Variable Aleatoria Unidimensional

Variables Aleatorias unidimensionales Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio. Se trata, por tanto, de una función real con dominio en el espacio muestral, X :Ω → .

Definición:

Si ε es un experimento aleatorio que tiene el espacio muestral Ω, y X es una función que asigna un número real x(ω) para todo resultado ω Ω,

entonces X se llama variable aleatoria

RecX

Ω

x(ω)

ω Ejemplos:   

El número de accidentes laborales en una empresa al año. El número de errores en un mensaje transmitido. El número de piezas defectuosas producidas a lo largo de un día en una cadena de producción.

  

Tiempo de duración de una batería Nivel de agua en el embalse Duración de una llamada a un servicio de atención al cliente

Ejemplo: Se sabe que en una caja que contiene 50 chips el 10% están defectuosos.

Experimento: Se extrae al azar y con reposición una muestra de dos chips de la caja. D = El chip extraído de la caja es defectuoso Se define la v.a. “X = Número de chips defe defectu ctuos osos os Recorrido de X = {0 , 1 ,2} Rec X

Ω (D,D)

0

(D,DC)

1

(DC,D)

2

(DC,DC)

Cecili a L arraín arr aín R

en la muestra”

x(DC,DC) = 0 x(D,DC) = 1 x(DC,D) = 1 x(D,D) = 2

X

V ari able abless aleat aleatori orias as unidimensiona unidimensionale less

Pági na 1

Ω

A

X

ω

RecX B x(ω)

A y B son sucesos equivalentes

Definición: Si A es un suceso en el espacio muestral Ω y B es un

suceso en el espacio de Rec X de la variable aleatoria X, la probabilidad de B se define como PX(B) = P(A) donde A = {ω Ω: x(ω) B }

Del ejemplo X = Número de chips defectuosos en la muestra (5 D, 45 DC, n = 2 con reposición)

RecX Sucesos de Ω 0 (D ,D ) 1 (D,D ), (D ,D) 2 (D,D)

Probabilidad 0,81 0,18 0,01

PX({0}) = P(DC DC) = P(DC)P(DC) = 0,9 · 0,9 = 0,81

independ.

PX({1}) = P(D DC) + P(DC D) = 0,1·0,9 + 0,9·0,1 = 0,18

Función de dis tribución F X (x )

(distribución acumulada)

Sea X una variable aleatoria y x un valor particular de X. Para cada variable aleatoria, se puede definir la función FX(x) = P (X ≤ x), con x  Propiedades de F(x):  

lim FX ( x ) = 0

x

lim FX ( x ) = 1

x

(F (−∞) = 0) (F(+∞) = 1)

 

La función es no decreciente: si x1 < x2, entonces F(x1) < F(x2) La función es continua por la derecha. F(x +) = lim F( x h) = F ( x )



P(a < x < b) = F(b) – F(a)

h

0

FX(x) = F( −∞,x] = P (X ≤ x), es una función que va acumulando la probabilidad de observar los distintos valores a medida que nos desplazamos desde −∞ a +∞. Cecilia Larraín R

Vari ables aleatorias unidimensionales

Pági na 2

Ejemplo : Sea la v.a. X = número de caras en tres lanzamientos de una moneda

Rec X = {0 ,1 , 2, 3} X = N° caras en tres lanzamientos de una moneda

0

si x < 0

1/8

si 0

x<1

F(X)= 4 / 8

si 1

x<2

7/8

si 2

x<3

1

si 3

x

P(X < 1) = F(1) = 4/8 Ω =

{(C,C,C) , (C,C,S) , (C,S,C) , (S,C,C) , (C,S, S) , (S,C,S) , (S,S,C) , (S,S,S)}

Ejemplo: Sea la v.a. X = tiempo de respuesta (en segundos) de una terminal conectada en línea F(X) = 1- e-0,2x , x > 0 P(X

x)

x

P(X < 5) = F(5) = 0,632

Variable aleatoria discretas Función probabilidad: Sea X una v.a.d. Por tanto el recorrido de X consta, a lo más de un número de valores. x1 , x2 , x3 , … . A cada resultado posible x i, se le asocia un número p(xi) = P(X = x i), llamado probabilidad de x i ( i = 1, 2, …,) que deben de satisfacer las condiciones siguientes: a) p(xi) > 0

b)

p(xi ) = 1 i=1

Se observa que: P( X = xi) = F(Xi) – F(Xi-1) FX(xi) =

p(x)

(función de distribución)

x xi ∙

∙

∙

A la función “p(X)” se le denomina función de probabilidad o función de cuantía de la v.a. X. A la colección de pares (xi, p(xi)), algunas veces se le llama distribución de probabilidad. i = 1,2,3, … La función de probabilidad pX suele presentarse en forma de tabla, gráfica o matemáticamente (si se encuentra una estructura que resuma todas las probabilidades del RecX).

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Pági na 3

Ejemplo (pág.1 ): Una caja que contiene 50 chips el 10% están defectuosos. 

C

(5 D, 45 D )

S e extrae al azar y con repos ición una mues tra de dos chip de la caja Sea la v.a. “X = N° de chips defectuosos en la muestra (n = 2)” Tabla Distribución de probabilidad p(x) X 0 1 2 p(x) 0,81 0,18 0,01 Gráfico de barras separadas 1,0

0,8

d a0,6 d i l i b a b o r P

0,81

0,4

0,2

0,18

0,0 0

0,01

1

2

N° de chips defectuosos

Observe que la función que asigna las probabilidades de la v.a. “X = n° de chips defectuosos en la muestra (con reposición)” es: Función de cuantía p(X) p(x) = P(X = x) =

2 x

·(0,1) x ·(0,9)2-x

; para x = 0,1,2

Esta distribución de probabilidad se conoce como Binomial Observación: La distribución de probabilidad es una población teórica; se utiliza para representar poblaciones empíricas.

Función de distribución de “X = N° de chips defectuosos en la muestra (n = 2)” 0 F(X)=

,x < 0

0,81 ,0

x<1

0,99 ,1 x<2 1

Cecilia Larraín R

,2

Utilice F(x) para determinar P(X = 2)

x

P( X = xi) = F(Xi) – F(Xi-1) P(X = 2) = F(2) – F(1) = 1 – 0,99 = 0,01


Pági na 4

Ejemplo (pág.1 ):

Se extrae en forma aleatoria con repos ición una muestra 10 chips de la caja y se define la variable aleatoria “ W = número de chips defectuosos es la muestra” con la siguiente función de cuantía: C

C

(5 D, 45 D , n = 10, P(D) = 0,1, P(D ) = 1 – 0,10)

10 p(w) =

w

= P(W = w)

(0,1) w (0, 9)10-w 0

, w = 0,1,2, ...,10 ,

en

otro caso

Determine la probabilidad de que la muestra contenga a lo más tres chips defectuosos.



Si se extrae en forma aleatoria s in repos ición una muestra 10 chips de la caja y se define la variable aleatoria “Y = número de chips defectuosos es la muestra” con la siguiente función de cuantía:

p(y) = = P(Y=y)

5

45

y

10 - y

,

50

si y = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Esta distribución se conoce como distribución hipergeométrica

10 0

,

en otro caso

Determine la probabilidad de que la muestra contenga por lo menos dos chips defectuosos.

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Pági na 5

Variable aleatoria continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo. Por ejemplo la estatura de una persona. Supongamos que se mide la estatura de personas adultas y representamos las medidas obtenidas en un histograma, se ha comprobado repetidamente en la práctica que, tomando más y más observaciones y haciendo clases cada vez más finas, el histograma tenderá a una curva suave que describirá el comportamiento (la estructura) de la variable estudiada. Esta función límite se llama funci ón de

densidad

Definición:

Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito de valores posibles asociados con intervalos reales, y hay una función f X ( x ) , llamada función de densidad de probabilidad, tal que: i)

ii) iii)

La función f X ( x ) > 0 ;

-

< x <

f X ( x )dx 1

f X ( x ) = 0 si x

Rec de X. b

Además: P(a < X < b) =

f ( x )dx x=a

P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) d

Se observa que : f X ( x ) =

dx

FX ( x )

x

y resulta que : F X ( x )

fX (t ) dt -

por lo tanto:

P(X > a) = 1 – P(X < a) = 1 – F(a) P(a < X < b) = F(b) – F(a)

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Pági na 6

Ejercicios I E jercicio I.1:

Sea la variable aleatoria “X = vida útil de un determinado tipo

de batería (en cientos de horas) " que tiene asociada la función de densidad de probabilidad siguiente:

f(x)=

a. b. c. d.

ke-0,5x

, x>0

o

,en o.c

Determine el valor de k. Resp. k = 0,5 Encuentre la probabilidad de que la vida util de una batería elegida al azar sea menor que 200 horas o mayor que 400 horas. Resp.: 0,76 7 Encuentre la función de distribución F(x) Determine la probabilidad de que una batería de este tipo dure más de 300 horas dado que ya ha estado en uso más de 200 horas. Resp.: 0,606

Ejercicio I.2: Supongamos que el tiempo de respuesta de una terminal conectada en línea es una v.a. X con la siguiente función de distribución: F(X) = 1- e-0,2x , x > 0 P(X

x)

x F(x) f(x)=

0,2e-0,2x

, x>0

o

,en o.c

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea mayor de 10 segundos? Solución: Utilizando F(X) (distribución acumulada)

P(X > 10) = 1 – P(X < 10) = 1 – F(10) = 1 - 1-e

Cecilia Larraín R


0,2 10)

e

2

0,135

Pági na 7

Solución: Utilizando f(x) (f. de densidad)

P(X > 10) =

0,2e x

0,2 x

0,135

dx

10

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10 segundos? Solución: Utilizando F(X) (distribución acumulada) P(5 X 10) = F(10) - F(5) = 1 e 0.2 10 1 e

0,2 5

0,233

Solución: Utilizando f(x) (f. de densidad) 10

P(5

X

10) =

0,2e

0,2 x

dx 0,233

x 5

c. Determine la probabilidad de que el tiempo de respuesta no supere 12 s

Medidas caracterís ticas de las variables aleatorias Las distribuciones de probabilidad son representaciones simbólicas de poblaciones y se puede determinar los parámetros como la media o esperanza (primer momento alrededor de origen), varianza, desviación estándar, percentiles. Los parámetros son medidas numéricas que resumen aspectos importantes de la variable aleatoria y nos va a facilitar a entender su comportamiento. Las medidas de resumen de una v.a. se clasifican como: Posición: Tendencia central: Esperanza, Mediana, Moda. Percentiles Dispersión: Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación Forma: Asimetría , cursosis

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Pági na 8

Medidas de POS ICIÓN X v. a. discreta con función de X v. a. continua con función de cuantía p(x) densidad f(x) ESPERANZA E(X) =

ESPERANZA

xi ·p(xi )

i

Observación: media E(X) ≡

E(X) =

xf(x)dx

xf(x)dx

≡

Rec X

μ primer momento alrededor del origen ≡

Ejemplo:

Ejemplo:

Una empresa fabrica unidades ópticas ara PC, ha detectado que el número de unidades defectuosas(X) por partida, se puede considerar una v.a. con función de distribución de probabilidad

La temperatura de encendido de un interruptor con control termostático, en un sistema de aire acondicionado, es considerada una variable aleatoria con la siguiente función de densidad dada por

X p(x)

0 0,54

1 0,18

2 0,15

3 0,08

4 0,05

El número esperado de unidades ópticas defectuosas por partida es

E(X) = i

xi ·p(xi ) = 0,92

x 1 f ( x )

118 0

61

E(X)= x

x 59

x

1

,

59

x

61 (°F)

, en otro caso dx

118

60,006

15,589

C

Propiedades de E(X) i) ii) iii) iv)

E(k) = k E(X + a) = E(X) + a E(bX) = bE(X) , E( a + bX) = a+ bE(X)

k cte. a cte. b cte. a, b ctes.

v) Si g(x) es cualquier función de X, entonces g(x)f(x),

x v.a discreta

Re cX

E(g(x)) g(x)f(x)dx,

x v.a. contínua

Re cX

Mediana: xm es es valor central del v.a. tal que P(X < xm) = P(X > x m) = 0,5

Moda: Es el valor de mayor cuantía p(x) si X es una v.a.d Es el valor de mayor densidad f(x) si X es una v.a.c Cecilia Larraín R


Pági na 9

Percentil: Es el valor xp tal que P(X < x p) = p o P(X > xp) = 1 - p La mediana es el percentil 50

Ejercicios II E jercicio II.1: La demanda diaria X de autos de un concesionario de la ciudad, viene dada por la siguiente función de probabilidad: kx p(x) =

si x = 1, 2

k(50 - x)

si x = 3, 4, 5

0

en o. c.

La v.a. X tiene un recorrido discreto

a. Determine el valor de la constante k b. Determine la demanda esperada c. Si la utilidad U de un concesionario en ($105) viene dada por: U = 3X + 2 determine la utilidad esperada. d. Sea g(x) = X2, determine E(g(x)) e. Determine la probabilidad de que en un determinado día se vendan por lo menos dos autos f. Determine la probabilidad de que en un determinado día se vendan a lo más tres autos. g. Determine e interprete el valor de P( X > 1 / X < 3)

Ejercicio II.2: El tiempo de activación X de los sensores fabricados por una empresa es una variable aleatoria con función de densidad: 2x f(x) =

2 (2 x ) 3 0

;0
0,5

; 0,5 < x < k

Un sensor se dice rápido si su tiempo de activación es inferior a 0,2 segundos y lento si su tiempo de activación es superior a 1 segundo. Se pide:

en otro caso La v.a. X tiene un recorrido continuo

a. Calcular el valor de k para que f(x) sea función de densidad Resp.: k = 2 seg b. Determine el tempo de activación esperado Resp: E (X) = 5/6 c. ¿Entre que valores (s) se encuentran el 50% de los sensores con mayor tiempo de activación. d. Determine la probabilidad de que un sensor sea rápido. e. De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 seg., ¿Qué porcentaje supera a su tiempo esperado? Resp. 18,056% (prob. condicional) 2 f. Sea h(x) = X , determine E(h(x)) g. ¿Cuál es el tiempo máximo de activación del 20% de los sensores con menos tiempo de activación? Solamente se pide el percentil 20 h. Se escogen al azar y en forma independiente dos sensores, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno sea lento?

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Pági na 10

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Varianza

V(X) o

σ

2

La varianza de una variable aleatoria X es la esperanza de las desviaciones cuadráticas a la esperanza o media, es decir V(X) = E (X - E(X))2

;

E(X) = μ

V(X) = E(X - μ)2 = E[X - E(X)]2 = E[X2 - 2XE(X)+E(X)2 ] = E(X2 ) - 2E(X)E(X) + [E(X)]2 = E(X2 ) - [E(X)]2

es más facil de calcular

Propiedades de la varianza: i) V(X) > 0 ii) V(k) = 0, k cte iii) V(bX) = = b 2V(X) iv) V(a + bX) = b 2V(X); a,b ctes.

Desviación estándar :

σ = V(X)

Coeficiente de variación: CV =

| E ( X ) |

Ejemplo : cálculo de varianza de una v.a. discreta El número de errores cometidos cada hora por individuo que registra datos en un terminal de un computador es una variable aleatoria representada por X y tiene la siguiente distribución de probabilidad: X p(x) P(X=x)

0

1

2

3

0,40

0,30

0,25

0,05

E(X) = µ = 0·0,40 + 1·0,30 + 2·0,25 +3·0,05 =0,95 error E(X2) = 02·0,40 + 12·0,30 + 22·0,25 +32·0,05 = 1,75 (error)2 V(X) = 1,75 – (0,95)2 = 0,8475 (error)2 σ = 0,9206 error ← desviación estándar o desviación típica

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Pági na 11

Ejemplo : cálculo de varianza de una v.a. continua La corriente medida en un conductor de cobre (en miliamperios) es una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por: 3 f(x) =

4

(2x - x 2 ) 0

2

E(X) =

x x 0

2

2

x 2

E(X ) =

x 0

3 4

(2 x

3 4

(2 x

; si 0

x

2

; en otro caso

x 2 ) dx 1 x 2 ) dx 1,2

V(X) = E(X2 ) - [E(X)]2 = 1,2 – 2 =0,2 (miliamperios)2

→

des. estándar σ = 0,4472 miliamperios

E jercicios III

E jercicio III.1.

La demanda diaria de libros de Estadística en una Facultad de Ingeniería es una v.a. que presenta la siguiente distribución de probabilidad: p(x) =

k

2x x! 0

; x= 0, 1, 2, 3, 4 ; en otro caso

Determine: a. El valor de k, para que p sea una verdadera función de probabilidad. b. La función de distribución F(x). c. La demanda media (esperada) diaria de libros. d. La probabilidad de que en un día cualquiera se soliciten al menos tres libros. e. La probabilidad de que en un día cualquiera la demanda sea inferior a dos libros.

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Pági na 12

E jercicios III.2 La temperatura (X) a que tiene lugar cierta reacción química es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad. 2(4 x ) 21 0

f(x)

1 x 2 o. c .

a. Encuentre la función de distribución de X. b. ¿Cuál es la temperatura esperada a que tiene lugar la reacción química? c. Determine la mediana de la temperatura, a la cual tiene lugar la reacción química. P( X < k) = 0,5: k = mediana o percentil 50

E jercicio III.3 El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor, en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad: 3 x 8

si

0

x 2

f(x) 0

en

o.c.

a. Si un cliente compró un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses ¿Cuál es la probabilidad que falle antes de 18 meses? b. Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da ciertas garantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por compresor?

E jercicio III.4 Una empresa fabrica tornillos según el departamento de control de calidad de la empresa, el numero de fallas superficiales en los tornillos (X) corresponde a una variable aleatoria con E(X) = 0,88. Además se sabe que la función de cuantía está dada por:

X p(x)

0

a

1 0,37

2 0,16

3

b

4 0,01

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo presente al menos 2 fallas? b. Calcule V(x), σX y C.V.

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Pági na 13

E jercicio III.5 El tiempo, en segundos, necesario para que un robot, dentro de una línea de producción, ensamble una pieza mecánica, es una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad dada por: 0 x2 F ( x )

P( X

18 x

x )

2 1

-1

,x

0

,0

x

3

,3

x

4

,4

x

Si el robot lleva ya más de segundo en el proceso ensamblaje. ¿Cuál es probabilidad de que termine ensamblar dicha pieza antes tiempo esperado? (debe

determinar Esperanza)

f(x)

para

un de la de del

calcular

E jercicio III.6 Una máquina fabrica cierta pieza cuya longitud (cm) es una variables aleatoria con la siguiente función de densidad: k(x - 1)(3 - x) ,

1< x<3

f(x) = 0

,

o. c.

a. ¿Cuál debe ser el valor de k para que f(x) sea una función de densidad? K=3/4 b. Si la longitud de una pieza mide entre 1,7 y 2,4 m. no se desecha. Calcular la

proporción de ejes que serán rechazados. c. Si se eligen al azar y en forma independiente 3 piezas fabricadas por la máquina, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una sea desechadas?

E jercicio III.7 Se supone que el n° de bacterias por mm3 de agua es un estanque es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad: e p( x ) =

0,5

(0,5) x x ! 0

; x = 0, 1, 2, 3,...,

E(X) = 0,5 V(X) = 0,5

en otro caso

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3. Resp.: 0,6065 b. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren por lo menos 5 bacterias por mm3 de agua. Resp.: 0,00017 c. Si se sabe que en un tubo hay bacterias, ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres bacterias por mm 3 de agua en dicho tubo. Resp.: 0,9634

Cecilia Larraín R


Pági na 14

E jercicio III.8 Sea X la variable aleatoria continua definida en el intervalo (0,1) y su función de densidad f(x) = 12x2(1-x); f(x) = 0 en otro caso 2 1,8 1,6 1,4 1,2

f(x)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

X

a. La esperanza de esta variable aleatoria es: E(X) =

1

xf ( x )dx

x 0

Re c

x 12 x 2 (1 x )dx

b. Moda: Es el valor de mayor densidad f(x).

= 0,6 = μ

Moda = 2/3

c. Mediana: Es el valor que deja a cada lado un 50% de la probabilidad. Es decir, es el valor x m tal que F(xm) = 0,5 o P(X < xm) = P(X > x m) = 0,5 x m x

0

12 x 2 (1

x )dx

0,5

xm =

La mediana es el percentil 50

d. Varianza: V(X) = E(X2) – [E(X)]2 =

1

x 2 12 x 2 (1 x )dx - (0,6)2

x 0

= 1/25

e. Determine E(1,2X +0,5) =

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Pági na 15

E jercicio III.8 Un grupo de investigadores interesados en estudiar el Río Usumacinta (Guatemala), encontró que la profundidad varía de un día a otro uniformemente entre 12 y 15 metros. a. Calcule la probabilidad de que en la siguiente medición se obtenga menos de 13 metros. b. ¿Cuál es la profundidad promedio del Río? c. Obtenga la desviación estándar para esta distribución

Dis tribución Uniforme La v.a. X tiene distribución uniforme en el intervalo [a,b ], si su función de densidad es Notación X ~ U[a,b] ) Función de densidad f(x)=

función de distribución

1 ;a x b b-a 0 ; en o.c.

0 x-a

F(X) = P(X

; x
;a b-a 1 ;x

x)

x
Esperanza y varianza de la v.a. X ~ U[a,b] E(X) =

Cecilia Larraín R

a+b 2

V(X) =

(b - a)2 12


Pági na 16

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 1er momento alrededor del origen: E(X) =

xi ·p(xi )

i do

2

2 momento alrededordel origen : E(X ) = i 2

x 2i ·p( Xi)

V(X) = E(X ) - [E(X)] = σ2

Varianza:

Desviación estandar:

2

σ= V(X)

MOME NTOS Y G E NE R A DOR A S DE MOME NTOS Los momentos de una variable aleatoria X son sus valores esperados

Definición El r-ésimo momento de X alrededor del origen o de cero es: E(Xr ) = xr i ·p(Xi ) ; X v.a. discreta i

Definición: Función generatriz de momentos MX(t) MX (t) = E(etx ) = i

etx i ·p(Xi ) ; X v.a. discreta

Teorema: Sea X una v.a. d r r

dt

Cecilia Larraín R

M X (t )

t 0

E(Xr )


Pági na 17

Taller 1 de variable aleatoria unidimensional

La vida útil, en meses , de cierto artículo electrónico se considera una variable aleatoria (X), con función de densidad:

1. Complete el cuadro siguiente: Esperanza

Momento orden 2

Varianza

Desviación Estándar

Coeficiente de variación

E(X)

E(X )

σ

σ

CV

2

2

2. S i un artículo lleva funcionando más del tiempo esperado , ¿Cuál es la probabilidad de que su vida útil sea inferior a 7 años?

3.

Determine entre qué valores se encuentra 5% de los artículos con menor vida útil.

4. Suponga que mediante nuevas tecnologías, la vida útil del artículo puede aumentar en un 20% , es decir, Y = 1,2X. Determine: E(Y), σ Y y la probabilidad de que la duración de un artículo supere 90 meses (con la nueva tecnología)

Cecilia Larraín R


Pági na 18

Taller 2 de variable aleatoria unidimensional

Ejercicio 1

Una máquina produce resistencias eléctricas cuyo contenido en cobre es una variable aleatoria con función de densidad f X ( x )

0,25

;3 < x <5

k(x-9)

;5

0

x<9

; en otro caso

a.

Determine el valor de k para que f(x) sea función de densidad.

b. c.

Calcule la P ( | X - µ | ≤ σ ), donde µ = E(X) y σ 2 = Var(X). Hallar e interpretar el valor FX(5) (FX(x) es la función de distribución o distrib. Acumulada)

d.

Si el calor que se produce al paso de la corriente es una variable aleatoria definida como Y = cX2 +100, determine el valor de c para que R: c =44 PY (Y < 1200) = 0,5.

e.

Una resistencia se considera defectuosa si produce menos de 804 grados o más de 2916. Sabiendo que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que produzca una temperatura inferior a 804 grados?

R: k =-1/16

R. 8/9

f.

Determine el calor esperado que se produce al paso de la corriente.

Ejercicio 2

En una empresa empacadora, la experiencia ha demostrado que el número de horas extras mensuales (X), que realiza un trabajador se puede considerar una variable aleatoria con función de probabilidad: x+2

p X (x)=

50 10 - x 20 0

si

x = 1; 2; 3; 4; 5

si

x = 6; 7; 8; 9

en

o. c.

a.

Calcule la probabilidad de que el número de horas extras mensuales que realiza un trabajador supere su valor medio esperado.

b.

Calcule la P ( | X - µ | ≤ σ ), donde µ = E(X) y σ 2 = Var(X).

c.

La empresa paga 2 u.m. por hora de trabajo normal, este valor se aumenta en un 75% si es hora extra y si trabajan más de 5 horas se otorga además una bonificación de 0,1 u.m. ¿Cuál es el monto esperado por trabajador a pagar por la empresa en un mes solo por concepto de horas extras? R. 18,25 UM

Cecilia Larraín R


Pági na 19

Variable Aleatoria Unidimensional

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