Apunte 4 Variable aleatoria continua

V A Continuas y Distribuciones de Probabilidades

Unidad 4

H. Alvarado y L. Retamal

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

En esta unidad nos abocaremos al estudio de las variables aleatorias continuas y surgirán de los problemas el análisis de las distribuciones exponenciales, distribución uniforme, distribución normal y la distribución gamma, que define una familia de casos particulares de distribuciones de probabilidades. Una variable aleatoria es continua si su recorrido es un conjunto continuo de números reales (no (no numerable de elementos), es decir, es un intervalo de IR. Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas son: a) Los pesos de envío del agua mineral en contenedores oscilaban aleatoriamente entre 10 y 25 libras, b) tiempo de atención a un cliente, c) Estatura de los clientes en una tienda de ropa, d) Los ingresos de los empleados en un centro comercial, h) El tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca. Intentaremos dar solución a situaciones tales como:

Ejercicio 1. Los camiones llegan al puerto de carga a una tasa de 2 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 minutos transcurran entre llegadas?

Ejercicio 2. En los días de verano el tiempo de retraso de un tren de enlace suburbano se puede modelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos. a) Encuentre la probabilidad de que el tren llegue por lo menos con 8 minutos de retraso. b) Encuentre la desviación estándar del tiempo de retraso del tren.

Ejercicio 3. Un sistema lo componen 80 componentes cada una de las cuales tiene una confiabilidad igual a 0,95. Si esas componentes funcionan independientemente una de otra, y si el sistema completo funciona correctamente cuando al menos funcionan 50 componentes, ¿Cuál es la confiabilidad del sistema? Compare la calidad de la estimación en probabilidad.

Ejercicio 4. Ciertas barras de metal se generan mediante una aleación en que se combinan dos metales. Las barras barras contiene cierto porcentaje (%) de plomo que puede ser considerado como una variable aleatoria X y y función de densidad

 x  f X ( x) =  5000 si 0 ≤ x ≤ 100  0 e.o.c. El costo de producir una barra, depende fuertemente del porcentaje de plomo, además de los costos fijos y está dado por: W ( X ) = 3 X + 4 a) Calcular la función de distribución distribución acumulada de X b) Determine la probabilidad que el porcentaje de plomo contenido en una barra cualquiera varíe de 20% a 80% X ) c) Obtenga la función de densidad de probabilidad para los costos, W ( X d) Calcule la esperanza del costo de producir una barra. 2

1



Def. 1: Una variable aleatoria continua (v.a.c.) X se dice continua si existe una función f llamada función densidad de probabilidad (f.d.p.) de X que satisface las siguientes condiciones: ∞

a)

f(x) ≥ 0

;

∫−∞

∀ x ∈ IR

b)

f ( x)dx = 1 b

P (a≤ X ≤ b)=

En particular, para cualquier números a y b:

∫a

f(x)dx

Def. 2: La Función de distribución acumulada F X ( x ) de una v.a. continua X , con f.d.p. f ( x), es una función definida sobre los números reales, tal que:

x P ( X ≤ x) = F X ( x) =

∫ f (t )dt

−∞

Observaciones :

1) El dominio de definición para F X ( x ) es toda la recta real. 2) Como F X ( x) es una probabilidad, se cumple que 0 ≤ F X (t ) ≤ 1, 3) La variable X es continua si y solo si F X ( x ) es continua

∀t

∀ x ∈ IR

a

4) Si la v.a. X es continua

P(a < X < b) = P(a

P ( X = a ) =

∫a f (t )dt = 0

y entonces se tiene que:

≤ X≤ b) = P(a ≤ X< b) = P(a < X≤ b)

5) Dada la función de distribución de una v.a. continua podemos obtener la función d densidad de probabilidad : f X ( x ) = F X ( x )

dx

6) El valor esperado de X se define por:

∞ E ( X ) = ∫ x ⋅ f X ( x) dx −∞

∞ De igual forma La varianza V ( X ) = ∫ ( x − µ ) 2 ⋅ f X ( x) dx y la función generadora de −∞ ∞ momentos M x(t ) = E[e tx ] = ∫ et x ⋅ f X ( x) −∞ 7) Las propiedades de la esperanza y varianza de una función de v.a. discreta, y de la función generadora de momentos son válidas también para el caso de variables aleatorias continuas.

2



Ejercicio 5. A partir de la siguiente fdp. del tiempo de falla (en horas) de un componente electrónico de una copiadora, determine la f.g.m. de X y a partir de ella obtenga el tiempo medio de falla y su varianza.

 1 − x 1000  x > 0 f ( x) =  1000 e  0 e.o.c.

Teorema 1: Sea X una v.a.c. con densidad f ( x) y sea H ( x) una función continua derivable y monótona (sólo ↑ ò sólo ↓ ), entonces si Y = H ( x) la función de distribución de Y es: F Y ( y) = F x (H −1 (y) ) si H(x) es ↑ F Y ( y) = 1 - F x (H −1 (y) )

si H(x) es ↓

d dy

−1

−1

La función densidad para Y es: f Y (y)= f x (H (y) )  H (y) ;

∀ y ∈ Ry

Ejemplo 1. Resolver el ejercicio 4.

DISTRIBUCIONES CLÁSICAS DE PROBABILIDADES DE V.A. CONTINUAS

[1] Distribución Exponencial.

X ~ Exp (λ)

La distribución de Poisson es una distribución discreta que mide el número de ocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio; los eventos ocurren al azar independientemente y a una tasa uniforme por unidad de tiempo. La función de probabilidad es: P ( X = x) =

µ x ⋅ e − µ x!

=

(λ t ) x e −λ t x!

, x = 0,1,2,3,...

en donde t : es el lapso de tiempo; λ : es la tasa de ocurrencia; e = 2.71828 es la base del logaritmo natural. La representación gráfica es la siguiente:

3



Por el contrario, la distribución exponencial es una distribución continua, que mide el paso del tiempo entre tales ocurrencias. Es decir, mientras la distribución Poisson describe las tasas de llegada (de personas, camiones, llamadas telefónicas..) dentro de algún período dado, la distribución exponencial estima el lapso entre tales arribos. Supongamos que en el tiempo t = 0 empezamos a observar el proceso de Poisson y sea ahora T el tiempo en el cual ocurre el primer evento. T es entonces una v.a. continua y su recorrido es R T = {t : t>0}. Sea t cualquier número positivo y consideremos el evento {T> t}, que el tiempo del primer evento sea mayor que t. Este evento ocurre si y sólo si ha ocurrido 0 eventos en el intervalo fijo (0, t ]. Pero vemos que la probabilidad de 0 eventos − λ t

en un intervalo de longitud t es P( X = 0) = e . Como {T > t} ≡ { X = 0} sus probabilidades deben ser iguales y así:

Luego,

P (T > t ) = 1 − e − λ t t

FT ( t ) = 



e − λ t =

1 - P(T ≤ t ) = 1-FT(t ).

>0 t≤0

0

y la función densidad de probabilidad de T es f T ( t ) =

d dt

FT ( t ) = λ e − λ t

;

t

>0

Si X es el tiempo que transcurre hasta que el primer evento ocurre, entonces X es llamada variable aleatoria exponencial con parámetro λ y entonces se tiene:



x≤0



x

0 λe − λ x

f X ( x ) = 

Además,

E( X ): =

1

λ

,

V( X )

=

1

λ

2

>0 ,

Mx (t) =

λ , t ≤ λ λ − t

Así, en la distribución exponencial,

la probabilidad de que el lapso sea menor o igual a cierta cantidad t es: P (T ≤ t ) = 1 − e −λ t

La función densidad de probabilidad es una curva en continuo descenso que muestra que con el paso del tiempo T aumenta, y la probabilidad (llamada también confiabilidad ) disminuye. Por ejemplo, la probabilidad de que pasen 30 minutos entre ocurrencias excede la probabilidad de que pasen 40 minutos, debido a que siempre deben pasar 30 minutos antes que pasen 40.

4



Observación: La distribución Exponencial se utiliza con frecuencia como modelo para la distribución de tiempo entre la presentación de eventos sucesivos, y tiene la propiedad de ser desmemoriada (carencia de memoria). Esto es, si X ~ ε(λ) y consideramos las constantes positivas a y b se cumple P( X > a + b) e −λ ( a + b) P(X > a + b / X > a ) = = − λa = e − λ b = P(X > b) P (X > a ) e

Ejemplo 2. Se asume que la tasa de llegadas de clientes es 1,5 por hora y se desea saber la probabilidad de que no más de dos horas transcurran entre llegadas. Sol: Existe un 95,02% de probabilidad de que el segundo cliente ingrese a las dos horas o menos del primero si la tasa promedio de llegadas es de 1.5 por hora.

Ejercicio 6. Una compañía programa sus taxis para que lleguen al aeropuerto local en una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegada de 12 por hora. Usted acaba de aterrizar en el aeropuerto y debe llegar al centro a cerrar un gran negocio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga que esperar máximo 10 minutos para conseguir un taxi? Si la probabilidad de que pase otro taxi dentro de 10 minutos es menor al 50%, usted alquilará un auto para el viaje a la oficina. Concluya. b) ¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga que esperar entre 5 y 15 minutos? c) Calcule e interprete la esperanza matemática.

Ejercicio 7. Durante un día de trabajo típico de 8 horas, los computadores utilizados para vigilar la etapa de enfriamiento en la producción de neumáticos para autos señalan que la temperatura no se mantiene de forma apropiada en 30 oportunidades. El director ejecutivo de la compañía, está por hacer una inspección de la planta durante 30 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que esté allí cuando se active la señal del computador?

[2] Distribución Uniforme. X ~ U ( a , b ) La distribución de probabilidad uniforme es una distribución en la cual las probabilidades de todos los resultados son las mismas.

5



El área total bajo la curva, como en el caso de todas las distribuciones de probabilidad, debe ser igual a 1 o 100%. Debido a que el área es la altura por el ancho, si b – a es el ancho o rango de la distribución, entonces la altura es:

Altura = Área = Ancho

1

b−a

Los parámetros que caracterizan a una distribución Uniforme son los límites del intervalo, a y b. formalmente esta distribución es definida como sigue:

Def. 3: Sea X una variable aleatoria continua que toma todos los valores en el intervalo (a, b) con -∞
si a

< x < b

. . .

eoc

Si X ~ U (a , b) la media o valor esperado está a la mitad de camino entre sus dos puntos 2 extremos: E(X) = a + b y su varianza es: V(X) = (b − a) 12

2

La desviación estándar es

σX =

(b − a) 12

tb

y

e − eat Mx (t) = . t (b − a)

0  t − a La función acumulada de X está dado por: F ( x ) =  b − a  1

si t

si a

≤t ≤ b

si t

>b

Ejemplo 3. Los tiempo de terminación de un trabajo oscilan entre 10.2 minutos a 18.3 minutos y se piensa que están distribuidos uniformemente. 10.2 + 18.3 a) La media es: µ = = 14.25 b) La altura es Altura = 2

1 18.3 − 10.2

= 1/8.1 = 0.123

c) ¿Cuál es la probabilidad de que requiera entre 12.7 y 14.5 minutos para realizar este trabajo? Este valor está dado por el área dentro de ese rango. La probabilidad de que una observación única esté comprendida dentro de dos valores X 1 y X 2 es 0.222, ya que: P { X 1 ≤ X ≤ X 2 } =

X 2 − X 1 b−a

Ejercicio 8. Las edades de un grupo de ejecutivos que acuden a una convención se distribuye de forma Uniforme entre treinta y cinco y sesenta y cinco años: Si X representa la edad, en año, se puede representar mediante una distribución de probabilidad Acumulada dada por:

6



si x < 35  0  x − 35 F X ( x) =  si 35 ≤ x ≤ 65 30  si x > 65  1 a) Hallar la probabilidad de que la edad de un ejecutivo de este grupo elegido al azar esté entre cuarenta y cincuenta años. b) Determine la media de la edad de los ejecutivos de este grupo.

Ejercicio 9. Sea X una variable aleatoria con distribución Uniforme sobre el intervalo (a , b). Si E ( X ) = 10 y V ( X ) =12, encontrar los valores a y b.

[3] Distribución Normal.

X ~ N ( µ , σ )

La distribución Normal es la más importante en Probabilidades y Estadística.

Def. 4: La variable aleatoria X que toma los valores reales tiene distribución Normal si su función densidad de probabilidad es: ( ) =

f X x

1

− e

1 ( x − µ ) 2 2

2πσ 2

σ 2

,

∀ x∈ IR ; µ∈ IR ; σ 2 > 0 , µ y σ son constantes.

Los parámetros de una distribución Normal son µ y σ 2

y como veremos µ = E ( X ) y la

varianza σ 2 = V ( X ) .

Propiedades de una v. a. X ~ N(µ, σ 2 ) a) El gráfico de la f. d. p. tiene la forma de una campana. b) Es simétrica con respecto de la recta x = µ y este punto es cóncavo hacia abajo y tiene puntos de inflexión x = µ ± σ (En x = µ la función alcanza su máximo). c) Si σ es relativamente grande el gráfico tiende a ser achatado en cambio si σ es pequeño es f tiende a ser agudo. Se observa en el gráfico que σ 2 2 > σ12 N ( µ ,

σ12 )

N ( µ ,

σ22

)

x=µ

7


H. Alvarado y L. Retamal ∞

Para verificar que la función f x( x ) es una f. d. p. pruebe que I ² = 1 para I = 1 ( x −µ)

−

σ2

Además, f x( x ) > 0 ; ya que e 2 ∞

I ²=

∞

>0

∞

∞

∫−∞ f(x) dx −∫∞ f(y) d y = (1/2π) −∫∞ [ −∫∞

Haciendo ∞

I ² = (1/2 π)

0

e

−

∞

∫∫

; dt=

σ

∞

∫ ∫ −∞ −∞ 2∏

I ² = (1/2 π)

x −µ

t=

re

1

( t 2 + s 2 )

2

−

r 2 2

∫−∞ f(x) dx

1

dx

σ

En efecto: −

1

σ2

s=

1 (x − µ) 2

e 2

y−µ

σ

σ2

; d s =

1

σ

−

1 (y−µ)2

σ2

2

d x ] d y

d y

d t d s Aplicando coordenadas polares se tiene:

I ² = 1 ⇒ I = 1 ya que I > 0

dr dϑ = 1 ,

0

Teorema 2: Si X ~ N (µ , σ 2 ) y si Y = aX + b , a≠0 entonces: Y ~ N (aµ+b ,a² σ 2 ) y − b 1 En efecto: Usando una función de una v.a., se tiene f ( y ) = f x ( ) ⋅ ; ∀ y ∈ R y a a f ( y) =

1 2 πσ 2

e

−

1

(

y − b − µ ) 2 a

σ

2

2

⋅

1

a

=

1 2 π a 2σ 2

e

−

2 1 ( y − b − a µ )

2

a 2 σ 2

¸ ∀ y ∈ R y

x

Teorema 3: Si X ~ N (µ , σ 2 ) entonces P(X≤x) = φ( x − µ ) = F Z ( x) = ∫ σ

1

e

−

Z2 2

−∞ 2 π donde φ es la función de distribución acumulada de Z ~ N (0,1), y se encuentra tabulada.

dz

La importancia de este teorema es que nos permite calcular probabilidades de una variable aleatoria X ~ N (µ , σ 2 ) cualquiera, a partir de una variable aleatoria Normal Estándar Z= y su f. d.p. es: f(z)=

1 2π

e

−

x −µ

σ

~ N (0,1).

Z2 2

, z ∈ IR

La función de distribución de Z se encuentra tabulada. La tabla acumulada, en la que, para un valor de X se obtiene la probabilidad F(x) = P(X ≤ x), o área situada a la izquierda de x.

8


H. Alvarado y L. Retamal t 2

Teorema 4: Teorema 5:

Si

Z~ N (0,1)

entonces

Si X~ N (µ , σ 2 ) entonces

M Z (t) =

e2

M X (t ) = e

µ t+

1 2

σ2 t2

Observación: Como conocemos la f. g. m. de X ~ N (µ , σ 2 ) se puede determinar E(X) y V (X). M´(x)= ( µ + σ 2 t ) M´´(x)= ( µ² + σ 2 )

e

ut +

1 2 t 2 σ 2

⇒ M´(0) = ( µ +0 ) eo ⇒ E(x)= µ ⇒ V(x) = σ 2

Ejemplo 4. Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para casas que recibe una institución, está distribuida en forma normal con una media de $70.000 y una desviación estándar de $20.000. Una solicitud de préstamo se recibió esta mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que a) la cantidad solicitada sea de $60.000 o más? b) la cantidad solicitada esté entre $65.000 y $80.000? c) la cantidad solicitada sea de $65.000 o más? d) 20% de los préstamos sean mayores que cuál cantidad?

Ejercicio 10. La demanda anticipada de un producto en el próximo mes puede representarse mediante una variable aleatoria normal con media 1.200 unidades y desviación estándar 100 unidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas superen las 1.000 unidades? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas estén entre 1.000 y 1.300 unidades? c) ¿Cuántas unidades deben venderse como mínimo para estar en el 10% más alto?

Aproximación Normal de la distribución binomial. Si n es grande no es fácil calcular las probabilidades mediante tablas con distribución binomial o en algunas calculadoras, además que la fórmula del modelo es excesivamente engorrosa. En este caso se utiliza la distribución normal para aproximar la distribución binomial. Se considera lo suficientemente precisa si np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5 y si p está próximo a 0.50.

Observación: Debido a que existe un número infinito de valores posibles en una distribución normal (o en cualquier distribución continua), la probabilidad de que la variable aleatoria sea exactamente igual a algún valor específico como 10, es cero. Cuando se utiliza una distribución continua para estimar una variable aleatoria discreta, es necesario un leve ajuste, llamado factor de corrección de continuidad , y requiere que se

9



trate la probabilidad de exactamente 10 como el intervalo entre 9.5 y 10.5. Esto se ilustra en la siguiente figura: Figura 1. Aproximación normal a una distribución discreta

Intuitivamente, se haría ver que el área del histograma es aproximadamente igual al área en la función densidad normal, pero la base del rectángulo está centrada en el valor entero, por lo que se debe admitir que los valores de los extremos del intervalo se extienden en media unidad para obtener así la aproximación binomial

Ejemplo 5. Resuelva el ejercicio 3. Ejercicio 11. Un servicio de asuntos fiscales se especializa en las devoluciones de importes de impuestos federales. Una reciente auditoría de sus declaraciones ha indicado que se han realizado un error en 10% de las que se manifestó el año pasado. Suponiendo que tal tasa continúe este año y elabore 60 declaraciones, ¿Cuál es la probabilidad de que se realice a) más de nueve errores? b) Por lo menos 9 errores? c) Exactamente nueve errores?

[4] Distribución Gamma X ~ gamma ( α , β ) Se define la función gamma de

∞

α como Γ (α) = ∫ y α −1 ⋅ e − y dy 0

Se puede probar que

Γ (α) = (α − 1)! , siempre que α sea un entero positivo.

Def. 5. Una variable aleatoria continua X que tiene f. d. p. de la forma f X (x) =

1

Γ (α) ⋅ β α

−

x

⋅ X α −1 ⋅ e β

;x>0

se dice que tiene una distribución gamma con parámetros

α y β ( α >0 y β >0) .

La función generadora de momentos de una v. a. X ~ gamma ( α , β) esta dada por: M ( t ) = (1 − β ⋅ t ) − α ; t < 1 / β . Además, E ( X ) = α ⋅ β , V (X ) = α ⋅ β 2 X

10



Propiedades

a) Si α = 1 , β = 1 / λ , λ > 0 se obtiene la distribución exponencial de parámetro λ . b) Si α = r ∈ IΝ , β = 1 / λ se obtiene la distribución Erlang (r , λ ) que nos da la distribución del tiempo necesario para observar r – éxitos. r λr x r −1e −λx  λ  2 f ( x ) = , M X (t ) =   , E ( X ) = r / λ , V(X) = r / λ (r − 1)!  λ − t  n c) Si α = , n ∈ IΝ y β = 2 se obtiene la distribución Chi cuadrado con n grados de 2 libertad (que es su parámetro). Esta distribución está tabulada y se utiliza bastante en estadística. Su f.d.p. es la siguiente: n

X ~

ℵ

2

( n )

Además, M X (t ) = (1 − 2t )− n / 2

⇒

( ) =

f x

x 2

−1

⋅e

−

x

2

 n  Γ   ⋅ 2 n / 2  2 

, t < 1/2 ; E( X ) = n

,

; x>0

V( X ) = 2n

La importancia de la distribución Gamma radica en el hecho de que define una familia de la cual otras distribuciones son casos especiales. Está distribución tiene aplicaciones importantes al valuar el tiempo y en problemas de confiabilidad. En tanto la distribución Exponencial describe el tiempo entre eventos de Poisson, la distribución Gamma describe la función de densidad de la variable aleatoria que representa el tiempo que transcurre hasta que ocurre un número específico de eventos de Poisson. Este número específico de eventos es el parámetro α y el parámetro β representa tiempo promedio entre eventos.

Ejercicio 12. Suponga que el tiempo empleado por un estudiante seleccionado al azar, que utiliza una terminal conectada a un centro local de cómputo de tiempo compartido, tiene una distribución gamma con media de 20 minutos y varianza de 80 min 2 . ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante utilice entre 20 y 40 minutos la terminal?.

Ejercicio 13. Determine la varianza de la variable aleatoria X mediante la función generadora de momentos de X con función densidad dada por: f ( x) = 0,25 ⋅ x ⋅ exp(−0,5 x) , x > 0 [5] Distribución Weibull

X ~ Weibull ( δ , β )

La distribución de Weibull se emplea a menudo para modelar tiempo hasta presentarse una falla en muchos sistemas físicos diferentes. Los parámetros de la distribución proporcionan mucha flexibilidad para modelar sistemas en la que el número de fallas aumenta con el tiempo, disminuye con el tiempo o permanece constante.

11



La función densidad de una v.a. X con distribución de Weibull con parámetro de escala δ > 0 y parámetro de forma β >0 tiene la forma:

( ) =

f x

 x  β  x  β −1 − δ 

 

δ  δ 

α

e

para x > 0

β =1, la distribución de Weibull es idéntica a la distribución

Observe que cuando exponencial.

La función de distribución acumulada de X es

( ) = 1 −

F X x

 x  β  δ  e .

− 

Ejercicio 14. La distribución de Weibull

se utiliza ampliamente en problemas de Estadística relacionados con el envejecimiento de materiales aislantes sólidos sujetos a esfuerzo y envejecimiento. Considere la variable aleatoria tiempo (en horas) para la falta de especimenes de aislante sólidos sometidos a un voltaje de CA. Los valores de los parámetros dependen del voltaje y temperatura; suponga δ = 2,5 y β = 200. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un espécimen esté entre 100 y 200? b) ¿Qué valor es tal que exactamente 50% de todos los especimenes tengan duración que exceda ese valor?

[6] Distribución Beta

X ~ beta ( α , β )

La distribución beta proporciona densidad positiva para X en un intervalo de longitud finita. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución beta con parámetros con parámetros α , β (ambos positivos) su función de densidad de probabilidad está dada por:

 Γ (α + β ) α −1 (1 − x ) β −1 x  f ( X ) =  Γ (α )Γ ( β )  0

La media y la varianza son: E( X ) =

six

≥0

eoc

.

αβ α , V( X ) = 2 α + β (α + β ) (α + β + 1)

Ejercicio 15. Suponga que la proporción X de área superficial de un cuadrante seleccionado al azar, cubierto por cierta planta, tiene una distribución beta con α = 5 y β =2. a) Determine esperanza y varianza. B) Calcule P(0,2 ≤ X ≤ 0 ,4 ).

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Apunte 4 Variable aleatoria continua

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