Resumo Derivada

Definição: Sob o ponto de vista geométrico, a derivada de uma função y=f(x) em x, é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f(x), em x.  A derivada de f(x) em x é denotado por f’(x), e pode pode ser calculada calculada pelo limite:

  () =

( )    + ∆ ∆  () lim ∆ →0 ∆

Tabela de Derivação f(x)

 (  () =    (  () =  

 (  () =ln  (  () =    (  () =  

f’(x)

 ′(  ′() = −  ′(  ′() =   ′(  ′() = 1⁄  ′(  ′() =    () =    

Teorema: Sejam f(x) e g(x) deriváveis e

( ∈ ) (=2,718…)

 ∈  qualquer. Então:

() [ (  () ±()]′ =  () ±′() () ) [  ( ()]′ =   () () ) [ (  () . ()] = (). () + (). ′( ′()

(regra do produto)

() ′  ′()()()′()   ()  ()  = [ ()]

(regra do quociente)

() [( ()  ()] = (). ′( ′( ())  ())

(regra da cadeia)

Exemplos: Calcule as derivadas das funções f unções abaixo: a)

ℎ ( ) =   +   + 1 ℎ′( ℎ′() = 3  + 2

b)

ℎ() = 5  +     ℎ′() = 25 +cos

 +  + 0 ( )′+()′+(0)′

ℎ() =  .    ℎ() = 2.sen .sen +   .cos  d) ℎ() =     cos  .2  2  (     .2 . 2 (  + cos cos ) = ( (  + cos cos )  ( ) ℎ  = = (2  ) 4 2 

c)

e)

ℎ() =  (3 + 2 ) ℎ′() = (12  + 6).cos(3  + 2 )

f)

ℎ() = √ (  + 4)  ℎ() =(4  +12  ). 12 (  + 4 )−

Formulário de Derivadas: 1. (c) ’= 0 8.

2. (x)’ = 1

f  ) g

'

=

gf ' - fg' g2

15.( u

m )'

= m . um - 1. u ‘

9. (sen x) ‘ = cos x

16. (sen u) ‘ = u ‘. cos u

10. (cos x) ‘ = - sen x

17. (cos u) ‘ = - u ‘. sen u

4. (kf(x))’ = k f’(x)

11. (tg x) ‘ = sec² x

18. (tan u ) ‘ = u ‘.sec² u

5. (f + g)’ = f’ + g’

12. (sec x) ‘ = sec x. tg x

19. (cotg u ) ‘ = - u ‘. csc²u

6. (f - g) ‘ = f’ – g’

13. (cotg x) ‘ = - csc² x

20. (sec u) ‘ = u ‘. sec u . tan u

7. (f . g ) ‘ = f.g’ + g.f’

14. (csc x) ‘ = - csc x . cotg x

21. (csc u ) ‘ = - u ‘. csc u . cotg u

n

3. ( x

)’ = n x

n -1