Variable Aleatoria

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Variable Aleatoria es una función que asocia un número real, perfectamente definido, a cada punto muestral. A veces las variables aleatorias (va) están ya implícitas en los puntos muestrales. Ejemplo 1: Sea el evento, la experiencia relacionada con la medición de la estatura de 100 individuos. Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un número (estatura). La va está implícita. Ejemplo 2: Sea el evento, lanzar una moneda 3 veces al aire. Si se representa la cara conc con c y el sello con s, entonces el espacio muestral será: Espacio Muestral = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8. Por ejemplo p(ccc p(ccc)) = 1/8, ya que la probabilidad de sacar cara en una tirada tirad a es 1/2 según la definición la definición clásica y las tiradas son independientes. Definimos la va X: número de caras, que puede tomar los valores {0, 1, 2, 3}. Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidad del suceso correspondiente.

x

Sucesos

px

0

{zzz}

1/8

1

{czz, zcz, zzc}

3/8

2

{ccz, czc, zcc}

3/8

3

{ccc}

1/8

En el caso de las variables discretas, como en el ejemplo, es una función que para cada valor de la variable da su probabilidad. Ejemplo 3. Sea el evento experimental, lanzar al aire 2 monedas. Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les. Dagoberto Salgado Horta

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S = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}, donde el primer elemento de cada par indica si se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda, y el segundo lo mismo con respecto a la segunda moneda. La probabilidad de cada punto muestral es entonces 1/4. Ahora bien, normalmente no estamos interesados en los puntos muestrales, sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales. Por Ej. Se podría estar interesado en el número de caras que hay en cada punto muestral. Si definimos una variable Xi como el número de caras en el punto muestral si, Xi tomará los valores X1 = 2, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 0. Por lo tanto, Xi es una variable aleatoria. Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades. Es una regla que asocia un número con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento. Por lo general, esta regla se simboliza por medio de las mayúsculas X, Y o Z.

Definición Una variable aleatoria aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. O también, Una Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad X se describe por una fórmula que enuncia la probabilidad como una función de x. Es decir, la distribución de X está especificada por la función revela la variable aleatoria de interés. El f x ( x )  P ( X  x ) . El subíndice de f x ( x ) subíndice se omitirá cuando no halla ninguna ninguna confusión sobre la probabilidad del resultado. Puesto que f x ( x ) está definida como una probabilidad, f x ( x ) es una función que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0, 1].

Definición La función f x ( x k )  P ( X  x k ), k  1, 2 ,3,...  que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1 ] recibe el nombre de fu nció nci ón de probabil idad.

Para una variable aleatoria

Dagoberto Salgado Horta

X , f x ( x )

satisface las siguientes propiedades:

Página 2

1 ..... f x ( x k )  P ( X  x k ) 2 .... f x ( x k )  0 ,...

3 ....

 f

x

Para todo x.

( x k )  1

x

Se ha esgrimido el término experimento estadístico para representar cualquier proceso a través del cual se generan diversas observaciones al azar. Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral, sino simplemente alguna descripción numérica del resultado. Por ejemplo, el espacio muestral que da una descripción detallada de cada uno de los resultados posibles de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones, pueden escribirse así: S = (Espacio Muestral) = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM} Si lo que interesa es sólo el número de hembras que alumbra la mujer, entonces se podría asignar un valor numérico de 0, 1, 2 ó 3 a cada uno de los puntos muestrales. Los números 0, 1, 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a través del resultado del experimento. Se podría pensar como los valores que toma alguna variable aleatoria X, que en este caso representa el número hembras que nacen cuando la la mujer tiene 3 alumbramientos.

Definición Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual número de elementos que números enteros, se le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto). A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es contable. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores. Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren, tales como el número de artículos defectuosos en una muestra de m de ellos o el número de accidentes en carreteras por año en un estado determinado.

Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32. El resultado de un experimento estadístico que puede no ser finito ni contable. Un ejemplo de este este paradigma ocurre cuando se produce una investigación para medir las distancias distancias Dagoberto Salgado Horta

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que recorre cierta marca de automóvil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina. Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier grado de precisión, entonces resulta claro que se tiene un número infinito de distancias posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al número de números enteros. Si se registrara también la cantidad de tiempo en que se efectúa el recorrido de la diferentes marcas, da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en número e incontables. Se observa con esto que no todos los espacios muestrales son necesariamente discretos.

Definición

Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades iguales al número de puntos que se encuentran en un segmento de línea, se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral continuo) . Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua. Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); la esperanza media de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años). Con frecuencia, los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo. Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automóvil puede recorrer, en un camino de prueba, con 5 litros de gasolina. En la mayoría de los problemas prácticos, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, tales como alturas, pesos, temperaturas, distancias o períodos de vida posibles. Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra, sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo, en un hospital para tratamiento del cáncer de pulmón no se tiene manera de saber con exactitud cuántos hombres van a ser atendidas en un día cualquiera. Si los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios, entonces ésta es una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria es discreta cuando únicamente puede tomar un determinado número de valores en un intervalo. Por ejemplo, la variable aleatoria N° de caras obtenidas al lanzar 2 monedas, es una variable aleatoria discreta en el intervalo (0,2). Solo puede tomar los valores 0, 1 y 2. Si el espacio muestral consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos, entonces una variable asociada con ese conjunto se le llama discreta; de otra manera, se le llama continua. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo. Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una línea marcada en el suelo. Supongamos que la distancia máxima a que puede caer la moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la línea). Si definimos una Dagoberto Salgado Horta

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variable aleatoria X que represente esa distancia, X puede tomar cualquier valor en el intervalo [0,1].

Distribuciones de Probabilidad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numéricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a través de una función matemática, se obtiene como resultado una distribución de probabilidad. La suma de las probabilidades para todos los resultados numéricos posibles debe ser Igual a 1.0. Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), lo cual implica que hay implícita una función matemática; mediante P(x = X), lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores específicos, o simplemente mediante P(X). Para una variable aleatoria discreta, se pueden enumerar todos los valores numéricos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes. Existen diversas distribuciones estándar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios. Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y, por lo tanto, las probabilidades que se determinan a través de una función matemática se ilustran en forma gráfica mediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. EJEMPLO 1. En la Tabla A se muestra el número de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automóviles, en un periodo de 50 días. En la última columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 días. En la última columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50 días, convertidas en probabilidad. Así, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente siete camionetas en un día elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o más es de 0.28 + 0.20 + 0.08 = 0.56.

Tabla B. Demanda diaria de arrendamiento de camionetas durante un periodo de 50 días. Demandas Posibles X

Número de Días

Probabilidad  P ( X ) 

3 4 5 6 7 8 TOTALES

3 7 12 14 10 4 50

0.06 0.14 0.24 0.28 0.20 0.08 1.00


Valor Ponderado  X . P ( X ) 

0.18 0.56 1.20 1.68 1.40 0.64 E ( X )

 5 .66 Página 5

Distribuciones de probabilidad para variables discretas Las variables aleatorias, son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, lo que se denomina distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidad logran representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad. En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces, la variable X, que representa el número de sellos, toma el valor 2 con una probabilidad de 3/8, puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara. Si se suponen arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo: Un empleado de un depósito le regresa, en forma aleatoria, tres herramientas de seguridad, previamente revisados, a tres obreros de un taller. Si Saúl, Jesús y Boris, en ese orden, reciben una de las tres herramientas, enumere los puntos muestrales para los órdenes posibles de devolución de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el número de agrupaciones correctas.

Solución.- Si S, J y B representan las herramientas de Saul, Jesús y Boris respectivamente, luego los arreglos posibles en los que podrían devolverse las herramientas y el número de agrupaciones correctas serán: b Espacio Muestral

3 SJB

1 SBJ

1 JSB

0 JBS

0 BSJ

1 BJS

La probabilidad de que ningún obrero reciba de nuevo la herramienta que tenía, es decir, la probabilidad de que B tome el valor de cero, es 1/3. Los posibles valores b de B y sus probabilidades están dados por

b

P(B = b)


0

1

3

1

1

1

3

2

6

Página 6

Obsérvese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1. Con frecuencia, resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable aleatoria X a través de una fórmula. Esta fórmula seria necesariamente función de los valores numéricos x, que se denotarán por f(x), g(x), r(x) y así sucesivamente. Por lo tanto, se escribe f(x) = P(X= x); es decir f ( 3)  P ( X  3) . Al conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se le denomina función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

Definición El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada posible resultado x, 1 .  f ( x ) 2. 



0.

 f ( x )  1 .

3 .  P ( X

 x ) 

f ( x ).

Ejemplo.- Un envió de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres defectuosas. Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras, localice la distribución de probabilidad para el número de computadoras imperfectas. Solución.- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los números posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante. Luego, x puede se cualquiera de los números 0, 1 y 2. Entonces:  3   5   3   5        10 0 2      1   1  15 f ( 0 )  P ( X  0 )  ,.. f (1)  P ( X  1)  ,..   8 8 28 28          2   2 

.f ( 2 )  P ( X  2 ) 

 3   5      2   0   8     2 



3 28

Por lo tanto, la distribución de probabilidad de X es: Dagoberto Salgado Horta

Página 7

x f(x)

0

1

2

10

15

3

28

28

28

Ejemplo: Analice la variable aleatoria X, como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral es el conjunto {CC , CS , SC , SS } y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0, 1 y 2. Calculando las probabilidades tenemos:

P (de no observar caras) P (de observar una cara) P (de observar dos caras)

=

P = P (SS ) (X =0) = = P (SC o CS ) = P (X =1) = = P = P (CC ) (X =2) =

¼ /4 ¼

Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro:

X P (X =x )

0 ¼

1 /4

2 ¼

Se alcanzará explicar por qué se usa el nombre "distribución de probabilidad". Con esta información se puede construir un histograma como el siguiente:


Página 8

Problema Se Lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8?

SOLUCIÓN: Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento, con treinta y seis posibles resultados, se presentan a continuación:

Tabla 1. Espacio muestral resultante al lanzar dos dados

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Como nos interesa la suma de los puntos observados, si obtenemos el resultado (3, 5) le asignamos el valor 8, correspondiente a la suma de 3 y 5. Podemos calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8, contando todos los resultados donde la suma es ocho. El evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados: {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}; por lo tanto la probabilidad deseada es 5/36. Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2.

Tabla 2. Distribución de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados.

Sumas Probabilidades

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

5

36

36

36

36

36

36

36

9

10

11

12

4

3

2

1

36

36

36

36

Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar dos dados. Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se Dagoberto Salgado Horta

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observará en el dado verde, podemos expresar el valor que nos interesa así: X = R + V. Antes de lanzar los dados no sabemos qué valores observaremos para R y V, por lo tanto tampoco lo sabemos para X. El valor que asumirá X puede variar de lanzada en lanzada, sujeto a la distribución especificada en la tabla de arriba. Así X es una variable, que asume un número finito de valores sujeto a una distribución de probabilidad. Este es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. Otros ejemplos son las variables R y V. En general, si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P, definimos una variable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno de los elementos de S. Interpretamos, por ejemplo X = 8 como el evento de que se observó el resultado 8 al lanzar los dos dados, es decir el evento {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)} ocurrió. También asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento. Así vemos que P(X = 8) = P({ (2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}) = 5/36= 0.14. Es usual denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que puede asumir por letras minúsculas. En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles. Cualquier variable que pueda asumir un número finito de valores decimos es una variable aleatoria discreta. También son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un número muy grande o infinito de valores que potencialmente podrían ser contados, tal como el número de habitantes del planeta, el número de granos de maíz producidos en el planeta en una fecha determinada, el número de los árboles de un país. En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X, le asignamos un número correspondiente a su probabilidad. Así podemos definir otra función: f(x) = P(X = x), para cada número x en el campo de valores de la variable X. Esta función se llama la función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable X. Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados, los valores de esta función están dados en la Tabla 2, la cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados.

Tabla 3. Distribución de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados. x f ( x )

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero. Esto se debe a que f(x) representa una probabilidad, la cual nunca puede ser menor de cero. De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1. Si sumamos todos lo valores que puede tener f(x) obtenemos 1, debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los Dagoberto Salgado Horta

Página 10

valores establecidos. Por su definición, la función de probabilidad tiene las siguientes características:

1. 2.

f ( x )  0

para todo valor x en su dominio.

 f ( x )  1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio x

de f . Los valores de la función de probabilidad se pueden representar en una gráfica como la siguiente:

Diagrama de la distribucion de probabilidad de la suma de dos dados

0,18 0,16 0,14 0,12

s e d a d 0,1 i l i b a b 0,08 o r P

0,06 0,04 0,02 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sumas de dos dados

La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable aleatoria, digamos X = 3 está dado por la altura de la barra sobre el 3, es decir, P(X = 3) = 2/36 = 0.056. De igual manera, en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad, Dagoberto Salgado Horta

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podemos ver que el área de la barra sobre el 3 es 2/36  1 = 2/36 = 0.056 ya que la altura de la barra es 2/36 y su ancho es 1. Usar el área de las barras para representar la probabilidad es muy útil para extender la noción de probabilidad a otras variables. Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X  4). Vemos que P(X  4) = P(X =2 ó X =3 ó X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) , ya que los eventos donde X = 2, X = 3 y X = 4 son disjuntos. Entonces P(X  4) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36, sumando las áreas de la barras que están sobre el 4 y a su izquierda. Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades, ya que P(X  4) = 6/36, mientras que P(X< 4) = 3/26. Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otra función partiendo de la distribución de probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, definimos la función de distribución de X o función de distribución acumulativa de X de la siguiente manera:

f ( x )

 p ( X i  x ) 

 f ( x ),.. Para ....  
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos, y que posteriormente, al hablar de las distribuciones de variables continuas, se repetirán de manera muy similar: a) Todos los valores de la distribución son mayores o iguales que cero, y además son menores o iguales que uno.

0 ≤ P (X =x ) ≤ 1.

b) La suma de todas las probabilidades de la distribución es la unidad. Esta demostración es para mostrar que la distribución probabilística binomial cumple con tales propiedades.

 f ( x )  P ( X = x) = 1. De donde se puede afirmar que: la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad. Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad, pero en la realidad esto no ocurre, es decir, que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones. Se puede observar que en ningún caso las combinaciones toma valores Dagoberto Salgado Horta

Página 12

negativos, y como p y q son positivos o cero, entonces todos los valores de la distribución probabilística son positivos o cero. Precisamente esto conlleva a modelos teóricos que estiman los resultados, y los principales, son los que a continuación se exhiben:

Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas Uniforme. Es la distribución donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad. Por ejemplo: tirar un dado, donde la función P ( X = x)= 1/6 para valores de x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Binomial. Es la que manipula la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito constante y con ensayos independientes. Geométrica. Es la distribución de la probabilidad de realizar cierto número de experimentos antes de obtener un éxito. Hipergeométrica. Es similar a la binomial, pero con un tamaño de muestra grande en relación al tamaño de la población. De Poisson. Es la distribución de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo, un espacio o un lugar. La que más nos interesará de estas será la distribución binomial que explicaremos posteriormente.

Media y desviación estándar de una distribución de probabilidad para variables discretas En una distribución de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media, utilizando la fórmula, como







 X



 xf , donde, ( n

f n



) es la media de la población, la cual puede expresarse

.

Considerando la definición de probabilidad de un evento, P ( X ) es el cociente de la frecuencia entre el número total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia), por lo que la media de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:



 x . P ( x )


Página 13

Por ejemplo: Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de monedas. Es decir, X tal que su distribución de probabilidad sea:

X P (X =x )

0 ¼

1 /4

2 ¼

Entonces, para calcular su media (  ) se realiza la siguiente operación:

2



  xP ( x )  x  0

0.

1

 1.

4

1



2

Análogamente, la

2.

1

1

4

varianza se definió como



2

 f ( x   n

 )

2

, y haciendo un

procedimiento semejante al anterior se tiene:

2 



( x

  ) 2

f n

Finalmente, la varianza de una distribución de probabilidad de una variable discreta será:

Entonces, la desviación estándar de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:



 ( x   ) P ( x ) 2


Página 14

Por ejemplo: Considerando la misma distribución de probabilidad del ejemplo anterior, su desviación estándar se calcula:



( 0

 1 ) 2

1

 ( 1  1 ) 2

4

1 2

 ( 2  1 ) 2

1 4



1.

1 4

1

1

2

4

 0.  1.



1 4



1 4



1 2



2

.

2

ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Valor esperado de una variable aleatoria discreta Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (  x ), para identificar el valor central de la variable aleatoria. La función de probabilidad de X puede interpretarse como la proporción de ensayos en los que X = x. En consecuencia, no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al f x ( x )  P ( X  x ) . resultado x un factor de ponderación La media aleatoria.

(  x ) de

una distribución de probabilidad es el valor esperado de su variable

El valor esperado o Esperanza Matemática de una variable aleatoria discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados. Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente P ( X i ) y después sumando los productos resultantes. Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X, representada como E ( X ) , se puede expresar con la siguiente formula matemática:

N

 x

 E ( X ) 

 X P ( X ) , donde: i

i

i 1


Página 15

X = Variable aleatoria de Interés. Xi = Resultado i de X. P ( X i )

 Probabilidad de ocurrencia del evento i de X.

i= 1, 2, 3, ....,N.

También, se puede decir que: La media, Esperanza Matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta X,  x o expresada por E ( X ), es:

 x

 E ( X ) 

 xf ( x ) o x

N

 x

 E ( X ) 

x

 X P ( X ) . i

i

i 1

La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X. Esto es, si se coloca una masa igual a f x ( x ) en cada punto x de la recta real, entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio. Por consiguiente, el término función de probabilidad puede interpretarse mediante esta analogía con la mecánica.

Media de una variable aleatoria Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el número de caras que ocurren por lanzamiento, entonces los valores d e X pueden ser 0, 1 y 2. Supóngase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces, una cara 7 veces y dos caras 5 veces. El promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces

( 0 )( 4 )



(1)( 7 )



( 2 )( 5 )

 1 . 06 .

16

Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento. Por ejemplo, el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales. Reestructúrese ahora el cálculo para el número promedio de caras resultantes, de modo que tenga la siguiente forma equivalente Dagoberto Salgado Horta

Página 16

 4   7   5    1    2    1 . 06 .  16   16   16 

0 

Los números 4/16, 7/16 y 5/16 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0, 1 y 2 caras, respectivamente. Estas fracciones son también las frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento. En efecto, se puede calcular entonces la media o el promedio de un conjunto de datos, si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas, sin conocimiento alguno del número total de observaciones en el conjunto de datos. Por consiguiente, si 4/16 ó 1/4 de los lanzamientos resultan 0 caras; 7/16, una cara; y 5/16, dos caras, el número medio de caras por lanzamiento seria 1.06, sin importar que el número total de lanzamientos sea de 16, 1 000 o aun de 10 000. Utilícese ahora este método de las frecuencias relativas para calcular a la larga el número promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podría esperarse. Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la distribución de probabilidad de X, y se representa como  x , o simplemente como  , cuando esté claro de que variable aleatoria se trata. También es común entre los estadísticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemática, o bien como valor esperado de la variable X, y representarla como E(X).

Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales, se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es S = {CC, CS, SC, SS} Donde es C cara y S sello. Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables, se deduce que P(X = 0) = P(SS) =

1 . 4

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = P(X = 2) = P(HH) =

1

4

.

1 . 4


Página 17

Donde un elemento, por ejemplo, SC , indica que de la primera tirada resultó Sello, seguida de una cara en la segunda tirada. Ahora bien, estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados. Por consiguiente,



 1   1   1   E ( X )  0    1    2    1 . 0 .  4   2   4 

Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez, logrará en promedio 1 cara por tirada. EL método descrito para calcular el número esperado de caras en cada tirada de 2 monedas, indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores x 1 , x 2 ,..., x n , de la variable aleatoria X por su probabilidad correspondiente f ( x1 ), f ( x 2 ),....., f ( x n ), y sumando luego los resultados. Sin embargo, esto se verifica sólo si la variable aleatoria es discreta. En el caso de variables aleatorias continuas, la definición del valor esperado es en esencia la misma, sólo que las sumatorias se reemplazan por integrales.

Ejemplo. Determine el número esperado de químicos en un comité de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos. Solución. Se considera que X representa el número de químicos en el comité. La distribución de probabilidad de X está dada por

 4   3      x   3  x  f ( x )  , para  7     3 

x = x = 0, 1, 2, 3.

Aplicando la formula se calculan los diferentes


f ( x i )

así:

Página 18

f ( 0 )

 4   3      0   3  0     7     3 

1

;.. f (1)

35

 4   3      1   3 1     7     3 

12

;.. f ( 2 )

35

 4   3      2   3  2     7     3 

18

,.. f ( 3 )

35

 4   3      3   3  3     7     3 

4 35

Los cálculos obtenidos son:

f(0) = 1/35, f(l) = 12/35, f(2) = 18/35, y f(3) = 4/35. Entonces, 

 1   12   18   4   E ( X )  0    1    2    3     35   35   35   35 

60 35



12

 1 . 70 .

7

Por lo tanto, si se selecciona al azar una y otra vez un comité de 3 miembros a partir de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos, el mismo contendría en promedio 1.7 químicos.

Ejemplo. En un juego de azar de un casino, se le paga a una persona 5 dólares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos, mientras mientras que esta persona deberá pagar 3 dólares si obtiene sólo una o dos caras. ¿Cuál es la ganancia esperada de jugador?

Solución. El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultánea, o en forma equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara, S = sello), es

S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS }. Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es es igualmente posibles y ocurre con una probabilidad igual a 1/8. Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S), así:

P ( CCS CCS )

 1   1   1   P ( C ) P ( C ) P ( S )          2   2   2 

1 8

. Recuerde

que la probabilidad de salir cara es

igual ala de salir sello, sello, es decir, ½.

La variable aleatoria de interés es X, que es la la cantidad que el jugador puede ganar; y los CCC , SSS  y - 3 $ si ocurre el valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento E 1  CCC


Página 19

CCS , CSC , SCC ; CSS , SCS SCS , SSC  .Si se observa que E1 y E2 se presentan con evento E 2  CCS probabilidad de ¼ y ¾ , respectivamente, se concluye que



 1   3   E ( X )  5      3     1 .  4   4 

Por lo tanto en este juego el apostador, en promedio, perderá 1 $ al lanzar las 3 monedas. Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin perdida o ganancia. Por lo tanto, un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia esperada de cero, es decir,   0 . Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo, en una clínica para tratamiento del cáncer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuántas mujeres van a ser atendidas en un día cualquiera. De modo que el número de pacientes del día siguiente es una variable aleatoria. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio. Si los registros diarios de la clínica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios, entonces ésta es una variable aleatoria discreta. En la tabla B se ilustra el número de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los últimos l00 días. Observe que en la tabla aparece una distribución de frecuencias. Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 días es un comportamiento típico, podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada número posible de pacientes y encontrar una distribución de probabilidad. Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalización de la distribución de frecuencias observadas (en este caso, dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias fi) (fi) de la tabla B , el número total de días en que se tomaron los registros (número atendido). La distribución de probabilidad para la variable aleatoria “número de atenciones diarias” se presenta de

manera gráfica en la figura I. Note que la distribución de probabilidad para una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1. De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza matemática que es simplemente la multiplicación de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores. En la tabla tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen. Además, tanto la tabla B como la figura I nos dan información acerca de la frecuencia de presentación a la larga del número de pacientes atendidos diariamente que esperaríamos observar si este “experimento” aleatorio se

efectuara de nuevo.

TABLA B Dagoberto Salgado Horta

Página 20

NÚMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DÍAS EN UNA CLÍNICA PARA LA ATENCIÓN DE CÁNCER DE MAMA.

Valores posibles de la Variable Aleatoria.

Número de días que se observa este nivel (fi ).

Probabilidad de que la variable aleatoria tome estos valores.

Esperanza Matemática. (1)x(3)

(1) 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 110 112 113 114 115 TOTALES

(2) 1 2 3 5 6 7 9 10 12 11 9 8 6 5 4 2 100

(3) 0.01 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.09 0.10 0.12 0.11 0.09 0.08 0.06 0.05 0.04 0.02

1.00 2.02 3.06 5.15 6.24 7.35 9.54 10.70 12.96 11.99 9.90 8.88 6.72 5.65 4.56 2.30 108.02

El valor esperado de la variable aleatoria “número diario de mujeres atendidas en una clinica”, es igual 108.02.


Página 21

G r a f ic a co r r e s p o n d i e n t e a l a d i s t r i b u c i o n d e probabilidad para la variable aleatoria discreta, 0,14

" n ú m e r o d i a r i o d e p a c ie n t e s a t e n d i d o s e n u n a c li n ic a "

0,12

0, 1 D A D I L I

B A B O R P

0,08

0,06

0,04

0,02

0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

N ú m e r o s d i a r io s d e m u j e r e s a t e n d i d a s

Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 años de edad viva otros 33 años, esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer de 45 años siga viviendo hasta cumplir los 78 años y muera al día siguiente. En lo concerniente a esa afirmación, ciertas mujeres de 45 años vivirán 12 años más, otras sobrevivirán 25 años, otras vivirán 38 años más, . . . , y la expectativa de vida de “33 años más” se debe interpretar como una especie de promedio particular, llamado valor esperado o esperanza matemática. Originalmente, el concepto de la esperanza matemática apareció en relación con juegos de azar y, en su forma más simple, se determina con el producto de la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad.

EJEMPLO ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si apostamos para ganar 500 pesos, si y sólo si sale cara, al lanzar al aire una moneda equilibrada? SOLUCIÓN: La moneda está equilibrada, de manera que la probabilidad de que salga cara es ½, entonces nuestra esperanza matemática es 500x0.5 = 250 pesos. EJEMPLO ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa, en la que se ofrece como premio un televisor a color, que vale 480000 pesos? Dagoberto Salgado Horta

Página 22

1

Solución: La probabilidad de que nos ganemos el televisor es

1000

, entonces nuestra

esperanza matemática es 480000x

1

480000



1000



, es decir, 480 pesos. Por lo tanto, en un sentido

480

1000

estrictamente monetario, seria irracional pagar más de 480 pesos por el boleto.

PROBLEMA. Sean 0.24, 0.35, 0.29 y 0.12 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un año un lote subdividido, con las respectivas ganancias de Bs.1250000, Bs. 800000 o de Bs. 100000 o con una pérdida de Bs. 250000. ¿Cuál es la utilidad o ganancia esperada? SOLUCIÓN: Si se sustituye

x1

 1250000

P 1



,... x 2

0 . 24 ,.. P 2





800000 ,.. x 3

0 . 35 ,.. P 3



 100000

0 . 25 .. y .. P 4



,.. x 4

  250000

,..

.

0 . 12

Si ahora se aplica la formula matemática para la obtención de la Esperanza Matemática se tiene: N

 x

 E ( X ) 

 X P ( X ) . i

i

i 1

E  125000 ( 0 . 24

 80000

( 0 . 35 )

 10000

( 0 . 29 )

 25000

( 0 . 12 )



Bs . 579000

.

Este

resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs. Con su usura.

PROBLEMA. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es

x

f ( x )

 3   1   3         x   4   4 


3  x

, x



0

,1, 2, 3. Encuentre la esperanza matemática. Página 23

Solución:

0

f ( 0 )

3

f ( 3 )

3

 3   1   3          0   4   4 

27

,... f (1)

64

0

 3   1   3          3   4   4 

2

 3   1   3         1   4   4 

27

2

,.. f ( 2 )

64

 3   1   3          2   4   4 

9 64

1 64

Con estos datos se puede formar la siguiente distribución de probabilidad:

0

x

27

1 27

64

f ( x )

2 9

3 1

64

64

64

N

Aplicando la siguiente formula :

 x

 E ( X ) 

 X P ( X ) . Se tiene: i

i

i 1

E

 27   27   9   1   0    1    2    3     64   64   64   64 

27

 ( 2 ) 9  ( 3 )1 64



48 64



3



0 . 75 .

4

Luego la esperanza matemática buscada es de 0.75.

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL El nombre que recibe esta distribución se debe a la similitud existente entre la distribución de las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3,…..elementos considerados como “éxito” de una muestra de tamaño n, y los términos sucesivos del desarrollo binomial ( p  q ) n , donde p expresa la probabilidad de éxito de un solo ensayo (situación experimental), y q es la probabilidad de “fracaso” (tal que, p + q = 1). En este caso, éxito significa encontrarse con cierta clase de evento, mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho evento. En esta guía se hará un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio Dagoberto Salgado Horta

Página 24

de Newton. El teorema del binomio, o Binomio de Newton por haber sido éste quien propuso el método general para su desarrollo, es un binomio elevado a una potencia n, que en su caso más simple es un número natural. En términos generales, el teorema del binomio establece que para tiene que:

( a

 b )

n

 n  n  n  n 1  n  n 1  n  n    a    a b  ....    ab   b   0   1   n 1   n 

 a, bR y nN,

se

n

 n  n  i i  a b . i 1  i 



Para el caso concreto de esta guía, se cambiará la notación y se utilizará la propiedad de conmutatividad de los números reales:

La probabilidad

P x

de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta

dada por la ecuación:

P x

 n  x n  x .    . p q  x 

La probabilidad P x de que un evento se presente POR LO MENOS intentos esta expresada por la ecuación: x  n

x  x

 P   x

x  x



x  x



x



veces en n

 n  x n  x   . p q .  x 


Página 25

TRIÁNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triángulo de Pascal. Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en donde después del 1 esta el exponente del binomio. Ejemplo: Los coeficientes del desarrollo del binomio ( a  b ) 5 son aquellos números que se encuentran en la fila horizontal, del triángulo de Pascal, en donde después del 1 esta el 5, es decir, 1, 5, 10, 10, 5, 1. De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio. El triángulo se forma de la siguiente manera: En la primera fila horizontal se coloca 1. En la segunda fila se coloca 1 y 1. Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada número posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer número con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero con el cuarto, cuarto con el quinto, el quinto con el sexto y así sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada, recuerde que el ultimo número de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triángulo).

1 1 1 1

1 1 1 1

8

10

28 36

45

6

15 21

1 3

10

6 7

9

4 5

1

2 3

1 1

1 4 10 20

35 56

1 5 15

35 70

1 1 6 21

56

1 7

28

1 8

1

84 126 126 84 36 9 1 120 210 252 210 120 45 10 1

Ejemplo: Sean los binomios triángulo de Pascal:


( 2 x

 3 y ) 5 y

( x

 y ) 5 , desarrolle los mismos aplicando el

Página 26

( 2 x

 3 y ) 5  ( 2 x ) 5  5( 2 x ) 4 3 y  10 ( 2 x ) 3 ( 3 y ) 2  10 ( 2 x ) 2 ( 3 y ) 3  5( 2 x )( 3 y ) 4  ( 3 y ) 5 

( 2 x

 3 y ) 5  32 x 5  240 x 4 y  720 x 3 y 2  1080 x 2 y 3  810 xy 4  243 y 5 .

( x

 y ) 6  x 6  6 x 5 y  15 x 4 y 2  20 x 3 y 3  15 x 2 y 4  5 xy 5  y 6 .

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1.- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos. 2.- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso. Cuando es éxito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0. 3.- La probabilidad de éxito, designada por p, permanece constante de un ensayo a otro. 4.- Los ensayos son independientes.

EJEMPLOS 1: La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas). Al haber únicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: A la probabilidad de éxito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" Verificándose que:

p + q = 1. EJEMPLOS 2: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5. Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5.

p + q = 0,5 + 0,5 = 1. Ejemplo 3: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Dagoberto Salgado Horta

Página 27

Probabilidad de ser admitido: p = 0,25. Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75.

p + q = 0,25 + 0,75 = 1.

Ejemplo 4: Probabilidad de acertar un número de lotería de 100000: Probabilidad de acertar: p = 0,00001. Probabilidad de no acertar: q = 0,99999.

p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1. Considérense los siguientes experimentos y variables aleatorias 1. Lanzar una moneda diez veces. Sea X = número de caras obtenidas. 2. IJna máquina herramienta desgastada produce 1 % ¡de partes defectuosas. Sea X = número de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan. 3.

L a posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es 10%. Sea X

= número de muestras de aire que contienen la molécula rara en las siguientes 18 muestras por analizar. 4. De todos los bits transmitidos por un canal de transmisión digital, el 10 % se reciben con error. Sea X = número de bits con error en los siguientes cinco por transmitir. 5. Un examen de opción múltiple contiene diez preguntas, cada una con cuatro opciones, y se pide a una persona que adivine las respuestas. Sea X = número de respuestas contestadas de manera correcta. 6.

De los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = número de niñas.

7. De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular, el 35 % experimenta una mejora con cierto medicamento. Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administrará el medicamento, sea X = número de pacientes que experimentan mejoría. Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya estos experimentos como casos particulares. Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos; 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1), la producción de 25 partes en el experimento (2) y así sucesivamente. En cada caso, la Dagoberto Salgado Horta

Página 28

variable aleatoria es el conteo del número de ensayos que cumplen con un criterio específico. Con esto, el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no; en consecuencia, cada ensayo puede resumirse como un éxito o un fracaso, respectivamente. Por ejemplo, en el experimento de opción múltiple, para cada una de las preguntas, sólo la opción que es correcta es la que se considera como un éxito. La selección de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso. Los términos éxito y fracaso son solo etiquetas. También pueden utilizarse para este fin “A” “B” o “0” y "1". Por desgracia, en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engañosas. En el experimento (2), dado que X es el número de partes defectuosas, la producción de éstas es un éxito. A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes. Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo. En el experimento (2), la hipótesis de ensayos independientes implica saber que la parte número 5 es defectuosa, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demás partes sea defectuosa. Asimismo, a menudo es razonable suponer que la probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. En el experimento de opción múltiple [experimento (5)], si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ningún conocimiento del tema y sólo adivina la respuesta de cada pregunta, entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 1/4.

PROBLEMA VA : Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artículos de un proceso manufacturado, si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos, es decir, normales(N). Un artículo defectuoso se considerara como un éxito. El número de éxitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3. Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son: Resultados NNN x 0

NDN

1

NND

1

DNN

1

NDD

2

DND

2

DDN

2

DDD

3

Los artículos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 % de artículos defectuosos, entonces la probabilidad de selección es

P ( NDN )

 P ( N ) P ( D ) P ( N ) 

3 4  1 4 3 4   9 64 .

El número X de éxitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribución binomial y sus valores serán designados por b( x, n, p), ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de éxitos en un ensayo Dagoberto Salgado Horta

Página 29

determinado. Por lo tanto, para la distribución de probabilidad de X, el número de defectos en el problema antes planteado es P ( X

 x ) 

f ( x )  b ( x .;.. n ;.. p ),

Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemática para b(x, n, p), que proporcione la probabilidad de x éxitos en n ensayos en el caso de un experimento binomial. Primeramente se considerará la probabilidad de x éxitos y de n – x fracasos en un orden especificado. Tomando en cuenta que los ensayos son independientes, se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados. Cada éxito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. En consecuencia, la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es x n  x . Se debe determinar ahora el número total de puntos maestrales en el experimento p q que tiene x éxitos y n – x fracasos. Este número es igual al número de particiones de n resultados en dos grupos, con x en un grupo y n – x en el otro, el cual esta determinado n!  n  por    C ( n , x )  C xn = (n! se lee factorial de n, donde por definición factorial  x ! ( n x )! x  

de cero es igual 1). Como esas particiones son mutuamente excluyentes, se suman las probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se multiplica

x

p q

n  x

 n  por   .  x 

DEFINICIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si un ensayo binomial puede resultar en un éxito con probabilidad p y en un fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces en la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es

 n  x n  x b ( x , n , p )  f ( x )    . p q ,.... x   x 

0 ,1 ,2 ,3 ......, n

Esta es la formula de la distribución de probabilidad para eventos binomiales. Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =1/4, la distribución de probabilidad de X, el número de defectos, se puede expresar así:


Página 30

1   b  x ,3 ,   4  

x

 3   1   3  f ( x )         x   4   4 

3  x

, x



0 ,1 ,2 ,3 .

Aplicando Esta formula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento así: 0

3

 3   1   3  f ( 0 )          0   4   4  2

27 64

1

 3   1   3  f ( 2 )          2   4   4 

9 64

1

2

 3   1   3  ..., f ( 1 )          1   4   4  3

27 64

0

 3   1   3  ..., f ( 3 )          3   4   4 

1 64

La distribución de probabilidad del problema Va es:

0

x f ( x )

f ( x ) 27

1

2

27

64

64

9

3 1

64

64

EJEMPLO: La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital, es 0,1. Además, supóngase que los ensayos de transmisión son independientes. Sea X = número de bits recibidos con error en los próximos cuatro que serán transmitidos. Calcule el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cada resultado. Calcúlese también, P(X = 2). En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bit sin error, esto es, recibido correctamente. Con esto, el espacio muestral de este experimento puede describirse como una lista de cuatro letras que indican qué bits fueron recibidos con y sin error. Por ejemplo, el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente. Por consiguiente, el espacio muestral es:

Resultado CCCC CCCE CCEC CCEE CECC Dagoberto Salgado Horta

x

0 1 1 2 1

Resultado ECCC ECCE ECEC ECEE EECC

x

1 2 2 3 2 Página 31

CECE CEEC CEEE

2 2 3

EECE EEEC EEEE

3 3 4

El evento en que X = 2 está formado por seis resultados: S = {EECC, ECEC, ECCE, CEEC, CECE, CCEE} Si se hace uso de la hipótesis de que los ensayos son independientes, entonces la probabilidad de {EECC} es P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (0.1)2(0.9)2 = 0.0081 Por otra parte, la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2, es la misma. Por consiguiente:

P(X = 2) = 6(0.0081) = 0.0486

En general,

P(X = x) =f(x)= ( número de resultados con x errores) multiplicados por (0.1) x (0.9)4-x

Para ultimar una fórmula general de probabilidad, únicamente es preciso una expresión para el número de resultados que contienen x errores. Puede construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos. El tamaño de uno de los grupos es x y contiene los errores, mientras que el tamaño del otro grupo es n-x y está formado por los ensayos donde no hay errores. Tomando en cuenta la ecuación de Combinación, el número de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos, uno de los cuales tiene tamaño x, es:

4!  4  . Por tanto, en este ejemplo,    x ! ( n x )!  x 


Página 32

 x ) 

f ( x )

P ( X

 4    ( 0 . 1 ) x ( 0 . 9 ) 4  x  P ( X   x   2 )  f ( 2 )  6( 0 . 01 )( 0 . 81 )  0 . 0486 .

P ( X



f ( 2 )

P ( X

2 )





2 )



f ( 2 )

 4    ( 0 . 1 ) 2 ( 0 . 9 ) 4  2   2 

0 . 0486 .

Otros ejemplo: Los siguientes son ensayos Binomiales: Un tornillo, puede estar defectuoso o no defectuoso. El sexo de un bebé al nacer puede ser: niño o niña. Las respuestas en una prueba determinada puden ser: correcta o incorrecta. Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como características: 1. La probabilidad de éxito permanece constante, ensayo tras ensayo; y 2. Los ensayos son independientes entre sí; Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial, donde el número de ensayos se denota con n , la probabilidad de éxito con p y la de fracaso con q . Hay que notar que las probabilidades de éxito y de fracaso están relacionadas de la siguiente manera: p + q =1.

Por ejemplo: Consideremos un examen con tres preguntas de opción múltiple, con cuatro opciones, y que será contestado al azar. Podemos utilizar el siguiente ejemplo:

1.- Las flores de la cayena son de color: a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas 2.- Don Cristóbal Colon descubrió a Colombia en: a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792 3.- El significado de la palabra planta es: a) hoja b) árbol c) flor d) fruto Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial, ya que la probabilidad de éxito permanece constante en las tres preguntas (p = ¼) y las respuestas de Dagoberto Salgado Horta

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una a otra pregunta son independientes entre sí. Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 – p = 3/4. Hay que decir que n y p son los llamados parámetros de la distribución. Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representará el número de respuestas correctas, siendo sus posibles valores: 0, 1, 2, y 3. Para calcular la distribución de probabilidad correspondiente, consideraremos como E los éxitos y como F los fracasos (el subíndice indica el número de pregunta). Así pues, se tiene que:

/256 =

3·(3/4)2·(1/4)1

=

[(E1  P

=

81

P (X =2)

=

[(E1  P

=

9

(X =3) P

=

F2  F3)  (F1  E2  F3)   (F1  F2  E3)]

E2  F3)  (E1  F2  E3)   (F1  E2  E3)] P (E1



E2



E3)

=

(E1)·P (E2)·P (E3) P

=

1·(3/4)3·(1/4)0

P (X =1)

F2  F3)

P (F1)·P (F2)·P (F3)

=

=

(F1  P

=

(3/4)3 = 27 /64

P (X =0)

=

/64

=

3·(3/4)1·(1/4)2

(1/4)3 = 1/64

=

1·(3/4)0·(1/4)3

Al presentar esta información como tabla, su respectivo histograma seria el siguiente:

X

P (X =x )

0

0.422

1

0.422

2

0.141

3

0.016


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EJEMPLO: Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las políticas familiares de consumo, establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra de un automóvil nuevo, en lo referente a la marca, en 70 % de las familias. Suponga que 4 familias han decidido comprar un automóvil nuevo. a .- ¿Cuál es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza una influencia decisiva en la selección de la marca del automóvil a comprar? b .- ¿Cuál es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la selección de la marca del automóvil en por lo menos 2 de las 4 familias?

c.- ¿Cuál es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automóvil en las 4 familias?

SOLUCIÓN: Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente y que p permanece constante de una familia a otra, por lo tanto, n = 4, y p = 0.7. Sea x el número de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la selección de un automóvil nuevo. Por consiguiente, x = 0, 1, 2, 3 y 4, entonces se tiene que:

 4  x n x b ( x ,4 ,0 . 7 )  f ( x )     0 . 70  0 . 30  ,... x   x 

0 ..,1 .., 2 ..,3 .., 4

a ).  P ( exactament e .. dos )

 4     .( 0 . 70 ) 2 ( 0 . 30 ) 2   2 

4!

( 0 . 49 )( 0 . 09 )



 P ( x 

2 )



f ( 2 )

0 . 2646

2 !. 2 !


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Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una influencia decisiva en la selección de la marca de auto a comprar es de 26.46 %.

b).- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber: 1 ).  P ( x

 2 )  p ( 2 )  p ( 3 )  p ( 4 ),... o ..tambien

2 ).  P ( x

 2 )  1   p ( 0 )  p ( 1 ) 



4

0

1  C 0 ( 0 . 7 ) ( 0 . 3 )

4

 C 14 ( 0 . 7 )1 ( 0 . 3 ) 3 

1  0 . 0081

 0 . 0756   1  0 . 0837

1  0 . 0837

 0 . 9163

Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automóvil nuevo es de 0.9163 = 91.63 %. La solución 1 se le deja al estudiante para que la realice. c).- P(4 familias) =

4

4

C 4 ( 0 . 7 ) ( 0 . 3 )

0



4! 4!. 0 !

4

( 0 . 7 ) ( 1 )

 0 . 2401 .

La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automóvil es de 0.2401 = 24.01 %.

PROBLEMA: Con el propósito de decidir si se aceptan los lotes de mercancía que envía la fabrica RANICA a un comerciante, se lleva acabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artículos al azar de cada lote y determinar el número que presenta defectos. Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o más artículos defectuosos entre los 10 seleccionados. Se supone que el número de artículos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 % de artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de artículos? ¿Cuál es la probabilidad de rechazarlo?

SOLUCIÓN: Sea x el número de artículos defectuosos observados; n  10 , y la probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 0.05, entonces:

 10  x 10  x p ( x )  f ( x )    .( 0 . 05 ) ( 0 . 95 ) , entonces las probabilidades de aceptar un lote  x 

es:


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1 .. P ( aceptar )



p ( 0 )  p ( 1 ) 10

2 .. P ( aceptar )

 1

1 ). P ( aceptar )



 10  x 10 x   .( 0 . 05 ) ( 0 . 95 )  x  2  x 



p ( 0 )  p ( 1 )



0

10

C ( 10 ,0 ) ( 0 . 05 ) ( 0 . 95 )

P ( aceptar )

 ( 1 )( 1 )( 0 . 599 )  ( 10 )( 0 .05 )( 0 . 6302

P ( aceptar )



0 . 914

a ). P ( rechazar )

)



 C ( 10 ,1 ) ( 0 . 05 )1 ( 0 . 95 ) 9  0 . 599

 0 . 315

 91 . 40 %.

 1  P ( aceptar  1  0 . 914 

0 . 086

 8 . 60 %... tambien

.. puede .. ser :

10

b ). P ( rechazar

 10  )    .( 0 . 05 ) x ( 0 . 95 )10  x x  2  x 



El estudiante debe realizar la parte 2 de la P ( acetar ) y el resultado tiene que ser igual al obtenido en la parte 1, (0.914). De la misma forma debe realizar los cálculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0.086).

LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL El cálculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes. Por tal razón, es conveniente describir la distribución de probabilidad binomial mediante se media y su desviación estándar. Esto permitirá identificar valores de x que son altamente improbables, usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empírica. Por lo tanto, es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria binomial x. La Media, la Varianza y la Desviación Estándar de una variable aleatoria Binomial son:

  E ( x )  np  2  npq 

npq


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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Una variable numérica puede clasificarse como discreta o continua. Las variables discretas se miden utilizando números enteros y es posible asociarlas con la idea de "contar". Las variables continuas se pueden asociar con la idea de "medir" utilizando fracciones y decimales. Cuando la variable es continua el modelo probabilístico que más se usa es la distribución normal. Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de contar ; sus valores posibles varían en forma discreta (a saltos). Hay otro tipo de variables aleatorias, las que son el resultado de un proceso de medir ; sus valores posibles cubren todo un intervalo en los números reales reales. Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua. La matemática que utilizamos para las variables continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabilísticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas.

DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA FUNCIÓN DE DENSIDAD

Una función y=f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones:

El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continúa tiene probabilidad cero de tomar un valor específico, sólo tiene valores positivos para intervalos: P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a Para calcular la probabilidad de que X esté en un intervalo (a, b) o (a, b] o [a, b) o [a, b] o cualquier otro intervalo, debemos hacer uso de una función asociada a la variable aleatoria, la función de densidad de X. Las variables aleatorias discretas tienen la función de probabilidad, las continuas tienen función de densidad. Además, como en el caso discreto, la función de densidad está ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a


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cuál densidad nos referimos podemos usar la notación la f.

f x (x),

poniéndole el subíndice X a

PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas, se definen la esperanza matemática o media , la varianza  y la desviación típica  de una variable aleatoria continua de la siguiente forma:

TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media  y desviación típica , la variable Z 

X

 

tiene de media 0 y de desviación típica 1, y se llama tipificada de X. Podemos decir que mide la desviación de X respecto de su media, tomando como unidad la desviación típica de X.

Distribución normal También se llama distribución de Gauss o distribución de Laplace-Gauss. Ello se debe a que el matemático francés Pierre Simon de Laplace (v.), fue el primero que demostró la siguiente relación, muy importante en el estudio de la distribución normal:   x 2 e 








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Sin embargo, muchos autores consideran como auténtico descubridor de la distribución normal a Abraham De Moivre (v.), quien publicó en 1733 un folleto con el título de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n , en el que aparece por primera vez la curva de la distribución de errores, que pasando el tiempo, y con no cierta injusticia, se conoce como distribución de Gauss. El modelo matemático más importante en estadística es la distribución normal, ya que provee una descripción adecuada para la distribución de una gran cantidad de variables continuas.

Carl Friedrich Gauss.- Nació el 30 de Abril 1777 en Brunswick, (Ahora Alemania). Falleció, el 23 de Febrero 1855 en Göttingen, Hanover (Ahora Alemania). Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años. Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filosofía la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historia de las matemáticas. Posteriormente, Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás. A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales. La distribución normal es en forma de campana, habitualmente llamada distribución de Gauss. Es simétrica en torno a su media (  ); la media, mediana y modo son iguales; el área Dagoberto Salgado Horta

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total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del área = 1, por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 0,5. Si se trazan líneas perpendiculares a un desvío estándar (  ) de distancia de la media, se obtiene un 68% del área de la curva. Dos desvíos estándar encierran un 95% y tres un 99,7% de la curva. La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, Administración, físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según una función de densidad. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Es propio que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n, p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...  Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.  Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.  Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...  Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.  Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.  Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ... 

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. En el gráfico se observa la campana de Gauss, representante de la distribución normal y sus desvíos estándares. Sir Francis Galton construyó un ingenioso dispositivo que permitía obtener de forma experimental la curva de distribución normal. La mayoría de las magnitudes, incluida la inteligencia, se distribuyen siguiendo esta ley normal, que matemáticamente viene expresada por la función:


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Donde:

e

es la constante 2,7182…(base de los logaritmos neperianos).

 es 3,1415… (Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro).

x es la abscisa, cualquier punto del intervalo.  es la media de la variable aleatoria.  es la desviación tipo de la variable aleatoria, 2

 es la varianza de la variable aleatoria

f ( x) la ordenada de la curva. Dicha curva y tal como vemos en la gráfica, presenta un apiñamiento de frecuencias altas en torno a la media, que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad.La medida de la distancia al valor central es indicado por la desviación tipo o estándar.

Ejemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros


Página 42


Página 43


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Como e y π son constantes, la forma de la curva normal depende solamente de los dos parámetros de la distribución normal, la media μx y la desviación estándar σx. Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos parámetros. En matemáticas, la ecuación de la distribución normal se puede representar visualmente como una curva en forma de campana. El área debajo de esta curva se halla por medio del integral de la función y corresponde al porciento o la proporción de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado. La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así N (  ,  )

Para cada valor de  y  se tendrá una función de densidad diferente, por lo tanto la expresión N (  ,  ) representa una familia de distribuciones normales. Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo de

variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de densidad es 1. La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana:


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Para una variable aleatoria X , que se distribuya normalmente con media: μ y desviación típica: σ , la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área teñida de rojo en la siguiente figura:

Propiedades de la distribución normal 1.- Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. 2.- La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre   y   es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. 3.- Es simétrica con respecto a su media  . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. 4.- La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (  ). Cuanto mayor sea  , más aplanada será la curva de la densidad. Dagoberto Salgado Horta

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5.- El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo   1 . 96  ;   1 . 96   . 6.- La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros  y  . La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de  la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución. 7.- Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. 8.- Ql y Q 3 están situados a 2/3 de una desviación estándar. El 68 % del área de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviación estándar de la media. 9.- La variable tiene un alcance infinito, pero la mayor parte del área bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estándar de la media.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 

Puede tomar cualquier valor (- , + )



Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media 



Conforme nos separamos de ese valor  , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).



Conforme nos separamos de ese valor  , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro  , que es la desviación típica.




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F(x) es el área sombreada de esta gráfica

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIÓN

La Distribución Normal Estándar es una Distribución Normal teórica que utiliza un sistema numérico común. Cuando se estudia la variable de peso de los niños al nacer, o el grueso de tornillos, o el número de frutos dañados en un árbol, aun cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma, las unidades métricas son variables, por tanto, para poderlas comparar con una distribución patrón es necesario referirlas en la misma unidad de medida. Esta unidad de medida es la desviación estándar (se verá más adelante), de esta manera, sean pesos de bebes, grueso de tornillos o frutos de árboles, transformados a una unidad estándar, estaremos habando en la misma escala. Cuando se diga por ejemplo, entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estándar, sin importar las unidades en que fueron medidos los datos, kilos, micras o unidades para el ejemplo. Por tanto, al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres análisis con las Dagoberto Salgado Horta

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unidades de la Distribución Normal Estándar, se podrá deducir entre otras cosas, la magnitud relativa entre el punto A y el punto B. Debe quedar claro que las comparaciones únicamente son posibles en poblaciones similares, niños con niños, tornillos con tornillos etc. Puesto que hay un número infinito de combinaciones para los dos parámetros, hay un número infinito de curvas normales diferentes. Este problema se ha resuelto prácticamente al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una distribución normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal estandarizada. Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observación y dividiendo entre la desviación estándar. La unidad estándar o tipificada se llama Z y se obtiene mediante la formula: Z



x

 

Donde μ es la media de la distribución y σ su desviación estándar. En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes. La diferencia entre las dos distribuciones radica en que las medias y las desviaciones estándar no son iguales. Sin embargo la comparación se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribución normal estandarizada o tipificada.

Por tanto su función de densidad es

y su función de distribución es


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Siendo la representación gráfica de esta función la siguiente:

A la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida o estándar)     

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje 0Y Tiene un máximo en el eje Y Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

La curva normal estándar tiene  = 0 y  = 1. Recordamos que la probabilidad equivale al área bajo la curva, que el área bajo toda la curva es 1 y que el área bajo cada mitad de la curva es 0.5. Para calcular probabilidades en una curva normal no estándar, usamos la fórmula de conversión z. Cuando la media de la distribución normal es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.


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Ejemplo: Consideremos que el peso de los niños varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 Kg. y la desviación típica es de 0,82 Kg., ¿cuál es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 Kg? Z



X

  4  3 . 25   0 . 9146 0 . 82 

Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de tipificación, al valor de X = 4, le corresponde el valor, t = 0,9146:

En la tabla de la distribución normal tipificada, buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 0,9146 ; la probabilidad de t > 0,9146 es, según se puede apreciar en la figura:

 2

. Luego:

Por lo tanto la probabilidad de que un niño al nacer tenga un peso superior a 4 kg. es de 18.0 %.


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EJEMPLOS: A) Calcular P (z < – 1.35) y P (z > – 1.35). Solución: abajo se reproduce parte de la tabla:

z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

– 1.3

.0968

.0951

.0934

.0918

.0901

.0885

.0869

.0853

.0838

.0823

Recordamos que la tabla proporciona el área bajo la curva a la izquierda de z. Por lo tanto, P (z < – 1.35) = 0.0885. La otra área se obtiene así: P (z > – 1.35) = 1 – 0.0885 = 0.9115. B) Una distribución normal tiene  = 60 y  = 5. Encontrar P(x < 63) y P(x > 63).

Solución: Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z: z = (63 – 60)/5 = 0.6. z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

0.6

.7257

.7291

.7324

.7357

.7389

.7422

.7454

.7486

.7517

.7549

Al consultar la tabla (ver arriba): P( x < 63) = P( z < 0.60) = 0.7257. Además, P( x > 63) = P ( z > 0.60) = 1 – P (z < 0.60) = 0.2743. EJERCICIOS: Calcular las siguientes probabilidades. 1) P(z > – 2.43) 2) P(z < – 0.96) 3) P(z > 1.17) 4) P(z < 2.39) 5) Si  = 110 y  = 4, calcular P(x < 107) y P(x > 105) 6) Si  = 30 y  = 2, calcular P(x < 31.2) y P(x > 32.3) Consideremos, el siguiente problema: Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg. y una desviación Dagoberto Salgado Horta

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estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

SOLUCIÓN: Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución N (80, 10). Su distribución no es de la normal estándar, entonces, es útil transformar esta característica según la Ecuación siguiente:

Así, la probabilidad que se desea calcular será:

Como el área total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que:

Esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida a partir de la tabla, resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg., es de: 1 – 0.9772 = 0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%. De modo análogo, podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esté entre 60 y 100 Kg:

Tomando a = -2 y b = 2, podemos deducir que:

Por el ejemplo anterior, se sabe que P ( z  2 )  0 . 9772 . Para la segunda probabilidad, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estándar no proporcionan el valor de P ( z   2 ) para valores negativos de la variable. Sin embargo, haciendo uso de la simetría de la distribución normal, se tiene que:


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Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%. Resulta interesante comprobar que se obtendría la misma conclusión recurriendo a la propiedad de la distribución normal. No obstante, es fácil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que habitualmente nos encontramos en la práctica. Generalmente no se dispone de información acerca de la distribución teórica de la población, sino que más bien el problema se plantea a la inversa: a partir de una muestra extraída al azar de la población que se desea estudiar, se realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la población de origen.

Ejemplo : Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma población, obteniéndose una media muestral de X  75 Kg., y una desviación estándar muestral S  12 Kg., se pretende extraer alguna conclusión acerca del valor medio real de ese peso en la población original. La solución a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoría estadística, el llamado teorema central del límite. Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribución normal con igual media que la de la población y desviación estándar la de la población dividida por n . En nuestro caso, podremos entonces considerar la media muestral X

  N    ,   n  

, con lo cual, a partir de la propiedad de la normal se conoce que

aproximadamente un 95% de los posibles valores de

X

caerían dentro del intervalo

1 . 96    1 . 96  ;     . Puesto que los valores de  y  son desconocidos, podríamos n n  

pensar en aproximarlos por sus análogos muestrales, resultando

. Estaremos, por lo tanto, un 95% seguros de que el peso medio real en la población de origen oscila entre 75.6 Kg y 80.3 Kg. Aunque la teoría estadística subyacente es mucho más compleja, en líneas generales éste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una población.

Ejemplo: Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una va X  N ( 45 ,81 ) , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y 48, es decir, P 39

 X  48   ??


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SOLUCIÓN: Comenzamos haciendo el cambio de variable Z



P 39

X

  X  45 X  45   . De modo que  9 81

 X 

48   0 . 378

 37 .80 %.


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Tabla de Áreas bajo la curva normal estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla. z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.5000

0.5040

0.5080

0.5120

0.5160

0.5199

0.5239

0.5279

0.5319

0.5359

0.1

0.5398

0.5438

0.5478

0.5517

0.5557

0.5596

0.5636

0.5675

0.5714

0.5753

0.2

0.5793

0.5832

0.5871

0.5910

0.5948

0.5987

0.6026

0.6064

0.6103

0.6141

0.3

0.6179

0.6217

0.6255

0.6293

0.6331

0.6368

0.6406

0.6443

0.6480

0.6517

0.4

0.6554

0.6591

0.6628

0.6664

0.6700

0.6736

0.6772

0.6808

0.6844

0.6879

0.5

0.6915

0.6950

0.6985

0.7019

0.7054

0.7088

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

0.6

0.7257

0.7291

0.7324

0.7357

0.7389

0.7422

0.7454

0.7486

0.7517

0.7549

0.7

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7764

0.7794

0.7823

0.7852

0.8

0.7881

0.7910

0.7939

0.7967

0.7995

0.8023

0.8051

0.8078

0.8106

0.8133

0.9

0.8159

0.8186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

0.8340

0.8365

0.8389

1.0

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8508

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

1.1

0.8643

0.8665

0.8686

0.8708

0.8729

0.8749

0.8770

0.8790

0.8810

0.8830

1.2

0.8849

0.8869

0.8888

0.8907

0.8925

0.8944

0.8962

0.8980

0.8997

0.9015

1.3

0.9032

0.9049

0.9066

0.9082

0.9099

0.9115

0.9131

0.9147

0.9162

0.9177

1.4

0.9192

0.9207

0.9222

0.9236

0.9251

0.9265

0.9279

0.9292

0.9306

0.9319

1.5

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

0.9394

0.9406

0.9418

0.9429

0.9441

1.6

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9495

0.9505

0.9515

0.9525

0.9535

0.9545

1.7

0.9554

0.9564

0.9573

0.9582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

0.9625

0.9633

1.8

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9686

0.9693

0.9699

0.9706

1.9

0.9713

0.9719

0.9726

0.9732

0.9738

0.9744

0.9750

0.9756

0.9761

0.9767

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

2.2

0.9861

0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9890

2.3

0.9893

0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

0.9913

0.9916

2.4

0.9918

0.9920

0.9922

0.9925

0.9927

0.9929

0.9931

0.9932

0.9934

0.9936

2.5

0.9938

0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

0.9951

0.9952

2.6

0.9953

0.9955

0.9956

0.9957

0.9959

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9964

2.7

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

2.8

0.9974

0.9975

0.9976

0.9977

0.9977

0.9978

0.9979

0.9979

0.9980

0.9981

2.9

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9985

0.9985

0.9986

0.9986

3.0

0.9987

0.9987

0.9987

0.9988

0.9988

0.9989

0.9989

0.9989

0.9990

0.9990

3.1

0.9990

0.9991

0.9991

0.9991

0.9992

0.9992

0.9992

0.9992

0.9993

0.9993

3.2

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9995

0.9995

0.9995

3.3

0.9995

0.9995

0.9995

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9997

3.4

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9998

3.5

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998


Página 56

3.6

0.9998

0.9998

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.7

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.8

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.9

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

¿Cómo se lee esta tabla? La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando.

Ejemplo: queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75.Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor 0,05. La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (0,99702, es decir 99.7%). Atención: la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable. Ejemplo: Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5. La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable, ya que podría tomar infinitos valores: por ejemplo: 1,99, 1,994, 1,9967, 1,9998, 1999791, etc. Veamos otros ejemplos: Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486 Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115 Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574 Veamos ahora, como podemos utilizar esta tabla con una distribución normal:

Ejemplo: el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de Bs. y desviación típica 1 millón de Bs. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs. Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica Z



X

 

En el ejemplo, la nueva variable sería: Dagoberto Salgado Horta

Página 57

Z



X

5 1

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es: Z



7

5



2

1

Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs.). Esta probabilidad es 0,97725 Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs. es del 97,725%.

Ejercicio 1º: La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bs/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de Bs. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.

a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de Bs.

SOLUCIÓN: Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada: Z



X

4

1 . 22

Recuede que el denominador es la desviación típica (raíz cuadrada de la varianza) El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs. es – 0,816. P (X < 3) = P (Z < – 0,816) Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Tenemos un problema: la tabla de probabilidades sólo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fácil solución, ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio. Por lo tanto: Dagoberto Salgado Horta

Página 58

P (Z < – 0,816) = P (Z > 0,816) Por otra parte, la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor: P (Z > 0,816) = 1 - P (Z < 0,816) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075 Luego, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 3 millones Bs.

b) Nivel de ingresos a partir del cual se sitúa el 10% de la población con renta más elevada. Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior. Ese valor corresponde a Z = 1,282 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada: 1 ,282



X

4

 1 . 282 ( 1 . 22 )  X  4  X  1 . 57  4  X  5 . 57 .

1 . 22

Despejando X, su valor es 5,57. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,57 millones de Bs. constituyen el 10% de la población con renta más elevada.

c) Nivel de ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30% de probabilidad. Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Z y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Z, Z) engloba al 60% de población con renta media. El valor de Z que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el segmento viene definido por (-0,842, + 0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Z. Los valores de X son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 2,97 millones de Bs. e inferiores a 5,03 millones de Bs. constituyen el 60% de la población con un nivel medio de renta.

Ejercicio 2º: La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: Dagoberto Salgado Horta

Página 59

a) ¿Cuántas personas superarán posiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

SOLUCIÓN: a) Personas que vivirán (posiblemente) más de 75 años Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años Z



75

 68

 1 .4

5

Por lo tanto P (X > 75) = (Z > 1,4) = 1 - P (Z < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.

b) Personas que vivirán (posiblemente) menos de 60 años Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años Z



60

 68 5

  1 ,6 . Por lo tanto P (X < 60) = (Z < -1,6) = P (Z > 1,6) = 1 - P (Z < 1,6) =

0,0548. Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.

Ejercicio 3: El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?. b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa?

a) 5% de la población que más bebe. Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante. Ese valor corresponde a Z = 1,645 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:


Página 60

1 ,645



X

 58

 6 ( 1 ,645 )  X  58  X  9 . 87  58

6 X

 67 ,87

Despejando X, su valor es 67,87. Por lo tanto, tendría usted que beber más de 67,87 litros al año para pertenecer a ese "selecto" club de grandes bebedores de cerveza.

b) Usted bebe 45 litros de cerveza al año. ¿Es usted un borracho? Vamos a ver en que nivel de la población se situaría usted en función de los litros de cerveza consumidos. Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros: Z



45

 58

  2 ,2

6

Por lo tanto P (X < 45) = (Z < -2,2) = P (Z> 2,2) = 1 - P (Z < 2,2) = 0,0139 Luego, tan sólo un 1,39% de la población bebe menos que usted. Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de "enamorado de la bebida"

Ejercicio 4: A un examen de oposición se han presentado 2.000 aspirantes. La nota media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,1. a) Tan sólo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su éxito? b) Va a haber una 2ª oportunidad para el 20% de notas más altas que no se hayan clasificados. ¿A partir de que nota se podrá participar en este "Nuevo Ingreso"?

a) Ha obtenido usted un 7,7 Vamos a ver con ese 7,7 en que nivel porcentual se ha situado usted, para ello vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente. Z



7 .7

 5 .5

1 ,049



2 .1 .

A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver

tablas) de 0,98214 (98,214%), lo que quiere decir que por encima de usted tan sólo se encuentra un 1,786%. Si se han presentado 2.000 aspirante, ese 1,786% equivale a unos 36 aspirantes; como hay 100 plazas disponibles, tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la "mejor de las fiestas". Dagoberto Salgado Horta

Página 61

b) "Repesca" para el 20% de los candidatos Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80% de la probabilidad, ya que por arriba sólo quedaría el 20% restante. Este valor de Z corresponde a 0,842 (aprox.). Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente: 0 ,842



X

 5 .5

 ( 0 . 842 )( 1 ,049 )  X  5 . 5  X  ( 0 ,883 )  5 . 5

1 ,049 X

 6 ,38

Despejamos la X, su valor es 6,38. Por lo tanto, esta es la nota a partir de la cual se podrá acudir al "Nuevo Ingreso".

LA DISTRIBUCIÓN "T DE STUDENT": En la mayoría de casos reales o prácticos es frecuente que el tamaño de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la distribución normal. Los procedimientos de estimación y prueba de hipótesis para muestras pequeñas como es el caso de este trabajo son tratados preferencialmente por la distribución denominada "T de student", Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudónimo de "student", otra característica que permite utilizar una distribución "T" es que la desviación estándar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviación estándar de tipo muestral; ésta también es una razón para utilizar la "T de Student" . Las muestras de tamaño N>30, se les llamadas grandes muestras, las distribuciones de muestreo de muchos estadísticos son aproximadamente normales, siendo la aproximación tanto mejor cuanto mayor sea N . Para muestras de tamaño menor que 30, llamadas pequeñas muestras, esa aproximación no es adecuada y empeora al decrecer N , de modo que son precisas ciertas modificaciones. El estudio de la distribución de muestreo de los estadísticos para pequeñas muestras se llama teoría de pequeñas muestras. Sin embargo, un nombre más apropiado sería teoría exacta del muestreo, pues sus resultados son válidos tanto para pequeñas muestras como para grandes. En esta guía analizaremos la Distribución de Student, la cual se designa con la letra t . Definamos el estadístico

t 

X

 S



( X

  ) S

N

que es análogo al estadístico z dado

N

por Z 

X

  X    N .   N


Página 62

INTERVALOS DE CONFIANZA Al igual que se hizo con la distribución normal, se pueden definir los intervalos de confianza 95%, 99%, u otros, usando la tabla de la distribución t . De esta forma podemos estimar la media de la población dentro de los límites especificados. X

S

 t  2

, Donde

S N

N

es la desviación estándar estimada de X .

GRADOS DE LIBERTAD Para el cálculo de un estadístico tal como t y  es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos parámetros de la población, si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra. ¿Qué son los grados de libertad? Se pueden definir como el número de valores que se pueden escoger libremente. Suponiendo que se esta trabajando con dos valores de muestra, a y b, y se sabe que tienen una media de 18. Simbólicamente, se puede expresar: a

b 2

 18  a  b  36 . ¿Cómo se puede encontrar los valores que

a y b puedan tomar

en esta situación? La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya suma sea 36, ya que 36 entre 2 es 18. Suponiendo que a tiene un valor de 10; ahora b ya no esta libre de tomar cualquier valor, sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que, si a = 10, entonces 10 + b = 36, por lo tanto b = 26. Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos la media de la muestra de esos elementos, entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos, puesto que el otro estará determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra. En términos estadísticos se dice que tenemos un grado de libertad. Observemos otro ejemplo. Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de estos elementos es 16. Simbólicamente se tiene la siguiente situación: a

 b  c  d  e  f  g

 16

7

En este caso, los grados de libertad (GL) o el número de variables que se pueden especificar libremente es 7 – 1 = 6. Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables, y Dagoberto Salgado Horta

Página 63

luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la séptima variable, puesto que esa queda determinada automáticamente. En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n – 1 grados de libertad, suponiendo que n es el tamaño de la muestra. Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribución t para estimar una media de población, y se utilizará n – 1 GL, tomando n igual al tamaño de la muestra.

Regiones de aceptación y rechazo en el contraste de hipótesis

Distribución t de Student para varios valores


Página 64

Valores críticos para la distribución Student's - t alfa = área a la derecha de t(df, alfa) T~t(df)

P(T > t(df,alfa))

grados de libertad

alfa 0.1000

0.0500

0.0250

0.0100

0.0050

0.0010

0.0005

1

3.078

6.314

12.706

31.821

63.656

318.289

636.578

2

1.886

2.920

4.303

6.965

9.925

22.328

31.600

3

1.638

2.353

3.182

4.541

5.841

10.214

12.924

4

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

7.173

8.610

5

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

5.894

6.869

6

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

5.208

5.959

7

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

4.785

5.408

8

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

4.501

5.041

9

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

4.297

4.781

10

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

4.144

4.587

11

1.363

1.796

2.201

2.718

3.106

4.025

4.437

12

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

3.930

4.318

13

1.350

1.771

2.160

2.650

3.012

3.852

4.221

14

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

3.787

4.140

15

1.341

1.753

2.131

2.602

2.947

3.733

4.073

16

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

3.686

4.015

17

1.333

1.740

2.110

2.567

2.898

3.646

3.965

18

1.330

1.734

2.101

2.552

2.878

3.610

3.922

19

1.328

1.729

2.093

2.539

2.861

3.579

3.883

20

1.325

1.725

2.086

2.528

2.845

3.552

3.850

21

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

3.527

3.819

22

1.321

1.717

2.074

2.508

2.819

3.505

3.792

23

1.319

1.714

2.069

2.500

2.807

3.485

3.768

24

1.318

1.711

2.064

2.492

2.797

3.467

3.745

25

1.316

1.708

2.060

2.485

2.787

3.450

3.725

26

1.315

1.706

2.056

2.479

2.779

3.435

3.707

27

1.314

1.703

2.052

2.473

2.771

3.421

3.689

28

1.313

1.701

2.048

2.467

2.763

3.408

3.674

29

1.311

1.699

2.045

2.462

2.756

3.396

3.660

30

1.310

1.697

2.042

2.457

2.750

3.385

3.646

31

1.309

1.696

2.040

2.453

2.744

3.375

3.633

32

1.309

1.694

2.037

2.449

2.738

3.365

3.622

33

1.308

1.692

2.035

2.445

2.733

3.356

3.611


Página 65

34

1.307

1.691

2.032

2.441

2.728

3.348

3.601

35

1.306

1.690

2.030

2.438

2.724

3.340

3.591

36

1.306

1.688

2.028

2.434

2.719

3.333

3.582

37

1.305

1.687

2.026

2.431

2.715

3.326

3.574

38

1.304

1.686

2.024

2.429

2.712

3.319

3.566

39

1.304

1.685

2.023

2.426

2.708

3.313

3.558

40

1.303

1.684

2.021

2.423

2.704

3.307

3.551

60

1.296

1.671

2.000

2.390

2.660

3.232

3.460

120

1.289

1.658

1.980

2.358

2.617

3.160

3.373

inf

1.282

1.645

1.960

2.327

2.576

3.091

3.291

BIBLIOGRAFÍA

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Variable Aleatoria

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