CURSO: CÁLCULO I - INGENIERÍA Tema
:
Deri Deriva vaci ción ón Impl Implíc ícit ita a – Prob Proble lema mas s de apli aplica caci ción ón a la Inge Ingeni nier ería ía y
Derivada Implícita dy
1. En las siguientes expresiones, calcular y e a)
dx :
= x+ y
Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos: e y y' = 1 + y ' 1
y ' =
⇒ 3 x b)
dy dx
=
e y
−1
1 e
y
−1
+ ax 2 y + bxy 2 + y 3 = 0
Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos:
( x )'+ a( x y )'+b( xy )'+ ( y )' = 0 + a( 2 xy + x y') + b( y + 2 xyy') + 3 y y ' = 0 3
3 x 2
2
2
2
3
2
2
+ 2axy + ax 2 y '+by 2 + 2bxyy'+3 y 2 y ' = 0 3 x 2 + 2axy + by 2 + y' ( ax 2 + 2bxy + 3 y 2 ) = 0 3 x 2
⇒ 3
dy dx
=−
3 x 2 + 2 axy + b y 2
ax 2 + 2bxy + 3 y 2
3
( x + y ) + ( x − y ) = x 4 + y 4 c) Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos:
( x + y ) 3 + ( x − y ) 3 ' = ( x 4 + y 4 )' 3( x + y ) ( x + y ) '+3( x − y ) ( x − y ) ' = 4 x
+ 4 y 3 y ' 2 2 2 2 3( x + y ) + 3 y ' ( x + y ) + 3( x − y ) − 3 y ' ( x − y ) = 4 x 3 + 4 y 3 y ' 2
2
− 3( x − y ) 2 ⇒ = 2 2 dx 3( x + y ) − 3( x − y ) − 4 y 3 dy
4 x 3 − 3( x + y )
3
2
d) y ×senx −cos( x −y ) =0 Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos:
( y sin x ) '−[ cos( x − y )]' = 0 y' sin x + y cos x + sin( x − y)( x − y )' = 0 y ' [ sin x − sin( x − y )] + y cos x + sin( x − y ) = 0 dy
⇒
− y cos x − sin( x − y ) sin x − sin( x − y)
=
dx
e) x ×seny −cos y +cos 2 y =0 Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos:
( x sin y ) '−( cos y ) '+( cos 2 y ) ' = 0 sin y + xy' cos y + y ' sin y − 2 y ' sin 2 y = 0 y ' [ x cos y + sin y − 2 sin 2 y ] + sin y = 0
⇒ xy
)
+ 2x =
dy dx
=
− sin y x cos y + sin y − 2 sin 2 y
y
Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos: 1 x 12 y 12 '+2 = y 2 '
1 2
x
− 12
y
x
1
− 12
2
y
+ 1
2
1 2
1
x 2 y
+ x
1
2
y
− 12
y '+2 =
− 12
1 2
y '+4 = y
y
− 12
y '
− 12
y '
− 4 − x 2 y 2 − ⇒ = 1 1 1 dx x − 2 y 2 − y − 2
dy
g)
e
xy
+ x
2
= 1+
y
2
Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos: e xy ( xy) '+2 x = 2 yy ' xy
e
( y + xy') + 2 x = 2 yy '
ye xy + xy' e xy
+ 2 x = 2 yy' dy − ye xy − 2 x ⇒ = dx xe xy − 2 y
1
1
!)
sen ( xy )
+ cos ( xy ) = tg ( x + y )
Sl!ci"#: Derivando a ambos lados, tenemos: cos( xy)( xy )'− sin( xy)( xy )' = sec 2 ( x + y )( x + y )'
( y + xy') cos( xy) − ( y + xy') sin( xy) = sec 2 ( x + y ) + y ' sec 2 ( x + y) y cos( xy ) + xy ' cos( xy ) − y sin( xy ) − xy' sin( xy) = sec 2 ( x + y ) + y ' sec 2 ( x + y)
⇒
dy dx
=
sec2 ( x + y ) − y cos( xy) − y sin( xy)
x cos( xy) − x sin( xy) − sec2 ( x + y )
Recta Nrmal $ %a#&e#te '.
"allar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva x en el punto P #$,$)%
Sl!ci"#: Derivando la unción implícita tenemos:
+ 5 y 4 y '−2( xy)' = 0 5 x 4 + 5 y 4 y '−2( y + xy ' ) = 0 5 x 4 + 5 y 4 y '−2 y − 2 xy ' = 0 5 x 4
⇒
dy dx
=
2 y − 5 x 4 5 y 4 − 2 x
"allando la pendiente: m=
dy dx
= ( 1;1)
2 y − 5 x 4 5 y 4 − 2 x (1;1)
= −1
Entonces: a) &a ecuación de la 'ecta (angente: 'eemplaando en la ecuación y − y1 = m ( x − x1 ) , tenemos: y − 1 = −1( x − 1)
⇒
y
= −x + 2
b) &a ecuación de la 'ecta *ormal: 'eemplaando en la ecuación
y − y1
1
= − ( x − x1 ) m
, tenemos:
y − 1 = 1( x − 1)
5
+ y5 − 2 xy = 0
⇒
y = − x
(. "allar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva x3
− 2 x 2 y + 3xy 2 = 38 en el punto P #$,$)%
Sl!ci"#: Derivando la unción implícita tenemos:
− 2( x 2 y )'+3( xy 2 )' = 0 3 x 2 − 2( 2 xy + x 2 y ') + 3( y 2 + 2 xyy') = 0 3 x 2 − 4 xy − 2 x 2 y '+3 y 2 + 6 xyy' = 0 3 x
2
⇒
dy dx
4 xy − 3 x 2
=
− 3 y 2
6 xy − 2 x 2
"allando la pendiente: m=
dy dx ( 1;1)
=
4 xy − 3 x 2 − 3 y 2 6 xy − 2 x 2
= −0.5 (1;1)
Entonces: a) &a ecuación de la 'ecta (angente: 'eemplaando en la ecuación y − y1 = m ( x − x1 ) , tenemos: y − 1 = −0.5( x − 1)
⇒
y = −0.5 x + 1.5
b) &a ecuación de la 'ecta *ormal: 'eemplaando en la ecuación
y − y1
1 = − ( x − x1 ) m
, tenemos:
y − 1 = −
1
− 0.5 ⇒ y = 2 x − 1
( x − 1)
)r*lema+ de Aplicaci"#: Derivaci"# Implícita
P + 5 × V −0, 03 =9, 7 ) V 2÷ ( ,. &a ecuación de +an der aals para cierto gas es % (ratando el volumen como unción de la presión P% -sar la derivación implícita para calcular la raón de cambio del volumen respecto a la presión, en el punto #.,$)%
Sl!ci"#:
dV
/eg0n el enunciado del problema los datos son: dP
= ?, P = 5 ∧
V = 1
Eectuando la unción implícita, tenemos: PV − 0,03 P +
5 V
−
0,15 V 2
= 9,7
Derivando esta unción tenemos:
( PV ) '−0,03 + ( 5V −1 )'−( 0,15V −2 ) ' = 9,7 V + PV '−0,0,3 − 5V − 2V '+0,3V − 3V ' = 0
⇒
V ' =
0,03 − V P − 5V − 2
+ 0,3V −3
'eemplaando en la derivada los datos obtenidos anteriormente tenemos: dV dP ( 5;1)
=
0,03 − V P − 5V − 2
+ 0,3V −3
= ( 5;1)
0,03 − 1 5 − 5 + 0,3
= −3,23
Esto signi1ca 2ue la raón de cambio del volumen respecto de la presión de aproximadamente 34,54%
. 6uando el precio de un artículo es 7p8 nuevos soles por unidad, el abricante est9 dispuesto a orecer 7x8 miles de unidades donde x 2
− 2x
p
− p 2 = 31 % 6alcular la rapide con la 2ue cambia la oerta cuando
el precio es de /;% < por unidad y se incrementa a una raón de 5= centavos de nuevo sol por semana%
Sl!ci"#: dx dp => = =,5= p = < dt dt /eg0n el enunciado los datos son: , y /i p = < entonces 5
x
−5x
5
<−<
= 4$ ⇒ x5 − ?x− $$5= =⇒ x= $@
&a ecuación implícita es: 5
E#p:x) = x
−5x
5
p −p
− 4$
dx Por lo tanto, use regla de la cadena para calcular dt % Es decir:
x
−
− 5p
dx dx dp p )# ) = #− =# dt dp x=$@ dt 5x− 5 p p=<
$@ + 5#<) $@ + $B < ÷ ÷ )#=,5) = ÷ #=,5) = 4 ÷ #=,5) 5B 5#4 ) − 5#$@) 5 < − ÷ ÷ ÷ x=$@
p=<
dx 4@ = ÷ #=,5) = =,5=? dt 44
6omo la oerta est9 dada en tCrminos de miles de unidades, se deduce 2ue la oerta est9 aumentando en 5=? unidades por semana%
. -na escalera de $=pies de largo est9 apoyada contra una pared de un edi1cio% &a parte superior de la escalera se deslia por la pared a raón de 4pies;seg% 6on 2uC rapide se alea del edi1cio la parte inerior de la escalera cuando la parte superior est9 a ? pies del suelo>
Sl!ci"#: &a escalera se deslia #!acia abao) a raón de 4pies;seg signi1ca 2ue:
y
dy = −4 pies; seg dt
&A$=
5 5 Del gr91co se tiene: x + y = $== /i yA? entonces xAB
x
dx El problema pide calcular dt % Entonces, por la regla de la cadena se tiene:
dx dx ÷ dy = ÷ dt dy x=B÷ ÷ dt
y=?
y ÷ #−4) = #?)#4) = < = 5,=5. =− x x=B÷ B @ y=?
&a escalera se deslia en el piso a raón de 5,=5. pies ; segundo en el instante 2ue la escalera est9 a ? pies del suelo%
/. En cierta 9brica, la producción 7F8 se relaciona con los insumos 7x8 e 7y8 mediante la ecuación
Q( x; y ) = 3 x 2
+
2 x + 3 y ( x + y )
2
.
/i los niveles actuales de insumo son x A $=, y A 5., utilice el c9lculo para determinar el cambio 2ue debería realiarse en el insumo y para compensar una reducción de =, unidades en el insumo x, de manera 2ue se mantenga el nivel de producción actual%
Sl!ci"#:
El nivel actual de producción es: 5
F#$=:5.) = 4#$=)
+
5#$=) + 4#5.) G4.$< = 5 5@. #$=+ 5.)
Entonces, la ecuación 2ue representa el nivel actual es: 5 5x + 4y G4.$< 4x + = 5 5@. #x + y) dy /eg0n el problema nos piden calcular dt
para 2ue se mantenga el nivel de producción cuando !ay una reducción del insumo x, de =, unidades% Es decir: dx dy = −=,G dt A >, si dt
Entonces, usando regla de cadena se tiene:
dx dy dy = x=$=÷ ÷ dt dx y=5. dt
#$)
dy Para calcular dx , calcule primero las derivadas parciales de F #x y) y
eval0e en los niveles actuales de los insumos x e y% Es decir: 5
Ex#x:y) = ?x+
5#x + y) −5#5x+ 4y)#x+ y) @
#x + y)
Ex#x:y) x=$= = ?x− y=5.
5#x + 5y)
= 4÷ #x + y) x=$= y=5.
= ?x+
5#x+ y) − 5#5x+ 4y) 4
#x + y)
4y#x+ y) −5#5x+ 4y)#x+ y) 4#x+ y)− 5#5x+ 4y)
Ey#x:y) x=$= = − y=5.
=
@
#x + y) x + 4y 4
#x + y) x=$=
y=5.
=−
5#x+ 5y) 4
#x + y)
.$@@G? B.G.
5
Ey#x:y) =
= ?x−
4
#x + y)
=−
x+ 4y 4
#x + y)
$G B.G.
Entonces, la variación del insumo y respecto del insumo x es: .$@@G? dy E #x:y) .$@@G? =− x = − B.G. = − $G dx Ey#x:y) x=$= $G − y=5. B.G. Por lo tanto, reemplace en #$) y determine el cambio 2ue debe realiarse en el insumo y para compensar una reducción de =, unidades en el insumo x, de manera 2ue se mantenga el nivel de producción actual% Es decir:
dy dy dx = × = #− .$@@G?)#− G ) = $B==??? ≈ 5$$B@,4=. dt dx dt $G $= B.
Esto 2uiere decir 2ue para mantener el nivel actual de producción se debe de aumentar el insumo y en aproximadamente 5$ $B@ unidades para compensar una reducción de =, unidades del insumo x%
