FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CENTRO ULADECH – PIURA
“DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE”
“DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT VECTOR”
AUTOR: JUAREZ ALQUIZAR, José Isaías Email.:
[email protected]
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PIURA – PERÚ 2016
INTRODUCCIN
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función h(x, !, "ue representa la altura de los puntos de una monta#a. Si nos situamos en un punto de la ladera, $"ué significa la %pendiente% de la monta#a& 'a no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura "ue en el "ue estamos, o en cual"uier dirección intermedia. a cosa es a)n más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, a "ue en ese caso ni si"uiera podemos imaginar "ué significa una pendiente. *or ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma espec+fica. *odemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más. *ara maximiar el aprendiaje del concepto de derivada direccional desde un punto de vista constructivo, será necesario hacerlo a través de la manipulación del -*raph, un excelente programa "ue facilita la visualiación de las superficies, de las curvas coordenadas en cada dirección de las rectas tangentes cuas pendientes vienen determinadas por las derivadas direccionales, as+ como del plano tangente generado por todas ellas.
2 Definición -efinimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera: •
Consideramos el desplaamiento pe"ue#o desde
seg)n una
en la dirección marcada
por
•
Calculamos el incremento en la función / entre el punto inicial el final
•
a derivada direccional se define como el l+mite del cociente entre el incremento de / la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
a idea es "ue el cociente entre los incrementos nos da la 0pendiente media1 en una dirección, su l+mite nos da la 0pendiente de la tangente1 a la función en dicha dirección. 2n un campo bidimensional, "ue se puede representar mediante una elevación, como la altura de una monta#a, esta interpretación posee significado geométrico. 2n tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
3 Derivadas parciales 3n caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales. Supongamos "ue "ueremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por . a aplicación del l+mite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , , moverse en la dirección de e"uivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando a como constantes. 2sta es la interpretación habitual de derivada parcial.
4emos, no obstante, "ue las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas direccionales seg)n las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
4 Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
a derivada direccional de este campo en un punto por es
seg)n la dirección marcada
-esarrollando el producto "ueda:
5a "ue dirección.
es un vector dividido por su módulo, lo "ue da el unitario en su
4 Conclusiones 2ste trabajo está dirigido a facilitar el aprendiaje del concepto de derivada direccional desde un punto de vista constructivo, a través de la manipulación del programa -*raph, "ue facilita la visualiación de las superficies, de las curvas coordenadas en cada dirección, de las rectas tangentes cuas pendientes vienen determinadas por las derivadas direccionales, as+ como del plano tangente generado por todas ellas. 2ntendemos "ue la interacción con todos estos fenómenos, audan al alumno a asimilar esta generaliación de la derivada de funciones reales de una variable a
enri"uecer su visión tridimensional, as+ como a integrarla como una herramienta más, en sus raonamientos.
5 Referencias bibliográficas 6 7adrigal 7uga, 8., *roecto -escartes 3n enfo"ue interactivo en el aprendiaje de las matemáticas. 8ornadas 0as matemáticas sus aplicaciones: un reto en la ense#ana actual1. 2nero 99, 4alencia. *rograma -escartes http:;;<<<.pntic.mec.es;-escartes; 6 =homas, . >. ?inne @. ., Cálculo de 4arias 4ariables, 2d. AddisonBesle .
