UNIDAD 3
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
QUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:
1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE ALEATORIA.2.DEFINIR EL PROBABILIDAD.-
TERMINO
DISTRIBUCION
3.DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA.-
DE DE
4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.-
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD SON SON DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES TEORICAS TEORICAS Y Y SE SE USAN USAN PARA PARA REPRESENTAR REPRESENTAR POBLACIONES POBLACIONES
En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para representar situaciones en las que los resultados son inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad tienen muchas aplicaciones en algunos problemas empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.- Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia – frecuencia relativaque el 30 por ciento de las personas que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que no guardan ninguna relacion entre si entran en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile un equipo de camping es independiente de la de las demás).-
¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de alquilar equipos de camping y los clientes se Irán decepcionados.- La probabilidad de los eventos (números de equipos de camping deseados), como veremos más adelante puede calcularse esta probabilidad utilizando el modelo de probabilidad binomial..
QUE VEREMOS EN ESTA UNIDAD
PRIMERO QUE ES UNA “VARIABLE ALEATORIA”
ADEMAS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS BINOMIAL BINOMIAL ACUMULADA
DISTRIBUCIONES CONTINUAS UNIFORME
EXPONENCIAL
HIPERGEOMETRICA NORMAL
DE POISSON
APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON
DETERMINACION DEL VALOR X
NORMAL ESTANDARIZADA
VARIABLE ALEATORIA Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.Es importante distinguir entre una variable aleatoria y los valores posibles que puede tomar
La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que toma, con minúscula.Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))
Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor numérico.Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes: 1.- Nivel primario
2.- Nivel secundario
3.- Nivel terciario
4.- Nivel Universitario
5.- Otros estudios
0.- Sin estudios.-
Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria en estudio.
DISCRETAS LAS VARIABLES ALEATORIAS, PUEDEN SER
CONTINUAS
Una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir una cantidad numerables de valores.EJEMPLOS :
1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.4.- Cantidad de alumnos de una escuela.5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.10.- Etc.-
Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de valores dentro de ciertos límites.EJEMPLOS: 1.- Peso de las personas.2.- Velocidad de un auto.3.- Horas de demora en cumplir una tarea.4.- Puntajes de un test.5.- Sueldo de los empleados.6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un mes.7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.8.- Etc.-
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE 1.- Musimundo vende entre 0 y 6 computadoras al día.- ¿Es la venta diaria de computadoras una variable aleatoria discreta o continua?.2.- Un proceso de producción fabril produce un pequeño número de piezas defectuosas diariamente.- ¿es el número de piezas defectuosas una variable aleatoria discreta o continua?.3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la mejor definición: una variable aleatoria discreta o continua.a) El número de automóviles que llegan diariamente a un taller de reparaciones en el que trabajan dos personas.-
b) El número de automóviles producidos por la General Motor anualmente.c) Las ventas diarias totales de un comercio de ropa con tarjetas en pesos.d) El número de pasajeros que se quedan sin plaza en una compañía aérea específica tres días antes de las Fiestas Navideña.4.- Un actor hace 100 representaciones al año.- ¿es su programa de trabajo una variable aleatoria discreta?.5.- Ponga cinco ejemplos de variables aleatorias discretas que podría observarse en una nueva consultora.-
6.- Defina tres variables aleatorias continuas que debería examinar periódicamente un vicepresidente de marketing.7.- Una encuesta electoral entrevista a 2000 personas seleccionadas aleatoriamente.- ¿Debe analizarse el número de personas que apoyan al candidato A utilizando modelo de probabilidad discreta o continua?.8.- Un vendedor entra diariamente en contacto con 20 personas y les pide que compren.- ¿Debe analizarse el número de compras diarias utilizando un modelo de probabilidad discreta o continua?.9.- Usted debe analizar el número de cuentas vencidas en un determinado momento de un gran comercio de artículos de deporte.- ¿Usara un modelo de probabilidad continuo o discreto?.-
10.- El experimento consiste en tirar una moneda dos veces: a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de caras que pueden representarse en los dos lanzamientos.c) Indique que valores tomaría la variable en cada uno de los resultados experimentales.d) Esta variable aleatoria ¿es discreta o continua?.-
11.- Un experimento consiste en el ensamble de un producto por un trabajador y se registra el tiempo que tarda en hacer esto.-
a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requeridos para ensamblar el producto.b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria?.c) ¿Esa variable aleatoria es discreta o continua?.12.- Tres alumnos tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en un Instituto de Investigaciones.- En cada caso, el resultado de la entrevista será que le ofrezcan o no le ofrezcan un empleo.- Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres entrevistas.a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas.- ¿es una variable aleatoria continua o discreta?.-
c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados experimentales?.13.- Suponga que conoce las tasas hipotecarias para 12 instituciones crediticias de Córdoba y que la variable aleatoria de interés es el número de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años de 8,5 % o menos.- ¿Qué valores puede asumir esta variable aleatoria?.14.- Para efectuar cierto tipo de análisis de sangre, los técnicos de laboratorio deben seguir dos procedimientos.- El primero requiere 1 o 2 pasos separados y el segundo puede requerir 1, 2, o 3 pasos.a) Haga una lista de los resultados experimentales asociados con la ejecución de un análisis.-
b) Si la variable aleatoria de interés es el número total de pasos requeridos para terminar el análisis (ambos procedimientos), indique que valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales.-
15.- La tabla siguiente es una lista de experimentos y variables aleatorias asociadas.En cada caso, identifique los valores que puede asumir la variable aleatoria y diga si esa variable es discreta o continua?.-
Experimentos a) Hacer un examen con 20 preguntas
Variable aleatoria x Número de preguntas bien contestadas
b) Observar los autos que Número de autos que llegan llegan a un peaje durante unaal peaje hora c) Auditar la devolución de 50 Número de devoluciones con impuestos errores d) Observar el trabajo de un empleado
Número de horas no productivas en una jornada de ocho horas
e) Pesar un embarque de productos
Número de kilos
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de cada resultado.Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x se representa como P (X =x).Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.Definición: La función de probabilidad P (X = x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x:
p (xi) = P (X = x) donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x.-
Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad también se la conoce como función de cuantía.-
Veamos un ejemplo: Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 automóviles.Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de automóviles vendidos en un día.Si presentamos la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria será:
X
fi
P (X = x)
0
54
0,18
1
117
0,39
2
72
0,24
3
42
0,14
4
12
0,04
5
3
0,01
300
1,000
Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que una vez conocida esa distribución es fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones.Por ejemplo, si consultamos la tabla observamos que la cantidad más probable de autos que se venden en 1 día es del 39 %.-
También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta información es muy útil para quien toma decisiones sobre las ventas de automóviles.-
Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:
p (xi) ≥ 0 ∑ p (xi) = 1 Si queremos mostrar gráficamente probabilidad de ventas de autos será:
la distribución de
P (x) 0,20 0,10 Ventas de 0
1
2
3
4
5
auto por día.-
La
Función de Probabilidad Acumulada , que
F (x), de una variable aleatoria X representa la probabilidad de que X tome un valor inferior a x, es decir: simbolizamos con
F(x) = P (X ≤ x) = ∑ p (x ) i
X≤x
Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores posibles de X que son menores o iguales a x.En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-
P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) = =
0,18 + 0,39
= 0,57 57%
EJERCICIOS DE APLICACION
1.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X aparece en la siguiente tabla: X
20
25
30
35
P (X=x)
0.20
0.15
0.25
0.30
a) ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.Compruebe.b) ¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a 25?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?.-
2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operaciones en uso en el Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, 3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.a) Emplee el enfoque frecuencial para formar la distribución de probabilidad para la cantidad de salas de operaciones que se usaron en un día determinado.b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c)
Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas.-
3.- Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos de un gobierno municipal: Nivel Ejecutivo
Cantidad de empleados
1
15
2
32
3
84
4
300
5
31
Total
462
Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el nivel ejecutivo de un empleado elegido al azar.-
a) Con los datos anteriores forme la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes a la función de probabilidad.b) Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que la distribución de probabilidad cumple las condiciones básicas.4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones porcentuales de frecuencias para calificaciones de satisfacción en el empleo, en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de sistemas de información.Las calificaciones van de 1, muy insatisfechos a 5 muy satisfechos.-
Calificación de satisfacción en el trabajo
Alto ejecutivo %
Mandos Medios %
1
5
4
2
9
10
3
3
12
4
42
46
5
41
28
Total
100
100
a) Defina una distribución de probabilidad para la calificación de satisfacción en el empleo para un alto ejecutivo.b) Defina una distribución de probabilidad para esa calificación en el caso de mando medio.-
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo exprese satisfacción en el trabajo con una calificación de 4 o 5?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este muy satisfecho?.e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de los altos ejecutivos y de los mandos medios.5.- Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia:
a) Defina una distribución de probabilidad de duración del servicio.b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que su distribución de probabilidad cumple con las condiciones que requiere toda función de probabilidad discreta.d) ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3 horas?.e) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio deba trabajar horas extras para arreglar la máquina hoy?.-
6.- El director de admisiones de una escuela evaluó subjetivamente una distribución de probabilidad de X, la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se muestran en la siguiente tabla: X
P (X = x)
1000
0.15
1100
0.20
1200
0.30
1300
0.25
Total
0.10
a) ¿es valida esta distribución de probabilidad?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de nuevo ingreso o menos?.-
ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:
E (x) = µ = ∑ X
fi
0
54
0,18
1
117
0,39
0,39
2
72
0,24
0,48
3
42
0,14
0,42
4
12
0,04
0,16
5
3
0,01
0,05
1,000
1,50
300
P (X = x) x * p (xi) 0
xi * p (xi)
Es un promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde las ponderaciones, son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.E (X) = µ = 1,5 automóviles La empresa puede esperar, a la larga, la venta de un promedio de 1,5 automóviles por día.-
Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días, podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45 automóviles.La variancia , nos dará una idea de variación de los valores de la variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La ecuación matemática de la variancia será:
σ² = ∑ (xi - µ)² * p (xi) Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar, por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como sabemos Desviación Estándar .- Esta será:
σ =
Variancia
La desviación estándar se mide en las mismas unidades de medidas que la variable aleatoria en estudio
Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la que usaremos:
σ² = ∑ x² p (xi) - µ² En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el calculo de la variancia y desvío estándar será: X
fi
P (X = x)
0
54
0,18
1
117
0,39
0,39
2
72
0,24
0,96
3
42
0,14
1,26
4
12
0,04
0,64
5
3
0,01
0,25
1,000
3,50
300
x² p (xi) 0
σ² = 3,50 - 1,5² = = 3,50 - 2,25 = = 1,25 auto² σ = 1,25 = 1.118 autos
EJEMPLO para que analicen los alumnos.Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.Las probabilidades asignadas son:
X
-0,20
-0,10
0,0
+0,10
+0,20
p (x)
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
Y
-0,20
-0,10
0,0
+0,10
+0,20
p (y)
0,01
0,04
0,10
0,50
0,35
Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa la mejor inversión?.-
El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán: X
p (x)
x * P (x)
x² * p (x)
-0,20
0,10
- 0,02
0,004
-0,10
0,20
- 0,02
0,002
0,00
0,40
0,00
0,000
+0,10
0,20
0.02
0,002
+0,20
0,10
0,02
0,004
0,00
0,012
E (X) = 0,0
σ² =0,012
σ = 0,11
Para el proyecto Y, será: Y
p (y)
y * P (y)
y² * p (y)
- 0,20
0,01
- 0,002
0,0004
- 0,10
0,04
- 0,004
0.0004
0,00
0,10
0,0
+ 0,10
0,50
0,050
0,005
+ 0,20
0,35
0,070
0,014
0,114
0,0198
E (X) = 0,114
σ² =
0,0068
0,0
σ = 0,082
CONCLUSIONES del problema:
El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna manera dispersas entre todos los valores posibles.Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la variancia.En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más alto y un riego menor.-
EJERCICIO PARA HACER EN CLASE 1.- Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra los resultados: Numero de devoluciones
0
1
2
3
4
Proporción
0,28
0,36
0,23
0,09
0,04
a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.c) Halle la variancia y automóvil para que se garantía,.
desvío del numero de devoluciones de corrijan los defectos durante el periodo
un de
2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero de clips por paquetes varia, como indica la tabla adjunta: Números de clips Proporción de paquetes
47
48
49
50
51
52
53
0,04
0,13
0,21
0,29
0,20
0,10
0,03
a) Trace la función de probabilidad.b)
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips, inclusive.-
c)
Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo 50 clips?.-
d) Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero de clips por paquete.-
3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre: Números de pedidos Probabilidad
0
1
2
3
4
5
0,10
0,14
0,26
0,28
0,15
0,07
a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en este periodo.c) Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.d) Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.-
4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local.Hipotecas aprobadas por semana Probabilidad
0
1
2
3
4
5
6
0,10
0,10
0,20
0,30
0,15
0,10
0,05
a) Diga y explique si la tabla es colectivamente exhaustiva.b) Trace la función de probabilidad.c)
Calcule y explique la esperanza matemática y explique.-
d) Calcule y explique la desviación estándar.-
5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a continuación: Pagos (dólares)
Probabilidad
0
0.90
400
0.04
1000
0.03
2000
0.01
4000
0.01
6000
0.01
a) Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin pérdidas.b) La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado compra una póliza contra choques con este valor esperado?.-
6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años indica la demanda mensual del producto: Demanda de unidades
Probabilidad
300
0.20
400
0.30
500
0.35
600
0.15
a) Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos de Serrano para este producto?.b) Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del artículo es de 300 unidades?.-
7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares, se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil y de escritorio.Número de computadoras
Probabilidad Portátil
Escritorio
0
0.47
0.06
1
0.45
0.56
2
0.06
0.28
3
0.02
0.10
a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.b) ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.c) Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee los suscriptores del periódico.-
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BIPUNTUAL 0 ENSAYOS DE BERNOULLI
Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante ver que nos dice esta distribución de probabilidad.Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el modelo más simple, se lo llama también “ prueba o ensayos de Bernoulli” y se refiere a un experimento aleatorio con dos resultados posible.Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano, encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar, etc.Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del espacio muestral S.-
La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente manera: 1 si el individuo observado es A X = X (S) = 0 si el individuo observado es no A Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que mostramos en la siguiente tabla y que se llama distribución bipuntual.Evento
Variable Aleatoria
P (X = x) = p (x)
A
1
p
0
1 - p
No A
Cabe señalar que el valor de p se determina según los enfoques que hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en el enfoque clásico y decimos que p = ½.Por lo general, la probabilidad p estará dada por la proporción de individuos que tienen la característica A en la población o por las frecuencias relativas de un número suficientemente grande de experimento.El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución bipuntual es: x p (xi) =
P (X =x) = p
1-x
(1 - p)
donde x = 0; 1 Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla anterior.-
Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la media y variancia de ella.-
µ = E (X) =
∑ x px ( 1 - p)1
-x
σ² = ∑ x² p (x) - µ² = p - p² = Generalmente a (1 – p) = q
σ² = p q σ =
p q
= p p ( 1 – p)
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL.-
La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades esenciales: 1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo o a partir de una población finita con reemplazo.- Se selecciona n observaciones.2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo común llamamos Éxitos y Fracasos.3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante entre una observación y otra.- Entonces la probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso es (1-p), es constante en todas las observaciones.4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.-
Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n intentos o ensayos entonces es un experimento binomial.En un experimento binomial nos interesa el número de éxitos que suceden en los n intentos.Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos, vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria discreta.Veamos un ejemplo: Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento binomial vemos que:
1.- El experimento consiste en 10 intentos idénticos y cada experimento implica llegar a una familia.2.- En cada intento son posible dos resultados: la familia compra una póliza (éxito) o la familia no la compra (fracaso).3.-Se supone que las probabilidades de una compra y de una no compra son iguales para cada llamada de ventas, siendo, p = 0,10
1- p = 0,90
4.- Los intentos son independientes porque las familias se seleccionan aleatoriamente.En vista de que se cumplen las cuatro propiedades, este es un experimento binomial.- La variable aleatoria de interés X es la cantidad de ventas obtenidas al visitar a 10 familias.- En este caso podemos asumir que X, xi puede asumir los valores 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.-
Para calcular estas probabilidades debemos buscar la función de probabilidad de este experimento.El número de resultados experimentales que dan exactamente x éxitos en n intentos se puede calcular como, las combinaciones de: n
n ! = -----------------------
x
x ! (n – x) !
Pero cada experimento es un esquema de Bernoulli donde sabemos que el modelo de probabilidad es: P (X =x) = px (1 -p)1 - x Como aquí realizamos n ensayos o intentos, el modelo de será:
Función de probabilidad binomial: n
P (X = x) =
px
(1 – p) n - x
x En nuestro ejemplo, supongamos que nos preguntemos ¿Cuál es la probabilidad de que se den exactamente 4 ventas?.- Esto será, calcular: 10 ! P ( X = 4) = ----------------------
0,104
0,906 =
4 ! ( 10 – 4) ! =
210 * 0,0001 *
0,5314 = 0,0112 1 %
Uso de la función de distribución o acumulación en la distribución binomial.Sabemos que ella me representa:
F(x) = P (X ≤ x) = ∑ p ( x) X≤x
Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que ¿se de menos de 2 ventas?.- Será: P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (0) + P (1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361 74 % ¿Cuál es la probabilidad que se de 3 o más ventas? P ( X ≥3) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 -
P (0) + P (1) + P ( 2) =
= 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298 93 %
Dentro de las características de la distribución de probabilidad binomial es importante para el calculo de una probabilidad, conocer:
1.- SU FUNCION DE PROBABILIDAD
2.- SUS FORMAS
3.- SU MEDIA SU VARIANCIA
SU DESVIACION ESTANDAR
2.- FORMAS.SI P = 0,50
LA DISTRIBUCION SERA SIMETRICA
SI P > 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A IZQUIERDA
SI P < 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A DERECHA
MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La media µ de la binomial es igual al tamaño de la muestra n multiplicada por la probabilidad del éxito.µ = E (x) = n * P La variancia, será igual al producto del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito y la de fracaso.σ² = n * P * (1 - P) El desvío estándar estará dado por la raíz cuadrada de la variancia.σ =
n * P * (1 – P)
Para pensar en clase
CUANDO SE NOS PLANTEA UN PROBLEMA DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA, ES IMPORTANTE ANALIZAR SI EL PROBLEMA SE ADECUA A UNA DISTRIBUCION BINOMIAL O NO VEAMOS DOS EJEMPLO:
1.- Suponga que hay 1000000 de adultos en cierta ciudad y una proporción desconocida p está a favor de que se parquice cierta zona de la ciudad.- Se elige una muestra aleatoria de 1000 adultos, de tal manera que cada uno de los integrantes del millón de adultos tengan la misma probabilidad de ser seleccionados y se le pregunta a cada adulto si esta a favor de la parquización o no.- (si bien el objetivo final va ser la estimación de la proporción P desconocida, y esto lo veremos en la Unidad de estimación).- ¿es este un experimento binomial?.-
Solución ¿Veamos si el experimento cumple las características de un experimento binomial?.1.- Un ensayo es la elección de un en la ciudad.- Esta muestra idénticos.-
solo adulto del millón de adultos consta de n= 1000 ensayos
2.- Puesto que cada adulto estará a favor de la parquización o no, hay dos resultados posibles que representa a los éxitos o fracasos en el experimento binomial.3.- La probabilidad de éxito, p, es la de que un adulto esté a favor de la parquización, ¿esta probabilidad es la misma para cada adulto de la muestra?.- Para fines prácticos, la respuesta es sí.- Por ejemplo, si 500000 adultos de la población está a favor de la parquización, entonces la probabilidad de un éxito cuando se elige al primer adulto es 500000 / 1000000 = 1/2.- Cuando se elige al segundo adulto, la probabilidad p cambia un poco, dependiendo de la primera elección.- Es decir, habrá 499999 o 500000 éxitos dejados entre los 999999 adultos.- En cualquier caso p es aún casi igual a 1/2.-
4.- La independencia de los ensayos está garantizada debido al gran grupo de adultos del que se elige la muestra.- La probabilidad de que un adulto esté a favor de la parquización no cambia en función de las respuesta de las personas elegidas con anterioridad.5.- La variable aleatoria X es el número de adultos de la muestra que están a favor de la parquización.-
DEBIDO A QUE EL ESTUDIO SATISFACE LAS CARACTERÍSTICA, PARA PROPOSITOS PRACTICOS SE CONSIDERA UN EXPERIMENTO BINOMIAL.-
2.- Un comprador que ha recibido un embarque que contiene 20 computadoras personales desea muestrear tres para ver si están funcionando bien antes de aceptar el embarque.- Para probar elige las tres computadoras más cercanas y, después, se decide si son defectuosas o no.- El comprador no sabe que dos de las 20 computadoras del envió están defectuosas.- ¿Es este un experimento binomial?.Solución
De nuevo, compruebe que el procedimiento de muestreo satisfaga las características de un experimento binomial.1.- Un ensayo es la selección y prueba de una PC del total de 20.- Este experimento consta de n = 3 ensayos idénticos.2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados, ya sea que una PC esté defectuosa (éxito) o no defectuosa (fracaso).3.- Suponga que las PC fueron colocadas al azar en el vagón, de tal modo que cualquiera de las 20 computadoras pudo ser colocada cerca de la puerta del vagón.Entonces la probabilidad de sacar una computadora defectuosa en un ensayo dado sería 2/20.-
4.- La condición de independencia entre ensayos no se satisface porque la probabilidad de sacar una PC defectuosa en el segundo ensayo y tercer ensayo depende del resultado del primer ensayo.- Por ejemplo, si en el primer ensayo se obtiene una PC defectuosa, entonces queda una computadora defectuosa entre las 19 restante del envío.- Por lo tanto: P (defectuosa en el ensayo 2/ defectuosa en el 1°) = = 1/19
Si en el primer ensayo no se obtiene una computadora defectuosa, entonces aún hay dos computadoras defectuosas en el envió y la probabilidad de un éxito (una PC defectuosa) cambia a : P (defectuosa en el ensayo 2/ no defectuosa en el ensayo 2) = 2/19 Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no representa un experimento binomial.Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no representa un experimento binomial.-
Piense en la diferencia entre estos dos ejemplos vistos.Cuando la muestra (los n ensayos idénticos) provienen de una población grande; la probabilidad de éxitos p es casi la misma de un ensayo a otro.Cuando el tamaño de la población N es pequeño, la probabilidad de éxito tiene un cambio drástico de un ensayo a otro, y el experimento no es binomial.Si el tamaño de la muestra es grande con respecto al tamaño de la población, en particular, si n/N ≥ 0,05, entonces el experimento resultante no es binomial.-
VEAMOS EL USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL
MEDIANTE UN EJERCICIO:
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Suponga que Susana Torres, la agente de seguro contacta cinco personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es de 0,40.- Utilizando la función de probabilidad, calcule manualmente y luego con tabla: a) Halle la probabilidad de que venda como máximo un seguro.b) Halle la probabilidad de que venda entre dos y cuatro seguros (inclusive).c) Halle la probabilidad de que venda más de dos seguros.d) Halle la probabilidad de que venda exactamente tres seguros.e) Represente gráficamente la función de probabilidad.-
VEAMOS UN EJEMPLO, USANDO EL PROGRAMA MINITAB
Se probo un tratamiento de una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad en la prevención del resfriado común.- Se observó a 10 personas que siguieron el tratamiento prescrito durante un año.- Ocho personas pasaron el invierno sin un resfriado.- Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin un resfriado es 0,50 cuando no se sigue el tratamiento de vitamina C.- ¿Cuál es la probabilidad de observar ocho o más personas que pasan el invierno sin un resfriado, puesto que el régimen es ineficaz para incrementar la resistencia a los resfriados?.Solución
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulada
Binomial con n = 10 y p = 0,5
Binomial con n = 10 y p = 0,5
x P( X = x ) 0 0,000977 1 0,009766 2 0,043945 3 0,117188 4 0,205078 5 0,246094 6 0,205078 7 0,117188 8 0,043945 9 0,009766 10 0,000977
x P( X <= x ) 0 0,00098 1 0,01074 2 0,05469 3 0,17187 4 0,37695 5 0,62305 6 0,82813 7 0,94531 8 0,98926 9 0,99902 10 1,00000
Para calcular la probabilidad buscada podemos usar cualquiera de las dos tabla calculadas en Minitab de la placa anterior: 1.- Si usamos la función de densidad de la Binomial, será: P (X ≥ 8) = P(8) + P(9) + P(10) = = 0,43945 + 0.09766 + 0.00977 = 0.05469 2.- Si usamos la función de distribución acumulada de la Binomial, será: P (X ≥ 8) = 1 - P (X ≤ 7) = = 1 - 0,94531 = 0,05469
EJERCICIOS
1.- Las preferencias de color para automóviles cambian al paso de los años y según el modelo que elige el cliente.En el último año, 10% de los automóviles de lujo vendidos eran negros.- Si se elige al azar 20 automóviles de ese año y tipo, encuentre las probabilidades siguientes: a) Por lo menos cinco automóviles son negros.b) A lo sumo seis automóviles son negros.c) Más de cuatro automóviles son negros.d) Exactamente cuatro automóviles negros.e) Entre tres y cinco automóviles (inclusive) son negros.f) Diez o más automóviles negros.-
2.- A principios de agosto, una universidad descubre que puede admitir a algunos estudiantes más.- La admisión de esos estudiantes aumentaría significativamente los ingresos sin incrementar los costos de explotación de la universidad, es decir, no habría que abrir nuevas clases.- La universidad sabe por experiencia que el 40 por ciento de los estudiantes admitidos se matricula realmente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen como máximo 6 estudiantes si la universidad admite a 10 estudiantes mas?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen mas de 12 estudiantes si admite a 20?.c) Si se matricula el 70 por ciento de los estudiantes admitidos, ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen al menos 4 de 10 estudiantes admitidos?.-
3.- Un director de producción sabe que el 5 por ciento de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún defecto.- Se examinan seis de estos componentes cuyas características puede suponerse que son independientes entre si: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tengo un defecto?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tenga un defecto?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tengan un defecto?.-
4.- Un político cree que el 25 por ciento de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyaran firmemente una propuesta que desea presentar.Suponga que esta creencia es correcta y que se seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco apoyen firmemente la propuestas?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los cinco apoyen la propuesta?.5.- Supongamos que el 30 % de los estudiantes de una universidad se oponen a pagar una cuota para actividades estudiantiles. Hallar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 20 estudiantes, el número de estudiantes que se oponen a la cuota es: a) Exactamente 5 b) Mayor que 5 c) 5 o menos d) Entre 6 y 10, inclusive
6.- En la Universidad Nacional de La Rioja, se determino que el 20 % de inscriptos en una carrera son del interior de la provincia. Se seleccionó al azar 8 alumnos. Cuál es la probabilidad de que: a) Más de 6 sean del interior b) Exactamente 5 c) Menos de 8 d) Entre 2 y 5 inclusive 7.- La probabilidad de que un vendedor venda una suscripción a una revista a alguien que ha sido seleccionado aleatoriamente del directorio telefónico es de 0,20.- Si el vendedor le habla a 10 individuos esta tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ¿No se venda ninguna suscripción? b) ¿Se vendan exactamente dos suscripciones?.c) ¿Se vendan al menos dos suscripciones?.d) ¿Se vendan a lo más dos suscripciones?.-
8.- Edenor proporciona tarifas más bajas a los clientes que prefieran las horas de menos consumo.- El 30% de sus clientes aprovechan estos ahorros.- El Departamento de Servicio a clientes han elegido a 10 clientes al azar para que participen en un grupo de interés para discutir a que horas se produce el mayor consumo de energía.- Al Departamento de supervisión le preocupa que el grupo contenga una gran proporción de usuarios que prefieran la tarifa baja: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 usuarios de tarifa baja en el grupo de interés? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de ocho clientes normales en el grupo de interés?.d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-
9.- El City Bank de cierta ciudad grande, recientemente inicio un nuevo programa de créditos.- Los clientes que cumplen con ciertos requisitos de crédito pueden obtener una tarjeta de crédito que es aceptada por los comerciantes del área.- Los requisitos anteriores indican que 25% de todos los solicitantes de este tipo de tarjeta son rechazados.- Dado que la aceptación o rechazo de una solicitud es un proceso de Bernoulli, de 20 solicitantes.- ¿Cual es la probabilidad de que: a) Exactamente 4 sean rechazadas.b) Exactamente 8 sean rechazadas.c) Sean rechazadas menos de tres.d) Sean rechazadas más de cinco.-
10.- Un 10% de los empleados de producción en la Empresa Maidana están ausentes del trabajo en un determinado día de verano.- Supóngase que se seleccionan al azar 10 trabajadores de producción para un estudio riguroso del ausentismo.a) ¿Cuál es la variable aleatoria?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 trabajadores estén ausentes.c) ¿Cuál es la probabilidad que 2 o mas trabajador este ausente?.d) ¿Cuál es la probabilidad que 3 o menos trabajadores este ausente.e) Calcule la media, variancia y desvío estándar de la distribución.-
11.- Cuando un cliente hace un pedido a la papelería El Coloso SRL, un sistema contable computarizado, verifica automáticamente si el cliente ha excedido o no su límite de crédito.- Los registros señalan que la probabilidad de que los clientes exceden su límite de crédito es de 0,05.- Suponga que durante un día determinado, 20 clientes hicieron un pedido.- Suponga también que el número de clientes que según el sistema computarizado excedieron su límite de crédito esta distribuido como variable aleatoria binomial.a) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que excedieron su límite de crédito?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite de crédito?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo un cliente exceda su límite de crédito?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su límite de crédito?.-
12.- El ocho por ciento de los empleados de cierta planta automotriz recibe su sueldo bimestral por medio de transferencias de fondos electrónicos.- Este mecanismo recibe también el nombre de depósito directo.Suponga que selecciona una muestra aleatoria de siete empleados.a) ¿Esta situación cumple las condiciones de la distribución binomial?.b) ¿Cuál es la probabilidad que a los siete empleados se les haga un depósito directo?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a cuatro se les haga depósito directo?.d) ¿Cuál es la probabilidad que dos o menos se les haga el deposito directo?.-
13.- La rapidez con la que las compañías de servicios resuelven los problemas es de suma importancia, Telecom afirma que es capaz de resolver el 48% de los problemas de los clientes el mismo día en que se reportan.- Suponga que los 10 casos que se reportaron el día de hoy son representativos de todas las quejas.a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de hoy?.- ¿Cuál es la desviación estándar?.b) ¿Cuál es la probabilidad que hoy resuelvan exactamente 8 problemas?.c) De que hoy resuelvan 4 o 5 problemas.d) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan 3 o menos problemas?.e) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan dos o más problemas?.-
14.- Una compañía de cereales fue demandada por un grupo ambientalista que se oponen al uso de empaques no biodegradables.- El juicio será con jurado y el asesor legal de la empresa cree que el éxito de su defensa dependerá en gran medida del número de accionistas de la compañía entre los 9 jurados.- Estos se eligen en forma aleatoria de una localidad en donde se sabe que el 20% de los adultos posee acciones.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jurado incluya cuando menos a tres personas que poseen acciones?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuanto menos cinco de los integrantes del jurado posean acciones?.-
15.- Usted es el Contador de la Empresa Aceitera “Don Juan”.- Se ha descompuesto una máquina de la empresa y le solicitan que compre la pieza rota a un proveedor de Buenos Aires.- Esta pieza que es enviada en lotes de 10, sufre de una tasa de defecto del 40 por ciento.a) Si usted no desea correr un riesgo mayor del 10 por ciento en la probabilidad de que cinco sean defectuosas.- ¿Debería comprarle a este Proveedor?.b) Si usted no desea correr un riesgo mayor del 20 por ciento en la probabilidad de que más de cinco salgan defectuosas.¿Debería comprarle a este Proveedor?.-
16.- En una encuesta social realizada a miles de estudiantes con edades de 16 a 22 años de edad, sobre sus finanzas personales.- En la encuesta se encontró que el 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta de crédito.a) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito?.b) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos tengan su propia tarjeta de crédito?.c) En una muestra de diez estdiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de crédito?.d) En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad que más de tres estudiantes tengan su propia tarjeta de crédito?.-
17.- El 40% de las personas que viajan por negocios llevan un teléfono celular o una computadora portátil. - En una muestra aleatoria de 20 personas; a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono celular o una computadora portátil?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que doce de los viajeros no tengan ni un teléfono celular ni una computadora portátil?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan un teléfono celular o una computadora portátil?.-
18.- Una universidad se enteró de que 20% de sus alumnos se dan de baja después de cursar Análisis Matemático.Suponga que este cuatrimestre se inscribieron 20 alumnos a ese curso.-
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de baja?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja exactamente cuatro?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de tres?.d) ¿Cuál es la cantidad esperada de deserciones?.19.- El 48% de las industrias manufactureras del país de tamaño mediano, planearon visitas de representantes de su administraciones a Brasil y Venezuela para aprovechar ciertas condiciones y oportunidades que daba el Tratado de Comercialización del Mercosur.- Un grupo exportador e importador de Brasil invitó a 20 manufactureras de Argentina medianas a participar en una conferencia con el fin investigar las oportunidades de negocios.-
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas empresas manden representantes?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas manden representantes?.c) ¿Cuántas de estas empresas espera el lector que manden representantes?.d) ¿Cuáles son los valores de la variancia y del disvío estándar de la cantidad de empresas que mandan representantes?.20.- El 5% de los camioneros de EEUU son mujeres.Suponga que se seleccionan al azar a 10 camioneros para una encuesta sobre sus verdaderas condiciones de trabajo.a) Es un experimento binomial la selección de 10 camioneros?.- Explique su respuesta.-
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros sean mujeres?.c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los camioneros sean mujer?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea una mujer?.-
VEAMOS LA DISTRIBUCION BINOMIAL MEDIANTE UN PAQUETE ESTADISTICO COMO MINITAB, ETC.-
LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON.-
La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simón Poisson (1781- 1840) en un libro publicado en 1837.- El numero de aplicaciones comenzó a aumentar a principios del siglo XX y la aparición del computador ha permitido aumentarlas en el siglo XXI.La distribución de Poisson es una importante distribución de probabilidad discreta para algunas aplicaciones, entre las que se encuentra las siguientes; •
El numero de fallas de un sistema informático en un día dado.-
•
El numero de pedidos de sustitución de una pieza recibidas por una empresa en un mes dado,.
•
La cantidad de personas en la cola de un Supermercado para pagar su compra durante un intervalo de tiempo determinado.-
•
El numero de barcos que llegan a una Terminal de carga durante un periodo de seis horas.-
•
El numero de camiones de reparto que llegan a un almacén central en un hora.-
•
El numero de llamadas que recibe un conmutador durante cierto tiempo.-
•
El numero de clientes que llegan a tomar un vuelo cada 15 minutos entre las 3 y las 6 de la tarde durante dos días de la semana.-
•
El número de bacterias en un volumen pequeño de líquido.-
• •
El número de averías de una máquina un día dado.El número de accidentes de tránsito en una calle determinada.-
Podemos utilizar la distribución de Poisson para hallar las probabilidades de cada una de las variables aleatorias de los ejemplos que hemos planteado; que se caracterizan por ser el numero de ocurrencia o de éxitos de un evento en un intervalo continuo dado como, el tiempo, superficie, longitud o volumen, durante el que se puede esperar que ocurra un promedio λ de tales eventos.LA DISTRIBUCION DE POISSON SE BASA EN CIERTOS SUPUESTOS, QUE DEBEMOS TENER EN
Supongamos que un intervalo esta dividido en un gran numero de subintervalos de manera que la probabilidad de que ocurra un evento de cualquier subintervalo es muy pequeña.
1.- La probabilidad de que ocurra un evento es constante en todos los subintervalos
2.- No puede haber mas de una ocurrencia en cada subintervalo
3.- Las ocurrencias son independientes es decir, las ocurrencias en intervalos que no se solapan son independientes entre si.-
Podemos formular directamente la ecuación para calcular probabilidades de Poisson a partir de la distribución binomial tomando los limites matemáticos cuando p → 0 y n → ∞.- Con estos limites, el parámetro λ = n . p es una constante que especifica el numero medio de ocurrencia (éxitos) en un determinado tiempo y/o espacio.Se dice que la variable aleatoria X sigue la distribución de Probabilidad de Poisson, entonces La probabilidad de que este evento ocurra x veces es, x
-λ λ e P ( X = x) = ----------------------X! Para valores de x = 0, 1, 2, 3……………..
La Media, Variancia y la Desviación Estándar son:
E (X) = μ = λ
σ² = E [ (X - μ)² ] = λ
σ=
λ
El símbolo e = 2,71828 se puede calcular con una calculadora científica, que debe tener una función como e x .Para cada valor de x se puede obtener las probabilidades individuales de la variable aleatoria de Poisson, de la misma manera que en que procedió para la variable aleatoria binomial.De manera alternativa se puede usar la Tabla de la Distribución Poisson del Compendio de Tablas Estadística, para valores de Λ).-
de (x;
Recordemos que como en todas las distribuciones se puede aplicar la Distribución acumulada, donde:
P (X ≤ x) = ∑ P (X = x) para x = 0, 1, 2, ……………… En algunas situaciones nos conviene usar el complemento.- Es decir,
P (X ≥ x) = 1 - P (X ≤ x) Para tener en claro una distribución de probabilidad es importante conocer la forma de la distribución.-
La forma de la distribución de Poisson es asimétrica a derecha, dependiendo del valor de λ.- A medida que λ se hace más grande la distribución tiende a ser simétrica.-
λ = 0,5
λ=6
Ejemplo 1.- El promedio de accidentes de tránsito que ocurren en un tramo de ruta es de dos por semana.- Suponga que el número de accidente sigue una distribución de Poisson con λ = 2.a) Obtenga la probabilidad de que ningún accidente ocurra en este tramo de ruta durante un semana.b) Encuentre la probabilidad de que a lo más ocurran tres accidentes en este tramo de ruta durante dos semanas.0 2
-2 e
Solución
-2 a) P (X = 0) = ------------------- = e
= 0,135335
0! b)
λ= 2 * 2 =4
P ( X ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 = = 0,433471 ⇒ 43 %
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Andrés Sosa, director de un centro informático, informa de que su sistema informático ha experimentado tres fallos de componentes en los 100 últimos días.a)¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún fallo en un día dado?.b) ¿ Cuál es la probabilidad de que haya uno o mas fallos de componentes en un día dado?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos fallos en un periodo de tres días?.-
2.- Los clientes llegan a una fotocopiadora a una tasa media de dos cada cinco minutos.Suponga que estas llegadas son independientes, que la llegada es constante y que este sigue un modelo de Poisson, donde X representa el numero de clientes que llegan en un periodo de cinco minutos y la media λ = 2a)Halle la probabilidad de que lleguen mas de dos clientes en un periodo de cinco minutos.b) Halle la probabilidad de que lleguen tres o menos clientes en un periodo de cinco minutos.c) Halle la probabilidad de que no llegue ningún cliente en un periodo de cinco minutos.
3.- En cierta zona urbana, los funcionarios de la salud proveen que el numero de nacimientos este año será igual al del año anterior, cuando nacieron 438 niños, un promedio de 438/365 = 1,2 nacimientos por día.- Los nacimientos diarios han resultado distribuidos según una distribución de Poisson: a) ¿Cuál es la media de la distribución?.b) Para cualquier día especifico, ¿Cuál es la probabilidad de que no nazcan niños?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día especifico nazcan 7 o menos niños.d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay mas de un nacimiento en un día especifico?.-
Distribución de Poisson como forma limitante de la binomial.-
Aunque la distribución de Poisson por lo general encuentra aplicaciones en problemas de espacio y tiempo como se vio en los ejemplos anteriores, se puede ver como una forma limitante de la distribución binomial.En el caso de la binomial, si n es bastante grande y p es pequeña, las condiciones comienzan a simular las implicaciones de espacio continuo o región temporal del proceso de Poisson.- La independencia entre las pruebas de Bernoulli en el caso Binomial es consistente con la propiedad 2 del proceso de Poisson.- Si se hace al parámetro p cercano a cero se relaciona con la propiedad 3.- En realidad, derivaremos ahora la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución binomial cuando n →∞ , p → 0 y n p permanece constante.-
De aquí, si n es grande y p cercano a 0, se puede usar la distribución de Poisson con μ = λ = n p para aproximar probabilidades binomiales.- Si p es cercano a 1, aún podemos utilizar la distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales, mediante el intercambio de los que definimos como éxito y fracaso, cambiamos con ello p a un valor cercano a 0.b ( x; n; p) → p ( x; λ )
Ejemplo 1.- En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta.- Se sabe que, en promedio uno de cada 1000 de estos artículos que se producen tiene una o más burbujas.- ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos con burbujas?.Solución.-
Este es en esencia un experimento binomial con n = 8000 y p = 0,001 .- Como p es muy cercano a cero y n es bastante grande, haremos la aproximación con la distribución de Poisson utilizando, μ = λ = n p = 8000 * 0,001 = 8 De aquí, si X representa el número de burbujas, tenemos:
P ( X < 7) = P (X ≤ 6) =
∑
p (x; 8,0) = 0,3134 31%
Ejemplo 2.- Suponga que una compañía de seguro de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad.- Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años muera en un cierto año es de 0,001, calcule la probabilidad exacta de que la compañía pague x = 4 demandas durante un año dado.Solución La probabilidad exacta esta dada por la distribución binomial ya que el problema cumple sus características.Como su calculo binomial puede ser engorroso, se utiliza la aproximación a Poisson para su calculo.λ = n p = 5000 0,001 = 5 P (X = 4; Λ = 5,0) = 0,175 ⇒ 18%
EJERCICIO PARA HACER EN CLASE Un analista económico ha predicho que el 3,5 por ciento de todas las pequeñas empresas quebrara el próximo año.Suponiendo que la producción del analista es correcta, en una muestra aleatoria de 100 empresas, a) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre al menos tres pequeñas empresas.b) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre menos de cuatro pequeñas empresas.c) Estime la probabilidad de que el próximo año no quiebre ninguna pequeña empresa.d) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebren tres o menos pequeñas empresas.-
VEAMOS UN EJEMPLO, USANDO EL PROGRAMA MINITAB
Un fabricante de podadoras de césped compra con un proveedor motores de dos tiempos y un caballo de fuerza en lotes de 1000.- A cada podadora producida en la planta se le coloca un motor.- En los registros se observa que la probabilidad de que cualquier motor del proveedor resulte insatisfactorio es 0,001.- En un embarque de 1000 motores, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno resulte defectuoso?, ¿tres?, ¿cuatro?.- Cual es la probabilidad de que 3 o más sean defectuosas?.Solución n = 1000 y p = 0,001 El número esperado de artículos defectuosos en un embarque de 1000 será: λ = μ = n * p = 1000 * 0,001 = 1 Este es un problema binomial que lo resolvemos por Poisson:
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulada
Poisson con media = 1
Poisson con media = 1
x P( X = x ) 0 0,367879 1 0,367879 2 0,183940 3 0,061313 4 0,015328 5 0,003066 6 0,000511 7 0,000073 8 0,000009 9 0,000001 10 0,000000
x P( X <= x ) 0 0,36788 1 0,73576 2 0,91970 3 0,98101 4 0,99634 5 0,99941 6 0,99992 7 0,99999 8 1,00000 9 1,00000 10 1,00000
P (X = 0) = 0.367879 P (X = 3) = 0.061313 P (X = 4) = 0,015328 P (X ≥ 3) = 1 - P (X ≤ 2) = = 1 -
0,91970 = 0.0803 → 8 %
EJERCICIOS VARIADOS
1.- Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a una tasa media de tres por minuto.- Si la llegada sigue una distribución de Poisson, halle la probabilidad de que en un minuto dado lleguen dos clientes o menos.2.- El numero de accidentes que se producen en una fabrica tiene una distribución de Poisson con una media de 2,6 .a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos accidente en un mes dado?.b)
¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de tres accidente en un mes dado?.-
3.- Un profesor recibe por termino medio 4,2 llamadas telefónicas de los estudiantes el día antes del examen final.- Si las llamadas siguen una distribución de Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos tres llamadas ese día?.4.- Los datos indican que en la hora pico de la mañana se producen por termino medio 3,2 colisiones al día en una vía urbana.- Suponga que la distribución de Poisson: a) Halle la probabilidad de que en un día dado se produzca menos de dos colisiones en esta vía durante la hora pico de la mañana.b) Halle la probabilidad de que en un día dado se produzcan mas de cuatro colisiones en esta vía durante la hora pico de la mañana.-
5.- Hacienda ha informado de que el 5,5 por ciento de todos los contribuyentes comete errores al rellenar los impresos de declaraciones de impuestos a las rentas.- Si se eligen aleatoriamente 100 declaraciones , ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 contengan errores?.6.- Una empresa tiene 250 computadores personales.- La probabilidad de que uno cualquiera de ellos necesite una reparación en una semana dada es de 0,01.Halle la probabilidad de que menos de 4 de los computadores personales necesiten una reparación en una semana dada.7.- Una compañía de seguro tiene 6000 pólizas de seguro contra las estafas con otras tantas empresas.- En un año dado, la probabilidad de que una póliza genere una reclamación es de 0,001.- Halle la probabilidad de que se presenten al menos tres reclamaciones en un año dado.-
8.- .- Un departamento de reparación de maquinaria recibe un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora.¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente tres solicitudes en una hora seleccionada al azar? ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres llamadas en una hora elegida al azar?
9.- En promedio, cada hora cinco personas realizan transacciones en el mostrador de servicios especiales de un banco.- Suponiendo que la llegada de esas personas tiene una distribución independiente e igualmente probable en todo el período de interés, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en el mostrador de servicios especiales en una hora específica?
10.- Se certifica la calidad de los discos para computadora pasándolos por un certificador que cuenta el número de pulsos faltantes.- Una determinada marca de discos para computadoras tiene en promedio 0,10 pulsos faltantes por discos.- Calcular la probabilidad de que: a) Al siguiente disco que se inspecciona no le falte pulsos.b) Al siguiente disco que se inspecciona le falte más de un pulso.c) A ninguno de los dos discos inspeccionados le falte pulso.-
11.- Considere que los empleados de facturación rara vez cometen errores en la captura de datos de facturas.- Desde luego, muchas de estas no tienen errores, algunas tienen uno, unas cuentas tienen dos, y rara vez una factura tendrá tres errores y así sucesivamente.- Una muestra aleatoria de 1000 facturas reveló 300 errores.a) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar errores en una factura seleccionada al azar?.b) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de dos errores en una factura seleccionada al azar?.
12.- La señora García esta encargada de los prestamos de un banco.- Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente su préstamo es de 0,025.- El mes pasado realizó 40 prestamos.a) ¿Cuál es la probabilidad que 3 prestamos no se paguen a oportunamente?.b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 3 prestamos no se paguen oportunamente?.-
13.- Los sábados a la mañana, los clientes entran a un centro comercial suburbano a una tasa esperada de 0,50 por minutos.Sea X el número de clientes que entran en un intervalo específico de 10 minutos.- Encuentre las siguientes probabilidades: a) Exactamente tres clientes.b) Tres o menos clientes.c) Cuatro o más clientes.d) Entre 4 y 10 clientes, inclusive.-
14.- Supongamos que examinamos el número de clientes que llegan durante la hora del almuerzo a un banco localizado en el distrito comercial central de una gran ciudad.Cualquier llegada de un cliente es un evento discreto en un punto particular sobre el intervalo continuo de una hora.- Si en promedio 0,05 clientes llegan por segundo.Cual es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen: a) Exactamente dos clientes.b) Más de dos clientes.c) 4 o menos clientes.-
15.- Se estima que 0,5 por ciento de las llamadas a la casa de gobierno reciben la señal de ocupado.- ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 llamadas telefónicas del día de hoy: a) Al menos 5 hayan recibido la ocupado.b)Tres o más hayan recibido la ocupado.c) 4 o menos hayan recibido la ocupado.-
señal de señal de señal de
16.- A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un promedio de dos por minutos y se sabe que tiene una distribución de Poisson.- Si el operador esta distraído por un minuto.- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea: a) Ninguna.b) Por lo menos una.c) Entre tres y cinco inclusive.d) ¿Cuál es la probabilidad, si el operador se distrae por cuatro minutos?, en los incisos anteriores.-
17.- La compañía Citizen se enorgullece de cumplir con sus fechas de entrega.- Luís Rocca, el presidente, presume que de cada 100 pedidos 98 se entregan a tiempo.Durante un período de una semana se procesaron 80 ordenes.- Suponiendo que lo que dice Rocca es cierto, averigüé las siguientes probabilidades: a) De que dos ordenes no se entreguen a tiempo b) De que menos de tres ordenes no se entreguen a tiempo.c) De que seis ordenes o más no se entreguen a tiempo.-
18.- Al departamento de reservaciones de Aerolíneas Argentina llegan en promedio 48 llamadas por hora.a) Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un intervalo de cinco minutos.b) Calcule la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en 15 minutos.c) Suponga que actualmente no hay llamadas esperando.Si el agente tarda cinco minutos en atender una llamada, ¿Cuántas llamadas cree que estarán esperando cuando cuelgue el teléfono?.-¿Cuál es la probabilidad de que ninguna este esperando?.d) Si actualmente no hay llamadas pendientes, ¿Cuál es la probabilidad de que el agente pueda ausentarse tres minutos sin interferir con la atención a las llamadas?.-
19.- El promedio anual de las veces que los suscriptores de cierta revista económica toman vuelos locales por motivos personales es 4.a)¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome dos vuelos locales en un año por motivos personales?.b) ¿Cuál es la cantidad promedio de vuelos locales por motivos personales en un trimestre?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome uno o más vuelos locales por motivos personales durante un semestre?.-
20.- Las actividades de inversión de los suscriptores del diario Wall Street, muestran que la cantidad promedio anual de transacciones de acciones es aproximadamente 15.- Suponga que determinado inversionista hace sus transacciones con esta frecuencia.-
Además, suponga que la probabilidad de una transacción para este inversionista, es igual para dos meses cualquiera y que las transacciones en un mes es independientes de las que hace en cualquier otro mes.a) ¿Cuál es la cantidad promedio de transacciones por mes?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya transacciones de acciones durante un mes?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente una transacción durante un mes?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una transacción durante un mes?.-
Veamos distribución de Poisson mediante programas estadístico Minitab.-
