probabilidades de que salga cada nominación y con esto encontramos la distribución de probabilidad y luego podemos encontrar la distribución de probabilidad Acumulada. ¿Qué fase es esta? Como se toman 3 monedas al azar, puede ocurrir: Que las 3 sean de 1 Bs, Bs, es decir, son 3Bs Su probabilidad es
por ser seleccionada sin reemplazo
Que tome una de 0.5Bs y 0.5Bs y dos de 1Bs, 1Bs, es decir son 2.5 Bs Su probabilidad es
, se utiliza la combinatoria puesto que existen
varias combinaciones de seleccionar las monedas.
Que tome dos de 0.5Bs y 0.5Bs y una de 1Bs, 1Bs, es decir son 2Bs. 2Bs. Su probabilidad es
se utiliza la combinatoria puesto que existe varias
combinaciones de seleccionar las monedas. Luego la distribución de probabilidad para Y es, es, Y
3
2.5
2
f(y)
1/5
3/5
1/5
28
Como vemos cada uno de los valores son mayores que 0 por lo tanto cumple la primera condición del teorema Si encontramos la suma de cada uno de los f(y) los f(y) la la misma nos da un valor igual a 1 a 1,, es decir que cumple la segunda condición del teorema por lo tanto la función encontrada si es una función de probabilidad.
Encontremos la distribución acumulada para Y ,
Para
. F(y)=0 F(y)=0 por propiedad,
Para
. Luego,
Para Para
. Así,
.
Por
tanto,
Así la función de distribución acumulada para número de monedas seleccionada de
los Bs viene dada por:
Curiosidad
Esta es una función escalonada, con cuatro escalones, en donde la anchura de estos es de 0.5
Los valores que toma la función son valores entre 0 y 1, y va creciendo, es decir que va aculando lo anterior, los valores de la variable aleatoria recorren todos los reales y es una función escalonada.
Gráficamente,
Veamos que si al 1 le quitamos el valor anterior es decir 4/5 4/5 nos da 1/5 1/5 que es la probabilidad de que tome el valor de 3.
29
Si a 4/5 le 4/5 le resto el anterior es decir 1/5 nos 1/5 nos da 3/5 que 3/5 que es la probabilidad de que tome el valor de 2.5
ACTIVIDADES Resuelva los siguientes problemas utilizando la distribución de probabilidad acumulada. 1. Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres mujeres trabajando para él y desea escoger esco ger dos trabajadores para un trabajo especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los dos trabajadores al azar. ¿Cuál es la distribución de probabilidad Acumulada para el número de mujeres seleccionadas, además encuentre la probabilidad de seleccionar al menos una mujer?. 2. Un llavero contiene cuatro llaves de una oficina, que son idénticas en apariencia. Sólo una abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Si no es la llave adecuada se selecciona al azar una de las tres llaves restantes. Si esta última no es la llave que corresponda, se selecciona al azar una de las dos restantes. ¿Cuál es la distribución de probabilidad acumulada para el número de llaves que se tienen que probar hasta encontrar la llave que abre la puerta?¿Cuál es la probabilidad de usar entre 1 y 3 llaves para abrir la puerta?
SABI AS QUE: QUE:
El estudio de distribución de frecuencia acumulada es muy parecido a lo que se hace en la parte de frecuencia en este caso estamos trabajando con la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada
VAL OR ESPER ESPERADO ADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DI SCRETA. CRETA. El valor esperado de una v.a tiene sus orígenes en los juegos del azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un juego.
Este representa el promedio, valor medio o media, de la v.a al repetir un experimento varias veces, se simboliza por:
Sea X una v.a Discreta, con función de probabilidad f(x) entonces el promedio promedio de X, está definido por: 30
Esta es muy usada al igual que en la teoría de distribución de frecuencias, para encontrar el promedio de todos los valores que toma la Variable Aleatoria.
Atención: El valor esperado de una Variable Aleatoria, es la media Poblacional. Y es un valor que se encuentra entre los valores de la Variable
EJEMPLO: Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,
X
1
2
3
4
5
P(x)
0.05
0.20
0.05
0.45
0.25
Encuentre el valor esperado de la variable
SOL UCI ÓN:
Sea X la variable aleatoria, es discreta puesto que entre un valor y otro existe un salto. El valor esperado viene dado por Luego,
El promedio de la Variable Aleatoria es de d e 3.35.
EJEMPLO: Suponga que el número de automóviles que se utiliza con propósitos de negocios en un día de trabajo dado es una variable aleatoria con distribución de probabilidad dada por: Nº de automóviles
0
1
2
3
4
Probabilidades
0.2
0.1
0.3
0.3
0.1
Determina el número de autos esperado en el negocio en determinado día.
31
SOLU CI ÓN: Definamos la variable de estudio. Y: Número Y: Número de automóviles que se utilizan en el negocio en un día Los valores que esta toman es y= es y= 0, 1, 2, 3, 4. 4. Y por tanto es una Variable Aleatoria Discreta. Con esto encontremos el número de automóviles que se espera utilizar
reemplazando en la formula.
Así, el valor que se espera para el número de automóviles utilizados en el negocio un día dado es de 2.
UN POCO POCO DE HI STORIA La probabilidad matemática tiene tiene sus orígenes en los juegos de azar, los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos p roblemas: 1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces. 2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’. El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445 – 1517), 1517), quien en 1487 14 87 propuso estos dos similares problemas particulares. Uno de los problemas que fue abordado por él fue el siguiente: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30 ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados para el primer equipo y en 60×3/8 para Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta como lo hicieron Girolamo Cardano (1501 – 1576) 1576) y Niccolo Tartaglia (1499 – 1557) 1557)
PROBLEMA Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 bs y bs y el premio premio es de 100 bs. bs. ¿Cuál es el valor que se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería?
32
SOL UCI ÓN: Como sabes el espacio muestral son los mil números, además debemos comprar un número si queremos ganar, cada número tiene un valor de 25 bolívares 25 bolívares y el premio es de 100 Bolívares. Datos #S=1000 Definamos la variable aleatoria X, aleatoria X, como como sigue: X: X: Utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería. Es una Variable Aleatoria Discreta puesto que el premio es contable. Los valores que esta puede tomar son: 100 que 100 que gana del premio, menos 25 del 25 del costo del número .
Cuando gana = 75 bs Cuando pierde= pierde= – 25 25 bs
Costo del número
Incógnita: E(X) Incógnita: E(X) Como la idea es saber cual seria la ganancia haciendo una pequeña inversión es por ello que necesitamos, saber cuanto ganaríamos y cuanto perderíamos es por ello que calculemos el promedio de esto para saber lo que esperaríamos al jugar, para esto, debemos definir la variable buscar las probabilidades de ganar o de perder y así encontrar la distribución de probabilidad y luego el valor esperado.
Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y 1/1000 y de perder 999/1000. 999/1000. Ya que hay un solo numero ganador de los mil que hay. De acuerdo a los datos anteriores, a nteriores, la distribución de probabilidad es:
X
75
-25
f(x)
1/1000
999/1000
Por lo tanto, el valor esperado es:
O sea que la persona que participe en la lotería espera perder 24.9 bs en bs en cada juego.
33
Como el valor esperado es un promedio es decir que su valor debe estar entre los valores que toma la Variable Aleatoria definida. Como los valores esta entre -25 y -25 y 75 quiere decir que el valor encontrado cae hay y es de esa manera puesto que la probabilidad de perder es mayor que la de ganar
¿Se utilizaron las fases de Polya para resolver este problema?
PROBLEMA: Se considera un juego consistente en lanzar tres monedas al aire. Si se obtienen tres caras o tres sellos, se ganan 30 bolívares. 30 bolívares. Si no es así, se pierde una cantidad de k . ¿cuál debe ser esa cantidad para que el juego sea justo?
SOL UCI ÓN: El problema consiste en lanzar tres monedas y según lo que caiga
ganamos o
perdemos cierta cantidad de dinero. Datos Definamos la Variable Aleatoria. Sea X: Sea X: cantidad cantidad de dinero obtenida por el jugador. Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Los valores de la variable son 30 y -k El juego es justo cuando la ganancia esperada es cero Ya que no gana ni pierde
Incógnita: E(X) Incógnita: E(X)
Como ya definimos la variable de la cantidad de dinero entonces podemos encontrar la distribución de probabilidad para así, calcular el promedio, pero como queremos que el juego sea justo ese valor debe ser cero, luego remplazando en la formula podemos encontrar el valor que nos tocaría perder si no nos cae lo deseado. Como el juego debe ser justo, es decir, que E(X)=0, E(X)=0, encontremos las probabilidades de d e sacar tres caras o tres sellos al lanzar la moneda y la probabilidad de no obtener eso.
34
Sea A, el evento sacar 3 caras o tres sellos
Por otro lado , es no sacar las 3 las 3 caras caras o los 3 sellos
Luego, sabemos que
Es decir, cuando la jugada sea distinta de tres caras o tres cruces, lo justo sería perder
10 Bolívares 10 Bolívares
Remplacemos a k para para ver si el valor encontrado es el correspondiente
Por lo tanto el valor de k=10.
ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes problemas: 1. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. ¿Cual es la ganancia esperada del jugador? 2. Tenemos una bolsa con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultáneamente. Recibimos 200 200 pesetas si las dos bolas son blancas, 100 si 100 si las dos son verdes y 10 si 10 si una es roja y la otra verde, en los demás casos no recibimos nada. ¿Cuál es la ganancia esperada de los premios?
35
Pr opiedades opiedades del del Val or E sper per ado.
El valor esperado de una constante “C” es:
Si “a” y “b” son constantes y X una Variable Aleatoria entonces: El
valor esperado de la suma de dos Variables Aleatorias es la suma de los
valores esperado de las Variables Aleatorias, es decir, sea X, Y Variables
Aleatorias
entonces:
Si X e Y son Variables Aleatorias tal que X ≤ Y entonces: Si X e Y son Variables Aleatorias independientes si y solo si Observación:
El valor esperado de una función g(x), de una Variable Aleatoria Discreta está dada por:
EJEMPLO:
El número de error por 100 líneas de código de programación tiene la siguiente distribución de probabilidad.
X
2
3
4
5
6
f(x)
0.01
0.25
0.4
0.3
0.04
Encuentre la media de Z=3X-2 de Z=3X-2
SOL UCI ÓN: Definamos la variable, X: variable, X: número de error por 100 líneas de código, es una Variable Aleatoria Discreta.
36
Encontremos primero el valor esperado de X
Ahora, calculemos la media de Z , usando el valor encontrado anteriormente.
Por lo tanto la media de la variable Z variable Z es de 10,33.
PROBLEMA Diez motores son empaquetados para la venta en cierto almacén. Los motores se venden en 1000 Bolívares cada uno, pero se aplica una garantía de reembolso doble por cada motor defectuoso que recibe el cliente. ¿Cuál será la ganancia esperada del vendedor si la probabilidad de que salga un motor defectuoso es de 8%?
SOL UCI ÓN: Se empacan motores en un almacén teniendo en cuenta que los motores pueden estar defectuoso con un 8% de probabilidad Tenemos que cada motor tiene un valor de 1000Bs, y se empaqueta de 10 motores para la venta, pero cada cad a uno de ello tiene garantía de reembolso del doble de su valor, si este sale defectuoso. Datos n=10 motores n=10 motores El valor de cada uno es de 1000 Definamos primero la variable aleatoria de estudio. Z: Números Z: Números de motores defectuosos adquirido por el cliente
Existe 10 10 motores y cada uno tiene un valor de 1000 bs. bs. Entonces tenemos que 10*1000=10000 Bs 10*1000=10000 Bs que adquiere la tienda pero si el motor se encuentra defectuoso
37
se le regresa al cliente 2*Z , es decir, que debemos calcular el valor esperado de lo que adquiere la tienda menos lo que adquiere el cliente por cada motor defectuoso que compre, esto es, E(10000-2*Z). Como queremos la ganancia que espera el vendedor, teniendo en cuenta que existe motores defectuosos con un 8%, si 8%, si la tienda vende los 10 motores 10 motores por su valor, tiene determinado promedio de ganancia, pero como el también puede perder por los motores defectuosos podemos calcular el promedio de este y vemos la ganancia esperada del vendedor ¿Qué fase vendrá? El valor esperado de Z es 10*0.08 10*0.08 es decir el valor de la Variable Aleatoria por su probabilidad, es decir, E(Z)= decir, E(Z)= 0.8. Luego, E(10000-2*Z)=10000-2*E(Z) Luego, E(10000-2*Z)=10000-2*E(Z) por propiedades =10000-2*0.8=10000-160=9840 La ganancia esperada del vendedor es 9840 Bs para la venta de los motores. El valor esperado de los motores para el cliente es muy pequeño pues q es 0.8 que es mayor que cero y el valor espera de la venta de los motores es de 9840 que es muy próximo al valor total de cada motor.
VARIANZA DE UNA VARI ABLE AL EATORIA EATORIA DI SCRETA CRETA
La varianza de una Variable Aleatoria señala, la mayor o menor concentración de los valores alrededor de la esperanza matemática, se simboliza por:
donde X es una Variable Aleatoria Discreta y viene dada por:
Aunque para el cálculo se s e suele usar esta otra fórmula equivalente: .
Atención: La Varianza de una Variable Aleatoria, es la Varianza Poblacional y Poblacional y siempre es un número mayor que cero.
38
EJEMPLO: Una Variable Aleatoria Discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la siguiente función de probabilidad:
X
0
1
2
3
4
f(x) 0.3 0.25 0.25 0.1 0.1 Calcular la varianza de la Variable Aleatoria Discreta.
SOLU CI ÓN:
La varianza viene dada por
.
Encontremos primero la esperanza matemática de la variable X variable X viene viene dada por:
Encontremos ahora
usando la observación del valor Esperado usando
Por tanto,
EJEMPLO: Si X Si X denota la Variable Aleatoria que indica la cantidad de niños en una familia con tres hijos, la distribución de probabilidad es la siguiente:
Canti Can ti dad de ni ñ os (H ombr es) es) X
0
1
2
3
Probabil Probabil idad f(x )
1/8
3/8
3/8
1/8
Encuentre la Variabilidad para el número de niños en la familia. 39
SOL UCI ÓN: Sea X: Sea X: número número de niños en la familia, Los valores que toma son x=0, 1, 2, 3 Encontremos primero la esperanza matemática de la variable X viene dada por:
Así, 1.5 es el promedio de niños que puede tener la familia
Encontremos ahora
usando la observación del valor Esperado usando
Por tanto,
Por lo tanto, la variabilidad del número de niños que puede tener la familia con respecto al promedio es de 0.75
PROBLEMA: Un equipo electrónico contiene 6 transistores dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. ¿Cuál es la Variabilidad de los transistores defectuosos observados?
SOL UCI ÓN: Se tiene un total de seis transistores, en donde hay buenos y defectuosos, se toma al azar tres, de estos, y se inspeccionan y se puede apreciar cuantos defectuosos se tomaron. Datos Definamos la Variable Aleatoria. Sea X: Sea X: Número Número de transistores defectuosos
40
Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Y los valores que toman son x=0, son x=0, 1, 2.
Ya ue traba amos con los defectuosos defectuosos
Incógnita: Var(X)
Como ya definimos la Variable con los transistores defectuosos, encontramos las probabilidades de cada uno de los valores que toma esta, como no dependen d el orden de selección lo podemos hacer por combinatoria, luego encontrar la distribución de probabilidad, para así encontrar el promedio de transistores que s e puede seleccionar de los defectuosos y de la misma manera podemos llegar a la variabilidad de ellos.
Debemos encontrar la función de distribución de probabilidad para el número de
transistores defectuosos
Ya que tenemos 0 transistores defectuosos es decir que los 3 seleccionado son buenos
Ya que tenemos 2 transistores defectuosos es decir que el restante es bueno
En
general,
Encontremos ahora el promedio de los transistores defectuosos que se pueden
seleccionar.
41
Así, el promedio de los transistores seleccionados es de 1 transistor. Encontremos ahora la variabilidad de transistores defectuosos, esto es,
Luego,
Por lo tanto,
Esto es la variabilidad de los transistores defectuosos, de la caja de seis que contiene
dos de ellos. ¿Qué fase es esta? El valor encontrado es un valor mayor que cero, y como es la dispersión de los datos con respecto a la media, es por ella es utilizado.
PROBLEMA: Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. ¿Cuál es la Varianza para el número de piezas seleccionadas que no cumplen los requerimientos del cliente?
SOLU CI ÓN: Tenemos la producción que se tiene un día de piezas manufacturadas, en donde se tiene piezas que cumplen y que no cumplen con el requerimiento del cliente, y se selecciona una muestra de dos piezas y estas son tomadas sin reemplazo.
42
Datos: Total de piezas manufacturadas por día 850 contiene Piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente 50, 50, es decir que hay 800 que cumplen con los requerimientos. Se toma una muestra de dos piezas sin reposición. Definamos la variable Z: número Z: número de piezas seleccionadas que no cumplen los requerimientos del cliente. Los valores que toma es 0, 1 y 2, 2, puesto que se toman 2 como muestra Incógnita: Var(X) Lo que debemos hacer, es encontrar las probabilidades de los valores que toma la variable y así encontrar la función de probabilidad, el promedio de los valores y su respectiva varianza tomando en cuenta que se toman 2 piezas y esta es sin reposición. La probabilidad de seleccionar 1 pieza que cumple con los requerimientos del cliente
es =
Es decir que las dos seleccionadas ninguna no cumplen con los requerimientos
Es decir, que las dos seleccionadas una cumple y la otra no, se multiplica m ultiplica por 2 ya que como es sin reposición importa el orden con ue se selecciona Es decir que las dos seleccionadas no cum cum len len con con los los re re ueri uerimi mien ento toss
La función de probabilidad encontrada para el número de piezas seleccionadas que no cumplen los requerimientos del cliente, viene dada por:
Z
0
1
2
f(z) 0.886 0.111 0.003 Verifiquemos que cumple las condiciones del teorema.
43
Vemos que cada una es mayor que cero, y además 0.886+0.111+0.003=1 0.886+0.111+0.003=1 por lo tanto cumple las condiciones del teorema es decir que si es una distribución de probabilidad. Ahora encontremos el promedio de las piezas que no cumplen los requerimientos del cliente
Es el promedio de las piezas que no cumplen. Encontremos la varianza
Luego
Así, la variabilidad del número de piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente es de 0.1093 con 0.1093 con respecto al promedio.
Es un valor mayor que cero y se aproxima al valor donde existe mayor probabilidad. Identifique las fases
PROP PROPII EDADE S DE L A VARIA NZA. “C” es: La varianza de una constante “C” es:
Si “a” y “b” son “b” son constantes y X y X una una Variable Aleatoria entonces: El
Varianza de la suma de dos Variables Aleatorias es la suma de las
Varianzas de las Variables Aleatorias, es decir, sea X, sea X, Y Variables Variables Aleatorias entonces:
44
Observación: La Varianza de una función g(x), función g(x), de de una Variable Aleatoria Discreta está dada por:
EJEMPLO: Calcule la Varianza de
donde X es una Variable Aleatoria Discreta
con la siguiente función de probabilidad:
X
0
1
2
3
f(x)
¼ 1/8 1/2 1/8
SOL UCI ÓN: La Variable Aleatoria es Discreta, por tanto
Luego
Así, la Varianza de
remplazando
en
, es de 4 de 4
45
la
fórmula
NOTA: Al usar la variancia como medida de dispersión o variabilidad se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria X aleatoria X son lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que también será lineal, pero la variancia está en unidades cuadráticas, como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado, etc.
En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X aleatoria X , debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el nombre de desviación estándar y se representa con σ .
PROBLEMA: En un juego una persona recibe 15 Bs cuando Bs cuando saca una jota o una reina y recibe 5 Bs si saca un rey ó un as de una baraja de 52 cartas. 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar 4 Bs. Bs. ¿Cuál es la Desviación estándar para una persona que entra en el juego?
SOLU CI ÓN: En este problema consiste en seleccionar una carta de las 52 que 52 que hay y según sea la carta que salga la persona pierde o gana determinado valor. Sea X: Sea X: Cantidad Cantidad de dinero que utiliza la persona que juega Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Y los valores que toman son x= son x= -4, 5, 15. 15.
Ya ue es la cantid cantidad ad de dinero dinero en ue o
Como tenemos cartas de 52, 52, existen 4 modelos de las cartas que son 13 de 13 de cada unas
Como ya tenemos la variable definida y los valores que toma. Primeros debemos saber cómo son las cartas, cuantas hay de cada figura, para así conseguir las probabilidades a las cartas que necesitamos y de la misma manera encontrar el promedio en Bs de lo que puede ganar o perder la persona, y así encontrar la dispersión de los datos con respecto al promedio encontrado
46
Calculemos las probabilidades de la Variable Aleatoria
Ya ue tenemos 4 re
4 As
Ya que tenemos 4 jota y 4 Reinas
Ya que es otra carta distinta a la de los casos anteriores y por lo tanto es el complemento
Así la distribución de probabilidad de la variable es,
X f(x)
-4
5
15
Encontremos ahora el promedio del dinero que ganará el jugador
Así, el promedio del dinero de la persona que juega es de
.
Encontremos,
Encontremos ahora la variabilidad,
Por lo tanto,
Es decir que la dispersión del dinero jugado con respecto al promedio es de 7.032
47
La varianza nos dio un valor mayor que cero y por lo tanto se pudo calcular la desviación.
ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes problemas 1. El productor de un tipo de leche con pocas calorías quiere comparar la atracción que ejerce el sabor de una nueva preparación (fórmula B) con respecto a la preparación estándar (fórmula A). Se dan a cada uno de los 4 jueces tres vasos, de modo aleatorio, dos de las cuales contiene la fórmula A y el otro la fórmula B. se preguntan a cada juez cual vaso disfruto más. Suponga que las 2 preparaciones son igualmente atractivas. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para el número de jueces que prefieren la nueva fórmula? ¿Cuál es la varianza para el número de jueces que prefieren la nueva fórmula? 2. Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres
mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los dos trabajadores al azar. ¿Cuál es la desviación estándar para el número de mujeres en su selección Y?
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PROBL EM AS PROPUE PROPUE STOS: 1.
Un lote contiene 100 piezas 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,
(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? Respuestas: a. 0.0119, b. 0.408
y
c. 0.196
2. Una caja contiene 8 bombillos, de los cuales están 3 están defectuosos. Se selecciona un bombillo de la caja y se prueba. Si este sale defectuoso se selecciona y se prueba otro bombillo, hasta que se escoja un bombillo no defectuoso. ¿Cuál es el número esperado de bombillos seleccionados? Respuesta: 1.5 3. Se sabe que de un lote de 40 40 semillas no esta en buenas condiciones la cuarta parte. Se toman al azar 8 semillas y se analizan en el laboratorio. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las analizadas estén en malas condiciones? Respuesta: 0.222 4. El blanco de un local de tiro no es más que un círculo dividido en 3 sectores congruentes marcados por las cifras 1, 2, 3. Cuando 3. Cuando se dispara, el círculo se hace girar, de manera que el jugador no distinga los sectores. Al dar en el sector 1 el jugador gana 1 dólar; al dar en el sector 2, gana 2 dólares; y, al dar en el sector 3, gana 3 dólares. El precio del boleto que da derecho a disparar vale 1.5 dólares. 1.5 dólares. ¿Es ventajoso el juego si se tiene una probabilidad de dar en el blanco de: a) 0.7;
b) 0.8;
y
c) 0.75?
Respuestas: a) Es ventajoso; b) es desventajoso; c) es indiferente. 5. Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una probabilidad de 1/3 y 2/3 respectivamente. Cada entrevista tendrá como
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resultado una no venta o una venta de 50000 50000 con probabilidad de 0.9 y 0.1 respectivamente. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para las ventas diarias?¿Cual es su representación gráfica? Respuesta:
X
0
5000
100000
P(x)
21/25
23/150
1/150
6. Usted y un amigo participan en un juego donde cada uno tira al aire una moneda balanceada. Si las caras superiores de la moneda son sellos en ambos casos, el lector gana 1 Bs; Bs; si salen caras en ambos tiros gana 2 Bs; Bs; si las caras de la moneda no son iguales, el lector pierde un bolívar ¿Cuál es la ganancia esperada del lector en un solo intento? Respuesta: 0,25 7. A y B juegan 12 partidos de ajedrez, de los cuales, A gana 6, B gana 4 y en 2 terminan empatados. Se ponen de acuerdo para jugar otros 3 partidos. Encuéntrese la probabilidad de que: a) A gane los tres partidos, Respuesta: 1/8 b) 2 parti-dos terminen empatados, Respuesta: 5/72 c) A y B ganen alternadamente Respuesta: 5/36 d) B gane por lo menos un partido. Respuesta: 19/27 8. En una inversión de negocios hay una probabilidad de 0.6 de obtener como ganancia 300 Bs y una probabilidad de 0.4 de perder 100Bs. ¿Cuál será la ganancia esperada? Respuesta: 140 Bs
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BIBLIOGRAFÍA Cabrera, I. (s.f.). Variables Aleatorias. Aleatorias. Estadística Aplicada y Modelización. T Diseño Industrial. Departamento de Matemática. Disponible: http://webpersonal.uma.es/~ipcabrera/resumen_aleatorias.pdf Canavos, G. (1988) Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Métodos. Editorial Mc Graw-Hill/Interamericana de México. Martínez, M y Marí, M (2007) Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas. Universidad Politécnica de Valencia. Disponible: https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7942/Distribuciones%20de%20Prob abilidad%20para%20V%20A%20discretas.pdf?sequence=3 Mendenhall, Schearffer y Wackerly. (2010). Estadística Aplicaciones. Séptima Edición. Editorial Learning.
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