derivada sustancial

F enómenos de Transp Transporte orte.L .Liicenciatu cenciatura ra en Cie Ci encia y Te Tecnol cnologí ogía de A limentos ntos L icenciatu cenciatura ra en en Cie Ci encia y Te T ecnol cnología Am A mbienta bientall L icenciatu cenciatura ra en Biotecnol cnología y Biol Bi olog ogíía Mole olecular

DERI VADA SUS SUSTA TANCIA NCIALL -Cuando se analiza el flujo de un fluido es posible colocar un sistema de ej es que se mueva mueva junt junto o al ele eleme mento nto de vol volumen umen del del fluido uido o col colocar un siste sistem ma de ej es fij fij os. -Ej es móvi móvilles: en este este caso caso no se se tie tiene en en cuenta el el movi movimiento miento de agrange. L os el traslación. Punto de vista de L agrange. eleme ment ntos os de volume volumen n del fluido van describiendo trayectorias. -Ejes fijos: la traslación es incluida dentro de los posibles movimientos. Punto de vista de Euler. En este caso se analizan las distribuciones instantáneas de v. Se obtienen las líneas de corriente trazando las tangentes a los vectores velocidad para un instante dado. Por la manera en que se define una línea de corriente un elemento de volumen de fluido no puede atravesarla. -L as líneas neas de corr corriente cambi cambian an en en el el tie tiempo cuando cuando el el flujo uj o es es transitorio. En estado estacionario se mantienen fijas y coinciden con las trayectorias pues el elemento de volumen posterior circula por el mismo lugar que el anterior. -L os dos puntos de vista vista:: L agr agrange ange y Eul Eule er se vincul vinculan an a travé tr avéss del del concepto de derivada sustancial. -Supongamos que analizamos una magnitud escalar como la densidad del fluido. Utilizando coordenadas rectangulares y un sistema de ejes fijos la variación que puede experimentar se puede representar por medio de una función (t). -Si en cambio nos movemos con el elemento de volumen y medimos continuamente al cabo de un cierto tiempo dt el elemento de volumen se habrá desplazado una cierta distancia con componentes dx, dy, dz en el sistem tema de ej es fij fij os os.. L a posibl posible e var variac aciión de en el elemento de volumen que seguimos se puede representar por la diferencial total como: d

x

dx

y

dy

z

dz

t

dt

22

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

Dividiendo por dt: D Dt

dx x dt

-L a notación

dy y dt

dz z dt

t

D se denomina derivada sustancial y expresa la velocidad Dt

de cambio que puede experimentar fluido que semueve corriente abajo.

en un elemento de volumen de

-Teniendo en cuenta que dx dt

vx

D Dt

x

dy dt vx

dz dt

vy

y

vy

vz

z

vz

t

Esta ecuación puede escribirse en notación vectorial como: D Dt

t

v

Donde: x

i

j y

z

k

es un operador vectorial llamado gradiente. Sólo tiene sentido cuando se aplica sobre una función, escalar o vectorial. -El análisis anterior puede aplicarse a otras magnitudes, por ejemplo la derivada sustancial de la velocidad es: Dv Dt

v v t

v

-Por lo tanto la derivada parcial representa la variación de una magnitud en un elemento de volumen fijo en el espacio (punto de vista de Euler) y la derivada sustancial expresa la variación de la misma magnitud pero cuando se sigue un elemento de volumen corriente abajo (punto de vista de 23


Lagrange). L a ecuación anterior permite pasar de un punto de vista al

otro.

ECUACI ÓN DE CONTINUIDAD EN UN FLUIDO PURO E ISOTERMICO

-Objetivo: obtener una expresión matemática para representar la variación de la masa de un fluido, que está fluyendo, con la posición y el tiempo. -Suposiciones: 1)Se trabaja con un fluido puro y un flujo isotérmico. 2)Se acepta la validez de la hipótesis del continuo. 3)Se considera que no existe transformación de masa en energía y viceversa. 4)Se utiliza un sistema de ejes fijo en el espacio ( punto de vista de Euler). -Teniendo en cuenta estas suposiciones para obtener el modelo buscado se plantea el principio de conservación de la materia: Velocidad de acumulación de materia

Velocidad de entrada de materia

Velocidad de salida de materia

-Aplicamos el balance a un elemento de volumen fijo en el espacio de tamaño x y z. Z x z vy y

x y vz

y

y z vx x

Y

y z vx x x z vy y x

x+Δx

x y vz 24

X

x

F enómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

-En primer término se define el vector “flujo másico” v. Recordando que un flujo es un vector que nos indica la cantidad de una magnitud que atraviesa un plano perpendicular a ese vector por unidad de área y tiempo: masa área tiempo

v

-Utilizando esta definición puede calcularse la cantidad de materia que entra o sale a través de cada cara del cubo multiplicando el vector flujo másico (evaluado en el punto de interés) por el área de la cara considerada. Así, en dirección “x” entrada neta de materia de dirección " x" vx x y z

entrada de materia en el plano " x"

vx x

x

salida de materia en el plano " x

x"

y z

-La entrada neta de materia en las tres posibles direcciones del espacio viene dada por: vx x

vx x

x

y z

vy

y

vy

y

y

x z

vz

z

vz

z

z

-La velocidad de acumulación de materia en el elemento de volumen será: x y z

t

-Por lo tanto utilizando el principio de conservación de la materia: x y z vz

z

vx x

t vz

z

z

vx x

x

y z

x y

25

vy

y

vy

y

y

x z

x y


-Dividiendo ambos miembros por x y z y tomando el límite cuando x y z tiende a cero, o sea considerando que el cubo tiende a un punto:

t

lim

x y z

0

vx x

vy

vx x

t

vx x x

vy

x

y

vy

y

y

vz

z

y

vz z

y

-Esta ecuación se denomina “ecuación de continuidad” y describe la variación de densidad de un fluido en un punto fijo en el espacio debido a variaciones del flujo másico v (punto de vista deEuler). -En notación vectorial: v

t

-Desarrollando la derivada del producto: v

t

t

v

v

v

-El miembro de la izquierda es la derivada sustancial de : D Dt

v

-Esta ecuación representa la variación de la densidad de un punto de un fluido con el tiempo al moverse corriente abajo (Ecuación de continuidad punto de vista de Lagrange). 26

vz z

z

z


-Ambas ecuaciones se dedujeron para coordenadas rectangulares, pero al escribirlas en notación vectorial son válidas para cualquier sistema de coordenadas con sólo reemplazar a los operadores por su expresión correspondiente. -Debe recordarse que ambos balances representarán adecuadamente la variación de masa de un fluido que fluye siempre que las suposiciones del modelo: -que se trabaja con un fluido puro y un flujo isotérmico. -que se acepta la validez de la hipótesis del continuo. -que se considera que no existe transformación de masa en energía y viceversa se cumplan adecuadamente (sean “buenas suposiciones”) -Si un fluido no altera su densidad durante el flujo se dice que es incompresible: D Dt

v 0 Fluido Incompresible.

0

-Esto no debe ser confundido con un flujo estacionario el cual no cambia a lo largo del tiempo:

t

0 Flujo Estacionario

BALANCE MICROSCOPICO DE CANTIDAD DE MOVIM IENTO -Objetivo: obtener una expresión matemática para representar la variación de cantidad de movimiento en un fluido, que está fluyendo, con la posición y el tiempo. -Suposiciones: 1)Se trabaja con un fluido puro y un flujo isotérmico y laminar. 2)Se acepta la validez de la hipótesis del continuo. 3)Sólo se considera la existencia de un campo gravitatorio. Se desprecia la existencia de campos electromagnéticos. 27


-Si seguimos un elemento de volumen x y z de fluido corriente abajo (punto de vista de Lagrange) el cual tendrá una masa constante y a ese elemento de volumen le aplicamos la segunda ley de Newton: masa aceleración

Fuerzas que actúan sobre el sistema

-La masa en el elemento de volumen puede calcularse como: m x . -La aceleración del elemento de volumen puede deberse a cambios en la velocidad con la posición dentro del recorrido o a lo largo del tiempo, por lo tanto: a

v v t

v

Dv Dt

-Para evaluar las fuerzas que se ejercen sobre un elemento de volumen de un fluido que fluye debemos recordar que: F

T A

-Por lo tanto considerando el carácter vectorial de las magnitudes que se están balanceando puede aplicarse el principio de la conservación de la cantidad de movimiento a cada componente: Componente “x”: x y z

Dvx Dt

Fx

Z F x T yx y

y

x z

F x Tzx z

-Ax F x Txx

y z

Y

F x T xx

F x T yx

z

x y

y z

x z

F x Tzx x y z

x 28

X


-Realizando la sumatoria de todas las fuerzas en dirección “x” y considerando el signo de cada área y la acción del campo gravitatorio: Fx

T xx x

T zx

z

z

x

T zx

T xx x

y z

x y

gx x y z

z

T yx

y

y

T yx

y

x z

-Igualando de acuerdo a la segunda ley de Newton: x y z Tzx

z

Dvx T xx x x T xx x y z T yx y Dt Tzx x y gx x y z z

y

T yx

x z

y

z

-Si ahora dividimos por x y z y tomamos el límite cuando x y z tiende a cero:

Dvx Dt

T xx x

lim

x y z

T xx x x x

0

Tzx z

z

Tzx z

z Dvx Dt

T yx

T xx x

y

Tzx z

gx

-Análogamente para las otras componentes: -Componente “y”: Dvy

T xy

T yy

Tzy

Dt

x

y

z

T yz

Tzz z

gy

-Componente “z” Dvz Dt

T xz x

y

gz

29

T yx

y

y

y

T yx

y

gx


-Las tres componentes pueden escribirse en una única ecuación usando notación vectorial: Dv Dt

T

g

-Recordando que: T

pI

reemplazando: Dv Dt

p

g

-Esta ecuación nos indica que un elemento de volumen de un fluido que fluye se acelerará o no según la resultante entre las fuerzas de presión, viscosas y gravitatoria. Si la resultante es nula el fluido fluye sin cambiar su velocidad con el tiempo. -Esta ecuación se conoce como Balance Microscópico de Cantidad de Movimiento. -Para el caso particular de un fluido en reposo v=0, por lo tanto se obtiene la ecuación de la hidrostática: p

g

--Debe recordarse que el balance representará adecuadamente la

variación de cantidad de movimiento de un fluido que fluye siempre que las suposiciones del modelo: -que se trabaja con un fluido puro y un flujo isotérmico y laminar -que se acepta la validez de la hipótesis del continuo -que se considera que existe un campo gravitatorio se cumplan adecuadamente (sean “buenas suposiciones”)

30


-Si bien la deducción se realizó para coordenadas rectangulares, una vez que la ecuación se escribió en notación vectorial es válida para cualquier sistema de coordenadas. -Utilizando la ecuación de continuidad y el balance microscópico de cantidad de movimiento es posible obtener las distribuciones de velocidad, presión y densidad de un fluido que está fluyendo. Recuérdese que una distribución nos indica como varía punto a punto una variable dependiente en función de una o mas variables independientes. -Las variables independientes son aquellas que pueden cambiarse a elección en un experimento y son independientes entre si (coordenadas espaciales, tiempo). -Las variables dependientes son aquellas que cambian cuando se alteran las variables independientes del sistema (velocidad, presión, densidad). -Los parámetros son propiedades características de un sistema que permanecen constantes durante un experimento, es decir que no dependen de las variables independientes. Generalmente son propiedades fisicoquímicas del sistema (viscosidad, densidad si el fluido es incompresible) y variables operativas del sistema (caudal, longitud del sistema). -Una misma magnitud puede ser parámetro o variable dependiente según el experimento. Así, la temperatura del sistema es una variable dependiente, pero se transforma en un parámetro si el experimento es isotérmico. -Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario contar con tantas ecuaciones independientes como variables dependientes existan en las mismas. -Una de ellas es una ecuación de estado que vincule a p y . Por ejemplo la ecuación de los gases ideales: pV nM V

nRT pM RT 31


-La ecuación restante es la que vincula con v. O sea que es una ecuación constitutiva. Si suponemos que es válido el modelo de Newton: 2 e

2 3

vI

-Si el fluido no es newtoniano deberá encontrarse la ecuación constitutiva que mejor lo represente. -Si el fluido es incompresible, no es un variable dependiente, sino que es un parámetro, entonces la ecuación de estado no es necesaria. ECUACIÓN DE NAVI ER-STOK ES -Si se supone que el fluido es: 1)newtoniano (la ecuación constitutiva de Newton representa la variación de con v) 2)incompresible ( = constante) 3)de viscosidad constante ( = constante) -El balance microscópico de materia (ecuación de continuidad) queda: v 0

-El balance microscópico de cantidad de movimiento queda: Dv Dt

p

Dv Dt

p 2

g

e

2 e

p

g

2

p

Dv Dt

p

v

2 3

vI

g

g

2v

g

-Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación de Navier-Stokes y utilizada en conjunto con la anterior permite obtener la variación de la presión y la velocidad en un fluido newtoniano de densidad y viscosidad constantes. 32


-Obsérvese que existen dos variables dependientes: “p” y “v” y dos ecuaciones que deberán resolverse para encontrar las correspondientes distribuciones. -Estos dos balances se aplican en cualquier sistema de coordenadas utilizando las expresiones correspondientes de los operadores. CONDICIONES DE CONTORNO -Cuando se desean obtener las distribuciones de velocidad y presión de un sistema es necesario integrar los balances anteriores que son ecuaciones diferenciales. Al hacerlo aparecerán constantes de integración cuya expresión es necesario encontrar. -Para ello se deberán conocer valores de las variables dependientes para determinados valores de las variables independientes. -Cuando las variables independientes son las coordenadas espaciales lo mas común es conocer valores de las variables dependientes en los contornos del sistema, por ello a estas condiciones se las conoce como “condiciones de contorno”. -Si la variable independiente es el tiempo es necesario conocer algún valor de variable dependiente del sistema en el instante inicial, por ello a estas condiciones se las denomina “condiciones iniciales”. -El número total de condiciones de contorno y/o iniciales necesarias es igual al orden de la ecuación diferencial en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias e igual a la suma de los órdenes de las distintas variables independientes en el caso de ecuaciones diferenciales parciales. -Algunas de las condiciones de contorno o iniciales mas comunes son: 1)En interfases sólido-fluido se supone que la velocidad del fluido inmediatamente adyacente al sólido es igual a la velocidad del sólido. v vsólido

33


2)En interfases fluido-fluido el flujo de cantidad de movimiento (representado por el tensor esfuerzo) y la velocidad son continuos a ambos lados, o sea que en la interfase debe cumplirse que: vx fluidoA vx fluidoB en y=Y yx fluidoA

Gas C

y

yx fluidoB

δ

Líquido A

Si los fluidos fuesen newtonianos: x yx fluidoA

Y

Líquido B

dvx fluidoA dy y Y

dvx fluidoB dy y Y

yx fluidoB

-3)En interfases fluido-fluido donde uno de los fluidos es un gas y el otro un líquido puede suponerse que el gas transfiere una cantidad despreciable de cantidad de movimiento hacia el líquido. Por lo tanto el gradiente de velocidad del lado del líquido se supone igual a cero: dvx fluidoA dy

0 y

Esta aproximación no siempre es buena, por ejemplo en el caso de formación de olas. -4)En muchos sistemas existen planos, ejes o puntos de simetría en los cuales el flujo de cantidad de movimiento resulta nulo. Así, para un conducto cilíndrico como el de la figura en r=0 existe un eje de simetría:

r Z

34


En r=0

rz

0

Si el fluido fuese newtoniano dvz 0 dr r 0 -Estas condiciones de contorno se denominan “condiciones de simetría”.

En r=0

dvz dr r 0

0 como

0

-Las condiciones de contorno mencionadas no constituyen la totalidad de las condiciones que existen, pero son las mas comunes.

35

derivada sustancial

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