CAPITULO III
LA DERIVADA
3.1 Definición de la derivada x) definida sobre cierto intervalo Sea una función y = f ( x (a; b). Fijemos cualquier valor x de dicho intervalo y, en el punto x, demos al argumento un incremento h tal que el valor x + h pertenezca también al intervalo (a; b). Definición x) en el Se denominará incremento de la función y = f ( x punto x, correspondiente al incremento del argumento h, el número k f (x h) f ( x) (1)
Tiene lugar la siguiente afirmación: para que la fun x) sea continua en el punto x es necesario y ción y = f ( x suficiente que el incremento k de esta función en el punto x, correspondiente al incremento del argumento h, sea infinitesimal cuando h 0. Esta afirmación permite expresar la condición de continuidad de la función y = f ( x x) en el punto x en forma nueva, a saber: la función y = f ( x x) es continua en el punto x si el incremento k de de esta función en el punto x, correspondiente al incremento del argumento h, es infinitesimal para h 0, es decir, si lim k lim [ f ( x h) f ( x)] 0 (2) h0
Teniendo en cuenta que h ≠ 0, consideremos, en un punto fijado x, la razón entre el incremento k de la función en este punto y el incremento correspondiente del argumento h k f ( x h) f ( x) (3) h h La razón (3) se denominará relación de diferencias en el punto dado x. Puesto que el valor x se cree fijado, la relación de diferencias (3) es función del argumento h. Esta función está definida para todos los valores del argumento h pertenecientes a cierto entorno bastante pequeño del punto h = 0, excepto el propio punto h = 0. De este modo, tenemos derecho de considerar el pro blema de la existencia del límite de dicha función cuando h 0. Definición x) en el punto Se denomina derivada de la función y = f ( x fijado x el límite de la relación de diferencias (3) para h 0. La derivada de la función y = f ( x x) en el punto x se denotará por el símbolo y´( x x) o f ´( x x). así pues, por definición k f ( x h) f ( x) . (4) f '( x) lim lim h0 h h 0 h
h0
La condición (2) se denominará forma de diferencias x) en de la condición de continuidad de la función y = f ( x el punto x.
Nótese que si la función y = f ( x x) está definida y tiene derivada para todos los x del intervalo (a; b), esta derivada será función de la variable x también definida sobre el intervalo (a; b).
3.1.2 Interpretación geométrica de la derivada derivada Uno de los principales problemas que condujeron al desarrollo del cálculo, fue el de encontrar la pendiente de la línea tangente a una curva f ( x x) en cualquier punto del intervalo (a; b). Pasemos ahora a considerar este problema. x) es la gráfica de una función. A una Supóngase que f ( x recta determinada por dos puntos sobre una curva, se le llama línea secante de dicha curva. Sea x D y sea h 0 un número tal que ( x + h) D; entonces los
x, f ( x x)) y P ( x x + h, f ( x x + h)) son dos puntos puntos M ( x sobre la curva, con la particularidad de que la secante de f ( x y P , no es perpendicular al MP de x), que pasa por M y eje sobre el cual está graficado el dominio D. Usando la fórmula de la pendiente, tenemos que la pendiente de la secante es f ( x h) f ( x) f ( x h) f ( x) MP h ( x h) x
Si dada x D, podemos hacer que el valor de
LA DERIVADA
88 f ( x h) f ( x)
Solución
,
h se acerque a un número m( x x) tanto como deseemos, con sólo hacer h suficientemente pequeña, llamaremos a m = {( x x, y) / y = m( x x)}. La función pendiente de la x). Definimos la línea tangente a la gráfica gráfica de f ( x x) en el punto M ( x x, f ( x x)) como la línea que pasa de f ( x x). por M y y tiene pendiente igual a m( x
x) y sea h un número distinto Considérese la función f ( x de cero, positivo o negativo, que tenga la propiedad de x + h) D. Si existe una función f ´( x x) con la que ( x particularidad de que f ( x h) f ( x) lim f ´( x) h 0 h
algunos valores de x D, entonces f ( x h) f ( x) lim x) con res es la derivada de f ( x h0 h pecto a x. Es decir: si mediante h denotamos un incremento arbitrario del argumento y mediante P , el punto x + h)), ende la curva con las coordenadas ( x + h, f ( x tonces, la tangente que pasa por el punto M de de la curva dada se define como la posición límite de la secante MP cuando h 0. En la figura podemos ver que el coeficiente angular de la secante MP , es decir, la tangente del ángulo de inclinación de esta secante al eje 0 X , es igual a la relación de diferencias. Empleando este dato y el hecho de que, pasando al límite para h 0, el ángulo de inclinación de la secante debe transformarse en el ángulo de la tangente, anteriormente se dedujo basándose en razonamientos demostrativos que x) es igual al coeficiente angular de la la derivada f ´( x x) en el punto M . tangente al gráfico de la función y = f ( x
( x h) 2 1 ( x h) 4
f ´( x) lim h0
h0
( x h) 2
1 x4
x4
1 x4
x2
4 1 ( x h)4 1 x 4 4 4 4 ( x h) (1 x ) x (1 ( x h) ) lim h0 ( x h)2 x2 4 4 h(1 x )(1 ( x h) ) 4 1 ( x h)4 1 x 3 2 2 3 h(4 x 6hx 4h x h ) lim h 0 2 ( x h)2 x 4 4 h(1 x )(1 ( x h) ) 4 1 ( x h)4 1 x 4 x3 6hx2 4h2 x h3 lim h0 ( x h)2 x2 4 4 x x h (1 )(1 ( ) ) 4 1 ( x h)4 1 x
4 x3 4 2
(1 x )
para
Ejemplo Calcular la derivada de la función, utilizando su definición: 1 . f ( x) 4 2 4 1 x x 1 x
4
1 ( x h) 4 h
h
( x h)
lim
x2
2 x
2
2x
.
4 3
(1 x )
1 x 4
Ejemplo Calcular la derivada de las funciones, utilizando su definición: ArcCosx a) f ( x) ; ArcSenx ArcSenx 1) . ArcTan( x 1) b) f ( x) 7 ArcTan Solución a) Como
ArcCosx ArcCosx ArcSen ArcSenx x Entonces
2
ArcSenx ArcSenx ArcSenx ArcSenx
f ´( x) lim
ArcSen( x h) 2 ArcSen
h0
1
2 ArcSen ArcSenx x
ArcSenx 2 ArcSenx
1.
1
h
ArcSen( x h) 2 ArcSenx ArcSenx 2 ArcSen h0 h ArcSenx ArcSenx ArcSen ArcSen( x h) ArcSen ArcSen( x h) ArcSenx ArcSenx lim 2 h 0 h
lim
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
2
lim
89 ArcSenx ArcSenx ArcSen ArcSen( x h)
h0 h
ArcS ArcSen en( x h) Ar ArcS cSen enx x
2 2 2 2 x( ArcSenx ArcSenx) 1 x
Entonces f ´( x)
ArcSen ArcSen x 1 ( x h) 2
lim 2 h0
2 x 1 ( x h)
2
lim
2 h0
( x h) 1 x2
( x h) 1 x2 h ArcS ArcSen en( x h) ArcS ArcSen enx x
x 1 ( x h)
2
( x h) 1 x FR h A ArrcSen( x h) ArcSenx FR
2 2 2 2 x (1 ( x h) ) ( x h) (1 x )
lim 2 h0 h ArcS ArcSen en( x h) ArcS ArcSen enx x FR
2 xh h2 2 h0 h ArcS ArcSen en( x h) ArcS ArcSen enx x FR 2 x h lim 2 h0 ArcSen ArcSen( x h) ArcSenx ArcSenx FR
2 2 ArcSenx) 1 x 2( ArcSenx
.
h ArcS ArcSen en( x h) ArcS ArcSen enx x
lim 2 h0
2 x
lim
b) f ´( x ) lim
7 ArcTan ArcTan( x h 1) 7 ArcTan ArcTan(x 1)
h0
h ArcTan ArcTan
7 lim
x h 1 x 1
1 ( x h 1)( x 1)
h0
h
h
1 ( x h 1)( x 1) h0 h 1 7 lim h0 1 ( x h 1)( x 1)
7 lim
7 1 ( x 1) 2
.
3.1.3 Interpretación física de la derivada derivada Aquí estudiaremos las aplicaciones físicas del concepto de derivada. Ante todo, supongamos que la función y = f ( x x) describe la ley del movimiento del punto material por la línea recta. Entonces, como se sabe, la relación de diferencias k f ( x h) f ( x) h h define la velocidad media del punto en el intervalo de x), es tiempo de x a x + h. En este caso la derivada f ´( x decir, el límite de la relación de diferencias para h 0, define la velocidad instantánea del punto en el momento de tiempo x. Así pues, la derivada de la función que describe la ley del movimiento define la velocidad instantánea del punto. Para que uno no tenga la idea de que el concepto de derivada se usa ampliamente sólo en la mecánica, daremos ejemplos de aplicación del concepto de derivada en otras ramas de la física.
x) determina la cantidad de Sea que la función y = f ( x electricidad y que pasa por la sección transversal de un conductor en el tiempo x. En este caso, la derivada f x) determinará la intensidad de la corriente que pasa a ´( x través de la sección transversal del conductor en el momento de tiempo x. Luego, consideraremos el proceso de calentamiento de un cuerpo. x) determina la cantiSupongamos que la función y = f ( x dad de calor y que hay que comunicar al cuerpo para calentarlo de 0o a xo. Entonces, la relación de diferencias determina la capacidad calorífica media del cuerpo x + h)o. En este caso, la derivada al calentarlo de xo a ( x f ´( x x), es decir, el valor límite de la relación de diferencias cuando h 0, determina la capacidad calorífica del cuerpo para la temperatura dada x. Notemos que, hablando en general, esta capacidad calorífica cambia al variar la temperatura x.
3.1.4 Movimiento rectilíneo La función s que da la posición del móvil, respecto del origen, como función del tiempo t se se llama función de posición. Si, sobre cierto lapso de tiempo h, el objeto cambia su posición una cantidad s = s(t + h) – s(t ), ), entonces, por la fórmula
razón
distancia tiempo
la razón media de cambio de la distancia respecto al tiempo viene dada por
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LA DERIVADA
90
camb cambio io en distanc distancia ia cambio cambio en tiempo tiempo
s
v(t ) lim
s(t h) s(t )
s´(t) h Llamaremos rapidez al valor absoluto de la velocidad. Es siempre no negativa. Indica tan sólo cuán rápido se mueve un objeto, no en qué dirección. Del mismo modo que hemos obtenido la velocidad derivando la función posición, obtendremos la aceleración derivando la función velocidad. Si s es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el instante t viene dada por a(t ) = v´(t ) donde v(t ) es la velocidad en el instante t . h0
h
llamaremos a esta la velocidad media. Si s(t ) da la posición en el tiempo tie mpo t de de un objeto que se mueve por una recta, la velocidad media del objeto en el intervalo [t ; t + + h] viene dada por s s(t h ) s(t) . Velocidad media h h Si s = s(t ) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t viene dada por
3.1.5 Movimiento de un proyectil Supóngase que un objeto se proyecta verticalmente de manera que la única aceleración que actúa sobre el objeto es la aceleración constante descendente g debida a la gravedad. Cerca del nivel del mar, g es es aproximadamente 32 pies/seg2 o 9.8 mts/seg2. Puede demostrarse que en el tiempo t , la altura del objeto está dada por la fórmula
H (t )
1
g t 2 v0 t H 0
2 donde H 0 y v0 son la altura inicial y la velocidad inicial del objeto, respectivamente.
3.1.6 Razón de cambio porcentual Si y = f ( x x), la razón de cambio porcentual de y con respecto de x está dada por la fórmula f ´(x) Razón Razón de cambio cambio porcentual porcentual 100 f ( x) Ejemplo Calcular la velocidad instantánea del punto material que cae por la acción de la fuerza de gravedad. Solución Por cuanto la ley del movimiento de este punto se
determina por la función S
1 2
g t 2 , entonces el camino
S , recorrido por el punto en un intervalo de tiempo de t a a t + + h, es igual a
S
g (t h)2
2
g t2
2
gth
g h2
2
Por eso la velocidad media en este mismo intervalo de tiempo es igual a vm
S h
gt
1 2
gh
Por consiguiente, en el momento fijado de tiempo t , la velocidad instantánea v es igual a v lim
h0
S
1 lim g t g h g t h 0 h 2
De hecho, se ha calculado la derivada de la función
S
1 2
g t 2 y, por tanto, podemos escribir S ´ g t .
Ejemplo Cuando un producto se vende al precio x, en que x > 0, la demanda del consumidor está dada por la función 5 D( x) : x a) Encuentre la razón promedio de cambio en la de x) con respecto al precio x, cuando éste varía manda D( x de x = 5 a x = 5,5; b) Encuentre la derivada derivada e interprete su resultado. Solución promedio de cambio cambio está dada por el coa) La razón promedio ciente de diferencias:
D h
D( x h) D(x )
5
5 x
5 5 1 h x h xh 5 x 5( x h) 1 5x 5( 5( x h) x( x h)h ( x h) x x( x h) h 5h 5 . x( x h )h x (x h )
x h h
Para un cambio de precio de 5 a 5.5, se hace x = 5 y h = 0.5, de modo que x + h = 5.5. Sustituyendo se tiene JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
D h
91
5 5 0.18 . x( x h) 5(5.5)
Es decir, cuando el precio cambia de $ 5 a $ 5,5, la demanda del consumidor disminuye un promedio de 0.18, o 18 artículos por dólar de aumento. b) Aplicando el límite al cociente de diferencias, obtenemos
D D´( x) lim h 0 h
lim
h 0
5 5 2 x ( x h) x
Considere que la razón instantánea de cambio en la demanda, D´(x)
5 x2
, es negativa, sin importar el pre-
su velocidad inicial fue v(0) = -20(0) = 0 en un tiempo posterior, cuando t = 3, la piedra ha alcanzado la velocidad v(3) = -20(3) = -60 metros por segundo. El signo negativo indica el movimiento de la piedra hacia abajo. Ejemplo Supóngase que la distancia que recorre un objeto en el tiempo t está dado por la función s(t ) = 3t 2 + 2t . Determine la velocidad instantánea de este objeto en el tiem po t . ¿Cuál es la velocidad en el tercer segundo? Solución La velocidad instantánea del objeto, se calcula derivando s(t ): s´(t ) lim h 0
cio x. Esto significa que la demanda del consumidor siempre disminuye con respecto al aumento en los precios. Observe también que, cuando x = 5, la razón instantánea de cambio en la demanda es D´(x)
5 25
1 5
h
h0
h h(6t 3h 2)
h 0
H (t h ) H (t ) h
(50 10(t h)2 ) (50 10t 2 ) h
50 10t 2 20t h 10h2 50 10t 2 h
20t h 10h
3(t h)2 2(t h ) 3t 2 2t
lim
Ejemplo Se deja caer una piedra desde una altura de 50 metros. Su altura sobre el suelo está dada por la función H (t ) = 50 – 10 t 2 en el tiempo t ; 0 t 3. Encuentre la velocidad promedio para un periodo de t a t + h . Seguidamente, obtenga la velocidad instantánea de la piedra en el tiempo t . Solución En el periodo de t a h, el cambio en la posición de la piedra es H = H (final) – H (inicial) = H (t + h) – H (t ) entonces
H
h
lim
.
Esto significa que, cuando el precio es de $ 5, la función de demanda disminuye a la razón instantánea de 0,2 (ciento) de artículos por dólar de aumento en el precio.
Velocidad promedio
S (t h) S (t )
2
h 20t 10h .
Si se toman intervalos de tiempo cada vez más pequeños, es decir cuando h 0, se deduce que Velocidad instantánea lim ( 20t 10 h) 20 t . h 0
Por tanto, la velocidad en cualquier instante t , en que 0 x 3, queda dada por la función v(t ) = -20 t . En particular, en el tiempo t = 0, cuando se soltó la piedra,
6t 2 .
h
La velocidad en el tercer segundo es: v(3) = 6(3) + 2 = 20 mts/seg. Ejemplo Supóngase que el tiempo t , el peso de un pollo está 2 dado por la función w(t ) = 1 + 2t + t . Hallar la rapidez instantánea de cambio en el peso, en el tiempo t . ¿Cuál es esta rapidez de cambio en la quinta semana? Solución La rapidez instantánea de cambio en el peso, se calcula derivando w(t ): w´(t ) lim h 0
lim
w(t h) w(t ) h
1 2(t h) (t h)2 1 2t t 2
h0
lim
h 0
h h(2 2t h)
2 2t .
h
La rapidez de cambio en la quinta semana es: w´(t ) = 2 + 2(5) = 12 lbs/sem. Ejemplo El volumen de agua contenido en un tanque en el instante t está dado por la función V (t ) = 8(8 – t )2. Hallar dV dr
e interprete su resultado. Obtener el tiempo t para
el que
dV dr
0.
Solución dV dt
lim
V (t h) V (t )
h0
lim
h
8(8 (t h)2 ) 8(8 t 2 )
h0
8 lim
h 0
h h(h 16 2t ) h
128 16t . JOE GARCIA ARCOS
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dV dt
92
representa la rapidez de variación del volumen dV
con respecto al tiempo t . Haciendo
dt
0 , entonces:
t 128 8 seg.
128 – 16t = 0
16
función de ingreso marginal. ¿Es el ingreso marginal mayor para 50 artículos o para 100? ¿Qué significa esto? Solución La función de ingreso marginal, se obtiene derivando la función ingreso total:
Este resultado indica que se necesitan 8 segundos para vaciar el tanque. Ejemplo La utilidad obtenida por una empresa que fabrica y vende x artículos, está dada por la función P ( x) = - 25 + 5 x – 2 x2. Hallar P ´( x) e interprete su resultado. Determinar también P ´(3). Solución P´( x) lim h0
lim
h
h
5 4 x .
Ejemplo
El volumen de una esfera es V (r )
4r 3 3
. Hallar
dV
y
dr dV
determinar el significado de esta función. Evaluar
dr
en r = 2. Solución
lim
V (r h) V (r )
h0
h
4(r h)3
lim
h 0
lim
h0
dV dr
lim
h0 h( x
3
4r 3
R ´(50)
2
4r .
representa la rapidez de variación del volumen de
la esfera con respecto del radio. La variación del volumen de la esfera cuando r = 2 es: V ´(2) = 4 (2)2 = 16. Ejemplo Una empresa pronostica que su ingreso total por la
venta de x artículos es R( x ) 300
150 x 1
x 1
150 ( x 1)2
.
150 (50 1)
2
150 2601
0.058
. Hallar la
150 (100 1)
2
150 10201
0.015 .
Ejemplo Una fábrica de ropa estima que su costo para elaborar x artículos está dado por la función C ( x) = 50 + 5 x + 0,03 x2. Si cada pantalón que fabrica se vende en $ 30, ¿cuál es la función de utilidad? Obtener la función de utilidad marginal y evaluar en x = 50 y x = 100. Solución La función de utilidad es igual a los ingresos menos los costos de fabricación, esto es U ( x) = 30 x – C ( x), es decir: 2 U ( x) = 30 x – 50 – 5 x – 0,03 x 2 = - 50 + 25 x – 0,03 x . La función utilidad marginal se encuentra derivando la función utilidad: U ( x h) U ( x)
h0
h
3h
h 1)(x 1)
150
El ingreso marginal es mayor cuando x = 50. Esto significa que, a más artículos, menor es el ingreso marginal.
U´( x ) lim
3
h(12r 2 12rh 4h2 )
x h 1 h 150h
300
Calculamos el ingreso marginal para x = 50 y x = 100:
R ´(100)
La derivada de la función utilidad, se le denomina función utilidad marginal. La utilidad marginal para 3 artículos, está dada por: P ´(3) = 5 – 4(3) = -7. Como el signo de la utilidad marginal es negativo, se puede decir que la utilidad marginal disminuirá.
dr
h 0
h
h0
dV
lim
h 150
y
25 5( x h) 2(x h )2 25 5x 2x 2 h(5 4 x 2h)
R( x h) R ( x )
300
P( x h) P (x )
h0
lim
R ´( x ) lim h 0
lim
h
50 25( x h) 0.03( x h)2 50 25 x 0.03 x2
h 0
lim
h h(25 0.06x 0.03h )
h 0
h
25 0.06 x Calculamos la utilidad marginal para x = 50 y x = 100: U ´(50) = 25 – 0,06(50) = 22 y U ´(100) = 25 – 0,06(100) = 19 La utilidad marginal es mayor cuando x = 50. Esto significa que, a más artículos, menor es la utilidad marginal. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
93
3.1.7 Tarea 1) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: a) f ( x) e) f ( x)
x 1 x
2
x 1 x
x 2 x 1
x
i) f ( x)
x2 1
;
b) f ( x) x2 1 x ;
;
f) f ( x)
x 1 x
e
2
x 1
j) f ( x)
;
x
m) f ( x) Sen 1 x 2 ; q) f ( x)
2 x 4 3x 2 1 x 2
g) f ( x)
;
1 x 1 x
h) f ( x)
;
Tanx
n) f ( x) 1 ln 2 x ;
o) f ( x)
x
5 x 2 7 2
;
2 1 x x 2 ; l) f ( x) 1 x x 2
k) f ( x) x2 ln x ;
;
x 1
d) f ( x) ( x2 x) ex ;
c) f ( x) x 1 x 2 ;
p) f ( x)
;
x
x
1 Cosx
;
r) f ( x) xArcTan x .
;
2) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: a) f ( x) d) f ( x) g) f ( x)
x 2
1 ; 2 x 1
b) f ( x) 6 x 2
1 x
4
2
x 1 4
3 x
2
2
;
;
j) f ( x) ( x2 x2 ) 2 ;
m) f ( x)
e x Senx
;
e) f ( x)
x 1 x 1
5 x
2 3
x
2
;
(3 x
1)
;
3
6 2
6 x 5
f) f ( x) 7 x 2 4x 3 ;
;
h) f ( x) ( x x1) 2 ; k) f ( x)
1
c) f ( x)
4
4) Se estima que dentro de t años, la circulación de un 2 periódico local será C (t ) = 100t + 400t + 5000: a) Obtenga una expresión para la razón a la cual la circulación cambiará con respecto al tiempo dentro de t años. b) ¿A qué razón cambiará la circulación con respecto al tiempo dentro de 5 años?¿disminuirá o aumentara la circulación en ese momento? ¿En cuánto cambiará en realidad la circulación c) durante el sexto año? 5) Un globo meteorológico se eleva verticalmente de manera que su altura s(t ) sobre el suelo durante los primeros 10 segundos de su ascenso está dada por 2 s(t ) = 6 + 2t + t metros y t está dada en segundos:
( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3)
;
2 2 x2 x ; l) f ( x) ln 2 2 x2 x
;
x 1 x2 n) f ( x) ln x
3) Un grupo de ingenieros de caminos diseña un tramo de carretera que debe conectar una autopista horizontal con otra que tiene una inclinación de 20º. El enlace debe realizarse sobre una distancia horizontal de 600 metros usando una curva parabólica para unir los puntos A y B. Obtenga una ecuación del tipo f ( x) = ax2 + bx + c para la parábola respectiva y determine las coordenadas de B.
i) f ( x)
;
o) f ( x) ln x 1 x 2 .
a) Calcule la velocidad del globo para t = 4 segundos. b) Determine la velocidad del globo en el momento en que se encuentra a 50 pie del suelo. 6) Un objeto se mueve a lo largo de una recta de manera que después de t minutos su distancia desde el
punto de partida es D(t ) 10t
5 t 1
metros:
a) ¿A qué velocidad se desplaza el objeto al final de 4 minutos? b) ¿Cuánto se desplaza realmente el objeto durante el quinto minuto? 7) El volumen de agua contenido en un tanque en el instante t lo da V (t ) = 10(10 – t )2. Hallar V ´(t ) e inter prete el resultado. Obtener el tiempo t para el que V ´(t ) = 0. 8) Un estudio ambiental de cierta comunidad subur bana señala que dentro de t años el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire será Q(t ) = 0.05t 2 + 0.1t + 3.4 partes por millón: a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año? JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
94
b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono este año? c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono durante los próximos 2 años? 9) Dos atletas se disponen a correr los 100 metros planos. Las distancias s1(t ) y s2(t ) que cada uno de ellos recorre a los t segundos está dada por s1 (t )
1 5
t 2 8t y s2 (t )
1100t t 100
para t ≥ 0. Determine
cuál de los corredores es: a) El más rápido en la salida; b) El que gana la carrera; c) El más rápido al cruzar la meta. 10) Cuando cierto jugador de básquetbol salta para hacer una canasta, la altura de sus pies sobre el piso está dada por s(t ) = - gt 2 + 16t pies: a) Suponga que g = 32, calcule el tiempo de vuelo en que el jugador se halla en el aire. b) Determine la velocidad inicial y la altura de salto o distancia máxima que alcanzan sus pies sobre el suelo. 32 . Resuelva las parc) En la Luna se tiene que g 6 tes a) y b) para este valor de g . 11) Se lanza una piedra hacia abajo con una velocidad inicial de – 50 pies/seg desde el techo de un edificio y choca con el suelo 3 segundos después: a) ¿Cuál es la altura del edificio? b) ¿A qué velocidad choca la piedra con el suelo? 12) Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 160 pies/seg: a) ¿Cuándo chocará el proyectil con el suelo? b) ¿Cuál es la velocidad de impacto? c) ¿Cuándo alcanzará el proyectil su altura máxima? d) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? 13) La utilidad al producir y vender x artículos queda 2 dada por P ( x) = x – 200. Hallar P ´( x) y determinar qué representa esta función. Evaluar también P ´( x) en x = 10 y x = 20. 14) Un biólogo estima que el número de bacterias presentes en el instante t está dada por N (t ) = 500 + 2 t + 5t 2. Obtener N ´(t ) e interprete esta función. Estimar N ´(t ) en t = 1, t = 3 y t = 5. 15) Supóngase que la distancias que recorre un objeto en el tiempo t se modela por S (t ) = 4t 2 + t . Determinar la velocidad instantánea de este objeto en el tiempo t . ¿Cuál es la velocidad en t = 2?
16) Se estima que dentro de t años la población de
cierta comunidad suburbana será P(t ) 20
6 t 1
miles:
a) Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de t años. b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año? c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año? d) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9 años? e) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo? 17) Un globo esférico se infla y su radio en centímetros a los t minutos está dado por r (t ) 3 3 t , donde 0 ≤
t ≤ 10. Calcule la razón de cambio con respecto al octavo minuto de las siguientes cantidades: a) r (t ); b) El volumen del globo; c) El área de la superficie del globo. 18) La utilidad obtenida por una compañía que fabrica y vende x artículos, la da P ( x) = - 50 + 10 x – x2. Hallar P ´( x) e interpretar esta nueva función. Determinar también P ´(5). 19) Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 centímetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 metros del agua. Si tira de la cuerda a razón de 1 metro por segundo, ¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 metros del punto sobre el agua que se encuentra directamente debajo de la polea. 20) Una pelota baja rodando por un plano inclinado de manera que la distancia en centímetros que recorre al cabo de 3 segundos está dada por s(t ) = 2t 3 + 3 t 2 + 4, donde 0 ≤ t ≤ 3: a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en el segundo segundo? b) ¿En qué momento alcanza una velocidad de 30 centímetros por segundo? 21) Se estima que dentro de t años la población de cierto pueblo será 2 P (t ) = t + 200t + 10000: a) Exprese la razón de cambio porcentual de la población como una función de t ; simplifique esta función en forma algebraica. b) ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentual de la población a largo plazo? JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
22) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron A(t ) = 0.1t 2 + 10t + 20 miles de dólares t años después de su formación en 1994: a) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de la compañía con respecto al tiempo en 2003? b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo, en 2003?
Dos automóviles salen de una intersección al 23) mismo tiempo. Uno viaja hacia el este a una velocidad constante de 60 km/hora, mientras que el otro va hacia el norte a una velocidad constante de 80 km/hora. Encuentre una expresión para hallar la razón a la cual cambia la distancia entre los automóviles con respecto al tiempo. 24) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pie de altura. Una persona de 5 pie de estatura se aleja del poste a una velocidad de 4 pie por segundo. ¿Con qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando él se encuentra a 18 pie del poste? ¿Cuál es la tasa de crecimiento de su sombra? 25) Un cohete que se tiene emplazado al pie de una colina cuya pendiente es 1/5 se dispara hacia una colina y sigue una trayectoria dada por f ( x) = -0.016 x2 + 1.6 x: a) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete en el momento del disparo? b) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando choca contra la colina? c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo. 26) Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumenta a razón de 0.002 centímetros por minuto y 0.001 centímetro por minuto, respectivamente. ¿A razón de cuántos centímetros cúbicos por minuto aumenta el volumen de la barra en el momento en que mide 1 metro de largo y 4 centímetros de diámetro? 27) A las 12:00 horas el barco A se encuentra a 20 millas al sur del barco B. Suponiendo que A navega hacia el oeste a razón de 15 millas por hora, y que B navega hacia el sur a 20 millas por hora, evaluar la rapidez de cambio o variación de la distancia entre los dos barcos a las 12:45. 28) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 3 pie por segundo. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 pie del piso?
95 29) Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón de 0.01 centímetros por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del área de uno de sus lados? 30) Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pie cúbicos por minuto. ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 18 pulgadas? 31) Una persona comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a 3 metros por segundo. Un minuto después, otra persona sale corriendo desde A hacia el norte a 2 metros por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las dos personas un minuto más tarde? 32) La ley de Boyle de los gases asegura que pv = c, donde p es la presión, v el volumen y c una constante. En cierto momento el volumen es de 75 pulgadas cúbicas, la presión es de 30 libras por pulgada cuadrada y ésta disminuye a razón de 2 libras por pulgada cuadrada por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen en ese momento? 33) Una bola esférica de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con rapidez constante, de 30 a 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál era la rapidez de cambio del volumen en el momento en que el radio mide 25 centímetros? 34) Los extremos de un abrevadero de 4 metros de largo tienen la forma de triángulo equilátero, con lados de 75 centímetros. Se suministra agua al abrevadero a razón de 15 litros por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es 15 centímetros? 35) Un cable de 150 pie de largo y 4.5 pulgadas de diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón de 600 pulgadas cuadradas por año. Encuentre la rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando la corrosión en los extremos del cable. 36) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pie de largo y 30 pie de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continúa al mismo nivel los 20 pie restantes, la cual representa una sección transversal. La piscina se está llenando a razón de 500 galones por minuto de agua. Calcule aproximadamente la rapidez de cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de 4 pie.
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LA DERIVADA
37) Una persona que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 pie por segundo, mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 110 pie. Suponiendo que el hilo se mantiene tenso, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado 130 pie de hilo. 38) Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 2 metros por segundo. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 10 metros de la plataforma de abordaje. ¿Si se han soltado 180 metros de cuerda, con qué rapidez asciende el globo? 39) Se lanza una piedra a un lago y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón de 20 centímetros por segundo. ¿A razón de cuántos metros por segundo aumenta el perímetro de una onda cuando su radio es de 5 metros? 40) Cuando dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R está dada por 1 R
1 R1
1 R2
. Si R1 y R2 aumentan a razón de 0,01
ohmios por segundo y 0,02 ohmios por segundo, res pectivamente, ¿a razón de cuántos ohmios por segundo varía R en el momento en que R1 = 30 ohmios y R2 = 90 ohmios? 41) La fórmula de la expansión adiabática del aire es 1.4 pv = c, donde p es la presión, v es el volumen y c es una constante. En cierto momento la presión es 40 dinas por centímetro cuadrado y aumenta a razón de 3 dinas por centímetro cuadrado por segundo. En ese mismo momento el volumen es de 60 centímetros cúbicos. Calcule la rapidez de variación del volumen. 42) El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 3 centímetros cuadrados por minuto. Calcule la rapidez de variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 250 centímetros cuadrados. 43) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 2 metros por minuto. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es de 50 metros. 44) El gas contenido en un globo esférico escapa a razón de 7 libras por hora. ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye el radio del globo en el momento en que el volumen es 450 libras?
96 45) Un vaso de papel con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 20 centímetros de altura con radios de la base y de la orilla libre de 3 centímetros y 5 centímetros, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón de 100 centímetros cúbicos por hora. ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 5 centímetros? 46) Un tanque esférico de agua de radio r contiene este líquido con una profundidad h y el volumen del 1
agua en el tanque está dado por V h2 (3r h) . Su3
ponga que un tanque esférico de 6 metros de radio se está llenando a razón de 300 litros por minuto. Calcule a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivel del agua cuando la altura es de 1.5 metros. 47) Un tanque esférico está cubierto por una capa uniforme de hielo de 3 pulgadas de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente pro porcional al área de la superficie. Demuestre que es constante la rapidez de cambio del diámetro exterior. 48) Una persona deja caer una piedra a un lago desde un acantilado de 50 metros de altura y, dos segundos después, deja caer otra piedra desde el mismo lugar. Describa la rapidez de cambio de la distancia entre las dos piedras durante el siguiente segundo. 49) La cubierta de un silo tiene la forma de un hemisferio de 6 metros de diámetro. En dicha cubierta se deposita una capa de hielo de 5 centímetros de grueso que disminuye a razón de 0.5 centímetros por hora. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen de hielo? 50) Un avión vuela con velocidad constante de 550 kilómetros por hora y con una inclinación de 45º hacia arriba. Encuentre la rapidez de cambio de la distancia del avión a una torre de control en tierra, un minuto después de que éste pasó directamente a 4 kilómetros arriba de ella. Desprecie la altura de la torre. 51) Una carretera A que va de norte a sur y otra B que va de este a oeste se cruzan en un punto P . A las 10:00 horas un automóvil pasa por P viajando hacia el norte por la carretera A a 100 kilómetros por hora. En ese mismo momento, un avión que vuela hacia el este a 400 kilómetros por hora y a 8000 metros de altura, se encuentra directamente arriba de un punto en la carretera B que se halla 200 kilómetros al este de P . Si am bos mantienen la misma velocidad y la misma dirección, ¿cuál es la rapidez de cambio de la distancia entre el avión y el automóvil a las 10:15 horas?
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LA DERIVADA
97
3.2 Derivadas derecha e izquierda Observando la completa analogía con los conceptos de valores límite derecho e izquierdo de una función se introducen los conceptos de derivadas derecha e izquierda de la función y = f ( x) en el punto dado x. Definición Se denomina derivada derecha de la función y = f ( x) en el punto fijado x el valor límite derecho de la relación de diferencias (3) en el punto h = 0, observando la condición de que este valor límite exista.
Al mismo tiempo, existen las funciones que, en el punto x, tienen la derivada, tanto derecha como izquierda, pero no la tienen en dicho punto. Ejemplo Derivar la función f ( x) x 8
Solución Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos
x 8, x 8 x 8, x 8
f ( x) x 8
Definición Se denomina derivada izquierda de la función y = f ( x) en el punto fijado x el valor límite izquierdo de la relación de diferencias (3) en el punto h = 0, observando la condición de que este valor límite exista.
En el punto x = 8 esta función tiene la derivada derecha igual a ( x h 8) ( x 8)
lim
h8
lim
h
1
h 8 h
h
y la derivada por la izquierda es La derivada derecha de la función y = f ( x) en el punto x se denota por el símbolo f ' (x ) y la izquierda, por el símbolo f ' (x ) . Si la función y = f ( x) tiene derivada en el punto x, ella tiene en este punto las derivadas derecha e izquierda coincidentes entre sí. Si la función y = f ( x) tiene derivada tanto derecha como izquierda en el punto x, y si dichas deriva das coinciden entre sí, entonces la función y = f ( x) tiene derivada en el punto x.
lim
( x h 8) ( x 8)
h8
lim
h
h 8 h
h
1
Como las derivadas por la izquierda y por la derecha son diferentes, entonces la función f ( x) no tiene derivada en el punto x = 8.
3.3 Derivación por fórmulas En esta sección enunciaremos propiedades, que nos permitan derivar sin necesidad de utilizar la definición general. Teorema Si una función f ( x) tiene derivada en c, entonces es continua en c.
Esta propiedad nos hace notar que, si una función es derivable en un punto, entonces la función debe ser continua en ese punto. Por lo tanto, la derivabilidad es una propiedad más eficaz que la continuidad. Ejemplo Analice la derivada de la función f (x ) x . Solución Para dicha función k h
x h h
x
.
pequeños y k h
xhx h
h
1 ( x > 0). h
Si x < 0, tenemos x + h < 0 para h suficientemente pequeños y k ( x h ) ( x) h 1 ( x < 0). h
h
h
De este modo,
1, si x 0, h0 h 1, si x 0.
y lim
k
Sea ahora x = 0. Entonces k h
h h
h
Sign h Sign h h si h 0,
1, 1, si Por esta razón lim
k
h0h h0
h 0.
1 y lim
k
h0h h0
1 . De esta manera,
Si x > 0, tenemos x + h > 0 para h suficientemente JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
98
la función x tiene en el punto x = 0 una derivada derecha igual a 1, y una derivada izquierda igual a -1, lo que es indicio de que en el punto x = 0 la función x no tiene derivada. Teorema La derivada de una función constante es igual a cero. Ejemplo La derivada de una función constante es la función d (3) cero. Enfatizamos que si 0 no significa que la dx
derivada del número 3 sea 0; en cambio la derivada de la función constante f ( x) = 3 es la función constante g ( x) = 0. Teorema Si f tiene derivada en algún punto c, entonces tam bién la tiene kf y (kf )´(c) = kf ´(c). Teorema Sean f y g funciones cualesquiera, y definamos una nueva función f + g por la regla ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x). Si f y g tienen derivadas en algún punto c, entonces también la tiene f + g , y ( f + g )´(c) = f ´(c) + g ´(c).
La regla para sumas se aplica cuando aparecen más de dos funciones. Por ejemplo, una suma de tres funciones puede escribirse como suma de dos funciones, una de las cuales es a su vez una suma: f + g + h = ( f + g ) + h. Aplicando la regla para sumas dos veces, ten emos [( f + g ) + h]´ = ( f + g )´ + h´ = f ´ + g ´ + h´. Esto puede extenderse para cubrir el caso de cualquier número de funciones como sumandos. Teorema Si f ( x) = xn, siendo n un número entero positivo, entonces f es derivable sobre los reales, y además -1 f ´( x) = nxn . Ejemplo Resuelva la ecuación f ´ ( x) = 0: f ( x) x3 6x 2 9x 12 .
Solución f ´( x) 3x
2
12x 9 x2 4x 3 0
( x - 3)( x - 1) = 0
x 1
. x 3
Teorema Si f y g tienen derivadas en un punto c, entonces fg tiene también una derivada, y ( fg )´(c) = f ´(c) g (c) + f (c) g ´(c).
La derivada de una suma es la derivada de las derivadas: ( f 1 f 2 ... f n)´ = ( f 1´ f 2 ... f n) + ( f 1 f 2´ ... f n) + ... + ( f 1 f 2 ... f n´). Hay una extensión correspondiente de la regla del producto el caso de más de dos factores. Para tres factores, tenemos: ( fgh)´ = f ´ gh + fg ´h + fgh´, y, en general, la derivada de un producto de n funciones es una suma de n términos, en cada uno de los cuales una de las n funciones se ha derivado: ( f 1 f 2 ... f n)´ = f 1´ + f 2´ + ... + f n´. Ejemplo Resuelva la ecuación f ´ ( x) = 0: f ( x) x(x 1)2 (x 2)3 .
Solución Multiplicando los tres factores, obtenemos: f ( x) x 6 8x5 25x 4
38x3 28x 2 8x .
Derivamos esta última expresión: f ´( x) 6x5 40x4 100x3 114x2
56x 8
Igualamos a cero esta expresión y luego calculamos sus raíces 3 x5 20x4 50x3 57 x2 28 x 4 0
3( x 1)( x 2)2 x
5 13 5 x 0 6 6 6 6 13
x 1 x 2 5 13 . x 6 6 5 13 x 6 6 Teorema Si f ´(c) y g ´(c) existen, y g (c) 0, entonces '
f g (c) f ´(c ) f (c )g ´(c ) . (c) g 2 (c) g Cualquier función de la forma
f g
, donde f y g son poli-
nomios, se llama función racional, porque es la razón de dos polinomios. Las reglas para sumas y productos pro porcionan una sencilla fórmula para la derivada de cualquier polinomio; combinando esto con la regla del cociente, podemos derivar cualquier función racional. Podemos darnos cuenta que no es cierto que la derivada de JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
99
un producto es el producto de las derivadas respectivas. De manera análoga, la derivada de un cociente no es simplemente el cociente de las derivadas.
a) f ( x )
x 2 x 7
b) f ( x )
;
(1 x3 )2 (1 x3 )6 1 x3
2 x 2 3
Ejemplo Derivar la siguiente función: x 2 5x 6
(1 x3 )2
2 x 2 3
3
1 x3 1 x3
.
2 x 2
(1 x3 )3 (1 x3 )4
3
1 x3
x6 1 1 x3
.
Solución a) f ´(x )
( x 2 x 7)(2x 5) ( x2 5x 6)(2x 1) ( x2 x 7)2
f ( x )
2
2x 41 . 2 ( x x 7)2
6 x
Ejemplo Resuelva la ecuación f ´ ( x) = 0:
f ´(x )
2 3
(1 x3 )2
2 2 6 1 x3 3 x 3 1 x3 (1 x3) 2
2 x 2 (1 x3 )(1 x3 )
x 2 10 x 25
.
Solución ( x2 10x 25)(2x 1) ( x2
3
x 6)(2x 10)
( x 2 10 x 25)
1 1 x3 (1 x3 )(3x 2 ) (1 x3 )(3x2 )
b) f ´(x ) 3 1 x3
x 2 x 6
11 x 2 62 x 35 . ( x 2 10 x 25)
11 x2 62x 35 0
( x – 5)(11 x – 7) = 0
x 5 7 . x 11
1 x3 1 x3
3.3.1 Costo marginal Dado C como una función de costos de producción, no necesariamente lineal. Definimos que C ( x)
C ( x) x
es el costo promedio por unidad de producir las primeras unidades de x. En comparación C(c h) C (c) h
es el costo promedio por unidad de
Si C es derivable y x se aproxima a c, entonces este cociente diferencial tiende a C ´(c). Así C ´(c) es a menudo igualado con el costo unitario de producir unidades incrementales, después que c unidades se han producido. Llamamos a la derivada de la función del costo de producción, la función del costo marginal.
producción h unidades adicional, después que c ha sido producida.
3.3.2 Elasticidad de demanda Dado que D( p) describe una función de demanda si el precio de un bien cambia de c a p dólares, entonces el porcentaje cambia en precios y la cantidad demandada será:
D( p) D(c ) p c y 100% c D(c)
100%
La razón porcentual de cambio en cantidad demandada al porcentaje de cambio en precio, mide las respuestas de la demanda a las fluctuaciones en precios. Es esencial que se compare el porcentaje de cambio más que el cambio mismo.
Formalmente nuestra razón es: D( p) D(c ) D(c) p c
c[ D ( p) D(c)]
( p c) D(c)
c
Desafortunadamente, a menos que D sea una función lineal, esta razón cambia en la medida en que varía p. Sin embargo, si p tiende hacia c, entonces podemos aproximar
D( p) D(c ) p c
por D´(c). Por tanto, cuando p tiende
hacia c JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
100
D( p) D(c) D(c) p c
E (c) D´(c)
c D(c)
.
c
Donde a E (c) llamamos punto de elasticidad de demanda para el precio c. Ejemplo Suponga que el costo de producir x impresoras está dado por la función C ( x) = 375 + 25 x + 2 x2. Encuentre la función de costo marginal en x = 4 y x = 16 , y luego interprete su resultado . Solución Si C ( x) es la función de costo total, entonces C ´( x) se denomina función de costo marginal. Es decir: C ´( x) = 25 + 4 x. Si x = 4, C ´(4) = 25 + 4(4) = 25 + 16 = 41 dólares por artículo, lo cual representa el costo aproximado de la quinta impresora. Análogamente, si x = 16, C ´(16) = 25 + 4(16) = 89 dólares por artículo, lo cual representa el costo aproximado de la décima séptima impresora. El costo exacto de producir la quinta impresora es C (5) – C (4) = [375 + 25(5) + (5) 2] – - [375 + 25(4) + (4) 2] = 525 – 491 = 34 dólares. Ejemplo Dado C ( x) = 2 x2 +5 x+350 como una función de costo externo. a) Calcule el costo promedio por unidad de producir 100 unidades adicionales, después de haber producido 1000; b) Calcule el costo marginal después de haber producido 1000 unidades. Solución a) El costo de producción de diez unidades adicionales es el costo de producir 1100 unidades menos el costo de producción de 1000 unidades. Así el costo promedio por unidad es: C (1100) C (1000)
100
2425850 2005350 100
420500 100
$ 4205 .
b) Puesto que C ´( x) = 4 x +5, el costo marginal cuando x = 1000 es 4(1000) + 5 = $ 4005. Ejemplo Si el precio por litro de aceite para cocina es p dólares, entonces los consumidores podrán comprar D( p) = 1500 – 150 p2 litros semanalmente. Suponga que el precio se reduce de $ 1 a $ 0,95.
a) Encuentre el aumento en el número de litros demandados semanalmente; b) Encuentre el porcentaje de cambio en el precio; c) Encuentre el porcentaje de cambio en la cantidad demandada; d) ¿Cuál es la razón porcentual del cambio en cantidad demandada, al porcentaje de cambio en precio?; e) Calcule el punto de elasticidad de la demanda; f) Use E (1) para estimar el porcentaje de cambio en la cantidad demandada si el precio cambia de $ 1 a $ 1,05. Solución a) El incremento es D(0,95) – D(1) = 1364,625 – 1350 =14,625 litros por semana. b) El cambio en precio es 0,95 – 1 = -0,05 dólares, por tanto el porcentaje de cambio en el precio es
0,05 1
100% 5% .
c) Si el cambio en cantidad demandada es 14.625, el porcentaje de cambio es 14,625 D(1)
d) La razón es
1,08
5
100% 1,08% .
0,216 .
e) Debemos calcular E (1)
(1) D´(1) D(1)
.
Si D´( p) = -300 p, E (1)
(1)(300)(1) 1350
0, 2 .
f) Para estimar el porcentaje de cambio en la cantidad demandada, multiplique el porcentaje de cambio en el precio por el punto de elasticidad. Si el precio es 5 centavos, el porcentaje de cambio en el precio es 5 %. Así el porcentaje de cambio en la cantidad demandada es aproximadamente (-0,2)(5) = -1%. El signo menos indica que la cantidad demandada disminuirá. Ejemplo La parte superior de una escalera de mano de 2 metros de largo descansa sobre una pared vertical, y su parte inferior empieza a deslizarse sobre un pavimento horizontal, hacia abajo y hacia afuera. En el momento en que el pie de la escalera se encuentra a 1.2 metros de la pared, se está deslizando a la velocidad de 0.2 metros por segundo. ¿A qué distancia de la pared se encontrará el pie de la escalera cuando los dos extremos se mueven a la misma velocidad? Solución Supongamos que OA representa el pavimento, OB la pared y AB la escalera; las flechas representan la dirección del movimiento. Si x es la distancia OA del pie de la escalera a la pared, y y la distancia OB de la parte alta al JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
101
suelo, tendremos, según el enunciado del problema, que AB = 2 mts, dy dt
dx
0.2
dt
mts seg dy
, y el momento en que
dt
dx dt
.
que es la relación buscada entre y y x, es decir, la expresión de y como función de x. Para obtener la velocidad de vady dt
ecuación, resulta dy dt
Para hallar
dy dt
x 4 x 2
dx dt
cuando la distancia x = 1.2 bastará dx
sustituir los valores dados,
dt
0,2 y x = 1,2, en la
derivada. Se obtiene dy dt
1,2
0,2
4 (1.2)2
El signo negativo de
dy dt
0,24 2,56
0,15
mts seg
.
dy
de
dx dt
dt
dx dt
pongamos
dy dt
en lugar
en la derivada. Entonces es posible dividir dy
ambos miembros por el factor 1
x
4 x 2
dt
, y tendremos
.
(2t 1)(3t 1)´ (3t )(2t 1)´ (2t 1)2 (2t 1)(3) (3t )(2) (2t 1)
2
1 (2t 1)2
.
En 2030 (t = 33), la rapidez de cambio de la población será 1
P ´(33)
2
[2(33) 1]
1 4489
2,23 x 104 millones. Esto significa que hasta el año 2030 la población de la ciudad se estará incrementando aproximadamente en 223 personas por año. Ejemplo Suponga que el costo diario de fabricar x artículos está dado por la función C ( x) = 0.05 x2 + 13 x + 55. Determine la derivada de la función costo por artículo e interprete el resultado cuando x = 15. Solución El costo por artículo, se obtiene al dividir el costo total C ( x) entre la producción total x. Por tanto, el costo unitario es Cu ( x)
0,05 x 2 13x 55 x
.
Derivando esta expresión, obtenemos Cu´ ( x)
x(0, 05x2
13x 55)´ (0, 05x 2 13x 55)(x )´ x 2
x(0,10x 13) (0,05x x
0,05 x
2
x
2
13x 55)(1)
2
55
2
En x = 15,
de donde,
´
4 - x = x 2 x = 4 x = 2 x = 1,414 mts. Es decir, que en el instante en que el pie de la escalera se encuentra a 1,414 mts de la pared, es cuando los dos extremos se mueven a la misma velocidad. 2
indica que y está disminu-
yendo, es decir, que la parte alta de la escalera se mueve hacia abajo. Para encontrar la distancia a la que se verifica que
P´(t )
habrá que hallar dy
partiendo de esa ecuación y dividir después por dt . Derivando la
2t 1
¿Cuál será la rapidez de cambio de esta población en 2030 (cuando t = 33)? Solución La rapidez de cambio de P (t ) corresponde a la derivada de P (t ).
4 x2
y
3t 1
P(t )
, y se trata de calcular
Tenemos que empezar por expresar y en función de x. Esto se hace con ayuda de la figura, notando que puesto que OA es horizontal y OB es vertical, el triángulo AOB es rectángulo. Por lo tanto, 2 2 2 (OB) + (OA) = ( AB) es decir, y2 + x2 = 22 y despejando y, tendremos:
riación
función
2
2
2
Ejemplo Suponga que la población de cierta ciudad, en el tiempo t, desde 1997 (cuando t = 0) está dada por la
Cu ( x)
0,05(15)2 55 (15)
2
4375 225
0,194 dólares.
Lo cual significa que, cuando se producen 15 artículos, el costo por unidad está disminuyendo a una razón de 19 centavos de dólar por artículo. Ejemplo Al dejar caer una piedra en las tranquilas aguas de un estanque, se forman ondas circulares que se mueven hacia afuera, partiendo del lugar en que cayó la piedra, a JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
102
la velocidad de 3 cm por seg. En el instante en que el radio del anillo que forma una de las ondas tiene 36 cm, ¿a qué velocidad aumenta la superficie que circunda? Solución Sea R el radio y A el área del círculo limitado por una de las ondas. Entonces A = R2
dA dt
2 R
dR
.
dv
v = 5,85 y
dt
dR dt
dR
. Por lo tanto,
dt
3
cm seg
d 2 h 12
hd2
12
v.
Hay que expresar la variable d en función de h o de v. Lo más sencillo es expresar d en función de h por medio de la pro porcionalidad que existe entre D y H , que son conocidos, d y h. En la figura, los dos triángulos invertidos de bases, D y d , y alturas, H y h, respectivamente, son semejantes, y, por consiguiente, d : h = D : H . Por lo
,y
en el instante en que el radio es R = 36 cm, el área aumenta a la velocidad dA dt
2 36 3 216 678, 24
2
cm
seg
dv dt
,y
dh dt
es la
velocidad a la cual aumenta la altura h, es decir, la velocidad a la que se eleva la superficie. Las dimensiones indicadas d y h son entonces variables y D y H son constantes. Tenemos que
dv dt
1
dm3 seg
, y hay que hallar
dh dt
en el
instante en que h sea la altura del agua correspondiente al depósito medio lleno. El volumen del cono es un tercio del área de la base por la altura. Por lo tanto, el volumen total es 1 3
D2 4
H
D2 H 32 5 11,7 dm3 12
d
D H
3
0.6 5
d = 0.6h
d 2 = 0.36h2.
Sustituyendo este valor de d 2 en la fórmula anterior, se obtiene
Ejemplo En un depósito cónico de 5 dm de altura y 3 dm de diámetro en la parte de arriba, cae agua a razón de un decímetro cúbico por segundo. En el momento en que el depósito está a medio llenar, ¿a qué velocidad se eleva la superficie del agua? Solución Supongamos que la figura representa la forma y las dimensiones del depósito. Entonces, si v representa el volumen de agua contenida en l depósito cuando la altura de la superficie sobre el vértice del cono es h, la velocidad a la cual entra el agua es igual a la velo-
cidad a la que aumenta el volumen
tanto h
.
cuando
1 , hemos de buscar una relación entre h y
La velocidad de la onda hacia fuera es la velocidad a que aumenta el radio
dt
v, es decir, expresar h en función de v. Esta relación nos la proporciona la fórmula del volumen en función de h. Esta fórmula es v
dt
dh
3 v = 5,85 dm . Como se trata de calcular
12
para las dimensiones dadas. Por lo tanto, cuando esté lleno hasta la mitad el volumen de agua será
0,36h3
12
v
h3
12 0,36
3 v
h 2,2 3 v .
Derivando con respecto de t , obtenemos dh dt
0,74 dv 3
v
2
Por lo tanto, cuando v = 5.85 y dh dt
0,74 3
(5,85)2
dv dt
0,74
3
.
dt
34,2
1 , tenemos
0,23
dm seg
.
Es la velocidad a la que se va elevando la superficie del agua. Ejemplo Un barco navega rumbo al Norte a la velocidad de veinte millas por hora. En un cierto momento otro barco cruza su ruta cuarenta millas al Norte, navegando rumbo al Este a quince millas por hora: a) ¿A qué velocidad se aproximan o se separan los dos barcos al cabo de una hora? b) ¿Y al cabo de dos horas? c) ¿Al cabo de cuánto tiempo están en el instante en que ni se aproximan ni se alejan? d) En aquel momento ¿a qué distancia se encuentran? Solución Expresaremos la distancia entre los barcos en función del tiempo transcurrido desde que el segundo cruzó la ruta JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
103
del primero. Entonces, la velocidad a que varía esta distancia será la velocidad a que se aproxima o separen. Supongamos que P representa la posición del primer barco cuando el segundo cruza su ruta en O, 40 millas al norte. Al cabo de un determinado número t de horas, el barco que navega rumbo al Este habrá llegado al punto A, y el barco que navega rum bo al Norte habrá llegado al punto B. La distancia que hay entre ellos será entonces AB. Hay que expresar esta distancia en función del tiempo t transcurrido desde que A pasó por O y B pasó por P . Si tomamos O como punto de referencia y hacemos
barco A es
dx dt
15
millas hora
dy dt
20
millas hora
y la del
. De esto se deduce que
cuando haya transcurrido t horas, B habrá recorrido la distancia PB 20t y el barco A la distancia
b) Al cabo de dos horas, t = 2 y
y se verifica que
Reemplazando estos valores en s x2 y 2 , tendremos para la distancia 2 2 s (15t ) (40 20t )
625t 2 1600t 1600 5 25t 2 64t 64 . Esta es la relación que liga a la distancia s que separa a los barcos y al tiempo t transcurrido desde el cruce ds dt
es
positiva, la distancia aumenta, es decir, los barcos se separan. Si es negativa, se aproximan. Para hallar la dt
derivamos la última ecuación
ds dt
5(25t 32) 25t 2 64t 64
ds
y los bar-
ds dt
15
millas hora
, lo que
0 , es decir
dt 5(25t 32)
t 1
25t 2 64t 64 7 25
0 5(25t – 32) = 0
horas = 1 hora 16 minutos 48 segundos
d) Al cabo del tiempo t 1 x
s
Por lo tanto x = 15t , y = 40 – 20t .
ds
hora
indica que los barcos se separan. c) Momentáneamente ni se alejan ni se acercan en el instante en que dejan de aproximarse y empiezan a separarse. Entonces se encuentran en la posición más próxi ma
96 5
7 25
millas ,
2
OB OP PB 40 20t .
velocidad
millas
horas,
y
72 5
millas .
La distancia entre los barcos será
OA 15t . Y según los datos será
por O. Si en algún momento la velocidad
dt
7
cos se aproximan.
OA = x, OB = y, AB = s, OP = 40, s x 2 y 2 .
La velocidad del barco B es
ds
a) Al cabo de una hora, t = 1 y
2
96 72 5 5 24 millas .
Ejemplo Un aeroplano volando horizontalmente y en línea recta a la velocidad de 300 km por hora y a una altura de 500 m, cruza perpendicularmente una carretera recta y horizontal justamente en el momento en que un automóvil pasa por debajo de él a 60 km por hora. ¿A qué distancia se encuentran y a qué velocidad se estarán separando un mi nuto después? Solución Supongamos que C representa la posición del avión en el instante en que el automóvil está en el punto 0 situado en la vertical del aeroplano. Entonces, CP es la dirección del avión y 0B la del automóvil. Si las flechas indican la dirección del movimiento, al cabo de t minutos ocuparán la posición P y B y la distancia en línea recta que los separa será el segmento PB = s. Tenemos que hallar el valor de s en un instante cualquiera t y también su velo-
cidad de cambio
ds dt
. Tracemos 0A paralela a CP . Tra-
cemos también la vertical PA desde P ; tracemos AB, y llamemos a las distancias, tal como muestra la figura, x, y, h. Entonces, 0AB es un triángulo rectángulo de catetos 0A y 0B e hipotenusa AB, y PAB es un triángulo rectángulo de catetos AP y AB e hipotenusa PB = s. Por lo 2
2
tanto, s2 AB h2 , y como AB x2 y2 resulta s 2
x2 y 2 h 2
(1)
Puesto que el aeroplano vuela a la velocidad Aplicando esta fórmula se obtiene:
dx dt
5
km min
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
104 dy
y el automóvil corre a la velocidad
dt
1
km min
, al
cabo de t minutos se encontrarán a las siguientes distancias del punto de cruce: CP = x = 5t , 0B = y = t , 0C = h = ½ km (2) Puesto que 500 mts es la mitad de un kilómetro. Utilizando esos valores de x, y, h, para sustituirlos en (1), tendremos s
2
2
2
1
2
25t t 2 2
1
104t
s
2
d) ¿Cuál es el costo actual de producir el artículo 51? Solución a) C (50) 1250 5(50) 6 50 1542,42 dólares; b) El costo marginal, es la derivada de la función C ( x): C ´( x) 5
3 x
dólares;
c) C ´(50) 5
104t 2 1 4
3 50
5, 42 dólares;
d) El costo actual de producir el artículo 51, lo calculamos de la siguiente manera:
(3)
C(51) C (50) 1250 5(51) 6 51 1250 5(50) 6 50
1547,84 1542,42 5,42 dólares.
que es la distancia entre el aeroplano y el automóvil un número cualquiera t de minutos después del cruce. La velocidad a la que se separan es
ds dt
. De (3) se
deduce ds dt
1
208t
2 2 104t
2
1
52t
2
104t
1
(4)
que es la velocidad a la que se separan en el tiempo t . Valiéndonos de (3) y de (4) hemos de calcular la distancia s y la velocidad
ds dt
al cabo de un minuto.
Siendo t = 1, la ecuación (3) da 104 1
s
2
105 2
5,1 km
y la ecuación (4) da ds dt
52 104 1
5,09
km min
52 105
305,4
km hora
.
Ejemplo El costo de ampliar una empresa que produce x artículos está dado por la función C ( x) 1250 5 x 6 x
a) ¿Cuál es el costo total de producir 50 artículos?; b) Encuentre el costo marginal de la función; c) ¿Cuál es el costo marginal cuando x = 50?;
Ejemplo El costo total para una empresa, de manufacturar x artículos está dado por la función C ( x) = x2 + 15 x + 25: a) ¿Cuál es el costo de manufacturar 1000 artículos?; b) Encuentre el costo marginal de la función; c) Calcule el costo marginal para x = 1000; d) ¿Cuál es el costo actual de manufacturar el artículo 1010?; e) Encuentre la función del costo promedio; f) ¿Cuándo es el costo promedio igual al costo marginal. Solución a) Para calcular el costo de manufacturar 1000 artículos, tenemos que reemplazar x = 1000 en C ( x). Es decir C (1000) = (1000) 2 + 15(1000) + 25 = 1015025 dólares; b) Encontramos el costo marginal, derivando la función C ( x). Es decir C ´( x) = 2 x + 15 dólares; c) Para calcular el costo marginal para 1000 artículos, tenemos que reemplazar x = 1000 en C ´( x). Es decir C ´(1000) = 2(1000) + 15 = 2015 dólares; d) El costo actual de producir el artículo 1010, lo calculamos de la siguiente manera: C (1010) – C (1009) = (1010) 2 + 15(1010) + 25 – - (1009)2 – 15(1009) – 25 = 1035275 – 1033241 = 2034 dólares; e) Para calcular el costo promedio, dividimos la función costo C ( x) para el número de artículos C ( x)
x 2 15x 25 x
.
f) El costo promedio es igual al costo marginal, cuando C( x) C ´( x) . Es decir x
2
15x 25 x
x2 = 25
2 x 15
x = 5 artículos.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
105
Ejemplo Una función de costo de producción está dada por C ( x) = x3 – 10 x2 + 350 x + 500: a) Encuentre la función del costo marginal; b) ¿Cuál es el mínimo costo marginal? Solución a) La función costo marginal, la encontramos derivando C ( x): C ´( x) = 3 x2 – 20 x + 350 dólares. b) Para encontrar el mínimo costo marginal, derivamos la función C ( x) y luego a esta nueva función le igualamos a cero, es decir:
6 x – 20 = 0
x
10 3
3,33 artículos.
Este valor de x lo reemplazamos en la función costo marginal y obtenemos el mínimo costo marginal. Ejemplo La función de costo total de una central eléctrica se estima como C ( x) = 16,50 + 0,125 x + 0,00450 x2 , C es el costo total de combustible para un periodo de 8 horas; x es el porcentaje de capacidad: a) Encuentre la curva de costo marginal; b) Encuentre C´ (55). Solución a) Para encontrar la curva de costo marginal, tenemos que derivar la función costo total C ( x): C ´( x) = 0,125 + 0,009 x dólares b) C ´(55) = 0,125 + 0,009(55) 0,62 dólares. Ejemplo Si la función de demanda está dada por D( p) = 150 – 2 p – p2. Suponga que p sube de 15 a 16 dólares: a) Calcule el porcentaje de cambio en precio; b) ¿Cuál es el porcentaje de cambio en la cantidad demandada?; c) Encuentre la razón de porcentaje de cambio en la cantidad demandada al porcentaje de cambio en el precio; d) Encuentre el punto de elasticidad de la demanda para p = $ 15. Solución a) El porcentaje de cambio de precio es
p c 100% 16 15 100% 100% 6,7% c 15 15 b) El porcentaje de cambio en la cantidad demandada es D( p ) D(c ) D(c)
100%
150 2(16) (16)2 150 2(15) (15)2
31,4 %
150 2(15) (15)2
100%
c) La razón de porcentaje de cambio en la cantidad demandada al porcentaje de cambio en el precio es c( D( p ) D(c ))
( p c) D(c)
15( 33)
105
495 105
4,7
d) El punto de elasticidad de la demanda para p = $ 15 es E (c)
15(2 30) 150 30 225
480 105
4,6 .
Ejemplo Se lanza verticalmente al aire una pelota con velocidad inicial de 70 mts/seg. Su desplazamiento en el instante t vendrá dado por la ecuación S (t ) = 70t – 17,5t 2: a) Calcular la velocidad media durante el primer medio segundo, el primer segundo y el segundo segundo; b) Hallar la velocidad de la pelota al cabo de 1 segundo y 3 segundos; c) ¿Cuándo alcanzará la pelota su altura máxima?; d) Hallar la velocidad de la pelota como función de t. ¿Qué velocidad tendrá el instante de máxima altura?¿Y cuándo llegue al suelo? ¿Cómo se puede saber por la velocidad si la pelota sube o baja? Solución a) La velocidad media está dada por V media
t = ½ seg: V media t = 1 seg:
V media
t = 2 seg:
V media
30,625 0 0,5 0 52,5 0 1 0 70 0 20
61,25
52,5
35
mts seg
s : t
;
mts seg
mts seg
b) La velocidad está dada por la derivada de S (t ). Es decir, V = S ´(t ) = 70 – 35t : t = 1 seg: S ´(1) = 70 – 35(1) = 35 mts/seg; t = 3 seg: S ´(3) = 70 – 35(3) = - 35 mts/seg. c) Para que la pelota alcance su altura máxima, debemos igualar a cero la primera derivada. Es decir: S ´(t ) = 0 70 – 35t = 0 t = 2 seg. d) La velocidad de la pelota como función del tiempo es S ´(t ) = 70 – 35 t . El instante en que alcanza la altura máS (t ) xima es S ´(2) = 0. La pelota llega al suelo cuando = 0, es decir t 0 2 70t – 17,5t = 0 t 4 por tanto será en el cuarto segundo. De acuerdo al signo de la primera derivada, se puede saber si la pelota sube o baja. Ejemplo Considérese una varilla metálica delgada PQ. Dado un punto A en la varilla, represéntese por d su distancia a P, y por m la masa del trozo de varilla entre P y A. Se dice que la varilla es homogénea si existe una constante k tal JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
106
que m = kd ; tal k se llama densidad lineal de la varilla: a) En el caso de una varilla no homogénea, definir apropiadamente la densidad lineal media de un segmento de la varilla, y la densidad lineal (instantánea) en un punto. b) Supóngase que la longitud de la varilla es de 25 cm y que su distribución de masa viene dada por m = 3d + 5d 2. Calcular la densidad lineal media de la varilla y la densidad lineal en el punto d = 10 cm. c) Supóngase que la varilla consta de dos varillas homogéneas de 12,5 cm de longitud cada una, yuxtapuestas. Si la densidad lineal del primer segmento es 5 g/cm y la del segundo 8 g/cm, hallar m. ¿Tiene sentido hablar de la densidad lineal de la varilla en el punto de unión d = 12,5? Solución La varilla pesa M gr., la varilla es homogénea si m = k d .
No tiene sentido hablar de densidad lineal en el punto de unión, ya que en dicho punto no existe continuidad en el material. Ejemplo Dos automóviles dejan una intersección al mismo tiem po. Uno viaja hacia el este a una velocidad constante de 60 km/h, mientras que el otro va hacia el norte a una velocidad constante de 80 km/h. Hallar una expresión para el ritmo al que la distancia entre los coches está cambiando con respecto al tiempo. Solución Tenemos que r es la relación del ritmo de cambio,
a) En un segmento de la varilla:
m = k d
k
m d
V N
En el punto A:
d N d , v E E , t N t E . t E t N
Del triángulo de la figura, deducimos que
m k d entonces la densidad lineal media de un segmento de la varilla es dk dd
m
m k D d 2
b) Sabemos que D = 25 cm y m = 3d + 5d . Entonces la densidad lineal media de la varilla es
m 3200 0 k k k = 128 gr/cm. 25 0 D d
M
La densidad en el punto d = 10 cm, está dada por
m
d 0 d
lim (3 10d ) d 0
3 10d 3 10(10) 103
dt dr
M
lim
dr
2r
dr
x dx r dt
dt
2x
dx dt
2y
dy dt
y dy r dt
reemplazando los datos conocidos, obtenemos
d 2
y la densidad lineal instantánea en un punto es
k
r 2 = x2 + y2
gr cm
.
c) Sabemos que d 1 = d 2 = 12,5 cm, k 1 = 5 gr/cm, k 2 = 8 gr/cm, m1 = 62,5 gr, m2 = 100 gr.
dt
x
km
r
hora
80
80 x r
y
km
r
hora
60
60 y km r
hora .
Ejemplo Si un objeto es dejado caer o lanzado verticalmente, su 2 altura después de t segundos es H (t ) = -16t + S 0t + H 0 , donde S 0 es la velocidad inicial y H 0 es su altura inicial. Use esta fórmula para resolver lo siguiente: a) Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio de 144 metros de altura. ¿Cuándo golpeará el suelo la piedra? ¿Con qué velocidad golpeará la piedra el suelo? b) Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 60 metros por segundo (S 0 = 60). ¿Cuándo golpeará la bola el suelo? ¿Con qué velocidad golpeará la bola el suelo? ¿Cuándo alcanza la bola su máxima altura? ¿Qué altura alcanzará la bola? c) Un hombre, de pie en lo alto de un edificio, lanza una JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
107
bola verticalmente hacia arriba. Después de 2 segundos, la bola pasa ante él en su camino hacia abajo, y 2 segundos después de esto golpea el suelo. ¿Cuál es la velocidad inicial de la bola? ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando pasa ante el hombre en su camino hacia abajo? ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando golpea el suelo? d) Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una cierta velocidad inicial S 0. Obtenga una fórmula para el tiempo en el que la bola golpea el suelo. Use el resultado anterior para demostrar que la bola estará cayendo a una velocidad de S 0 metros por segundo cuando golpea el suelo. Solución a) En este caso, tenemos que H = 0, H 0 = 144 mts y S 0 = 0. Remplazando estos datos en H (t ), obtenemos 0 = -16t 2 + 0t + 144 t = 3 seg. La velocidad con que la piedra golpeará el piso, se deduce de derivar la función H (t ): dH dt
32t S 0 V (3) = - 32(3) + 0
V (3) = -96 mts/seg. El signo de la velocidad, indica que el objeto cae. b) Aquí, tenemos que H = H 0 = 0 y S 0 = 60 mts/seg. Remplazando estos datos en H (t ), obtenemos 0 = -16t 2 + 60t + 0 t = 3,75 seg. La velocidad con que la piedra golpeará el piso, se deduce de derivar la función H (t ): dH dt
32t S 0 V (3,75) = - 32(3,75) + 60
V (3,75) = -60 mts/seg. El signo de la velocidad, indica que el objeto cae.
Como
dH dt
0 , entonces la altura máxima la calcu-
lamos derivando H (t ) y luego reemplazando los datos conocidos: dH dt
32t S 0 0 32t 60 t = 1,875 seg.
Para calcular la altura que alcanza la bola, en la ecuación H (t ) reemplazamos t = 1.875 seg y H 0 = 0: 2 H (1,875) = -16(1,785) + 60(1,875) + 0 = 56,25 mts. c) Para este caso debemos observar que H = H 0 = 0, t = 2 seg. Reemplazando estos datos en la ecuación H (t ), obtenemos 0 = -16(2) + 2 S 0 S 0 = 16 mts/seg. Para calcular la altura del edificio tenemos que S 0 = 32 mts/seg, t = 4 seg, entonces 0 = -16(4) 2 + 32(4) + H 0 H 0 = 128 mts. Para calcular la velocidad de la bola cuando pasa ante el hombre en su camino hacia abajo, derivamos la función H (t ): dH dt
32t S 0
El signo de la velocidad, indica que el objeto cae. La velocidad de la bola cuando golpea el suelo, se calcula reemplazando S = 32 mts/seg y t = 4 seg en la derivada de la función H (t ): V (4) = -32(4) + 32 V (4) = -96 mts/seg. El signo de la velocidad, indica que el objeto cae. 2 d) De la función H (t ) = -16t + S 0t + H 0, hacemos que H 0 = H : H = -16t 2 + S 0t + H 0 = -16t 2 + S 0t
t S 0 . 16
Derivamos la función H (t ) y luego reemplazamos t : dH dt
32t S 0
V
S 32 0 S 0 V S 0 . 16
Ejemplo La ley de Poiseuille afirma que la velocidad de la sangre que está a r centímetros del eje central de una arteria de radio R es S (r ) = c( R2 – r 2), donde c es una constante positiva. ¿Dónde es mayor la velocidad de la sangre? Solución Derivamos la expresión dada dS dr
dR dr c 2R 2r dr dr
Ya que el radio de la arteria no varía, entonces
dR dr
0.
Por tanto dS dr
dR dr c 2R 2r dr dr
De esta última expresión, podemos deducir que por el signo de la derivada, la velocidad de la sangre que circula por la arteria es mayor cuando lo hace por el eje central. Ejemplo Se inyecta aire en un balón esférico de goma a tal velocidad que el radio aumenta a razón de un centímetro por segundo. ¿A qué velocidad se está inyectando aire cuando el radio es de dos decímetros? Solución En este caso tenemos que dr dt
1
cm seg
0,1
dm seg
, r = 2 dm. Sabemos 4
que el volumen de la esfera es V r 3 . 3
Derivando esta expresión, respecto del tiempo, obtenemos dV dt
4 r 2
dr dt
Reemplazamos los datos conocidos dV dt
4 (2)2
1 10
dV dt
8 dm3 5 seg
dV dt
5,03
dm3 seg
V (2) = -32(2) + 32 = - 32 mts/seg. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
108
Ejemplo Se calienta una lámina metálica en forma de triángulo equilátero de tal manera que cada uno de los lados aumenta a razón de diez centímetros por hora. ¿A qué velocidad aumenta el área en el instante en que cada lado mide 69,28 cm? Solución Tenemos que dx
10
dt
cm hora
x
y
2
A
1 dy dx x y dt 2 dt dt dA dt
dA dt
2
1 2
y
dx dt
3 dx x 4 dt
Reemplazamos los datos conocidos dA dt
3 4
(69,28) 10
dA dt
300
cm2 hora
.
Ejemplo Un hombre de seis pies de altura se aleja de un farol a razón de tres millas por hora sobre un pavimento horizontal. Si el farol está a diez pies por encima del suelo, ¿a qué velocidad aumenta de longitud la som bra?, ¿a qué velocidad se mueve el extremo de su sombra? Solución Para calcular la velocidad con que cambia la longitud de su sombra, tenemos lo siguiente: Sabemos que millas pies dx 3 4,4 , H = 10 pies, h = 6 pies. dt hora seg Haciendo una relación de triángulos, obtenemos x y y y
H h
xh H
h
Derivando esta expresión con respecto del tiempo, tenemos dy dt
( H
dh dx dH dh h) x h xh dt dt dt dt ( H h)2 dy dt
h H
h
dx dt
6
dt
dm
dy
seg
6,6
dt
pies seg
.
Calculamos la velocidad a la que se mueve el extremo de su sombra de la siguiente manera: Del triángulo tenemos que z = x + y, derivando esta expresión con respecto al tiempo, obtenemos dz
dt
dx dt
dy dt
reemplazando los datos conocidos, tenemos dz dt
4, 4
pies seg
6,6
pies
dz
seg
dt
pies
11
seg
.
xy
Derivando esta expresión, obtenemos dA
ds
, x = 69,28
cm. De la figura podemos deducir que el área del triángulo es A
Reemplazando los valores conocidos, tenemos
Ejemplo Un hombre corriendo a lo largo de la orilla recta de un río de 120 m de anchura se aproxima hacia un bote que hay en esa orilla, a razón de 5 m por segundo. En el momento en que está todavía a 50 m del bote, ¿a qué velocidad se estará aproximando al punto de la orilla opuesta que esté justamente enfrente del bote? Solución Tenemos los siguientes mts dx 5 datos: , seg dt
x = 50 mts,
dy dt
0,
y = 120 mts. Del triángulo de la figura, tenemos 2 2 2 z = x + y . Derivando esta expresión, con respecto del tiempo, encontramos s 52 122 dz dt
13 x
x 2 y 2
z
dz
dt dx dt
x
dx dt
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos dz dt
50
(50)
2
(120)
2
5
mts seg
dz dt
1,92
mts seg
.
Ejemplo Un hombre de pie sobre un malecón atrae con una cuerda un bote al que está amarrada, a razón de 4 dm por segundo. Si sus manos están 9 dm por encima del punto de amarre, ¿a qué velocidad se aproxima el bote al malecón cuando esté a 12 dm de distancia? Solución dz dm 4 Tenemos los siguientes datos: , y = 9 dm, seg dt 2 2 2 x = 12 dm. Del triángulo, obtenemos z = x + y . Derivando esta expresión, con respecto del tiempo, encontramos
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
2 z
dz dt
109
2x
dx dt
2y
dy dt
dx dt
x2 y 2 dz
x
dt
Solución dh
Consideramos la altura h constante, dx
y
dt
km
3
dz
0,
50
dt
mts
15
mts min
. Haciendo
hora min 2 2 2 x + h = z , derivamos esta expredt
sión con respecto del tiempo 2 x
dx dt
2h
x dx dt
12
2
9
12
2
4
dm seg
dx dt
5
dm seg
.
2 z
dz dt
2x
dx dt
2y
dy dt
z
dz
x
dt
dx
10000 900 x
50000x
x
15 6
900 x
2
dt
z
dz dt
dz dt
dx
dt dz
mts min mts
30mt 50 15
dt
100 mts
min
Sabemos que 2 2 2 2 2 2 x + h = z h = z – x h z 2 x 2 Reemplazando los datos conocidos, obtenemos
h (100 mt)2 (30 mt)2
9100 mt 2 10 91 mts .
Ejemplo Suponiendo que el volumen de un árbol sea proporcional al cubo de su diámetro (V = kD3 , siendo k una constante) y que el diámetro aumenta siempre a la misma velocidad, ¿cuánto más rápido es el crecimiento en volumen del árbol cuando el diámetro es de 36 cm a cuando era de 6 cm? Solución
Sabemos que V = kD, donde
dV
dV
3kD2 y
dD
dD
es cons-
tante. Derivando con la regla de la cadena, tenemos dV dt
dV dD
dD dt
dV dt
3kD2
dD dt
Cuando D = 6 cm, entonces
De la ecuación (1), tenemos z 900 x2 . Reem plazando todos los datos en la ecuación (2), obtenemos 2
z
(2)
dt
dt
2 z
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos x
Ejemplo Un extremo de un alambre enrollado en un carrete está amarrado a lo alto de un poste de 35 dm de altura; dos hombres sujetando el carrete en un palo que lo sostiene a 5 dm sobre el nivel del suelo horizontal se alejan del poste a la velocidad de 5 km/hora, manteniendo tirante el alambre. ¿A qué distancia del poste se encontrarán cuando el alambre se esté desenrollando a razón de 1 km/hora? Solución En este caso tenemos: km dx dy , 0, 5 hora dt dt km dz 1 , y = 30 hora dt dm. Del triángulo rectángulo podemos deducir que z 2 = x2 + y2 (1) Derivamos esta expresión con respecto del tiempo
dx
dh
dV dD
Cuando D = 36 cm, entonces dV
5x
6,124 dm .
Ejemplo Un viento de 3 km/hora, que sopla en dirección horizontal, arrastra una cometa, manteniéndola siempre al mismo nivel, alejándola del niño que sostiene la cuerda. ¿Cuál es la altura de la cometa en el instante en que pasa por la vertical de un punto situado a 30 m del niño, si éste está largando cuerda en aquel momento a razón de 15 mts/min?
3k (6 c m)2 108k cm2 .
dD
3k (36 c m)2 3888k cm2 .
Hacemos la relación dV (36) dt dV (6)
dt
3888k 108k
dD
dt 36 dD dt
Por tanto dV (36) dt
36
dV (6) dt
El crecimiento en volumen del árbol es 36 veces más rápido.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
110
Ejemplo Al calentar hasta el punto de fusión un lingote de plata en forma de ladrillo, se dilata una milésima parte de cada una de sus tres dimensiones por cada grado que aumenta la temperatura. ¿Cuánto aumenta por cada grado su volumen cuando las dimensiones son 2 x 3 x 6 decímetros? Solución Sabemos que dm dm dx dy , , 0,001 0,001 dT C dT C dm dz . 0,001 dT C Como el volumen del lingote es V = xyz , entonces dV dT dV dT
yz yz
dx dT dx dT
xz xz
dy dT dy dT
xy xy
dz
dh dt
4
720 2
9 π 5
dm3 min
0,036
dm3
C
dx dt
dT
.
Ejemplo Un volquete vierte arena que queda formando un montón cónico cuya altura es igual a 1/3 del diámetro de la base. Si el camión se está vaciando a razón de 720 dm3 por minuto y si la salida está a 5 dm sobre el nivel del suelo ¿a qué velocidad aumenta la altura del montón en el momento en que alcanza el orificio de salida? Solución Sabemos que 3
dV
d ,
dt
720
dm3 min
1
, V r2 h . 3
Reemplazando los datos conocidos en el volumen del como, tenemos 1 d 2
V V
3
4
h
1 (3h)2
3
V
4
h
3
h3 . 4
Derivando con respecto al tiempo dV dt
9
h 4
2 dh
dt
dh dt
4
dV
9 h2 dt
dh dt
0 . De la
figura, podemos deducir 2 2 2 que s = h + x , enton2 2 2 ces h = s – x . Derivando esta expresión, obtenemos 2h
3
1
10dm , h = 20,
s = 25,
Esto quiere decir, que el volumen aumenta 0.036 dm por cada °C .
h
.
Ejemplo Un bloque de piedra de edificar ha de ser levantado por una cuerda de 50 dm de largo que pasa por una polea situada en el borde de una ventana a 25 dm por encima del nivel del suelo. Un hombre, sujetando el extremo libre de la cuerda a 5 dm sobre el nivel del suelo, se aleja del bloque de piedra a razón de 10 dm por segundo. ¿A qué velocidad empezará a elevarse el bloque de p iedra? Solución Sabemos que
dT dz
3 6 0,001 2 3 0,001 2 6 0,001
dT
min
Por tanto la velocidad a la que aumenta la altura del montón de arena en el momento en que alcanza el orificio de salida es 1,02 dm3/min.
Reemplazando los datos conocidos, tenemos dV
dm3
1,02
h
dh dt
s
dh
dt ds dt
2s
x
ds dt
dx dt
2x
dx
dt ds x dx dt
s dt
Calculamos x de la siguiente manera: 2 2 2 x = s – h
x s 2 h2
x 252 202
15
Reemplazando los valores establecidos, tenemos ds dt
15 25
10
dm seg
ds dt
6
dm seg
.
Ejemplo Una cuerda de 28 m de largo está amarrada a un bloque de piedra situado en el suelo horizontal, y pasa por una polea que hay a 12 m por encima del suelo. La cuerda está puesta bien tensa y con un motor se tira de su extremo libre, a razón de 13 mts/seg. ¿A qué velocidad se moverá el bloque cuando esté a 5 m de distancia del punto que hay inmediatamente debajo de la polea? Solución
Sabemos que
dy dt
0 , x = 5 mts,
y = 12 mts. Podemos calcular s de la siguiente manera: 2 2 2 s = x + y s
x2 y2
s 52 122
13 .
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
111
De aquí podemos hacer que x2 = s2 – y2. Derivando implícitamente esta expresión, obtenemos dx
ds
dy
dx
s ds
2s 2 y dt dt dt dt x dt dx dx 13 mts mts 33,8 13 . seg dt dt 5 seg
2 x
observamos que h2 = x2 + y2, de donde
dy dt
dh
dx dt
2y
dy dt
x dx y dt
dy dt
3 cm 2 min
.
4 dm , h = 5 dm, r = 5 dm. El
dt
valor de x lo calculamos haciendo una relación de triángulos 10 h
5 x
h
x
2
Del triángulo, también podemos deducir que el área es dx 1 dy x y 2 dt 2 dt dt dA 1 3 7 cm 2 3 4(2) . dt 2 2 4 min
A
.
El volumen de un cono está dado por V
0 2 x
sabemos que y = h – x = 25 – 9 = 16, de donde y = 4. Reemplazamos en la última ecuación y obtenemos
Ejemplo Un depósito tiene la forma de un cono con el vértice hacia abajo, y su altura y su diámetro son ambos de 10 dm. ¿A qué velocidad entrará agua en el mismo en el momento en que la altura del agua en el depósito sea de 5 dm y su superficie se eleve a la velocidad de 4 dm por minuto? Solución
Sabemos que
52 = x2 + y2
1
1
3
12
x2 h V
h3
xy
dA
Ejemplo Se está inflando un globo esférico de modo que el volumen aumenta uniformemente a razón de 40 cm3/minuto. ¿A qué velocidad estará aumentando el área de la superficie en el momento en que el radio mida 8 centímetros? Solución Sabemos que el aumento uniforme del volumen del globo es dV dt
dt
1
2
12
3 h
dh dt
dV
dt
1
h
2
4
dh dt
Reemplazando los datos obtenidos, tenemos dV dt
1
dV
4
dt
(52)(4)
78,54
3
dm
min
.
Tenemos que
dx dt
2
min
el radio es r = 8 cm, dA dt
. Para esto
nos valemos del volumen de la 4
esfera V r 3 , entonces 3 dV dt
4 3
3r 2
dr
dV
dt
dt
4 r 2
dr dt
dV dr
Ejemplo La hipotenusa AB de un triángulo rectángulo ABC , conserva una longitud de 5 cm mientras que los otros dos lados varían, aumentando el lado AC a razón de 2 cm por minuto. ¿A qué velocidad cambiará el área del triángulo en el momento en que AC mida 3 cm? Solución
cm3
debemos encontrar
Derivando esta expresión, con respecto al tiempo, obtenemos dV
40
dt
dt 40 4 r 2 4 π 82
5
cm
32 π
min
.
El área de la superficie es A = 4r 2, de aquí que dA dt
dA dt
4 2r
8 π 8
dr dt
5 32 π
8 r
10
dr dt
cm2 min
.
cm y x = 3 cm. Del triángulo min JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
112
Ejemplo Un aeroplano de combate vuela en línea recta siguiendo una ruta horizontal pretendiendo cruzar la ruta de otro avión de bombardeo que también vuela horizontalmente y en línea recta. El avión de combate vuela a un nivel situado 94 m por encima del bombardero, y sus rutas se cruzan en un ángulo de 60 grados. Ambos aeroplanos se dirigen hacia el cruce de sus rutas, por el mismo lado de dicho cruce, volando el bombardero a 200 km/hora y el avión de combate a 300 km/hora. En el momento en que el avión de combate esté a 10 km y el bombardero a 7 km del punto de cruce, ¿a qué velocidad se aproximan el uno al otro sobre la línea recta que une a los dos aeroplanos? Solución km km ds dr Sabemos que , , 300 200 hora hora dt dt = 60°, r = 10 km, s = 7 km, h = 94 mts. Del triángulo podemos deducir que 2 2 2 x = r + s – 2rsCos 2 2 2 x = 10 + 7 – 2(10)(7)Cos60° x = 8.88 km. Del otro triángulo, deducimos que z2 = h2 + x2 2 2 2 z = 0.094 + 8.8 z = 8.8 km. También nos damos cuenta que 2 2 2 2 2 2 2 z = h + x z = h + r + s – 2rsCos
Derivando implícitamente con respecto del tiempo, tenemos 2 z
ds dr 2 r s Cos dt dt dt dt dt dr ds ds dr r s r s Cos dz dt dt dt dt
dz
2r
dr
2s
ds
dt
z
Reemplazando en esta ecuación los datos conocidos, obtenemos dz dt
10 200 7 300 (10 300 7 200) Cos60 8.8 km dz . 215,9 hora dt
3.3.3 Tarea 1) Derivar las siguientes expresiones: x 1 1 a) f ( x) 2 ; ; b) f ( x ) x3 1 2 x x 1 x 1
6
; 2 x x3 x2 1 g) f ( x) ; x 1 1
d) f ( x ) x 2
j) f ( x )
x 4 x 2 1 x
m) f ( x) p)
f ( x)
4
2
x 1 5
1 ; 5 x 1 x
2 x 2 3 x
s) f ( x )
4
;
5 x 4
x 2 x 1 x 2 x 1
;
e) f ( x )
x3 x 2 x
;
f) f ( x )
;
i) f ( x )
x3 x2 x 1 1 1
h) f ( x)
x
x2
3
;
3 x 4 ; 6 x 7 x 4 3x2 1 ; n) f ( x ) (2 x 3)4 k) f ( x )
q) f ( x ) t) f ( x )
c) f ( x ) x 2 2x3
12
x ; x 1
2 x3 3x 4 2 x3 3x 4
;
l) f ( x)
3 4 x
4
8 x 2 6 x 11 x 1
;
;
2 x3 x2 3x 17 2 x 5
1 1 x x
o) f ( x ) r) f ( x )
2
x3
;
;
1 (8 5 x 7 x 2)10
;
2 x3 7 x 2 4 x 3 x 2
;
u) f (x) (6x 7)3 (8x 2 9)2 ;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
1
v) f ( x) x 2 x
3
113
2
x
2
x ; 3 x
3
w) f ( x) x
4
4
1 x
2
x
2
a) f (x) x 6x 9x 12 ; b) f ( x )
x 4 2 x
x 4
1
a) f ( x )
;
2
x 2 4 2
2
.
Calcular, en los puntos indicados, las derivadas 3) para las funciones siguientes:
2
x 2 x 6
f ( x)
1
2) Resuelva la ecuación f ´( x) = 0 si: 3
1 ;
x)
1 x x 2 1 x x 2
, x = 0, x = 1;
10 x 25 c) f (x) x( x 1)2 (x 2)3 .
b) f (x) (1 x) 2 x 2 3 x3 , x = 0.
4) Sea f ( x), x R una función en todos los puntos derivable. Hallar g ´( x) si:
9) Determine las derivadas a la derecha y a la izquierda en el punto a, para la función f ( x) x a g (x ) ,
a) g ( x)
x
f ( x ) , f ( x) > 0;
3
b) g ( x) f ( x3 ) .
5) Sean f ( x) y g ( x), x R, funciones derivables en todo lugar. Hallar h´( x) si 2
2
h( x) n f 2 ( x) g 2 (x ) , f ( x) + g ( x) > 0.
6) Determinen los valores de A y B con los que las funciones, son por todo lugar continuas, son por todo lugar derivables: A x B, x 1 ; a) f ( x ) x 2 , x 1
A Bx2 , x 1 b) f ( x) 1 ; , 1 x x 2 x 2, x 1 c) f ( x) A( x 1)( x 2)(x B ), 1 x 2 . x 1, x 2 2 7) Investigue la derivabilidad de las funciones: a) f ( x) x3 (x 1)2 (x 2) ;
b) f (x) x x .
8) Determine las derivadas a la derecha y a la izquierda de las funciones en los puntos de discontinuidad:
x(1 x 2 ) , x 0 a) f ( x) ; x 1, x 0 b) f ( x) (1 x 2 )Signx ; c) f ( x )
x 2 3x 6 x 2 1
.
donde g ( x) es la función prefijada, continua en el punto a. 10) De un ejemplo de función que en el punto de discontinuidad tiene una derivada infinita negativa. 11) De un ejemplo de función continua en cierto punto y que, en él, no tiene derivada ni a la izquierda ni a la derecha. 12) El volumen V de una pequeña represa durante la 2 época de lluvias está dado por V = 5000(t + 1) , donde t se mide en meses y 0 ≤ t ≤ 3. La tasa de cambio del volumen con respecto al tiempo es el flujo instantáneo hacia la represa. Calcule el flujo en los tiempos t = 0 y t = 2. ¿Cuál es el valor del flujo cuando el volumen es de 11200 pie cúbicos? 13) Dos automóviles se mueven a lo largo de carreteras horizontales rectilíneas, que se cruzan formando un ángulo de sesenta grados, acercándose uno de ellos al cruce a 25 km/hora, y alejándose el otro de él a 30 km/hora, pero por el mismo lado. ¿A qué velocidad se acercan o se alejan uno del otro en el momento en que ambos están a 10 km del cruce? 14) Un tren que va de A a B recorre todo el camino, igual a 2400 kilómetros, en el transcurso de 44 horas 14 minutos. Determine la velocidad media del tren. 15) El radio de un cilindro circular recto aumenta con su coeficiente de variación constante. Su altura es una función lineal del radio y aumenta tres veces más rápidamente que éste. Cuando el radio es 1 metros su altura es 6 metros. Cuando el radio es 6 metros, el volumen crece a razón de 1 metro cúbico por segundo. Cuando el radio es 36 metros, el volumen aumenta a razón de n metros cúbicos por segundo, siendo n entero. Calcular n. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
16) Una población de moscas crece en un recipiente grande. El número de moscas P en cientos, a las t semanas está dado por P = 12t 2 – t 4 + 5. ¿Cuándo deja de crecer la población? ¿En qué intervalos de tiempo es positiva o negativa la tasa de crecimiento de la po blación? 17) Un punto está en movimiento por la parábola t = 8 x – x2 de modo que su abscisa varía según la ley x t ( x se mide en metros, t , en segundos). ¿Cuál será la velocidad de variación de la ordenada del punto 9 segundos después de comenzar el movimiento?
18) Un tren y un globo aerostático parten de un mismo punto simultáneamente. El tren se traslada a una velocidad uniforme de 60 kilómetros por hora. El globo asciende uniformemente a 15 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se distancia el uno del otro? 19) El radio de un globo crece uniformemente a una velocidad de 5 centímetros por segundo. ¿Cuál será la velocidad de variación del volumen del globo en el momento cuando el radio se hace igual a 50 centímetros? 20) Cada arista de un cubo se dilata a razón de 1 centímetro por segundo. ¿Cuál es la razón de variación del volumen cuando la longitud de cada arista es x centímetros? 21) Una rueda gira de tal manera que el ángulo de giro es proporcional al cuadrado del tiempo. La primera vuelta fue realizada en 8 segundos. Hallar la velocidad angular 64 segundos después del comienzo de movimiento. 22) Un cuerpo de masa m = 1.5 kilogramos está en movimiento rectilíneo según la ley S (t ) = t 2 + t + 1 metros. Hallar la energía cinética del cuerpo 5 segundos después del comienzo del movimiento. 23) Dos automóviles marchan por carreteras que se intersecan en un ángulo recto, cada uno de los automóviles en dirección a la intersección. ¿A qué velocidad está aumentando la distancia entre ambos si el automóvil A está a kilómetro y medio de la intersección y va a 90 kilómetros por hora mientras que el automóvil B está a medio kilómetro de la intersección y marcha a 80 kilómetros por hora? 24) Dos trenes marchan en vías paralelas separadas ¼ de kilómetros cada una, uno va a 40 kilómetros por hora y el otro a 60 kilómetros por hora, y ambos en igual dirección. El pasajero A en el tren de menor velocidad observa al pasajero B del otro tren:
114 a) ¿Cuál es la razón del cambio de distancia entre ellos? b) ¿Cuándo están uno frente a otro directamente? c) ¿Cuándo A está 1/8 de kilómetro delante de B? d) ¿Cuándo B está 1/8 de kilómetro delante de A? 25) Un pontón flotante se atrae hacia la orilla con ayuda de un cable que se enrolla en un torno a una velocidad de 3 metros por minuto. Determine la velocidad de movimiento del pontón cuando se encuentra a 25 metros de la orilla si el torno está situado en la orilla a 4 metros de altura sobre el nivel de agua. 26) La ley de Boyle para los gases dice que pv = c donde p es la presión, v el volumen y c una constante. Suponga que al tiempo t en minutos, la presión es 20 + 2t cm/Hg para 0 ≤ t ≤ 10, y que el volumen en t = 0 es de 60 centímetros cúbicos. Determine la razón de cam bio del volumen con respecto al quinto minuto. 27) Dos automóviles A y B viajan hacia un cruce o intersección por carreteras perpendiculares. A se des plaza a 40 kilómetros por hora, y B, a 80 kilómetros por hora. En cierto momento A está a 400 metros de la intersección y B a 800 metros. Calcule la rapidez con que los automóviles se acercan en ese momento. 28) Un automóvil baja por un plano inclinado. El número de pies s(t ) recorridos a los t segundos está 2 dado por s(t ) = 5t + 2. ¿Cuál es la velocidad en el segundo segundo? ¿Cuándo alcanza una velocidad de 28 pie por segundo? 29) Un puente de ferrocarril pasa por arriba de un río a 8 metros de él. Una persona a bordo de un tren que corre a 100 kilómetros por hora pasa por el centro del puente en el momento en que otra pasa por debajo del centro del puente en una lancha de motor que va a 30 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se alejan las dos personas 10 segundos después? 30) Por el eje de abscisas se mueven dos puntos que tienen las siguientes leyes de movimiento; x = 100 + 5 t 1 y x t 2 . ¿A qué velocidad se separan uno de otro en 2 el momento del encuentro ( x se mide en metros, t en segundos)? 31) Durante una nevada, se está formando hielo sobre una línea telefónica, y el espesor del hielo aumenta a razón de 1/8 centímetros por hora. Consideremos una sección de 1 centímetro de largo de cable en el que el hielo ha formado un cilindro de radio r pulgadas. ¿A qué velocidad aumenta el volumen de hielo sobre esta sección de 1 pie de cable? JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
115
32) Cuando se calienta un frasco que contiene 10 moles de un gas A, la velocidad de las moléculas del gas aumenta y se forma un segundo gas B. Cuando chocan dos moléculas del gas A, se originan dos moléculas del gas B. El número y de moles del gas B a los 10t t minutos está dado por y . Evalúe la rapidez de t 4 la reacción en mol por minuto, cuando el número de moles del gas A es igual al número de moles del gas B. 33) Un avión se desplaza en vuelo horizontal a 8 kilómetros de altura. La ruta de vuelo pasa por encima de un punto P del suelo. La distancia entre el avión y el punto P disminuye a razón de 4 kilómetros por minuto en el instante en el que esta distancia es de 10 kilómetros. Calcular la velocidad del avión en kilómetros por hora. 34) Los extremos de un abrevadero horizontal de 10 pie de largo son trapecios isósceles cuya base inferior mide 3 pie, la superior 5 pie y la altura es de 2 pie. El nivel de agua sube a razón de 1/5 de pulgada por minuto cuando la profundidad es de 1 pie. ¿Qué cantidad de agua por minuto entra al abrevadero?
39) La relación entre la temperatura F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en la escala Celsius está 5 dada por C ( F 32) . ¿Cuál es la razón de cambio 9 de F con respecto a C ? 40) Un punto P( x, y) se mueve sobre la gráfica de y2 =
2 x3 de manera que
dy dt
x para el tiempo t . Calcule
36) Un fabricante de motores pequeños calcula que el costo de producción de x unidades al día está dado por 100 . Compare el costo marginal de C ( x ) 100 50 x x
producir 5 motores con el costo de la producción del sexto motor. 37) La iluminación producida por una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia s a la citada fuente. A una distancia de 2 pie de una hoguera, el luxómetro de un fotógrafo registra 120 unidades. El fotógrafo se aleja poco a poco de la hoguera. Calcule la tasa de cambio de la lectura del luxómetro con respecto a s cuando está a 20 pie de la hoguera. 38) Una compañía lleva a cabo una serie de pruebas piloto para la producción de un nuevo solvente industrial, y encuentra que el costo de producir x litros para 10 cada prueba está dado por C ( x) 3 x . Compare x
el costo marginal de producir 10 litros con el costo de producir el undécimo litro.
dt
en el punto (2, 4). 41) Un punto está en movimiento por la espiral de Arquímedes r = a de modo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constante e igual a 6º por segundo. Determine la velocidad de alargamiento del radio polar r si a = 10 metros. 42) La ley de Boyle dice que pv = c , donde p es la presión, v el volumen y c es una constante. Obtenga una fórmula para la razón de cambio de p con respecto a v. 43)
Si W es el peso en libras de una persona y t el
tiempo en meses, entonces 35) La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre de longitud constante es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro d . ¿Cuál es la tasa de cambio o variación R con respecto a d ?
dx
dW dt
es la rapidez de ga-
nancia o pérdida de peso en libras por mes. El record mundial de rapidez de pérdida de peso corresponde a un cambio de 487 a 130 libras en un período de ocho meses. Demuestre que la tasa de pérdida de peso excedió 44 libras por mes en algún momento durante dicho período. 44) Un triángulo rectángulo variable ABC en el plano cartesiano tiene su ángulo recto en el vértice B, un vértice A fijo en el origen, y el tercer vértice C sobre la 7 parábola y 1 x2 . El vértice B parte del punto (0, 36 1) en el tiempo t = 0 y se desplaza hacia arriba siguiendo el eje Y a una velocidad constante de 2 centímetros por segundo. ¿Con qué rapidez crece el área del triángulo cuando t = 7/2 segundos? 45) La función de costo por la producción de un com ponente para un microprocesador está dada por C ( x) = 1000 + 2 x + 0.005 x2. Suponiendo que se fabrican 2000 unidades, calcule el costo, el costo medio, el costo marginal y el costo medio marginal. 46) A través de un filtro de papel cónico de 2 pulgadas de radio y 4 pulgadas de altura, escurre agua a una tasa de 2 pulgadas de radio. Sea x la altura del agua en el filtro y y la altura del agua en la taza. Determine la relación entre dy/dt y dx/dt , cuando el filtro contiene 10 pulgadas cúbicas de agua. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
116
47) El inicio de una pista de aeropuerto esta a una distancia perpendicular de 300 pie de la base de una torre de 20 pie de altura. Un avión alcanza una velocidad de 100 millas por hora después de recorrer 300 pie sobre la pista. Calcule la rapidez de cambio de la distancia entre el avión y la cabina de la torre de control. 48) Un fabricante de hornos de microondas determina que el costo de producir x unidades está dado por C ( x) = 4000 + 100 x + 0.05 x2 + 0.0002 x3. Compare el costo marginal de producir 100 hornos con el costo en la producción del centésimo primero. 49) La carga eléctrica Q de un capacitor o condensador aumenta de 2 a 10 milicoulombs en 15 milisegun-
dos. Demuestre que la corriente I
dQ dt
pasa de 0.5
50) Sea T la temperatura en ºF al tiempo t en horas. Si
la temperatura disminuye, entonces
dT dt
es la rapidez
de enfriamiento. La mayor variación de temperatura durante un período de 12 horas que se ha registrado, ocurrió en la ciudad A, cuando la temperatura bajó de 44 ºF a -56 ºF. Demuestre que la rapidez de enfriamiento excedió -8 ºF por hora en algún momento durante el período de cambio. 51) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 144 pie por segundo. Su altura sobre el suelo s(t ) en pies, a los t segundos está dada por s(t ) = 144 t – 16t 2. ¿Cuál es la velocidad y cuál la aceleración a los t segundos? ¿Cuáles son a los 3 segundos? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega al suelo?
Amperes en algún momento durante este pequeño intervalo de tiempo. (1 ampere = 1 Coulombs por segundo)
3.4 Función compuesta. Regla de la cadena Supongamos que la función u = g ( x) está definida en un conjunto D y el conjunto de valores de esta función integra el dominio el dominio de la función y = f (u). En este caso a cualquier x del dominio D de la función u = g ( x) le corresponde un valor determinado de la variable u, y a dicho valor u la función y = f (u) le pone en correspondencia un valor determinado de la varia ble y, es decir, la variable y es una función de x en el conjunto D: y = f ( g ( x)). La función obtenida de otra función se llama función compuesta de la variable x. La función u = g ( x) se denomina función interior, y la función y = f (u), exterior. Una función compuesta y = f ( g ( x)) se denomina con frecuencia superposición de dos funciones: la interior u = g ( x) y la exterior y = f (u). La más importante de las reglas generales para el cálculo de derivadas es la regla de la cadena. Se aplica a una manera general de combinar funciones, llamada composición. En la presente sección plantearemos el objetivo de establecer la regla que permite hallar la derivada de la función y = f ( g (t )) si se conocen las derivadas de las funciones que la integran y = f ( x) y x = g (t ). Definición Sea que la función x = g (t ) es derivable en un punto t 0 y la función y = f ( x) es derivable en el punto corres pondiente x0 = g (t 0). Entonces, la función compuesta f ( g (t )) es derivable en dicho punto t 0 con tal que para la
derivada de esta función es válida la expresión [ f ( g (t 0))]´ = f ´ ( x0) g´ (t 0). Consideramos la función compuesta y = f ( x), donde x = g (t ), es decir, tomamos x como el argumento intermedio y t , como el argumento final. Por supuesto, se puede cambiar estas notaciones. Frecuentemente, es más conveniente considerar la función compuesta de tipo y = f (u), donde u = g ( x), es decir, tomamos x como el argumento final y una variable u, como el intermedio. Para esta función la fórmula de diferenciación [ f ( g (t 0))]´ = f ´( x0) g ´(t 0) toma la forma y´ = [ f ( g ( x))]´ = f ´(u) g ´( x). A continuación enunciamos la regla de derivación de una función compuesta y = f ( x), donde x = g (t ). Para hallar la derivada y´ (t ) de una función compuesta y = f ( g (t )) respecto al argumento t en un punto dado t hay que establecer lo siguiente: 1) Calcular la derivada g´ (t ) de la función x = g (t ) en el punto t ; 2) Calcular la derivada f ´ ( x) de la función y = f ( x) en el punto x, donde x = g (t ); 3) Multiplicar dichas derivadas. De este modo, la derivada de la función compuesta y = f ( g (t )) puede ser hallada por la fórmula y´(t ) = f ´( x) g ´(t ). Los razonamientos siguientes explican la regla enunciada. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
117
Demos un incremento arbitrario r 0 al argumento t en el punto t . A este incremento le corresponde el incremento h = g (t + r ) – g (t ) de la función x = g (t ). Al incremento obtenido h le corresponde el incremento k = f ( x + h) – f ( x) de la función y = f ( x) en el punto x. Omitiendo el caso cuando h = 0, consideremos la relación k
k h
.
r
Ejemplo Una lámpara de la calle está a una altura de H metros. Un peatón de h metros de altura se aleja de la luz a razón de k mt/seg. Calcular la razón a la que se mueve el extremo de su sombra cuando el peatón está a x metros de distancia del pie de la lámpara. Solución Hacemos la relación de triángulos x y
h r
Debido a que
y
lim
r 0
h
k
h 0 h
y de la existencia del primero de estos límites se dedu-
dy
k
dt
ce que para r 0 se tiene h
0,
H
h
y
xh H
h
Derivando esta expresión, obtenemos
g ´(t ) , lim f ´(x )
r
entonces lim
r 0
( H
dh dx dH dh h) x h xh dt dt dt dt ( H h)2
r
existe y es igual a f ´( x) g ´(t ), o lo que es lo mismo, y´(t ) = f ´( x) g ´(t ). La notación de Leibniz hace imposible olvidar la regla de la cadena. Suponga que y es una función derivable de u y u es una función derivable de x. Entonces y puede considerarse una función de x, y dy dx
dy du
du dx .
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos
Es decir, la derivada de y con respecto a x es la derivada de y con respecto a u multiplicada por la derivada de u con respecto a x. Ejemplo Una bola esférica de nieve se derrite a razón de 0.03 centímetros cúbicos por segundo. ¿A qué velocidad disminuye el área de su superficie cuando el diámetro de la esfera es de 15 cm? Solución cc dV 0.03 Nos dicen que , y dt seg
se nos pide hallar
dS dt
, siendo V y S
el volumen y área superficial, res pectivamente, de la bola de nieve. 4
2
3
Usaremos las fórmulas V r y S 4 r . Apli3
cando la regla de la cadena, obtenemos dV
0,03 dr dt
0,03 2
4 r
dt
dV dr
4 r 2
dr dt dS dS dr dt
dr dt
8 r
dr dt dr dt
0,06 r
Cuando el diámetro es 15 cm el radio r = 7,5 cm y en consecuencia dS dt
0,008
cm2 seg
dy dt dy dt
( H
( H
dx h) x 0 h xh 0 0 dt ( H h )2
h)h
(H
h)
dx dt
dy
2
dt
h H
h
dx
.
dt
Ejemplo La calidad de los artículos producidos en una línea de montaje es importante tanto para el consumidor como para el fabricante. Es evidente que la calidad disminuye a medida que se presiona para elevar el nivel de producción diaria x. Supóngase que para cierto producto, la función de calidad 1
1,8 x 2 16
Q( x ) 150
3 x 2 2
modela el porcentaje de los artículos que no son defectuosos. Determine la razón de cambio en la función de calidad Q( x) cuando x = 75. Solución Para determinar la razón de cambio en la función de calidad, debemos derivar Q( x):
1 1,8 x 2 Q´( x) 150 16 3 x 2 2
15 16
(3 x 2 2)(1,8) (1,8x 2)(6x) (3 x 2 2)2 JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
118
Cuando x = 75:
Como
1 1, 8(75) 2 16 3(75)2 2
Q´(75) 150
15 16
[3(75)2 2](1,8) [1,8(75) 2)[6(75)] [3(75)2 2]2
0,276
Esto significa que la función de calidad Q( x) crece a razón de aproximadamente 0,3 % cuando x = 75. dh
Ejemplo Suponga que una compañía maderera estima que el volumen de la madera obtenida de un árbol con diámetro x se expresa por la función (3 x 12)
V ( x ) 15
dx
1250
(3x 12)3 15 dx 1250 d
d dx 3
(15)
1
1250
(3 x 12)3 1250 dx
dt
3h 3
m3 seg
180
m3 min
seg
,
,
dh
dt
dh dt
0,0095
mts min
la
1,66x10 5
1
dV
3
dh
3h2 regla mts seg
de
la
h2 . cadena,
cuando
, tenemos que h es
3 h2 (1.66x105 ) donde h 239,4 mts .
Ejemplo Una partícula se mueve sobre la elipse 15 x2 + 7 y2 = 250 en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿En qué punto o puntos de la elipse decrece la ordenada al mismo ritmo con que la abscisa crece? Solución Derivando implícitamente la ecuación de la elipse con respecto a x y luego con respecto a y, obtenemos 30 xx´ 14 y 0 15 x2 + 7 y2 = 250 . 30 x 14 yy´ 0
Haciendo que x´ = y´, tenemos
15 x 7 y
7y 15x
225 x2 = 49 y2
y
15 x 7
.
dV dh dh
dt
Derivando la ecuación del volumen, con respecto al tiempo, obtenemos dt
3
mts
(3 x 12) 2 .
dt
2
min
1.66x105
Derivando la ecuación del volumen, con respecto a la altura, obtenemos
dh
(3 x 12) (3)
dV
1
3 (10)2
Aplicando
d
mts
por tanto, la velocidad a la que crece su altura cuando h = 10 es
dh
Ejemplo Sobre la cima de una montaña de arena en forma cónica, cae arena a razón de 3 m3/seg. Suponiendo que la montaña de arena mantiene constantemente la forma de cono circular recto con altura igual al radio de la base, determinar a qué velocidad crece su altura cuando éste es de 10 metros. ¿Qué altura debe tener la montaña de arena para que ésta crezca a un ritmo inferior a 10-3 mt/min.? Solución Sabemos que el volumen del cono es 1 V r 3 3 como h = r , entonces 1 V h3 . 3 Por la regla de la cadena, tenemos
dV
dt
dV
2
1250 9
dV
3
cuando x > 6 pulgadas. Determine la razón de cambio de este volumen con respecto al diámetro x del árbol. Solución La razón de cambio la da la derivada dV
dt
103
dh dt
dV dt
h
2
dh
.
dt
Reemplazando este valor en la ecuación de la elipse, obtenemos el punto pedido JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
119 2
15 x 2 2 250 105 x + 225 x = 1750 7
15 x 2 7
330 x2 = 1750 x = 2.3028, y = 4.9346. Por tanto P (-2.3028, -4.9346).
superficie, es decir
Ejemplo Por un agujero en el vértice de un depósito cónico de 3 agua escapa ésta a razón de 80 m /seg. Si el depósito tiene 35 metros de profundidad y 50 metros de diámetro, hallar a qué ritmo desciende el nivel del agua cuando la altura de la misma es de 20 metros. Solución Tenemos que R = 25 mts, H = 35 mts, h = 20 mts, dV dt
80
3
m
seg
dh
. Debemos calcular
dt
después de 30 segundos, ¿cuándo será de 2 mm su radio? Solución Sabemos que la masa de la gota es proporcional a su
. Del triángulo
h
R r
r
35 25
dt
dh dt
35
dr dt
dr dt
4k r2
4 r 2
3
4 r 2
dr
.
dt
dr
dr
dt
dt
k
Reemplazando los datos conocidos, tenemos dr 1,5
30
0,05mm r = 0.05t
2 = 0.05t
t = 40 seg.
Ejemplo Se está bombeando aire a un balón de fútbol de modo que su radio aumenta a razón de 1.5 cm/seg. ¿Cuál es la razón de cambio con el tiempo, en centímetros por segundo, del volumen del balón cuando su radio mide 15 cm? Solución dr cm 1,5 Sabemos que , dt seg
25 dh 35 dt
Sabemos que el volumen del cono está dado por V
4
r 3
Igualando estas ecuaciones, obtenemos
25h = 35r
Derivando esta expresión, tenemos 25
4k r 2 . Como
dm
dt
h
dt
m V
adjunto, obtenemos que H
dm
1
r 2h 3
debemos encontrar
dV dt
cuando
r = 15 cm. Conocemos que el volumen de la esfera es V
dt
dh dr r2 2r h 3 dt dt
dV dt
Reemplazando en esta ecuación los valores conocidos, tenemos 8
25 dh dh (14, 28) 2 2(14, 28)(20) dt 3 35 dt dh dt
0,125
mts seg
3
Derivando esta expresión respecto del tiempo, tenemos
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos dV
4
r 3
.
Ejemplo Imagínese una gota de agua esférica que cae a través del vapor de agua del aire. Suponga que el vapor se adhiere a su superficie, de modo que la razón de aumento con el tiempo de la masa m de la gota es pro porcional a su superficie S. Si la gota inicia su caída con un radio que en efecto es cero y r = 1.5 mm
dr
3
dt
dV dt
4 r 2
dr
.
dt
Reemplazando en esta ecuación los valores conocidos, tenemos dV
4
3r 2
dt
4 (15)2 (1.5)
dV dt
4241,15
cc seg
.
Ejemplo Se dan modelos de producción y de utilidad, respectivamente por x(t )
750t 2 2 t 2
y P( x) 5 x 35 .
a) Obtener x´ (t ) y P´ ( x); b) Aplicar la regla de la cadena para hallar P´ ( x); c) Aplicar la composición de funciones con el fin de obtener P (t ). JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
120
Para encontrar D´(1), debemos derivar D( x) y luego reemplazar x = 1:
Solución a) x´(t )
2
2
2
2
(2 t )(750t )´750t (2 t )´ (2 t 2 )2
D´(x )
1500t (2 t 2 ) 750t 2 (2t ) (2 t 2 )2
(2 t 2 )2
1
2 x
2 x du
.
du
1
2 x
. Por otro
5 . Aplicando la
regla de la cadena, tenemos
dP du
dP
du dx
dx
5
3 x 2 2
2 x 4 6 x 8 x3 (3x2 2) 4 x8
2 (3 x 2 4) 2 x3 3x2 2
.
2(3(12 ) 4) 3
2
2(1 ) 3(1 ) 2
7 2 2 5
2,21 .
b) Para obtener D(10), reemplazamos x = 10 en D( x):
dx
dP
lado P (u) = 5u – 35, entonces
D´(1)
5
b) Haciendo u x , entonces
dx
2
2 x 4
3000t
P´( x) 5
dP
1
1 2 x
5 2 x
.
D(10)
3(102 ) 2 4
2(10 )
151 100
0,123 .
Para encontrar D´(10), debemos reemplazar x = 1 en D´( x): D´(10)
2(3(102 ) 4) 2(103 ) 3(102 ) 2
0,0124 .
c) P( x(t )) 5 x (t ) 35 750t 2
P(t ) 5
2 t 2
35 .
Ejemplo El número de bacterias presentes en el tiempo t se expresa como N (t ) (2t 15)2 8t 5 .
Determine N´ (t ) e interprete su resultado. Solución N ´(t ) (2t 15)2 ( 8t 5)´ 8t
(2t 15)2
4 8t 5
5((2t 15)2 )´
8t 5 4(2t 15)
4(2t 15)
(2t 15 8t 5) 8t 5 40(2t 15)(t 2) . 8t 5 N ´(t ) indica la velocidad con que se propagan las bacterias.
Ejemplo Considere que la demanda diaria de cierto artículo vendido al precio x se representa por la función D( x )
3 x 2 2 2 x 4
, x > 0.
a) Obtener D(1) y D´ (1); b) Hallar D(10) y D´ (10). Solución a) Para obtener D(1), reemplazamos x = 1 en D( x): D(1)
3(12 ) 2 4
2(1 )
5 2
1.58 .
Ejemplo Los ingenieros de control de calidad encuentran que el porcentaje de artículos defectuosos depende del nivel de producción x según la función 50
2 x . 2 x 5
D( x ) 230
a) Obtener el porcentaje de artículos defectuosos cuando x = 50; b) Hallar la razón de cambio en D( x) cuando x = 50. Solución a) Para obtener el porcentaje de artículos defectuosos, debemos reemplazar x = 50 en la función D( x): 50
2(50) D(50) 230 2(50) 5
50
100 230 20,06 . 105
b) Para encontrar la razón de cambio, debemos derivar la función D( x): 49
2 x (2x 5) 2 2x 2 D´( x) 230 50 (2x 5)2 2 x 5
115000 (2 x) 49 (2 x 5)51
.
Cuando x = 50, obtenemos D´(50)
115000 (100) 49 (105)51
0,95 .
Ejemplo El costo de calentar y enfriar una casa depende de la temperatura exterior x. Supóngase que el costo anual 2 se expresa por la función C ( x) = (2 x – 75) y que durante un mes particular la temperatura promedio en el día t se da por
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
121
Como
x(t ) 3600 2t 3t 2 , 0 t 30.
dC
a) Determinar C´ (t ) aplicando C´ ( x) , x´ (t ) y la regla de la cadena; b) Hallar C´ (t ) cuando t = 15. Solución a) Calculamos las derivadas correspondientes dC dx d dx dt
dt
dC dt
dt
2 3600 2t 3t 3t 1 3600 2t 3t 2
2
dx dt 3t 1
4(2 x 75)
3600 2t 3t 2
75 (3t 1)
2
b) C ´(15)
.
3600 2t 3t 2
4 2 3600 2(15) 3(152)
6t 2 2 3600 2 t 3t
dC dx
4 2 3600 2t 3t 2
2(2 x 75)(2 x 75)´ 4(2 x 75) (3600 2t 3t 2)
75 (3(15) 1)
3600 2(15) 3(152 )
157,7 .
.
3.4.1 Tarea 1) Sean f , g y h funciones tales que f ( x) = g (h( x)). Suponiendo que h(1) = -1, g (1) = 4, h´(1) = 6 y g (3) = -5, calcule f (1) y f ´(1). 2) Sea f ( x) = g (h( x)). Suponiendo que f (-2) = 3, g (-2) = 6, h(-2) = 5, f ´(-2) = 3 y g ´(-2) = -7, encuentre h´(-2). 3) En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidaC (q) des durante la jornada de producción diaria es 2 = 0.2q + q + 900 dólares. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t ) = t 2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcule la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. 4) Si un cuerpo de masa m tiene velocidad v, entonces 1 su energía cinética k está dada por k mv2 . Supo2 niendo que v es una función del tiempo t , aplique la regla de la cadena para encontrar una fórmula para dk dt
.
5) Cuando se lanza un astronauta al espacio, el peso de su cuerpo disminuye hasta llegar a un estado de ingravedad total. El peso W de un astronauta de 150 libras, a una altura de x kilómetros sobre el nivel del 2
6400 . ¿A razón de 6400 x
mar está dado por W 150
cuántas libras por segundo pierde peso el astronauta si cuando x = 1000 kilómetros la astronave se va alejando a razón de 6 kilómetros por segundo?
6) La relación de longitud a peso de un determinado 3 pez está descrita por la fórmula W = 10.375 L , donde la longitud L está en metros y el peso W en kilogramos.
Su tasa de crecimiento en longitud
dL dt
está dada por
0.18(2 – L), para t medido en años: a) Encuentre una fórmula para la tasa de crecimiento en peso
dW dt
en términos de L.
b) Use la parte a) para calcular la tasa de crecimiento en peso de un pez de 20 kilogramos. 7) Se estima que dentro de t años la población de cier6 ta comunidad suburbana será p(t ) 20 miles. t 1 Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será c( p) 0.5 p 2 p 58 partes por millón cuando la
población sea p miles. Halle el ritmo al cual cambiará el nivel de monóxido de carbono, con respecto al tiem po, dentro de 2 años. 8) Cuando un globo meteorológico se está inflando, su radio r es función del tiempo t . Sea V el volumen del globo. Aplique la regla de la cadena para obtener una
fórmula para
dV dt
.
9) Los lobos marinos, como las focas y las morsas, son un suborden de los mamíferos acuáticos carnívoros cuyas extremidades se han convertido en aletas. La relación entre la longitud y el peso durante su crecimiento fetal está dada por W = (6x10 -5) L2.74, donde la longitud L se mide en centímetros y el peso W en JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
122
kilogramos. Usando la regla de la cadena encuentre una fórmula para la tasa de crecimiento del peso con respecto al tiempo t , suponiendo que L es una función derivable de t . Si una foca pesa 0.5 kilogramos y crece a razón de 0.4 kilogramos por mes, ¿cuál es la tasa de crecimiento de su longitud?
10)
La fórmula para la expansión adiabática del aire 1
es pv 4 c , donde p es la presión, v el volumen y c es una constante. Obtenga una fórmula para la tasa de cambio de la presión con respecto al volumen.
3.5 Derivación de expresiones dadas implícitamente Definición Se dice que una función está definida implícitamente con la ecuación F ( x, y) = 0 (función implícita) si cada valor de su argumento x y el valor de la función y, correspondiente a él, son la solución de la mencionada ecuación F ( x, y) = 0.
Para encontrar las diversas derivadas, hemos supuesto hasta aquí que una de las variables es la variable de pendiente y la otra es la variable independiente. Una ecuación con dos variables x e y puede tener una o más soluciones de y en términos de x o x en términos de y. Estas soluciones son funciones de las que decimos que están definidas implícitamente por la ecuación. Supongamos que tenemos una función de dos varia bles, F ( x, y) = 0, y que ésta implícitamente define y como función de x. Queremos encontrar la derivada dy dt
sin despejar primero y, porque, en algunos casos,
esto puede no ser posible. Puesto que y es una función de x, se presume que y tomará un incremento k a medida que x tome un incremento h. Por consiguiente, el incremento total en la función, a medida que x toma un incremento h, es F ( x + h, y + k ) – F ( x, y). Se deduce entonces que F ( x h, y k ) F (x , y )
h F ( x h, y k ) F (x , y k )
h
F (x , y k ) F (x , y ) h
0. A medida que h 0, el primer término del segundo miembro se aproxima a F x( x, y + k ), o, por cierto, F x( x, y), puesto que k 0 a medida que h 0. El segundo término puede escribirse también en la forma F ( x, y k ) F ( x, y ) k k
A medida que h F y ( x, y )
dy dx
0,
. h
dy 0 dx
F x ( x, y ) Fy (x, y )
dx
F x F y
.
Ejemplo Derivar implícitamente las siguientes funciones: m n a) x y = ( x + y )m+n; b) x5 y4 – x 3 y2 + xy – 1 = 0; c) xy + 2 y + 3( y + x) = 0. Solución m n-1 m-1 n m+n-1 (1 + y´) a) n x y y´ + m x y = (m + n)( x + y) m n-1 m+n-1 [n x y + (m + n)( x + y) ] y´ = = (m + n)( x + y)m+n-1 - m xm-1 yn y ´ 5 3
(m + n)( x y )m+n 1 mxm 1 yn n x m y n 1 (m + n)( x y) m+n 1 4 4
3
.
2 2
b) 4 x y y´ + 5 x y – 2 x yy´ - 3 x y + xy´ + y = 0 (4 x5 y3 - 2 x3 y + x) y´ = 3 x2 y2 - 5 x4 y4 – y y´
x(5x 4 y3 2x 2 y 1) y (5x 4 y3 3x 2 y 1)
.
c) xy´+ y + 2 y´+ 3( y´+ 1) = 0 xy´+ 5 y´= - y – 3 ( x + 5) y´= - y – 3 y 3 . y´ x 5 Ejemplo Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de 50 cm de radio. Si la profundidad del agua en el tanque es de 15 cm y disminuye a razón de 5 cm/seg, ¿a qué razón disminuye el radio de la superficie superior del agua? Solución Tenemos que R = 50 cm, H = R, h = 15 cm, cm dh 5 . Del triángulo mostrado en la figura, tedt seg nemos ( H – h)2 + r 2 = R2 ( R – h)2 + r 2 = R2 Derivando esta expresión, con respecto del tiempo, tenemos dR dh 2r dr 2R dR 2( R h) dt dt dt dt
este término se aproxima a
. Consecuentemente, tenemos
dy
dr dt
( R h)
dh dt
2hR h 2 JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
123
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos dr dt
(50 15)(5) 2 15 50 152
dr dt
4,9
cm seg
.
El signo negativo, significa que el radio disminuye a razón de 4.9 centímetros por segundo. Ejemplo Una mancha circular de aceite de grosor uniforme ha sido causada por el derrame de 0.8 metros cúbicos de aceite. El grosor de la mancha está disminuyendo a razón de 3 cm/hora. ¿A qué razón aumenta el radio de la mancha cuando mide 5 metros? Solución Tenemos los siguientes datos: V = 0.8 m3, mts dy 0,03 , r = 5 mts. Sabemos que el volumen hora dt de la mancha es V = r 2 y. Derivando implícitamente esta expresión, obtenemos dV dt
2 r y dr dt
dr
2
r
dt
r
dy
dy
2 y dt
dt
dr dt
0 2r y
r
3
2V
dr
2
r
dt
du
Se nos da u = v = 15,
2 x
dx dt
2(10 x)
2y
dy dt
dx dt
2y
10
dx dt
28
dy
dt
53 2(0,8)
(0,03)
dr dt
7,36
mts hora
dy
dt
6
millas hora
du dt
2v
dt
dt
Resolviendo
19,3
estas
millas hora
y
dy
dv
.
dt
dt
dx dt
28
dy
millas
36
hora
180 .
dt
ecuaciones,
obtenemos
. Por lo tanto, el
submarino está desplazándose hacia el noreste a una velocidad de
.
Cuando r = 5 mts, el radio aumenta a razón de 7,36 metros por hora. Ejemplo Dos estaciones de radar P y Q, con Q a 10 millas al este de P , están rastreando a un submarino que está en la superficie del mar. En cierto momento, el barco está a 15 millas de P y su distancia aumenta a razón de 30 millas/hora. En el mismo instante, el barco está a 15 millas de Q, mientras su distancia aumenta a sólo 6 millas/hora. ¿Dónde está el submarino, con qué rapidez se desplaza y en qué dirección? Solución Con las dimensiones indicadas en la figura, encontramos con la ayuda del teorema de Pitágoras que 2 2 2 2 2 2 x + y = u y (10 – x) + y = v
40,8
Reemplazando los datos conocidos, tenemos
2u
900 y 10
(19,3)2 (36)2
dr
dv
Al sustituir los datos numéricos deducidos, encontramos que
dt
dt
hora
y
y
dx
dy
millas
en el momento en cuestión. Puesto que el submarino está a igual distancia de P y Q, es claro que x = 5. Entonces, y = 14,1 14. Siendo así, el submarino está a 5 millas al este y 14 millas al norte de P . Diferenciando implícitamente las dos ecuaciones anteriores obtenemos
dy dt
dt
30
millas hora
.
Ejemplo Se está recolectando el agua de un bloque de hielo de base cuadrada. El agua se produce al fundirse el hielo, de modo que la arista de la base del bloque disminuye a 3 cm/hora, mientras la altura del bloque disminuye a 4 cm/hora. ¿Cuál es la razón de flujo del agua en el recipiente recolector cuando la base tiene una arista de 25 cm y la altura del bloque es de 20 cm? Solución Tenemos como datos: cm dx 3 , hora dt cm dy 4 , x = 25 cm, hora dt y = 20 cm. Podemos deducir del gráfico que V
x 2 y . Derivando esta
expresión con respecto del tiempo, obtenemos JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
124 dV dt
x 2
dy dt
dx
2 xy
dt
Reemplazando los datos conocidos, tenemos dV dt
usamos
(25)2 (4) 2 (25)(20) (3) dV dt
V
la
ecuación
dada
dt
, para esto,
del
volumen
1
h 2 (3r h) . Del triángulo que se da en el gráfi3
co, obtenemos
3
cm
5500
dh
cm, H = R. Tenemos que encontrar
2 2 2 R = r + (h – H )
hora
r 2hR h2
El signo negativo, significa que el hielo se está derritiendo a razón de 5500 centímetros cúbicos por hora. Ejemplo Una cometa se desplaza en el aire en dirección horizontal, a una altura de 20 metros y a razón de 20 cm/seg, alejándose de la persona que sostiene la cuerda de la cometa, al nivel del piso. ¿A qué razón se está soltando cuerda cuando ya se soltaron 50 metros de ella? Solución cm dx 20 Sabemos que , z = 50 mts, debemos calcudt seg
lar
dz dt
. Para esto, del triángulo deducimos que
z 2 =
x2 + y2. Derivando esta expresión, con respecto al tiempo, obtenemos 2 z
dz dt
dz dt
2x
dx dt
x dx
z dt
2y
dy
dz
dt
dt
z
dz dt
z
dt
2
50 400 50
dz dt
0,18
dt
189450
cm3 min
dV dt
dR dh 3 2 h 2R 2 dt dt dh h 3 dt 2 2hR h2
(0,2)
mts seg
dh dt
3 2hR h 2
15h
2
R 6h
3
3h
dhdt
dV dt
2
2hR h2
Reemplazando los datos conocidos, tenemos dh dt
3(189450) 2 20 15 202
15 202 15 6 203 3 20 2 2 20 15 20 2 dh
.
, R = 15 cm, h = 20
2h 3 2hR h2 h
dt
Ejemplo El volumen V del agua de un tanque esférico de radio 1 r , lleno en parte, es V h 2 (3r h) , donde h es la 3 profundidad máxima del agua. Suponga que el agua se está drenando de un tanque esférico de 15 cm de radio a razón de 50 gal/min. Encuentre la razón a la que disminuye la profundidad h del agua cuando h = 20 cm. Solución dV
3
dt
Es decir, la cuerda se suelta a razón de 0.18 metros por segundo.
Sabemos que
1
h 2 3 2hR h2 h
Derivamos esta expresión, con respecto al tiempo
z 2 400 dx
V
dx
x
Reemplazando los datos conocidos, tenemos dz
Reemplazamos en la ecuación del volumen
dt
102,2
cm min
.
Ejemplo Un misil es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en el suelo, a 5 kilómetros de la rampa de lanzamiento. ¿Cuál es la velocidad vertical del misil cuando está a 15 kilómetros de la estación de radar y su distancia aumenta a razón de 3200 km/h? Solución km dz Tenemos que x = 5 km, z = 15 km, . 3200 hora dt Del triángulo que se muestra en la figura, obtenemos x2 + y2 = z 2. Derivando esta expresión, con respecto al tiempo, tenemos 2 x
dx dt
2y
dy dt
2 z
dz dt
dy dt
z dz
y dt
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
125 dy dt
z
z 2 x2
dz dt
Reemplazamos los datos conocidos en esta expresión dy dt dy dt
3394,11
15
km hora
2
15
2
5
3200
x
425 4
C ( x)
10,3 unidades .
b) De la ecuación original, tenemos que x 2250 175 p 2
2250 175 p2 2250 175 p 2
D( p )
175 p 2 2250 175 p D ´( p ) . 175 p 2250 175 p 2 La elasticidad de demanda cuando p = 2,5, está dada por
(175)(2,5) (2,5) 2250 175(2,5)2 0,94 E (2,5) 2 2250 175(2,5)
5 24 x2 520 x 25 4 5 24 x 2 520 x 25 4 x
.
Para determinar el costo marginal, debemos derivar la función C ( x), y luego reemplazar x = 350: C ´(x)
6 x 65 24 x 2 520 x 25 6 350 65
C ´(350)
24 3502 520 350 25
1,2 .
Ejemplo Un barco con una larga cadena de ancla está anclado en 15 brazas de agua. La cadena del ancla está siendo enrollada a razón de 5 brazas/min, ocasionando que el barco se mueva hacia el punto que está directamente arriba del lugar donde descansa el ancla en el fondo del océano. El punto de contacto entre el barco y la cadena está situado 1,5 brazas arriba de la línea del agua. ¿A qué velocidad se mueve el barco cuando hay todavía 7 brazas exactas afuera? Solución Tenemos que y = 1,5 brazas, z = 8 brazas, brazas dz . De la figura, podemos deducir que 5 min dt 2 2 2 z = x + y (1) Derivando implícitamente esta expresión con respecto del tiempo, tenemos 2 z
dz dt
2x
dx dt
2y
dy dt
dx dt
z
dx dt
y
dy dt
x
2250 175(2,5)2 0,94 2 2250 175(2,5)
(2,5) E (2,5)
C ( x)
.
Ejemplo La ecuación 2 x2 + 350 p2 = 4500 define la demanda x para un bien implícito como una función D( p) del dólar por unidad de precio p: a) Determine la cantidad demandada si el precio por unidad es $ 3,5; b) Determine la elasticidad de demanda al precio de $ 2,5. Solución a) Para encontrar la cantidad demandada, debemos reemplazar p = 3,5 en la función original:
2 x2 + 350(3,5)2 = 4500
como una función C ( x) de producción. Determine el costo promedio y el costo marginal a un nivel de producción de 350 unidades. Solución Para determinar el costo promedio, debemos poner y en función de x, y luego dividir esta expresión para x:
(175)(2,5)
Esto quiere decir que para el primer caso, la demanda es inelástica. Para el segundo caso la elasticidad de demanda es E (2,5) = 0,94 para el precio p = 2,5 dólares.
De la ecuación (1), encontramos que x 7.9, reemplazando los datos conocidos, obtenemos dx dt
(8) (5) (1,5) (0) 7,9
5,1
brazas min
.
Ejemplo La ecuación 3 x2 – 65 x - 2 y2 + 5 y = 0 define el costo y de manufacturar x unidades de un producto implícito JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
126
3.5.1 Tarea 1) Hallar y´ para las funciones derivables, prefijadas implícitamente con las ecuaciones: 2
2
2
b) x3 y3 3x2 ;
c) x6 2x3 y y3 ;
d) x2 ( y 2)2 2xy y 2 0 ;
e) x 2 y 2 y 1 ;
f) y 2 2 px , y > 0;
g) x2 4xy 4 y 2 4 x 3 y 7 0 ;
h) y5 x 4 xy2 ;
i) x 4 y 4 xy 0 ;
a)
j)
x 3
y3
a 3 , y > 0;
(2a x) y 2
x3 , y < 0;
k)
m) 5 x2 9 y 2 30 x 18 y 9 0 , y < -1; p)
x 2 a
2
y2 b
2
y
2;
n) x5 y5 xy2 ;
1 , y > 0;
q)
2) Para las funciones derivables, prefijadas implícitamente, calcular y´(a): a) x2 y 2 6x 10 y 2 0 , y > -5, a = 0; b) 6 xy 8 y 2 12x 26y 11 0 , y < 2, a
x
11 12
. 2
3) La producción en cierta planta es Q = 0.08 x + 0.12 xy + 0.03 y2 unidades al día, donde x es la cantidad de horas de mano de obra calificada que se utiliza e y el número de horas de mano de obra no calificada que se emplea. En la actualidad, cada día se utilizan 80 horas de mano de obra calificada y 200 horas de mano de obra no calificada. Estime el cambio que debería realizarse en la mano de obra no calificada para com pensar un incremento de 1 hora en la mano de obra calificada, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 4) En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación Q = 2 x3 + 3 x2 y2 + (1 + y)3. Si los niveles actuales de insumos son x = 30 e y = 20, estime el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una disminución de 0.8 unidades en el insumo x, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 5) Se derrama petróleo de un tanque roto formando una mancha circular. Si el radio del círculo aumenta a razón constante de 1.5 pies por segundo, ¿con qué rapidez aumenta el área cubierta al término de 2 horas? 6) En determinada fábrica la producción Q está relacionada con los insumos u y v mediante la ecuación 2u 3v Q 3u 2 . Si los niveles actuales de insumos (u v )2 son u = 10 y v = 25, estime el cambio que debería realizarse en el insumo v para compensar una disminución de 0,7 unidades en el insumo u, de modo que la producción se mantenga en su nivel actual.
x 2 a
2
y2 b
2
1 ;
l) x4 2 y3 4x2 y ; o)
4 y 2
4 x 2 y x5 ;
r) y5 y3 y x 0 .
7) Un objeto proyectado desde un punto P se mueve a lo largo de una recta. Se sabe que la velocidad del objeto es directamente proporcional al producto del tiempo durante el cual el objeto se ha movido y la distancia que ha recorrido desde P . También se conoce que al final de 5 segundos, el objeto está a 20 pies de P y se mueve a la razón de 4 pies/seg. Halle la aceleración del objeto en este momento (cuando t = 5). 8) Una persona, de pie en un acantilado, observa una lancha rápida con un telescopio, cuando la lancha se aproxima a la playa que está directamente debajo de la persona. Si el telescopio está 300 pies arriba del nivel del agua y si el bote se acerca a 30 pie por segundo, ¿con qué rapidez cambia el ángulo del telescopio con respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies de la playa? 9) Una alberca de natación tiene 40 pies de largo, 20 de ancho y 8 de profundidad en un extremo y 3 en el otro; el fondo es rectangular. Si la alberca se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto, ¿con qué rapidez sube el nivel cuando tiene tres pies de profundidad en el extremo hondo? 10) Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0,02 pulgadas por segundo, ¿con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras cuando su radio es de 8,1 pulgadas? 11) Una persona mide 7 pies de estatura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público que está a 25 pies de altura a razón de 2 pies por segundo: a) ¿Con qué rapidez crece su sombra cuando la persona está a 24 pies del poste? b) ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de la som bra? c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 6 pies de largo? JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
127
12) Se bombea agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular recto con una razón uniforme de 2 litros por minuto. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y radios inferior y superior de 20 y 40 centímetros, respectivamente. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando la profundidad es de 30 centímetros?
14) Suponiendo que una burbuja de jabón mantenga su forma esférica cuando se expande, ¿qué tan rápido aumenta su radio cuando mide 2 pulgadas, si se sopla aire al interior a razón de 3 pulgadas cúbicas por segundo?
13) El agua está goteando del fondo de un depósito hemisférico de 8 pies de radio a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito estaba lleno en cierto momento. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la altura es de 3 pies?
3.6 Derivación de funciones trigonométricas A continuación procederemos a enunciar y demostrar los teoremas, en los que se dan todas las fórmulas de las funciones trigonométricas, utilizando el método de derivación:
f ´( x )
1 2
dx
d dx
b) f ( x)
Sen2 x
1 Cotx
Cos2 x
1 Tanx
.
Solución a) Simplificando esta expresión, obtenemos 1 Cos8 xCos3 Sen8 xSen3 f ( x ) Sen2 x Cos 2x Cos 2x Sen2 x 1 Cos8 x
Sen 2 2 x Cos 2 2x Sen 2 xCos2x (1 Cos8x)Sen2 xCos2x
Sen2 2x Cos 2 2x 1 2Cos 2 4 x Sen4 x 2 Cos4 x Sen4xCos4x 1 Sen8x . 2
Derivamos esta última expresión
(u ( x )) .
Ejemplo Hallar la derivada de las funciones siguientes: 1 Cos(8 x 3) a) f ( x) ; Tan2x Cot 2 x
(8x )
dx
Sen2 x Cosx
1
Teorema La función Senu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como (Senu( x)) Cosu( x)
d
1 2
8Cos8x 4Cos8x .
b) Simplificando esta expresión, obtenemos f ( x )
d
Cos8x
Cos2 x Senx
1
Senx 3
Sen x Senx Cosx 3
Cosx
Cos3 x Senx Cosx
3
Sen x Cos x
Senx Cosx 1 SenxCosx 1 (2 Sen2 x) . 2
Derivamos esta última expresión f ´( x )
1 2
Cos2x
d dx
(2x )
1
2Cos2 x Cos2 x . 2
Ejemplo
Dada la función f ( x)
1 1 Sen2 x
, resuelva la ecuación
f ´ ( x) = 0. Solución Derivando con respecto de x, obtenemos: 2SenxCosx f ´(x ) . (1 Sen2 x)2 Igualando a cero la derivada, tenemos Senx 0 2SenxCosx = 0 Cosx 0
x 0, x , x 3 . x 2 , x 2 , x 2 Por tanto la solución es x
n 2
, n Z.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
128
Teorema La función Cosu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d dx
(Cosu ( x)) Senu( x)
d dx
d
(u ( x)) .
dx
Ejemplo Hallar la derivada de las funciones siguientes:
x
x
2
a) f ( x ) Sen Cos ; 2 2 b) f ( x) Sen6 x Cos 6 x . Solución x d x x x a) f ´( x) 2 Sen Cos Sen Cos 2 2 dx 2 2 x x 1 x 1 x 2 Sen Cos Cos Sen 2 2 2 2 2 2 x
x
Sen2 Cos2 Cosx . 2
2
b) f ´( x ) 6Sen5 x
d dx
(Senx) 6Cos5 x
d dx
(Cosx)
6Sen5 xCosx 6Cos5 x(Senx) 6SenxCosx( Sen4x Cos4 x) 6SenxCosx( Sen2x Cos2x )(Sen2x Cos2 x) 6SenxCosx(Cos 2x) 3Sen2xCos2x
3 2
y F y ( x, y ) 2Sen2 y Seny xCosy .
De donde dx
F x ( x, y) F y ( x, y )
Seny
2Sen2 y Seny xCosy
.
b) Derivando la expresión en función de x y de y, obtenemos F x ( x, y) Cosy Cos( x y)
y
dx
Cosy Cos( x y) xSeny Cos( x y)
dx
(u( x)) .
2(1 Tan2 2x)2 Sec2 2x
2Sec4 2xSec2 2x 2Sec6 2x . (1 Tanx) Sec 2 x (1 Tanx)(Sec2 x) b) f ´(x) (1 Tanx)2
(1 Tanx Tanx 1) Sec2 x (1 Tanx)2 2Sec2 x (1 Tanx) 2
.
Teorema La función Cotu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d dx
(Cotu ( x)) Csc 2u ( x )
d dx
(u (x )) .
Ejemplo Hallar la derivada de la función siguiente: 1 Cot2 x . f ( x) 1 Cot2 x Solución f ´(x )
dy
d
2Sec2 2x 4Tan2 2xSec2 2x 2Tan4 2xSec2 2x 2(1 2Tan2 2x Tan4 2x)Sec2 2x
F y ( x, y ) xSeny Cos ( x y ) .
De donde
(Tanu( x)) Sec2u( x)
Ejemplo Hallar la derivada de las funciones siguientes: 2 1 a) f ( x ) Tan2x Tan3 2x Tan5 2x ; 3 5 1 Tanx b) f ( x) 1 Tanx Solución 2 a) f ´( x ) Sec2 2x (2x )´ 3Tan2 2x (Tan2x )´ 3 1 5Tan4 2 x (Tan2 x)´ 5
Sen4 x .
Ejemplo Derive implícitamente las siguientes expresiones: a) xSeny – Cosy + Cos2 y = 0; b) xCosy = Sen( x + y). Solución a) Derivando la expresión en función de x y de y, obtenemos F x ( x, y) Seny
dy
Teorema La función Tanu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
(1 Cot 2 x)2Csc2 2 x (1 Cot 2x)2Csc 2 2 x (1 Cot 2 x)2 2(1 Cot 2 x 1 Cot 2 x)Csc2 2 x (1 Cot2 x)2 4Csc2 2 x (1 Cot2 x)2
.
. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
129
Teorema La función Secu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d dx
( Secu( x)) Tanu( x)Secu ( x)
d dx
(u ( x)) .
dx
(Cscu( x)) Cotu ( x)Cscu ( x )
d dx
(u (x )) .
Ejemplo La señal de un faro situado a una milla de la costa gira a razón de 2 revoluciones por minuto. Suponiendo que la línea de costa sea recta, ¿a qué velocidad se desplaza el rayo de luz al pasar por un punto que dista 1,5 millas del faro? Solución
Sabemos que x = 1 milla, z = 1.5 millas,
dt
d dt
3 5π
millas
.
min
Para calcular la velocidad con que se desplaza el rayo de luz, recurrimos a la ecuación (1) dy
Teorema La función Cscu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
dz
dt
(1.5)
1
(1.5)2 1
(4)
1.5 dy
dt
9π
1.5 millas
3 5
.
min
Ejemplo Un avión P vuela en línea recta a velocidad constante v. Inicialmente el avión se halla justamente sobre un cañón antiaéreo colocado en el origen. Calcular la velocidad angular del cañón si éste apunta constantemente hacia el avión. Solución
Del triángulo obtenemos que Tan
x y
.
Derivamos esta expresión con respecto a t
2 RPM .
Del triángulo tenemos que Sen
y
2
y = zSen
z
Sec
d dt
Derivamos esta expresión con respecto al ti empo dy dt
z Cos
d dt
Sen
dz
d
dt
dt
(1)
y
y
dx
x
dt
dy dt
y2
dx
x
dy
dt dt 2 2 y Sec
Reemplazando en la derivada, los datos del problema, obtenemos d dt
También podemos obtener z 2 = x2 + y2, derivando esta nueva expresión, obtenemos 2 z
dz dt
2x
dx dt
2y
dy dt
z
dz dt
x
dx dt
y
dy dt
Reemplazando z
dz dt
d dz 1 0 z z Cos Sen Sen dt dt dz d dz z Cos Sen Sen dt dt dt dz d dz z Cos Sen Sen dt dt dt dz d zTan dt
dz dt
x0 2 y Sec2
yV x
d dt
V xCos 2 y
.
Ejemplo Sea C un círculo de radio r con centro en el punto (0, r ) del plano XY . Imaginemos que una motocicleta corre por la noche sobre C , por el primer cuadrante, hacia el origen. Considérese el punto del eje X iluminado por su faro delantero. Calcular a qué velocidad se acerca este punto al origen en términos de r , de la distancia d , medida sobre C , que separa a la motocicleta del origen, y de la velocidad de esta última. Solución Sabemos por geometría elemental que 2 r 360
r y 180 180 y r y
dt
Derivando expresión,
(1.5) (1.5)2 (1)2 (4)
esta con
respecto al tiempo, obtenemos JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
dy dt
130
r d 180 dt
d
dt
180 dy
r
rectángulo deducimos que
dt
Tan
Del gráfico podemos deducir que Tan
2
x
Tan60
r
2
Sec2
d
2 dt
1 dx
r dt
dx
dt
r
2
Sec2
d
2 dt
Reemplazamos los datos conocidos en esta expresión y obtenemos dx dt
90
2 90 y
Sec
r
dy
.
Sec2
= 45°, tenemos que calcular V y.
x
tenemos
dt
Ejemplo Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de observación situada en el suelo a 10 kilómetros de la plataforma de lanzamiento. Su póngase que el ángulo de elevación de la línea visual hacia el cohete aumenta 3 grados por segundo cuando = 45°. ¿Cuál es la velocidad del cohete en ese momento? Solución d grd Sabemos que 3 , dt seg
h 18000
x = 3167,57 mts. Derivando esta expresión con res pecto del tiempo,
Derivamos esta expresión 1
x
dx dt
x
d dt dh dt
x
dh dt
dx
h x
dt
2
x2Sec2
d dt .
h
Sabemos que 0.5 grd/seg = 0.0087266 rad/seg, 18000 pies = 5486.4 mts. Reemplazando los datos conocidos, obtenemos dx dt
x 0 (3167.57) 2 Sec2 60 (0.0087)
5486.4 mts . 63.6 seg dt
dx
El signo negativo indica que el avión se acerca al observador.
Entonces, del triángulo dado en la figura, obtenemos Tan
y x
.
Derivando esta expresión y reemplazando los datos conocidos, obtenemos Sec2
d dt
x
dy dt
y x
2
dx dt
dy dt
y
dx dt
x 2Sec2
d dt
x
Reemplazando los datos del problema, obtenemos dy dt
y 0 (10) 2 Sec2 45 (0.052)
10 dy km 1.04 . dt seg
Ejemplo En un proyecto de máquina la manivela y la biela tienen, respectivamente, tres y diez dm de longitud y la manivela gira a la velocidad uniforme de 120 r.p.m. ¿A qué velocidad se moverá la cruceta de la biela cuando la manivela forme un ángulo de 45 grados con la línea muerta central Solución Supongamos que OC representa la línea muerta central, y la circunferencia la trayectoria de la manivela P . Entonces, C será la cruceta, CP la biela y OP la manivela. Al moverse P uniformemente en la dirección indicada, C adquiere un movimiento de vaivén de veloOC = cidad variable a lo largo de OC . Si llamamos
x y al ángulo POC = , habrá que hallar Ejemplo Un observador en el suelo observa un aeroplano que se aproxima con una velocidad constante y a una altura de 18000 pies. Desde su punto de vista, el ángulo de elevación del aeroplano aumenta 0.5 grados por segundo cuando mide 60°. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano? Solución Como datos del problema, conocemos que grd d 0.5 , = 60°, h = 18000 pies. Del triángulo dt seg
d dt
2
rev seg
4π
rad seg
dx dt
cuando
. Para ello tendremos que expresar
x en función de .
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
131
Supongamos que en la figura, a = longitud de la manivela = 3 dm y b = longitud de la biela = 10 dm. Tracemos PA perpendicular a OC . Entonces, para diferentes posiciones de P también A y C tendrán posiciones distintas, pero siempre será: x OA AC (1) En el triángulo rectángulo PAC la fórmula de la hipotenusa da 2
AC b 2 AP (2)
y en el triángulo rectángulo POA, OA aCos , AP aSen . (3)
Sustituyendo este valor de AP en (2), resulta AC b
2
a2Sen2 ,
y este valor de AC juntamente con el valor de OA que da la primera de las ecuaciones (3), sustituidos en la ecuación (1) dan finalmente 2
2
2
x aCos b a Sen (4) que expresa x en función del ángulo . Para hallar la dx
velocidad
dt
habrá que diferenciar esta ecuación y así
obtendremos dx. Derivando la ecuación (4), y efectuando las transformaciones y simplificaciones necesarias, se obtiene: dx dt
aSen
d dt
2a 2SenCos
d
2 b2 a2 Sen2 dt
d Cos aSen 1 dt 2 b Sen2 a
En el primer caso, el valor negativo de
dx dt
significa
que x está disminuyendo, es decir, que C se aproxima a O, moviéndose la cruceta hacia la izquierda. En el segundo caso, el signo positivo significa que se mueve hacia la derecha, es decir, que x aumenta. Del mismo modo, la fórmula (5) daría un valor negativo para toda posición de la manivela P por encima de la línea horizontal OC , y un valor positivo para toda posición por debajo de esa línea. Ejemplo Un hombre atraviesa un patio circular a lo largo de un diámetro que mide 60 m a razón de 2 mts/seg. Una lámpara en la pared en un extremo del diámetro per pendicular a su trayectoria proyecta su sombra sobre la pared circular. ¿A qué velocidad se mueve la sombra: a) cuando el hombre está en el centro; b) cuando está a 7 m del centro; c) cuando está sobre la circunferencia? Solución Sea CB la trayectoria del hombre y L la posición de la lámpara. Sea también M la posición del hombre en un instante determinado cualquiera y y la distancia que lo separa del centro O. Entonces P es la posición de la sombra sobre la pared circular, s es la distancia AP tomada a lo largo de la pared circular desde A y ds es la diferencial de s en la dirección momentánea de la tangente, que cambia continuamente siguiendo la ds curva. Para hallar la velocidad de la sombra cuandt
do la del hombre
dy dt
es conocida, hemos de hallar una
relación entre y y s.
2
d b 4 , Ahora bien, a = 3, b = 10, 11,1 , dt a
Cos 12 1 Sen (5) dt 11.1 Sen2
dx
Cuando = 45º, Sen = 0,707 y Cos45º = 0,707, entonces:
0,707 (0.707) 12 1 2 dt 11.1 (0,707)
dx
32.44
dm seg
.
Análogamente, si = 270º, Sen = -1, Cos = 0, entonces:
0 (1) 37.70 dm . 12 1 dt seg 11.1 (1)2
dx
Tracemos OP y, llamemos al ángulo AOP , s al arco AP y a al radio OL = OA; ds está indicado por la flecha. Si dibujáramos una recta uniendo el extremo de esa flecha con L, la distancia entre el punto en que corta a OB y el punto M sería dy, es decir, el cambio de y correspondiente a ds; y si trazáramos una recta desde O al extremo de la flecha, el ángulo que formara esta recta con OP sería d , es decir, el cambio de correspondiente a ds. Utilizando la notación que acabamos de indicar, tenemos S = a (1) Además, el ángulo PLA = ½ ángulo ( POA) y, por tanto, el ángulo MLO = ½. En el triángulo rectángulo MOL: JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
132 y aTan
(2)
2
Diferenciando (2) y (1), resulta: dy aSec2
ds ad .
d ,
2
La primera de estas igualdades da d
2
1
a
2
Sec
dy
2
y sustituido este valor de d en la segunda, obtenemos: 2
ds
2
Sec
dy (3)
Ejemplo Una persona en un tranvía se aproxima a una torre de 50 m de altura mirando constantemente a lo alto de la misma, y a una velocidad de 12 km/hora. ¿A qué velocidad tendrá que ir levantando la cabeza (la visual) cuando el tranvía se encuentra a 50 m de la torre en un suelo horizontal? Solución km dx Tenemos que 12 , y = 50 mts, x = 50 mts. hora dt Del triángulo que se forma en la figura, tenemos Tan
2
y x
Puesto que en cualquier instante se conocen y y a, es
preferible utilizar Tan en vez de la secante. Por 2
tanto, la ecuación (3) se puede escribir en la forma 2
ds
2
1 Tan
ds
dy
dt
2
2
1 Tan
2
dy dt
(4)
2
Esta fórmula da la velocidad de la sombra en función del ángulo MLO y de la velocidad del hombre. Ahora
y
2
a y
bien, según la figura, Tan
, siendo, en este caso, dy
2 es la a = 30. Por lo tanto, Tan , y como dt 2 30 velocidad del hombre, sustituyendo estos valores en la fórmula (4) se obtiene: ds dt
4
y 1 30
2
dt
ds dt
de
30
.
Cuando está a 7 m del centro y = 7, y entonces
b) y
seg
7 30
, y por consiguiente, ds dt
4
7 1 30
2
dy dt
3.8
y x
dx dt
2
d
y
Sec2
d dt
y
dx
dt x2
dx
dt x2 y 2
Reemplazando los datos en esta expresión, obt enemos
la sombra sobre la pared. Entre los datos figuran tres posiciones del hombre: a) Cuando está en el centro y = 0, y por tanto mts
dt
x
.
inmediatamente con esta fórmula la velocidad
4
Sec2
d
dt
Cuando se da la posición del hombre, se conoce su distancia y al centro y, por lo tanto, se puede calcular
ds
Derivando esta expresión con respecto del tiempo, obtenemos
mts seg
.
c) Cuando está en la circunferencia y = 30, y entonces mts ds 4 y 2 1 y . 30 seg dt 2
d dt
50
120
36 50 502 2
d dt
0.033
rad seg
.
Ejemplo Un observador dirige una visual a un globo que se eleva uniforme y verticalmente a un kilómetro de distancia. En el momento en que el ángulo de elevación del anteojo es 30 grados, y está aumentando a razón de ¼ de radián por minuto, ¿a qué altura se encuentra el globo y a qué velocidad asciende? Solución d 1 rad Tenemos que , dt 4 min x = 1 km. Del triángulo, tenemos que Tan
y x
Derivando esta expresión con respecto del tiempo, obtenemos JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
133
Sec2
d dt
x
dy
y
dt
Reemplazando los datos
dx
dy
dt
2
dt
x dy x d 2 Sec dt 2 dt x dy d x Sec2 dt dt
1000 Sec230
1
4
dy dt
333.3
mts min
.
Para encontrar la altura a la que se encuentra el globo, hacemos Tan30 577.35 mts . y xTan y 1000Tan
3.6.1 Tarea 1) Derivar las siguientes expresiones:
x Tan x ; 3 3 2(Sen2 x 2Cos2 x 1) f ( x ) ; Cosx Senx Cos3 x Sen3 x 2 2Cos Cos x 1 ; f ( x) 2 2Tan x Sen x 4 4 f ( x ) Sen2 x Sen2 x ; 8 8 1 Cosx Cos2x Cos3x f ( x) ; Cosx 2Cos 2 x 1
a) f ( x ) TanxTan
b) f ( x )
c)
d) f ( x )
e)
g) i)
k) f ( x )
Tanx
(1 Tan2 x)
m) f ( x )
Sen x
2
Cotx
(1 Cot 2 x)2
f) f ( x )
j) f ( x )
;
s) f ( x ) u) f ( x)
Cosx Cos3x Cos5 x
1 Senx Cosx
Cos2 x
1 Sen Sen2 x
; ; ;
1
;
Cos Cos3x
1 Tan2 xTanx xTanx Cotx Cotx Tanx Tanx
;
Cos 2 x Sen2 2 x
;
Cos 2 x 4Cos Senx Cosx Cosx 1 Senx n) f ( x ) ; x Sen 2
p) f ( x )
Secx Secx Cosx Cosx
2Senx Senx Senx Tanx Tanx
r) f ( x )
;
x 4 2 ;
t) f ( x )
(1 Senx)Tan Senx
Sen2 x 1 Sen
1 Sen Sen2 x
l) f ( x )
Cos x 6 3 ;
Senx Sen3 x Sen5 x
1 Sen Sen2 x
h) f ( x ) Tan3x
Cosx o) f ( x) 1 Senx Senx Cosx Cosx Tanx Tanx ;
q) f ( x )
Cos2 x
x; 4 2
v) f ( x)
Tan
Cosx Cosx Cotx Cotx Csc( x)
; ;
Cot 2 x Cotx
;
2Senx Sen2x 2Senx Sen2 x
.
2) Derivar las siguientes expresiones: 2 4 Senx Sen x Sen x ; a) f ( x) Senx 3 3
2 1 b) f ( x ) Tanx Tan3x Tan5 x ; 3 5
c) f ( x) 2(Sen6 x Cos6x ) 3(Sen4 x Cos4 x ) ;
d) f ( x) x Sen x Cos x ;
Tanx 1 (1 Tanx)Senx Senx e) f ( x) Tanx
g) f ( x )
1 3a
Sen2axCosax axCosax
2 3a
1 1 Tan2 x
SenaxCosax SenaxCosax ;
;
f) f ( x) (3Cos2 x 5)Cos3x ; h) f ( x ) 4 Cot 2 x (2 Tan2 x )Tanx ;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
134
xCosx 3x 2Senx Senx x 3Cosx Cosx 6Senx Senx ; i) f (x) 6xCosx
1
k) f ( x ) 2x Sen2 x m) f ( x )
2
Sen4 x
1 3
(Tan2 x 1)(Tan4 x 10Tan2 x 1) 3
3Tan x
ax ax2 bx c Senx Senx Cosx Cosx
2 1 l) f ( x ) Cotx Cot 3x Cot5x ; 3 5
Sen6 x ;
3) Derivar las siguientes expresiones: Tan2 xTanx xTanx a) f ( x ) ; Tan2x Tanx d) f ( x )
xSenx 2Cosx ; j) f (x) x 2Cosx 2xSenx
n) f ( x )
;
b) f ( x ) e) f ( x )
;
Cos 2 x 4Cos g) f ( x ) ; x x Tan Cot 2 2 Sen2 x 1 Sen j) f ( x ) . 1 Sen Sen2 x
h) f ( x)
k) f ( x)
2 Senx 2 Cosx xSenx xSenx
1 x2
2Sen2 x 1 Cosx
(2Senx 1)Cosx 1 Senx
c) f ( x )
;
f) f ( x )
;
1 2 Cosx
i) f ( x )
;
1 Cos2 x 1 Cos2 x
l) f ( x )
;
Cosx
2 x 2 3 1
.
;
x Senx
;
1 Cos2 x 1 Senx x Sen2 x x Cos2x
;
.
4) Derivar las siguientes expresiones dadas implícitamente: a)
Cos2 x Cos 2 ( x y ) 2CosxCosyCos( x y ) 1 ;
b)
c)
Sen( x y) Se Sen( x y ) Se Sec 2xSe xSec 2y
d)
e)
1 4
1 ;
Sen2 2 x Sen2 y Cos4 x 1 ;
f)
dy dx
en térmi-
x) es continua pero no derinos de x e y. Mostrar que f ( x vable en x = /4. ¿Queda esto reflejado de algún modo dy dx
?
6) Determine los valores de A y B con los que la función es por todo lugar derivable: Ax B, x 0 f ( x) . ACosx BSenx BSenx, x 0 ACosx
B > 0) la función 11) Con qué valores de A y B ( B x A Sen 1 , x0 B f ( x ) x
Cosx Cosx Seny Seny Cosx Cosx Seny Seny
Sen45º .
h( x) f (Se Sen 2 x ) g (Cos 2 x ) .
está definida implícitamente por la ecuación y + Sen2 x = 0. 2 y2 – 2(Senx + Cosx ) y
en la expresión general obtenida para
2Cos( x y) 1 ; Senx Senx Cos(2 y x) 1; Cosx Sen(2 y x)
7) Sean f ( x x) y g ( x x), x R, funciones derivables por x) si todo lugar. Hallar h´( x
5) Demostrar que la función Cosx, si x / 4 f ( x ) Senx, si x / 4
Mediante derivación implícita expresar
Sen(2 x y)
0, x 0
2
2
8) Si f ( x x) = (ax + bx + c)Senx + ( dx + ex + f )Cosx, determine valores para las constantes a, b, c, d , e, f x) = x2Senx. tales que f ´( x 9) Si f ( x x) = (ax + b )Senx + (cx + d )Cosx, encuentre valores de para las constantes a, b, c, d tales que f ´( x x) = xCosx. 10) Con qué valores de A la función x A Sen 1 x , 0 f ( x ) x 0, x 0
en el punto x = 0, es continua, tiene derivada, tiene derivada continua. en el punto x = 0, es continua, tiene derivada, tiene derivada continua. 12) Investigue la derivabilidad derivabilidad de las funciones: a) f ( x ) Senx ; b) f ( x ) x Senx ;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
2 x c) f ( x )
135
Cos
x
,
x0
.
0, x 0
13) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierda para las funciones en los puntos indicados: a) f ( x) Senx , x = k , k Z; 3
b) f ( x) x Cos
x
, x
2 2k 1
Senx 2 , x = 0, x c) f ( x ) Senx
, k Z;
;
d) f ( x) Cosx Senx Senx Senx Senx Cosx Cosx , x 14)
k 2
, k Z.
Determine la velocidad velocidad media media de variación de la 1
función y Sen sobre el segmento [2/ ; 6/] x
15) Un avión vuela con velocidad velocidad y altura constantes constantes a lo largo de una recta que pasa directamente arriba de una estación de radar en tierra. En el momento en que el avión está a 20 kilómetros de la estación, un observador nota que su ángulo de elevación es 30º y va aumentando a razón de 0.5º por segundo. Calcule la velocidad del avión. 16) Un torpedero navega paralelamente a una costa rectilínea a 40 millas/hora, manteniéndose a 1,5 millas de la costa; desde un lugar de observación situado media milla tierra adentro, se dirige el haz luminoso de un foco siguiendo al torpedero. ¿A qué velocidad en radianes por minuto habrá de girar el haz luminoso para seguir al barco en el momento en que éste pasa justamente frente al lugar de observación, y también cuando lo haya rebasado media milla?
cohete despega verticalmente desde un punto 17) Un cohete a 8 kilómetros de una estación rastreadora que se encuentra a la misma altitud. Durante los primeros 20 segundos de vuelo, el ángulo de elevación aumenta a una razón constante de 2º por segundo. Calcule la velocidad del cohete cuando el ángulo de elevación es de 30º. hasta un satélite de la Tierra desde 18) La distancia r hasta su centro puede ser expresada, aproximadamente, con la fórmula
r a 1 Cos
2(t t0 ) P
donde t es es el tiempo, a, el semieje mayor de la órbita elíptica, , su excentricidad, P , el período orbital del satélite, t 0, el tiempo de paso por el perigeo. Hallar el valor de la velocidad de variación de la distancia r (la (la llamada velocidad radial del satélite). 19) En ingeniería naval se demuestra demuestra que el efecto efecto 2 giratorio del timón de un barco es T = kCosSen , en que es el ángulo que forma el timón con la dirección de la quilla del barco. Cuando el timón gire a razón de ¼ radianes por minuto, ¿a qué velocidad, expresada en función de la constante k , cambiará T en el momento en que sea = 30º? 20) Una partícula partícula está obligada a moverse a lo largo de una parábola cuya ecuación es y = x2: a) ¿En qué qué punto de la curva varían varían la abscisa y la ordenada con el mismo coeficiente de variación? b) Encontrar esta razón razón si el el movimiento movimiento es tal que 2 en el instante t , es x = Sent e e y = Sen t .
playa, un hombre observa un rayo de 21) Desde la playa, luz que gira. La luz da una vuelta por minuto, y el haz de luz cruza una pared directamente detrás del hombre a razón de 10 metros por segundo. La pared es per pendicular a la recta que va desde el hombre al foco que emite la luz. ¿A qué distancia está el foco de la pared? 22) Una sierra sierra vierte aserrín sobre una pila cónica a razón de 300 centímetros cúbicos por día. El lado del montón de aserrín tiene una pendiente de 1, es decir, forma un ángulo de 45º con el terreno. ¿A qué velocidad aumenta la altura de la pila cuando tiene una altura de H centímetros? 23) Un aeroplano de combate vuela a 300 km/hora, en línea recta y horizontal, y adelanta a un aeroplano enemigo que vuela paralelamente, y al mismo nivel, en la misma dirección y a 250 km/hora. El ametralladorista dirige el tiro sobre el aeroplano enemigo tan pronto como se pone a su alcance, y lo hace girar para conservar el punto de mira sobre el aeroplano para poder seguir disparándole di sparándole mientras lo adelanta. Si las rutas de los dos aeroplanos tienen una separación de 114 mts, ¿a qué velocidad habrá que girar la ametralladora para seguir al aeroplano enemigo: a) en el momento de adelantarlo, b) medio minuto después?
4(t t0 ) 2 C o s 1 2 P
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LA DERIVADA
136
3.7 Derivación de funciones funciones trigonométricas trigonométricas inversas x) aplica el dominio de existencia Toda función y = f ( x de la función sobre el codominio de tal modo que a cada x del dominio de existencia le corresponde el único valor y del codominio. Así pues, las funciones pueden dividirse en dos grupos: 1) Funciones que realizan una aplicación biunívoca del dominio de existencia sobre el codominio. 2) Funciones que no poseen poseen esta propiedad. x) es Supongamos que el dominio de la función y = f ( x tal que la función realiza una aplicación biunívoca del dominio D sobre el codominio C . Entonces, a partir de cualquier y, perteneciente al codominio C , se puede establecer unívocamente el valor de x de dominio D, procediendo de la manera siguiente: en la igualdad f ( x x) – y y = 0 se considera fijo cualquier y C y y se busca x D que satisfaga la igualdad citada. Cada x D y). La igualdad x = f -1 ( y y) encontrado se denota con f -1 ( y lleva el nombre de regla inversa. Definición x), Se denomina función inversa de la función y = f ( x x D, y C , aquella que se obtiene a partir de la regla -1 y), sustituyendo x por y, e y por x con la inversa x = f ( y sustitución simultánea del dominio por el codominio y del codominio por el dominio. Realizada la sustitución mencionada, el codominio de la función y = f ( x x) se convierte en el dominio de la función inversa -1 y = f ( x x), mientras que el dominio de la función y = f ( x x) se hace el codominio de la función inversa -1 y = f ( x x).
x) con el domiAsí pues, dos funciones, a saber y = f ( x x) con C y nio D y el codominio C , y la función y = f -1( x y D que intervienen como el dominio y el codominio, f -1( x x)) = x para todo x C , y respectivamente, donde f ( f f -1( f f ( x x)) = x para todo x D, son tales que una de ellas es inversa de la otra. No siempre se logra encontrar para cada función tal dominio, que se aplique por ella de manera biunívoca sobre el codominio correspondiente. Teorema x) crece (o decrece) y es conSea que la función y = f ( x tinua en cierto entorno del punto c. Sea que, además, la x) es derivable en el punto c y la derivada función y = f ( x f ´(c) es diferente de cero. Entonces, existe la función -1 y) que está definida en cierto entorno inversa x = f ( y del punto correspondiente d = = f (c), es derivable en este
punto y tiene en él la derivada igual a
1 f ´(c )
Este teorema tiene el sentido geométrico sencillo. En el entorno del punto c consideramos la gráfica de la función y = f ( x x) o de la función inversa. Supongamos que al punto c le corresponde el punto P de de esta grafica. Entonces, obviamente, la derivada f ´(c) es igual a la tangente del ángulo de inclinación formado por la tangente, que pasa por el punto P , y el eje 0X . La derivada de la función inversa ( f -1(d ))´ ))´ es igual a la tangente del ángulo de inclinación formado por la misma tangente y el eje 0Y . Puesto que la suma de los ángulos y es /2, la expresión ( f 1(d ))´
1 f ´(c )
indica el hecho evidente de que Tan
1 Tan
.
El concepto de funciones inversas se puede aplicar a las funciones trigonométricas. La función periódica no es inversible, en particular, tampoco son inversibles las funciones trigonométricas. Pero sobre ciertos subcon juntos de su campo de definición estas funciones son inversibles. Es evidente que cualquier función trigonométrica fundamental inversa aplica biunívocamente su dominio sobre su codominio. Por eso, cada una de estas funciones cuenta con su función inversa, que es una función trigonométrica fundamental correspondiente, pero analizada solamente en el dominio correspondiente. Las relaciones trigonométricas inversas no son funcio x) que están asones, ya que hay muchos valores de f ( x ciados con un valor dado de x. Para obtener las funciones trigonométricas inversas, se restringen las relaciones trigonométricas a ciertos valores, llamados valores principales. A continuación procederemos a enunciar los teoremas, en los cuales se dan todas las fórmulas de las funciones trigonométricas inversas, utilizando el método de derivación: Teorema x) es derivable en todo su domiLa función ArcSenu( x nio, y su derivada se expresa como d
(u( x) ) ( ArcSenu ArcSenu ( x)) dx . 2 dx 1 u ( x) d
.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
137
Ejemplo Hallar la derivada de las siguientes funciones: Senx
a) f ( x ) ArcSen
2 x
.
2
d
2
(1 Sen x )Cosx CosxSen x
dx
3
1 Sen2 x 2
1 1 Sen x
Senx ´ 2 1 Sen x
Senx 1 2 Sen x
1 Sen x
( Senx) Senx
dx
2
dx d
2
1 Sen x
f ´(x)
2
( x 2n 1)
1 Sen x Cosx 2
1 Sen x
x
2 x3 (1 x 6 ) 6 x2 2 x3 6 x5 dx 1 x 6 (1 x6 )2 b) f ´(x) 4 x6
1
6 2
(1 x )
4 x 6
(1 x 6 )2 1 2 x6 x12 4 x6
6 x2 ( x6 1) 6
(1 x ) ( x
6
1)
2
1 . 1
d dx
2
( x2 n 1) ( x 2 n 1)
d dx
( x2 n 1)
4n
2 x2 n 1 x4 n 2 x 2 n 1 ( x 2n 1)2
4 x 2n ( x 2n 1)2
2nx2n 1( x2n 1 x2n 1) 2 x n ( x 2n 1)
2nxn 1 x 2n 1
.
(1 x 6 ) x12 2 x6 1
1 x 6
x
2n
( x 2n 1)2
(1 x )
6 x 2 6 x8
2n
( x 2n 1) 2nx2 n1 ( x2 n 1) 2nx2 n1
6 2
6 x 2 6 x8 12 x8
x
( x 2n 1)2
.
d
1
1 u 2 ( x)
d x 2n 1 dx x 2 n 1
x 2n 1 1 2n x 1
2
(u( x) )
Solución
1 Sen x 1
( ArcCosu ( x))
f ( x) ArcCos
1 d
dx
Ejemplo Hallar la derivada de la siguiente función:
2
2
.
d
Solución
a) f ´(x)
1 x 6
Teorema La función ArcCosu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
3
1 x 6
6 x 2
;
1 Sen2 x
b) f ( x ) ArcSen
f ´(x)
6 x 2 ( x6 1) 6
(1 x )( x
6
1)
Sign( x6 1)
1, x6 1 0 2 6 x 0, x6 1 0 6 1 x 6 1, x 1 0 6 x2 , x (; 1) (1; ) 6 1 x 0, x 1, x 1 . 2 6 x , x (1;1) 1 x6
Teorema La función ArcTanu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
(u( x) ) ( ArcTanu ( x)) dx 2 . dx 1 u ( x) d
Ejemplo Hallar la derivada de la siguiente función: f ( x ) ArcTan
1 x 1 x
.
Como x< 1, entonces la derivada buscada es JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
138
Solución
Teorema La función ArcCotu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
1 x dx 1 x d 1 x 1 x 2 dx 1 x 1 x f ´(x) 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x d
(1 x)
d dx
(1 x) (1 x)
2
1 x
d
(u( x) ) . ( ArcCotu ( x)) dx 2 dx 1 u ( x) d
d dx
Teorema La función ArcSecu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
(1 x)
(1 x)2
d
1 x 2
d dx
1 x
1 x (1 x) (1) (1 x) 1 1 x 2(1 x)2 2 1 x
2 1 x 1
2 1 x2
2 u ( x) 1
u ( x)
d d
(u( x) )
.
Teorema La función ArcCscu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
1 x
2 1 x 2(1 x)2
dx
( ArcSecu ( x))
1
dx
2 1 x 1 x
dx
( ArcCscu ( x))
(u( x) ) 2 u ( x) 1
u ( x)
.
.
3.7.1 Tarea 1) Determine la derivada de las siguientes funciones: 1 1 a) f ( x ) (x 4 1) ArcTanx2 x 2 ; 4 4 c) f ( x ) e) f ( x)
2 4 AC B 2 Cos2 x 15
4 Sen2 x
g) f ( x ) xArcCos
ArcTan
4 15
x x 1
2 Ax B 4 AC B 2
ArcSen x
4 Sen2 x
ArcTan
x2 2x
( x 1)2
1
ArcSen
x 1
;
1 1 d) f ( x ) ( x 2 1) ArcTanx x ; 2 2
;
4Sen2 x 1
b) f ( x)
;
x;
f) f ( x) xArcSenx 1 x 2 ; h) f ( x) Cos(2 ArcCosx) ; x
i) f ( x) x( ArcSenx )2 2x 2 1 x 2 ArcSenx ;
j) f ( x) 2 x 3ArcTanx
k) f (x) 3ArcSenx (5x 2 x 3 ) 1 x 2 ;
l) f (x) e x 1 ArcTan e x 1 ;
1 m) f ( x ) 3x 4 ArcSen ( x2 2) x2 1 ;
n) f ( x) ArcSen(Senx Cosx) ;
o) f ( x) ( ArcSenx)2 2x 1 x 2 ArcSenx x 2 ;
p) f ( x ) ArcTan x 1 x 2 ;
q) f ( x) (2x 2 1) ArcSenx x 1 x 2 ;
r) f ( x) (x 1) ArcTan x x ;
1 x2
;
x
s) f ( x) x a b a ArcTan
xa ba
;
t) f ( x )
1 2
2 3 Senx ;
ArcSen
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
u) f ( x)
139 2 x 1
x2 2x 2
2ArcTan( x 1) ;
v) f ( x )
( x 2 1) ArcTanx
2
x
x.
2) Un avión vuela a una altura constante de 5 kilómetros y a una velocidad de 500 kilómetros por hora y se aleja de un observador en tierra. Calcule la rapidez con la que varía el ángulo de elevación cuando la aeronave vuela sobre un punto en tierra que se encuentra a 2 kilómetros del observador.
6) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierda para las funciones en los puntos de discontinuidad: ArcTan 1 x , x 1 1 x a) f ( x) ; , x 1 2
3) Determine los valores de A y B con los que la función, es por todo lugar continua, es por todo lugar derivable:
ArcTan 1 , x0 x b) f ( x ) ; , x 0 ArcTan 1 , x 0 x c) f ( x) . , x 0 2
Ax3 Bx, f ( x ) 1 1 ArcSen , x
x
2
x
2
.
4) Determine los valores de A y B con los que la función tiene derivadas: en el punto x = 1, en el punto x = -1:
ArcTanAx, f ( x) x 1 BSign( x) 2 ,
x
1
x
1
.
5) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierda para las funciones en los puntos indicados: a) f ( x ) ArcCos
1 x
, x = -1, x = 1;
b) f ( x) ArcSen(Senx ) , x
(2k 1) 2
7) Sea f ( x), x R una función en todos los puntos derivable. Hallar g ´( x) si g ( x) f ( ArcSenf (x )) , f ( x ) 1 . 8) Un faro buscador se encuentra a 1/8 de kilómetro del punto más cercano P de una carretera recta y apunta a un automóvil que viaja sobre la carretera a 50 kilómetros por hora. Calcule la rapidez de giro del haz de luz cuando el automóvil se encuentra a ¼ de kilómetro de P .
, x Z.
3.8 Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas Sea a un número real positivo. El símbolo a representa el propio a. Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces a significa an multiplicado por sí mismo n veces. Adoptaremos la convención que a0 = 1. Si n es nuevamente un entero positivo, hay un número positivo solamente que satisface bn = a. Este número b es 1
denominado por a n y se llama la n-ésima raíz de a. Cada fracción se puede escribir en la forma
m n
n es un entero positivo. El símbolo a n designa la nésima potencia de a elevada a la n-ésima potencia. Es
1 decir a n a n . m
El logaritmo del número b en el sistema de base a se designa por logab. Por la misma definición aloga b b . De la definición del logaritmo se desprende que pq aloga paloga q
donde
m
m
Definición Sean a > 0 y a 1. El número k se llama logaritmo del número b > 0 en el sistema de base a si ak = b.
aloga p loga q
y por eso loga ( pq) loga p loga q .
Análogamente
pk aloga p
k
ak loga p
y, por consiguiente loga p k k loga p . JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
140
Sean a > 1 y p < q. Si hubiera sido loga p tonces a
loga p
logaq, en-
aloga q
es decir, p q. La desigualdad obtenida contradice lo que p < q. Por consiguiente, debe ser loga p loga q . De las propiedades de los logaritmos resulta que loga
p q
loga p loga q .
Sean a > 0, b > 0, a = 1, b = 1, c > 0. Por definición del logaritmo C aloga c y por eso logb c loga c logb a
loga c
logb c logb a
Con a > 1 la función logarítmica estrictamente crece y la tasa de crecimiento para x > 1 es lenta, con 0 < a < 1 estrictamente decrece y la tasa de decrecimiento para x > 1 es lenta. Si a > 1, entonces, cuando x tiende a 0, la función decrece rápidamente. Si 0 < a < 1, entonces, cuando x tiende a 0, la función crece rápidamente. Si a > 1, la función es negativa para 0 < x < 1 y positiva para x > 1. Si 0 < a < 1, la función es positiva para 0 < x < 1 y negativa para x > 1. Los gráficos de las funciones f ( x) = a x, x R y f (x ) loga x , x (0; +) son simétricos entre sí con relación a la recta f ( x) = x. Sea a 1 un número positivo. Decimos que y es el logaritmo de x en base a si a y = x. Es decir loga x y .
y se denomina fórmula de paso a otra base. La fórmula obtenida permite encontrar los logaritmos de los números en el sistema de base a, si se conocen los logaritmos de base b. De esta fórmula, en particular, se desprende que loga b
1 logb a
.
Sea b un número positivo. El logaritmo natural de b es loge b ln b . Nótese que lnb solamente se calcula para valores de b entre 1 y 10. Ahora mostraremos cómo calcular loga b en términos de lnb para una base diferente a e. Sean b y a números positivos, a 1. Entonces ln b ln a
loga b .
Sea x un número positivo. El logaritmo natural de x es loge x ln x . Nótese que ln x solamente se calcula para valores de x entre 1 y 10.
Sea b un número real. La función g ( x) = kxb ( x > 0) se llama función potencial. Definición Una función de la forma h( x) = ka x (a > 0, a 1) se llama función exponencial con base a, y la curva correspondiente se conoce como curva exponencial.
Sea a el número positivo dado, a 1. La función ex ponencial f ( x) = a x está definida en R, el intervalo (0; +) es el conjunto de sus valores. Con a > 1 la función estrictamente crece, con 0 < a < 1, estrictamente decrece, los valores negativos de x producen valores positivos de f ( x). La función exponencial f ( x) = a x, x R es inversible. La función inversa recibe el nombre de logarítmica y se designa con f ( x) = loga x, ella está definida en el intervalo (0; +), el conjunto R es el conjunto de sus valores.
Sean x y a números positivos, a ln x ln a
1. Entonces
loga x .
Sea a un número positivo. Entonces, a x ex lna para cada número real x. Una función y = a x, donde a es un número fijo tal, que a > 0 y a 1, se denomina función exponencial. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
141
La función exponencial posee las siguientes características: a) El dominio es (-; +); b) El codominio es (0; +); c) La función está acotada inferiormente: y > 0; d) La función no toma el valor máximo ni tampoco el mínimo; e) La función no es periódica; f) La función no es par ni tampoco impar; x g) Si a > 1, la función y = a crece en todo el dominio; si 0 < a < 1, la función y = a x decrece en todo el dominio; h) El punto (0, 1) es el único punto de intersección con los ejes coordenados. Una función f (x ) loga x , donde a es un número fijo tal, que a > 0 y a 1, se denomina función logarítmica. La función logarítmica posee las siguientes características: a) El dominio es (0; +); b) El codominio es (-; +); c) La función no está acotada ni superior ni inferiormente; d) La función no toma el valor máximo ni tampoco el mínimo; e) La función no es periódica; f) La función no es par ni tampoco impar; g) Si a > 1, la función f (x ) loga x crece en todo el dominio; si 0 < a < 1, la función f (x ) loga x decrece en todo el dominio; h) El punto (1, 0) es el único punto de intersección con los ejes coordenados. La definición geométrica de logaritmo nos conduce directamente a su derivada: Teorema La función au( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d dx
(au ( x) ) au ( x) ln a
d dx
(u ( x )) .
a) f ( x ) e 1 x ;
b) f ( x ) e
ln( x 2 x 1)
.
Solución a) f ´(x) e
1 x 1 x
d 1 x e dx 1 x
1 x 1 x
e
1 x
(1 x) 2
1 x 1 dx x 1 x 2 1 x d
1 x
2 1 x
e
1 x
1 x 1 x
e
b) f ´(x ) e
1 (1 x) 1 x
ln( x 2 x 1)
dx d
d
e
ln( x
1 x
2 (1 x) 2 1 x 2 1 x
2
x1) dx
.
ln( x 2 x 1)
(ln( x 2 x 1))
d
e
2
2 ln( x 2 x 1)
ln( x 2 x 1)
2
( x x 1) dx 2 x x 1 2 ln( x 2 x 1)
2 x 1 2
e
ln( x
x1)
e
ln( x 2 x 1)
2
x 1 2 ln( x 2 x 1) 2x 1 x
2( x 2 x 1) ln( x2 x 1)
.
Teorema La función logau( x)) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d (u( x) ) d (log a u( x )) dx . dx u ( x)ln a Ejemplo Hallar la derivada de la función:
x 4 1 x2
x 4 1 x2
f ( x ) ln
Ejemplo Hallar la derivada de la función: 1 x
(1 x) (1) (1 x) 1
1 x
.
Solución Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificamos esta expresión: f ( x ) ln
ln
x 4 1 x2 x 4 1 x 2
x
4
1 x2 ln
x4 1 x 2 .
Derivamos la nueva expresión:
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
142
x f ´(x) dx d
4
dxd
1 x2
x4 1 x2
d dx
x
4
1 x
3 4 x 4 2 x 1
2
2 x
x
2x
x
4 2 x 1
x4
1
x 4 1
2x
2 4 2 x( x x 1)
x4 1
2 x
x 4 1
2x x4 1
x
4
4x x4 1
.
d dx
(v (x )) .
x
.
x x ln x . Derivando esta expresión,
f ( x )
x x
d dx
(ln x) ln x
d dx
x
x 1
x x x ln2 x x x ln x x x 1(1 x ln2 x x ln x) . Por tanto x
f ´( x) x x x x 1(1 x ln 2 x x ln x ) x 1
.
dV
5.5e R(T )
dR dT (T 237)(17.5) 17.5T
(T 237) 2
5.5e R(T )
17.5(237) (T 237) 2
.
Cuando T = 22, R(22) = 1,486 y por lo tanto dV dT
5,5 e1.486
17,5(237) (22 237)2
1,5
unidades de agua por grado.
x x ln x ( x x ln x 1 x x x 1 1)
x
dT
(x x )
1
x x
dV
Aplicando la regla de la cadena,
ln x 2
obtenemos f ´(x )
La rapidez de evaporación del agua se da por
5.5e R(T )
Solución a) Aplicamos logaritmos a ambos lados de la función ln f ( x) ln x x
Ejemplo Se afirma que para los pinos de un determinado bosque, la medida de la evaporación del agua V como una función de la temperatura T del aire que los rodea se expresa por la función V (T ) = 5.5e R(T ), donde 17.5T . R(T ) T 237 ¿Cuál es la rapidez de evaporación cuando la temperatura del aire es 22°C? Solución
dT
dx
(1 3x )
1 3 x ln(1 3x ) 3x ln x ln3 . (1 3 x )ln x 1 x
x 4 1 x2
1 3 x
d
x
Ejemplo Hallar la derivada de la función: b) f ( x )
(ln x )
(1 3 x )ln x ln(1 3x ) ln x (1 3 x )ln x 1 3x ln3 1
1
u( x)v( x) ln u( x)
x
dx
1
x4 1)
d
ln x (1 3 x )ln x 1
Teorema La función compuesta u( x)v( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d v( x ) v (x )1 d (u (x)) (u( x) ) v( x)u (x) dx dx
a) f ( x ) x x ;
(1 3x )ln x .
f ´( x ) (1 3 x )ln x ln(1 3x )
x4 1
ln x2 ) 2
Derivando esta expresión, obtenemos 2
x 4 1 x2 2
ln x2
2x
2x
2 x( x
1 3
(1 3
x4 1
x4 1 x 2
3
x
x
1 x2
x 4 1 x2
f ( x )
2x
1 x
3
2 x
4
4
4x
x4 1 x 2 3
x4 1
2
b) Esta función se puede expresar como
x4 1 x2
( x4 1)
dx
2 x
x 4 1
2
d
( x 4 1)
x 4 1 x2
( x ln 2 x ln exx ) .
Ejemplo Un lago se contaminó con una sustancia química. La acción natural de las bacterias hace que el nivel de este químico disminuya con una rapidez proporcional a la cantidad actual en el lago. Se requieren 5 años para que las bacterias desintegren únicamente el 5% del químico. No es posible volver a tener peces en el lago hasta que el nivel del químico sea menor de 10% del nivel actual. ¿Cuándo volverá el lago a ser habitable para los peces?
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
143
Por consiguiente, el modelo puede reescribirse como Q(t ) = Q0(0,99)t . El lago es habitable para los peces cuando Q(t ) = 0,1Q0 Q0(0,99)t = 0,1Q0 Q0(0,99)t = 0,1 ln[(0,99)t ] = ln(0,1) t ln(0,99) = ln(0,1) t = 229 años. Por tanto, los peces pueden regresar con seguridad al lago después de 229 años.
Solución Sea Q(t ) la cantidad de químico en el lago, t años a partir de ahora, y sea Q(0) = Q0 el nivel actual de químico.
Puesto que la rapidez de decremento es
dQ dt
kQ(t ) , se
tiene como modelo Q(t ) = Q0ekt . 5 Después de 5 años, Q(5) = Q0e k = 0,95Q0. Por tanto, Q0e5k = 0,95Q0 e5k = 0,95 ek = 0,99.
3.8.1 Tarea 1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: b) f ( x) ln(Cosx 2) ln(Cosx 1) ;
a) f ( x) xArcTanx ln 1 x 2 ;
d) f ( x ) x ln x 1 x 2 1 x 2 ;
f) f ( x) x ln x 1 x 2 1 x 2 ;
e) f ( x ) ln e x 1 e 2 x ; g) f ( x) x(Sen ln x Cos ln x ) ;
x 1 1 1 ; x 1 x 1 x 1 x
l)
ArcSenx x ; 1 1 x2 x Cosx (Cosx )Senx ; q) f ( x) (Senx )
u) f ( x) Sen2x
1 2
Sen x
r) f ( x) CotxCscx ln
;
t) f ( x)
1 a 2 b2
x2 1
;
x2 1 ;
x) f ( x) ln Csc x
;
x y) f ( x) x ln(x 2 x ) ln(x 1) 2x ;
1 Cosx 1 Cosx
;
a b x ab
ln
v) f ( x) (2x 1)ln
ln Sen4x ;
1
w) f ( x ) x 2 1 ln
Sen3x
1 x 2
p) f (x) x e x ArcTanex ln 1 e2x ;
o) f ( x ) ln
1
x
n) f ( x) x ln 1 x 2 x ArcTanx ;
ln x ln 1 x 2 ;
s) f ( x ) ln(Sec3x Tan3x)
f ( x) xArcSecx ln x
j) f ( x) ln x 1 x 2 ArcTan
k) f ( x) ln
ArcTanx
h) f ( x) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 ;
i) f ( x) xArcSenx ln x x 2 1 ;
m) f ( x )
( x 1)2 x 2 1 2ArcTanx ;
c) f ( x ) ln
a b
x
x
ab
1 x
;
x2 x ;
Cot x ; 4 4
z) f ( x) 1 4ln x ln 2 x 2ArcSen
2 ln x 5
.
2) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 2 x 1 ; a) f (x ) ln(x 1)3 ln( x 2 x 1)3 4 3ArcTan 3 b) f ( x )
2 3
3e2 x 6e x 1
3
1
ln e x 1 e 2 x 2e x
1
;
3
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
144
5 3 1 5 5 5 x x x 1 x 2 ln x 1 x 2 ; 6 16 16 24 x 3 ln(x 2 2x 2)2 ArcTan(x 1) ; d) f (x) x 2 x 2x 2 3 x 17 15 2 e) f ( x ) ln 4 5 x x ArcTan( x 2) ; 2 2( x 2 4 x 5)
c) f ( x)
f) f ( x ) (x 1) x 2 2x 5 ln x 1 x 2 2x 5 g) f ( x )
x x 2
4( x 1)( x
2
h) f ( x ) ln( x 1) i)
1)
ln
4
x 1 ln x 2 1
x 2
3( x
2
5
x 1) 3 3
ArcTan
1 4
4
;
ArcTanx ;
2x 1 3
ln
x2 x 1 ; 2
f ( x) 2(2 x 1)(8x 2 8x 17) x 2 x 1 ln 2x 1 2 x 2 x 1 ;
j) f ( x) x ln 2 x x 2 1 2 x2 1ln x x 2 1 2x ; k) f ( x ) ArcTan
Tanx 2
2 Tan x
ln
2 Tan2 x
Tanx ;
x 1 1 2 2 ArcTan 2 x 1 1 ; l) f ( x ) ln 3 x 2 x 1 3 x2 2x 4 1 1 2 x2 4x 8 m) f ( x ) ln ArcTan ; x2 2x 4 1 2 x 1 x 1 Cos 4 x 2 2 ArcTan Cos ln n) f ( x ) ; 2 x x Cos 1 Cos 2 2 o) f ( x) ln
( x 1)2 ( x2 x 1) 2
( x 1) ( x
2
x 1)
3ArcTan
x 3
1 x2
;
2Senx 1 5 1 p) f ( x ) ln(Senx Cos2 x) ln ; 5 2Senx 1 5 q) f ( x) ln x 2 2x 2
x x
2
2x 2
2 ArcTan( x 1) ;
r) f (x) (1 x 2 )( ArcTanx)2 2xArcTanx ln x 2 1 ;
s) f ( x ) ln
x 1 1 x
1 x ; 2 ArcTan 1 x x 1 1 x
x x x x 3 t) f ( x ) Tan2 Tan3 Tan ln Cos3 x ; 2 3 3 3 3 3 3 Tanx 1 ArcTan 2Tanx 1 . u) f ( x ) ln 6 Tan2 x Tanx 1 3 3
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
145
3) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
b) f ( x) ln( x 2 ln x ) ;
a) f ( x ) 1 x 2 ArcTanx ln x 1 x2 ;
c) f (x) x ln x x e) f ( x) ln
2x 2
( x 4 1)2 8
x
4
x 1
x
2ln 1
2 x4 1 5 ; 5 2x4 1 5
2
4 x 4 1 1 2ArcTan 4 x 4 1 ; g) f ( x ) ln 4 x4 1 1
h) f ( x ) ln ArcCos
1 2
Cot x 2
2 ln Tan
x 2
1 1 ; e x 1 1 2 2 x 2 x 1 ln x x 2 1 ; q) f ( x ) ln 2 2 2 2 x 2 x 1 1 x Cota ln 1 xCosa ; s) f ( x ) ln 1 xCosa Sena 1 x
x
a ln x
u) f ( x) 2x ln 2x 4x 2 1 4x 2 1 ; w) f ( x) x 2 a 2 x 4
2
2
a2
x4 ;
4) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 1 x a) f ( x ) x3 ln ln(1 x 2 ) x 2 ; 1 x 1 c) f ( x ) e ArcTanx ln 2 (1 x 2 ) ArcTanx ; 4 2
1
3
e) f ( x) ln(1 4x ) ( ArcTan2x ) 2 ; 8 3 g) f ( x) ln( x 2 4x 5)3 8 ArcTan(x 2) ;
2 ln x x
2xlog x ee1ln x e ; x x k) f ( x) Tan2 ln Cos2 ; 2 4 2 4 i) f ( x )
m) f (x ) x ln 1 e 2 x e x ArcCote x ;
2
x;
r) f (x) ln Sen xTan x x ;
t) f ( x ) ln Senx Sen2 x 1 ; 1
;
x x) f ( x) log(log(log(log Senx))) ;
z) f ( x )
ArcTanx x
b) f ( x ) ln
x
ln
x2 a x 4 b2
1 x 2
a b
.
ArcTan
x2
;
b
d) f ( x) e x ArcTanex ln 1 e 2x ; f) f ( x) lnTan3
x
2
2Cosx 4
Sen x
3Cosx Sen2 x
;
1 1 h) f ( x ) x 2 1 ln 1 2 ; x
2 1 log x e
1
p) f ( x ) (x 1)ln x 1
v) f ( x ) Sen ln x Cos ln x ln
1 1 1 y) f ( x ) ln(1 x 2 ) ln(1 x 4 ) ; 2 4 2(1 x 2 )
1
x;
n) f ( x) ln x 1 x 2 ;
e
1 Tanx
m) f ( x ) ln Cosx 2 Cos2 x 4Cosx 1 ; o) f ( x ) 2 e x 1 ln
1 Tanx
l) f ( x ) ln
; 2
; x
1
j) f ( x) ln(1 Cotx) Cotx ;
i) f ( x) ln Tanx 2 Tan2x 4Tanx 1 ; k) f ( x ) x
f) f (x) x 1 ln 1 x 1 ;
ln
d) f ( x) ln Tanx Tan2x 2 ;
x ;
j) f (x) ln l) f ( x )
1 2
x
2Senx 1 2Senx 1 ;
Tan2Senx ln Cos(Senx) ; x
n) f ( x ) lnTan Cosx ln tan x ; 2 JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
146 x
x
x
x
p) f ( x) = 3Sen( xe - e ) - Sen( xe + e ).
2
x 2 4 x o) f ( x ) ln ArcTan ; 2 x 2 3 3 1
5) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
1 x
1 ; 2 x
1
a) f ( x) ln
b) f (x) ArcSenSen 2x 2
2 3 x c) f ( x ) ln ; 2 6 2 3 x 1
e) f ( x )
x
2
d) f ( x )
x e2 x
1
x
h) f (x) ln
x
e
1
;
e) f ( x) (1 ln Cosx) Secx ;
g) f ( x ) x ArcSenx ;
h) f ( x )
m) f (x) ArcCos 1 2 x ;
dx
ArcTan
y x
x
x
x
e
n) f ( x ) ln
xy xy
ln
(x ln x x 1) ;
( x 1)( x 3)3 ( x 2)3 ( x 4)
f ( x)
c) f ( x) log2 log3 log5 x ;
f) f ( x ) ln
1 Senx 1 Senx
;
i) f ( x) x 2e x ln x ;
l) f ( x )
2 x ( x 1)3 ( x 1)2 2 x 1
;
.
x2 y2 .
a) f ( x )
x 1
1 x
, f ( x) g ( x) 0;
a)
h( x) ln
b)
h( x) ( f ( x )) g ( x ) , f ( x) > 0.
g ( x)
Cosx
10) Hallar las derivadas derecha e izquierda en el punto x = 0, para las funciones:
.
9) Sean f ( x) y g ( x), x R, funciones derivables por todo lugar. Hallar h´( x) si: f ( x )
2Cosx Cos2x ;
sí
8) Resuelva la ecuación f ´( x) = 0 si e
2
k) f ( x) Tan2x ln Cos2 x ;
j) f ( x) log32 (2x 3)2 ;
Cos x
d) f ( x ) ln ln ln x 2 ;
dy
;
j) f ( x ) ln
6) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) ln Senx ; Senx b) f ( x ) lnTan ; 2 4
7) Demuestre que
Sen4 x 1
2 x 3 2x 5 ; x 2 ( x 2)( x 3) 1 senx Senx ln l) f ( x) . 2
1 ;
x
e
k) f ( x ) ArcTane 2 ln
ln
Sen4 x
e2 x
ArcTan
Sen4 x 1
;
f) f ( x ) ln 3x 2 9x 4 1 ;
Sen ln x Cos ln x ;
g) f ( x) e x 1 e 2 x ArcSene x ; i) f ( x )
1
ArcTanx
x, x 0 ; 3 4 x x x ln , 0 2 x, x 0 ; b) f ( x ) 5 ln(1 x7 ), x 0 1 x 1 e , x 0 c) f ( x ) . 1 x4 , x 0
11) Para las funciones derivables, prefijadas implícitamente, calcular y´(a): e y
xy e , y > 0, a = 0; 2 b) xy ln y 1 , y < e , a = 0. a)
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
147
12) Determine los valores de A y B con los que la función es por todo lugar derivable: Bx
( x A)e , 2 Ax Bx 1, 13)
x0 x0
.
La masa m(t ) de una sustancia radiactiva varía t0 T
según la ley m m0 2 T , donde t es el tiempo, m0 la masa en el momento de tiempo t 0, T , el período de semidesintegración. Demuestre que la velocidad de desintegración de la sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia. Halle el coeficiente de proporcionalidad. 14)
Una sustancia radiactiva decrece de acuerdo con
la fórmula q(t ) q0ect , donde q0 es la cantidad inicial de la sustancia, c es una constante positiva y q(t ) es la cantidad restante cuando han transcurrido t unidades de tiempo. Demuestre que la rapidez con la que la sustancia decrece es proporcional a q(t ). 15) La corriente I (t ) al tiempo t en un circuito eléctri Rt
co está dada por I (t ) I 0e L , donde R es la resistencia, L la inductancia e I 0 la corriente al tiempo t = 0. Demuestre que la rapidez de variación de la corriente en cualquier tiempo t es proporcional a I (t ). 16) Un rayo de luz de intensidad k se dirige verticalmente hacia abajo a través del agua, entonces su intensidad I ( x) a una profundidad de x metros es I ( x) ke1.4x :
a) ¿Cuál es la razón o tasa de cambio de la intensidad con respecto a la profundidad a 1 metro? b) ¿A qué profundidad el valor de la intensidad es la mitad del valor en la superficie? 17) La rapidez R con la que un tumor crece está rela-
cionada con su tamaño x por la ecuación R r x ln
K x
,
donde r y K son constantes positivas. Demuestre que el tumor crece más rápidamente cuando x e1K . 18) En un experimento simple de doble selección, los animales tienen en principio un 35% de posibilidad de elegir correctamente. Después, esa probabilidad mejora al aprender de experiencias pasadas. Supóngase que la probabilidad de que un cerdo elija correctamente, t horas después de de aprendizaje, es 1 t C (t ) 1 (0.95) . Después de t horas de efectuar el 3 mismo experimento, la probabilidad de que una rata
1
elija correctamente es R(t ) 1 (0.90)t : 3
a) Comparar C´(0) y R´(0) a fin de determinar cuál de los dos animales aprende más rápido en un princi pio; b) Confrontar C (20) y R(20) para determinar sus comportamientos después de 20 intentos. Aplicar C´ (20) y R´ (20) para comparar la rapidez de aprendizaje de los dos animales después de 20 intentos; c) Trazar las gráficas de C (t ) y R (t ) sobre los mismos ejes coordenados. t 19) La función C (t ) = 0,5(0,8) representa la concentración de alcohol en la sangre, t horas después de que se inicia el monitoreo. a) ¿Cuál es el nivel inicial de alcohol en la sangre?; b) ¿Cuándo la concentración baja de 0,01 miligramo por mililitro?; c) Determinar la rapidez a la que la concentración está cambiando en los tiempos t = 3 y t = 6; d) Trazar la gráfica de la función C (t ).
20) Muebles de oficina valuados inicialmente en $ 3000 se deprecian un 15% por año: a) Determinar un modelo para el valor V (t ) de los muebles después de t años; b) ¿Cuál es el valor de los muebles después de 5 años?; c) Evaluar V´ (5) e interprete su resultado; d) ¿Cuál es el gasto real de depreciación, V (5) – V (6), durante el sexto año? 21) El número de litros de una gaseosa que consume un comprador es una función del precio por litro p y
está dada por la función D( p ) 75000 e
25 p 4
:
a) Encuentre el punto de elasticidad de la demanda para un precio de $ 0,50; b) Suponga que el precio por cuarto se ha rebajado a $ 0,45. Use E (0,50) para estimar el porcentaje de cam bio en la elasticidad demandada. 22) En una ciudad A se instalaron 10000 teléfonos el año 1997, y el número de instalaciones aumenta en un 2% cada año: a) ¿Cuántos teléfonos se instalarán dentro de 15 años?; b) Determinar la rapidez instantánea de cambio en el número de teléfonos instalados por año, dentro de 15 años; c) Determinar el cambio real en el número de instalaciones, del año 15 al año 16.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
148
3.9 Derivación de funciones hiperbólicas A causa de la semejanza que existe entre la circunferencia y la hipérbola, se plantea la cuestión de si habrá un conjunto de magnitudes o funciones que se correspondan con la hipérbola de la misma manera que las funciones circulares se corresponden con la circunferencia. Esas funciones existen y se denominan funciones hiper bólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola. El seno hiperbólico se define en R de la siguiente manera: f ( x )
1 2
x
(e
dx
x Senhx
Senh x
;
b) f ( x) (Coshx)Senhx .
Solución a) f ´(x)
Senh2 x 2 (Coshx 2 )´Coshx2 (Senh 2 x 2 )´ Senh4 x 2
Senh2 x 2 2 xSenhx2 Coshx2 4xSenhx 2Coshx2 Senh4 x 2
2 xSenh2 x2 4 xCosh2 x2 Senh3 x2
b) f ´(x )
d dx
(Coshx)Senhx1(Senh2x Cosh2x ln Coshx) (Coshx)Senhx 1(Coshx ln eCoshx 1) . La tangente hiperbólica se define en R, de la siguiente manera:
(3 Senhx)Coshx (Senhx 1)Coshx
2 (4 2Senhx)Coshx 2
d
(2 Senhx)Coshx .
( x Senhx)(1 Coshx) (x Senhx)(1 Coshx ) ( x Senhx)2 2 xCoshx 2Senhx
( x Senhx)2
.
El coseno hiperbólico se define en R, con la fórmula: 2
x
(e
e )
dx
(Coshu( x)) Senhu( x)
d dx
(u ( x)) .
d dx
(u ( x )) .
Ejemplo Hallar la derivada de la función 2 4
ln
1 2Tanhx 1 2Tanhx
.
Solución Aplicando las propiedades de los logaritmos, esta función se puede expresar de la siguiente manera: f ( x ) Tanhx
x
Teorema La función Coshu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
dx
(Tanhu( x)) Sech2u( x)
f ( x ) Tanhx
2( xCoshx Senhx)
e x . x x e e x
e
Teorema La función Tanhu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
2 (3 Senhx Senhx 1) Coshx
f ( x )
.
(Coshx)Senhx ln Coshx Coshx
(u( x )) .
f ( x)
1
Senh3 x2
Senhx (Coshx)Senhx 1 Senhx
.
( x Senhx)2
2 x(1 Cosh2 x2 )
(Coshx)Senhx ln Coshx (Senhx)´
Solución a) f ´(x)
b) f ´( x) Senhx (Coshx)Senhx 1 (Coshx)´
( Senhu( x)) Coshu( x)
x Senhx
2 2
e ) .
Ejemplo Hallar la derivada de la función: (3 Senhx)( Senhx 1) a) f ( x ) ; 2 b) f ( x)
Coshx 2
a) f ( x)
x
Teorema La función Senhu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
Ejemplo Hallar la derivada de la función:
2 4
ln(1 2 Tanhx)
2 4
ln(1 2 Tanhx) .
Derivando esta nueva expresión, obtenemos: d (1 2 Tanhx) 2 dx f ´(x) Sech2 x 4 1 2 Tanhx JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
149 d
2
Sech2 x
2 Sech x 2
2 2 2Sech x
2
1 2Tanh x
f ( x )
2
4 1 2 Tanhx
Sech2 x
2
4 1 2Tanh x
2Sech4 x
2 dx 4 1 2 Tanhx
La Secante hiperbólica se define en R, de la siguiente manera:
2 2 Sech x
4 1 2 Tanhx
Sech2 x
2
(1 2 Tanhx)
2
Sech x
1 2Tanh2 x
d dx
f ( x )
e x . f ( x) x x e e
2
dx
(Cothu ( x)) Csch u ( x )
d dx
d dx
(u( x)) .
La Cosecante hiperbólica se define en R \ 0, de la siguiente manera:
x
d
.
( Sechu( x)) Sechu( x)Tanhu( x)
e
Teorema La función Cothu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
e x e x
Teorema La función Sechu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
.
La Cotangente hiperbólica se define en R / 0, de la siguiente manera:
2
2 x
e
e x
.
Teorema La función Cschu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d dx
(u ( x )) .
(Cschu( x)) Cschu( x)Cothu( x)
d dx
(u ( x)) .
3.9.1 Tarea 1) Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) ln Senhx xCothx ; b) f ( x) xTanhx ln Coshx ;
c) f (x) 4Coshx 2Senhx ;
d) f ( x) x SenhxCoshx ;
f) f ( x) e xCosxCoshx ;
g) f ( x )
x
2
3 ArcTan
e) f (x) xCothx e4 xSenhx ;
Tanh
3
x
2;
1 1 j) f ( x ) Senh3 x Senh5 x ; 3 5 1 x 1 x m) f ( x ) Tanh Tanh3 ; 2 2 6 2
5
2 Coshx h) f ( x) ; 3 Senhx 1 k) f ( x ) x Tanhx Tanh3 x ; 3 1 n) f ( x ) Senhx Senh3 x . 3
2) Calcular la derivada de las siguientes funciones: x b) f ( x) Senh2xCoth2x ; a) f ( x) (Coshx)e ; d) f ( x ) g) f (x )
Senhx
;
1 ln x Senhx Senh2x
Senhx Senh2x j) f ( x) xSenhxCoshx ;
;
Senhx Tanhx m) f ( x) ; Senhx Tanhx
i) f ( x )
Coshx2
x2
Senh2 x
2
ln Coth 2
;
1 l) f ( x ) Cosh3x Coshx ; 3
c) f ( x) xCothx ;
Coshx Tanhx ; e) f ( x) Coshx Tanhx Coshx Cosh2x h) f ( x) ; Coshx Cosh2x k) f ( x) SenhxCosh2x ;
f) f ( x) (Coshx)Senhx ;
Coshx Senhx n) f ( x) ; Coshx Senhx
x Cothx o) f ( x) . x Cothx
i) f ( x)
3 Senhx 1 Coth2 x
;
l) f (x) Coshx ;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
150
3.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas Las funciones hiperbólicas inversas se establecen como sigue: La inversa de f ( x) = Senhx, se da de la siguiente manera: f ( x )
1 2
x
e )
x
(e
x ln y
y
2
1
de donde
2
AreaSenhx ln x
x
Ejemplo Hallar la derivada de la función: AreaTanhx ; a) f ( x) 1 x2 b) f ( x )
1 , - < x < +.
d dx
( AreaSenhu( x))
dx
a) f ´(x )
1 2
(e x e x )
1 u 2 ( x)
x ln y
x2
.
y2 1
1 , x 1.
( AreaCoshx > 0 es valor principal) Teorema La función AreaCoshu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
(u( x) ) . ( AreaCoshu( x)) dx 2 dx u ( x) 1 d
La inversa de f ( x) = Tanhx, se establece de la siguiente manera: f ( x)
e x x x e e x
e
x
1 y 2 1 y
1
ln
de donde AreaTanhx
1 x , -1 < x < 1. 2 1 x
1
2.
d
(u( x) ) dx ( AreaTanhu( x)) . dx 1 u 2 ( x)
(1 x 2 )2 1
AreaTanhx (2 x) 1 x 2 (1 x 2 )2
1 2 x AreaTanhx (1 x 2 )2
.
Tanh x 2 dx 3 1 b) f ´( x) 3 d
2
Tanh
2 x
2 3 1 x Sech2 2 2 2 x Sech 1 1 3 3 2 3 x x 2 2 2 2 3 Tanh2 Tanh 2 2 1 3 3 Tanh2 x 3Sech2 x 1 2 2 x 2 3 Tanh2 2 1
2 Sech2 x 3Sech2 x 2 2 x 2 3 Tanh2 2 1
1 2Sech2
3 Tanh
ln
Teorema La función AreaTanhu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
3
x
(1 x 2 ) ( AreaTanhx)´ AreaTanhx (1 x2 )´
de donde AreaCoshx ln x
3 ArcTan
(1 x 2 )
(u( x) )
La inversa de f ( x) = Coshx, se establece de la siguiente manera: f ( x )
2
Tanh
Solución
Teorema La función AreaSenhu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
x
x
2. x 2 2
La inversa de f ( x) = Cothx, se establece de la siguiente manera: f ( x)
e x x x e e x
e
x
y 1 2 y 1
1
ln
de donde AreaCothx
x 1 , x > 1 ó x < -1. 2 x 1
1
ln
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
151
Teorema La función AreaCothu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como
AreaSechx
x 2 1 x 1 x2 ( AreaSechx) 2
d
(u( x) ) ( AreaCothu( x)) dx 2 . dx 1 u ( x)
x 1 x 2 AreaSechx
d
x ln 1 12 1 y y
2 x
e
e
x
de donde
1 x
1
AreaSechx ln
x
2
1 , 0 < x 1
( AreaSechx > 0 es valor principal)
d dx
( AreaSechu( x))
dx
( AreaSechx)2 x 1 x 2 AreaSechx x 2x
2
x2 1AreaCoshx
4
x 1( AreaSechx)
2
.
La inversa de f ( x) = AreaCschx, se establece de la siguiente manera: f ( x )
2 x
e
e
x
1 1 2 1 y y
x ln
de donde
Teorema La función AreaSechu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d
x2 1AreaCoshx
x 1 x 2 x2 1
La inversa de f ( x) = Sechx, se establece de la siguiente manera: f ( x )
AreaCoshx
(u( x) )
u ( x) 1 u 2 ( x )
.
Ejemplo Hallar la derivada de la función
1 x
AreaCschx ln
1 x
2
1 , x 0.
Teorema La función AreaCschu( x) es derivable en todo su dominio, y su derivada se expresa como d (u( x) ) d dx ( AreaCschu( x)) . dx u ( x) 1 u 2 ( x )
AreaCoshx f ( x ) . AreaSechx
Solución AreaSechx f ´(x )
1 x 2 1
AreaCoshx
1 x 1 x2
( AreaSechx)2
3.10.1 Tarea 1) Derivar las siguientes funciones: a) f (x ) 4 AreaSenhx 2AreaCoshx ;
b) f ( x) xAreaTanhx ;
c) f ( x) x2 AreaSenhx AreaCoshx ;
d) f ( x) AreaSenh(ln x ) ;
e) f (x) AreaSenhx AreaCoshx ;
AreaTanhx
f) f ( x )
AreaCothx AreaSechx
g) f (x ) AreaTanhx AreaCothx ;
h) f ( x )
i) f ( x) e 2x AreaCoshx e x AreaSenhx ; k) f ( x) AreaSenh (ln x) AreaCosh(ln x ) ; m) f ( x )
AreaSenhx x
x AreaCoshx
;
j) f ( x ) l) f ( x )
; ;
AreaCschx 1 AreaSenhx
1 AreaCoshx 1 AreaTanhx
1 AreaCothx AreaSenhx
n) f ( x )
AreaCoshx
; ;
;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
AreaTanhx AreaCothx
o) f ( x )
AreaTanhx q) f (x) AreaSenhxAreaCoshx ;
152
;
x AreaSenhx
p) f ( x )
;
x AreaCoshx r) f ( x) AreaSech(Sechx) ;
s) f ( x) e x ArcSenxAreaSenhx ;
t) f ( x) AreaTanh (Tanhx ) ;
u) f (x) AreaTanhx AreaCothx ;
v) f (x) ArcTanxAreaTanhx .
3.11 Derivación de expresiones dadas paramétricamente Definición Sea que en el conjunto T son dadas dos funciones x = g (t ) e y = h(t ). El conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas con coordenadas ( g (t ), h(t )), t T , recibe el nombre de curva prefijada paramétricamente.
Debemos entender, sin embargo, que puede ser difícil o imposible despejar la segunda variable. Este procedimiento puede conducir a una complicada función del parámetro, a menos que se elija cuidadosa y juiciosamente la función arbitraria del parámetro que se pone en ecuación con la primera variable.
Sean P y Q los conjuntos de los valores de las funciones x = g (t ) e y = h(t ), respectivamente, definidas sobre T . Para cada t T al valor de x = g (t ) contraponemos el valor de y = h(t ). Con ello, puede suceder que al valor x P se ha contrapuesto más de un valor de y Q. Sea dada una regla de acuerdo con la cual, del con junto de los valores de y, contrapuestos del modo indicado más arriba al valor de x, sólo se elige un valor. Las funciones x = g(t ) e y = h(t ), t T , junto con la y = f ( x), x mencionada regla, definen la función P , de la que se dice que está prefijada paramétricamente.
Una representación conveniente debe ser simple y debe dar la curva entera, a menos que se aclare de otro modo. Ningún método de eliminación de un parámetro puede aplicarse igualmente bien a todos los casos. Cualquier método que se usó en álgebra o trigonometría para eliminar una variable puede ser conveniente en ocasiones.
Definición Si x es una función de la variable t , e y es también función de t , se dice entonces que el par de ecuaciones x g (t )
y h(t ) son ecuaciones paramétricas y que t es un par ámetro.
Para construir una curva, dada por sus ecuaciones paramétricas generalmente es útil eliminar el parámetro para obtener una ecuación en términos de x e y, llamada ecuación cartesiana de la curva. Si la función de t es una función trigonométrica, la eliminación de t se facilita mediante el uso de identidades trigonométricas. Podemos obtener una representación paramétrica de una ecuación con dos variables en muchos casos, del siguiente modo: a) Igualando una de las variables a una función arbitraria del parámetro. b) Sustituyendo esta igualdad en la ecuación dada por la variable. c) Despejando la segunda variable en términos del parámetro.
Para obtener la gráfica de una forma paramétrica de la ecuación, asignamos un conjunto de valores al parámetro, calculamos cada valor correspondiente de x y y, localizamos los puntos ( x, y), y trazamos una curva por ellos. Sin embargo, esto puede dar sólo una parte de la gráfica de la ecuación de coordenadas rectangulares obtenida al eliminar el parámetro. Buscamos la derivada de y respecto a x en términos de las derivadas de x e y respecto a t . Emplearemos las designaciones y´( x), ..., x´(t ), y´(t ). Debido a la invariancia de la forma de la primera diferencial. Pero, dy = y´(t )dt , dx = x´(t )dt . Por eso y´(x)
y´(t ) x´(t )
, x´(t ) 0.
Ejemplo Determine la derivada de forma paramétrica: x(t ) 1 t 1 a) b) 2 ;
y(t ) t t 1
las expresiones dadas en
x(t ) y (t )
2
1 t 1 . t
t 2 1
Solución d
(t 1) dt a) x´(t ) (t 1)2
1 (t 1)2
;
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
153
y´(t ) 2
2
t t 1 t
(t 1)
d dt
(t ) t
d
(t 1) dt
y´(t )
(t 1) t 1 t
t 1 (t 1)
2t (t 1)
2
d
b) x´(t )
dt
x´(t )
(t 2 1)
2 t2 1
(t 1)2 1
2t .
2 t2 1
dx
(t 1) (t 1)
d dx
( t 2 1)
t 2 1 t t 2 1
t 2 1 t 1
(t 2 1) t 2 1
.
Aplicando la fórmula para encontrar y´( x), obtenemos:
(t 1) 2
2t
d
t 2 1 (t 1)
2t y´(t )
.
Aplicando la fórmula para encontrar y´( x), obtenemos: y´( x)
t2 1
t 1 t
t 2 1
y´(x)
;
y´(t ) x´(t )
(t
2
2
1)
1
t
t 2
t
t 1 2
t (t
1)
.
1
3.11.1 Tarea 1) Hallar y´( x) para las funciones prefijadas paramétricamente: x Sect x ACost x e t a) c) ; ; ; b) y BSent 3 y Tant y t t ln Sen x e) 2; y ln Sent x 2Cost i) ; y Tan2t
x t 3 3t 1 ; f) y t 3 3t 1 x t ln t ; y t ln(t 1)
g)
x Sen2t ; y Cos2t
k)
x tet ; t y te
d)
x ACosht ; y BSenht
h)
x t Sent ; y t Cost
2et x t 1 ; m) y tet t 1
5at 2 x 1 t 5 ; n) 3 5at y 1 t 5
at 4 x 1 t 3 ; o) at 3 y 1 t 3
x t 2 6t 5 l) t 2 54 ; y t 3at x 1 t 3 ; p) 2 y 3at 1 t 3
t x t 2 1 ; q) 2 y t t 1
t 3 x 2 t 1 ; r) 3 t 2t 2 y t 2 1
t 2 x t 1 ; s) y t t 2 1
2t x 1 t 2 t) . 2 y t 1 t 2
j)
2) Hallar y´( x) para las funciones prefijadas paramétricamente: x t ln t x (t 1)2 (t 2) b) ; ; a) y 1 t ln t 2 y (t 1) (t 3) d)
x a(Cost tSent ) ; y a(Sent tCost )
g)
x t 3 ; y t bArcTant
x t e) 1 3 1 ; y 3 t 4t x (t 1)3 ; h) 2 ( 2) y t
x 4 t c) 1 2 1; y t t 2 x Cot 2t f) 2Cos 2t 1 ; y 2Cost x t ; i) 2 y t t 2 1 JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
154
x (t 3 2t 2 3t 4)et ; t 3 2 ( 2 4 4) y t t t e x t 2t 2 t 3 m) ; y 2 3t t 3 x 2t t p) ; 2 y 5t 4t t
j)
k)
x 4t 2 1 ; y 3 2t
l)
x 2aCott ; y 2aSen2t x at bSent ; q) y at bCost
x 2 1 t 2 ; y t x t r) . y t 2 1
n)
3) Hallar y´( x) para las funciones prefijadas paramétricamente: x a b Cost bCos (a b)t ) ( b ; a) y (a b)Sent bSen (a b)t
b x (a b)Cost bCos (a b)t b . b) ( a b)t y (a b)Sent bSen b
x t ; y 3t 4
o)
4) La ley de movimiento de un punto material lanzado bajo el ángulo respecto al horizonte a una velocidad inicial v0, sin tomar en consideración la resistencia del aire, tiene la forma x (v0Cos)t
1 2 y (v0Sen)t 2 gt
donde t es el tiempo, g , la aceleración de la fuerza de gravedad. Determine las coordenadas del vector de velocidad y el valor de ésta.
3.12 Derivadas de expresiones dadas en coordenadas polares Cuando se introduce un nuevo sistema de coordenadas, es conveniente tener fórmulas que permitan calcular las coordenadas de un punto en un sistema cuando se conocen las correspondientes coordenadas en el otro. Si el origen y el semieje positivo X de un sistema de coordenadas cartesianas coinciden, respectivamente, con el polo y el eje polar de un sistema de coordenadas polares, entonces las coordenadas cartesianas y polares de un punto cualquiera P están relacionadas por medio de las siguientes fórmulas:
x rCos . y rSen Ejemplo Determine la derivada de las expresiones dadas en coordenadas polares: a) b)
r ()
3Cos2
;
Cos3 Sen3 a r () aTan . Cos
Solución a) Sabemos que x() = r ()Cos, y() = r ()Sen, por lo tanto:
3Cos2 Cos x() 3 3 Cos Sen y() 3Cos2 Sen 3 3 Cos Sen
3Cos3 3 x() 3 3 3 Cos Sen 1 Tan . 2 y () 3Cos Sen 3Tan 3 3 3 Cos Sen 1 Tan Derivando cada una de estas expresiones con respecto a , obtenemos: 3 x´()
y´()
d
(1 Tan3)
d (1 Tan3)2
9Tan2Sec2 (1 Tan3)2
;
3(1 Tan3) (Tan)´3Tan (1 Tan3)´
(1 Tan3)2 3(1 Tan3)Sec2 9Tan3Sec2 (1 Tan3)2 3(1 2Tan3) Sec2 (1 Tan3)2
A continuación encontramos y´( x), de la siguiente manera: 3(1 2Tan3) Sec2 (1 Tan3)2
y´(x )
9Tan2Sec2
1 2Tan3 3Tan2
.
(1 Tan3)2
b) Descomponiendo esta expresión, obtenemos:
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
155
Para el segundo caso:
a Cos aTan a r () aTan Cos a aTan Cos
a x() Cos aTan Cos a aSen . y() a aTan Sen a(1 Sen)Tan Cos
Para el primer caso:
a x() Cos aTan Cos a aSen y() a aTan Sen a(1 Sen)Tan Cos
Derivando cada una de estas expresiones con respecto a , obtenemos: x´() a
(Sen) aCos ; d y´() a (1 Sen) (Tan)´aTan (1 Sen)´
Derivando cada una de estas expresiones con respecto a , obtenemos: x´() a
d
a(1 Sen)Sec 2 aTanCos a(Sec2 SenSec2 Sen) .
(Sen) aCos ;
d y´() a (1 Sen) (Tan)´aTan (1 Sen)´
A continuación encontramos y´( x), de la siguiente manera:
a(1 Sen)Sec2 aTanCos
a(Sec2 SenSec 2 Sen) y´(x) aCos
a(Sec2 SenSec2 Sen) . A continuación encontramos y´( x), de la siguiente manera:
a(Sec2 SenSec 2 Sen) y´(x) aCos
(1 Sen) Sec2 Sen Cos
d
(Sen 1) Sec2 Sen Cos
.
.
3.12.1 Tarea 1) Calcule y´(a) para las funciones prefijadas con la ecuación r = r (), donde r y son las coordenadas polares de los puntos ( x, y): b) r 4(1 Sen) ; a) r 2 (4Sen2 9Cos2 ) 36 ; c) r 2Cos 2 1 ; d)
r 2 (Cos2 Sen2) 16 ;
e)
r (Sen 2Cos)
g)
r (Sen rCos 2) 1 ;
h)
r 2Sen2 4 ;
j)
r 6(1 Cos) ;
k)
r
1 1 Cos
;
f)
r 1 2Cos ;
i)
r 2 2Sec ;
l)
r
4 2 Sen
.
con respecto a x = 0 y la derivada izquierda con respecto a x = a.
4) Use el problema anterior para demostrar que cada par de ecuaciones son ortogonales en sus puntos de intersección: a) r aSen y r aCos ; b) r a y r a .
Compruebe que si las gráficas de las ecuaciones 3) polares r f () y r g () se cortan en P (r , ), enton-
5) Demuestre que si Cos 0, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica r f () es
2)
Para la función prefijada con la ecuación
6;
r A Cos2 , 0
4
, calcular la derivada derecha
ces las rectas tangentes en P son perpendiculares si y sólo si f ´()g´() f ()g () 0 . Es decir, las gráficas son ortogonales en P .
dr
Tan r . m d dr rTan d
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
156
3.13 Derivadas de orden superior Supóngase que en el intervalo (a; b) está dada la función f ( x). Su derivada, si existe en el intervalo ( a; b), es cierta función f ´( x). Se llamará dicha función derivada de primer orden.
Ejemplo Para cada una de las expresiones, determine la derivada de segundo orden:
Puede ocurrir que la primera derivada tenga, a su vez, derivada en el intervalo (a; b). Esta última se denomina derivada de segundo orden y se establece de la siguiente manera:
Solución Simplificamos la expresión
Sea h 0. Si existe una función f ´´( x) con la propiedad de que lim
f ´( x h) f ´(x )
h0
h
f ( x) Senh 2x Cosh2 x .
f ( x) Senh 2x Cosh 2 x
Senh2 x 1 Senh2 x 1 2Senh2 x . Derivamos f ´( x ) 2 2Senhx
para algunos valores a < x < b, entonces lim
f ´( x h ) f ´(x )
h0
d
( Senhx) dx 4SenhxCoshx 2Senh2x d f ´´(x ) 2 (Senh2x) 4Cosh2x . dx
f ´´(x )
h
se denomina derivada de segundo orden. Para las derivadas de segundo orden se ha adoptado la siguiente notación: 2
d f x d f x f x . ( ) ( ) ´´( ) dx dx dx2 d
En general, se denomina derivada de la función f de nésimo orden, a la primera derivada de la derivada de f de orden n – 1 y se designa por:
d n1 d n f ( x ) n f ( x ) dx dx dx n1 d
f ( n ) (x ) .
Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden: a) f ( x) x3 x e3x ;
b) f ( x) SenaxSenbx .
Solución a) Derivando de forma sucesiva, obtenemos: y´ = 3 x + 1 + 3e3 x = 1 + 3 x + 3e3 x; y´´ = 6x + 9e3 x = 6 x + 32e3 x; y´´´ = 6 + 27 e3 x = 6 + 33e3 x; yiv = 81e3 x = 34e3 x; ... y(n) = 3ne3 x, n > 3. b) Descomponemos esta expresión:
(n)
Si se trata de cierto valor fijado de x, el símbolo f ( x) designa la derivada de f de n-ésimo orden en el punto x. Para que ésta exista, se requiere la existencia de la deri( -1) vada f n ( x) no sólo en x, sino también en cierto entorno (0) de x, con ello, por derivada f ( x) de orden nulo se entiende la función f ( x). No obstante, no es toda función ni mucho menos, para la cual se logra obtener fórmulas generales para sus n-ésimas derivadas. Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: n
d
dx
n
(a x ) nax ln n a .
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: n
d
dx
(e x ) nex . n
f ( x) SenaxSenbx
1
1 Cos(a b) x Cos (a b) x . 2 2
Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: f (n) ( x)
1
(a b)n Cos (a b )x
n
1 n (a b)n Cos (a b) x 2 2 n 1 (a b)n Cos (a b)x 2 2 n (a b)n Cos (a b) x . 2 2
2
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes ex presiones: n
d
dx
n
(e( x) ) (1)n ne( x) . JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
157
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: dn dx
n
( Sen(x )) n Sen x
f (n) ( x )
Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden:
n 1
2
n n 4n1Sen 4 x . Sen 2 x 2 2
4
4
Cos4 x .
n 4n Cos 4x 4 2 n 4n1Cos 4 x , n 1. 2
. 2
Solución Descomponemos esta expresión: 1 f ( x ) (1 Cos2x )Sen2 x 2 1 1 Sen2 x Sen2 xCos2 x 2 2 1 1 Sen2x Sen4x . 2 4 Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: n n 1 n 1 n n f ( ) ( x ) 2 Sen 2x 4 Sen 4 x 2 2 2 4
1
Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos:
n
f ( x) Sen2 xSen2x
3
1
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: d n dx
n
(( x )k ) k (k 1)(k 2)...(k n 1)
n ( x )k n . Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden: 1 f ( x ) 1 2 x Solución Descomponemos esta expresión: f ( x) (1 2x )
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: dn dx
n
(Cos(x )) nCos x
n
2
.
Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden: 2
f ( x ) Sen x .
Solución Descomponemos esta expresión: 1 1 f ( x ) Sen2 x Cos2x . 2 2 Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: 1 n n n f ( ) ( x) 2 Cos 2 x 2 2 n 2n1Cos 2 x . 2
4
4
f ( x) Sen x Cos x
Solución Descomponemos esta expresión: 1 1 f ( x ) (1 Cos2x )2 (1 Cos2x )2 4 4
1 2
Haciendo a = -2, b = 1, k = - ½ y aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos:
1 3 5 ... 2 2 2
f (n) ( x) (2)n
1
n 2n 1 (1 2 x ) 2 2 1
n
n 1 (2)n (1 3 5 ... 2n 1)(1 2x) 2 2
n 1 (2n 1)!! (2n 1)!! 2 . (1 2 x)2n 1 (1 2 x)2n 1
(2)n
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: d
n
dx
Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden:
n
(logk ( x ))
(1) n1 (n 1)! n ln k
(x )n
.
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: d
n
dx
(ln( x )) n
(1) n1(n 1)! n (x )n
.
JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
158
Ejemplo Para cada una de las expresiones, determine la derivada de segundo orden:
f ( x) ln x x 2 1 .
Solución
Derivamos d
x f ´(x) dx d
x2 1
x x
1
2
1
( x 2 1)
1 dx2 x x x
2
2
1 1
x x 2 1
x x 2 1
x x 2 1
x x2 1
x2 1 d
d
x x
2
1
x 2 1 x 2 1
x
2
x
x2 1
.
( x 2 1)
x 1 2 x 2
f ´´(x ) dx
dx
1
3
2
1
1
.
( x 2 1) 2
´
f (n) ( x )
(1)
(n 1)!5
(5 x 3)
n
n 1 n
(1)
5 (n 1)!
(5x 3)n
n
dx
(u( x) v( x )) n
d
n
dx
u ( x ) n
n
d
dx
n
v (x ) .
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: i n d ni d (u( x)v( x )) n i u ( x ) i v (x ) . n i dx dx i 0 dx
d
n
n
Ejemplo Para la función f (x ) ArcTanx calcular f (n)(0). Solución Como f ´(x )
1 1 x 2
es decir, y ´´( x )
x´(t ) y ´´(t ) y ´(t )x ´´(t )
[ x´(t )]3
.
.
Teorema Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones: d
´
y´(t ) y ´(t ) 1 , y ´´( x ) t ´(x ) x´(t ) x ´(t ) x ´(t )
Solución Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: n
Ejemplo Sea que la función y = f ( x) está prefijada con las fórmulas paramétricas x = x(t ), y = y (t ), t (a; b) y sean x(t ) e y(t ) derivables dos veces y x´(t ) 0 con t ( a; b). Hallar y´´( x). Solución Sabemos que y ´(t ) y ´(x) . x´(t )
Derivando por x ambos miembros de esta igualdad, obtenemos
Ejemplo Determine la derivada de n-ésimo orden: f ( x) ln(5x 3) .
n1
entonces (1 + x2) f ´( x) = 1. Calculamos las derivadas del orden n – 1 para ambos miembros de esta igualdad. Para calcular la derivada del primer miembro aplicamos la fórmula de Leibniz, haciendo en ella 2 u( x) = f ´( x), v( x) = 1 + x . Obtenemos 2 (n) (1 + x ) f ( x) + 2(n – 1) xf (n-1)( x) + + (n – 1)(n – 2) f (n-2)( x) = 0 de donde, con x = 0, hallamos la relación recurrente f (n)(0) = -(n – 1)(n – 2) f (n-2)(0). Cuando n es par (n = 2k ), ya que f (2)(0) = 0, obtenemos f (2k )(0) = 0. Siendo n impar (n = 2 k + 1), ya que f ´(0) = 1, hallamos k k f (2 +1)(0) = -(2 k )(2k – 1) f (2 -1)(0) = ... = k = (-1) (2k )! f ´(0) = (-1) k (2k )!.
Ejemplo Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 150 pies de alto. La función s(t ) = -16t 2 + 120t + 150 modela la altura por encima del piso a la que se encuentra esta pelota en el instante t . Describa el movimiento de la pelota. Solución La velocidad y la aceleración se dan por v(t ) = s´(t ) = - 32t + 120 pies/seg; 2 a(t ) = s´´(t ) = - 32 pies/seg . Esta aceleración constante de – 32 pies por segundo cuadrado es la de la gravitación que actúa sobre cualquier objeto en caída libre. El análisis del movimiento de la pelota se lanza en tres instantes: 1) El tiempo t = 0, cuando se lanza la pelota inicialmente. 2) El tiempo t = t 0, en el que la velocidad cambia de signo, es decir v(t 0) = 0 - 32t 0 + 120 = 0 t 0 = 2. 3) El tiempo t = t 1, en el instante que la pelota choca JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
159
contra el piso, es decir s(t 1) = 0
16t12
120t 1 150 0
t 1 = -1.09 o t 2 = 8.59. Por supuesto, el tiempo negativo no tiene sentido en este problema y, por lo tanto se desecha. Según la gráfica y los valores encontrados, se puede establecer la siguiente interpretación: a) En el instante t = 0, la pelota se encuentra a 150 pies por encima del piso, con una velocidad hacia arriba de 120 pies por segundo. b) En el instante t = 3.75, la pelota está 375 pies arriba del piso, sin velocidad. En este instante, la pelota está a su altura máxima, ya que la velocidad v(3.75) = 0 indica que ha dejado de subir. c) En el instante t = 8.59, la pelota choca contra el piso, con una velocidad hacia abajo de 154.88 pies por segundo. Ejemplo Un instituto de formación de secretarias espera que la estudiante típica sea capaz de mecanografiar y palabras por minuto después de x horas de instrucción hasta que se alcance el nivel de 70 palabras por minuto. Supóngase que y está relacionada con x por la función y ( x) 4 x
habilidades de mecanografía estén mejorando y´( x) > 0, la rapidez de esa mejora va decreciendo y´´( x) < 0. Ejemplo Para cada una de las expresiones, determine la derivada de segundo orden:
b) f ( x ) ArcSen
y´´( x )
1 x x
y´(40)
40
1
0.82
x dx f ´(x ) 1 x d
a)
1
x 2 1
1 x x 2 1 x
y´´(40)
40 40
0.0039 .
Esta aceleración negativa significa que la estudiante está aprendiendo cada vez con mayor lentitud. Los resultados obtenidos nos permiten concluir que aún cuando las
( x 2 1)
1 dx2 x 1 1 1 x x 1
x2 1 x2
2
2
2
2
x
2
x x
2 x
x2 1
2 x x 2 1 ( x2 1)
2
x
x
2
2
1
1 1
x
2
1
1 2( x
2
1)
d
( x 2 1) dx f ´´(x ) 2( x 2 1)2
2 x 2( x2 1)2
x
( x2
1)2
.
d x2 1
b)
f ´(x)
dx x 2 1
x 2 1 1 2 x 1 ( x 2 1)
d dx
2
( x2 1) ( x2 1)
d dx
( x 2 1)
( x 2 1)2
4 x 2 ( x 2 1)2
2 x( x 2 1) 2x( x 2 1)
( x
2
1)
2
4 x 2
4x x2 1 x 2 1
2 Sign
( x 2 1)2
2
palabras por minuto por hora de instrucción. La aceleración del aprendizaje en x = 40 es 1
.
.
Por lo tanto, cuando x = 40, la rapidez de cambio de y( x) es 2
x 2 1
d
. Determine la rapidez de aprendizaje
Por tanto la aceleración se expresa por
x 2 1
Solución
x
2 y´( x) cuando x = 40. ¿Cuál es la aceleración del aprendizaje cuando x = 40 horas? Solución La rapidez de cambio de y( x) es 2 1 y´(x) . x 2
a) f ( x ) ArcTan x x 2 1 ;
f ´´( x )
4 x d ( x2 1) 4 x x 2 1 dx 2 2 . 2 2 ( x 1) ( x 1)
2 Sign
Ejemplo Demostrar que la función y = Senlnx + Coslnx satisface la ecuación x2 y´´ + xy´ + y = 0. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
160
[SenxSen( Senx) SenxCos(Senx)
Solución y ´ Cos ln x
d dx 1
(ln x ) Sen ln x
Cos ln x Sen ln x
y ´´
1
d
2Cos2 xSen( Senx)]e Senx
(ln x )
dx Cos ln x Sen ln x
Por tanto, cuando x = 0, tenemos f ´´(0) [Sen0Sen(Sen0) Sen0Cos(Sen0)
x x x x (Cos ln x Sen ln x)´(Cos ln x Sen ln x ) (x )´
2Cos2 0Sen(Sen0)]e Sen0 0 e0 0 .
x2
1 1 x Sen ln x Cos ln x Cos ln x Sen ln x x x
1 x 2 ( ArcSenx)´ ArcSenx ( 1 x2 )´
b) f ´(x)
1 x 2
x 2
1
1 x 2
2Cos ln x
1 x 2 1 x2
x 2
Reemplazando la primera y segunda derivadas, obtenemos: Cos ln x Sen ln x 2 2Cos ln x x x 2 x x (Sen ln x Cos ln x) 0
2Cos ln x Cos ln x Sen ln x Sen ln x Cos ln x 0
1 x 2
ArcSenx
x 1 x2
xArcSenx 3
(1 x 2 ) 2 (1
3 2 2 x )
f ´´( x)
Lo cual indica que se cumple la ecuación dada.
x x ArcSenx 2 1 x2 1 x 2 3 (1 x ) 1
3 ( 1 x xArcSenx) (1 x2 ) 2 (2 x) 2 2 3 (1 x ) 2
Ejemplo Determine la derivada de segundo orden en el punto x = 0: a) f ( x) e
Senx
Cos(Senx ) ;
b) f ( x )
ArcSenx
1 x
2
.
Solución a) Derivando, tenemos f ´( x) e Senx (Cos(Senx))´Cos(Senx) (e Senx )´
(Cos(Senx) Sen( Senx))e f ´´( x) (Cos(Senx) Sen(Senx )) (e
Cosx ;
(1 x 2 ) ArcSenx 3x 1 x2
(1 2 x 2 ) ArcSenx 3 x 1 x2 (1
5 2 2 x )
Por tanto, cuando x = 0, tenemos f ´´(0)
(1 2 02 ) ArcSen0 3 0 1 02 (1
Senx
Cosx (CosxSen( Senx) CosxCos( Senx))
(Sen(Senx) Cos(Senx))e SenxSenx 2e
Senx
3x2 ArcSenx)
5
Cosx )´
(Cos(Senx) Sen(Senx)) ( eSenxSenx eSenxCos 2x)
xArcSenx) 1 x2
(1 x 2 )3
Senx
eSenxCosx (Cos(Senx)´Sen(Senx)) e
ArcSenx 3x( 1 x2
(1 x 2 ) 2
eSenxCosxSen(Senx) eSenxCosxCos(Senx) Senx
(1
3 2 2 x )
5 2 2 0 )
1 ArcSen0 3 0 1 1
2
Cos xSen(Senx)
0.
3.13.1 Tarea 1) Hallar la segunda derivada en el punto indicado: a) f ( x ) e
x
, x = 4;
b) f ( x )
x
5
( x 1)
4
, x = 5.
a) f ( x )
v 2u u
b) f ( x) euv ;
; v
c) f ( x ) ArcTan ; u
2) Hallar la segunda derivada considerando que u´, u´´, v´, v´´ son conocidas:
d) f ( x) ln u 2 v 2 .
3) Supongamos que para la función y = f ( x) son conocidas f ´( x), f ´´( x), f ´´´( x). Hallar la segunda y JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
161
tercera derivadas de la función inversa x = f -1( y) en la suposición de que ellas existen. 4) Para las funciones prefijadas en forma implícita, hallar la y´´: a) x2 y 2 a2 ;
b) e2 y 2ln x 1 0 ;
2 2 e) y 2 e x y ;
c)
x 2
y2
a
b2
2
1 ;
g) x 2 y 2 a2 ;
f) y xTan ln x2 y 2 ;
5) Hallar la segunda derivada para las funciones prefijadas paramétricamente: x Tan t x log5 Sent t 2 ln ; a) x b) 2; 1 t 3 y log5 Cost c) ; y ln Tant t 3 y 1 t 3
x 2 3t t 3 e) ; y t 2t 2 t 3
x 2Cos 2t g) ; y 2Sen2t
t e x f) 1 t ; y (t 1)et
d) y 2 2 px ; h) e x y x y .
x ArcSen(Tant ) ; y Cos2t
d)
x 1 h) Cost . y Tant t
6) Compruebe que la función dada satisface la ecuación: a) y ( Ae x 1) x B , ( x 1) y´´( x 2) y´ x 2 0 ; 1 x b) y x A2 x 2 A2 ArcSeb B , y´y ´´ x ; A 2
c) y Sen( A x) Bx C , y´´´2 y´´2 1 ; d) x A ln
yB y B
, yy´´ y ´2 y ´ y 2 y ´2 ;
1 e) y ( A Bx)e x x 3e x , y´´ 2y´ y xex ; 6 2 A f) y 2 Senx , yy´Senx (Senx y 2 )Cosx ; 2 3 Sen x 1 1 g) y ACos 2 x BSen2 x (3Sen2x 2Cos2x) x , y´ xn1 ln x ; 4 4 1 h) y ACosx bSenx xCosx Senx ln Senx , y ´´ y ; Senx
1 1 Cosx 3Senx x 2 x , y ´´ 3y´ x Cosx ; 10 6 9 j) ( x B)ln y x A , y(1 ln y ) y ´´ (1 ln y ) y ´2 0 ;
i) y A Be3 x
1
1 x Sen2x , y k) y Sen3x A ´´ 2y´Cotx Sen3 x ; B 3 2 4
l) y ( A Bx ln x 2 1 xArcTanx)e x , y ´ ´ 2y ´ y
e x x 2 1
.
( )
n 7) Hallar y para las funciones prefijadas paramétricamente: t x 2 x aCos t t 1 x Cost a) ; b) ; c) . 2 y Cosnt y 2t t y bSen2t (t 1)2
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LA DERIVADA
162
8) Hallar la n-ésima derivada para las funciones: a) f (x) eaxCos(bx c ) ;
b) f ( x )
d) f ( x) (3 2x )2 e 23 x ;
e) f ( x )
ax b cx d
1 x
;
c) f ( x )
1 2 x f) f ( x) xCosx ;
;
g) f (x) ( x 2 x)Cos2x ;
1 x h) f ( x) ArcTanx ;
j) f ( x) e 2 xSen2x ;
k) f ( x) x n1 ln x ;
x 2
i) f ( x )
1 n 1 x x e
;
;
l) f (x) Cos4x .
9) Calcule en el punto dado la derivada del indicado orden: a) f ( x) (2x 7)2 (3x 7)3 , n = 5, x = A;
b) f (x) x , n = 10, x = 1;
c) f (x) (x 2 2x )Cos3x , n = 101, x = 1;
d) f (x ) x 2 ln x , n = 100, x = 1;
e) f ( x )
x 1
1
x 2 x 2
, n = 13, x ;
f) f ( x )
2
g) f ( x) xSenxCos2x , n = 100, x i) f (x) (x Senx)2 , n = 16, x
4
2
;
x 2
1 x
h) f ( x )
, n = 8, x = 0;
1 x 2 3
2 3 x
, n = 6, x = -1;
j) f ( x) x 2 3x3 , n = 5, x = 1.
;
10) Determine la derivada de n-ésimo orden: a) f ( x )
1 x 2
b) f ( x) 2 x 1( x 1) ;
;
3 x ; 3 x 3 2 x 2 f) f ( x ) 2 ; 2 x 3x 2 c) f ( x ) x ln
1 x 2 d) f (x) x log2 (1 3x ) ;
e) f (x) ln( x 1)2 x ;
g) f ( x) 23 x32 x (2x 1) ;
h) f ( x) x ln(x 2 3x 2) ;
j) f ( x )
x
1 5 x
k) f ( x )
;
1 x 2 4
i) f ( x ) 2xCos2
x
3
;
l) f (x ) x 2Cos2x .
;
11) Determine la derivada de tercer orden:
x a(t Sent ) a) ; y a(1 Cost )
x Cost Cot t ln b) 2; y Sent
x aCosht c) ; y aSenht
x et Cost d) . y et Sent
12) Determine cuál es el orden de las derivadas que posee la función en el punto x = 0 y calcule en él todas las derivadas existentes: Senhx, x 0 Senhx x, x 0 x100Sen 1 x , 0 b) f ( x ) c) f ( x ) ; ; ; a) f ( x ) x SenxCoshx, x 0 x Senx, x 0 0, x 0
1 2 e) f ( x ) e x , x 0 ; 0, x 0
1 Cosx, x 0 ; ln(1 x) x, x 0
d) f ( x )
2 xCosx, Sen2x,
f) f ( x )
x0 x0
.
13) Determine la derivada de segundo orden en el punto indicado: x ln(1 Sent ) 3 1 x (t 2 1)et a) , ln , ln ; b) , (1, 0). 2 2t y ln(1 Cos2t ) 2 2
y t e
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LA DERIVADA
x CoshtSent SenhtCost , (0, 1); y CoshtCost SenhtSent
c)
14) Suponga que f tiene segunda derivada. Demuestre: a) Que si f es una función par, entonces f ´´ es par. b) Que si f es una función impar, entonces f ´´ es impar. 15) Un punto está en movimiento según la ley 5 s (t ) 2t 2 t 3 , s se mide en metros y t en segundos. 3 Hallar su aceleración 5 segundos después del comienzo del movimiento.
163
2t t 2 x t 1 d) , (0, 4); t 2 y t 1 b) ¿A qué tasa cambia la velocidad del automóvil con respecto al tiempo al final de 6 horas?¿aumenta o disminuye la velocidad en este instante? c) ¿En cuánto cambia realmente la velocidad del automóvil durante la séptima hora? 22)
Un meteorito penetra en la atmósfera terrestre
con velocidad inversamente proporcional a s , siendo s su distancia al centro de la tierra. Pruebe que su aceleración es inversamente proporcional a s2.
16) Demuestre que durante el movimiento de un sólido
según la ley s(t ) aet bet su aceleración es numéricamente igual al recorrido realizado.
23) Hallar el valor de la fuerza que actúa sobre un punto de masa m = 0.1 en movimiento según la ley s(t ) t 2 4t 4 , en el momento de tiempo t = 3.
17) Demuestre que durante el movimiento de un sólido
según la ley s(t ) t su aceleración es proporcional al cubo de la velocidad. 18) Un punto está en movimiento según la ley 1 1 s1(t ) t 3 t 2 t , 2 2 otro, según la ley 2 s2 (t ) t 3 3t 2 5t , 3 s1 y s2 se miden en metros, t , en segundos. Hallar la aceleración de los puntos en el momento cuando sus velocidades son iguales. 19) Un objeto se mueve a lo largo de una recta. Des pués de t segundos su distancia desde el punto de partida es D(t ) = t 3 – 12t 2 + 100t + 12 metros. Halle la aceleración del objeto después de 3 segundos. Durante este tiempo, ¿disminuye o aumenta la velocidad? 20) Un automóvil viaja a 90 pies/seg cuando el conductor aplica los frenos para evitar atropellar a un niño. Después de t segundos, el automóvil está a S = 90t – 9 t 2 pies del punto donde el conductor aplicó los frenos. ¿Cuánto tiempo se demora el automóvil para detenerse y cuánto recorrió antes de parar? 21) Después de t horas de un viaje de ocho horas, un 10 2 automóvil ha recorrido D(t ) 64t t 2 t 3 kilóme3 9 tros: a) Obtenga una fórmula que exprese la aceleración del automóvil como una función del tiempo.
24) Un cohete de masa m1 lleva un abasto de com bustible de masa m2, que se quemará según una rapidez constante de b kilogramos por segundo. El cohete expulsa los gases con velocidad constante y la distancia s(t ) (en metros) que el cohete ha recorrido a los t segundos, está dada por s(t ) ct
c b
m1 m2 bt m1 m2
(m1 m2 bt )ln
para una constante c > 0: a) Calcule la velocidad inicial y la aceleración inicial del cohete. b) El combustible se agota al tiempo t
m2 b
. Calcu-
le la velocidad y la aceleración en ese momento. 25) La distancia recorrida por un objeto en t segundos es s(t ) = t 3 + 3t 2 + 2t . Hallar las funciones de velocidad y aceleración. Determinar la velocidad a los 3 segundos y la aceleración a los 5 segundos. 26) Por una circunferencia de 5 metros de radio está en movimiento un punto a velocidad angular constante de 2 radianes por segundo. Hallar el valor de la aceleración del punto. 27) Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador medio que 3 llega al trabajo a las 08:00 habrá producido Q(t ) = - t + 8t 2 + 15t unidades t horas más tarde: a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 09:00.
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LA DERIVADA
b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del tra bajador con respecto al tiempo a las 09:00? c) Estimar el cambio en la tasa de producción del traba jador entre las 09:00 y las 09:15. d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 09:00 y las 09:15. 28) El costo de producir x artículos se da por la función C ( x) = 20 x2/3 + 75 x + 8000. Determinar dónde crece y dónde decrece esta función de costo. Trazar una gráfica de C ( x).
29) El número de personas infectadas por cierto virus se representa por la función I (t ) = 12 + 10 t 2 – 2 t 4, 0 t 5, donde t es el tiempo desde que empezó la epidemia. Determinar la rapidez a la que la enfermedad se extiende y cuándo el número de infectados está creciendo y cuándo va decreciendo.
164 30) La función de posición de un punto que se mueve a lo largo de una recta coordenada está dada por S (t )
t 2 3t 1 t 2 1
. Calcule la velocidad y la acelera-
ción al tiempo t y describa el movimiento del punto durante el intervalo de tiempo [-2; 2]. 31) Si un objeto se deja caer o se lanza verticalmente, su altura en pies, después de t segundos es H (t ) = 16t 2 + S 0t + H 0, donde S 0 es la velocidad inicial del objeto y H 0 su altura inicial: a) Obtenga una expresión para la aceleración del objeto. b) ¿Cómo varía la aceleración con respecto al tiem po? c) ¿Cuál es la consecuencia del hecho de que la respuesta del literal a) sea negativa?
3.14 Diferenciales Definición Se denomina diferencial de la función y = f ( x) a la parte principal de su incremento, que es lineal con respecto al incremento del argumento. Se denomina diferencial del argumento al; incremento del argumento dx = h . El número h es el incremento de x, es decir el nuevo valor x + h es igual al valor inicial x más el incremento h. La letra k se usa para denotar el cambio en la variable de pendiente y que corresponde a h. Entonces k = f ( x + h) – f ( x) Definición Si y = f ( x) y x tiene un incremento h, entonces el incremento k de y es k = f ( x + h) – f ( x). Definición Sea y = f ( x), donde f es una función derivable, y sea h un incremento de x, entonces: a) La diferencial dx de la variable independiente x es dx = h. b) La diferencial dy de la variable dependiente y es dy = f ´( x)h = f ´( x)dx.
En esta definición puede verse que la variación o diferencial dx de la variable independiente x es igual a su incremento h. Sin embargo, esto no sucede con la varia ble dependiente y. Como puede verse, el valor de dy depende de x y de dx. Si h ≈ 0, entonces k ≈ dy = f ´( x)dx. Por tanto, si y = f ( x), dy puede usarse como un valor aproximado del incremento exacto k de la variable dependiente correspondiente a un incremento pequeño h de x.
En ocasiones se utiliza x para representar el valor inicial de la variable dependiente. En este caso, para indicar un pequeño cambio de esta variable, se dice que x tiene un incremento h. A continuación se dan las propiedades principales de la diferencial: 1) d (k ) = 0, donde k = constante; 2) d (ku) = kdu; 3) d (u v) = du dv; 4) d (uv) = udv + vdu; 5)
u v du udv , v 0. v2 v
d
Sea la función y = f ( x) derivable sobre el intervalo ( a; b), su diferencial dy = f ´( x)dx, llamada primera diferencial de dicha función, depende de dos variables x y dx. Sea también la derivada f ´( x) derivable sobre el intervalo (a; b). Entonces con dx fijada, la diferencial dy es función sólo de x, para la que, a su vez, es posi ble calcular la diferencial, con la particularidad de que como incremento h de la variable independiente x podemos tomar el mismo incremento que fue elegido para hallar la primera diferencial de la función f ( x), es decir, dx. La JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
165
diferencial de la primera diferencial, calculada con esta condición, lleva el nombre de segunda diferencial o bien diferencial de segundo orden de la función y = f ( x) y se 2 designa con d y. Así, pues, por definición 2 d y = d (dy) = d ( f ´( x)dx) = (df ´( x))dx = f ´´( x)dxdx = f ´´( x)(dx)2 o bien d 2 y = f ´´(x)dx2. Por analogía, en el caso cuando la función y = f ( x) tiene sobre el intervalo ( a; b) una derivada de orden n, se determina la n-ésima diferencial d n y como la primera diferencial de la (n – 1)-ésima diferencial, a condición de que durante el cálculo de la primera diferencial se toma como incremento h aquel incremento dx que fue elegido al calcular la ( n – 1)-ésima diferencial. Según el método de inducción, para la n-ésima diferencial se obtiene la fórmula ( ) d n y = f n ( x)dxn.
3.14.3 Costo e ingreso marginales
Si C ( x) es el costo total de producir x unidades y R( x) es el ingreso total obtenido de la venta de x unidades, entonces Costo marginal = C ´( x) Costo de producir x + 1 unidad Ingreso marginal = R´( x) Ingreso obtenido de la venta de x + 1 unidad 3.14.4 Error medio y error porcentual
Sea x una medida con un error máximo h. Por definición tenemos que: a) Error medio
h
.
x
b) Error porcentual =
= Error medio x 100% 100% Si para las funciones u( x) y v( x) existen las diferenciales d nu y d nv, la función ku( x) rv( x), donde k y r son constantes y u( x)v( x) también tienen diferenciales de n-ésimo orden, con ello n n n 1) d (ku( x) rv( x)) = kd u rd v; 2)
d
n
n ( u( x )v ( x )) d nk u (x )d k v (x ) . k k 0 n
2 2 ( ) La fórmula d y = f ´´( x)dx y d n y = f n ( x)dxn, con n > 1 son válidas cuando y sólo cuando x es la variable inde pendiente. Para la función compuesta y = y( x(t )) la fórmula d 2 y = f ´´( x)dx2 se generaliza de la siguiente forma: 2 d y = d (dy) = d ( y´( x)dx) = (dy´( x))dx + y´( x)d (dx), es decir d 2 y = y´´( x)dx2 + y´( x)d 2 x.
3.14.1 Fórmula de aproximación
k
dx
3.14.2 Cambio porcentual
Si h es un cambio pequeño en x, el cambio porcentual correspondiente en la función f ( x) es Cambio porcentual en k f ( x )
.
entonces el error medio es
dx x
. Si dx es una aproxi-
mación al error en x entonces, por supuesto,
dx x
es
una aproximación al error medio. Ejemplo Calcular el valor aproximado de ArcSen(0.51). Solución Examinamos la función y = ArcSenx. Haciendo x = 0.5, h = 0.01 y aplicando la fórmula ArcSen( x + h) ArcSenx + ( ArcSenx)´h Obtenemos 1 ArcSen(0,51) ArcSen(0,5) 0,01 1 (0,5)2
0,011 0,513 . 6
h
o, en notación funcional, el cambio correspondiente en f es k = f ( x + h) – f ( x) f ´( x)h. Es decir, el cambio en la función es aproximadamente la derivada de la función por el cambio en su variable.
f 100
x
Si x representa una medida con un error posible dx,
Si y = f ( x) y h representa un cambio pequeño en x, entonces el cambio correspondiente en y es dy
h
100
f ´(x)h f (x )
Ejemplo Calcular el valor aproximado del área de un círculo cuyo radio sea igual a 3.02m. Solución Utilicemos la fórmula S = R2. Haciendo R = 3, h = 0.02, tenemos k dS = (2 R)h = (2)(3)(0.02) = 0.12 . Por consiguiente, el valor aproximado del área del círculo es de 9 + 0.12 = 9.12 28.66 m2. Ejemplo
Hallar d 2 y si y
u v
y du, dv, d 2u, d 2v son conocidas.
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166
Solución Durante la resolución hacemos uso de las propiedades de la primera diferencial d
2
udv u d d u d vdu v v 2 v
v2d (vdu udv) (vdu udv) dv2 2
2
2
v (vd u dvdu ud v dudv ) 2v (vdu udv )dv
1 v
d 2u
u v
2
d 2v
2 v
2
dudv
2u v
dv2 .
3
b)
dx
2 x
2 x
x
x
2 xdx dx 2 x x x
x x
1 2
x
dx .
2 x x x
b) f ( x) ln
2 x
1 2Senx 2 Senx 1 d (1 2Senx) d (2 Senx 1)
2Cosxdx
2 1 2Senx 2 2 Senx 1 1 2Senx 2 Senx 1
1 2Senx 2Senx 1 .
2
d ( 1 2Senx 2 Senx 1)
2Cosxdx
Solución d ( x)
dy
2 1 2Senx 2 2 Senx 1 1 2Senx 2 Senx 1
a) f ( x) x 2 x x ;
dy
2 x
dx
v4
Ejemplo Determine la diferencial de la función
a)
dx
v4
dx
d (x x )
2 x x
Cosxdx 2
4Sen x 1
.
3.14.5 Tarea 1) Determine la diferencial de la función en el punto indicado: y a) e + xy = e , y > 0, x = 0; b) xy + ln y = 1, y < e , x = 0; ln x x e) f ( x ) ArcTan , x = 1/e; 0 , (1, 0); d) 4 xy3 ln 3 x y
g) xy 3 xy2 6 0 , (2, 1);
x
h) f ( x )
x 1 ln , x = -1; x x
1
c) x + yln y = 0, ( p; q); f) f ( x ) x y 2
i) xe
x 2 2
x
x
x
, x = 1;
1
2 y 0 , (4, 2).
2) Determine la diferencial de la función en el punto indicado: b) 6 xy + 8 y2 - 12 x - 26 y + 11 = 0, y < 2, x = 11/12; (2 x 1)3 2 3x , x = 0; a) f ( x ) (5 x 4)2 3 1 x c) x + y – 8 x – 10 y + 16 = 0, (1, 3); d) r = a(1 + Cos), 0 < < , (0, a); 2 f) x + y - 6 x + 10 y - 2 = 0, y > -5, x = 0; e) 3Sen( yx ) 3 x( y ) 1 0 , (1, );
x (t 1)2 (t 2) , (4, 0); g) y (t 1)2 (t 3)
t e 2 9 x , h) , t . y (t 1)2 et e 4 e
3) Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, hallar el valor aproximado de la función en los puntos indicados: b) f ( x) = ArcSenx, x = 0,51; c) f ( x) = ArcTanx, x = 1,05; a) f ( x) 3 x , x = 65; d) f ( x) = Senx, x = 359°;
e) f ( x) = logTanx, x = 47°15´;
4) Determine la segunda diferencial de la función: b) f (x) x(Cos ln x Sen ln x ) ; a) f (x) ( x 2 x 1)e x ;
f) f ( x) = Tanx, x = 44°50´.
c) f ( x) x 3 (x 5)2 ;
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167 2 x 2
d) f ( x) ArcTan
2 x 2
e) f ( x )
;
5) Determine la diferencial de la función: 49 x x ArcSen ; a) f ( x) 49 x 2 2 2 7
3 x 2 x
2
2x 5
f) f (x) 2x Cot 2x .
;
2
c) f ( x ) x x ;
b) f ( x ) ln x x 2 4 ;
d) f ( x) ArcCos(e x ) . 6) Determine la segunda diferencial en el punto indicado: a) x + 2 xy + y - 4 x + 2 y - 2 = 0, P (1, 1); c) 2ln( y - x) + Sen( xy) = 0, P (0, 1);
b) x y + ArcSen( y - x) = 1, P (1, 1); d) 3( y - x + 1) + ArcTan( yx) = 0, P (1, 0).
7) Hallar la segunda diferencial de la función en el punto dado: a) f ( x ) ArcTan
2 x 2 2 x
b) f ( x )
, x = 0;
2
x3
3 x
2
c) f ( x )
, x = 1;
3 x 2 x
2
2x 5
, x = 0;
2
d) f ( x) x 3 (x 5) , x = -3. 8) Calcule en el punto dado la diferencial del indicado orden: a) f (x) (x 5)5 , n = 3, x = 0;
b) f (x) SenxSen 2xSen3x , n = 10, x
c) f (x) ArcSenx , n = 19, x = 0; e) f ( x )
7 x 1 (3 x 2)
2
, n = 10, x = 1;
2
a) y y 6x , (1, 2);
5
f) f ( x )
4
2
b) y x xy , (a, b).
10) Determine el valor aproximado de x, a partir de la ecuación 13Senx - 15Cosx = 0. 2
2
x2 1
x 1
c) f ( x) u 2 v 2 ; e) f ( x )
uv u
2
v
2
;
2
, n = 16, x = 1. d) f ( x) euv ; f) f ( x ) lnTan
v u
.
15) Determine en cuánto aumentará, aproximadamente, el volumen de un globo si su radio R = 15 centímetros aumentó 0.2 centímetros. 16) Determine aproximadamente el error relativo, al calcular la superficie de una esfera si al determinar su radio el error relativo constituyó 1 %
d) f ( x) u v .
12) En el punto (0, a) hallar la diferencial de la función prefijada en un sistema polar de coordenadas con la ecuación r = a(1 + Cos), 0 < < . 13) Hallar el valor aproximado de
4 15,8
.
14) Hallar la diferencial de la función, considerando que son conocidas las diferenciales de las funciones u y v: a) f (x ) u 2v ;
;
2
11) Hallar d y considerando que du, d u, dv, d v son conocidas: a) f (x) (2 v)u ; b) f (x) u ln v ; c) f ( x) u 2 v 2 ;
6
d) f (x) (2x 2 1)Senh 2x , n = 8, x = 0;
9) Hallar en los puntos indicados las diferenciales de las funciones prefijadas con ecuaciones implícitas o paramétricas: 3
b) f ( x )
u2 v
;
17) ¿En cuánto variará en % aproximadamente, la intensidad de la corriente si su resistencia aumenta el 1 %? 18) El interior de un depósito cilíndrico sin tapa es de 12 pies de diámetro y 8 pies de altura. El fondo es de cobre y los lados de acero. Calcule la cantidad aproximada, en galones, de pintura impermeabilizante que se necesita para aplicar una capa de 0.05 pulgadas a la parte de acero del interior del tanque. 19) Estime qué le sucederá al área de un círculo si el radio se incrementa en un 1 %. Exprese su respuesta en porcentaje. JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
20) ¿En cuánto hay que variar, aproximadamente, la longitud de un péndulo L =20 centímetros, con el fin de que el período de las oscilaciones aumente 0.05 segundos? El período T se calcula con la fórmula T 2
L g
.
21) La velocidad del flujo sanguíneo a lo largo del eje central de una cierta arteria es de S ( R) = 1.8x105 R2 cm/seg, donde R es el radio de la arteria. Un investigador médico mide el radio de la arteria obteniendo 1.2x10-2 cm, pero comete un error de 5x10 -4 cm. Estime la cantidad en la cual el valor calculado de la velocidad de la sangre diferirá de la verdadera velocidad, si se utiliza el valor incorrecto del radio en la fórmula. 22) Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 ± 0.005 pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error. 23) La velocidad de circulación de la sangre a lo largo del eje central de una arteria con radio R es S ( R) = cR2, donde c es una constante. Estime el error porcentual que se cometerá en el cálculo de S ( R) con base en esta fórmula y un margen de error del 1 % en la medición de R. 24) El ángulo comprendido entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles mide 0.53 ± 0.005 radianes. Los dos lados iguales miden 151 centímetros exactos de longitud. Calcule la longitud del tercer lado con una estimación del error. 25) Estime el mayor error porcentual que puede permitirse en la medición del radio de una esfera, si desea que el error en el cálculo de su volumen mediante 4 V r 3 no sea superior al 8 %. 3 26) Estimar el valor de P = (2.01)4 – 3(2.01)3 + 4(2.01)2 – 5. ¿Cuál es el valor exacto de P ? 27) Calcule el volumen de material en una cáscara esférica cuyo radio interior es de 5 centímetros y el exterior de 5.125 centímetros. 28) Se mide el radio de un círculo y se encuentra que
tiene 12 cm; luego utiliza la fórmula A r 2 para calcular el área. Si su medición del radio tiene un margen de error del 3 %, qué tan exacto es su cálculo del área.
168 29) Los seis lados de una caja cúbica de metal miden 0.25 pulgadas de grueso y el volumen del interior de la caja es de 40 pulgadas cúbicas. Encuentre el valor aproximado del metal usado para construir la caja. 30) Al medir el radio de una esfera se halla que tiene 4 6 pulg y se utiliza la fórmula V r 3 para calcular 3 el volumen. Si la medición del radio tiene un margen de error del 1 %, ¿qué tan exacto es el cálculo del volumen? 31) El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor. Calcule el volumen aproximado de la región interior del mismo. 32) Estime qué le sucederá al volumen de un cubo si la longitud de cada lado disminuye en un 2 %. Exprese su respuesta en porcentaje. 33) Los pequeños errores en la medición de las dimensiones de grandes recipientes tienen un efecto importante en el cálculo de sus volúmenes. Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. La altura del cilindro es exactamente de 50 pie. Suponga que la circunferencia de la base mide 30 pie con un error máximo en la medición de 6 pulgadas. Calcule el volumen del silo a partir de estas medidas y estime el error máximo en el cálculo. Determine el error medio y el error porcentual. 34) Se calcula que el lado de un triángulo equilátero es de 4 pulgadas con un error máximo de 0.03 pulgadas. Estime el error máximo en el cálculo del área del triángulo. Calcule el error porcentual. 35) La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya altura siempre es igual a su radio. Establezca el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2 centímetros cúbicos en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10 centímetros. 36) El volumen y el área de la superficie de un globo esférico se denotan por V y S , respectivamente. El diámetro es 8 centímetros y el volumen aumenta en 12 centímetros cúbicos. Calcule el incremento en S . 37) Un balón de fútbol hecho de cuero de 1/8 pulg de espesor, tiene un diámetro interno de 8 ½ pulg. Calcule el volumen de su envoltura de cuero. (Considere el volumen de la envoltura como cierto cambio V en el volumen) JOE GARCIA ARCOS
LA DERIVADA
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38) Una copa cónica de 10 centímetros de altura y 8 centímetros de ancho en la parte superior, se llena con agua con una profundidad de 9 centímetros. Un cubo de hielo de 3 centímetros de lado está a punto de ser soltado dentro de ella. Decida si la copa se derramará. 39) Un melón de forma esférica tiene una corteza de 1/5 pulg de espesor y un diámetro interno de 8 pulg. Estime qué porcentaje del volumen total del melón es la corteza. 40) Un tanque tiene forma de un cilindro con extremos hemisféricos. Si la parte cilíndrica tiene 10 centímetros de largo y tiene un radio de 10 centímetros, ¿cuánta pintura se necesita para pintar la parte exterior del tanque con un espesor de 1 milímetro? 41) El nivel de polución del aire en una cierta ciudad es proporcional al cuadrado de la población. Estime el porcentaje en que crecerá el nivel de polución del aire si la población crece un 5 %. 42) Establezca una fórmula que dé el valor aproximado del volumen de una envolvente cilíndrica delgada de altura h, radio interior r y espesor T . ¿Cuál es el error que se comete al usar esta fórmula? 43) El radio de un globo esférico mide 25 centímetros y el error máximo en la medición es de 0,10 centímetros. Establezca el error medio y el error porcentual para el valor calculado del volumen. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera. 3
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44) Considérese que x + xy + y = 19 define una función diferenciable f tal que y = f ( x). Suponiendo que P (1, 2) es un punto de la gráfica de f , establezca la ordenada b del punto de la gráfica Q(1.10, b). 45) El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40 centímetros aproximadamente, con un error en la medición de 0.15 centímetros. Establezca el error máximo en el cálculo del área de un lado de la tapa. Calcule el error medio y el error porcentual. 46) El lado de una baldosa cuadrada mide 30 centímetros con un error de medición de 0.15 centímetros. Establezca el error máximo en el cálculo del área. Calcule el error medio y el error porcentual. 47) Establezca el incremento en volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10.1 centímetros. ¿Cuál es el incremento exacto del volumen?
48) Un laboratorio espacial gira alrededor de la tierra a una altura de 610 kilómetros. Un astronauta mira hacia el horizonte a un ángulo = 65.8º de la vertical y el máximo error posible en la medición del ángulo es de 0.5º. Estime el error que el astronauta puede cometer al calcular el radio de la Tierra con estos datos. 49) Según la ley de Stefan, la energía de radiación emitida por la superficie de un cuerpo está dada por 4 R = kT , donde R es la emisión por unidad de área, T es la temperatura en grados Kelvins y k es una constante. Suponiendo que el error en la medición de T es 0.5%, evalúe el error porcentual correspondiente en el cálculo del valor de R. 50) La ley de Boyle establece que la presión p y el volumen v de un gas encerrado están relacionados por la fórmula pv = c, donde c es una constante, suponiendo v ≠ 0. Demuestre que dp y dv están relacionadas por la fórmula pdv + vdp = 0. 51) La ley de gravitación de Newton dice que la fuerza de atracción entre dos partículas con masas m1
y m2 está dada por F
gm1m2 s 2
, donde g es una cons-
tante y s es la distancia entre las partículas. Establezca el incremento en s que se requiere para aumentar F en un 10% cuando s = 20 centímetros. 52) La iluminación producida por una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Un estudiante trabaja en un escritorio que está a cierta distancia de una lámpara. Calcule el cambio porcentual en la distancia que aumentará la iluminación en 10%. 53)
En una cierta fábrica, la producción diaria es de
Q(L) 20000 L unidades, donde L representa la
fuerza laboral medida en horas - trabajador. Actualmente se usan cada día 900 horas - trabajador. Estime el efecto que habrá en la producción si la fuerza de trabajo se reduce a 885 horas - trabaj ador. 54) La obstrucción de las arterias es una de las causas de hipertensión sanguínea. Se ha comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteria de longitud dada, la diferencia de presión en los dos extremos de la arteria es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteria disminuye en 10%. Calcule el cambio porcentual en la diferencia de presión. 55) Un globo esférico se infla con gas. Establezca el incremento del área de la superficie del globo cuando JOE GARCIA ARCOS
