Derivada

Instituto Federal de Educa¸c˜ cao, aõ, Ciência encia e Tecnologia ecno logia da Bahia Campus Vitória oria da Conquista Coordena¸c˜ cao aõ Técnica ecn ica Pedag´ Peda g´ ogica ogica Programa de Assistência encia e Apoio aos Estudantes

Apostila

C´ alculo alculo Difere Diferencia nciall e Integral Integral I: Derivada

Orientadora:

Ma. Polyane Alves Santos

Bolsista: Philipe Silva Farias

Vit´ oria oria da Conquista 2012

Instituto Federal de Educa¸c˜ cao, aõ, Ciência encia e Tecnologia ecno logia da Bahia Campus Vitória oria da Conquista Coordena¸c˜ cao aõ Técnica ecn ica Pedag´ Peda g´ ogica ogica Programa de Assistência encia e Apoio aos Estudantes

Apostila

C´ alculo alculo Difere Diferencia nciall e Integral Integral I: Derivada Silva FaApostila feita por Philipe Silva cao aõ rias, estudante do curso de Gradua¸c˜ em Engenharia Engenharia El´ etrica, etrica, do Instituto Instituto Federal de Educa¸c˜ cão ao Ciência enc ia e TecnoloTecnol ogia da Bahia, Campus Vitória oria da Conquista, quista, desenv desenvolv olvida ida sob a orient orienta¸ a¸c˜ cao aõ da Professora: Ma. Polyane olyane Alv Alves es Santos , no per´ per´ıodo de Agosto de 2010 a` Janeiro de 2011. Atualiza¸ c˜ ao em Abril de 2012. Vit´ oria oria da Conquista 2012

Sum´ ario 1 Deriv Derivad ada a 7 1.1 A Reta Reta Tange Tangent ntee e a Deriv Derivada ada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Exerc Exerc´´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Deriv Derivabilid abilidade ade e Cont Continui inuidade dade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Exerc Exerc´´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Teore eoremas mas Sobr Sobree Deriv Deriva¸ a¸ cao c˜ aõ de Fun¸c˜ coes o˜e s Alg Alg´ébri eb rica cass . . . . . . . 32 1.6 Exerc Exerc´´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 Deri Deriv vadas das Fun¸c˜ coes o˜es Trig rigono onom´ métrica etr icass . . . . . . . . . . . . . 39 1.8 Exerc Exerc´´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.9 A Deri Deriv vada de uma uma Fun¸ Fun¸ cao c˜ aõ Composta e a Regra da Cadeia . . 44 1.100 Exe 1.1 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.11 A Derivada Derivada da Fun¸ Func˜ çao aõ Potˆ encia para Expo encia Expoentes entes Racionais . . 52 1.122 Exe 1.1 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.13 Deriv Deriva¸ a¸c˜ cao aõ Im Impl´ pl´ıcit ıc itaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.144 Exe 1.1 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.15 Deriv Derivadas adas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.166 Exe 1.1 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.17 Deriv Derivadas adas das Fun¸ Func˜ çoes o˜es Trig rigono onom´ métrica etr icass Inversas Inver sas . . . . . . . . 68 1.188 Exe 1.1 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.19 Deriv Derivadas adas de uma Fun¸ Func˜ çao aõ exponencial . . . . . . . . . . . . . 71 1.200 Exe 1.2 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.21 Deriv Derivadas adas das Fun¸ Func˜ çoes o˜es Log Logar´ ar´ıtmica ıtm icass . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.22 Diferen Diferencia¸ cia¸c˜ cão ao Lo Loga garr´ıt ıtmi mica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.233 Exe 1.2 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.24 Deriv Derivadas adas das Fun¸ Func˜ çoes o˜es Hiperb´ olicas . . . . . . . . . . . . . . . 81 olicas 1.25 Deriv Derivadas adas das Fun¸ Func˜ çoes o˜es Hiperb´ olicas Inversas . . . . . . . . . . 82 olicas 1.266 Exe 1.2 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.27 Valores extremos das Fun¸ cões c˜ oes e Técnicas ecnicas de Constru¸c˜ cão a o de Gráficos aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.27.1 Valor Funciona Funcionall M´ ax imoo e M´ın axim ınimo imo . . . . . . . . . . . 86 1.27.2 Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.27.3 Fun¸c˜ coes o˜es Crescentes e Decrescentes e o Teste da Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.27.4 Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 107 1.27.5 Conca Concavidade vidade e Pontos Pontos de Inflex˜ Inflex˜ ao . . . . . . . . . . . . 11 110 1.27.6 Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 120 1.27.7 O Teste Teste da Derivada Derivada Segunda para Extremos Relativos Relativos 123 1.27.8 Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 129 1.27.9 Tra¸cando cando um Esbo¸co co do Gr´ afico de uma Fun¸c˜ afico cao aõ . . . . 131

1.2 7.100 Exe 1.27.1 Exerc´ rc´ıcios ıci os . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.28 Formas Indeterminadas Indeterminadas e a Regra de L’Hˆ ospital 1.28.1 Produtos Indetermi Indeterminados nados . . . . . . . . . 1.28.2 1.2 8.2 Dif Diferen eren¸cas ças Indeterm Indeterminadas inadas . . . . . . . . 1.28.3 Potências encia s Indet Indetermina erminadas das . . . . . . . . 1.299 Exe 1.2 Exerc´ rc´ıcios ıcio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Referências encias

. . . . . . . . 14 140 . . . . . . . . 143 . . . . . . . . 148 . . . . . . . . 148 . . . . . . . . 149 . . . . . . . . 15 151

153

Lista de Figuras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Ilustrac˜ ção. ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrac˜ ção. ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrac˜ ção. ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 y = x no ponto (2, 4). . . . . . . . . . . . . . . Hip´érbole Hip erbole e sua tang tangen ente. te. . . . . . . . . . . . . . Reta Re tass ta tang ngen ente te e no norm rmal al ao gr gr´ a´fico, Exemplo 5. afico, 1 f ((x) = x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f y = f f ((x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y = f  (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f ((x) = 1 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f Maximo a´ximo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximo a´ximo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo relativ relativo. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo relativ relativo. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 62 62.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 63 63.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 64 64.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 67 67.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 68 68.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 69 69.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 70 70.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 71 71.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 72 72.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 73 73.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 74 74.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 75 75.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 76 76.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 77 77.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustra ra¸c˜ ção ao 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustra ra¸c˜ ção ao 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 78 78.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 78 78.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 f ((x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f Pon onto to de In Infle flex˜ x˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . Pon onto to de In Infle flex˜ x˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . Pon onto to de In Infle flex˜ x˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustra ra¸c˜ ção ao 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 80 80.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exem Ex empl ploo 81 81.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

||

| − |

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 8 11 13 14 23 26 26 27 86 86 87 87 88 89 90 92 93 94 94 95 96 98 99 10 104 10 105 10 106 11 110 11 110 11 111 11 111 11 112 11 113 11 113 11 113 11 115 11 117 11 118

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Exempl Exem ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo Exem Ex empl ploo

82. 82. 83.. 83 84.. 84 86.. 86 87.. 87 88.. 88 89.. 89 90.. 90 91.. 91 92.. 92 93.. 93

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

11 119 12 120 12 124 12 125 12 126 12 127 12 129 13 133 13 135 13 138 14 140

´ lculo Diferencial e Integral I Ca

1

1.1

Derivada

A Reta Tangente e a Derivada

Muitos problemas importantes de C´ alculo envolvem a determina¸caõ da reta tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. Para uma circunferência, sabe-se da Geometria Plana que a reta tangente em um ponto seu é a reta que tem com ela um unico ´ ponto em comum. Essa defini¸caõ não é válida para uma curva em geral. Por exemplo, na Figura 1 a reta que queremos que seja tangente a` curva no ponto P intercepta a curva em outro ponto Q. Para chegar a uma defini¸caõ adequada de reta tangente ao gr´ afico de uma fun¸cã o em um de seus pontos, come¸camos pensando em definir a inclina¸cão da reta tangente ao ponto. Ent˜ ao, a reta tangente é determinada por sua inclina¸cao ˜ e pelo ponto de tangência .

Figura 1: Ilustra¸caõ. Consideremos a fun¸cão f cont´ınua em x1 . Queremos definir a inclina¸caõ da reta tangente ao gr´ afico de f em P (x1 , f (x1 )). Seja I o intervalo aberto que contém x1 e no qual f está definida. Seja Q(x2 , f (x2 )) outro ponto do gráfico de f , tal que x2 também esteja em I . Tracemos uma reta através de P e Q. Qualquer reta que passe por dois pontos de uma curva é chamada de reta secante, assim, a reta através de P e Q é uma reta secante. A Figura 2 mostra retas secantes para v´ arios valores de x2 . A Figura 3 mostra uma determinada reta secante, onde Q está a` direita de P . No entanto Q pode estar de qualquer lado de P , conforme mostra a Figura 2. Vamos denotar a diferen¸ ca entre as abscissas de Q e de P por ∆x, assim, ∆x = x2 Apostila

−x .

Derivada

1

7


Figura 2: Ilustra¸caõ.

Figura 3: Ilustra¸caõ.

Apostila

Derivada

8


Observe que ∆x denota uma varia¸caõ nos valores de x, quando ele muda de x1 para x2 e pode ser positiva ou negativa. Essa varia¸ caõ é chamada de incremento de x. Retornando a` reta secante P Q da Figura 3, sua inclina¸caõ é dada por mP Q =

f (x2 ) f (x1) , ∆x

−

desde que a reta P Q não seja vertical. Como x2 = x1 + ∆x, a inclina¸caõ de P Q pode ser escrita como mP Q =

f (x1 + ∆x) ∆x

− f (x ) . 1

Vamos agora considerar o ponto P como fixo e o ponto Q como móvel, ao longo da curva em dire¸caõ a P , isto é, Q tende a P . Isto equivale a dizer que ∆x tende a zero. Quando isso ocorre, a reta secante gira em torno do ponto fixo P . Se a reta secante tiver uma posi¸ caõ limite, desejaremos essa posi¸caõ limite como sendo a da reta tangente ao gr´ afico f no ponto P . Assim, queremos que a inclina¸cão da reta tangente ao gr´ afico em P seja o limite de mP Q quando ∆x tende a zero, se esse limite existir. Se lim mP Q for + ou ∆x→0 , então, a` medida que ∆x tende a zero, a reta P Q aproxima-se da reta por P , que é paralela ao eixo y. Nesse caso, queremos que a reta tangente ao gr´ afico em P seja a reta x = x1 . Toda essa discussão leva-nos a` seguinte defini¸caõ:

∞

−∞

Defini¸ca õ 1. Suponhamos que a fun¸caõ f seja cont´ınua em x1 . A reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x1, f (x1 )) é (i) a reta por P tendo a inclina¸cão m(x1), dada por m(x1 ) = lim ∆x→0

f (x1 + ∆x) ∆x

− f (x ) , 1

(1)

se o limite existir; (ii) a reta x = x1 se lim ∆x→0+

f (x1 + ∆x) ∆x

− f (x ) for + ∞ ou − ∞

lim ∆x→0−

f (x1 + ∆x) ∆x

− f (x ) for + ∞ ou − ∞.

e

Apostila

1

1

Derivada

9


Se nem (i) e nem (ii) da Defini¸cão 1 forem verdadeiras, ent˜ ao n˜ ao existir´ a reta tangente ao gr´ afico de f no ponto P (x1 , f (x1 )).

Exemplo 1. Dada a parábola y = x2, ache a inclina¸cão da reta secante, nos quesitos de (a) até (c) pelos dois pontos: (a) (2, 4), (3, 9); (b) (2, 4), (2,1; 4,41); (c) (2, 4), (2,01; 4,0401). (d) Ache a inclina¸caõ da reta tangente a` parábola no ponto (2, 4). Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico e mostre um segmento da reta tangente em (2, 4). Solu¸c˜ ao: Sejam ma , mb e mc as inclina¸cõ es das retas secantes em (a), (b) e (c), respectivamente.

− 4 = 5; −2 4, 41 − 4 0, 41 = = = 4, 1; 2, 1 − 2 0, 1 4, 0401 − 4 0, 0401 = = = 4, 01; 2, 01 − 2 0, 01

(a) ma = (b) mb (c) mc

9 3

(d) Seja f (x) = x2 . De (1) temos,

f (2 + ∆x) f (2) ∆x (2 + ∆x)2 4 = lim ∆x→0 ∆x 4 + 4∆x + (∆x)2 4 = lim ∆x→0 ∆x 4∆x + (∆x)2 = lim = lim (4 + ∆x) = 4. ∆x→0 ∆x→0 ∆x

m(2) =

lim ∆x→0

− −

−

(e) A Figura 4 mostra um esbo¸co do gráfico e um segmento da reta tangente em (2,4). 

Algumas vezes nos referimos a` inclina¸caõ da reta tangente como a inclina¸ca õ da curva no ponto. A ideia por tr´ as disso é que, se dermos um grande zoom em dire¸cão ao ponto, a curva aparentar´ a ser uma reta. A Fi2 gura 4 ilustra esse procedimento para a curva y = x do Exemplo 1. Quanto maior for o zoom , mais indistingu´ıvel da reta tangente ser´ a a par´ abola. Apostila

Derivada

10


Figura 4: y = x2 no ponto (2, 4).

afico da fun¸caõ definida Exemplo 2. Ache a inclina¸caõ da reta tangente ao gr´ 2 por y = x 3x + 4 no ponto (x1 , y1 ).

−

Solu¸c˜ ao: f (x1 ) = x31 3x1 + 4. f (x1 + ∆x) = (x1 + ∆x)3 3(x1 + ∆x) + 4.

−

−

De (1), m(x1 ) = = = =

lim ∆x→0 lim ∆x→0 lim ∆x→0 lim

f (x1 + ∆x) ∆x (x1 + ∆x)3

− f (x ) − 3(x + ∆x) + 4 − (x − 3x + 4) ∆x x + 3x ∆x + 3x (∆x) + (∆x) − 3x − 3∆x + 4 − x ∆x 3x ∆x + 3x (∆x) + (∆x) − 3∆x . 3 1

1

2 1

2 1

3 1

1

2

1

2

1

3

1

1

3 1

+ 3x1

3

∆x Como ∆x = 0, podemos dividir o numerador e o denominador por ∆x e obter ∆x→0



lim [3x31 + 3x1∆x + (∆x)2 ∆x→0 = 3x21 3.

m(x1 ) =

−

− 3] (2) 

Apostila

Derivada

11

−4


Para fazer um esbo¸co do gr´ afico da fun¸caõ do Exemplo 2, colocamos pontos no gr´ afico e um segmento da reta tangente em alguns deles. Os valores de x são tomados arbitrariamente e o valor funcional correspondente é calculado ´ importante determinar pela equa¸caõ dada, o valor de m é calculado de (2). E os pontos onde o gr´ afico possui tangente horizontal. Como uma reta horizontal possui inclina¸cão zero, esses pontos s˜ ao encontrados ao resolvermos em x1 à equa¸caõ m(x1 ) = 0. Fazendo os c´ alculos para esse exemplo temos 2 3x1 3 = 0, resultando x1 = 1. Assim sendo, nos pontos com abscissas 1 e 1 a reta tangente é paralela ao eixo x.

−

±

−

3 Exemplo 3. Encontre uma equa¸caõ da reta tangente a` hipérbole y = no x ponto (3, 1).

Solu¸c˜ ao: Seja f (x) =

3 . Então a inclina¸cão da reta tangente em (3, 1) é x f (3 + ∆x) f (3) ∆x 3−(3+∆x) 3 1 3+∆x = lim = lim 3+∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x 1 = lim = lim ∆x→0 ∆x(3 + ∆x) ∆x→0 3 + ∆x 1 = . 3

m(3) =

−

lim ∆x→0

−

−

−

−

Portanto, uma equa¸cão da reta tangente no ponto (3, 1) é y

− 1 = − 13 (x − 3),

que se simplifica para x + 3y

− 6 = 0.

A hipérbole e sua tangente est˜ ao na Figura 5. 

Apostila

Derivada

12


Figura 5: Hipérbole e sua tangente.

Exemplo 4. Encontre as inclina¸co˜es das retas tangentes ao gr´ afico da fun¸caõ f (x) = x nos pontos (1, 1), (4, 2) e (9, 3).

√

Solu¸c˜ ao: Como temos que calcular três inclina¸co˜es, é mais eficiente encontrar a inclina¸cão em um ponto genérico (x1, x1 ):

√

m(x1 ) = = = =

1 √ 2 1 1 . 6

√

−√

x1 + ∆x x1 f (x1 + ∆x) f (x1 ) lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x x1 + ∆x x1 x1 + ∆x + x1 lim . ∆x→0 ∆x x1 + ∆x + x1 (x1 + ∆x) x1 ∆x lim = lim ∆x→0 ∆x( x1 + ∆x + x1 ) ∆x→0 ∆x( x1 + ∆x + 1 1 1 lim = = . ∆x→0 2 x1 x1 + x1 x1 + ∆x + x1

− −√

√

√

√

√ √

√ √

−√

√

√

√

√

√x ) 1

√

No ponto (1, 1) temos x1 = 1; logo, a inclina¸cão da tangente é m(1) = 1 1 = 12 . Em (4, 2), temos m(4) = 2√ = 14 ; e em (9, 3), temos m(9) = 2√ = 4 9 

Defini¸ca õ 2. A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular a` reta tangente naquele ponto. Apostila

Derivada

13


Exemplo 5. Encontre a equa¸ cão da reta normal ao gr´ afico da fun¸caõ f (x) = 3 3x + 4 no ponto (2, 6). x

−

Solu¸c˜ ao: Como a inclina¸caõ da reta tangente ao gr´ afico f (x) = x3 3x + 4 em qualquer ponto (x1 , y1 ) é m(x1 ) = 3x21 3, a inclina¸caõ da reta tangente no ponto (2, 6) é m(2) = 9. Sendo assim, a reta normal ao gráfico f (x) = x3 3x +4 no ponto (2, 6) é perpendicular a` reta tangente naquele ponto. Portanto, a inclina¸ cão da reta 1 normal a (2, 6) é 9 , e uma equa¸cão dessa reta normal é

−

−

−

−

−6 9y − 54 x + 9y − 56 y

=

− 19 (x − 2) −x + 2

= = 0.

A Figura 6 mostra o gr´ afico e as retas tangente e normal em (2, 6).

Figura 6: Retas tangente e normal ao gr´ afico, Exemplo 5. 

O tipo de limite em (1), na Defini¸caõ 1, página 9, usado para definir a inclina¸cão da reta tangente é um dos mais importantes em C´ alculo.

Defini¸ca õ 3. A derivada de uma fun¸caõ f é a fun¸cão denotada por f  , tal que seu valor em qualquer n´ umero x do dom´ınio de f seja dado por f (x + ∆x) f  (x) = lim ∆x→0 ∆x

− f (x) ,

(3)

se esse limite existir. Apostila

Derivada

14


Se x1 for um determinado n´ umero no dom´ınio de f , então f (x1 + ∆x) f  (x1 ) = lim ∆x→0 ∆x

− f (x ) . 1

(4)

Se esse limite existir. Comparando as f´ ormulas (1) e (4), note que a inclina¸caõ da reta tangente ao gr´ afico de y = f (x) no ponto (x1 , f (x1)) é precisamente a derivada de f calculada em x1 .

Exemplo 6. Ache a derivada de f se f (x) = 3x2 + 12. Solu¸c˜ ao: Se x for qualquer n´ umero do dom´ınio de f , então de (3), f (x + ∆x) f (x) ∆x [3(x + ∆x)2 + 12] (3x2 + 12) = lim ∆x→0 ∆x 2 3x + 6x∆x + 3(∆x)2 + 12 3x2 12 = lim ∆x→0 ∆x 2 6x∆x + 3(∆x) = lim = lim (6x + 3∆x) = 6x. ∆x→0 ∆x→0 ∆x Logo, a derivada de f é a fun¸caõ f  , definida por f  (x) = 6x. O dom´ınio de umeros reais, sendo igual ao dom´ınio de f . f  é o conjunto de todos os n´ f  (x) =

lim ∆x→0

−

−

−

−



Considere agora a f´ ormula (4), que é f (x1 + ∆x) f  (x1 ) = lim ∆x→0 ∆x

− f (x ) . 1

Nessa fórmula seja x1 + ∆x = x, ent˜ ao “∆x

(5)

→ 0” é equivalente a “x → x ”. 1

(6)

De (4), (5) e (6) obtemos a seguinte f´ ormula para f  (x1 ): f (x) f  (x1 ) = lim x→x1 x

− f (x ) , −x 1

(7)

1

se o limite existir. A fórmula (7) é uma alternativa para (4) no cálculo de f  (x). Apostila

Derivada

15


Exemplo 7. Para a fun¸cão f (x) = 3x2 + 12, ache a derivada de f em 2 de duas maneiras: (a) Aplicando a fórmula (4); (b) Aplicando a fórmula (7). Solu¸c˜ ao: (a) f (x) = 3x2 + 12. Da fórmula (4), f (2 + ∆x) f (2) ∆x [3(2 + ∆x)2 + 12] [3(2)2 + 12] = lim ∆x→0 ∆x 12 + 12∆x + 3(∆x)2 + 12 12 12 = lim ∆x→0 ∆x 2 12∆x + 3(∆x) = lim = lim (12 + 3∆x) = 12. ∆x→0 ∆x→0 ∆x

f  (2) =

−

lim ∆x→0

−

− −

(b) Da fórmula (7),

− −

f (x) f (2) f  (2) = lim x→2 x 2 (3x2 + 12) 24 = lim x→2 x 2 3x2 12 (x 2)(x + 2) = lim = 3 lim = 3 lim (x + 2) = 12. x→2 x→2 x→2 x 2 x 2

− −

−

−

−

−



O uso do s´ımbolo f  para a derivada da fun¸cão f foi introduzido pelo matemático francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813), no século XVIII. Essa nota¸caõ indica que a fun¸cão f  é derivada da fun¸caõ f e seu valor em x é f  (x). Se (x, y) for um ponto do gr´ afico de f , então y = f (x) e y  também será usado como nota¸caõ para a derivada de f (x). Com a fun¸cão f definida pela equa¸caõ y = f (x), podemos expressar ∆y = f (x + ∆x)

− f (x),

(8)

onde ∆y é chamado de incremento de y e denota a varia¸cã o no valor da dy fun¸caõ quando x varia de ∆x. Usando (8) e escrevendo dx em lugar de f  (x), a fórmula (3) torna-se ∆y dy = lim . dx ∆x→0 ∆x Apostila

Derivada

16


O s´ımbolo

dy dx como nota¸cão para derivada foi introduzido pelo matem´ atico alem˜ ao Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). No século XVII Leibniz e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando independentemente, introduziram quase ao mesmo ´ provável que Leibniz considerasse dx e dy tempo o conceito de derivada. E como pequenas varia¸co˜es nas variáveis x e y e a derivada de y em rela¸caõ a x como a raz˜ a o de dy por dx quando dy e dx tornam-se pequenos. O conceito de Limite como concebemos atualmente n˜ ao era conhecido por Leibniz. Na nota¸cão de Lagrange, o valor da derivada em x = x1 é indicado por  f (x1 ). Com a nota¸caõ de Leibniz escrever´ıamos dy dx



. x=x1

dy Deve-se lembrar que, nesse momento, dx é um s´ımbolo para derivada e n˜ ao d deve ser considerado como uma raz˜ ao. Na verdade, dx pode ser considerado como um operador (um s´ımbolo para a opera¸ cã o de cálculo da derivada) e dy d quando escrevemos dx , isto significa dx (y), ou seja, a derivada de y em rela¸caõ a x. Duas outras nota¸co˜es para a derivada de uma fun¸caõ f são

d [f (x)] dx

e

Dx [f (x)].

Cada uma dessas nota¸co˜es permite-nos indicar a fun¸caõ original na expressão para a derivada. Naturalmente, se a fun¸caõ e as variáveis forem denotadas por outras letras que não f , x e y, as nota¸cões para derivada incorporar˜ ao essas letras. Por exemplo, se a fun¸caõ g estiver definida pela equa¸caõ s = g(t), ent˜ ao a derivada de g poderá ser indicada em cada uma das seguintes formas: g  (t),

Apostila

ds , dt

d [g(t)] dt

Derivada

ou

Dt [g(t)].

17


dy se y = dx

Exemplo 8. Ache

√x − 3.

Solu¸c˜ ao: Temos y = f (x), onde f (x) =

√x − 3.

∆y lim ∆x→0 ∆x f (x + ∆x) f (x) = lim ∆x→0 ∆x x + ∆x 3 x = lim ∆x→0 ∆x

dy = dx

−

√

− − √ − 3.

Para avaliar esse limite, racionalizamos o numerador. dy = dx = =

lim

∆x→0

lim

∆x→0

√

− 3 −√√x − 3)(√x +√∆x − 3 + √x − 3) ∆x( x + ∆x − 3 + x − 3) (x + ∆x − 3) − (x − 3) √ √ ∆x( x + ∆x − 3 + x − 3) ( x + ∆x

∆x lim ∆x→0 ∆x( x + ∆x 3) +

√

−

√x − 3 .

O numerador e o denominador s˜ ao divididos por ∆x (desde que ∆x = 0) para obter



dy = lim dx ∆x→0

√x + ∆x −13 + √x − 3 = 2√x1 − 3 . 

d Exemplo 9. Calcule dx

 

2+x . 3 x

−

Solu¸c˜ ao: Queremos encontrar a derivada de f (x) onde f (x) =

Apostila

Derivada

2+x . Assim, 3 x

−

18


d dx

  2+x 3 x

−

=

lim ∆x→0

=

lim

f (x + ∆x) ∆x 2+x+∆x 3−x−∆x

−

− f (x)

2+x 3−x

∆x (3 x)(2 + x + ∆x) (2 + x)(3 x ∆x) lim ∆x→0 ∆x(3 x ∆x)(3 x) (6 + x x2 + 3∆x x∆x) (6 + x x2 2∆x lim ∆x→0 ∆x(3 x ∆x)(3 x) 5∆x lim ∆x→0 ∆x(3 x ∆x)(3 x) 5 5 lim = . ∆x→0 (3 (3 x)2 x ∆x)(3 x) ∆x→0

=

−

− − − − − − − − − − − − −

−

= =

− − − − − −

=

− x∆x)

−



1.2

Exerc´ıcios

1. Ache a inclina¸cão da reta tangente ao gr´ a fico no ponto (x1 , y1 ). Fa¸ca uma tabela de valores de x, y e m no intervalo fechado [a, b] e inclua na tabela todos os pontos onde o gr´ afico tem uma tangente horizontal. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em cada ponto colocado no gr´ afico. 2

(a) y = 9

− x ; [a, b] = [−3, 3] (b) y = −2x + 4x; [a, b] = [−1, 3] (c) y = x + 1; [a, b] = [−2, 2] 2

3

2. Ache a inclina¸cão da reta tangente ao gr´ a fico no ponto (x1 , y1 ). Fa¸ca uma tabela dos valores de x, y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela todos os pontos onde o gr´ afico tem uma tangente horizontal. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. (a) f (x) = 3x2

− 12x + 8. √ (b) f (x) = 4 − x. Apostila

Derivada

19


(c) f (x) = x3

− 6x

2

+ 9x

− 2.

3. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva dada no ponto indicado. Fa¸ca um esbo¸co da curva com a reta tangente e a reta normal. (a) y = x2

− 4x − 5; (−2, 7).

(b) y = 18 x3 ; (4, 8). 6 (c) y = ; (3, 2). x (d) y = x4 4x; (0, 0).

−

4. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que é paralela à reta 8x y + 3 = 0.

−

5. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva y = 2 dicular a` reta x y = 0.

−

−

1 2 x 3

f (x + ∆x) 6. Ache f  (x) aplicando a f´ ormula f  (x) = lim ∆x→0 ∆x

que é perpen-

− f (x) .

(a) f (x) = 7x

− 3. (b) f (x) = 8 − 5x. (c) f (x) = −4. (d) f (x) = 4 − 2x . (e) f (x) = 3x − 2x + 1. 2

2

7. Ache a derivada indicada. d (8 x3 ). dx d (b) ( x). dx 1 (c) Dx . x+1 (a)

(d) Dx (e) Dx

− √

     −− 

2x + 3 . 3x 2 1 x2

x .

f (x1 + ∆x) 8. Ache f  (a) aplicando a f´ ormula f  (x1 ) = lim ∆x→0 ∆x Apostila

Derivada

− f (x ) . 1

20


(a) f (x) = 4 x2 ; a = 5. 2 (b) f (x) = 3 ; a = 4. x 2 (c) f (x) = 1; a = 4. x

−

√ −

f (x) 9. Ache f  (a) aplicando a f´ ormula f  (x1 ) = lim x→x1 x (a) f (x) = 2

− f (x ) . −x 1

1

3

− x ; a = −2. 1 (b) f (x) = √ ; a = 3. 2x + 3 √ (c) f (x) = 1 − 9x; a = 7. 10. Ache

dy . dx

4 + 3x. x2 (b) y = 2 7x. (a) y =

√ − √ (c) y = x. 3

(d) y =

Apostila

√1x − x. 3

Derivada

21


1.3

Derivabilidade e Continuidade

ao . O processo de cálculo da derivada é chamado deriva¸c˜ Se uma fun¸cão possui uma derivada em x1 , a fun¸cão ser´ a derivável em a x1 . Isto é, a fun¸caõ f será derivável em x1 se f  (x1 ) existir. Uma fun¸caõ ser´ derivável em um intervalo aberto se ela for deriv´ a vel em todo n´ umero no intervalo aberto.

1 Exemplo 10. Seja f (x) = x 3 . (a) Ache f  (x). (b) Mostre que f  (0) não existe, mesmo que f seja cont´ınua nesse n´ umero. (c) Fa¸c a um esbo¸co do gráfico de f .

Solu¸c˜ ao: (a) Da Defini¸caõ 1, 1

1

(x + ∆x) 3 x 3 (9) f  (x) = lim . ∆x→0 ∆x Racionalizemos o numerador para obter um fator comum ∆x no numerador e no denominador; disto resulta, 1

f  (x) =

lim

[(x + ∆x) 3

∆x→0

−x

1 3

− 2

1

1

2

][(x + ∆x) 3 + (x + ∆x) 3 x 3 + x 3 ] 2

1

1

2

∆x[(x + ∆x) 3 + (x + ∆x) 3 x 3 + x 3 ] (x + ∆x) x

−

=

lim 2 1 1 2 ∆x→0 ∆x[(x + ∆x) 3 + (x + ∆x) 3 x 3 + x 3 ] 1 = lim 2 1 1 2 ∆x→0 (x + ∆x) 3 + (x + ∆x) 3 x 3 + x 3 1 1 = = 2 1 1 2 2 . 3 3 3 3 3x 3 x +x x +x (b) Observe que f  (0), temos

1

2

3x 3

não é definido em x = 0. Se (9) for usado para calcular 1

(0 + ∆x) 3 lim ∆x→0 ∆x

−0

1 3

1 = lim 2 , ∆x→0 (∆x) 3

e esse limite não existe. Então, f não é derivável em zero. No entanto, a fun¸cão f é cont´ınua em 0, pois 1

lim f (x) = lim x 3 = 0 = f (0). x→0 x→0 (c) Um esbo¸co do gráfico de f está na Figura 7. Apostila

Derivada

22


1

Figura 7: f (x) = x 3 . 1

Para a fun¸cão f (x) = x 3 , como lim ∆x→0

f (0 + ∆x) ∆x

− f (0) =

1 lim =+ , 2 ∆x→0 (∆x) 3

∞

da Defini¸caõ 1 (ii) segue que a reta x = 0 é a reta tangente ao gr´ afico de f na origem. 1 Nesse exemplo, a fun¸cão definida por f (x) = x 3 tem as seguintes propriedades: 1. f é cont´ınua em zero; 2. f não é derivável em zero; 3. O gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x é zero. 

´ importante deixar claro que o fato de uma fun¸cão ser cont´ınua em um E número n˜ ao implica que ela seja derivável naquele n´ u mero. Mas o fato da fun¸caõ ser derivável implica a continuidade, o que é assegurado pelo Teorema 1.

Teorema 1. Se uma fun¸cão f for derivável em x1, então f será cont´ınua em x1 . a a

A prova desse teorema pode ser encontrada na página 150, Livro: “O Cálculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edi¸c˜ ao, Louis Leithold.

Uma fun¸caõ f pode deixar de ser derivável em um número c por uma das seguintes raz˜ oes: 1. A fun¸cão f é descont´ınua em c. Isso decorre do Teorema 1; Apostila

Derivada

23


2. A fun¸cão f é cont´ınua em c e o gr´ afico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = c; 3. A fun¸cão f é cont´ınua em c e o gráfico de f não tem uma reta tangente no ponto x = c. ao a derivada ` Defini¸ca õ 4. Se a fun¸caõ f for definida em x1 , ent˜ a direita  de f em x1 , denotada por f +(x1 ), será definida por f (x1 + ∆x) f + (x1 ) = lim + ∆x→0 ∆x

− f (x ) ⇔ f  (x ) = 1

+

1

lim x→x+ 1

f (x) x

− f (x ) , −x 1

1

se o limite existir.

Defini¸ca õ 5. Se a fun¸cão f for definida em x1 , então a derivada ` a es querda de f em x1, denotada por f − (x1 ), será definida por f (x1 + ∆x) f − (x1 ) = lim − ∆x→0 ∆x

− f (x ) ⇔ f  (x ) = 1

−

1

lim x→x− 1

f (x) x

− f (x ) , −x 1

1

se o limite existir. Uma fun¸caõ f definida num intervalo aberto contendo x1 será derivável em x1 se e somente se f + (x1) e f − (x1 ) existirem e forem iguais. Naturalmente, ent˜ ao, f  (x1 ), f + (x1 ) e f − (x1 ) são todas iguais.

Exemplo 11. Onde a fun¸caõ f (x) = x é diferenciável?

||

Solu¸c˜ ao: Se x > 0, então x = x e podemos escolher ∆x suficientemente pequeno tal que x + ∆x > 0 e ainda x + ∆x = x + ∆x. Consequentemente, para x > 0 temos

||

f  (x) =

lim ∆x→0

=

lim ∆x→0

|

|

|x + ∆x| − |x| ∆x (x + ∆x) − x = ∆x

∆x lim = lim 1 = 1, ∆x→0 ∆x ∆x→0

e f é diferenciável para qualquer x > 0. Analogamente, para x < 0 temos x = x e podemos escolher ∆x suficientemente pequeno tal que x + ∆x < 0 e, assim, x + ∆x = (x + ∆x).

|| −

Apostila

Derivada

|

| −

24


Portanto, para x < 0, f  (x) =

lim ∆x→0

=

lim ∆x→0

|x + ∆x| − |x| ∆x −(x + ∆x) − (−x) = ∆x

∆x lim = lim ( 1) = ∆x→0 ∆x ∆x→0

−

−

−1,

e dessa forma f é diferenciável para qualquer x < 0. Para x = 0 temos que verificar f (0 + ∆x) f (0) ∆x 0 + ∆x 0 = lim (se ele existe). ∆x→0 ∆x

f  (0) =

lim ∆x→0

− |−| |

|

Vamos calcular o limite esquerdo e o direito: lim ∆x→0+

|0 + ∆x| − |0| = ∆x

∆x ∆x lim + = lim + = lim + 1 = 1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

| |

e lim ∆x→0−

|0 + ∆x| − |0| = ∆x

∆x ∆x lim − = lim − = lim − ( 1) = ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

| |

−

−

−1.

Uma vez que esses limites s˜ ao diferentes, f  (0) n˜ ao existe. Portanto, f é diferenciável para todo x, exceto em 0. Uma fórmula para f  é dada por f  (x) =



1

se x > 0 , 1 se x < 0

−

e seu gr´ afico est´ a ilustrado na Figura 9. O fato de que f  (0) n˜ ao existe está refletido geometricamente no fato de que a curva y = x não tem reta tangente em (0, 0) (ver gr´ afico na Figura 8).

||



Apostila

Derivada

25


Figura 8: y = f (x) = x .

||

Figura 9: y = f  (x).

Apostila

Derivada

26


Exemplo 12. Seja f definida por f (x) = 1 x2 . (a) Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico de f . (b) Prove que f é cont´ınua em 1. (c) Determine se f é derivável em 1.

| − |

Solu¸c˜ ao: Pela defini¸caõ de valor absoluto, se x < 1 ou x > 1, então f (x) = (1 x2 ) e se 1 x 1, f (x) = 1 x2 . Logo, f pode ser definida como

− −

− ≤ ≤

f (x) =

−

−

 

x2 1 se x < 1 1 x2 se 1 x x2 1 se x > 1

− − −

− − ≤ ≤1

.

(a) Um esbo¸co do gr´ afico de f está Figura 10.

Figura 10: f (x) = 1

2

| − x |.

(b) Para provar que f é cont´ınua em 1, verificamos as três condi¸co˜es para continuidade. (i) f (1) = 0; (ii) lim− f (x) = lim− (1 x→1 x→1 Assim,

2

− x ) = 0;

lim+ f (x) = lim+(x2 x→1 x→1

− 1) = 0.

lim f (x) = 0; →1

x

(iii) lim f (x) = f (1). x→1 Como as condi¸co˜es (i)-(iii) são verificadas em 1, f é cont´ınua em 1. Apostila

Derivada

27


(c) f (x) f (1) x 1 (1 x2 ) 0 = lim− x→1 x 1 (1 x)(1 + x) = lim− = lim− [ (1 + x)] = 2. x→1 x→1 x 1 f (x) f (1) f + (1) = lim+ x→1 x 1 2 (x 1) 0 = lim+ x→1 x 1 (x 1)(x + 1) = lim+ = lim+ (x + 1) = 2. x→1 x→1 x 1 Como f − (1) = f + (1), segue que f  (1) n˜ ao existe e assim f não é derivável em 1. f − (1) =

lim x→1−



− − − − − − − − − − − − − −

−

−



Exemplo 13. Dada f (x) =



1 x

1

−

1 x 4

se 0 < x < b . se x b

≥

(a) Determine um valor de b de tal forma que f seja cont´ınua em b. (b) f é derivável no valor de b encontrado na parte (a)? Solu¸c˜ ao: (a) A fun¸caõ f será cont´ınua em b se lim− f (x) = f (b) e x→b 1 1 lim− f (x) = lim− = ; lim f (x) = lim+ 1 x→b x→b x x→b+ x→b b 1 f (b) = 1 b; logo f será cont´ınua em b se 4 1 1 = 1 b 4 b 4 = 4b b2 b2 4b + 4 = 0 (b 2)2 = 0 b = 2.

lim+ f (x) = f (b). →b 1 1 x =1 b. 4 4

x

− 

−

−

−

Apostila

− −

−

Derivada

28


Assim, f (x) = e f é cont´ınua em 2.



1 x

1

−

se 0 < x < 2 , se x 2

1 x 4

≥

(b) Para determinar se f é deriv´ avel em 2, calculemos f − (2) e f + (2). f − (2) = = =

lim x→2− lim− →2

x

lim x→2−

f (x) x 1

− f (2) −2

1 2

− x−2 2−x = 2x(x − 2) x

1 lim− = x→2 2x

−

f (x) f (2) x 2 (1 14 x) 12 = lim+ x→2 x 2 1 1 x 2 4 = lim+ x→2 x 2 2 x 1 = lim+ = lim+ = x→2 4(x 2) x→2 4

f + (2) =

lim x→2+

−

− −

−

− 14 .

−

− − − −

−

− 14 .

Como f − (2) = f + (2), segue que f  (2) existe e, portanto, f é deriv´ avel em 2. 

1.4

Exerc´ıcios

1. Fa¸ca o seguinte: (I) Trace um esbo¸co do gr´ afico da fun¸caõ; (II) deter mine se f é cont´ınua em x1 ; (III) calcule f − (x1) e f + (x1 ), se existirem; (IV) determine se f é derivável em x1 . (a) f (x) = Apostila



se x x+2 x 6 se x >

− −

≤ −4 −4

Derivada

,

x1 =

−4. 29


(b) x (c)

| − 3|,

x1 = 3.

− −  − √ − −  − 1

f (x) = (d)

f (x) = (f) f (x) = (g) f (x) =

√x + 1,

x1 = 0.

se x 0 x2 , 2 x se x > 0

x1 = 0.

x

f (x) = (e)

se x < 0 , 1 se x 0

≥

≤

1 x se x < 1 , (1 x)2 se x 1

x1 = 1.

2x2 3 se x 2 , 8x 11 se x > 2

x1 = 2.

≥

≤

−

3

x1 =

(h) f (x) = (i)

− − − −  5

f (x) = (j)

f (x) =

−1.

6x se x 3 , 2 4 x se x > 3

≤

x1 = 3.

x 2 se x < 0 , se x 0 x2

x1 = 0.

≥

3x2 se x 2 , x3 se x > 2

≤

x1 = 2.

√ − √ 3. Dada f (x) = x − 9. (I) Prove que f é cont´ınua em (−∞, −3] e [3, +∞). (II) Prove que nem f − (−3) nem f  (−3) existem. (III) Fa¸ca

2. Dada f (x) = x 4. (I) Prove que f é cont´ınua a` direita de 4. (II) Prove que f + (4) n˜ ao existe. (III) Fa¸ca um esbo¸co do gráfico de f . 2

+

um esbo¸co do gráfico de f . 3

4. Dada f (x) = x 2 . (I) Prove que f é cont´ınua a` direita de 0. (II) Prove que f + (0) existe e ache o seu valor inicial. (III) Fa¸c a um esbo¸co do gráfico de f . 5. Dada f (x) = Apostila



x2 6 x

−7

se 0 < x se x > b

Derivada

≤b

, 30


(a) Determine um valor de b para o qual f é cont´ınua em b. (b) f é deriv´ avel em b encontrado na parte (a)? 6. Ache os valores de a e b tais que f seja deriv´ avel em 2 se f (x) =

Apostila



ax + b se x < 2 . 2x2 1 se x 2

−

Derivada

≥

31


1.5

Teoremas Sobre Deriva¸ cão de Fun¸ c˜ oes Algébricas

Como o processo de c´ alculo da derivada de uma fun¸cão, a partir a Defini¸caõ 3, em geral é lento, veremos alguns teoremas que nos possibilitam encontrar derivadas com mais facilidade.

Teorema 2. Se c for uma constante e se f (x) = c para todo x1 ent˜ ao f  (x) = 0,

e zero. ou seja: A derivada de uma constante ´

a

a

ver prova na p´ agina 156, Livro :“O C´ alculo com Geometria Anal´ıtica”, 3 a edi¸c˜ ao, Louis Leithold.

Exemplo 14. Se f (x) = 5, então, de acordo com o Teorema 2, calcule sua derivada. Solu¸c˜ ao: f  (x) = 0. 

Teorema 3. Se n for um inteiro positivo e se f (x) = xn , então f  (x) = nxn−1 . (ver prova na p´ agina 157, Livro :“O C´ alculo com Geometria Anal´ıtica”, a 3 edi¸c˜ ao, Louis Leithold)

Exemplo 15. Se f (x) = x8 , então, de acordo com o Teorema 3, calcule sua derivada. Solu¸c˜ ao: f  (x) = 8x7. 

Apostila

Derivada

32


Exemplo 16. Se f (x) = x, então, de acordo com o Teorema 3, calcule sua derivada. Solu¸c˜ ao: f  (x) = 1 . x0 = 1 . 1 = 1. 

Teorema 4. Se f for uma fun¸cão, c uma constante e g a fun¸cão definida por g(x) = c . f (x), ent˜ ao, se f  (x) existir, g (x) = c . f  (x), ou seja: A derivada de uma constante vezes uma fun¸ca õ ´ e a constante vezes a derivada da fun¸ca õ, se essa derivada existir.a a


Exemplo 17. Se f (x) = 5x7 , então, de acordo com o Teorema 4, calcule sua derivada. Solu¸c˜ ao: f  (x) = 5 . 7x6 = 35x6 . 

Teorema 5. Se f e g forem fun¸co˜es e se h for a fun¸cão definida por h(x) = f (x) + g(x), ent˜ ao, se f  (x) e g  (x) existirem, h (x) = f  (x) + g  (x), ou seja: A derivada da soma de duas fun¸c˜ oes ´ e a soma de suas a derivada se elas existirem. a

ver prova na p´ agina 158, Livro :“O C´ alculo com Geometria Anal´ıtica”, 3 a edi¸c˜ ao, Louis Leithold. Apostila

Derivada

33


O resultado do Teorema 5 pode ser aplicado a um n´ umero qualquer, finito, de fun¸cões, por indu¸cão matem´ atica, e isso ser´ a enunciado como um outro teorema.

Teorema 6. A derivada da soma de um número finito de fun¸co˜es é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem.

Exemplo 18. Encontre f  (x) se f (x) = 7x4

− 2x

3

+ 8x + 5.

Solu¸c˜ ao: f  (x) = Dx (7x4 2x3 + 8x + 5) = Dx (7x4 ) + Dx ( 2x3 ) + Dx (8x) + Dx (5) = 28x3 6x2 + 8.

−

−

−



Teorema 7. Se f e g forem fun¸co˜es e h for a fun¸cão definida por h(x) = f (x)g(x), ent˜ ao, se existirem f  (x) e g  (x), h (x) = f (x)g  (x) + g(x)f  (x), ou seja: A derivada do produto de duas fun¸co ˜es ´ e a primeira fun¸ca õ vezes a derivada da segunda fun¸ca õ, mais a segunda fun¸c˜ ao vezes a derivada da primeira fun¸ca õ, se essas derivadas a existirem. a


Exemplo 19. Encontre h (x) se h(x) = (2x3

2

5

− 4x )(3x

+ x2 ).

Solu¸c˜ ao: h (x) = (2x3 4x2 )(15x4 + 2x) + (3x5 + x2 )(6x2 8x) = (30x7 60x6 + 4x4 8x3 ) + (18x7 24x6 + 6x4 = 48x7 84x6 + 10x4 16x3 .

− − −

− −

−

−

3

− 8x ) 

Apostila

Derivada

34


Teorema 8. Se f e g forem fun¸co˜es e se h for a fun¸cão definida por h(x) =

f (x) , g(x)

onde g(x) = 0,



ent˜ ao, se f  (x) e g  (x) existirem, g(x)f  (x) f (x)g  (x)  h (x) = , [g(x)]2

−

ou seja: A derivada do quociente de duas fun¸co ˜es ´ e a fra¸cão tendo como denominador o quadrado do denominador original e como numerador o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, se essas derivadas existirem.a a


Exemplo 20. Ache Dx



2x3 + 4 . x2 4x + 1



−

Solu¸c˜ ao: Dx



2x3 + 4 x2 4x + 1

−



=

(x2

2

2

4

=

3

2

2

4

2

4

=

3

− 4x + 1)(6x ) − (2x + 4)(2x − 4) (x − 4x + 1) 6x − 24x + 6x − 4x + 8x − 8x − 16 (x − 4x + 1) 2x − 16x + 6x − 8x + 16 . (x − 4x + 1) 3

3

2

2

2

2



Teorema 9. Se f (x) = x−n , onde

−n é um inteiro negativo e x = 0, então f  (x) = −nx− − . n 1

(ver prova na p´ agina 161, Livro :“O C´ alculo com Geometria Anal´ıtica”, a 3 edi¸c˜ ao, Louis Leithold)

Apostila

Derivada

35


d Exemplo 21. Ache dx



3 . x5

Solu¸c˜ ao: d dx

 3 x5

d (3x−5 ) dx = 3( 5x−6 ) 15 = . x6 =

−

−



1.6

Exerc´ıcios

1. Derive a fun¸caõ dada aplicando os Teoremas de Deriva¸cão. (a) f (x) = 7x

− 5. (b) g(x) = 8 − 3x. (c) g(x) = 1 − 2x − x . 2

(d) f (x) = 4x2 + x + 1. (e) f (x) = x3

2

− 3x + 5x − 2. (f) f (x) = 3x − 5x + 1. 1 (g) f (x) = x − x . 8 (h) g(x) = x − 2x + 5x − 7x. 1 1 (i) F (t) = t − t . 4 2 4

8

7

2

4

5

4

3

2

4 (j) v(r) = πr 3 . 3 (k) G(y) = y10 + 7y5

−y

(l) F (x) = x2 + 3x + Apostila

3

+ 1.

1 . x2 Derivada

36


(m) (n) (o) (p) (q) (r)

3 x3 + 3. f (x) = 3 x 1 . g(x) = 4x4 4x4 f (x) = x4 5 + x−2 + 4x−4 . 3 5 g(x) = 2 + 4 . x x 5 H (x) = 5 . 6x f (s) = 3(s3 s2 ).

− −

√

−

(s) g(x) = (2x2 + 5)(4x (t) f (x) = (2x4

− 1)(5x

− 1).

3

+ 6x).

(u) f (x) = (4x + 3)2 . (v) G(y) = (7 (w) F (t) = (t3

3 2

− 3y ) . − 2t + 1)(2t

2

+ 3t).

2. Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas de deriva¸cão. (a) Dx [(x2 (b) Dx (c) Dx (d) Dy d (e) dx d (f) dx (g)

d dt

d (h) dx d (i) dy

Apostila

3

− 3x + 2)(2x

+ 1)].

    −     −− −   −  −   − 2x . x+3 x

x

1

.

2y + 1 . 3y + 4

x2 + 2x + 1 . x2 2x + 1 4

3x x2 . x 2

5t . 1 + 2t2 x4

2x2 + 5x + 1 . x4

y3 8 . y3 + 8

Derivada

37


d (j) ds (k) Dx (l) Dx

  

s2 a2 . s2 + a 2

−



2x + 1 (3x x+5 x3 + 1 2 (x x2 + 3



− 1)

.

− 2x−

1



+ 1) .

3. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva y = x3 4. Ache uma equa¸caõ da reta normal a` curva y = -5).

− 4 no ponto (2, 4). 10

14

−x

5. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva y = 3x2 reta 2x y + 3 = 0.

−

no ponto (4,

− 4x e paralela a`

6. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva y = x4 perpendicular a` reta x 2y + 6 = 0.

−

2

− 6x que seja

7. Ache uma equa¸cão de cada uma das retas normais a` curva y = x3 que sejam paralelas a` reta x + 8y 8 = 0.

−

− 4x

8. Ache uma equa¸cão de cada uma das retas que passam pelo ponto (4, 13), que sejam tangentes a` curva y = 2x2 1.

−

Apostila

Derivada

38


1.7

Derivadas das Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas

Teorema 10.

a

Dx (sen x) = cos x.

Teorema 11.

b

Dx (cos x) =

Teorema 12.

− sen x.

c

Dx (tan x) = sec2 x.

Teorema 13. Dx (cotan x) =

Teorema 14.

− cosec

2

x.

d

Dx (sec x) = sec x tan x.

Teorema 15. Dx (cosec x) =

− cosec x cotan x.

a

ver prova na p´ agina 173, Livro: “O C´ alculo Louis Leithold. b ver prova na p´ agina 174, Livro: “O C´ alculo Louis Leithold. c ver prova na p´ agina 175, Livro :“O C´ alculo Louis Leithold. d ver prova na p´ agina 175, Livro :“O C´ alculo Louis Leithold.

com Geometria Anal´ıtica”, 3a edi¸c˜ ao, com Geometria Anal´ıtica”, 3a edi¸c˜ ao, com Geometria Anal´ıtica”, 3 a edi¸c˜ ao, com Geometria Anal´ıtica”, 3 a edi¸c˜ ao,

As derivadas das fun¸co˜es tangente, cotangente, secante e cossecante s˜ ao obtidas de identidades trigonométricas envolvendo o seno e o cosseno, bem como suas derivadas e teoremas sobre deriva¸caõ. Para a derivada da tangente aplicamos as identidades tan x =

Apostila

sen x cos x

•

sec x =

1 cos x

Derivada

•

sen2 x + cos2 x = 1.

39


Exemplo 22. Ache f  (x) se f (x) = x2 sen x. Solu¸c˜ ao: Encontramos a derivada do produto de duas fun¸ cões aplicando o Teorema 1 7 (derivada do produto) . f  (x) = x2 D (sen x) + D (x2 )sen x x

x

2

= x cos x + 2x sen x. 

Exemplo 23. Ache

sen x dy se y = . 1 2cos x dx

−

Solu¸c˜ ao: Aplicando o Teorema 8 (derivada de um quociente) 2 , (1 dy = dx (1 =

− 2cos x)D (sen x) − sen x . D (1 − 2cos x) (1 − 2cos x) − 2cos x)(cos x) − sen x(2 sen x) (1 − 2cos x) cos x − 2(cos x + sen x) (1 − 2cos x) cos x − 2 . (1 − 2cos x) x

x

2

2

2

= =

Exemplo 24. Calcule

2

2

2



d (tan x sec x). dx

Solu¸c˜ ao: d d d (tan x sec x) = tan x . (sec x) + (tan x) . sec x dx dx dx = tan x(sec x tan x) + sec2 x(sec x) = sec x tan2 x + sec3 x.  1 2

ver p´ agina 34. ver p´ agina 35.

Apostila

Derivada

40


1.8

Exerc´ıcios 2

1. Prove: Dx (cotan x) =

− cosec x. 2. Prove: D (cosec x) = − cosec x cotan x. x

3. Ache a derivada da fun¸cão dada. (a) f (x) = 3 sen x. (b) g(x) = sen x + cos x. (c) g(x) = tan x + cotan x. (d) f (x) = 4 sec x

− 2 cosec x.

(e) f (t) = 2t cos t.

(f) f (x) = 4x2 cos x. (g) g(y) = 3 sen y

− y cos y.

(h) h(x) = 4 sen x cos x.

(i) f (x) = x2 sen x + 2x cos x. (j) f (x) = x2 cos x (k) h(y) = y3

−y

2

− 2x sen x − 2cos x.

cos y + 2y sen y + 2 cos y.

(l) f (x) = 3 sec x tan x. (m) f (t) = sen t tan t. 4. Calcule a derivada indicada. (a) Dy (cotan y cosec y). (b) Dx (cos x cotan x). (c) Dz (d) Dt (e)

Apostila

d dx

      2cos z . z +1

sen t . t

sen x . 1 cos x

−

Derivada

41


(f) (g) (h) (i) (j) (k)

     − −  −−

d x+4 . dx cos x tan t d . dt cos t 4 cotan y d . dy 1 sen y d 1 + sen y . dy 1 sen y d sen x 1 . dx cos x + 1 Dx [(x sen x)(x + cos x)].

−

(l) Dz [(z 2 + cos z)(2z sen z)]. 2 cosect 1 (m) Dt . cosec t + 2 tan y + 1 (n) Dy . tan y 1

 

−

−  − 

5. Ache f  (a) para o valor de a dado. (a) f (x) = x cos x,

a = 0.

(b) f (x) = x sen x, cos x (c) f (x) = , x sec x (d) f (x) = 2 , x 2 (e) f (x) = x tan x,

a = 32 π. a = 12 π. a = π. a = π.

(f) f (x) = x2 cos x

− sen x, (g) f (x) = sen x(cos x − 1),

(h) f (x) = (cos x + 1)(x sen x (i) f (x) = x cos x + x sen x,

a = 0. a = π.

− 1),

a = 14 π.

a = 16 π.

(j) f (x) = tan x + sec x, (k) f (x) = 2cotan x cosec x, 1 (l) f (x) = , cotan x 1

a = 23 π.

−

−

1 π. 2

a = 34 π.

6. Ache uma equa¸cão da reta tangente ao gr´ afico da fun¸cão seno no ponto π (a) x = 0; (b) x = ; (c) x = π. 3 Apostila

Derivada

42


7. Ache uma equa¸cã o da reta tangente ao gr´ afico da fun¸caõ cosseno no π π π ponto (a) x = ; (b) x = ; (c) x = . 2 2 6

−

8. Ache uma equa¸cão da reta tangente ao gr´ afico da fun¸caõ tangente no π π ponto (a) x = 0; (b) x = ; (c) x = . 4 4

−

9. Ache uma equa¸caõ da reta tangente ao gr´ afico da fun¸cão secante no 3 π π ponto (a) x = ; (b) x = ; (c) x = π. 4 4 4

−

Apostila

Derivada

43


1.9

A Derivada de uma Fun¸ ca õ Composta e a Regra da Cadeia

Para encontrar a derivada de uma fun¸ caõ composta usamos um dos importantes teoremas do C´ alculo chamado regra da cadeia .

Teorema 16. A Regra da Cadeia a : Se a fun¸caõ g for derivável em x e a fun¸cão f for deriv´ avel em g(x), ent˜ a o a fun¸caõ composta f g será derivável em x, e (f g) (x) = f  (g(x))g  (x). (10)

◦

◦

a

ver demonstra¸ca õ na p´ agina 187, Livro :“O Cálculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edi¸c˜ ao, Louis Leithold.

Exemplo 25. Sejam f (x) = x10 e g(x) = 2x3

− 5x

2

+ 4. Calcule (f g) (x).

◦

Solu¸c˜ ao: A fun¸caõ composta f g é definida por

◦

(f g)(x) = f (g(x)) = (2x3

◦

2

− 5x

+ 4)10 .

Para aplicar (10), precisamos calcular f  (g(x)) e g  (x). Como f (x) = x10 , f  (x) = 10x9 ; então f  (g(x)) = 10[g(x)]9 (11) f  (g(x)) = 10(2x3 5x2 + 4)9 . Além disso, como g(x) = 2x3

2

− 5x

−

+ 4, então

g (x) = 6x2

− 10x.

(12)

Logo, de (10), (11), (12), temos (f g) (x) = f  (g(x))g (x) = 10(2x3

◦

2

− 5x

+ 4)9 (6x2

− 10x). 

Apostila

Derivada

44


Exemplo 26. Sejam f (x) = sen x e g(x) = x2 + 3. Calcule (f g) (x).

◦

Solu¸c˜ ao: A fun¸caõ composta f g será definida por

◦

(f g)(x) = f (g(x)) = sen(x2 + 3).

◦

Calculamos f  (g(x)) e g (x). Como f (x) = sen x, f  (x) = cos x. Logo, f  (g(x)) = cos[g(x)] f  (g(x)) = cos(x2 + 3).

(13)

g  (x) = 2x.

(14)

Como g(x) = x2 + 3, Assim, de (10), (13) e (14), obtemos (f g) (x) = f  (g(x))g  (x) = [cos(x2 + 3)](2x) = 2x cos(x2 + 3).

◦



Exemplo 27. Suponha que h(x) = 2

  2

x

−1

. Seja f (x) = x5 e g(x) =

. Sabendo que h(x) = f (g(x)), determine h (x) utilizando a regra da

x 1 cadeia.

−

Solu¸c˜ ao: Como temos f (x) e g(x), podemos obter f  (x) = 5x4 e g (x) = De acordo com a regra da cadeia,

− (x −2 1) . 2

h (x) = f  (g(x)) . g  (x) = 5

4

  2

x 1 160 = . (x 1)6

− −

−

.

−2 (x − 1)

2

 

Apostila

Derivada

45


Exemplo 28. Encontre f  (x) pela regra da cadeia, se f (x) =

1 4x3 + 5x2

Solu¸c˜ ao: Escrevendo f (x) = (4x3 + 5x2 iremos obter f  (x) = =

− 7x + 8

− 7x + 8)−

3

2

2

3

2

2

1

e aplicando a regra da cadeia, 3

2

−1(4x + 5x − 7x + 8)− . D (4x + 5x − 7x + 8) −1(4x + 5x − 7x + 8)− (12x + 10x − 7) −12x − 10x + 7 . (4x + 5x − 7x + 8) x

2

2

=

3

2

2



d Exemplo 29. Calcule dx

   2x + 1 3x 1

4

−

.

Solu¸c˜ ao: Da regra da cadeia, d dx

   2x + 1 3x 1

−

4

3

    − −   − −

2x + 1 = 4 3x 1

.

d dx

2x + 1 3 (3x = 4 3x 1 4(2x + 1)3 ( 5) = (3x 1)5 20(2x + 1)3 = . (3x 1)5

−

−

−

−

2x + 1 3x 1 1)(2) (3x

−

(2x + 1)(3) 1)2



−



Utilizando a nota¸caõ de Leibniz para a derivada, a regra da cadeia poder´ a ser enunciada da seguinte forma:

Apostila

Derivada

46


dy Se y for uma fun¸caõ de u, definida por y = f (u) e du existir, e se u for du uma fun¸cão de x, definida por u = g(x) e dx existir, então y será uma fun¸caõ dy de x e dx existirá e ser´ a dada por

dy dy du = . . dx du dx

(15)

Outra maneira de escrever a regra da cadeia é fazer a substitui¸ cão u = g(x). Então (f g)(x) = f (u),

◦

f  (g(x)) = f  (u),

(f g) (x) = Dx f (u),

◦

g  (x) = Dx u,

com essas substitui¸cões (10) torna-se, Dx [f (u)] = f  (u)Dx u. Será usada essa forma da regra da cadeia para enunciar f´ ormulas importantes de deriva¸cã o. Se u for uma fun¸caõ derivável de x, as derivadas das fun¸co˜es trigonométricas podem ser reescritas como segue: Dx (sen u) = cos uDx u, Dx (tan u) = sec2 uDx u, Dx (sec u) = sec u tan uDx u,

Dx (cos u) = sen uDx u, Dx (cotan u) = cosec2 uDx u, Dx (cosec u) = cosec u cotan uDx u.

−

− −

Exemplo 30. Encontre F  (t) se F (t) = tan(3t2 + 2t). Solu¸c˜ ao: Aplicando a regra da cadeia, F  (t) = sec2 (3t2 + 2t) . Dt (3t2 + 2t) = sec2 (3t2 + 2t) . (6t + 2) = 2(3t + 1) sec2 (3t2 + 2t). 

Apostila

Derivada

47


Exemplo 31. Encontre

dy se y = sen(cos x). dx

Solu¸c˜ ao: Aplicando a regra da cadeia, dy = cos(cos x)[Dx (cos x)] dx = cos(cos x)[ sen x] = sen x[cos(cos x)].

−

−



Exemplo 32. Encontre f  (x) se f (x) = (3x2 + 2)2 (x2

3

− 5x) .

Solu¸c˜ ao: Consideremos f como o produto de duas fun¸co˜es g e h, onde g(x) = (3x2 + 2)2 ,

h(x) = (x2

3

− 5x) .

Do Teorema 7 para a derivada do produto de duas fun¸ co˜es, f  (x) = g(x)h (x) + h(x)g  (x). Encontramos h (x) e g  (x) pela regra da cadeia. f  (x) = = = =

(3x2 + 2)2 [3(x2 5x)2 (2x 5)] + (x2 5x)3[2(3x2 + 2)(6x)] 3(3x2 + 2)(x2 5x)2 [(3x2 + 2)(2x 5) + 4x(x2 5x)] 3(3x2 + 2)(x2 5x)2 [6x3 15x2 + 4x 10 + 4x3 20x2] 3(3x2 + 2)(x2 5x)2 (10x3 35x2 + 4x 10).

− − − −

−

− −

−

−

− −

− −



Apostila

Derivada

48


Exemplo 33. Se f (x) = sec4 2x2 , calcule f  (x). Solu¸c˜ ao: Usamos a regra da cadeia duas vezes. f  (x) = = = =

4 sec3 2x2 [Dx (sec2x2)] 4 sec3 2x2 [(sec2x2 tan2x2 )Dx (2x2 )] (4 sec4 2x2 tan2x2 )(4x) 16x sec4 2x2 tan2x2 . 

1.10

Exerc´ıcios

1. Ache a derivada da fun¸cão dada. (a) f (x) = (2x + 1)3 . (b) f (x) = (10 (c) f (x) = (x2

4

− 5x) . + 4x − 5) . 4

(d) g(r) = (2r 4 + 8r2 + 1)5 . (e) f (t) = (2t4 (f) H (z) = (z 3

3

2

− 7t + 2t − 1) . − 3z + 1)− . 2

3

(g) f (x) = (x2 + 4)−2. (h) g(x) = sen x2 . (i) f (x) = 4 cos 3x

− 3sen4x.

(j) G(x) = sec2 x. 1 (k) h(t) = sec3 2t sec2t. 3 (l) f (x) = cos(3x2 + 1).

−

2. Calcule a derivada indicada. Apostila

Derivada

49


(a) (b) (c) (d) (e) (f)

d (sec2 x tan2 x). dx d (2sen3 t cos2 t). dt d (cotan4 t cosec4 t). dt d [(4x2 + 7)2 (2x3 + 1)4 ]. dx Du [(3u2 + 5)3 (3u 1)2 ]. Dx [(x2 4x−2 )2 (x2 + 1)−1 ].

−

−

− (g) D [(2x − 5)− (4x + 3)− ]. (h) D [(r + 1) (2r + 5r − 3) ]. (i) D [(y + 3) (5y + 1) (3y − 4)]. d y−7 (j) . 1

x r

2

2

3

2

2

3

y

2

     

2

2

dy

d (k) dt

y +2

2t2 + 1 3t3 + 1

2

.

3. Ache a derivada da fun¸cão dada. (a) f (x) =



2x 1 3x2 + x 2

−

−



3

.

(x2 + 3)3 (b) F (x) = . (5x 8)2 (x2 5)3 (c) f (z) = 2 . (z + 4)2 (4x 1)3 (x2 + 2)4 (d) G(x) = . (3x2 + 5)2

− − −

(e) g(t) = sen2(3t2 (f) f (x) = tan2 x2 . (g) f (x) = (tan2 x

− 1). 2 3

−x ) . (h) G(x) = (2 sen x − 3cos x) . 3

3sen2y . cos2 2y + 1 cotan2 2x (j) g(x) = . 1 + x2 (i) f (y) =

Apostila

Derivada

50


(k) F (x) = 4 cos(sen 3x). (l) f (x) = sen2(cos2x).

Apostila

Derivada

51


1.11

A Derivada da Fun¸ c˜ ao Potência para Expoentes Racionais

Teorema 17. a Se f for a fun¸caõ potência definida por f (x) = xr , onde ao f será derivável e r é qualquer número racional, ent˜ f  (x) = rxr−1 . Para que essa f´ ormula tenha validade para f  (0), r deve ser tal que xr−1 esteja definida em algum intervalo aberto contendo 0. a

ver demonstra¸ca õ na p´ agina 190, Livro :“O Cálculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edi¸c˜ ao, Louis Leithold.

√

Exemplo 34. Encontre f  (x) se f (x) = 4 3 x2 . Solu¸c˜ ao: 2 f (x) = 4x 3 .Do Teorema 17, 2 2 f  (x) = 4 . (x 3 −1 ) 3 8 −1 = x 3 3 8 = 1 3x 3 8 = . 33x

√



O Teorema 18 é uma consequência imediata do Teorema 17 e da regra da cadeia.

Teorema 18. Se f e g forem fun¸co˜es tais que f (x) = [g(x)]r , onde r é qualquer n´ umero racional e se g (x) existir, então f será derivável e f  (x) = r[g(x)]r−1g  (x).

Apostila

Derivada

52


√ − 4x + 5).

Exemplo 35. Calcule Dx ( 2x3 Solu¸c˜ ao: Escrevemos 18. Dx [(2x3

√2x − 4x + 5 como (2x − 4x + 5) 3

3

− 4x + 5)

1 2

1 2

e aplicamos o Teorema

1 1 (2x3 4x + 5)− 2 . Dx (2x3 2 1 1 = (2x3 4x + 5)− 2 (6x2 4) 2 3x2 2 = . 2x3 4x + 5

] =

− − √ −−

− 4x + 5)

−



Exemplo 36. Encontre g  (x) se g(x) =

x3 3 3x2

√ − 1.

Solu¸c˜ ao: A fra¸caõ dada pode ser escrita como um produto: g(x) = x3 (3x2

− 1)−

1 3

.

Dos Teoremas 7 e 18,

− 1)− − 13 (3x − 1)− (6x)(x ) x (3x − 1)− [3(3x − 1) − 2x ] x (7x − 3) . (3x − 1) 1 3

g  (x) = 3x2 (3x2 = =

2

2

2

2

2

4 3

2

2

4 3

3

2

4 3



Apostila

Derivada

53


Exemplo 37. Encontre f  (r) se f (r) =

√4sen

2

r + 9 cos2 r.

Solu¸c˜ ao: 1 f (r) = (4 sen2 r + 9 cos2 r) 2 . Aplicamos o Teorema 18. 1 1 (4sen2 r + 9 cos2 r)− 2 . Dr (4 sen2 r + 9 cos2 r) f  (r) = 2 8sen r . Dr (sen r) + 18 cosr . Dr (cos r) = 2 4sen2 r + 9 cos2 r 8sen r . cos r + 18cos r . ( sen r) = 2 4sen2 r + 9 cos2 r 10sen r cos r = 2 4sen2 r + 9 cos2 r 5sen r cos r = . 4sen2 r + 9 cos2 r

√

−

√

√− √−



1.12

Exerc´ıcios

1. Ache a derivada da fun¸cão dada. 1 1 (a) f (x) = 4x 2 + 5x− 2 . 2

1 3

(b) f (x) = 3x 3

6x + x− − √ (c) g(x) = 1 + 4x . (d) f (x) = (5 − 3x) . √ (e) g(x) = 4x − 1.

1 3

.

2

2 3

3

(f) g(y) =

2

1

 − 25

y2

.

√ √ (h) f (x) = 4 sec x. √ (i) g(r) = cotan 3r. (g) h(t) = 2 cos t.

Apostila

Derivada

54


(j) g(x) =

√3sen x.

1 (k) f (x) = (sen 3x)− 2 .

(l) f (y) =



1 + cosec2 y.

√

(m) f (x) = tan x2 + 1. (n) f (y) = 3 cos (o) g(x) =

 3

2y2 .

 −

2x 5 . 3x + 1 t 1 . t+1

√− (p) h(t) = √ √ (q) F (x) = 2x − 5x √ 2 (r) a(t) = 2t + . 3

3

2

+ x.

 t

(s) f (x) = (5

2

−x )

1 2

1

(x3 + 1) 4 .

2. Calcule a derivada indicada. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

√ − 

d x2 1 . dx x d ( x2 5 3 x2 + 3). dx sen t + 1 d . 1 sen t dt d (sen 3 z cos 3 z). dz d (tan y sec y). dy

√ − √



− √ √ √ √

d dx

(g) Dx

 −   √√ −   √ −   − √  cos x 1 . sen x

x 1 3 x+1

(h) Dx ( 9 + (i) Dy (j) Dz Apostila



4

9

x.

y3 + 1 . y3 1

1 . 1 + cos2 2z Derivada

55


(k) Dx

√



1 . x tan x

3. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva y = 5).

√x

2

+ 9, no ponto (4,

4. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva y = (7x perpendicular a` reta 12x 7y + 2 = 0.

−

− 6)−

1 3

que seja

√

5. Ache uma equa¸cão da reta normal a` curva y = x 16 + x2 na origem. 6. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva y = π ponto onde x = . 4

Apostila

Derivada

√sen x + cos x no

56


1.13

Deriva¸ c˜ ao Impl´ıcita

Se f = (x, y) y = 3x2 + 5x + 1 , então a equa¸cão

{

|

}

y = 3x2 + 5x + 1, define a fun¸caõ f explicitamente. Mas, nem todas as fun¸cões est˜ ao definidas dessa forma. Por exemplo, se tivermos a equa¸caõ x6

− 2x = 3y

6

+ y5

2

(16)

−y ,

não poderemos resolver y em termos de x. Além disso, podem existir uma ou mais fun¸cões f , para as quais se y = f (x), a equa¸caõ (16) estar´ a satisfeita, isto é, tais que a equa¸cão x6

6

− 2x = 3[f (x)]

+ [f (x)]5

2

− [f (x)] ,

seja válida para todos os valores de x no dom´ınio de f . Nesse caso, a fun¸caõ f está definida implicitamente pela equa¸cão dada. Com a hipótese de que (16) define y como uma fun¸caõ deriv´ avel de x, a õ impl´ıcita. derivada de y em rela¸caõ a x pode ser encontrada por deriva¸ca A equa¸cão (16) é um tipo especial de equa¸cão envolvendo x e y, pois pode ser escrita de tal forma que todos os termos envolvendo x estejam de um lado da equa¸caõ, enquanto que no outro lado ficar˜ ao todos os termos envolvendo caõ impl´ıcita. y. Ela serve como um primeiro exemplo do processo de deriva¸ O lado esquerdo de (16) é uma fun¸caõ de x e o lado direito é uma fun¸caõ de y. Seja F a fun¸caõ definida pelo lado esquerdo e seja G a fun¸cão definida pelo lado direito. Assim, F (x) = x6

− 2x

G(y) = 3y6 + y 5

e

2

−y ,

onde y é uma fun¸cã o de x, digamos y = f (x). Dessa forma, (16) pode ser escrita como F (x) = G(f (x)). Essa equa¸caõ est´ a satisfeita por todos os valores de x no dom´ınio de f para os quais G(f (x)) existe. Ent˜ ao, para todos os valores de x para os quais f é derivável, Dx (x6

− 2x) = D (3y x

6

+ y5

2

− y ).

(17)

A derivada do primeiro membro de (17) é facilmente encontrada e Dx (x6 Apostila

5

− 2x) = 6x − 2. Derivada

(18) 57


Encontramos a derivada do segundo membro de (17) pela regra da cadeia. Dx (3y6 + y 5

2

− y ) = 18y

5

.

dy dy + 5y 4 . dx dx

dy − 2y . dx .

(19)

Substituindo os valores de (18) e (19) em (17), obtemos 6x5

−2

= (18y5 + 5y4

dy − 2y) dx

6x5 2 dy = . 18y 5 + 5y 4 2y dx

−

−

Observe que ao usarmos a deriva¸caõ impl´ıcita, obtivemos uma express˜ ao dy para dx que envolve ambas as variáveis, x e y.

dy cão impl´ıcita para encontrar dx . Exemplo 38. Utilize o método da deriva¸ Considere a equa¸cão 3x4 y 2 7xy3 = 4 8y, (20)

−

−

e suponha que exista pelo menos uma fun¸cão derivável f , tal que se y = f (x).

Solu¸c˜ ao: Derivando-se ambos os membros de (20) (tendo em mente que y é uma fun¸caõ derivável de x) e aplicando os teoremas para derivada de um produto, a de uma potência e a regra da cadeia, obtemos 3 2

12x y + 3x

4

 − dy 2y dx

7y

3

− 7x

dy (6x4 y dx

  3y 2

− 21xy

dy dx

2

= 0

dy − 8 dx

+ 8) = 7y 3 dy = dx

3 2

− 12x y 7y − 12x y . 6x y − 21xy + 8 3

4

3 2 2



Estamos supondo que ambas (16) e (20) definam y como pelo menos uma fun¸caõ derivável de x. Pode acontecer que uma equa¸ cão em x e y não implique a existência de nenhuma fun¸caõ com valores reais, como é o caso da equa¸caõ x2 + y 2 + 4 = 0, que não está satisfeita por nenhum valor real de x e y. Além disso, é poss´ıvel que uma equa¸cã o em x e y possa estar satisfeita por v´ arias fun¸co˜es , algumas das quais são deriváveis, enquanto que outras n˜ a o são. Nas discuss˜ oes Apostila

Derivada

58


subsequentes, quando afirmarmos que uma equa¸ caõ em x e y define y como uma fun¸caõ impl´ıcita de x, suporemos que uma ou mais dessas fun¸co˜es seja derivável.

Exemplo 39. Dada (x + y)2

2

− (x − y)

= x4 + y4 , ache

dy . dx

Solu¸c˜ ao: Derivando implicitamente em rela¸cão a x, teremos

 −

− 

dy dy 2(x + y) 1 + 2(x y) 1 = dx dx dy dy 2x + 2y + (2x + 2y) 2x + 2y + (2x 2y) = dx dx dy (4x 4y 3) = dx dy = dx

−

−

−

−

dy dx dy 4x3 + 4y3 dx 4x3 + 4y3

4x3

− 4y x −y . x−y 3

3



Exemplo 40. Ache uma equa¸caõ da reta tangente a` curva x3 + y3 = 9, no ponto (1, 2). Solu¸c˜ ao: Vamos derivar implicitamente em rela¸caõ a x. 3x2 + 3y2

dy = 0 dx dy x2 = . dx y2

−

Logo, no ponto (1, 2),

dy = dx

− 14 . Uma equa¸cão da reta tangente é, então,

−2 x + 4y − 9 y

=

− 14 (x − 1)

= 0.

 Apostila

Derivada

59


Exemplo 41. Dada x cos x + y cos x = 1, ache

dy . dx

Solu¸c˜ ao: Derivando implicitamente em rela¸cão a x, obteremos 1 . cos y + x( sen y)

−

dy dy + (cos x) + y( sen x) = 0 dx dx dy (cos x x sen y) = y sen x cos y dx dy y sen x cos y = . cos x x sen y dx

− −

− − −



dy Exemplo 42. Dada a equa¸cão x2 + y2 = 9, ache (a) por deriva¸caõ dx impl´ıcita; (b) as duas fun¸co˜es definidas pela equa¸caõ; (c) a derivada de cada fun¸cão obtida na parte (b) por deriva¸caõ expl´ıcita; (d) comprove que o resultado obtido na parte (a) est´ a de acordo com os resultados obtidos na parte (c).

Solu¸c˜ ao: (a) Derivando implicitamente, 2x + 2y

dy = 0 dx dy x = . dx y

−

(b) Resolvendo a equa¸cão dada em y, y=

√

9

2

−x

e

y=

√ − 9−x . 2

Sejam f 1 e f 2 as duas fun¸cões para as quais f 1 (x) = (c) Como f 1 (x) = (9 obtemos Apostila

√

9

2

−x )

− 1 2

x2

e

e f 2 (x) =

f 2 (x) = 2

−(9 − x )

Derivada

√

2

− 9−x . 1 2

, pela regra da cadeia

60


1 1 (9 x2 )− 2 ( 2x) f 1 (x) = 2 x = ; 9 x2

−

−

−√ −

− 12 (9 − x )− (−2x) x = √ . 9−x √ (d) Para y = f (x) onde, f (x) = 9 − x , segue da parte (c) que 1 2

2

f 2 (x) =

2

1

2

1

f 1 (x) = =

− √9 x− x − xy ,

2

o que está de acordo com a parte (a). Para y = f 2 (x), onde f 2 (x) = 9 x2 , temos da parte (c)

−√ − x f  (x) = √ 9−x x = − √ − 9−x x = − , y 2

2

2

o que também est´ a de acordo com o resultado obtido na parte (a). 

1.14

Exerc´ıcios

1. Ache

dy por deriva¸caõ impl´ıcita. dx

(a) x2 + y 2 = 16. (b) 4x2

− 9y

2

= 1.

(c) x3 + y 3 = 8xy. Apostila

Derivada

61


1 1 + = 1. x y 3 3 (e) = 2x. x y (f) x + y = 4.

(d)

√

−

√

(g) 2x3y + 3xy 3 = 5. (h) x2 y 2 = x2 + y 2 . (i) (2x + 3)4 = 3y4 . x + 2y (j) x2 = . x 2y x (k) 4y = x. y

−

√ − √ √ (l) x + xy = 4y . √ √ √ (m) y + y + y = x. √ √ (n) xy + 2x = y. y (o) √ = 2+x . x−y (p) x y = x − y . (q) y = cos(x − y). 3

2

3

3

4

2

2 3

4

4

(r) x = sen(x + y).

(s) sec2 x + cosec2 y = 4. (t) cotan xy + xy = 0. (u) x sen y + y cos x = 1. (v) cos(x + y) = y sen x. (w) sec2 y + cotan(x (x) cosec(x

2

− y) = tan

x.

− y) + sec(x + y) = x. (y) (x + y) − (x − y) = x + y . √ √ (z) y 2 + 3x + x 1 + y = x. 2

2

3

3

2. Considere y como a variável independente e ache

dx . dy

(a) x4 + y 4 = 12x2 y. (b) y = 2x3

− 5x. (c) x y + 2y − x 3

Apostila

4

4

= 0. Derivada

62


√ − x√y = 9.

(d) y x

3. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2). 4. Ache uma equa¸caõ da reta normal a` curva 9x3 2).

−y

3

= 1 no ponto (1,

5. Ache uma equa¸caõ da reta normal a` curva x2 + xy + y 2 ponto (2, 3). 6. Ache uma equa¸cão da reta tangente a` curva (2, -32).

− 3y = 10 no

√xy = 14x + y no ponto 3

7. Ache a taxa de varia¸caõ de y em rela¸cão a x no ponto (3, 2), se 7y 2 xy 3 = 4. 8. Em que ponto da curva x + eixo x?

Apostila

−

√xy + y = 1 a reta tangente é paralela ao

Derivada

63


1.15

Derivadas de Ordem Superior

Se a fun¸caõ f for deriv´ avel, então f  será chamada a derivada primeira ` vezes é chamada de fun¸c˜ de f . As ao derivada primeira . Se a derivada de f  existir, ela será chamada de derivada segunda de f , ou de fun¸caõ derivada segunda e poder´ a ser denotada por f  (lê-se f duas linhas). Da mesma forma, a derivada terceira de f , ou a fun¸cão derivada terceira, é definida como a derivada de f  , se ela existir. A derivada terceira de f é denotada por f  (lê-se f três linhas). A derivada n-ésima da fun¸caõ f , onde n é um n´ umero inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n 1)ésima de f . Denotamos a derivada n-ésima de f por f (n) . Assim, se f (n) for a derivada n-ésima da fun¸caõ, podemos escrever f como sendo f (0) .

−

Exemplo 43. Ache todas as derivadas da fun¸caõ f definida por f (x) = 8x4 + 5x3

−x

2

+ 7.

Solu¸c˜ ao: f  (x) f  (x) f  (x) f (4) (x) f (5) (x) f (n) (x)

= = = = = =

32x3 + 15x2 2x 96x2 + 30x 2 192x + 30 192 0 0, n 5.

− −

≥



dy . Para a derivada dx d2 y segunda de y em rela¸cão a x, a nota¸cão de Leibniz é 2 , porque ela repredx d d dn y senta (y) . O s´ımbolo é uma nota¸caõ para a derivada n-ésima dx dx dxn de y em rela¸caõ a x. Outros s´ımbolos para a derivada n-ésima de f são A nota¸cão de Leibniz para a derivada primeira é

 

dn [f (x)] dxn Apostila

• Derivada

Dxn [f (x)].

64


d3 Exemplo 44. Calcule 3 (2 sen x + 3 cos x dx

3

− x ).

Solu¸c˜ ao: d (2 sen x + 3 cos x dx d2 (2 sen x + 3 cos x dx2 d3 (2 sen x + 3 cos x dx3

3

= 2 cos x

3

=

3

=

−x ) −x ) −x )

2

− sen x − 3x −2sen x − 3cos x − 6x −2cos x + 3 sen x − 6. 

d2 y Exemplo 45. Dada 4x + 9y = 36, ache 2 por deriva¸caõ impl´ıcita. dx 2

2

Solu¸c˜ ao: Derivando implicitamente em rela¸cão a x, obtemos 8x + 18y dy = dx

dy =0 dx

− 4x . 9y

(21)

2

d y Para encontrar dx 2 , calculamos a derivada de um quociente tendo em mente que y é uma fun¸cão de x. Assim,

9y( 4) d2 y = dx2

− − (−4x)

Substituindo o valor de

dy dx

d2 y = dx2

Apostila

81y2

dy dx

  9.

.

de (21) nessa equa¸caõ, obtemos

−36y + (36x)

  −4x 9y

81y 2 36y2 16x2 81y3 4(9y 2 + 4x2 ) . 81y 3

=

−

=

−

−

Derivada

65


Como qualquer valor de x e y satisfazendo essa equa¸caõ deve também satisfazer a equa¸cão original, podemos substituir 9y2 + 4x2 por 36 e obter d2 y = dx2 =

−4(36) 81y 3 16 . 9y3

−



1.16

Exerc´ıcios

1. Ache as derivadas primeira e segunda da fun¸caõ definida pela equa¸caõ dada. (a) f (x) = x5

3

− 2x + x. (b) f (x) = 7x − 8x . (c) g(s) = 2s − 4s + 7s − 1. (d) G(t) = t − t + t. √ (e) f (x) = x x − 5x. √ 1 (f) g(r) = r + √ . r √ (g) f (x) = x + 1. 3

2

4

3

3

2

2

2

(h) h(y) =

 3

2y 3 + 5.

(i) f (t) = 4 cos t2 . (j) g(t) = 2 sen3 t. (k) G(x) = cotan2 x.

− √√x .

2 (l) f (x) = 2+

x

x2 (m) g(x) = 2 . x +4 (n) g(x) = (2x 3)2 (x + 4)3 .

− √ (o) f (x) = sen x + 1.

Apostila

Derivada

66


(p) f (x) = sec 2x + tan 2x. 2. Ache Dx3 (x4

2

− 2x

√

+x

− 5).

3. Ache Dt3 ( 4t + 1). d4 4. Ache 4 dx

  3

2x

.

−1

5. Ache f (4) (x) se f (x) =

2

x

6. Ache Dx3 (2tan3x), 7. Ache

− 1.

d4 (3sen2 2t). 4 dt

8. Ache f (5) (x) se f (x) = cos 2x

− sen2x.

d3 u 9. Ache 3 se u = v v dv

√ − 2.

d2 y 10. Dada x + y = 1, mostre que 2 = dx 2

2

− y1 . 3

d2 y 11. Dada x + 25y = 100, mostre que 2 = dx 2

2

d2 y 12. Dada x + y = 1, mostre que 2 = dx 3

3

− 25y4

3

.

. − 2x y 5

1 d2 y 13. Dada x + y = 2, mostre que 2 = 3 . dx x2 1 2

1 2

d2 y 14. Dada x +y = a (a é uma constante), ache 2 na forma mais simples. dx 4

2 2

15. Dada b x simples.

4

−

4

d2 y a y = a b (a e b são constantes), ache 2 na forma mais dx 2 2

2 2

16. Ache a inclina¸caõ da reta tangente em cada ponto do gr´ afico de y = 4 3 2 3x , onde a taxa de varia¸cão da inclina¸cão é zero. x +x

−

Apostila

Derivada

67


1.17

Derivadas das Fun¸ co ˜es Trigonom´ etricas Inversas

Nesta se¸cão a diferencia¸caõ impl´ıcita será usada para determinar as derivadas das fun¸cões trigonométricas inversas, supondo que essas fun¸ co˜es sejam diferenciáveis (de fato, qualquer que seja a fun¸caõ f diferenciável um a um, pode ser provado que sua fun¸cão inversa, f −1 , é também diferenci´ avel, exceto onde suas tangentes s˜ ao verticais. Isto é plaus´ıvel, pois o gr´ afico de uma fun¸caõ diferenciável não possui bicos ou dobras e se o refletimos em torno de y = x, o gráfico de sua fun¸caõ inversa também não ter´ a bicos ou dobras). Lembre-se de que a fun¸caõ inversa da fun¸caõ seno foi dada por: y = sen−1 x

significa que

sen y = x

e

− π2 ≤ y ≤ π2 .

Diferenciando sen y = x implicitamente em rela¸caõ a x obtemos cos y Agora cos y

Portanto

dy =1 dx

1 dy = . cos y dx

e π

π

2

2

≥ 0, uma vez que − ≤ y ≤ , logo: √ cos y = 1 − sen y = 1 − x .

1 dy = = cos y dx



2

2

√1 1− x , 2

d (sen−1 x) = dx

√1 1− x . 2

A fórmula para a derivada da fun¸ caõ arco tangente é deduzida de maneira − 1 similar. Se y = tan x, então tan y = x. Diferenciando essa u ´ ltima equa¸caõ implicitamente em rela¸ cão a x temos sec2 y

dy =1 dx

1 1 1 dy = = = 2 sec2 y 1 + tan y 1 + x2 dx 1 d (tan−1 x) = . 1 + x2 dx

Apostila

Derivada

68


Exemplo 46. Diferencie (a) y =

1 e (b) f (x) = x tan−1 − 1 sen x

√x.

Solu¸c˜ ao: (a)

dy d = (sen−1 x)−1 = dx dx

−(sen−

 

1 (b) f  (x) = x 1 + ( x)2

1 −1 x 2 2

√

1

d x)−2 (sen−1 x) = dx

+ tan−1

√x = √x

− (sen−

2(1 + x)

1 1 x)2 1

+ tan−1

√ −x ; √x. 2



As fun¸cões trigonométricas inversas que ocorrem com mais frequência s˜ ao aquelas dadas anteriormente (arco seno e arco tangente). As derivadas das quatro fun¸co˜es remanescentes est˜ ao dadas no quadro abaixo. 1 d (sen−1 x) = , dx 1 x2 1 d (cos−1 x) = , dx 1 x2 1 d (tan−1 x) = , 1 + x2 dx

1 d (cosec−1 x) = , dx x x2 1 1 d (sec−1 x) = , dx x x2 1 1 d (cotan−1 x) = . 1 + x2 dx

√ − −√ −

1.18

−√ − √ − −

Exerc´ıcios

1. Encontre a derivada da fun¸caõ. Simplifique onde poss´ıvel.

√

(a) y = tan−1 x. (b) y = tan−1 x.

√

(c) y = sen−1 (2x + 1).

√1 − x

sen−1 x. (e) H (x) = (1 + x2 )tan−1 x. (f) f (x) = tan−1 (x 1 + x2 ).

(d) h(x) =

2

−√

(g) h(t) = cotan−1 (t) + cotan−1 Apostila



1 . t

Derivada

69


− √1 − x .

(h) y = x cos−1 x (i) y = cos−1 (e2x ).

2

(j) y = tan−1(cos θ). 2. Uma maneira de definir sec−1 x é dizer que y = sec−1 x sec y = x e π 3π 0 y ou π y . Mostre que, se essa defini¸ caõ for adotada, 2 2 então 1 d (sec−1 x) = . dx x x2 1

≤ ≤

⇔

≤ ≤

√ −

3. Outra maneira de definir sec−1 x é dizer que y = sec−1 x sec y = x e 0 y π, y = 0. Mostre que, se essa defini¸cão for adotada, ent˜ ao

≤ ≤

⇔



1 √ | | x − 1.

d (sec−1 x) = dx x

Apostila

Derivada

2

70


1.19

Derivadas de uma Fun¸ c˜ ao exponencial

Teorema 19. a Derivada de uma fun¸ca õ exponencial: Se a for um número positivo qualquer e u for uma fun¸caõ diferenci´ avel de x, Dx (au ) = au ln aDx u.

a


2

Exemplo 47. Se y = 3x , então pelo Teorema 19, determine sua derivada. Solu¸c˜ ao: dy 2 = 3x (ln 3)(2x) dx 2 = 2(ln 3)x3x . 

Teorema 20. a Derivada de uma fun¸c˜ ao exponencial natural: Se u for uma fun¸cão de x, diferenciável, Dx (eu ) = au Dx u.

a


Exemplo 48. De acordo com o Teorema 20, ache

1 dy sabendo que y = e 2 . dx x

Solu¸c˜ ao: 1 dy = e 2 dx x

−  2 x3

1

2e 2 . x3 x

=

−

 Apostila

Derivada

71


Exemplo 49. De acordo com o Teorema 20, ache

dy sabendo que dx

y = e2x+ln x .

Solu¸c˜ ao: Como e2x+ln x = e2x eln x e eln x = x, então y = xe2x . Logo,

dy = e2x + 2xe2x . dx 

1.20

Exerc´ıcios

1. Ache a derivada da fun¸cão dada. (a) f (x) = 35x . 2

(b) f (t) = 43t . (c) f (x) = 6−3x . 2 (d) g(x) = 10x −2x .

(e) f (x) = πx . (f) f (x) = 4sen2x . (g) f (z) = 2cosec 3z . 2

(h) g(x) = 25x 34x . (i) f (x) = (x3 + 3)2−7x . (j) f (x) = x2 ex . (k) f (x) = ex cos x. 1 + ex (l) f (x) = . 1 ex ex (m) f (x) = 2 . x +1

−

Apostila

Derivada

72


ex (n) f (x) = . x+1 (o) f (x) = xex cos x. (p) f (x) = ex sen x cos x. (q) f (x) = cos ex . 2

(r) f (x) = etan x .

Apostila

Derivada

73


1.21

Derivadas das Fun¸ co ˜es Logar´ıtmicas

Nesta se¸caõ vamos usar a diferencia¸caõ impl´ıcita para calcular as derivadas das fun¸co˜es logar´ıtmicas y = loga x e, em particular, a fun¸caõ logar´ıtmica natural y = ln x. Assumiremos que as fun¸cões logar´ıtmicas são diferenci´ aveis. 1 d (loga x) = . dx x ln a A seguir, a prova de (22): Seja y = loga x. Então,

(22)

ay = x. Diferenciando essa equa¸caõ implicitamente em rela¸caõ a x obtemos, ay (ln a)

dy = 1, dx

e logo,

1 1 dy = y = . dx a ln a x ln a Se pusermos a = e em (22), ent˜ a o o fator ln a no lado direito torna-se ln e = 1 e obtemos a fórmula para a derivada da fun¸cão logar´ıtmica natural loge x = ln x: 1 d (ln x) = . (23) dx x Comparando-se as f´ ormulas (22) e (23), vemos uma das principais razões para os logaritmos naturais (logaritmos com base e) serem usados em c´ alculo. A fórmula de diferencia¸cão é mais simples quando a = e, pois ln e = 1.

Exemplo 50. Diferencie y = ln(x3 + 1). Solu¸c˜ ao: Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x3 + 1. Ent˜ ao y = ln u; logo: 1 du 1 3x2 dy dy du 2 = = = 3 (3x ) = 3 . dx du dx u dx x +1 x +1 

Em geral, se combinarmos a f´ ormula (23) com a Regra da Cadeia, como no exemplo anterior, obtemos 1 du d d g  (x) (ln u) = ou [ln g(x)] = (24) . dx u dx dx g(x) Apostila

Derivada

74



d [ln(sen x)]. dx

Solu¸c˜ ao: Usando (24), temos 1 d 1 d [ln(sen x)] = (sen x) = cos x = cotan x. sen x dx sen x dx 

Exemplo 52. Diferencie f (x) =

√ln x.

Solu¸c˜ ao: Dessa vez o logaritmo é a fun¸cão de dentro; logo, a Regra da Cadeia d´ a 1 d 1 1 1 1 f  (x) = (ln x)− 2 (ln x) = . = . 2 dx 2 ln x x 2x ln x

√

√



Exemplo 53. Diferencie f (x) = log10(2 + sen x). Solu¸c˜ ao: Usando a fórmula (22) com a = 10, temos 1 d d [log10 (2 + sen x)] = (2 + sen x) (2 + sen x)ln10 dx dx cos x = . (2 + sen x)ln10

f  (x) =



Apostila

Derivada

75


  √  x+1 x 2

d ln Exemplo 54. Encontre dx

−

.

Solu¸c˜ ao: Se primeiro simplificarmos a fun¸caõ dada usando as propriedades do logaritmo, ent˜ ao a diferencia¸caõ ficar´ a mais fácil:

  √ 

d ln dx

x+1 x 2

1 d [ln(x + 1) ln(x 2 dx 1 1 1 = . x+1 2 x 2 =

−

−

− 2)]

 

−

−



Exemplo 55. Encontre f  (x) se f (x) = ln x .

||

Solu¸c˜ ao: Uma vez que, f (x) = sempre que, f  (x) =





ln x se x > 0 , ln( x) se x < 0

−

1 x

1

−x ( 1) = Assim, f  (x) = x1 , para todo x = 0.

− 

1 x

se x > 0 . se x < 0 

O resultado do exemplo anterior vale a pena ser lembrado: 1 d ln x = . dx x

||

1.22

(25)

Diferencia¸ c˜ ao Logar´ıtmica

Os cálculos de derivadas de fun¸cões complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os ao logaritmos. O método usado no exemplo a seguir é chamado diferencia¸c˜ logar´ıtmica.

Apostila

Derivada

76


3

√

x 4 x2 + 1 . Exemplo 56. Diferencie y = (3x + 2)5

Solu¸c˜ ao: Tome o logaritmo em ambos os lados da equa¸caõ e use as propriedades do logaritmo para simplificar: ln y =

3 1 ln x + ln(x2 + 1) 4 2

− 5 ln(3x + 2).

Diferenciando implicitamente em rela¸ cão a x temos 1 dy 3 1 1 2x = . + . 2 4 x 2 x +1 y dx Resolvendo

dy dx

− 5 . 3x 3+ 2 .

, obtemos dy =y dx



3 x + 2 4x x + 1

−

15 3x + 2



.

Como temos uma express˜ ao expl´ıcita para y, podemos substitu´ı-lo por ela e escrever 3

√

dy x 4 x2 + 1 = (3x + 2)5 dx



3 x + 2 4x x + 1

−

15 3x + 2



. 

Passos na Diferencia¸cão Logar´ıtmica: 1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equa¸ caõ y = f (x) e use as propriedades dos logaritmos para simplificar; 2. Diferencie implicitamente em rela¸caõ a x; 3. Resolva a equa¸caõ resultante para y  . Se f (x) < 0 para algum valor de x, então ln f (x) não est´ a definida, mas podemos escrever y = f (x) e usar a equa¸caõ (25).

|| |

Apostila

|

Derivada

77


√ x Exemplo 57. Diferencie y = x . Solu¸c˜ ao: Usando a diferencia¸cão logar´ıtmica, temos √ ln y = ln x x = x ln x

√

y = y y = y

1.23

√x . 1 + (ln x) √1 2 x x

√

 √

1 ln x + x 2 x

√ =x x





2 + ln x . 2 x

√



Exerc´ıcios

1. Diferencie a fun¸cão. (a) f (x) = ln(x2 + 10). (b) f (θ) = ln(cos θ). (c) f (x) = cos(ln x). (d) f (x) = log2 (1 (e) f (x) = log10

3x).

−  x

x

√ln x. √ (g) f (x) = ln x. √ (h) f (x) = x ln x. (f) f (x) =

5

−1

.

5

1 + ln t . 1 ln t (2t + 1)3 (j) F (t) = ln . (3t 1)4 (i) f (x) =

−





− √ (k) f (x) = ln(x + x − 1). Apostila

2

Derivada

78


−

a x . a+x (m) F (y) = y ln(1 + ey ). ln u (n) f (u) = . 1 + ln(2u) (l) g(x) = ln

(o) y = ln(x4 sen2 x). 2

(p) y = 2

| − x − 5x |.



3u + 2 . 3u 2 (r) y = ln(e−x + xe−x ).

(q) G(u) = ln

−

(s) y = [ln(1 + ex )]2 . 2. Encontre y e y  . (a) y = x ln x. ln x (b) y = 2 . x (c) y = log10 x. (d) y = ln(sec x + tan x). 3. Diferencie e encontre o dom´ınio de f . x . 1 ln(x 1) 1 (b) f (x) = . 1 + ln x (c) f (x) = x2 ln(1 x2 ). (a) f (x) =

−

−

−

(d) f (x) = ln(ln(ln x)). x , encontre f  (e). ln x 5. Se f (x) = x2 ln x, encontre f  (1). 4. Se f (x) =

6. Use a diferencia¸caõ logar´ıtmica para achar a derivada da fun¸ caõ dada. (a) y = (2x + 1)5 (x4 (b) y =

√xe

x2

6

− 3) .

(x2 + 1)10 .

sen2 x tan4 x (c) y = . (x2 + 1)2 Apostila

Derivada

79




x2 + 1 (d) y = . x2 1 (e) y = xx . 4

−

1

(f) y = x . x

(g) y = xsen x . (h) y = (sen x)x . (i) y = (ln x)x . (j) y = xln x . (k) y = xe . x

(l) y = (ln x)cos x . 7. Encontre y se y = ln(x2 + y2 ). 8. Encontre y se xy = y x .

Apostila

Derivada

80


1.24

Derivadas das Fun¸ co ˜es Hiperb´ olicas

Certas combina¸co˜es das fun¸co˜es exponenciais ex e e−x surgem frequentemente em matem´ atica e suas aplica¸cões e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são an´ alogas de muitas formas a`s fun¸cões trigonométricas e possuem a mesma rela¸caõ com a hip´ erbole que as fun¸ cões trigonométricas têm com o c´ırculo. Por essa raz˜ ao são chamadas fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas, particularmente seno hiperb´ olico, cosseno hiperb´ olico e assim por diante.

Defini¸co ˜es de Fun¸co ˜es Hiperb´ olicas senh x =

ex

− e−

x

1 , senh x 1 sech x = , cosh x cosh x cotanh x = . senh x cosech x =

,

2 e + e−x cosh x = , 2 senh x tanh x = , cosh x x

As aplica¸cões na ciência e engenharia ocorrem sempre que uma entidade, como a luz, a velocidade, a eletricidade, ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinguida, pois o decaimento pode ser representado por fun¸ cões hiperb´ olicas. A aplica¸cão mais famosa é o uso do cosseno hiperb´ olico para descrever a forma de um fio dependurado. Pode ser provado que se um cabo flex´ıvel pesado (como um fio de telefone ou de eletricidade) estiver suspenso entre dois pontos na mesma altura, ent˜ ao ele assume a forma de uma curva com a equa¸caõ y = c + a cosh(x/a) chamada caten´ aria .

Identidades Hiperb´ olicas cosh2 x senh2 x = 1, 1 tanh2 x = sech2 x,

senh( x) = senh x, cosh( x) = cosh x,

− −

−

−

−

senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y. As derivadas das fun¸ co˜es hiperb´ olicas são facilmente calculadas. Por exemplo, d d (senh x) = dx dx



ex

− e− 2

x



ex + e−x = = cosh x. 2

Abaixo, as fórmulas de diferencia¸cão para as fun¸co˜es hiperb´ olicas. Apostila

Derivada

81


Derivadas das Fun¸c˜ oes Hiperb´ olicas d (senh x) = cosh x, dx d (cosh x) = senh x, dx d (tanh x) = sech2 x, dx

Exemplo 58. Calcule

d (cosech x) = dx d (sech x) = dx d (cotanh x) = dx

− cosech x cotanh x, − sech x tanh x, − cosech x. 2

√

d (cosh x). dx

Solu¸c˜ ao: Combinando a regra de diferencia¸caõ do cosh com a Regra da Cadeia, temos que,

√

√

√ √

√

senh x d d (cosh x) = senh x . ( x) = . dx dx 2 x 

1.25

Derivadas das Fun¸ co ˜es Hiperb´ olicas Inversas

Sabe-se que senh e tanh são fun¸cões um a um; logo, elas têm fun¸co˜es inversas denotadas por senh−1 e tanh−1 . A fun¸caõ cosh não é um a um, mas quando restringida no dom´ınio [0, ) torna-se um a um. A inversa da fun¸cão cosseno hiperb´ olico está definida como a inversa dessa fun¸caõ restrita.

∞

y = senh−1 x y = cosh−1 x y = tanh−1 x

⇔ ⇔ ⇔

senh y = x; cosh y = x tanh y = x.

e

y

≥ 0;

As inversas das demais fun¸co˜es hiperb´ olicas são definidas analogamente. Uma vez que as fun¸co˜es hiperb´ olicas estão definidas em termos das fun¸co˜es exponenciais, n˜ ao é surpreendente aprender que as das fun¸ cões hiperb´ olicas inversas podem ser expressas em termos de logaritmos. Em particular, temos:

Apostila

Derivada

82


√ √

senh−1 x = ln(x + x2 + 1), cosh−1 x = ln(x + x2 1), 1 1+x tanh−1 x = ln , 2 1 x

x x

 −

−1 < x < 1.

−

Exemplo 59. Mostre que senh−1 = ln(x +

∈ R; ≥ 1;

√x

2

+ 1).

Solu¸c˜ ao: Seja y = senh−1 x. Então, ey

x = senh y =

y

− e− , 2

logo, ey

− 2x − e−

e2y

− 2xe − 1 = 0.

ou, multiplicando por ey ,

y

= 0,

y

Isso é realmente uma equa¸cão quadr´ atica em ey : (ey )2

y

− 2x(e ) − 1 = 0.

Resolvendo a fórmula quadr´ atica, obtemos

√4x + 4 √ ± = x ± x + 1. e = 2 √ √ > 0, mas x − x + 1 < 0 (pois x < x y

2x

2

2

2 Note que ey sinal menos é inadmiss´ıvel e temos

ey = x +

2

+ 1). Assim, o

√

x2 + 1.

Consequentemente y = ln(ey ) = ln(x +

√

x2 + 1). 

Apostila

Derivada

83


Derivadas das Fun¸c˜ oes Hiperb´ olicas Inversas 1 d (cosech−1 x) = , dx x x2 + 1 1 d (sech−1 x) = , dx x 1 x2 1 d (cotanh−1 x) = . 1 x2 dx

√1 1+ x ,

d (senh−1 x) = dx d (cosh−1 x) = dx d (tanh−1 x) = 1 dx

− | |√ −√ −

2

√x 1− 1 , 2

1

−x , 2

−

As fun¸co˜es hiperb´ olicas inversas são todas diferenci´ aveis, pois as fun¸co˜es hiperb´ olicas são diferenci´ aveis.

Exemplo 60. Prove que

√1 1+ x .

d (senh−1 x) = dx

2

Solu¸c˜ ao: Seja y = senh−1 x. Ent˜ ao senh y = x. Se diferenciarmos essa equa¸ cão implicitamente em rela¸ cão a x, obteremos cosh y

  dy dx

= 1.

Uma vez que cosh2 y senh2 y = 1 e cosh y 0, temos cosh y = logo, 1 1 1 dy = = = . cosh y dx 1 + x2 1 + senh2 y

−

≥

1 + senh2 y,

√








d [tanh−1 (sen x)]. dx

Solu¸c˜ ao: Aplicando a derivada da tanh−1 juntamente com o conceito da Regra da Cadeia, temos que: d [tanh−1 (sen x)] = 1 dx =

Apostila

− 1−

1 d (sen x) (sen x)2 dx 1 cos x cos = = sec x. x sen2 x cos2 x

Derivada



84


1.26

Exerc´ıcios

1. Encontre a derivada; (a) f (x) = tanh 4x. (b) f (x) = x cosh x. (c) g(x) = sen2 x. (d) h(x) = senh(x2 ). (e) F (x) = senh x tanh x. 1 cosh x (f) G(x) = . 1 + cosh x (g) f (t) = et sech t.

−

√

(h) h(t) = cotanh 1 + t2 . (i) f (t) = ln(senh t). (j) H (t) = tanh(et ). (k) y = senh(cosh x). (l) y = ecosh 3x . (m) y = x2 senh−1 (2x). (n) y = tanh−1 x.

√

(o) y = x tanh−1 x + ln(1 x2 ). x (p) y = x senh−1 9 + x2 . 3 (q) y = sech−1 1 x2 , x > 0. (r) y = cotanh−1 x2 + 1.

  − √−

√ − √

Apostila

Derivada

85


1.27

Valores extremos das Fun¸ co ˜es e Técnicas de Constru¸ ca õ de Gr´ aficos

1.27.1

Valor Funcional Máximo e M´ınimo

A interpreta¸caõ geométrica da derivada de uma fun¸ caõ é a inclina¸caõ da reta tangente ao gr´ afico da fun¸caõ em um ponto. Esse fato possibilita-nos aplicar derivadas como recurso auxiliar no esbo¸co de gr´ aficos. Por exemplo, pode-se usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal; esses são os pontos onde a derivada é zero. A derivada também pode ser usada para encontrar os intervalos nos quais a fun¸ cão est´ a acima ou abaixo da reta tangente.

Defini¸ca õ 6. A fun¸cão f terá um valor m´ aximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) f (x) para todo x nesse intervalo.

≥

As Figuras 11 e 12 mostram o esbo¸co de parte do gr´ afico de uma fun¸caõ, tendo um valor m´ aximo relativo em c.

Figura 11: Máximo relativo.

Figura 12: Máximo relativo.

Apostila

Derivada

86


Defini¸ca õ 7. A fun¸cão f ter´ a um valor m´ınimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) f (x) para todo x nesse intervalo.

≤

As Figuras 13 e 14 mostram o esbo¸co de parte do gr´ afico de uma fun¸caõ, tendo um valor m´ınimo relativo em c.

Figura 13: M´ınimo relativo.

Figura 14: M´ınimo relativo. Se a fun¸cão f tiver um máximo relativo em c ou um m´ınimo relativo, ent˜ ao dizemos que f tem um extremo relativo em c.

Teorema 21. Se f (x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a, b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, então f  (c) = 0, se f  (c) existir. a a


Apostila

Derivada

87


A interpreta¸caõ geométrica desse teorema é que se f tiver um extremo relativo em c, e se f  (c) existir, então o gr´ afico de f precisará ter uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c. Se f for uma fun¸cão derivável em um intervalo aberto (a, b), ent˜ a o os u ńicos valores poss´ıveis de x para os quais f pode ter um extremo relativo são aqueles em que f  (x) = 0; no entanto, f  (x) pode ser igual a zero para um valor espec´ıfico de x, sem que f possua um extremo relativo neste ponto. Em outras palavras, para fun¸co˜es deriv´ aveis em um intervalo (a, b), a anula¸caõ da derivada em um ponto c é condi¸cão necess´ aria mas n˜ ao suficiente para que c seja um extremo relativo.

Exemplo 62. Considere a fun¸caõ f definida por f (x) = (x 1)3 . Verifique a existência de extremos relativos. Fa¸ ca um esbo¸co do gráfico.

−

Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gráfico dessa fun¸caõ est´ a na a Figura 15. f  (x) = 3(x 1)2 , e assim f  (1) = 0. Mas, f (x) < 0 se x < 1 e f (x) > 0 se x > 1. Assim, f não tem um extremo relativo em 1.

−

Figura 15: Exemplo 62. 

Apostila

Derivada

88


Exemplo 63. Considere a fun¸caõ f definida por f (x) =



2x 1 se x 3 . 8 x se x > 3

− −

≤

Verifique a existência de extremos relativos. Fa¸ ca um esbo¸co do gráfico.

Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gr´ afico dessa fun¸cão est´ a na Figura 16. A fun¸caõ f tem um valor máximo relativo em 3. A derivada a` esquerda em 3 é dada por f − (3) = 2, enquanto que a derivada a` direita de 3 é dada por f + (3) = 1. Conclui-se ent˜ ao que f  (3) n˜ ao existe.

−

Figura 16: Exemplo 63. Uma fun¸caõ f pode ter um extremo relativo num n´ umero e f  pode n˜ ao existir para esse n´ umero. Essa ilustra¸cã o demonstra por que a condi¸cão “f  (c) existe” deve ser inclu´ıda nas hip´ oteses no Teorema 21. 

1

Exemplo 64. Considere a fun¸caõ f definida por f (x) = x 3 . Verifique a existência de extremos relativos. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. Solu¸c˜ ao: O dom´ınio de f é o conjunto de todos os n´ umeros reais. 1 f  (x) = 2 , 3x 3 Apostila

se x = 0.

Derivada



89


Figura 17: Exemplo 64. Além disso, f  (0) n˜ ao existe. A Figura 17 mostra um esbo¸co do gráfico de f . A fun¸cão não tem extremos relativos. ´ poss´ıvel que uma fun¸caõ f possa ser definida num n´ E umero c, onde f  (c) não exista e ainda f pode n˜ ao ter um extremo relativo nesse n´ umero. 

Em suma, se uma fun¸caõ f está definida em um n´ umero c, uma condi¸caõ necessária a` existência de um extremo relativo para f é que f  (c) = 0 ou f  (c) não exista. Porém, essa condi¸caõ é insuficiente. umero no dom´ınio da fun¸caõ f e se f  (c) = 0 Defini¸ca õ 8. Se c for um n´ umero cr´ıtico de f . ou f  (c) não existir, então c será chamado de n´ Dessa defini¸caõ e da discussão anterior, uma condi¸ cão necess´ aria (mas não suficiente) a` existência de um extremo relativo em c é que c seja um número cr´ıtico.

umeros cr´ıticos da fun¸cão f definida por Exemplo 65. Ache os n´ 4

1

f (x) = x 3 + 4x 3 .

Solu¸c˜ ao: 4 1 4 −2 f  (x) = x3 + x 3 3 3 4 −2 = x 3 (x + 1) 3 4(x + 1) = . 2 3x 3 Apostila

Derivada

90


Quando x = 1, f  (x) = 0 e quando x = 0, f  (x) não existe. Ambos e 0 est˜ ao no dom´ınio de f ; logo, os pontos cr´ıticos de f são 1 e 0.

−

−

−1 

Exemplo 66. Ache os n´ umeros cr´ıticos da fun¸cão g definida por g(x) = sen x cos x.

Solu¸c˜ ao: Como sen 2x = 2 sen x cos x, g(x) =

1 sen2x; 2

1 g (x) = (cos2x)2 = cos 2x. 2 Desde que g (x) exista para todo x, os u ´ nicos n´ umeros cr´ıticos são aqueles  para os quais g (x) = 0. Como cos 2x = 0, quando 1 2x = π + kπ, 2

onde k é um inteiro qualquer,

os n´ umeros cr´ıticos de g são 14 π + 12 kπ, onde k é um inteiro qualquer.



Um problema frequente refere-se a uma fun¸ cão dada num certo intervalo, onde queremos encontrar o maior ou o menor valor da fun¸cão. Esses intervalos podem ser fechados, abertos ou fechados num extremo e abertos no outro. O maior valor da fun¸cão no intervalo é chamado de valor m´ aximo absoluto e o menor valor da fun¸caõ no intervalo é chamado de valor m´ınimo absoluto.

Defini¸ca õ 9. A fun¸caõ f terá um valor m´ aximo absoluto num inumero c no intervalo, tal que f (c) f (x) para tervalo, se existir algum n´ todo x do intervalo. Em tal caso, f (c) ser´ a o valor máximo absoluto de f no intervalo.

≥

Defini¸ca õ 10. A fun¸cão f ter´ a um valor m´ınimo absoluto num inumero c no intervalo, tal que f (c) f (x) para tervalo, se existir algum n´ todo x do intervalo. Em tal caso, f (c) ser´ a o valor m´ınimo absoluto de f no intervalo.

≤

Apostila

Derivada

91


Um extremo absoluto de uma fun¸cão num intervalo é um valor m´ aximo absoluto ou um valor m´ınimo absoluto da fun¸caõ no intervalo. Uma fun¸caõ pode ou não ter um extremo absoluto num intervalo dado.

Exemplo 67. Seja f a fun¸caõ definida por f (x) = 2x. Verifique a existência de m´ aximos e m´ınimos absolutos. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico.

Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gr´ afico de f em [1, 4) est´ a na Figura 18. A fun¸cão f tem um valor m´ınimo absoluto de 2 em [1, 4). Não h´ a um valor máximo absoluto de f em [1, 4), pois lim− f (x) = 8, mas f (x) é sempre menor do que 8 no x→4 intervalo dado.


Exemplo 68. Seja f a fun¸caõ definida por f (x) =

2

−x .

Verifique a existência de m´ aximos e m´ınimos absolutos. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. Apostila

Derivada

92


Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gr´ afico de f em ( 3, 2] está na Figura 19. A fun¸cão f tem um valor máximo absoluto de 0 em ( 3, 2]. N˜ a o há valor m´ınimo absoluto de f em ( 3, 2], pois lim + f (x) = 9, mas f (x) é sempre maior do que 9 x→−3 no intervalo dado.

− − −

−

−



x

1

−x . 2

Verifique a existência de m´ aximos e m´ınimos absolutos. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico.

Solu¸c˜ ao: A fun¸caõ f definida por f (x) = 1−xx2 , nã o possui nem valor m´ aximo absoluto nem valor m´ınimo absoluto em ( 1, 1). Um esbo¸co do gr´ afico de f em ( 1, 1) est´ a na Figura 20. Observe que

−

−

lim f (x) = →−1+

x

−∞

lim− f (x) = + →1

x

∞ 

Apostila

Derivada

93


Figura 20: Exemplo 69.




se x < 1 x+1 . x2 6x + 7 se x 1

−

≥


Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gráfico de f em [ 5, 4] está na Figura 21. O valor máximo absoluto de f em [ 5, 4] ocorre em 1 e f (1) = 2; o valor m´ınimo absoluto de aximo f em [ 5, 4] ocorre em 5 e f ( 5) = 4. Note que f tem um valor m´ relativo em 1 e um valor m´ınimo relativo em 3. Observe também que 1 é um número cr´ıtico de f , pois f  (1) não existe e 3 é um n´ umero cr´ıtico de f , já  que f (3) = 0.

−

−

−

−

−

−

Figura 21: Exemplo 70.  Apostila

Derivada

94



1

x

− 3.


Solu¸c˜ ao: A fun¸caõ f definida por f (x) =

1

, não possui nem valor m´ aximo nem x 3 valor m´ınimo absolutos em [1, 5]. Veja, na Figura 22, um esbo¸co do gr´ afico de f . Como lim− f (x) = , então, f (x) pode se tornar menor do que x→3 qualquer n´ umero negativo, quando tomamos 3 x > 0, e menor do que um δ > 0 adequado. Da mesma forma, lim+ f (x) = + ; assim, f (x) pode se x→3 tornar maior do que qualquer n´ umero positivo, quando tomamos x 3 > 0 e menor do que um δ > 0 adequado.

−

−∞

−

∞

−


Podemos falar de um extremo absoluto de uma fun¸caõ, mesmo que n˜ ao seja especificado o intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da fun¸caõ em todo o seu dom´ınio.

Defini¸ca õ 11. f (c) será o valor m´ aximo absoluto da fun¸caõ f se c estiver no dom´ınio de f e se f (c) f (x) para todos os valores de x no dom´ınio de f .

≥

Apostila

Derivada

95


Defini¸ca õ 12. f (c) será o valor m´ınimo absoluto da fun¸caõ f se c estiver no dom´ınio de f e se f (c) f (x) para todos os valores de x no dom´ınio de f .

≤

Exemplo 72. Seja f a fun¸caõ definida por f (x) = x2

− 4x + 8.


Solu¸c˜ ao: O gráfico da fun¸cão f definida por f (x) = x2 4x + 8 é uma parábola e o seu esbo¸co est´ a na Figura 23. O ponto mais baixo da parábola est´ a em (2, 4) e a par´ abola tem concavidade voltada para cima. A fun¸ caõ tem um valor m´ınimo absoluto de 4 em 2. N˜ ao há valor máximo absoluto de f .

−


Se uma fun¸cão for cont´ınua num intervalo fechado, h´ a um teorema, conhecido como teorema do valor extremo, o qual assegura que a fun¸caõ tem ambos os valores máximo e m´ınimo absolutos no intervalo.

Teorema 22. Teorema do Valor Extremo: Se a fun¸caõ f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], então f terá um valor máximo absoluto e um valor m´ınimo absoluto em [a, b]. Apostila

Derivada

96


O Teorema 22 assegura que a continuidade de uma fun¸caõ em um intervalo fechado é condi¸caõ suficiente para garantir que a fun¸caõ tenha no intervalo ambos os valores, m´ aximo e m´ınimo, absolutos. A condi¸caõ, contudo, n˜ ao é necessária. Um extremo absoluto de uma fun¸caõ cont´ınua num intervalo fechado deve ser um extremo relativo, ou um valor de fun¸caõ num extremo do intervalo. Como uma condi¸caõ necess´ aria para que uma fun¸cão tenha um extremo relativo num n´ umero c é que c seja um n´ umero cr´ıtico, o valor m´ aximo absoluto e o valor m´ınimo absoluto de uma fun¸cão cont´ınua f num intervalo fechado [a, b] podem ser determinados pelo seguinte procedimento: 1. Ache os valores da fun¸caõ nos n´ umeros cr´ıticos de f em (a, b). 2. Ache os valores de f (a) e f (b). 3. O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 ser´ a o valor máximo absoluto e o menor ser´ a o valor m´ınimo absoluto.

Exemplo 73. Ache os extremos absolutos de f em f (x) = x3 + x2

− x + 1.

2, 12 se

− 

Solu¸c˜ ao: Como f é cont´ınua em 2, 12 , o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Para achar os n´ umeros cr´ıticos de f , calculamos primeiro f  : f  (x) = 3x2 + 2x 1.

− 

−

Como f  (x) existe para todos os n´ umeros reais, os u´ nicos n´ umeros cr´ıticos  de f serão os valores de x para os quais f (x) = 0. Vamos tomar f  (x) = 0. (3x

− 1)(x + 1) = 0; 1 x= ; x = −1. 3 Os n´ umeros cr´ıticos de f são −1 e e cada um deles est´ a no intervalo fechado −2, . Os valores da fun¸ cão nos números cr´ıticos e nos extremos do intervalo s˜ ao dados na Tabela 1. O valor máximo absoluto de f em −2, é, portanto, 2, o que ocorre em −1, e o valor m´ınimo absoluto de f em −2, é −1, que ocorre no extremo esquerdo de −2. A Figura 24 mostra um esbo¸co do gr´ afico de f em −2, . 1 2

 

Apostila

1 3

1 2

 

Derivada

1 2

1 2

  

97


Tabela 1: Valores de f (x). 2 1 13 12 x 22 7 1 2 f (x) 27 8

− − −


Exemplo 74. Ache os extremos absolutos de f em [1, 5] se f (x) = (x

− 2)

2 3

.

Solu¸c˜ ao: Como f é cont´ınua em [1, 5], o teorema do valor extremo pode ser aplicado f  (x) =

2 3(x

− 2)

1 3

.

Não existe valor de x para a qual f  (x) = 0. Mas, como f  (x) não existe em 2, conclu´ımos que 2 é um n´ umero cr´ıtico de f ; assim, os extremos absolutos ocorrem em 2 ou num dos extremos do intervalo. Os valores da fun¸ caõ nesses números est˜ ao na Tabela 2. Da Tabela 2, conclui-se que o valor m´ınimo absoluto de f em [1, 5] é 0, ocorrendo em 2, e o valor m´ aximo absoluto de f em [1, 5] é 3 9, ocorrendo em 5. Um esbo¸co do gráfico dessa fun¸cão em [1, 5] está na Figura 25.

√



Apostila

Derivada

98

´ lculo Diferenc Calculo a Diferencial ial e Integral Integral I

Tabela 2: Valores alores de f ( f (x). 1 2 5 x f ( f (x) 1 0 3 9

√

Figura 25: Exemplo 74 74..

1.27.2

Exerc´ Exerc´ıcios

1. Ache os n´ umeros umero s cr´ cr´ıticos ıtico s da fun¸c˜ cão ao dada. (a) f ( 7x2 f (x) = x3 + 7x

− 5x. (b) f ( 16x + 1. f (x) = 2x − 2x − 16x (c) f ( 4x − 2x − 12x 12x. f (x) = x + 4x (d) f ( f (x) = x + x − 3x . (e) f ( 12x . f (x) = x − 12x 3

4

2

3

7 3

2

4 3

1 3

6 5

1 5

(f) (f ) f ( 11x3 + 34x 34x2 + 15x 15x f (x) = x4 + 11x 2 3

(g) f ( f (t) = (t2

− 4) . (h) f ( f (x) = (x − 3x + 4) x−3 (i) f ( . f (x) = 3

2

1 3

− 2.

.

x+7 5 2 (j) f ( f (t) = t 3 3t 3 .

−

Apostila

Derivada

99


(k) f ( f (x) =

x x2

(l) f ( f (x) =

− 9. x+1 − 5x + 4 .

x2 (m) f ( f (x) = sen2 3x. (n) f ( f (z ) = cos2 4z .

(o) f ( sen 2t cos2t cos2t. f (t) = sen (p) f ( sen 2x + cos cos 2x. f (x) = sen (q) f ( f (x) = tan2 4x. (r) g (x) = sec2 3x. (s) f ( f (x) = (x

3

2

3

2

− 2) (x + 1) . (t) f ( f (x) = (5 + x) (2 − x) .

2. Ache os extremos absolutos da fun¸c˜ cão ao dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Fa¸ca ca um esbo¸co co do gráfico afico da fun¸c˜ cao aõ no intervalo. (a) f ( f (x) = 4

− 3x; (−1, 2]. (b) f ( (−∞, +∞). f (x) = x − 2x + 4; 1 (c) g (x) = ; [−2, 3]. x (d) f ( cos x ; − π, π . f (x) = 2 cos √ (e) f ( [−3, ∞). f (x) = 3 + x; √ (f) (f ) f ( (−2, 2). f (x) = 4 − x ; 2

2 3



1 3



2

(g) h(x) =

4

; [2, [2, 5]. (x 3)2 3x (h) g (x) = ; ( 3, 2). 9 x2 (i) f ( (0, 6). f (x) = x 4 + 1;

−

− − | − | (j) f ( (−∞, +∞). f (x) = |4 − x |; √ (k) f ( 7 x; [0, [0, 3). f (x) = 4 + 7x 2

(l) f ( f (x) =

Apostila



2 x 2

−5

se x = 5



se x = 5

Derivada



;

[3, [3, 5]. 5].

100


(m) f ( f (x) = (n) f ( sec 3x ; f (x) = sec

|

x+1 3 1 6 1 4

[

− π, [− π,

(o) f ( tan 2x ; f (x) = tan

|

se x = se x =

 −1 −1



;

[ 2, 1]. 1].

−

1 π ]. 6 1 π ]. 6

3. Ache o valor m´ aximo aximo absoluto e o valor m´ınimo absoluto da fun¸ c˜ cao aõ dada no intervalo intervalo indicado pelo método etodo usado nos Exemplos 73 e 74 74.. Fa¸ca ca um esbo¸co co do gráfico afico da fun¸c˜ cao ão no intervalo. (a) g (x) = x3 + 5x 5x

− 4; [−3, −1]. (b) f ( 3x − 9x; [−4, 4]. f (x) = x + 3x (c) f ( [−4, 0]. f (x) = x − 8x + 16; (d) f ( sen t ; [−π, π]. f (t) = 2 sen 3

2

4

2

1 (e) f ( 3cos 2w ; f (w) = 3cos π, 34 π . 6 1 1 (f) (f ) f ( cosec2x ; f (x) = cosec2x π, 16 π . 4 2 1 (g) h(x) = 2 sec sec 12 x ; π, 12 π . 3 x (h) f ( ; [ 1, 2]. f (x) = x+2 x+5 (i) f ( ; [ 5, 2]. f (x) = x 3 x+1 (j) f ( ; [0, [0, 1]. f (x) = 2x 3 (k) 2x 7 se 1 x 2 f ( f (x) = 1 x2 se 2 < x 4

  −  − 

− −

− −

(l) f ( f (x) = 2

 

(m) f ( f (x) = (x + 1) 3 ;

Apostila

− −

3x x2

− ≤ ≤ ≤

− 4 se −3 ≤ x < 1 − 2 se 1 ≤ x ≤ 3 [−2, 1].

Derivada

 

;

[ 1, 4]. 4].

;

[ 3, 3]. 3].

− −

101


1.27.3

Fun¸co ˜es Crescentes e Decrescentes e o Teste da Derivada Primeira

Defini¸ca õ 13. Uma fun¸caõ f definida num intervalo ser´ a crescente naquele intervalo, se e somente se f (x1 ) < f (x2 ) sempre que x1 < x2, onde x1 e x2 são quaisquer n´ umeros no intervalo.

Defini¸ca õ 14. Uma fun¸cão f definida num intervalo ser´ a decrescente naquele intervalo, se e somente se f (x1 ) > f (x2 ) sempre que x1 < x2, onde x1 e x2 são quaisquer n´ umeros no intervalo. Se uma fun¸caõ for crescente ou decrescente num dado intervalo, ent˜ ao otona no intervalo. dizemos que ela é mon´ Geometricamente, quando a inclina¸caõ da reta tangente for positiva, a fun¸caõ ser´ a crescente e quando a inclina¸caõ da reta tangente for negativa,a fun¸caõ ser´ a decrescente. Como f  (x) é a inclina¸caõ da reta tangente a` curva y = f (x), f é crescente quando f  (x) > 0 e decrescente quando f  (x) < 0. Também, como f  (x) é a taxa de varia¸caõ dos valores funcionais de f (x) em rela¸caõ a x, quando f  (x) > 0, os valores funcionais estão crescendo a` medida que x cresce; e quando f  (x) < 0, os valores funcionais est˜ ao decrescendo a` medida que x cresce.

Teorema 23. a Seja f uma fun¸cão cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b): (i) se f  (x) > 0 para todo x em (a, b), ent˜ ao f será crescente em [a, b]; (ii) se f  (x) < 0 para todo x em (a, b), ent˜ ao f será decrescente em [a, b]. a


Apostila

Derivada

102


Teorema 24. Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos a : Seja f uma fun¸cão cont´ınua em todos os pontos do intervalo aberto (a, b) contendo o n´ umero c e suponha que f  exista em todos os pontos de (a, b), exceto possivelmente em c: (i) se f  (x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo direito, e se f  (x) < 0 para todos os valores de ao x em algum intervalo aberto tendo c como extremo esquerdo, ent˜ f terá um valor máximo relativo em c; (ii) se f  (x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f  (x) > 0 para todos os valores de ao x em algum intervalo aberto, tendo c como extremo esquerdo, ent˜ f terá um valor m´ınimo relativo em c. a


O teste da derivada primeira para extremos relativos estabelece essencialmente que se f for cont´ınua em c e f  (x) mudar o sinal algébrico de positivo para negativo quando x cresce através de c, então f ter´ a um valor máximo  relativo em c, e se f (x) mudar o sinal alg´ ebrico de negativo para positivo enquanto x cresce através de c, então f ter´ a um valor m´ınimo relativo em c. Em suma, para determinar os extremos relativos de f : 1. Ache f  (x); 2. Ache os n´ umeros cr´ıticos de f , isto é, os valores de x para os quais  f (x) = 0, ou para os quais f  (x) não existe; 3. Aplique o teste da derivada primeira (Teorema 24).

Exemplo 75. Dada f (x) = x3

− 6x

2

+ 9x + 1,

ache os extremos relativos de f , aplicando o teste da derivada primeira. Determine os valores de x nos quais ocorrem extremos relativos, bem como os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Fa¸ ca um esbo¸co do gr´ afico. Apostila

Derivada

103


Solu¸c˜ ao: f  (x) = 3x2

− 12x + 9.

f  (x) existe para todos os valores de x. Equacione f  (x) = 0. 3x2

− 12x + 9 = 0; 3(x − 3)(x − 1) = 0; x = 3;

x = 1.

Assim, os números cr´ıticos de f são 1 e 3. Para determinar se f tem um extremo relativo nesses n´ umeros, aplicamos o teste da derivada primeira. Os resultados s˜ ao resumidos Tabela 3. Segundo a tabela, 5 é um valor m´ aximo relativo de f ocorrendo em x = 1, e 1 é um valor m´ınimo relativo de f , ocorrendo em x = 3. Um esbo¸co do gráfico est´ a na Figura 26.

x<1 x=1 13

Tabela 3: Exemplo 75. Conclus˜ ao f (x) f  (x) + f é crescente 5 0 f tem um valor máximo relativo f é decrescente 1 0 f tem um valor m´ınimo relativo + f é crescente


Apostila

Derivada

104





x2 4 se x < 3 . 8 x se x 3

− −

≥

ache os extremos relativos de f , aplicando o teste da derivada primeira. Determine os valores de x onde ocorrem extremos relativos, bem como os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico.

Solu¸c˜ ao: Se x < 3, f  (x) = 2x. Se x > 3, f  (x) = 1. Como f − (3) = 6 e ao existe. Logo, 3 é um n´ umero cr´ıtico de f . f + (3) = 1, f  (3) n˜  Como f (x) = 0 se x = 0, segue que 0 é um n´ umero cr´ıtico de f . Aplicando o teste da derivada primeira, resumimos os resultados na Tabela 4. Um esbo¸co do gr´ afico est´ a na Figura 27.

−

−

f (x) x<0 x=0 03

-4 5

Tabela 4: Exemplo 76. Conclus˜ ao f  (x) f é decrescente 0 f tem um valor m´ınimo relativo + f é crescente n˜ ao existe f tem um valor máximo relativo f é decrescente


Apostila

Derivada

105


4

1

Exemplo 77. Dada f (x) = x 3 + 4x 3 , ache os extremos relativos de f , determine os valores de x onde ocorrem extremos relativos e determine os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico. Solu¸c˜ ao: 4 1 4 2 4 2 f  (x) = x 3 + x− 3 = x− 3 (x + 1). 3 3 3   Como f (x) não existe quando x = 0 e f (x) = 0 quando x = 1, os n´ umeros cr´ıticos de f são 1 e 0. Vamos aplicar o teste da derivada primeira, cujos resultados est˜ ao resumidos na Tabela 5. Um esbo¸co do gr´ afico est´ a na Figura 28.

−

−

Tabela 5: Exemplo 77. f (x)

−

x< 1 x= 1 10

− −

-3 0

f  (x) 0 + n˜ ao existe +

Conclus˜ ao f é decrescente f tem um valor m´ınimo relativo f é crescente f não tem um extremo relativo em x = 0 f é crescente


Apostila

Derivada

106


1.27.4

Exerc´ıcios

1. Fa¸ca o seguinte: (i) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (ii) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (iii) determine os intervalos nos quais f é crescente; (iv) determine os intervalos nos quais f é decrescente; (v) fa¸c a um esbo¸co do gr´ afico. (a) f (x) = x2

− 4x − 1. (b) f (x) = 3x − 3x + 2. (c) f (x) = x − x − x. (d) f (x) = x − 9x + 15x − 5. (e) f (x) = 2x − 9x + 2. (f) f (x) = x − 3x − 9x. 2

3

2

3

2

3

2

3

2

(g) f (x) = 4 sen 12 x.

(h) f (x) = x4 + 4x. 1 (i) f (x) = x4 x3 + x2 . 4 (j) f (x) = 2 cos 3x. 1 5 3 (k) f (x) = x5 x + 4x + 1. 5 3 (l) f (x) = x5 5x3 20x 2. 1 (m) f (x) = x . x x 2 (n) f (x) = . x+2 1 (o) f (x) = x + 2 . x 1 (p) f (x) = 2x + . 2x (q) f (x) = (1 x)2 (1 + x)3 .

−

− − − √ −√ −

−

− (r) f (x) = (x + 2) (x − 1) . √ (s) f (x) = 2x 3 − x. 2

Apostila

2

Derivada

107


√ −x . (u) f (x) = x − 3x . (v) f (x) = 4x − 6x . (w) f (x) = 2 − 3(x − 4) . (x) f (x) = 2 − (x − 1) . (y) f (x) = x − x . 2

(t) f (x) = x 5

1 3

2 3

2 3

1 3

2 3

1 3

(z) f (x) = 3 cosec 2x.

2. Similarmente ao que foi feito na quest˜ ao anterior, resolva: (i) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (ii) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (iii) determine os intervalos nos quais f é crescente; (iv) determine os intervalos nos quais f é decrescente; (v) fa¸ca um esbo¸co do gráfico. 1 sec4x. 2 2 (b) f (x) = x 3 (x 1)2 . (a) f (x) =

−

2

(c) f (x) = (x + 1) 3 (x (d)

− 2)

1 3

f (x) =

.



2x + 9 se x x2 + 1 se x >

≤ −2 −2

.

(e) f (x) = (f)

  − −  − − −   −  − − −− 25

12

f (x) = (g)

f (x) = (h) f (x) =

Apostila

(x + 7)2 se 12 x se x > 3 x2

− ≤ ≤ −3 −

3x + 5 se x < 1 x2 + 1 se 1 x 7 x se x 2

− − ≤ ≤2 ≥

4 (x + 5)2 se x < 12 (x + 1)2 se x

−4 ≥ −4

(x + 9)2 8 se x < 7 25 (x + 4)2 se 7 x (x 2)2 7 se x > 0 Derivada

.

.

.

− − ≤ ≤0

.

108


(i) f (x) = 5

12 (x + 5)2 se x 3 5 x se 3 < x 100 (x 7)2 se 1 < x

 −   − −

−

− −

≤−

≤ −1 ≤ 17

.

1

(j) f (x) = x 4 + 10x 4 . (k) f (x) = (x

2 5

+ 1. 1 2 (l) f (x) = x 3 (x + 4)− 3 . 5

(m) f (x) = x 3

Apostila

− a)

− 10x

2 3

.

Derivada

109


1.27.5

Concavidade e Pontos de Inflex˜ ao

Defini¸ca õ 15. O gráfico de uma fun¸caõ f será cˆ oncavo para cima no ponto (c, f (c)), se f  (c) existir e se houver um intervalo aberto I contendo afico c, tal que para todos os valores de x = c em I , o ponto (x, f (x)) do gr´ estará acima da reta tangente ao gr´ afico em (c, f (c)).



Defini¸ca õ 16. O gráfico de uma fun¸caõ f será cˆ oncavo para baixo no  ponto (c, f (c)), se f (c) existir e se houver um intervalo aberto I contendo afico c, tal que para todos os valores de x = c em I , o ponto (x, f (x)) do gr´ estará abaixo da reta tangente ao gr´ afico em (c, f (c)).



Ilustra¸c˜ ao 1. A Figura 29 mostra o esbo¸co de parte do gr´ a fico de uma fun¸caõ f que é côncava para cima no ponto (c, f (c)) e a Figura 30 mostra o esbo¸co de parte do gr´ afico de uma fun¸cão f que é côncava para baixo no ponto (c, f (c)).

Figura 29: Ilustra¸cão 1.

Figura 30: Ilustra¸cão 1.  Apostila

Derivada

110


Exemplo 78. Utilizando derivadas, verifique a concavidade das fun¸ cões 2 2 f (x) = x e g(x) = x .

−

Solu¸c˜ ao: Se f for a fun¸cão definida por f (x) = x2 , então f  (x) = 2x e f  (x) = 2. Assim, f  (x) > 0 para todo x. Além disso, o gráfico de f , na Figura 31, está acima de suas retas tangentes. Ent˜ ao, o gráfico de f é cˆ oncavo para cima, em todos os seus pontos.

Figura 31: Exemplo 78. Se g for a fun¸cão definida por g(x) = x2 , então g (x) = 2x e g  (x) = 2. Logo, g  (x) < 0 para todo x. Também, o gr´ afico de g, na Figura 32, está abaixo de suas retas tangentes. Logo, o gr´ afico de g é cˆ oncavo para baixo em todos os seus pontos.

−

−

−

Figura 32: Exemplo 78. A fun¸caõ f é tal que f  (x) > 0 para todo x, e o gráfico de f é cˆ oncavo  para cima em toda parte. Para a fun¸caõ g, g (x) < 0 para todo x, e o gráfico  de g é cˆ oncavo para baixo em toda parte.

Apostila

Derivada

111


Teorema 25. a Seja f uma fun¸caõ diferenci´ avel em algum intervalo aberto contendo c. Então, (i) se f  (c) > 0, o gráfico de f é cˆ oncavo para cima em (c, f (c)); (ii) se f  (c) < 0, o gráfico de f é cˆ oncavo para baixo em (c, f (c)). a


O inverso do Teorema 25 não é verdadeiro. Por exemplo, se f for a fun¸caõ definida por f (x) = x4 , o gráfico de f será côncavo para cima no ponto (0, 0) mas f  (0) = 0 pois f  (x) = 12x2 (veja a Figura 33). Assim sendo, uma condi¸caõ suficiente para que o gr´ a fico de uma fun¸cão f seja côncavo para cima no ponto (c, f (c)) é que f  (c) > 0, mas a condi¸cã o não é necess´ aria. Analogamente, uma condi¸caõ suficiente - mas n˜ ao necess´ a ria - para que o grá fico de uma fun¸cão f seja cˆ oncavo para baixo no ponto (c, f (c)) é que  f (c) < 0.

Figura 33: f (x) = x4 . Se existe no gr´ afico de uma fun¸cão um ponto no qual o sentido da concavidade muda, havendo a´ı uma reta tangente ao gr´ afico, ent˜ a o o gr´ afico da fun¸caõ cruzar´ a sua reta tangente nesse ponto, conforme mostram as Figuras ao . 34, 35 e 36. Tal ponto é chamado ponto de inflex˜

Apostila

Derivada

112


Figura 34: Ponto de Inflex˜ ao.



Apostila

Derivada

113


Defini¸ca õ 17. O ponto (c, f (c)) ser´ ao do gráfico da a um ponto de inflex˜ fun¸cão f se o gr´ afico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I , então (i) f  (x) < 0 se x < c e f  (x) > 0 se x > c, ou, (ii) f  (x) > 0 se x < c e f  (x) < 0 se x > c.

Ilustra¸c˜ ao 2. A Figura 34 ilustra um ponto de inflex˜ ao onde verificamos a condi¸caõ (i) da Defini¸cão 17; neste caso, o gr´ afico é côncavo para baixo em pontos imediatamente a` esquerda do ponto de inflex˜ a o e cˆ oncavo para cima em pontos imediatamente a` sua direita. A condi¸caõ (ii) está ilustrada na Figura 35, onde o sentido da concavidade muda de cima para baixo no ponto de inflex˜ a o. A Figura 36 é outra ilustra¸cão da condi¸caõ (i), onde o sentido da concavidade muda de baixo para cima no ponto de inflexão. Note que na Figura 36 há uma reta tangente horizontal no ponto de inflex˜ ao. 

os ter come¸cado Ilustra¸c˜ ao 3. Suponha que tenha sido estimado que t horas ap´ a trabalhar a`s 7 da manhã, um operário de uma linha de montagem tenha conclu´ıdo determinada tarefa em f (t) unidades, e f (t) = 21t + 9t2

3

−t ,

0

≤ t ≤ 5.

Na Tabela 6 estão os valores funcionais para valores inteiros de t de 1 até 5, e um esbo¸co do gráfico de t em [0, 5] está na Figura 37. f  (t) = 21 + 18t

2

− 3t

e

f  (t) = 19

− 6t = 6(3 − t).

Tabela 6: Ilustra¸caõ 3. 1 2 3 4 5 t f (t) 29 70 117 164 205

Apostila

Derivada

114


Figura 37: Ilustra¸cão 3. Observe que f  (t) > 0 se 0 < t < 3 e f  (t) < 0 se 3 < t < 5. Da Defini¸cão 17 (ii) segue que o gr´ afico de f tem um ponto de inflex˜ ao em t = 3.   Do Teorema 23, como f (t) > 0 quando 0 < t < 3, f (t) é crescente em [0, 3] e como f  (t) < 0 quando 3 < t < 5, f  (t) é decrescente em [3, 5]. Logo, como f  (t) é a taxa de varia¸ ca˜ o de f (t) em rela¸cão a t, conclu´ımos que nas primeiras três horas (de 7 a`s 10 horas da manh˜ a) o oper´ ario executa sua tarefa numa taxa crescente e durante as duas horas restantes (de 10 até meio dia), o operário executa a tarefa numa taxa decrescente. Em t = 3 (10 horas da manh˜ a), o operário est´ a produzindo com maior eficiência, e quando 3 < t < 5 (ap´ os as 10 horas), h´ a uma redu¸cão em sua taxa de produ¸ca˜ o. O ponto no qual o operário est´ a produzindo com maior eficiência é chamado de ponto de diminui¸cao ˜ de retorno; é um ponto de inflex˜ ao do gráfico de f .  A Defini¸caõ 17 não indica nada sobre o valor da derivada segunda de f num ponto de inflexão. O teorema a seguir estabelece que se a derivada segunda existir num ponto de inflex˜ ao, ela dever´ a ser zero nele.

Teorema 26. a Se a fun¸caõ f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se (c, f (c)) for um ponto de inflex˜ a o do gr´ afico de f , então,   se f (c) existe, f (c) = 0. a


O inverso do Teorema 26 não é verdadeiro. Isto é, se a derivada segunda de uma fun¸cão for nula num n´ umero c, o gráfico da fun¸caõ não ter´ a, necessariamente, um ponto de inflex˜ ao em x = c. Apostila

Derivada

115


Exemplo 79. Seja a fun¸caõ f definida por f (x) = x4 . Verifique a existência de um ponto de inflex˜ ao. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. Solu¸c˜ ao: Um esbo¸co do gr´ afico de f está na Figura 33. f  (x) = 4x3

f  (x) = 12x2 .

e

Observe que f  (0) = 0; mas, como f  (x) > 0 se x < 0, e f  (x) > 0 se x > 0, o gráfico é côncavo para cima em pontos imediatamente a` esquerda e à direita de (0, 0). Consequentemente, (0, 0) não é um ponto de inflexão. 

Exemplo 80. Dada a fun¸caõ f (x) = x3 6x2 + 9x + 1. Ache o ponto de inflexã o do gráfico de f e determine onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico e mostre um segmento da tangente no ponto de inflex˜ ao.

−

Solu¸c˜ ao: f  (x) = 3x2

− 12x + 9

e

f  (x) = 6x

− 12.

´ nico ponto de f  (x) existe para todos os valores de x; assim sendo, o u  inflexão poss´ıvel é onde f (x) = 0, o que ocorre em x = 2. Para determinar se existe ou não um ponto de inflex˜ ao em x = 2, precisamos verificar se f  (x) muda de sinal; ao mesmo tempo, determinamos a concavidade do gr´ afico para os respectivos intervalos. Os resultados est˜ ao resumidos na Tabela 7.

f (x) x<2 x=2 x>2

3

Tabela 7: Exemplo 80. Conclus˜ ao f  (x) o gr´ afico é côncavo para baixo -3 0 o gr´ afico tem um ponto de inflex˜ ao + o gr´ afico é côncavo para cima

f  (x)

A fun¸caõ f tem um valor máximo relativo em 1 e um valor m´ınimo relativo em 3. Um esbo¸co do gráfico mostrando um segmento da tangente encontra-se na Figura 38.  Apostila

Derivada

116



1

Exemplo 81. Dada f ( ao a o do gráfico afico de f f (x) = x 3 , ache o ponto de inflex˜ e determine onde o gr´ afico afi co é côncavo oncavo para cima e onde ele é cˆ oncavo oncavo para baixo. Fa¸ca ca um esbo¸co co do gráfico. afico. Solu¸c˜ ao: 1 2 2 −5 e f  (x) = x− 3 f  (x) = x 3. 3 9 Nem f  (0), nem f  (0) existem. O eixo y é a reta tangente tange nte ao a o gr´ g r´ afico afico dessa fun¸c˜ cao aõ em (0, (0, 0). Além em disso, dis so,

−

f  (x) > 0 se x < 0 e f  (x) < 0 se x > 0. Logo, da Defini¸c˜ cao aõ 17 (ii), f tem um ponto de inflexão a o em (0, (0, 0). A  concavidade do gr´ afico afico é determinada determinada pelo sinal de f (x). Os res resul ultad tados os estão ao resumidos na Tabela 8. Um esbo¸co co do gráfico afico de f está na Figura 39 39..

f ( f (x) x<0 x=0 x>0

0

Tabela 8: Exemplo Exemplo 81 81..   Conclusao aõ f (x) f (x) + + cre scente; nte; o gr´ afico afico f é cresce é concavo oˆncavo para cima nao a˜ o exi existe ste n˜ ao existe o grafico a´fico tem um ponto de inflex˜ ao ao + cre scente; nte; o gr´ afico afico f é cresce é concavo oˆncavo para baixo

 Apostila

Derivada

117



ao a o do gr´ afico afico de Exemplo 82. Se f ( f (x) = (1 2x)3 , ache o ponto de inflex˜ afico afi co é côncavo oncavo para cima e onde ele é cˆ oncavo oncavo para f e determine onde o gr´ baixo. Fa¸ca ca um esbo¸co co do gráfico afico de f . f .

−

Solu¸c˜ ao: f  (x) =

−6(1 − 2x)

2

e

f  (x) = 24(1

− 2x).

Como f  (x) existe para todos os valores de x, o unico u ńico ponto de inflexão ao 1  p oss´ıvel ve l é onde f (x) = 0, isto ist o é, e, em x = 2 . Os resultados estão ao resumidos na 1  Tabela 9: f (x) muda de sinal de + para em x = 2 ; assim, o gráfico afico tem 1  um ponto de inflex˜ ao ao ali. Note tamb´ em em que como f 2 = 0, o gráfico afico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflex˜ ao. a o. Um esbo esbo¸co ço do gr´ afico afico está na Figura 40 40..

−

x< x= x>

1 2 1 2 1 2

f ( f (x)

f  (x)

0

0



Tabela 9: Exemplo Exemplo 82 82..  Conclusao aõ f (x) + o grafico a´fi co é côncavo oncavo para cima 0 o grafico a´fico tem um ponto de inflex˜ ao ao o gr´ gráfico a fico é cˆ oncavo oncavo para baixo



Apostila

Derivada

118



ao a o do gr´ afico afico da fun¸c˜ cao aõ seno. seno. Ache Ache Exemplo 83. Ache os pontos de inflex˜ também em as inclin inc lina¸ a¸c˜ cões oes das tangentes nos pontos de inflex˜ ao. ao. Fa¸ca c a o gr´ afico afico da fun¸c˜ cao aõ seno num intervalo de 2π 2π de comprimento, contendo o ponto de inflexão ao com menor abscissa abscissa positiv p ositiva. a. Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflex˜ ao. ao.

Solu¸c˜ ao: Seja f ( f (x) = sen x. Ent˜ ao, ao, f  (x) = cos x

e

f  (x) =

− sen x.

ao, ao, equacif  (x) existe para todo x. Para determinar os pontos de inflex˜ onamos f  (x) = 0. sen x = 0;

−

x = kπ,

qualqu er. k é um inteiro qualquer.

Como f  (x) muda de sinal em cada um desses valores de x, o gráfico afico tem um ponto de inflex˜ ao em todos os pontos com essas abscissas. Em cada ao ponto de inflex˜ ao, ao, f  (kπ) kπ ) = cos k π , f  (kπ) kπ ) =

Apostila



1

−

qualqu er; k é um inteiro qualquer;

se k for um inteiro par . 1 se k for um inteiro impar Derivada

119


Logo, as inclina¸co˜es das tangentes nos pontos de inflex˜ ao são +1 ou 1. A Figura 41 mostra o gr´ afico da fun¸caõ seno no intervalo [0, 2π]. No ponto de inflexão (π, 0) vê-se um segmento da reta tangente.

−


1.27.6

Exerc´ıcios

1. Encontre os pontos de inflex˜ ao do gr´ afico da fun¸cão dada, se existirem. Determine onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde ele é cˆ oncavo para baixo. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico e mostre um segmento da reta tangente ao gr´ afico nos pontos de inflex˜ ao. (a) f (x) = x3 + 9x. (b) f (x) = x3

− 3x

2

+ 7x

(c) f (x) = 2x3 + 3x2 (d) f (x) = x3

2

4

3

4

3

− 3.

− 12 + 1.

− 6x + 20. (e) f (x) = x − 8x . (f) f (x) = x − 2x . (g) f (x) = (x − 1) . 3

1

(h) f (x) = (x + 2) 3 . Apostila

Derivada

120


2 . x2 + 3 x (j) f (x) = 2 . x +4 (k) f (x) = 2 sen3x ; x (i) f (x) =

∈ [−π, π] (l) f (x) = 3 cos 2x ; x ∈ [−π, π] (m) f (x) = tan x ; x ∈ (−π, π) (n) f (x) = cotan 2x ; x ∈ 0, π 1 2

1 2

 

2. Ache o ponto de inflexã o do gráfico da fun¸cã o dada, se existir. Determine onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde ele é cˆ oncavo para baixo. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. (a) f (x) = (b) f (x) = (c)

≥

2 + x2 se x 1 . 4 x2 se x > 1

≤

f (x) =

se x 0 x2 . 2 x se x > 0

f (x) =

x3 se x < 0 . se x 0 x3

(d)

(e)

≤ ≥

f (x) =

x3 se x < 0 . x4 se x 0

f (x) =

x2 se x 0 . x4 se x > 0

(f)

(g) f (x) = (x

x2 1 se x < 2 . 7 x2 se x 2

 − −  −  − −  

≥ ≤

1 5

− 2) + 3. (h) f (x) = (2x − 6) + 1. 3 2

3. Se f (x) = ax3 + bx2, determine a e b, de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2).

Apostila

Derivada

121


4. Se f (x) = ax3 + bx2 + cx, determine a, b e c, de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflex˜ a o em (1, 2) e que a inclina¸caõ da reta tangente no ponto de inflex˜ ao seja 2.

−

5. Se f (x) = ax3 +bx2 +cx+d, determine a, b, c e d, de forma que f tenha um extremo relativo em (0, 3) e que o gráfico de f tenha um ponto de inflexã o em (1, 1).

−

Apostila

Derivada

122


1.27.7

O Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos

Teorema 27. Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos a : Seja c um n´ umero cr´ıtico de uma fun¸caõ f , no qual f  (c) = 0 e suponhamos que f  exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se f  (c) existe e (i) se f  (c) < 0, então f tem um valor m´ aximo relativo em c; (ii) se f  (c) > 0, então f tem um valor m´ınimo relativo em c. a


Exemplo 84. Dada

4 f (x) = x4 + x3 4x2 , 3 ache os máximos e m´ınimos relativos de f , aplicando o teste da derivada segunda. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico de f .

−

Solu¸c˜ ao: Calculamos as derivadas primeira e segunda de f . f  (x) = 4x3 + 4x2

− 8x

e

f  (x) = 12x2 + 8x

− 8.

Equacionando f  (x) = 0,

x = 0,

4x(x + 2)(x

− 1) = 0;

x=

e

−2

x = 1.

Assim, os números cr´ıticos de f são -2, 0 e 1. Vamos determinar se existe extremo relativo entre esses n´ umeros cr´ıticos, encontrando o sinal da derivada segunda neles. Os resultados est˜ ao resumidos na Tabela 10. A partir da Tabela 10 e mais alguns pontos, obtemos o esbo¸co do gr´ afico de f , conforme mostra a Figura 42. 

Apostila

Derivada

123


f (x) x= 2 x=0 x=1

−

32 2

− 0 −

5 3

Tabela 10:  f (x) f  (x) 0 + 0 0 +

Exemplo 84. Conclus˜ ao f tem um valor m´ınimo relativo f tem um valor máximo relativo f tem um valor m´ınimo relativo


Exemplo 85. Ache os extremos relativos da fun¸caõ seno, aplicando o teste da derivada segunda. Solu¸c˜ ao: Seja f (x) = sen x. Ent˜ ao, f  (x) = cos x

f  (x) =

e

− sen x.

umeros cr´ıticos s˜ ao obtidos equacionando f  (x) existe para todo x. Os n´ f  (x) = 0, cos x = 0; 1 x = π + kπ, k é um inteiro qualquer. 2 Vamos determinar se entre esses n´ umeros cr´ıticos existe um extremo relativo usando o sinal da derivada segunda neles. f 

Apostila



1 π + kπ 2



= =

− −



1 sen π + kπ 2 cos kπ

Derivada

 124




 −

1 1 se k for um inteiro par f  π + kπ = . 1 se k for um inteiro impar 2 Os resultados do teste da derivada segunda est˜ ao resumidos na Tabela 11.

x= x=

π

2

π

2

Tabela 11: Exemplo 85. f (x) f  (x) f  (x) + kπ, k inteiro par 1 0 -

+ kπ, k inteiro ´ımpar

-1

0

+

Conclus˜ ao f tem um valor máximo relativo f tem um valor m´ınimo relativo



Se f  (c) = 0, bem como quando f  (c) = 0, nenhuma conclusão pode ser tirada relativa a` existência de extremo relativo de f em c.

Exemplo 86. Seja f (x) = x4 . Verifique a existência de m´ aximos ou m´ınimos relativos. Fa¸ca um esbo¸co do gráfico. Solu¸c˜ ao: Se f (x) = x4 , então f  (x) = 4x3 e f  (x) = 12x2 . Assim, f (0), f  (0) e f  (0) são todas nulas. Aplicando o teste da derivada primeira, vemos que f tem um valor m´ınimo relativo em 0. Um esbo¸co do gráfico de f está na Figura 43.


Apostila

Derivada

125


Exemplo 87. Seja g(x) = x4 . Verifique a existência de m´ aximos ou m´ınimos relativos. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico.

−

Solu¸c˜ ao: Se g(x) = x4 , então g (x) = 4x3 e g (x) = 12x2 . Assim, g(0), g  (0) e g  (0) são todas nulas. Nesse caso, g tem um valor máximo relativo em 0, conforme podemos ver aplicando o teste da derivada primeira. Um esbo¸ co do gr´ afico de g está na Figura 44.

−

−

−


Exemplo 88. Seja h(x) = x3. Verifique a existência de extremos relativos. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico. Solu¸c˜ ao: Se h(x) = x3 , então h (x) = 3x2 e h (x) = 6x; assim h(0), h (0) e h (0) são todas nulas. A fun¸ caõ h não tem extremo relativo em 0, pois se x < 0, h(x) < h(0) e se x > 0, h(x) > h(0). Um esbo¸co do gráfico de h está na Figura 45. 

Apostila

Derivada

126



2

1

Exemplo 89. Dada f (x) = x 3 2x 3 , ache os extremos relativos de f , aplicando o teste da derivada segunda, quando poss´ıvel. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflex˜ a o do gr´ afico de f e determine onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é cˆ oncavo para baixo. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico.

−

Solu¸c˜ ao: 2 1 2 −2 e f  (x) = x− 3 x 3 f  (x) = 3 3 Como f  (0) n˜ ao existe, 0 é um n´ umero cr´ıtico demais n´ umeros cr´ıticos equacionando f  (x) = 0.

− 29 x−

−

2

2 − 3x 3x 2x − 2 1 3

2 3

1 3

4 5 + x− 3 . 9 de f . Encontramos os 4 3

= 0

= 0 x = 1 x = 1. 1 3

Assim, 1 também é um n´ umero cr´ıtico. Podemos determinar se h´ a um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda. N˜ ao podemos  usar o teste da derivada segunda no n´ umero cr´ıtico 0, pois f (0) n˜ ao existe. Aplicamos ent˜ a o, em x = 0, o teste da derivada primeira. A Tabela 12 mostra os resultados desses testes.

Apostila

Derivada

127


Como f  (0) n˜ ao existe, (0, 0) é um poss´ıvel ponto de inflex˜ ao. Para achar  outras possibilidades equacionamos f (x) = 0.

− 9x2 + 9x4 −2x + 4 4 3

5 3

1 3

= 0

= 0 x = 2 x = 8. 1 3

Para determinar se existe ponto de inflex˜ ao em x = 0 e x = 8, verificamos  se f (x) muda de sinal; ao mesmo tempo, descobrimos o sentido da concavidade nos respectivos intervalos. Num ponto de inflex˜ ao é necess´ ario que o gráfico tenha uma reta tangente. Na origem h´ a uma tangente vertical, pois 1

lim f  (x) = lim x→0 x→0

2x 3

− 2 = −∞. 2

3x 3 A Tabela 12 resume os resultados e deles obtemos o esbo¸co do gr´ afico da Figura 46.

f (x) x<0 x=0

0

0
-1

18

0

Tabela 12: Exemplo 89.  Conclus˜ ao f (x) f  (x) afico é f é decrescente; o gr´ côncavo para baixo n˜ a o existe n˜ ao existe f não tem extremo relativo; o gráfico tem um ponto de inflex˜ ao + afico f é decrescente; o gr´ é cˆ oncavo para cima 0 + f tem um valor m´ınimo relativo; o gr´ afico é côncavo para cima + + afico f é crescente; o gr´ é cˆ oncavo para cima 1 0 afico f é crescente; o gr´ 6 tem um ponto de inflex˜ ao + f é crescente; o gráfico é côncavo para baixo



Apostila

Derivada

128



1.27.8

Exerc´ıcios

1. Ache os extremos relativos da fun¸caõ dada usando o teste da derivada segunda, quando aplic´ avel. Quando ele n˜ ao for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da fun¸caõ e determine onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é para baixo. Fa¸ca um esbo¸co do gr´ afico. (a) f (x) = 3x2

− 2x + 1. (b) f (x) = 7 − 6x − 3x . (c) f (x) = −4x + 3x + 18x. (d) f (x) = 2x − 9x + 27. 1 (e) f (x) = x − x + 3. 3 (f) f (y) = y − 5y + 6. (g) f (z) = (4 − z) . 2

3

2

3

2

3

2

3

4

(h) f (x) = (x + 2)3 . 1 3 3 2 (i) f (x) = x4 x x. 3 2 1 2 3 (j) f (x) = x5 x. 5 3

− − −

Apostila

Derivada

129


(k) f (x) = cos 3x ; x



1 6

1 2



∈ − π, π . (l) f (x) = 2 sen4x ; x ∈ 0, π .

(m) f (x) = x(x + 2)3 . (n) g(t) = (t

− 2)

7 3

1 2

 

.

1 1 (o) f (x) = 4x 2 + 4x− 2 .

(p) f (x) = x(x

3

− 1) . √ (q) f (x) = x x + 3. √ (r) f (x) = x 8 − x . (s) f (x) = 6x − x . 2

1 3

2 3

9 x2 (t) f (x) = + . 9 x 3 (u) f (x) = 5x 3x5 .

− (v) f (x) = x (x − 4) . (w) f (x) = tan x ; x ∈ − π, π . (x) f (x) = sec x tan x ; x ∈ − π, π . (y) f (x) = x + cos x ; x ∈ [−2π, 2π]. (z) f (x) = sen x − x ; x ∈ − π, π . 2 3

2

2



1 2





Apostila

1 2 1 2

3 2



3 2

1 2





Derivada

130


1.27.9

Tra¸cando um Esbo¸co do Gr´ afico de uma Fun¸c˜ ao

A seguir ser´ a mostrado que o gr´ a fico de uma fun¸cã o racional da forma f (x)/g(x), onde o grau de f (x) é um a mais do que o grau de g(x), tem a reta y = mx + b como ass´ıntota obl´ıqua (ass´ıntota de um gráfico que não seja nem horizontal nem vertical), provando que

 

f (x) lim x→+∞ g(x)

− (mx + b)

 

= 0.

(26)

Se dividirmos o polinômio f (x) do numerador pelo polinˆ omio g(x) do denominador, iremos obter a soma de uma fun¸caõ linear com uma fun¸caõ racional; isto é, f (x) h(x) = mx + b + , g(x) g(x) onde o grau do polinˆ omio h(x) é menor do que o grau de g(x). Ent˜ ao,



f (x) lim x→+∞ g(x)

−







h(x) (mx + b) = lim . x→+∞ g(x)

Quando o numerador e o denominador de h(x)/g(x) forem divididos pela maior potência de x que aparece em g(x), haver´ a um termo constante no denominador e todos os termos do denominador e do numerador ser˜ a o da r forma k/x , onde k é uma constante. Logo, quando x + , o limite do numerador ser´ a 0, enquanto que o limite do denominador ser´ a uma constante. Assim, h(x) lim = 0, x→+∞ g(x)

→ ∞



o que estabelece (26).



afico da fun¸cão h definida por Exemplo 90. Ache as ass´ıntotas do gr´ x2 + 3 h(x) = , x 1

−

e fa¸ca um esbo¸co do gráfico.

Solu¸c˜ ao: Como lim− h(x) = →1

x

Apostila

−∞

e

Derivada

lim+ = + , →1

x

∞

131


a reta x = 1 é uma ass´ıntota vertical. N˜ ao existem ass´ıntotas horizontais, pois se o numerador e o denominador de h(x) forem divididos por x2 , obteremos 1+ 1 x

−

3 x2 , 1 x2

e quando x + ou x , o limite do numerador é 1 e o limite do denominador é 0. Mas, o grau do numerador de h(x) é um a mais do que o grau do denominador e quando o numerador for dividido pelo denominador, obteremos 4 h(x) = x + 1 + . x 1 Logo, a reta y = x + 1 é uma ass´ıntota obl´ıqua. Para tra¸car o gr´ afico de h, determinamos se existe alguma reta tangente x2 + 3 horizontal. Sabendo que h(x) = , x 1

→ ∞

→ −∞

−

− 2x(x − 1) − (x h (x) = (x − 1)

2

+ 3)

2

x2 2x 3 = . (x 1)2

− − −

Equacionando h (x) = 0, obtemos x2 2x 3 = 0 (x + 1)(x 3) = 0;

− − −

x=

−1

e

x = 3.

Assim sendo, existem retas tangentes horizontais nos pontos ( 1, 2) e (3, 6). Indicamos as ass´ıntotas, as retas tangentes horizontais e marcando mais alguns pontos, obtemos o esbo¸co do gráfico de h dado pela Figura 47.

− −



Apostila

Derivada

132


Figura 47: Exemplo 90. Para obter um esbo¸co do gr´ afico de uma fun¸caõ f , você dever´ a aplicar as propriedades discutidas nesta se¸cão e proceder da seguinte forma: 1. Determine o dom´ınio de f . 2. Ache os interceptos y do gr´ afico. Localize os interceptos x do gr´ afico, se a equa¸cão resultante for f´ acil de resolver. 3. Teste a simetria em rela¸cão ao eixo y e a origem. 4. Calcule f  (x) e f  (x). 5. Determine os n´ umeros cr´ıticos de f . Esses são os valores de x no dom´ınio de f para os quais ou f  (x) não existe ou f  (x) = 0. 6. Aplique o teste da derivada primeira (Teorema 24) ou o teste da derivada segunda (Teorema 27) para determinar se nos n´ umeros cr´ıticos existe um valor máximo relativo, um valor m´ınimo relativo, ou nenhum dos dois. 7. Determine os intervalos nos quais f é crescente, encontrando os valores de x para os quais f  (x) é positiva; determine os intervalos nos quais f é decrescente, encontrando os valores de x para os quais otona, f  (x) é negativa. Ao localizar os intervalos nos quais f é mon´ verifique os pontos cr´ıticos onde f não tem um extremo relativo.

Apostila

Derivada

133


8. Para obter os pontos de inflexão poss´ıveis, ache os n´ umeros cr´ıticos de   f , isto é, os valores de x para os quais f (x) não existe ou f  (x) = 0. Em cada um desses valores de x, verifique se f  (x) muda de sinal e se o gr´ afico tem uma reta tangente nele, a fim de determinar se realmente existe um ponto de inflex˜ ao. 9. Verifique a concavidade do gr´ a fico. Ache os valores de x para os  quais f (x) é positiva e negativa, a fim de obter os pontos nos quais a concavidade é para cima e para baixo, respectivamente. ´ u 10. E ´til achar a inclina¸cão da reta tangente nos pontos de inflexão. 11. Verifique a existência de poss´ıveis ass´ıntotas horizontais, verticais ou obl´ıquas.

Exemplo 91. Dada f (x) = x3

− 3x

2

+ 3.

Fa¸ca um esbo¸co do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflex˜ a o do gr´ a fico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é cˆ oncavo para baixo e a inclina¸caõ da reta tangente nos pontos de inflex˜ ao.

Solu¸c˜ ao: O dom´ınio de f é o conjunto de todos os n´ umeros reais. O intercepto y é 3. e f  (x) = 3x2 6x f  (x) = 6x 6. Equacione f  (x) = 0 para obter x = 0 e x = 2. De f  (x) = 0, obtemos x = 1. Ao fazer a tabela, considere os pontos nos quais x = 0, x = 1 e x = 2, bem como os intervalos excluindo esses valores de x:

−

x < 0;

−

0 < x < 1;

1 < x < 2;

x > 2.

Das informa¸co˜es na Tabela 13 e determinando mais alguns pontos do gráfico, obteremos o gr´ afico da Figura 48.

Apostila

Derivada

134


f (x) x<0 x=0

3

0
1

12

-1

Tabela 13: Exemplo 91.  Conclus˜ ao f (x) f  (x) + f é crescente; o gráfico é côncavo para baixo 0 aximo relativo; f tem um valor m´ o gráfico é côncavo para baixo afico é côncavo f é decrescente; o gr´ para baixo -3 0 afico tem f é decrescente; o gr´ um ponto de inflexão + afico é côncavo f é decrescente; o gr´ para cima 0 + f tem um valor m´ınimo relativo; o gráfico é côncavo para cima + + f é crescente; o gráfico é côncavo para cima


Apostila

Derivada

135



x2

. x2 4 Fa¸ca um esbo¸co do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflex˜ a o do gr´ a fico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é cˆ oncavo para baixo e a inclina¸cã o da reta tangente nos pontos de inflex˜ a o. Ache também as ass´ıntotas horizontais e verticais.

−

Solu¸c˜ ao: O dom´ınio de f é o conjunto de todos os n´ umeros reais exceto 2. A u ´ nica interseçcaõ do gráfico com os eixos é a origem. Como f ( x) = f (x), o gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo y.

−

±

2x(x2 4) 2x(x2 ) 8x  = ; f (x) = (x2 4)2 (x2 4)2 8(x2 4)2 + 8x[2(x2 4)(2x)] 24x2 + 32  = 2 f (x) = . (x2 4)4 (x 4)3 Equacione f  (x) = 0 para obter x = 0; f  (x) não se anula nunca. Para a Tabela 14, considere os pontos nos quais x = 0 e x = 2, pois 2 e 2 não est˜ ao no dom´ınio de f . Tamb´ em, para a tabela, considere os intervalos excluindo estes valores de x:

−

− − −

−

−

− −

−

−

±

x< Como 2 e limites:

−2;

−2 < x < 0;

x > 2.

−2 estão exclu´ıdos do dom´ınio de f , calculamos os seguintes x2

lim+ 2 →2 x x2 lim x→2− x2 x2 lim x→−2+ x2 x2 lim − 2 x→−2 x

−4 −4 −4

x

Portanto, x = 2 e x =

−4

= + ;

∞ −∞; −∞;

= =

= + .

∞

−2 são ass´ıntotas verticais do gráfico. x2

lim x→+∞ x2 Apostila

0 < x < 2;

−

−

= lim 4 x→+∞

1

1

Derivada

−

4 x2

= 1;

136


x2

lim x→−∞ x2

1

= 1. 4 1 x2 Logo, y = 1 é uma ass´ıntota horizontal do gr´ afico. Com os dados da Tabela 14, obtemos o esbo¸co do gr´ afico de f mostrado na Figura 49.

x<

−

−2

x= 2 2
−

x=0

−

Tabela 14: Exemplo 92. f (x) f  (x) f  (x) + +

nã o existe

0

0
x=2 x>2

−

= lim 4 x→−∞

nã o existe

n˜ a o existe +

n˜ ao existe -

0

-

-

-

n˜ a o existe -

n˜ ao existe +

Conclus˜ ao f é crescente; o gráfico é côncavo para cima f é crescente; o gráfico é côncavo para baixo f tem um valor máximo relativo f é decrescente; o gráfico é côncavo para baixo f é decrescente; o gráfico é côncavo para cima



Apostila

Derivada

137



Exemplo 93. Dada

2

f (x) = 5x 3

−x

5 3

.

Fa¸ca um esbo¸co do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflex˜ a o do gr´ a fico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gr´ afico é côncavo para cima e onde é cˆ oncavo para baixo e a inclina¸caõ da reta tangente nos pontos de inflex˜ ao.

Solu¸c˜ ao: O dom´ınio de f é o conjunto de todos os n´ umeros reais. O intercepto y é 0. Equacionando f (x) = 0, obtemos 2

x 3 (5

− x) = 0;

x=0

e

x = 5.

Logo, os interceptos x sã o 0 e 5. 10 1 5 2 5 1 f  (x) = x− 3 x 3 = x− 3 (2 x); 3 3 3 10 − 4 10 − 1 10 − 4 f  (x) = x 3 x 3 = x 3 (1 + x). 9 9 9   Quando x = 0, nem f (x) nem f (x) existem. Equacionando f  (x) = 0, obtemos x = 2. Assim sendo, os n´ umeros cr´ıticos de f são 0 e 2. De  f (x) = 0, obtemos x = 1. Ao fazer a tabela, consideraremos os pontos nos quais x é 1, 0 e 2 e os seguintes intervalos:

−

−

Apostila

−

−

−

−

x<

−

−1;

−1 < x < 0;

0 < x < 2;

Derivada

x > 2. 138


Um esbo¸co c o do gr´ afico, afico, com as informa¸c˜ coes o˜es da Tabela 15 e com alguns pontos adicionais est´ a na Figura 50 50..

x<

−1

x=

−1

Tabela 15: Exemplo Exemplo 93 93..   f ( f (x) f (x) f (x) +

6

−1 < x < 0 x=0

0

0
x=2

√ ≈ 4, 8

334

-5

0

-

-

nao a˜ o exi existe ste

n˜ ao ao existe

+

-

0

-

x>2

-

Conclusao aõ dec rescent cente; e; o f é decres gráfico afi co é côncavo oncavo para cima dec rescent cente; e; o f é decres gráfico afico tem um ponto po nto de inflex˜ infl exão ao dec rescent cente; e; o f é decres gráfico afi co é côncavo oncavo para baixo f tem um valor m´ınimo ın imo rela re lati tivo vo cre scente; nte; o f é cresce gráfico afi co é côncavo oncavo para baixo f tem um valor máximo aximo relativo; o gráfico afi co é côncavo oncavo para baixo dec rescent cente; e; o f é decres gráfico afi co é côncavo oncavo para baixo



Apostila

Derivada

139



1.27.10

Exerc´ Exerc´ıcios

1. Ache as ass´ ass´ıntotas horizontal e vertical do gr´ afico afic o da fun¸ fun ¸c˜ cao aõ e fa¸ca ca um esbo¸co c o do gr´ afico. afico. (a) f ( f (x) = (b) (c) (d) (e) (f) (f ) (g) (h)

Apostila

x2

. x 1 x2 3 . f ( f (x) = x 2 x2 8 . f ( f (x) = x 3 x2 3x + 2 . f ( f (x) = x+4 x2 4x 5 . f ( f (x) = x+2 x3 4 . f ( f (x) = x2 2x2 + 4 x3 + 2x . f ( f (x) = x2 (x + 1)3 . f ( f (x) = (x 1)2

− − − − − −

− − −

−

Derivada

140


2. Determine o seguinte: os extremos relativos de f ; ao f ; os pontos de inflexão do gráfico afic o de f ; intervalos em f ; os intervalos em que f é crescente; os intervalos que f é decrescente decr escente;; onde o gr´ afico afi co é concavo oˆncavo para cima; onde o gr´ afico afico é concavo oˆncavo para baixo; a inclina¸c˜ cão ao de qualquer tangente de inflex˜ ao; ao; as ass´ ass´ıntotas horizontal, horiz ontal, vertical vertica l e obl´ obl´ıqua, se existirem. exist irem. (a) f ( f (x) = 2x3 (b) f ( f (x) = x3 (c) f ( f (x) = x4

− 6x + 1. + x − 5x. − 2x . 2

3

(d) f ( 2x3 . f (x) = 3x4 + 2x

(e) f ( 5x2 + 3x 3x 4. f (x) = x3 + 5x 1 2 (f) (f ) f ( 12x 12x + 1. f (x) = 2x3 x 2 (g) f ( 3x2 + 1. f (x) = x4 3x3 + 3x 1 1 3 (h) f ( f (x) = x4 x x2 + 1. 4 3 1 (i) f ( 3x2 + 2. f (x) = x4 2x3 + 3x 2 (j)

−

− − − −

−

−

f ( f (x) = (k) f ( f (x) =

x2 se x < 0 . 2x2 se x 0

 −

≥

x3 se x < 0 . se x 0 x3

≥

(l) f ( f (x) = (m) f ( f (x) = (x + 1)3 (x (n) f ( f (x) = 4

2

| − x |.



3(x 3(x 2)2 se x 2 . (2 x)3 se x > 2

− −

≤

2

− 2) .

(o) f ( cos 2x ; x f (x) = 3 cos (p) f ( f (x) = (q) f ( tan 12 x ; x f (x) = 2 tan

∈ [−π, π].

   − sen x sen x

1 2π

se 0 x se 12 π x

1 2

≤ ≤ π ≤ ≤π

.

∈ (−π, π). (r) sen x + cos x ; x ∈ [−2π, 2π ].

Apostila

Derivada

141


(s) f (x) =

x2

. x 1 x2 + 1 (t) f (x) = 2 . 1 x 2x (u) f (x) = 2 . 1 x

−

− − (v) f (x) = 3x − 2x. (w) f (x) = 2 + (x − 3) . √ (x) f (x) = x 4 − x. √ (y) f (x) = (x + 2) −x. (z) f (x) = (x + 1) (x − 2) 2 3

5 3

2

2 3

Apostila

1 3

.

Derivada

142


1.28

Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hˆ ospital

Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da fun¸ caõ F (x) =

ln x . x 1

−

Embora F não esteja definida quando x = 1, precisamos saber como F se comporta pr´ oximo de 1. Em particular, gostar´ıamos de saber o valor do limite ln x lim (27) . x→1 x 1 No cálculo desse limite não podemos aplicar a propriedade de limite: “o limite de um quociente é o quociente dos limites”; pois o limite do denominador é 0. De fato, embora o limite em (27) exista, seu valor não é o´bvio, porque tanto o numerador como o denominador tendem a 0, e 00 não est´ a definido. Em geral, se tivermos um limite da forma

−

f (x) lim , x→a g(x) onde f (x) 0 e g(x) 0 quando x a, então esse limite pode ou não existir e é denominado forma indeterminada do tipo 00 . Para as fun¸co˜es racionais, podemos cancelar os fatores comuns:

→

x2 lim x→1 x2

→

→

− x = lim x(x − 1) = lim x = 1 . − 1 → (x + 1)(x − 1) → x + 1 2 x

1

x

1

Usamos um argumento geométrico para mostrar que lim x→0

sen x = 1. x

Mas esses métodos n˜ ao funcionam para limites tais como (27); logo nesta se¸cão ser´ a apresentado um método sistem´ atico, conhecido como a Regra de L’Hˆ ospital, para o c´ alculo de formas indeterminadas. Outra situa¸caõ na qual um limite n˜ ao é o´bvio ocorre quando procuramos uma ass´ıntota horizontal de F e precisamos calcular o limite ln x lim . x→∞ x 1

(28)

−

Não é o´bvio como calcular esse limite, pois tanto o numerador como o denominador tornam-se muito grandes quando x . Há uma disputa

→∞

Apostila

Derivada

143


entre o numerador e o denominador. Se o numerador ganhar, o limite ser´ a ; se o denominador ganhar, a resposta ser´ a 0. Ou pode haver algum equil´ıbrio e, nesse caso, a resposta pode ser algum n´ umero positivo finito. Em geral, se tivermos um limite da forma

∞

f (x) lim , x→a g(x) em que f (x) (ou ) e g(x) (ou ), ent˜ ao o limite pode ou não existir, e é chamado forma indeterminada do tipo ∞ ∞ . Esse tipo de limite pode ser calculado para certas fun¸co˜es - incluindo aquelas racionais dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de x que ocorre no denominador. Por exemplo,

→∞

−∞

→∞

1 x2 1 lim = lim x→∞ 2x2 + 1 x→∞ 2 +

−

−

−∞

1 x2

1 x2

=

1 0 1 = . 2+0 2

−

Esse método n˜ a o funciona para o limite como (28), mas a Regra de L’Hôspital aplica-se tamb´ em a esse tipo de forma indeterminada.

Defini¸ca õ 18. Regra de L’Hˆ ospital: Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g  (x) = 0 próximo a a (exceto possivelmente em a). Suponha que lim f (x) = 0 e lim g(x) = 0, x→a x→a ou que, lim f (x) = e lim g(x) = . x→a x→a (Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 00 ou ∞ ∞ ). Então f (x) f  (x) lim = lim  , x→a g(x) x→a g (x)



±∞

±∞

se o limite do lado direito existir (ou for

∞ ou −∞).

A Regra de L’Hôspital diz que o limite de uma fun¸caõ quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condi¸co˜es dadas estejam ´ especialmente importante verificar as condi¸ satisfeitas. E co˜es referentes aos limites de f e g antes de usar a Regra de L’Hˆ ospital. A Regra de L’Hôspital é válida tamb´ em para os limites laterais e para os limites no infinito ou no infinito negativo; isto é, “x a” pode ser substitu´ıdo − + por quaisquer dos s´ımbolos a seguir: x , ou x . a ,x a ,x

→

Apostila

Derivada

→

→

→∞

→ −∞

144


Para o caso especial no qual f (a) = g(a) = 0, f  e g  são cont´ınuas e ospital é verdadeira. De fato, g  (a) = 0, é fá cil ver por que a Regra de L’Hˆ usando-se a forma alternativa da defini¸caõ de uma derivada, temos



f (x) lim   f (x) f (a) x→a x lim  =  = x→a g (x) g(x) g (a) lim x→a x f (x) lim x→a g(x)

− f (a) f (x) − f (a) − a = lim x − a − g(a) → g(x) − g(a) −a x−a x

a

− f (a) = lim f (x) . − g(a) → g(x) x

a

ln x . Exemplo 94. Encontre lim x→1 x 1

−

Solu¸c˜ ao: Uma vez que lim ln x = ln 1 = 0 →1

e

x

lim (x →1

x

− 1) = 0,

podemos aplicar a Regra de L’Hˆ ospital: d 1 (ln x) ln x 1 x dx lim = lim = lim = lim = 1. x→1 x x→1 1 x→1 x 1 x→1 d (x 1) dx

−

−



ex Exemplo 95. Calcule lim 2 . x→∞ x

Solu¸c˜ ao: Temos lim ex = e x→∞ logo, a Regra de L’Hˆ ospital fornece

∞

lim x2 = x→∞

∞,

d x (e ) e ex dx lim 2 = lim = lim . x→∞ x x→∞ d x→∞ 2x 2 (x ) dx x

Apostila

Derivada

145


Uma vez que ex e 2x quando x , o limite do lado direito também é indeterminado, mas uma segunda aplica¸ cã o da Regra de L’Hôspital fornece

→∞

→∞

→∞

ex ex ex lim = lim = lim = x→∞ x2 x→∞ 2x x→∞ 2

∞. 

Exemplo 96. Calcule lim x→∞

ln x . 3 x

√

Solu¸c˜ ao: Uma vez que ln x quando x

√x → ∞,

e

→∞

3

→ ∞, a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada: 1 ln x x lim = lim 1 − 2 . x→∞ 3 x x→∞ x 3 3

√

Observe que o limite do lado direito é agora indeterminado do tipo 00 . Mas em vez de aplicar a Regra de L’Hôspital uma segunda vez, simplificamos a expressão e vemos que é desnecess´ aria uma segunda aplica¸caõ da regra: 1 ln x 3 x lim 3 = lim 1 − 2 = lim 3 = 0. x→∞ x→∞ x x→∞ 3 x 3 x

√

√



Exemplo 97. Encontre lim x→0

tan x x . x3

−

Solu¸c˜ ao: Observando que tan x quando x

−x→0

e

x3

→ 0,

→ 0, usamos então a Regra de L’Hôspital: tan x − x sec x − 1 lim = lim . 2

→0

x

Apostila

x3

x

→0

Derivada

3x2

146


Uma vez que o limite do lado direito é ainda indeterminado do tipo 00 , aplicamos novamente a Regra de L’Hˆ ospital: sec2 x 1 2sec2 x tan x lim = lim . x→0 x→0 3x2 6x Pelo fato de lim sec2 x = 1, simplificamos os cálculos anteriores da sex→0 guinte forma:

−

2sec2 x tan x 1 tan x 1 tan x lim = lim sec2 x . lim = lim . x→0 x→0 6x 3 x→0 3 x→0 x x Podemos calcular este u´ltimo limite ou usando a Regra de L’Hˆ ospital mais sen x uma vez ou escrevendo tan x como cos x e usando conhecimentos de limites trigonométricos. Juntando todos estes passos, obtemos tan x x sec2 x 1 2sec2 x tan x lim = lim = lim x→0 x→0 x→0 3x2 6x x3 2 1 tan x 1 sec x 1 = lim = lim = . 3 x→0 x 3 x→0 1 3

−

−



Exemplo 98. Encontre lim− x→π 1

sen x . cos x

−

Solu¸c˜ ao: Se tentarmos usar a Regra de L’Hˆ ospital, obteremos: sen x cos x lim− = lim− = . x→π 1 cos x x→π sen x Isso est´ a ERRADO! Embora o numerador sen x 0 quando x π− , perceba que o denominador (1 cos x) não tende a zero; logo, não podemos aplicar aqui a Regra de L’Hôspital. O limite pedido é na verdade f´ a cil de ser encontrado, pois a fun¸caõ é cont´ınua e o denominador é diferente de zero em π: sen x sen π 0 lim− = = = 0. x→π 1 cos x 1 cos π 1 ( 1)

−∞ →

−

−

−

−

−−

→



O Exemplo 98 mostra o que poder´ a acontecer de errado ao usar impensadamente a Regra de L’Hˆ ospital. Outros limites podem ser encontrados pela Regra de L’Hôspital, mas s˜ ao mais facilmente calculados por outros métodos. Assim, quando calcular qualquer limite, considere outros métodos antes de usar a Regra de L’Hˆ ospital. Apostila

Derivada

147


1.28.1

Produtos Indeterminados

Se lim f (x) = 0 e lim g(x) = (ou ), ent˜ ao não est´ a claro qual é o valor x→a x→a de lim f (x)g(x), se houver algum. Há uma disputa entre f e g. Se f vencer x→a a resposta é 0; se g vencer, a resposta ser´ a (ou ). Ou pode haver um equil´ıbrio, e então a resposta é um n´ umero finito diferente de zero. Esse tipo de limite é chamado forma indeterminada do tipo 0 . . Podemos trabalhar com ela escrevendo o produto fg como um quociente:

∞

−∞

∞

−∞

∞

f

fg =

ou

1

fg =

g

g 1

.

f

Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo modo que podemos usar a Regra de L’Hˆ ospital.

0 0

ou ∞ ∞ de

Exemplo 99. Calcule lim+ x ln x. x→0 Solu¸c˜ ao: O limite dado é indeterminado, pois, como x 0+ , o primeiro fator (x) tende a 0, enquanto o segundo fator (ln x) tende a . Escrevendo + quando x 0 ; logo, a Regra de L’Hôspital x = 1/(1/x), temos 1/x fornece 1 ln x x lim x ln x = lim+ 1 = lim+ 1 = lim+( x) = 0. x→0+ x→0 x→0 x→0 x x2

→

→∞

−∞

→

−

−



Ao resolver o Exemplo 99, outra op¸cão poss´ıvel seria escrever lim x ln x = lim+ x→0+ x→0

1

1 . ln x

Isso dá uma forma indeterminada do tipo 00 , mas, se aplicarmos a Regra de L’Hˆ ospital, obteremos uma express˜ a o mais complicada do que a que come¸camos. Em geral, quando reescrevemos o produto indeterminado, tentamos escolher a op¸caõ que leva a um limite mais simples.

1.28.2

Diferen¸ cas Indeterminadas

Se lim f (x) = x→a

∞ e lim g(x) = ∞, então o limite → lim [f (x) − g(x)], → x

a

x

Apostila

a

Derivada

148


é chamado forma indeterminada do tipo . Novamente h´ a uma disputa entre f e g. Será a resposta (se f ganhar) ou ser´ a (se g ganhar), ou haver´ a entre eles um equil´ıbrio, resultando um n´ umero finito? Para descobrir, tentamos converter a diferen¸ca em um quociente - usando um denominador comum ou racionaliza¸caõ, ou pondo em evidência um fator em comum, por exemplo - de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 00 ou ∞ ∞.

∞−∞

∞

Exemplo 100. Calcule

lim (sec x →( 2 )− π

x

−∞

− tan x).

Solu¸c˜ ao: π − Observe primeiro que sec x e tan x quando x ; logo, 2 o limite é indeterminado. Aqui usamos um denominador comum:

→∞

lim (sec x →( 2 )− π

x

− tan x)

=

→∞



1 cos x

→

sen x cos x





lim →( 2 )− 1 sen x = lim − = lim − cos x x→( 2 ) x→( 2 )

−

π

x

−

− cos x = 0. − sen x Observe que o uso da Regra de L’Hˆ ospital é justificado, pois 1 − sen x → 0 − e cos x → 0 quando x → .  −

π

π

π

 2

1.28.3

Potˆ encias Indeterminadas

Várias formas indeterminadas surgem do limite lim [f (x)]g(x) . x→a

• • •

lim f (x) = 0 x→a lim f (x) = x→a

e e

∞

lim f (x) = 1 x→a

lim g(x) = 0, x→a

e

lim g(x) = 0, x→a lim g(x) = x→a

±∞,

tipo 00 ; tipo

0

∞;

tipo 1∞ .

Cada um dos trˆ es casos pode ser tratado tanto tomando o logaritmo natural, seja

Apostila

y = [f (x)]g(x) ,

então

Derivada

ln y = g(x) ln f (x), 149


quanto escrevendo a fun¸cão como uma exponencial, [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) . (Lembre-se de que esses métodos foram usados na diferencia¸ caõ dessas fun¸co˜es.) Em ambos os métodos somos levados a um produto indeterminado g(x) ln f (x), que é do tipo 0 . .

∞

Exemplo 101. Calcule lim+ (1 + sen 4x)cotan x . x→0 Solu¸c˜ ao: Observe primeiro que, quando x 0+, temos 1+sen4x , assim, o limite dado é indeterminado. Seja

→

∞

→ 1 e cotan x →

y = (1 + sen 4x)cotan x . Ent˜ ao ln y = ln[(1 + sen 4x)cotan x ] = cotan x ln(1 + sen 4x), logo, a Regra de L’Hˆ ospital fornece 4cos4x ln(1 + sen 4x) 4x = 4. lim+ ln y = lim+ = lim+ 1 + sen 2 x→0 x→0 x→0 tan x sec x At´ e agora calculamos o limite de ln y, mas o que realmente queremos é o limite de y. Para ach´ a-lo usamos o fato de que y = eln y : lim+(1 + sen 4x)cotan x = lim+ y = lim+ eln y = e4. x→0 x→0 x→0 

Exemplo 102. Calcule lim+ xx . x→0 Solu¸c˜ ao: Observe que esse limite é indeterminado, pois 0x = 0 para todo x > 0, mas x0 = 1 para todo x = 0. Podemos proceder como no Exemplo 101 ou escrever a fun¸cão como uma exponencial:



xx = (eln x )x = ex ln x . Apostila

Derivada

150


No Exemplo 99 usamos a Regra de L’Hˆ ospital para mostrar que lim+ x ln x = 0. →0

x

Portanto, lim+ xx = lim+ ex ln x = e0 = 1. x→0 x→0 

1.29

Exerc´ıcios

1. Encontre o limite. Use a Regra de L’Hˆ ospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hˆ ospital não for aplicável, explique por quê. x2 1 (a) lim . x→−1 x + 1 x9 1 (b) lim 5 . x→1 x 1 cos x (c) lim + . sen x x→( ) 1

−

− −

−

π

2

sen x (d) lim 3 . x→0 x tan px (e) lim . x→0 tan qx ln x (f) lim . x→∞ x ln x (g) lim+ . x→0 x ex (h) lim 3 . x→∞ x ex 1 x (i) lim . x→0 x2 5t 3t (j) lim . t→0 t

√

− −

−

Apostila

Derivada

151


lnln x (k) lim . x→∞ x sen−1 x (l) lim . x→0 x 1 cos x (m) lim . x→0 x2 x + sen x (n) lim . x→0 x + cos x 1 x + ln x (o) lim . x→1 1 + cos πx xa ax + a 1 (p) lim . x→1 (x 1)2

−

− − − √x +−2 (q) lim √ . →∞ 2x + 1 e − e− − 2x (r) lim . → x − sen x cos x ln(x − a) (s) lim . → ln(e − e ) 2

2

x

x

x

0

x

a+

x

x

a

(t) lim x sen πx . x→∞ (u) lim x2ex . x→−∞ 2 (v) lim x3 e−x . x→∞ 1 x (w) lim . x→1 x 1 ln x





− −

2

(x) lim+ xx . x→0



1

(y) lim (1 2x) . x→0 (z) lim+(4x + 1)cotan x . x→0

−

Apostila

x

Derivada

152

Derivada

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