DEFINICION La derivada de una función es igual al límite cuando el incremento (x) tiende a cero del cociente incremental ∆y = lim f(x + ∆x) - f(x) ′ y lim = de la diferencia de la función ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x incrementada [f(x+x)] menos la función [f(x)] sin incrementar dividido el incremento (x). →
→
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EL ANALISIS GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN Como se observa en el gráfico, la función tiene un MÁXIMO en x2 y en x6. Además tiene un MÍNIMO en x4. La función es creciente en (0; x2) y en (x4; x6). La función es decreciente en (x2; x4) y en (x6; x7).
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ANALISIS DEL CRECIMIENTO FUNCIONAL En x1 la función es creciente y la recta tangente forma un ángulo menor que 90º con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es positivo Caso contrario en x3 la función es decreciente y la recta tangente forma un ángulo mayor que 90º con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es negativo
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ANALIS DEL CRECIMIENTO - EJEMPLO Hallemos la derivada de la función f(x) = 1 x2 − 4x + 6 2 f′(x) = 1 .2x − 4 = x - 4 2
Analicemos en x=1 f′(1) = 1 − 4 = -3es negativo por lo tanto la función es decreciente Analicemos en x=7 f′(7) = 7 − 4 = 3 es positivo por lo tanto la función es creciente
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ANALISIS DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS En x2 y en x6 la función tiene un máximo y la recta tangente forma un ángulo de 0º por ser paralelas con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es cero. f′(x) = 0 También en x4 la recta tangente a la función forma un ángulo de 0º con el eje x por ser paralelo pero aquí existe un mínimo. Por lo tanto la derivada también es cero. f′(x) = 0
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ANALISIS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura. Como vemos la recta tangente también forma un ángulo de 0º con el eje x por ser paralela. También la primera derivada da cero.
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PUNTOS CRÍTICOS MAXIMOS
PUNTOS DE INFLEXIÓN
MINIMO
En conclusión tanto los puntos máximos, mínimos como puntos de inflexión dan como valor en la primera derivada cero. A estos puntos los llamaremos PUNTOS CRÍTICOS y necesitamos analizarlos utilizando otra herramienta que no sea la primera derivada.
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Graficas de primera, segunda y tercera derivada Función original
Primer derivada
Segunda derivada
Máximo Máximo
Puntos de inflexión
Cero Cero
Mínimos
f(x) = 1 x 4 − 2x2 4
Mínimo
f′(x) = x3 − 4x
f′′(x) = 3x2 − 4
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Regla práctica para determinar puntos críticos. PRIMER PASO
Hallamos la 1era. Derivada y lo igualamos a cero. Si f(x) = 1 x 4 − 2x2 4 f′(x) = x3 − 4x lo igualo a cero. x3 − 4x = 0 x x2 − 4 = 0 De aquí tenemos que las soluciones son x=0; x=2; x=-2 ⇒
SEGUNDO PASO
TERCER PASO
Ahora se reemplaza los Para hallar los valores hallados en la puntos de inflexión, segunda derivada. igualamos a cero la f′′(x) = 3x2 − 4 segunda derivada y En x=0 hallamos las raíces. f′′(0) = 3.02 − 4 = -4 Max. f′′(x) = 3x2 − 4 =0 En x=-2 4 2 3x = 4 x = ± 2 3 f′′(2) = 3.2 − 4 = 8 Min. Entonces en x=1,15 En x=-2 f′′(-2) = 3.(- 2)2 − 4 = 8 Min y en x=-1,15 ⇒
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POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOS A partir de una plancha de hojalata cuadrada de lado igual a 20 cm., determinar las dimensiones del envase que se puede construir de manera que ésta tenga el máximo volumen y la base sea cuadrada.
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POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOS Hallamos la fórmula de volumen: Vol. de un prisma = sup. de la base x altura del cuerpo. En nuestro caso: V=(20-2x)2.x=[202-2.20.2x+(2x) 2].x= =[400-80x+4x2].x=400x-80x2+4x3 Ordenando queda V=4x3-80x2+400x Derivamos la función volumen y luego lo igualamos a cero. V=4x3-80x2+400x derivamos V`=12x2-160x+400 2 2 160 ± 160 − 4.12.400 12x -160x+400, se aplica la resolvente x = 2.12 Haciendo los cálculos tenemos x1=3,33 y x2=10 El valor que nos da el volumen máximo es x=3,33.
