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EJERCICIOS VARIABLE ALEATORIA ALEATORIA Y VALOR ESPERADO
1- Un profesor de Estadística informa que en las calificaciones finales hay un 20% de notas A, un 30% de notas B, un 30% de notas C, un 10% de notas D y un 10% de notas E. a) Si X es es una variable variable aleatoria aleatoria que toma toma el valor 4 cuando la nota nota es A, 3 cuando la nota es B, etc., cuál será su valor esperado? b) Cuál su varianza? c) Dibuje Dibuje la la gráfica gráfica de la funci función ón de proba probabil bilidad idad 2- Las ventas de determinado producto son { x = 1, 2, 3, 4 }, de acuerdo con la siguiente función: 1 10
P(x)
X
para x = 1, 2 , 3, 4
= 0
en otro caso
a) Trácese la gráfica gráfica de esta esta función función y demuestre demuestre que satisface satisface las dos dos propiedades propiedades necesarias para que P(x) sea una función de probabilidad. b) Halle el número esperado de d e ventas c) Determ Determine ine la varia varianza nza de las las vent ventas as 3- Suponga que puede describirse un experimento por medio de la siguiente función 1 10
P(x)
X2
para x = 1, 2 , 3,
= 0
en otro caso
a) Pruebe Pruebe que que P(x) P(x) es una una función función de de probabi probabilid lidad ad b) Halle el valor esperado c) Hall Hallee la la vari varian anza za 4- Un dado tiene una cara roja, dos caras verdes y las tres restantes negras. Se lanza el dado una vez. Si sale rojo usted gana $ 2000 y si sale verde, $500. Cuánto debería pagar usted si sale negro n egro para que el juego sea s ea equitativo? 5- El dado del ejercicio anterior se lanza dos veces. Si en los dos lanzamientos aparece el mismo color usted gana $1100; en caso contrario pierde $ 700. Cuál es el valor esperado de este juego? 6- Una caja contiene 4 fichas rojas y 6 azules. Se extraen tres fichas sucesivamente y con sustitución. Si usted gana $ 2000 por cada ficha roja y $1000 por cada ficha azul, cuánto debería pagar por el derecho a jugar para que el juego sea equitativo? 7- Si en el ejercicio anterior las tres fichas se extraen sin sustitución, cuánto debería ser el precio por el derecho a jugar?
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8- Un fabricante de calculadoras recibe los circuitos en cajas de 100 circuitos cada una. El departamento de control de calidad utiliza la siguiente regla de inspección: Se prueban cuatro circuitos circu itos de cada caja. Si ninguno nin guno resulta defectuoso, defectuo so, no se continúan examinando circuitos de la caja. En caso contrario, se prueban todos los circuitos restantes. Determínese el número esperado de circuitos examinados por caja si cada caja contiene exactamente 10% de defectuosos. 9- La Compañía Textil Nacional quiere comprar diez máquinas de un cierto tipo para utilizarlas en su proceso de tejido. Anteriormente, la compañía había comprado máquinas de este tipo a dos diferentes fabricantes. Con base en estas experiencias, las vidas útiles de las dos marcas de máquinas se pueden estimar de la siguiente manera MAQUINA A MAQUINA B VIDA UTIL VIDA UTIL ESTIMADA PROBABILIDAD ESTIMADA PROBABILIDAD (HORAS) (HORAS) 20 00 0.60 20 00 0.50 30 00 0.30 30 00 0.45 40 00 0.10 40 00 0.05 Que marca debe comprar la compañía si el costo de ambas es el mismo? 10- Un fabricante de DVD utiliza cierto componente electrónico en el montaje de unidades de DVD. Cada unidad de DVD requiere seis (6) de estos componentes. Un componente defectuoso no puede ser detectado hasta que la unidad de DVD ha sido totalmente montada. El costo de detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de $US 150. El fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de a 100 a dos diferentes proveedores. El costo de compra por lote al proveedor A es de $US10000, en tanto que el costo de compra por lote al proveedor B es de $US 12000. Con base en la experiencia, las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores son los siguientes: PROVEEDOR A PROVEEDOR B Número de Probabilidad Número de Probabilidad componentes componentes defectuosos defectuosos por por lote lote 1 0.30 1 0 .6 0 2 0.25 2 0 .3 0 3 0.20 3 0 .1 0 4 0.15 5 0.10 A que proveedor deben comprarse los componentes electrónicos para minimizar el costo de estos? 11- Una compañía de inversiones posee un terreno en un sector de los alrededores de una ciudad, clasificado como sector “agrícola”. Existe un proyecto de cambio de ese sector de “agrícola” a “habitacional”. Si el proyecto se aprueba, el terreno tendría un valor de $ 10’000.000, en cambio si el terreno es rechazado, el valor es de sólo $ 2’000.000. Antes que el Consejo Municipal de la ciudad decida sobre el proyecto, un comprador ha ofrecido $ 5’000.000 al contado por el terreno.
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a) Debe la la compañía compañía de inversiones inversiones vender su su terreno terreno por ese precio si la probabilidad probabilidad de aprobación del proyecto es de 0.5? b) Que probabilidad debe asignarse a la aprobación aproba ción del proyecto para par a que la compañía no tuviera preferencia por ninguna de las dos alternativas (vender el terreno o esperar la decisión municipal)? 12- Un comerciante comerciante estima las ventas diarias de un cierto tipo de pan especial en la siguiente forma: VENTA DIARIA ESTIMADA PROBABILIDAD (UNIDADES) 4 0 .5 0 5 0 .4 0 6 0 .1 0 El costo por molde de pan es de $ 250 y el precio de venta es de $ 500. El pan debe ser ordenado con un día de anticipación y cada unidad no vendida en el día se entrega a una institución de beneficencia al precio de $ 100 por unidad. Cuántas unidades debe ordenar el comerciante para maximizar su utilidad esperada diaria? 13- La asociación de los alumnos de una Universidad está organizando un concierto. Con base en la experiencia de conciertos similares ofrecidos anteriormente, la concurrencia puede estimarse de la siguiente manera: NUMERO DE PERSONAS QUE PROBABILIDAD ASISTEN (X) P(X) 200 0 0 .2 0 300 0 0 .5 0 400 0 0 .3 0 Si el costo total del concierto es de $US 2000 y el precio de entrada es de $US 1 por persona, cuál es la ganancia o pérdida esperada en el concierto? 14- Un fabricante está planeando la producción de una novedad de temporada. El fabricante estima que la demanda de este artículo está dada de la siguiente manera: NUMERO DE UNIDADES PROBABILIDAD (X) P(X) 100 0 0 .2 5 200 0 0 .5 0 300 0 0 .2 5 El costo de producción y comercialización del artículo consiste en un costo base fijo de $ 50000 y un costo variable de $ 1000 por unidad. Si el precio de venta es de $ 5000 por unidad, cuál es la ganancia esperada para el fabricante? 15- Suponga que le ofrecen la oportunidad de participar en un experimento en el que se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara. Si sale cara en el primer lanzamiento, le pagarán $US 2 por participar. Si la primera cara aparece en el segundo, le pagarán $US 4 por participar. Le pagarán $US 8 si la primera cara aparece en el tercero, y $US 16 si aparece en el cuarto. En otras palabras su ganancia se duplica a cada sello que aparezca y el juego termina cuando sale cara. Determine el valor esperado de este juego. (Paradoja de San Petesburgo)
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EJERCICIOS RESUELTOS Un fabricante de marcadores para tablero envía los pedidos en cajas de 20 unidades. El departamento de almacén y suministros de la Universidad utiliza la siguiente regla de inspección: Se prueban dos marcadores de cada caja. Si Si ninguno es defectuoso , no se continúan probando los demás marcadores. Si al menos uno de los dos marcadores resulta defectuoso, se prueba la caja completa. Cuál es el número esperado de marcadores probados por caja si cada caja contiene exactamente 25% de defectuosos? (Esto es, cinco marcadores defectuosos). {Considere marcador defectuoso el que no escribe, o que el color de la tapa no coincide con el color del marcador}. Ante todo se deben identificar: la variable y los eventos de interés. Este es un muestreo sin reemplazamiento puesto que no tendría sentido guardar siempre el marcador seleccionado. Por lo tanto para asignar las probabilidades se debe acudir al calculo de probabilidad cuando cuan do los eventos son dependientes. Se acuerdan? acuerda n? Bueno prosigamos: X = Número de marcadores a probar. D = marcador defectuoso B = marcador no defectuoso. Dadas las condiciones del problema, la variable aleatoria puede tomar únicamente los valores 2 o veinte, porque? Porque si los dos marcadores seleccionados (uno por uno) son buenos se le da el visto bueno a la caja, en caso contrario se deben probar todos los 20 que contiene la caja. Veamos primero como se halla la probabilidad de probar solo dos marcadores. P(B1 B2 ) = P(B1 ) P(B2 / B1) 15 14 = x 20 19 =
210 380 X 2 20 TOTAL
P(X) 2 10 / 38 0 1 70 / 38 0 1 .0 0
Por lo tanto el valor esperado del número de marcadores a probar es: (2 x 210/380) + (20 x 170/380) = 10,05. Se espera probar 10 marcadores por lote. 2- Una florista estima su venta diaria de rosas en la siguiente forma: VENTA DIARIA (DOCENAS) PROBABILIDAD 10 0 .6 0 11 0 .3 0 12 0 .1 0
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La florista debe ordenar las rosas con un día de anticipación. Las rosa no vendidas en el día se pierden. Si el costo de las rosas es de $ 1000 por docena y su precio de venta es de $ 3000 por docena, cuántas docenas debe ordenar la florista para maximizar su ganancia diaria esperada? SOLUCION: La florista puede ordenar 10, 11, o 12 docenas diarias. La ganancia por cada pedido depende del número de docenas que pueda vender. En la siguiente tabla se muestran los posibles niveles de utilidad, teniendo en e n cuenta que: Utilidad = Ingreso total – Costo total NIVELES POSIBLES DE UTILIDAD VENTAS POSIBLES POR NUMERO DE DOCENAS PEDIDAS DIA 10 11 12 1 4 10 2 0 .0 00 19.000 18.0007 11 20.0002 22.0005 21.0008 12 20.0003 22.0006 24.0009 Los nueve valores indicados en la tabla se interpretan de la siguiente manera: $ 20.000 es la utilidad obtenida cuando ordena 10 docenas y vende 10 docenas, (U = $ 3000 x 10 - $ 1000 x 10) 2 $ 20.000 la florista solo ordenó 10 doc, y habría podido vender 11 doc. 3 $ 20.000 ordenó 10 doc, y habría podido vender 11 doc. 4 $ 19.000 ordena 11 doc, y vende sólo 10 doc, es decir pierde una. (U = $ 3000 x 10 - $ 1000 x 11 ) 5 $ 22.000 ordenó 11 doc, y vendió 11 doc. (U = $ 3000 x 11 - $ 1000 x 11) 6 $ 22.000 ordenó 11 doc, pero pudo vender 12 doc, 7 $ 18.000 ordenó 12 doc, y sólo vendió 10 doc, luego perdió lo de 2 doc. (U = $ 3000 x 10 - $ 1000 x 12). 8 $ 21.000 ordenó 12 doc, y solo vendió 11 doc, perdió lo de una doc. (U = $ 3000 x 11 - $ 1000 x 12) 9 $ 24.000 ordenó 12 doc, y vendió 12 doc. (U = $ 3000 x 12 - $ 1000 x12). 1
Una vez explicada la manera como se obtienen los valores, vamos a dar respuesta a lo solicitado. Para ello se debe calcular el valor esperado para cada uno de los posibles pedidos así: CUANDO ORDENA 10 DOCENAS: UTILIDAD (X) PROBABILIDAD P(X) $20.000 0.60 $20.000 0.30 $20.000 0.10 UTILIDAD ESPERADA
XP(X) $12.000 $6.000 $2.000 $20.000
CUANDO ORDENA 11 DOCENAS: UTILIDAD (X) PROBABILIDAD P(X) $19.000 0.60
XP(X) $11.400
6
$22.000 $22.000 UTILIDAD ESPERADA
0.30 0.10
CUANDO ORDENA 12 DOCENAS: UTILIDAD (X) PROBABILIDAD P(X) $18.000 0.60 $21.000 0.30 $24.000 0.10 UTILIDAD ESPERADA
$6.600 $2.200 $20.200
XP(X) $10.800 $6.300 $2.400 $19.500
Como puede observarse la utilidad esperada es máxima cuando se ordenan 11 docenas al día.
