3 La Derivada

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

3.7

FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OBJETIVOS: • • • •

Definir derivada. Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. Realizar demostraciones formales de derivada. Calcular derivadas.

83

Cap. 3 La derivada


Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1. y

y = f ( x)

y0

x

x0

Fig. 3.1

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2

84

Cap. 3 La derivada


f ( x0 + h )

f ( x0 )

N

N

y = f ( x)

y

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

h

x0

x

x0 + h

Fig. 3.2

La pendiente de la recta secante entre los puntos

( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =

( x0 , f ( x0 ) )

y

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

mtg = lím h→0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio que sea función del tiempo; es decir determinar la velocidad media estaría dada por:

vm =

vm

e = f (t ) .

e

recorrido por un móvil, y

Suponga ahora que se quiere

en un intervalo de tiempo

[t0 , t0 + h] , esta

Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) = Δt t0 + h − t 0

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:

85

Cap. 3 La derivada


f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) Δe = lim Δt →0 Δt h →0 h

v = lim vm = lim Δt →0

Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como: f ´(x0 ) = lím h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: Leibniz utilizó la notación

y´

o

dy . dx

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ´( x) = lím h →0

86

f ( x + h) − f ( x ) h

Dx y .

Cap. 3 La derivada


3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0

f ´( x0 ) = lím h →0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 ) = lím x→ x0 h x − x0 = lím

x→ x0

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. y = f ( x)

f ( x)

f ( x0 )

N

N

y

f ( x ) − f ( x0 )

x − x0

x0

x

x

Fig. 3.3

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:

msec =

f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada x − x0

por:

mtg = lím x→ x0

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

87

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:

f ´( x) = lím h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]

h→0

h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0

f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0

x → x0

= lím

2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0

= lím

2 x − 2 x0 x − x0

x → x0

x → x0

= lím

x → x0

2 ( x − x0 )

( x − x0 )

= lím 2 x → x0

f ´( x0 ) = 2

Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím

h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h

(x + h )2 − x 2

h→0

h

x + 2 xh + h 2 − x 2 h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) = lím

h→0

f ´(x) = 2 x

88

2

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz Empleando la forma alternativa:

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

x → x0

= lím

f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0

( x − x0 )( x + x0 ) x − x0

x → x0

= lím ( x + x0 ) x → x0

= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0

Ejercicios propuestos 3.1 1.

Sea

f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .

f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de

d) Calcule el valor de

2.

Hallar

.

f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

f ´(3) , considerando la gráfica:

y = f ( x)

3.

Empleando la definición, determine la derivada de: a)

f ( x) = 3x + 2

d)

f ( x) = −2 x 2 + x − 1

b)

f ( x) = −2 x + 1

e)

f ( x) = 2 x 3

c)

f ( x) = x 2 + 2 x − 3

f) f ( x ) =

1 3x + 2

89

Cap. 3 La derivada


3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.

Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en " x0 "

Demostración. Expresemos lo siguiente:

f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )

Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 , tenemos:

f ( x) =

f ( x) − f ( x0 ) (x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0

Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:

lím f ( x) = lím

x → x0

La expresión lím

x → x0

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0

f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0

derivable en x 0 . Entonces: cons tan te

f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) lím f ( x) = lím x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0

f (x ) 0 f ´( x0 )

= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0

Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.

90

0

Cap. 3 La derivada


Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ". También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar

f ´(1)

para

f ( x) = x − 1

SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ( x) − f (1) f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 − 0 = lím x→1 x − 1 x −1 = lím x→1 x − 1 El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím+ = lím 1 = 1 x →1 x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím

x→1

x −1 x −1

no existe.

Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4

Fig. 3.4

Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.

91

Cap. 3 La derivada


3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha

La derivada por derecha del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0 +

f ´(x0 ) = lím +

+

0

3.5.2.2 Derivada por izquierda.

La derivada por izquierda del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x0 + h) − f ( x0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0 −

f ´(x0 ) = lím −

−

0

Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales +

−

existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 2 ⎩⎪ x − 1; x ≥ 2

Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨

SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 .

(

)

Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−

x →2+

Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .

92

Cap. 3 La derivada


f ´(2 − ) = lim− x →2

f ´(2 + ) = lim+

(2 x − 1) − (2(2) − 1) =

(x

x→2

x−2

2

) (

)

lim

x→2−

2(x − 2) 2x − 4 = lim =2 x − 2 x →2− x − 2

(x + 2)(x − 2) = 4 −1 − 2 2 −1 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2

( )

− + Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe

Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ( x) − f (0) f ´(0) = lím x→0 x−0

= lím

x→0

= lím

x→0

3

x −0 x 1 2

x 3 f ´(0) = ∞ (no existe) Lo que ocurre es que la recta tangente, en

x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5

Fig. 3.5

Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto 93

Cap. 3 La derivada


Un problema de diseño Ejemplo ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio. ⎪⎩ x ;x ≥ 2 SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:

lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )

x → 2−

x→2

2m + b = 4 2.

f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )

(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x) − f (2) x2 − 4 = lím = lím x−2 x−2 x→2+ x→2+ x − 2 x→2+ x →2+ ( ) ( ) f x − f mx + b − m + b mx + b − 2m − b m(x − 2 ) ( ) ( 2 ) 2 f ´(2 − ) = lím = lím = lím = lím =m x−2 x−2 x−2 x→2− x→2− x→2− x→2− x − 2

f ´(2+ ) = lím

Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4

Ejercicios Propuestos 3.2 1.

Hallar

⎧2 x + 1; x < 1 f ´(1) para f ( x) = ⎨ 2 ⎩2 + x ; x ≥ 1

2.

Hallar

⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x ) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3

3.

Hallar

⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2

4.

Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨

⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . ⎩⎪ax + b ; x > 2

Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2 5.

Sea la función f definida por

; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1

Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.

6.

Sea la función f definida por

⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ . f ( x) = ⎨ 1 ; x >1 ⎪ ⎩x

Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.

94

Cap. 3 La derivada


3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1

Dx ( x n ) = n(x n −1 )

D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 D x (log a x) = x ln a Dx (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tan x) = sec 2 x Dx (cot x) = − csc 2 x

Dx (sec x) = sec x tan x Dx (csc x) = − csc x cot x

Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: 1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím h→0

Dx (k ) = lím

h→0

f ( x + h) − f ( x ) h

0 k −k = lím = 0 (La derivada de una constante es cero) h →0 h h

95

Cap. 3 La derivada


2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím h →0

3. Sea f ( x ) = x

n

( x + h ) − x = lím h = 1 h→0

h

entonces: Dx ( x ) = lím n

( x + h)

h →0

n

h

− xn

h

. Consideraremos n ∈ ` .

Desarrollando el

binomio y simplificando: Dx ( x ) = lím n

( x + h)

h →0

n

− xn

h

⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n ⎦ = lím ⎣ h→0 h = lím

nx n −1h +

n ( n −1) 2

h →0

h/ ⎡ nx n −1 + = lím ⎣

x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n h

n ( n −1) 2

x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤ ⎦ h →0 h/ ⎡ ⎤ n ( n −1) n −1 n−2 ⎥ = lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh + hN N

h →0 0 ⎢⎣ 0 ⎥ 0 0 ⎦

Dx ( x n ) = n ( x n −1 )

4. Sea f ( x ) = e x entonces: e x ( eh − 1) e h − 1) ( ex+h − ex e x eh − e x x Dx (e ) = lím = lím = lím = e lím = ex 0 0 0 → → → h →0 h h h h h h h

x

1

6. Sea f ( x ) = ln x entonces: ⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ ln (x + h ) − ln x x ⎠ x⎠ ⎛ h⎞ h Dx (ln x) = lím = lím ⎝ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h →0 h →0 h→0 ⎝ h h h x⎠ ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x

1

1

h x

⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

8. Sea f ( x ) = sen x entonces:

[sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h→0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x

Dx (sen x) = lím

h→0

La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.

96

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0

(FORMULA 1)

Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x

(FORMULA 3)

Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )

1

2

entonces f ´( x ) =

1 2

( x)

1 −1 2

=

1

(FORMULA 3)

2 x

Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6

Recta tangente

f ( x) = x

3

Fig. 3.6

La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m( x − x 0 ) El punto sería:

x0 = 1

y

y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3

La pendiente sería:

mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2

x =1

=3

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 97

Cap. 3 La derivada


3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) 2. 3. 4. 5.

dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x)]

Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:

1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h → 0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h →0 h = kf ´( x) 2. [ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h→0 h ( + ) − ( ) f x h f x [ ] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h→0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x) 3. [ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ] d ( f ( x) g ( x)) = lím h → 0 dx h Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h ) lím

f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )

h →0

Agrupando y aplicando propiedades de los límites:

98

h

Cap. 3 La derivada


⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤⎦ + ⎡⎣ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x) g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ h →0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ g ( x + h) + ⎡⎣ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ f ( x ) lím ⎣ h →0 h ⎡⎣ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím g ( x + h) + lim ⎣ f ( x) h →0 h→0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ lim g ( x + h) + f ( x ) lim ⎣ h →0 h →0 h→0 h h f ´( x ) ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ + f ( x ) ⎣⎡ g´( x ) ⎦⎤

La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =

4 3

x

= 4x−

1

3

entonces f ´( x ) = 4

(

) (

)

d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − 2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x⎠

Si f ( x ) = 4 x −

(

)

(

)

Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦

Ejemplo 4 (Derivada del producto)

(

)(

)

Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2 x

99

Cap. 3 La derivada


Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si

f ( x ) = e x senx ln x

entonces

⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎛1⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

Ejemplo 6 (Derivada de cociente) x2 + 2 entonces x3 + 1 ⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 ) = f ´( x ) = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1)

Si f ( x ) =

=

2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2

(x

3

+ 1)

2

=

− x4 − 6 x2 + 2 x

(x

3

+ 1)

2

Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) . SOLUCIÓN: La derivada de f sería f ´( x ) = ⎡⎣(1)( x + 1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x (1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤⎦ + " Ahor a evaluamos la derivada en cero:

f ´( 0 ) = ⎡⎣(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣0 (1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 )⎤⎦ + ⎡⎣ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤⎦ + "

f ´( 0 ) = (1)( 2 )"(100 ) = 100!

100

0

0

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7

f ( x ) = x2 + 4 x

( x0 , y0 )

( x0 , y0 )

Fig. 3.7 ( −2, −5)

Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir

mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4 0

La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:

mtg =

y0 − ( − 5 )

x0 − ( −2 )

=

y0 + 5 x0 + 2

El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al

reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:

mtg =

y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5 = x0 + 2 x0 + 2

Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :

2 x0 + 4 =

x0 2 + 4 x0 + 5 x0 + 2

2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 3 = 0

( x0 + 3)( x0 + 1) = 0 x0 = −3 ∨ x0 = −1

101

Cap. 3 La derivada


Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :

y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3 2

y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3 2

Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) . Las respectivas pendientes serían:

mtg = 2 ( −3) + 4 = −2 mtg = 2 ( −1) + 4 = +2 Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:

y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y + 3 = −2 ( x + 3 )

y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) ) y

y = −2 x − 9

y + 3 = 2 ( x + 1) y = 2x −1

Ejemplo 9 Si f , g y h son funciones tales que h( x) =

f ( x) g ( x) , f (1) = 3 , g (1) = −3 , 2 f ( x) + 3 g ( x)

f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .

Solución: La derivada de h sería: ⎡ f ( x ) g ( x) ⎤ h´( x) = Dx ⎢ ⎥ ⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦ D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = x 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] =

[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)] 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]

Ahora evaluando en 1:

[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)] 2 [ 2 f (1) + 3g (1)] [(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)] = 2 [ 2(3) + 3(−3)] [6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3] = 2 [ 6 − 9] [9][ −3] + 9 [ −1] = 2 [ −3]

h´(1) =

−36 9 h´(1) = −4 =

102

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤

π 2

SOLUCIÓN:

2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene

La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir:

tg x = 1 , lo cual quiere decir que x =

π 4

Fig. 3.8 Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8 Si f ( x ) =

2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Si g ( x ) =

2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos: m 2 = − 2 sen

π 4

⎛ 2⎞ ⎟ = −1 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.


Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x

(

b) f ( x ) = x + 2 3

)( x

2

+ 1)

c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =

2.

f ( x) =

xe x senx + 1

f)

f ( x) =

1 2 x x e ln x 2

x2 + 1 x senx

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto

3.

e)

f ( x ) = x2 + 2 x + 2

en el

(1,5) .

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia

f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .

103

Cap. 3 La derivada


4.

Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación

5.

y = 4x − x

2

( 2,5)

y que son tangentes a la curva definida

.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y 3

2

que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6.

Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación

y = x2 .

Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7.

Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación

y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8.

Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)

9.

Si f , g y h son funciones tales que h( x) =

f ( x) g ( x ) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x ) − 4 g ( x)

g´(3) = 2 . Determine h´(3) .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena

Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable " g ( x0 ) "

en

compuesta

entonces

la

función

( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )

es

diferenciable en " x 0 " y d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0

O lo que es lo mismo dy dy du = dx du dx

u=g( x)

Ejemplo 1

(

)

20

y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 dy du = 20u 19 y = 2x . du dx

Si

104

tenemos

y = f (u ) = u 20

de donde

Cap. 3 La derivada


Por tanto

(

)

dy dy du = = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 dx

(

(

)

)

(

)

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo 2

(

(

)

) [ (

)][

]

Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3

u

Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ x 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢

30

entonces

u 29

⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦ 29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥ = 30 ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎣ ⎦

Para el caso de funciones de la forma

y = f ( g (v) ) y ahora dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx

v = h( x )

tenemos

O más simplemente

y = f ( g (h( x) ) haciendo que haciendo que u = g (v ) tenemos

y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x))][ h´( x)]

Ejemplo 4

( )

Si y = cos 3 x 4

2

4

⎡ ⎤ = ⎢cos N 3 x 2 ⎥ entonces: ⎢⎣ v ⎥

⎦

( ) u

105

Cap. 3 La derivada


[ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]

y´= 4 cos 3 x 2

3

2

x

2 3

2

2

x

2 3

2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar: a)

d [ f (x)]3 en x = 2 dx

b) ( f D f )´(2)

SOLUCIÓN: a)

d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96

4⎤ ⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Ejercicio Resuelto 2 Si H =

f Dg y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine h

H ′(2) . SOLUCIÓN:

Como H ( x) =

f Dg entonces: h

⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2

que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19

106

Cap. 3 La derivada


Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos

D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]

miembros de la igualdad tenemos:

[ f ´(− x)](− 1) =

f ´(x )

− f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x ) = − f ´(x )

La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 1 u´ u

4.

D x (ln u ) =

5.

1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´

6. 7. 8. 9.

D x (log a u ) =

D x (cos u ) = (− sen u )u´

Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´

Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´

10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´ 11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´

107

Cap. 3 La derivada



2.

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)

f ( x ) = x2 − 2x + 2

b)

f ( x) =

⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠

e) f ( x ) = ⎜

1

⎣

−x

c)

f ( x) =

e −e e x + e− x

d)

f ( x) =

x2 − 1 x2 + 1

(

)⎦

2 f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤

2x − 3 x

3

g) f ( x ) =

1 ⎛ x ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4 2

Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:

∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par) ′

f (u ) = e u

2

u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )

3.

Hallar ( f D g ) (x ) , si

4.

Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:

y

g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a ) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g D f )´ d)

( f D h D g )´

b) (g D h )´

′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠

e) ⎜⎜

5.

Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .

6.

Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea

7.

Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .

g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )

2

Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma

108

c) (h D g )´

p ( x ) = ⎣⎡ c ( x ) ⎦⎤ ( ax + b ) y derívelo. 2

Cap. 3 La derivada


3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: y´= f ´(x) =

dy f ( x + h) − f ( x) = Dx y = lím h→0 dx h

La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =

d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h →0 dx h

La tercera derivada es: d3y f ´´(x + h) − f ´´(x) Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx3 y = lím h → 0 dx h

En fin, La n − ésima derivada es: y n = f n ( x) =

dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) n D y = = lím x h→0 dx n h

Ejemplo 1 ⎛

1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠

Hallar D xn ⎜

SOLUCIÓN: Aquí tenemos:

y=

1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x

Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:

y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería

y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5

n Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )

−6

− (n +1)

2n

109

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 2 ⎛ 1 ⎞ Hallar Dxn ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 3x ⎠

SOLUCIÓN: Aquí tenemos: y =

1 −1 = (1 + 3x ) . 1 + 3x

Obteniendo derivadas:

y´= − (1 + 3 x )

−2

y´´= +2 (1 + 3 x )

( 3) −3

(3 ) 2

y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )

−4

(3 ) 3

y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 ) −5

Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x ) Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)

Ejemplo 3

n

−6

(3 ) 5

( n !)(1 + 3x ) (

− n +1)

(3 ) n

( )

Demuestre que D xn x n = n! ; n ∈ ` SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n ( n − 1) x n − 2 y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3 "

y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"( n − ( n − 1) ) x n − n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"(1) = n!

Ejercicio Propuesto 3.5 1.

Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

a.

d4 dx

b.

c.

110

4

[cos (x )] 2

d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ dn dx n

[xe ] x

n⎛

5 ⎞ ⎟ ⎝4− x⎠

d. Dx ⎜

e. Dx f.

30 ⎡1 +

d 35 dx35

x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣

[xsenx]

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎜ ⎟⎥ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦

2.

Determine

3.

Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:

(

)

D xn a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈ ` 4.

Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .

Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema.

3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas: 4

5

1. Despejando y (forma explícita: y = x

4

5

) entonces:

4 − 15 x 5 4 5 2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ).

y´=

La consideraremos como x − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación: 5

4

5 Dx ⎡ x 4 − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⎤ = Dx [ 0] ⎣ ⎦

4 x3 − 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ´( x ) = 0 Ahora despejamos f ´( x ) : 4

f ´( x ) =

4 x3 5 ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤

4

Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar

f ( x) = x 5 : 4

111

Cap. 3 La derivada


f ´( x ) =

4 x3 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦

4

=

4 x3 5 ⎡x 5 ⎤ ⎣⎢ ⎥⎦ 4

4

=

4 x3 16

5x

5

=

4 − 15 x 5

Ejemplo 2 Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´ SOLUCIÓN: 2

2

PRIMER MÉTODO. 2 Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x

y´= Entonces:

1 2

(1 − x ) ( −2 x )

=−

1 2 − 2

x 1− x

2

=−

x y

SEGUNDO MÉTODO.

Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos 2

miembros de la igualdad:

(

2

)

Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0

que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= −

x x =− y 1 − x2

Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.

En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida, la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado. Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación. Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

112

Cap. 3 La derivada


Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:

(

) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3

12 x

2

2

2

12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´ Despejando y´ resulta: y´=

12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy

Ejercicio Resuelto 2

( )

Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

(

( )

)

(

)

Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1 1+

1

[2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x 2

x2 y

1+

2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y

Despejando y´ resulta:

y´=

4x − 1 − 6y +

2 x

1 y

Ejercicio Resuelto 3

( )

Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( ( ))

(

Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y

( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+

)

− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x

− y2

2

2

[ (x + y ) 1 2

− 12

(1 + y´)]

x xy´ x+ y + + 2 x+ y 2 x+ y

Despejando y´ resulta:

( )

− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +

x 2 x+ y

( )

x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y

113

Cap. 3 La derivada


Ejercicio Resuelto 4 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es P(0,0). SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −

x cos y = sen( x + y )

en

1 m tg

D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))

Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego

cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´] . despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´ y´= 0

Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente

mnormal = −

1 = −∞ 0

Y su ecuación será:

y−0 = −

1 (x − 0) (el eje y ). 0

x=0

Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2

3

(

y' ' en (2,1).

)

D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0 2

En (2,1) sería:

2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0 y´= 2

Ahora encontramos

y' ' volviendo a derivar implícitamente:

(

)

D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0)

(

)

2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2

2

2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En (2,1) sería: y´´= 15

114

Cap. 3 La derivada



2.

dy para: dx

Encontrar

2

d. sec y + tan y = xy

2

a.

x 3 + y 3 =1

b.

ln ( xy ) + y = 1

c.

e xy + ln y = 0

e. ln ( xy ) +

y =5

2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14 en el punto

(1,2) son perpendiculares entre sí.

3.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto

4.

3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)

5.

(1,1)

)

(

[2

]

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1)

6.

3

3

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0

7.

2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en

8.

Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el

9.

2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente

el punto (0,−2) .

punto (0,0) .

a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si 11. Calcula:

d2y dx

2

x3 − 4 y 2 + 3 = 0 para

2

x

3

+y

2

3

=1

12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación

x − tg y + e

y − π4

= 2 determine

d2y dx 2

( )

en el punto 2, π . 4

3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma: ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo dy será hallar directamente . dx

115

Cap. 3 La derivada


3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.

Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo

dy

⎧ x = cos t dy cos t x = dt = =− de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: dx dx − sen t y y = t sen ⎩

dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.

Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t

Sea ⎨

⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t

hallar

dy dx

dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt

Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que

dy = y´(t ) ; por tanto: dx

Segunda derivada:

116

d2y dx 2

d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx

d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt

Cap. 3 La derivada


d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y

d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt

Y así sucesivamente. Ejemplo 1 ⎧ x = cos t d3 y Sea C : ⎨ hallar . dx3 ⎩ y = sen t SOLUCIÓN: dy dy cos t = dt = = − cot ( t ) Ya encontramos la primera derivada: dx dx − sen t dt d d y´ − cot t ) − ( − csc 2 t ) d 2 y dt ( ) dt ( = = = = − csc3 t La segunda derivada sería: 2 dx dx dx − sent dt dt d d y´´ − csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot gt d 3 y dt ( ) dt ( ( ) = −3csc4 t cot gt = = = La tercera derivada sería: dx dx dx 3 −sent dt dt

Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t

Sea ⎨

hallar

d2y dx 2

⎪⎩ y = e sent SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos: dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt La segunda derivada sería: d ⎛ sent + cos t ⎞ d ( y´) dt ⎜⎝ cos t − sent ⎟⎠ d2y = dt = dx dx dx 2 dt dt ( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t ) t

( cos t − sent )

=

et cos t − et sent

( cos t − sent ) + ( sent + cos t ) 2 ( cos t − sent ) = 2

=

2

2

= et cos t − et sent cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t et ( cos t − sent )

3

d2y 2 = dx 2 et ( cos t − sent )3

117

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 3 Calcular

dny dx n

⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R

SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy dy mt m −1 mt mt −1 = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t

d [ y´(t )] m 2 t m −1 dt = = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx dx t dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: dx dx 3 t −1 dt d2y

Directamente, la cuarta derivada sería: Por tanto:

dny dx

n

d4y dx 4

= m 4t m

= mnt m

Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar

dy para: dx a.

⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t )

b.

⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1

⎧ x = a(t − sen t ) π en t = ( ) = − y a 1 cos t 2 ⎩

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎧⎪ x = 2t − t 2

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎪⎩ y = 3t − t 3

en el punto (1,2)

⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎧⎪ x = t 2

5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨

⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1

; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las

rectas tangentes a C y que pasen por el origen.

⎧⎪ y = cos t d2y d3y . Calcule a) y b) ⎪⎩ x = ln ( cos t ) dx 2 dx 3

6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨

118

Cap. 3 La derivada


3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.

⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ )

Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨

⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ )

Al reemplazar queda ⎨

dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ dy = dθ = Entonces f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dx dx dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente: y

Fig. 3.13

r = f (θ )

( r0 ,θ0 ) r0 y0

θ0

x0

x

Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:

y − y 0 = m ( x − x0 )

Entonces:

119

Cap. 3 La derivada


x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0

dy dy m= = dθ dx dx dθ

=

f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0

θ =θ 0

Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica:

π 4

Fig. 3.14

x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )

En este caso

[

] 4

4

= 4 sen 3 π cos π 2 =4 2

y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )

4

y

4

2 2

[

2 =4 2

x0 = 2

] 4

4

4

= 4 sen 3 π sen π 4

2 2

y0 = 2

Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= =

f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0

[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4

⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2

2 ⎡ 2⎤ 2 + ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 2 2 ⎣ ⎦

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:

120

y − y 0 = m(x − x0 ) y−2=

1 2

( x − 2)

Cap. 3 La derivada


Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6

1.

Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ

2.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

3.

Hallar la ecuación de la recta tangente a r =

4.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 2 sen 3θ

3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.

Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.

3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.

Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) f y = ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x)

121

Cap. 3 La derivada


Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta −1 tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma

m2 =

1 m1

. Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f

−1

,

trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f

−1

.

Fig. 3.15 Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para

⎡d ⎢ dx f ⎣

f

por tanto habrá que encontrar el correspondiente

x

−1 ⎤

⎥ (4 ) ⎦

para reemplazarlo en:

−1 ⎤

1 ⎥ (4) = f ´(x ) ⎦

5 Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.

⎡d

f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx

−1 ⎤

1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7

No olvide que este resultado significa que la recta tangente a

por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 =

122

1 (x − 4 ) 7

f

−1

f

en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y

en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =

1 y por 7

Cap. 3 La derivada


Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥(x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x

Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta

x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x ⎡d f ⎣ dx

Bien, reemplazando ⎢

−1 ⎤

1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦

(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: determinamos con su definición)

f −1 ( x) = ln x

, cuya derivada la

3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 D x (arcsen x ) = ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arccos x ) = − ;−1 < x < 1 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 Dx ( arc co tg x ) = − 1 + x2 1 D x (arc sec x ) = ; x >1 x x2 −1

Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea

[

f ( x) = y = sen x hallar D x f

−1

]

( x) = D x [arcsen x ]

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:

[

Dx f

−1

]

( x) = D x [arcsenx] =

1 f ´( y )

Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny =

x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16) 1

123

Cap. 3 La derivada


Fig. 3.16

Por lo tanto, D x [arcsenx] =

1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1− x2

Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x)

D x (arcsen u ) =

1

D x (arccos u ) = −

1− u2 1

u´ ;−1 < u < 1

1− u2

u´ ;−1 < u < 1

D x (arctg u ) =

1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u 2 −1 Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠

x2 + y2

SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:

[ (

)] (

⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 D ⎜ ⎟= Dx x 2 + y 2 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎢ ⎥= 2 2 x2 ⎦ 2x +y

1

(

y2 1+ 2 ⎣ x

)

⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2

(

x

2

x 2 (xy´− y )

x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y 2 xy´− y = x + yy´

(

)

xy´− yy´= x + y y´=

124

x+ y x− y

)

)

Cap. 3 La derivada


Ejercicios Propuestos 3.9 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(6 ) ⎝ dx ⎠

1.

Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜

2.

2 Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3

3.

⎛ dg ⎞ π , si g es la función inversa de Hallar ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4

4.

Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la

7

3

2

; hallar

()

⎛ d −1 ⎞ f ⎟ (5) . ⎜ ⎝ dx ⎠ f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x

⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎝ dx ⎠

recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ 5.

6.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto 3

(0, f

−1

(0)

)

Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto

( −2, f

−1

(−2) ) donde

f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR 7.

Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de

f en

( 2a, f

−1

(2a) )

si se conoce que

f ´(a ) = f (a ) = 2a . 8.

⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠

(y =

f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy 9. Calcular , para : dx a.

⎡ ⎤ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎣ ⎦

⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠

b.

⎛x⎞ y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠

d.

(

)

(

3 y = e arctg x + senx

)

3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto g ( x) complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente. Ejemplo 1 Hallar

dy para y = x x dx

SOLUCIÓN:

Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:

125

Cap. 3 La derivada


Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1]

Ejemplo 2 Hallar

dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

(

)

ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x )

Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]

1 1 ⎡ 1 (cos 2 x )(2)⎤⎥ y´= ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ 2 y 1+ x ⎣ sen 2 x ⎦

⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ y´= y ⎢ + ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦

Ejemplo 3 Hallar

dy dx

para

y = xx

x

SOLUCIÓN:

Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:

( )

ln y = ln x x

x

ln y = x x ln x Luego, volvemos a aplicar logaritmo:

(

ln (ln y ) = ln x x ln x

)

ln(ln y ) = ln x + ln(ln x) x

ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente:

126

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣

Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar

dy para y = dx

x 2 + 2 3 1 + arctg x 4

1 + ex

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎢ ⎥ 1 + e ⎣ ⎦ ln y =

1 ln 2

(x

2

)

(

+ 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x

)

Ahora derivando implícitamente, resulta:

)

( (

(

Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x 2

3

4

)

( )

⎞ ⎛ 1 1 1 (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ − 1 1 x e x y´= y 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e ⎡1 1 ⎛ y´= y ⎢ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 2 + 2 3 1 arctgx ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2

( )

⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠

Finalmente, reemplazando resulta: y´=

x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 2 + 3 1 arctgx 4 x ⎝ 1+ x ⎣⎢ x + 2 1+ e

( )

⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠

Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular

a.

y=

dy , para : dx

sec 5 x

3

tgx + 1

e.

y = xnnx

f.

⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ arccos cos x ⎦⎥

csc x 3 − 4 b.

y=

4

x 3 cos 4 x

3

1− x2

(4x − x )

3 5

( (

) )

arctg 2 x

127

Cap. 3 La derivada


c.

x −1

y= 3

d.

2.

( x + 2 ) ( x + 3) 2

y=x

(

(

h.

y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))

i.

(x + y ) y

= x2 + y2

j.

y = (1 + x 2 )

2

arcsen(e x )

3

3x

g.

y = arcsen 1 + e 2 x

))

sec x

x

(

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x

)ln(x+1) en el

punto (0,1)

y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine

d2y dx

3.7

2

(1,2) , si existe, para

x y + xy = 3

FUNCIONES HIPERBÓLICAS.

Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es

e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2

Por tanto su gráfica sería:

Fig. 3.17

3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es:

128

e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2

Cap. 3 La derivada


Por tanto su gráfica sería:

Fig. 3.18

3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:

senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x Por tanto, su gráfica sería:

Fig. 3.19

Se puede demostrar que

cosh 2 x − senh 2 x = 1

129

Cap. 3 La derivada


3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

D x (senh x ) = cosh x

D x (cosh x ) = senh x

D x (tgh x ) = sec h 2 x

D x (c tgh x ) = − csc h 2 x

D x (sec hx ) = − sec hx tgh x

D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x

¡Demuéstrelas!

Misceláneos 1.

Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)

⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟ ( 2) = 4 ⎝ dx ⎠

b)

La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0

c)

Si

d)

3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .

e)

f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0 .

La expresión lim x→

sen x − 1 x− π

π 2

es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π . 2

2

f)

La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.

g)

Si y ( x) = x

h)

Si g ( x) = f e

i)

Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto

j)

1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . dx f ´( x) ⎝ ⎠

k)

Si

xx

entonces y´(x ) = x

xx x⎛

1⎞ x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟ x⎠ ⎝

( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12 [ ]

del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .

f ,

g

y

h

son funciones tales que

(f

D g D h )´(2) = 4 ,

g (1) = g´(1) = −1 y

h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 l)

Si

f

es una función inversible y derivable tal que

⎛ d −1 ⎞ f ⎟ ( −2 ) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠

130

f ´(1) = 4 y

f (1) = −2 entonces

Cap. 3 La derivada


m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30

n)

⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩

La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ en todo su dominio.

;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en ⎪ h( x) ;x ≥1 ⎪⎩

\.

todo p)

Si tenemos las curvas

f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores

a, b, c ∈ \ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) . y

= y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 .

q)

Si la ecuación x

r)

Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5

s)

Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ⎪ 2

t)

⎩x + 2 ; x > 1

u)

Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0

v)

Si

C es

un

lugar

geométrico

plano

cuyos

puntos

satisfacen

entonces la recta tangente a

P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación

y y + 0 =1 b2

Encuentre

b.

y ( x) = x 2 + 1

2

(

x0 y a2

ecuación:

C en cualquier punto

\ en \ tales que f ´= g´ entonces f = g

2

)ln x sen (ln 2 (cos x + e3 x )

c.

y ( x) =

d.

x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2 x

y ( x) = xe + e x y ( x) =

la

dy para dx

x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y

g.

el

x y + 2 = 1 ; a, b ∈ \ − {0} , 2 a b

a.

f.

en

2

w) Si f y g son funciones de

e.

entonces f ´(1) existe.

f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .

2

2.

;x ≤1

⎧⎪ 3x

i.

y ( x) = (sen3 x )arctg (x

j.

2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x

k.

ln (x + y ) = arctg⎛⎜ ⎝

l.

y ( x) = e tg x tg e x

m.

(x + y ) y = x 2

x

2 + 3x 2 − 3x

3 1 + arctg x

y ( x) =

x cos x + x

y ( x) = ln

x2 + 2

h.

4

1 + ex 2

)

x⎞ y ⎟⎠

( )

131

Cap. 3 La derivada


3.

[

]

d [ f ( x)]2 + 1 dx

Hallar

⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ Sea

continua

en

x=0

[ f ´(−2)].[ f (12 )] − f ´(π + 1)

5.

y

derivable

;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1

x = 1 . Además determine, de ser posible,

en

⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = −

π 6

(x + 1)2 + 3

determine el valor de (g D f )´(1) .

6.

2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =

7.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t 8.

Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones

)

(

2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que

g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1 9.

[

[ ]

]

Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.

1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(1) = 2 . Considere que k + 5k ⎝ dx ⎠

10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜

f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x . ⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t

11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨

d3y dx3

.

⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y , t > 0 determine en el ⎪⎩ y = t ln t dx3

12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0)

13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente común en el punto (1,0) .

(

)

y 14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto x

(1,0) . 15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las

⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩

132

2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t

Cap. 3 La derivada


16. Hallar

d2y dx

17. Hallar

2

⎧⎪ x = et cos t

para ⎨

⎪⎩ y = et sen t

, t ∈ IR

dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx

18. Sea y = f (x) función tal que h = f

−1

. Sea y ≥ 0 si h( y ) =

y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2

19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 2⎞ ; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ , a⎜ 2 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎨ 2 2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ ⎪

[

⎩ y = a sen t

]

⎝

⎠

20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f

⎪⎧sen x + a ; x ≥ 0 . x ⎩⎪ be + c ; x < 0

es una función tal que f ( x ) = ⎨

21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t

( )

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el punto (1,0) . 23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .

⎧⎪ x = 2t − t 2

24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨

⎪⎩ y = 3t − t 3

en el punto (1,2 ) .

[

]

25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x − 5 x + 1 . 2

27. Hallar

d 50 ⎡ 1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦

28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función

f cuya regla de correspondencia es

f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2

parábola. 30. Si f es una función de

\ en \ inversible y con regla de correspondencia f ( x) = x3 + 3 x − 10

⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4) ⎣ dx ⎦

entonces determine ⎢

133

3 La Derivada

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