19/04/2016
CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO II
REGLA DE LA CADENA
SESIÓN 14
Suponga que u = f ( ( x, y) es una función diferenciable y que cada variable a su vez son x = g (r, s) , , y = h(r, s). Suponga Suponga además que cada una de las derivadas derivadas parciales parciales
FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES
∂ x ∂ x ∂ y ∂ y existen , , , ∂ r ∂ s ∂ r ∂ s
REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA
NOTA:
u = f ( x, y ) u ( r , s) = f ( g ( r , s), h( r , s )) Ros a Ñique Alvarez
y); x = g (r, s) s) , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
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y); x = g (r, s) s) , , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
u ( r , s ) = f ( g ( r , s ), h ( r , s ))
∂ x ∂
r
∂u ∂ x
∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r
∂ y ∂ r ∂u ∂ y
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y); x = g (r, s) s) , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
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y); x = g (r, s) s) , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
u ( r , s ) = f ( g ( r , s ), h ( r , s ))
u (r , s ) = f ( g ( r , s ), h(r , s )) ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s
∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s
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REGLA GENERAL DE LA CADENA u(x1(y), x2(y),……xn(y)); y =(y1,…, ym)
EJEMPLO 1
Sea w = h (u, v ), donde u = f ( x , y ), v = g ( x, y ) son funciones con derivadas de primer y segundo orden continuas en un dominio abierto B. Además si u x = v y y u y = -v x
∂ u ∂ u ∂ x1 ∂ u ∂ x2 ∂ u ∂ xn = + + K + ∂ y1 ∂ x1 ∂ y1 ∂ x2 ∂ y1 ∂ xn ∂ y1 ∂u ∂ u ∂ x1 ∂ u ∂ x2 ∂ u ∂ xn = + + K + ∂ y2 ∂ x1 ∂ y 2 ∂ x2 ∂ y2 ∂ xn ∂ y2
Demuestre que:
∂u ∂ u ∂ x1 ∂ u ∂ x2 ∂ u ∂ xn = + + K + ∂ ym ∂ x1 ∂ ym ∂ x2 ∂ ym ∂ xn ∂ ym Rosa Ñique Alvarez
w x x + w y y = (wu u + wv v ) u x2 + u y2 7
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SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
∂w ∂w ∂u ∂w ∂v w x = = + ∂ ∂u ∂ ∂v ∂
w x x = wu u u x2 + wu u xx + wvv v x2 + wv v xx
∂ 2 w ∂ ∂w ∂ ∂w ∂u ∂w ∂v = = + w xx = ∂ x 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂u ∂ x ∂v ∂ x
w x x + w yy = wu u (u x2 + u y2 ) + wvv (v x2 + v y2 ) +
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w yy = wu u u y2 + wu u yy + wvv v y2 + wv v yy
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SOLUCIÓN w x x + w yy = wu u (u x2 + u y2 ) + wvv (v x2 + v y2 ) + wu (u xx + u yy ) + wv (v xx + v yy ) Condiciones:
wu (u xx + u yy ) + wv (v xx + v yy )
u x = v y ; u y = −v x
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SOLUCIÓN u x = v y ; u xx = v yx , u xy = v yy u y = − v x ; u yy = −v xy , − u yx = v xx
w x x + w yy = wu u (u x2 + u y2 ) + wvv (u y2 + u x2 ) +
u x = v y ; u xx = v yx , u xy = v yy
wu (v yx − v xy ) + wv (− u yx + u xy )
u y = − v x ; u yy = −v xy , − u yx = v xx Rosa Ñique Alvarez
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SOLUCIÓN
Regla de la cadena: u = f ( x, y); x = g (r, s) , y = h(r, s) u ( r , s ) = f ( g ( r , s ), h ( r , s ))
w x x + w yy = wu u (u x2 + u y2 ) + wvv (u y2 + u x2 ) + wu (v yx − v xy ) + wv (− u yx + u xy )
∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r
Queda demostrado que: ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s
w x x + w yy = (wu u + wvv )(u x2 + u y2 )
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Caso particular: regla de la cadena
Caso particular: regla de la cadena
u(x1, , x2, x3) xi(t); i=1,2,3
u(x1, , x2,…..xn) xi(t); i=1,2,..,n ∂ u d x1 ∂ u d x2 ∂ u d xn + + K + d t ∂ x1 d t ∂ x 2 d t ∂ xn d t
d u
∂ u d x1 ∂ u d x2 ∂ u d x3 = + + d t ∂ x1 d t ∂ x2 d t ∂ x3 d t
d u
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=
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EJEMPLO 2
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EJEMPLO 3
La temperatura T en un punto en el espacio ( x, y, z ) se representa por T ( x, y, z ). Un astronauta viaja de tal modo que sus coordenadas x e y se incrementan a una razón de 4 millas por segundo, y su coordenada z disminuye a una razón de 3 millas por segundo. Calcule la razón de cambio dT /dt de la temperatura en un punto donde
∂ T = 4, ∂ x
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∂ T = 7, ∂ y
y
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La resistencia total R producida por tres conductores con resistencia R1, R2, R3, conectados en un circuito eléctrico en paralelo, está dada por la fórmula 1
=
1
+
1
+
1
R R1 R2 R3 Calcule ∂ R
∂ T =9 ∂ z 17
∂ R1
cuando R1 = 25 , R2 = 40 , R3 = 50 .
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ECUACIONES IMPLÍCITAS EJEMPLOS
1.
x
2
2
2
+
2
y
2. z 2 =
2
3
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
2
+
x 2 22
z
42
+
TEOREMA: Si
f es una función diferenciable de x e y tal que z = f ( x, y) y f está definida implícitamente por la ecuación F ( x, y, z ) = 0, y si F es diferenciable y F z ( x, y, z ) ! 0, entonces
=1
y 2 32
∂ z F x ( x, y, z ) =− ∂ x F ( x, y , z )
3. xy 2 + z 3 + sen ( x y z ) = 0
y
∂ z F y ( x, y , z =− ∂ y F ( x, y, z )
4. y e x y z cos (3 x z ) = 5 Rosa Ñique Alvarez
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DIAGRAMA DEL ÁRBOL
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F ( x, y , z ) = 0, z = f ( x, y )
F ( x , y , z ) = 0, z = f ( x, y )
Si hacemos w = F ( x, y, z ), y la aplicamos la regla de la cadena
F ( x , y , z ( x, y )) = 0
∂w ∂ x ∂ y ∂ z = F x + F y + F z ∂ ∂ ∂ x ∂ Rosa Ñique Alvarez
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DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
w = F ( x, y, z ) = 0, z = f ( x, y )
∂w ∂ x ∂ y ∂ z = F x + F y + F z ∂ ∂ ∂ ∂
∂w ∂ x ∂ y ∂ z = F x + F y + F z ∂ x ∂ ∂ ∂
∂w ∂ x ∂ y = 0, = 1, ∂ x ∂ x ∂ x
∂w ∂ x ∂ y = 0, = 1, =0 ∂ ∂ ∂ Rosa Ñique Alvarez
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0 = F x + F z 23
∂ z ∂ x
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DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
F ( x, y, z ) = 0, z = f ( x, y )
F ( x , y , z ) = 0, z = f ( x, y ) F ( x , y , z ( x, y )) = 0
∂ z 0 = F x + F z ∂ x
∂ z F x =− ∂ x F z
∂ z F x =− ∂ x F z
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EJEMPLO 5 Calcular
∂ z F y =− ∂ y F z
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EJEMPLO 6
∂ z ∂ z y ∂ x ∂ y
sabiendo que
Calcular
xy 2 + z 3 + sen ( x y z ) = 0
∂ z ∂ z y ∂ x ∂ y sabiendo que
y e x y z cos (3 x z ) = 5 y e x y z cos (3 x z ) − 5 = 0
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