3. Variable Aleatoria y Esperanza Matemática – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
1.- En una multitienda se realiza un estudio para analizar la cantidad de freezers de cierta marca que se venden diariamente. Considere la siguiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: “nº de freezers vendidos diariamente” x P(x)
1 0,18
2 0,23
3 0,20
4 0,15
5 0,14
6 0,10
1.1) La multitienda decide no comercializar esta marca de freezer si vende en promedio menos de cuatro diariamente. ¿Cuál es la decisión que se toma en la multitienda? Utilice medida estadística adecuada. 1.2) Calcule la desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente. 1.1) Solución: Sabemos que el valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria discreta, se calcula por medio de la siguiente fórmula:
Por lo tanto, al reemplazar los datos otorgados por el problema, tenemos:
Respuesta: Debido a que el valor esperado es menor a cuatro freezers, la decisión que se toma es no comercializar esta marca de freezer. 1.2) Solución: Por otro lado, conocemos que la formula de la varianza en variable aleatoria discreta, es la siguiente:
Donde, Finalmente: Respuesta: La desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente es 1,594. 2.- El porcentaje de reclamos en una empresa de correos es de 15%, se realiza un seguimiento de estos reclamos ya que esta cifra se considera excesiva. Se toma una muestra de 25 despachos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos? 2) Solución: Primeramente definimos la notación a utilizar: “Número de reclamos en una muestra” Luego, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, por lo que queda expresado de la siguiente manera:
Finalmente, calculamos la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos:
Respuesta: La probabilidad que al menos dos de ellos tengan reclamos en una muestra de 25 despachos, corresponde a 0,907
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3.- Una empresa solicita a la oficina de colocaciones de una municipalidad, obreros para realizar un trabajo de pintura exterior en un edificio. La oficina de colocaciones envía a 6 obreros con experiencia, en este tipo de trabajo y 4 sin experiencia. La empresa decide contratar a 5 obreros. 3.1) Determine la función de cuantía de la variable aleatoria, “Número de obreros con experiencia, dentro de los contratados”. 3.2) ¿Cuál es la probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueron contratados sea a lo más 2? 3.1) Solución: Sea: “Número de obreros con experiencia, dentro de los contratados”. Cuya variable es una distribución Hipergeometrica, lo que se representa como continua:
Luego, calculamos los valores las probabilidades para
Finalmente, la función de cuantía de la siguiente forma: x P(x) 3.2) Solución: Sea
1 0,0238
2 0,2381
3 0,4762
4 0,2381
5 0,0238
“Número de obreros sin experiencia dentro de la contratación”
Respuesta: La probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueron contratados sea a lo más 2, es 0,7381. 4) De un lote grande de artículos fabricados el 10% tiene defectos. Se extraen al azar 8 artículos. 4.1) Determine la probabilidad de que a lo más uno de los artículos elegidos tenga defecto. 4.2) El costo (en UF) de hacer efectiva la garantía al vender estos productos está dado por , donde es número de artículos defectuosos entre los ocho vendidos ¿Cuál es el costo esperado de hacer efectiva la garantía? 4.3) El gerente de la industria exige probar uno a uno artículos elegidos al azar de diferentes lotes. Si el primer artículo con defecto resulta antes de la sexta prueba el gerente subirá el precio del artículo debido a la garantía. Determine la probabilidad de que se lleve a efecto la medida propuesta por el gerente Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
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4.4) En la industria ocurren en promedio dos accidentes laborales por semana. Determine la probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tres accidentes laborales. 4.1) Solución: Para comenzar definimos la siguiente notación: “Número de artículos defectuosos entre 8 elegidos independientemente” Además, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, quedando expresado de la siguiente manera:
Enseguida procedemos a calcular la probabilidad requerida por el problema:
Respuesta: La probabilidad de que a lo más uno de los ocho artículos tenga defecto es 0,8131 4.2) Solución: Lo primero, será calcular mediante formula la esperanza y varianza de lo que se expresa como sigue:
, con
Además, sabemos que
Luego, calculamos el costo esperado de hacer efectiva la garantía, de la siguiente manera:
Respuesta: El costo esperado de hacer efectiva la garantía es 4,08 U.F. 4.3) Solución: Utilizaremos esta notación: “Número de artículos elegidos independientemente hasta encontrar uno defectuoso”
Procedemos a calcular la probabilidad que se nos pide:
Respuesta: La probabilidad de que el primer artículo con defecto resulte antes de la sexta prueba, por lo tanto, que el gerente lleve a cabo la medida propuesta por el gerente, es 0,40951. 4.4) Solución: Sea: “Número de accidentes laborales en una semanas”
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Luego, utilizamos la siguiente notación: “Número de accidentes laborales en dos semanas” Tenemos:
Enseguida calcularemos la probabilidad de que se nos solicita:
Respuesta: La probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tres accidentes labores es 0,5665 5.- Una cajera de supermercado demora en promedio 100 segundos en atender a un cliente. Si se establecen como válidos los supuestos de Poisson: 5.1) ¿Cuál es la probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos? 5.2) Si la cajera es observada en 5 períodos diferentes de dos minutos cada uno elegidos al azar ¿Cuál es la probabilidad que en sólo uno de los períodos atienda a un cliente? 5.1) Solución: Utilizamos la notación que sigue: “Número de clientes que atiende la cajera en 100 segundos”
Luego, utilizamos la siguiente notación: “Número de clientes que atiende la cajera en 120 segundos”
Tenemos:
Luego, la probabilidad requerida:
Respuesta: La probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos, corresponde a 0,3374 5.2) Solución: Nos encontramos frente a una distribución binomial, por lo que utilizaremos la siguiente notación: “Número de periodos en que la cajera atiende a un cliente en dos minutos”
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Aplicaremos la distribución Poisson en éxito ( ):
, para poder definir el valor de la probabilidad de
Por ende, queda expresado de la siguiente manera:
Finalmente, calculamos la probabilidad pedida:
Respuesta: Si la cajera es observada en 5 periodos diferentes de dos minutos cada uno elegidos al azar, la probabilidad de que sólo uno de los periodos atienda a un cliente, corresponde a 0,3005.
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